ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
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CAPITULO 4
DISEÑO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN
4.1 INTRODUCCION.-
Se entiende como miembros a compresión a aquellos elementos que se encuentran
principalmente solicitados por cargas de compresión, como columnas y entramados; pero
en general un elemento estructural es solicitado por mas de un tipo de esfuerzo, por lo que
en la realidad casi todas las columnas estructurales trabajan a compresión y flexión
combinadas (flexo-compresión).
Las columnas son elementos donde las cargas principales actúan paralelas al eje del
elemento, y por lo tanto trabaja principalmente a compresión; cuya longitud es varias veces
mayor que su dimensión lateral más pequeña. El esfuerzo de compresión es muy peligroso
en este tipo de elemento estructural, por la presencia de pandeo, que es una falla por
inestabilidad.
El tipo de columna que se usa con mayor frecuencia es la columna sólida sencilla, que
consiste en una sola pieza de madera, cuya sección transversal es cuadrada u oblonga.
Las columnas sólidas de sección transversal circular son usadas con menos frecuencia. Una
columna formada por varios miembros es un ensamble de dos o más miembros cuyos ejes
longitudinales son paralelos; se impide que se toquen los elementos mediante unos bloques
separadores colocados en los extremos y punto medio de su longitud.
Otros tipos de columnas son las llamadas columnas compuestas, que están conectadas
mediante sujetadores mecánicos. Los pie-derechos en marcos ligeros de madera y en
entramados también son columnas.
En el procedimiento de diseño del “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino” de
deben de seguir los siguientes pasos:
Para COMPRESIÓN AXIAL:
1. Definir las bases de cálculo.
a) Grupo estructural de la madera a utilizarse
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b) Cargas a considerarse en el diseño
c) Condiciones de apoyo, y factor de longitud efectiva.
2. Determinar efectos máximos.
3. Establecer los esfuerzos admisibles, modulo de elasticidad, así como el valor
de Ck.
4. Asumir una escuadría, y extraer sus propiedades geométricas.
5. Calcular la esbeltez para cada dirección.
6. Calcular la carga admisible, y compararla con la carga solicitante.
Para FLEXOCOMPRESIÓN:
1. al 6. Se determina de la misma manera que para Compresión Axial.
7. Determinar la carga crítica de Euler.
8. Calcular el factor de amplificación de momentos km.
9. Verificar que la ecuación general de elementos a flexocompresión sea
satisfecha (que de un valor < a 1).
El diseño de elementos sometidos a compresión o flexo-compresión debe realizarse
tomando en cuenta su longitud efectiva, que será denotada por efL .La longitud efectiva es
“la longitud teórica de una columna equivalente con articulaciones en sus extremos” .Esta
longitud efectiva se obtiene multiplicando la longitud no arriostrada “L” por un factor de
longitud efectiva “k”, que considera las restricciones o grado de empotramiento que sus
apoyos extremos le proporcionan.
El Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino recomienda que en ningún caso se
tome una longitud efectiva menor que la longitud real no arriostrada, o sea por mas
de que el factor k sea menor que 1 de acuerdo con las condiciones extremas, se recomienda
tomar mínimamente k =1, debido al grado de incertidumbre de restricción al giro que las
uniones puedan proporcionar.
En la siguiente tabla se presentan algunos casos para la evaluación de la longitud efectiva
en función de sus restricciones.
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
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1. Articulado en ambos extremos 1 L
2. Empotrado en un extremo y el otro impedido de rotar pero libre 1.2 1.2 L de desplazarse
3. Empotrado en un extremo y el otro parcialmente impedido de 1.5 1.5 L rotar pero libre de desplazarse
4. Empotrado en un extremo pero libre en el otro 2 2 L
5. Articulado en un extremo y el otro impedido de rotar, pero libre 2 2 L de desplazarse.
6. Articulado en un extremo y libre en el otro. -----
CONDICIONDEAPOYO ESQUEMAFACTORDELONGITUD
EFECTIVA: ' K 'LONGITUDEFECTIVA
Lef
L
1.2 L
2 L
2 L
1.5 L
Ref.: TABLA 9.1 DE Pág. 9-4 del Manual Para Diseño De Maderas Del Grupo Andino
TABLA 4.1: LONGITUD EFECTIVA DE COLUMNAS
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A continuación se presenta una recomendación para la determinación del factor k que se
usará para el diseño. Los valores teóricos para el factor k que esta en función del grado de
restricción de los extremos de la columna, deben ser aumentados por el valor mostrado en
la tabla 4.2, donde puede apreciarse que la mayoración se realiza cuando existe un extremo
empotrado, ya que no existe un “empotramiento perfecto”en las estructuras de que se
construyen en la actualidad; esta recomendación es realizada por la norma americana LRFD
1996, y conviene tenerla en cuenta al momento del diseño.
Cabe remarcar lo siguiente: El valor del factor k se debe determinar correctamente, ya que
un error en su determinación (por pequeño que fuese) trae consigo en el diseño un error
grande en el cálculo de la esbeltez y de la capacidad de carga de la columna; y por
consiguiente una posible falla de la columna que trae consigo un colapso de la totalidad de
la estructura. Es por eso que si se tiene dudas en las condiciones de restricción en los
MODOSDE
PANDEO
Valor Teorico de K 0.5 0.7 1.0 1.0 2.0 2.0
Valor de K recomendadopara Diseño cuando condionesson aproximadas a las ideales
ROTACION RESTRINGIDA, TRASLACION RESTRINGIDA
ROTACION LIBRE, TRASLACION RESTRINGIDA
ROTACION RESTRINGIDA, TRASLACION LIBRE
ROTACION LIBRE, TRASLACION LIBRE
2.10 2.4
Comdiciones de Borde
0.65 0.80 1.2 1.0
TABLA 4.2 :FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA “K” PARA DISEÑO DE COLUMNAS
Ref.: FIGURA C4.2-1 de Pág. 197 del Norma Americana para Diseño en Maderas LRFD 1996
Condiciones de Borde
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extremos de las columnas se debe tomar valores de k que sean conservadores; por ejemplo
si no se esta seguro que el extremo de una columna que forma parte de un pórtico restringe
totalmente los desplazamientos laterales (esto mediante la utilización de muros de corte o
diafragmas verticales suficientemente rígidos), entonces se debe asumir que la unión no
restringe los desplazamientos laterales y por tanto le corresponde a la columna un valor de
k mayor que 1.
4.2 ESBELTEZ.-
En estructuras de madera la esbeltez de una columna maciza simple aislada es la relación
entre la longitud efectiva y la dimensión del lado menor de su sección transversal (para
columnas rectangulares; tomar el diámetro si fuese columna redonda), expresada en
ecuación sería:
d
Lef
Donde:Lef : longitud efectiva de la columna
d : Lado menor de la columna
Cuando se tenga una columna rectangular donde la longitud efectiva varié en sus dos
direcciones (de su sección transversal), se debe calcular la esbeltez para ambas direcciones,
y se debe usar para el diseño la esbeltez que sea mayor. La esbeltez para columnas macizas
simples está limitada a λ = 50; para columnas formadas por varios miembros la esbeltez
está limitada a λ = 80.
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Clasificación de las columnas según su esbeltez.- Según el “Manual de Diseño para
Maderas del Grupo Andino” (Pág. 9-5) se clasifica a las columnas macizas simples en
función a su esbeltez en:
Columnas Cortas : 10
Columnas Intermedias : kC10
Donde :c
k f
E7025.0C
Columnas Largas : 50Ck
De la anterior tabla Ck es la relación de esbeltez para la cual la columna, considerada como
columna larga, tiene una carga admisible igual a dos tercios de la carga de aplastamiento:
2/3Afc , donde A es la sección transversal y fc es el esfuerzo admisible máximo a
compresión paralela a las fibras. Los valores de Ck para cada uno de los tres grupos
estructurales se presentan a continuación:
CLASIFICACION ESBELTEZ
¡NO DEBEN UTILIZARSE COMO COLUMNAS MACIZAS SIMPLES,ELEMENTOS CUYA ESBELTEZ SEA MAYOR QUE 50!
TABLA 4.3: CLASIFICACION DE LAS COLUMNAS
Ref.: TABLA 9.4 DE Pág. 9-11 del Manual Para Diseño De Maderas Del GrupoAndino
Ref.: PAG 9-5 del Manual Para Diseño para Maderas Del Grupo Andino
TABLA 4.4: RELACION DE ESBELTEZ LIMITE ENTRECOLUMNAS INTERMEDIAS Y LARGAS
GRUPO
A 17.98 20.06
B 18.34 20.20
22.47C 18.42
CkCOLUMNAS ENTRAMADOS
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4.3 ESFUERZOS MÁXIMOS ADMISIBLES Y MODULO DE ELASTICIDAD.-
El Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino indica los esfuerzos máximos
admisibles que deben utilizarse para el diseño de elementos sometidos a compresión o
flexo-compresión, según el grupo estructural al que pertenece la madera, y estos son:
Para el diseño de columnas se debe usar los valores de módulo de elasticidad E0.05 que es el
modulo mínimo, que según el manual de diseño en maderas del grupo andino, corresponde
a una probabilidad de hasta 5% que el módulo de elasticidad este por debajo del valor
considerado; esto para el grupo estructural de madera elegido para conformar el elemento.
Para el diseño de pie-derechos para entramados, se debe usar el valor de Epromedio, el cual es
mayor que E0.05, debido a que en un entramado los elementos actúan de una manera más
solidaria, garantizando así la seguridad.
A continuación se muestran los valores de modulo de elasticidad según su grupo
estructural:
TABLA 4.5: ESFUERZOS MAXIMOS ADMISIBLES (kg/cm2)
COMPRESION PARALELA TRACCION PARALELA FLEXIONfc ft fm
C 80 75 100
B 110 105 150
145 145 210
GRUPO
A
Ref.: TABLA 9.2 DE Pág. 9-6 del Manual Para Diseño De Maderas Del Grupo Andino
Ref.: TABLA 9.3 DE Pág. 9-6 del Manual Para Diseño De Maderas Del Grupo Andino
TABLA 4.6: MODULO DE ELASTICIDAD (kg/cm2) TABLA 3: RELACION DE ESBELTEZ LIMITE ENTRECOLUMNAS INTERMEDIAS Y LARGAS
B
E0.05
95 000
75 000
Epromedio
130 000
100 000
C 55 000 90 000
A
GRUPO
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4.4 CAPACIDAD DE CARGA PARA COLUMNAS SOMETIDAS A
COMPRESIÓN (CARGA ADMISIBLE A COMPRESIÓN).-
Según el “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino” la capacidad de carga varía
de acuerdo a la clasificación realizada en función de su esbeltez (Tabla 4.3), de aquí
tenemos:
Para Columnas Cortas la carga admisible a compresión se calcula como :
AfN cadm Donde:
Para Columnas Intermedias la carga admisible a compresión se calcula como :
4
kcadm C3
11AfN
Donde:
Para Columnas Largas la carga admisible a compresión se calcula como :
2admAE
329.0N
donde :
A: área de la sección transversalfc: esfuerzo máximo admisible de
compresión paralela a la fibra.Nadm: carga axial máxima admisible.
A: área de la sección transversalfc: esfuerzo máximo admisible de
compresión paralela a la fibra.esbeltez del elemento (considerar
solo la mayor).Ck: obtenido de la tabla 4.4
Nadm: carga axial máxima admisible.
A: área de la sección transversalesbeltez del elemento (considerar
solo la mayor).E: módulo de elasticidad, obtenido
de la tabla 4.6Nadm: carga axial máxima admisible.
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4.5 CAPACIDAD DE CARGA PARA COLUMNAS SOMETIDAS A
FLEXOCOMPRESIÓN.-
Los elementos sometidos a flexocompresión deben diseñarse para cumplir la siguiente
relación:
Donde:
Los valores de N y M son conocidos (hallados del análisis de esfuerzos). El valor de
admN se halla de la misma manera que para columnas sometidas a compresión.
El valor del factor de amplificación de momentos mk se halla con la ecuación:
Donde: crN es la carga crítica de Euler en la dirección en que se aplican los momentos de
flexión. La carga crítica de Euler se halla con la ecuación:
1fZ
Mk
NN
m
m
adm
N : es la carga axial solicitanteNadm: es la carga axial admisible
km: es un factor de magnificacion de momentos debido a lapresencia de carga axial
IMI: momento flector maximo en el elemento(en valor absoluto)Z: módulo de la seccion transversal con respecto al eje del
cual se produce la flexiónfm: esfuerzo admisible en flexión sacado de tabla 4.5
cr
m
NN
5.11
1k
2ef
2
crL
IEN
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I
I
c
I
b
ch
d
b
hc
Donde: efL es la longitud efectiva de la columna; I es la inercia de la sección transversal.
El valor del módulo de la sección Z depende del tipo de sección transversal y de sus
dimensiones; a continuación se muestran las propiedades geométricas de las secciones
transversales más comunes:
hbA 6
hbZ
2
I
12
hbI
3
I
12
hrI
2
hc
4
dA
2
32
dZ
3
I
64
dI
4
I
4
drI
2
dc
2
hbA
24
hbZ
2
I
36
hbI
3
I
18
hrI
3
h2c
A = área ; I =momento de inercia ; Z = módulo de la sección =c
I ; r = radio de giro =A
I
Ref.: Elaboración Propia
FIGURA 4.1: PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES MAS COMUNES
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4.6 CAPACIDAD DE CARGA PARA COLUMNAS SOMETIDAS A
FLEXOTRACCIÓN.-
Los elementos sometidos a flexotracción deben diseñarse para cumplir la siguiente
relación:
Donde:
4.7 COLUMNAS DE SECCIÓN CIRCULAR Y POSTES.-
Las columnas de madera maciza de sección transversal circular no se usan de manera
extensa en nuestro medio. En cuanto a la capacidad de carga, se puede decir que las
columnas redondas soportan las mismas cargas axiales que las columnas cuadradas, cuando
estos tengan la misma área. Esto quiere decir que si una columna cuadrada se diseña para
resistir una carga axial externa, la columna redonda de misma área transversal que la
cuadrada resistirá la misma carga sin problemas.
Al diseñar una columna de madera de sección transversal circular, un procedimiento
sencillo es diseñar primero una columna cuadrada, y luego elegir una columna redonda con
un área de sección transversal equivalente. Para encontrar el diámetro de la columna
redonda equivalente, el lado de la sección cuadrada “d” debe multiplicarse por:
2rect dA
4
DA
2
circ
1fZ
M
fAN
mt
N : es la carga axial solicitanteA es el área de la sección transversal del elementoft: esfuerzo admisible a tracción, sacado de tabla 4.5
IMI: momento flector máximo en el elemento(en valor absoluto)Z: módulo de la seccion transversal con respecto al eje del
cual se produce la flexiónfm: esfuerzo admisible en flexión sacado de tabla 4.5
IGUALANDO d128.1D4
Dd
22
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Por lo tanto se debe multiplicar por el factor 1.128 el lado de la columna cuadrada para
obtener el diámetro de la columna circular equivalente.
Los postes son piezas redondas de madera que constan de troncos descortezados de árboles
maderables. En longitudes cortas tienen un diámetro constante, pero cuando son largos
tienen forma cónica, que es la forma natural del tronco de árbol.
Para una columna cónica, una suposición conservadora para el diseño es que el diámetro
crítico de la columna el diámetro menor en el extremo de sección menor. Si la columna es
muy corta, esto es razonable. Sin embargo, para una columna esbelta, donde el pandeo se
presenta a la mitad de su altura, esto es muy conservador. Sin embargo, debido a la
ausencia común de la rectitud inicial, y a la presencia de numerosos defectos (como nudos,
rajaduras y depósitos de resina), se recomienda usar el diámetro del extremo de menor
sección para los cálculos de diseño.
El uso de los postes esta en puentes provisionales o en edificaciones, conformando
columnas o cimientos. Como cimientos, se usan como pilotes de madera, donde los postes
son encajados en el suelo mediante un martinete. Sin embargo otra forma de utilizar los
postes para cimentación consiste solo en excavar un hoyo, insertar parcialmente el poste, y
luego rellenar el hoyo alrededor del poste, con suelo o concreto, como se hace con los
postes para cercas, apoyo para anuncios y postes de uso general.
4.8 COLUMNAS FORMADAS POR VARIOS MIEMBROS.-
Un tipo de elemento estructural que algunas veces se usa en las estructuras de madera es la
columna formada por varios miembros. Este es un elemento en el cual dos o mas elementos
de madera se sujetan juntos (mediante pernos preferentemente) para compartir la carga
como una sola unidad de compresión. El diseño de estos elementos es muy complejo. A
continuación para explicar como se realiza el diseño, se desarrollará un ejemplo.
Ejemplo:
Una columna formada por varios miembros mostrada en la siguiente figura, consta de tres
piezas de almendrillo de 10×30 cm. de sección. La dimensión L1 es de 4 metros y X es de
15 centímetros. Calcular la capacidad de compresión axial.
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d2L1 y L2
X
L3
d1
Bloques extremos
YX
Bloques separadores
Y X
Perno
Solución: Hay dos condiciones separadas que se deben analizar con respecto a la columna
formada por varios miembros. Se relacionan con los efectos de la esbeltez relativa en las
dos direcciones que se representan con los ejes x y y en la figura anterior. En la dirección y
la columna se comporta simplemente como un conjunto de columnas macizas. Así, el
esfuerzo está limitado por las dimensiones d2 y L2 y su cociente. Para esta condición, se
determina lo siguiente para el ejemplo.
33.1330
)400(
d
L
2
2
Al usar este valor como relación de esbeltez, se determina la capacidad de una columna
maciza, cuya sección transversal tenga un área igual a tres veces la de una columna de
10×30 cm. (no debe tomarse el área de los bloques separadores).
FIGURA 4.2: COLUMNA FORMADA POR VARIOS MIEMBROS
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
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Entonces:
Almendrillo(Grupo A)
Como = 13.33 es mayor que 10 la columna no es corta.
De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo A vale
17.98.
Como es mayor que 10 pero menor a 17.98, la columna es intermedia.
La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna
intermedia es :
4
kcadm C3
11AfN
k31.11735898.17
33.13
3
11)3010(31451N
4
adm
El segundo caso que se debe considerar en el ejemplo es el comportamiento con respecto al
pandeo en la dirección x, que se revisa con respecto a dos limitaciones:
1. 40d
L
1
3
2. 80d
L
1
1
Entonces usando los datos del ejemplo se tiene:
405.1810
152
400
d
L
1
3
CUMPLE!
804010
400
d
L
1
1 CUMPLE!
La capacidad de carga para esta condición depende del valor de1
1
d
L , y se determina de
manera similar, a la de la columna maciza, pero se permite mayorar la capacidad de carga
cf 145 k/cm2
E 95000 k/cm2
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
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para columnas intermedias y largas con un factor Kx, en relación al valor de X con
respecto a la longitud total de la columna, con los siguientes valores:
Kx = 1.5 cuando X es menor o igual a L1/20
Kx = 2.0 cuando X se encuentra entre L1/20 y L1/10
Entonces:
Como 40d
L
1
1 es mayor que 10 la columna no es corta.
De la tabla 4.4. se saca el valor de Ck , que para una columna del Grupo A vale
17.98.
Como es mayor que 10 y mayor a 17.98, la columna es larga.
La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna larga
es:
2admAE
329.0N
k94.1758040
3010395000329.02N
2adm
Pero como X vale 15 cm, y L1/20 = 400/20 = 20, entonces se permite mayorar la carga
admisible por el factor Kx =1.5.
Entonces:
k41.263715.194.175802N adm
La capacidad de la columna será la menor entre N1adm y N2adm, entonces como el menor
es N2adm :
k41.26371Nadm
4.9 COLUMNAS COMPUESTAS.-
Son columnas individuales formadas por varios elementos de secciones macizas. Por lo
general, las columnas compuestas tienen los elementos unidos entre sí mediante
dispositivos mecánicos, como clavos o pernos torneados.
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
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El diseño de este tipo de columnas se lo realiza en base a la capacidad del elemento
individual. Es decir la menor capacidad de carga de la sección compuesta es la suma de las
capacidades de las partes consideradas individuales.
Las columnas compuestas más comunes son ensambles de pies derechos que se presentan
en la esquina de los muros, intersecciones de muros y los cantos de los vanos de puertas y
ventanas.
Cuando las columnas compuestas se presentan como columnas aisladas, se hace difícil la
determinación real de sus capacidades, a menos que los elementos individuales tengan una
esbeltez suficientemente baja como para considerar que tienen capacidades significativas.
Dos tipos de ensambles que tienen capacidades comprobadas como columnas compuestas
son los mostrados a continuación.
(b)(a)
En la figura (a) se muestra una columna de núcleo macizo esta envuelta por todos lados con
elementos mas delgados. La suposición común para analizar esta columna es que la esbeltez
se basa únicamente en el núcleo, pero la capacidad de compresión axial se basa en la
sección completa.
En la figura (b) se muestra una serie de elementos delgados se mantiene unida mediante dos
placas de cubierta que tienden a restringir el pandeo de los elementos del núcleo alrededor
de sus ejes poco resistentes. Para esta columna, se considera que la esbeltez se basa en el
eje más fuerte de los miembros internos. La compresión axial se basa en la suma de los
elementos internos para obtener un diseño conservador, pero es razonable incluir las placas
si están unidas mediante tornillos o pernos.
Ref.: Diseño simplificado de Estructuras de Madera, Parker-Ambrose; Pág. 143
FIGURA 4.3: COLUMNAS COMPUESTAS
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
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Ejemplo:
En la siguiente figura se muestra la sección transversal de una columna compuesta, cuyo
núcleo es de 20×20 cm.,y las placas exteriores tienen un espesor de 5 cm.. Se pide
encontrar la altura máxima que puede tener dicha columna, para resistir una carga de 55
toneladas. Las restricciones de sus extremos se pueden asimilar en la parte inferior
empotrada, y en la parte superior la unión restringe los giros pero permite desplazamientos.
Trabajar con madera del grupo B.
30 cm
30 cm20 cm
20 cm
Solución:
Como datos del problema se tiene:
Madera del Grupo B
Lo primero que se debe hacer es encontrar la longitud efectiva que es igual a:
LkLe
De la tabla 4.2 para el modo de pandeo de la columna se recomienda para el diseño el
factor K =1.2. Entonces:
L2.1Le
Para la esbeltez solo se debe considerar el núcleo, entonces la esbeltez igual a:
L06.020
L2.1
d
Le
cf 110 k/cm2
E 75000 k/cm2
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
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Obviamente la mayor longitud de la columna se dará cuando esta se analiza como columna
larga.
Entonces la carga admisible que puede resistir será:
2admAE
329.0N
kL
6168750000
)L06.0(
3075000329.0N
22
2
adm
Para que la columna resista la carga de 55000 k., la carga admisible debe ser por lo menos
igual a ésta, por lo tanto igualamos:
55000L
6168750000N
2adm
m35.3cm90.334L
Con esta longitud se verifica la esbeltez:
m20.120
3.351.2
20
1.2L
d
Lλ e
De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo B vale 18.34.
Como es mayor que 18.34 pero menor a 50, entonces se verifica lo asumido: la columna
es Larga.
Por lo tanto la longitud máxima de la columna deberá ser 3.35 metros.
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
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4.10 EJEMPLOS DEL CAPÍTULO
Ejemplo 1:
Un miembro de madera sometido a compresión tiene una sección transversal de
15cm15cm, y es de almendrillo. Encontrar la capacidad de carga a compresión axial
(carga admisible) para longitudes efectivas de:
a) 2 metros
b) 6 metros
c) 10 metros
Solución:
Como datos del problema se tiene:
Dimensiones:
Almendrillo(Grupo A)
a) Se tiene una esbeltez igual a : 33.1315
200
d
L
Como es mayor que 10 la columna no es corta.
De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo A vale
17.98.
Como es mayor que 10 pero menor a 17.98, la columna es intermedia.
La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna
intermedia es:
4
kcadm C3
11AfN
k58.2933998.17
33.13
3
11)1515(145N
4
adm
Base (b) = 15 cm
Altura (h) = 15 cm
cf 145 k/cm2
E 95000 k/cm2
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
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b) Se tiene una esbeltez igual a : 0.4015
600
d
L
Como es mayor que 10 la columna no es corta.
De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo A vale
17.98.
Como es mayor que 10 y mayor a 17.98, pero menor que 50, la columna es
larga.
La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna
larga es :
2admAE
329.0N
k23.439540
1595000329.0N
2
2
adm
c) Se tiene una esbeltez igual a : 67.6615
1000
d
L
Como es mayor que 50, entonces NO DEBE UTILIZARSE ESTA
COLUMNA; para usarse se debe aumentar su sección transversal.
Por lo tanto para que esta columna tenga 10 metros de largo se debe aumentar su
sección a por lo menos 2020 ó 22.522.5 cm.
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
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Ejemplo 2:
En la siguiente figura se muestra a una viga de madera Quebracho, de 2035 cm de
sección, que soporta una carga distribuida de 1 tonelada por metro. Esta viga esta soportada
por 2 columnas de madera, que transmiten la carga hacia el suelo a través de zapatas
aisladas de HºAº. Se pide diseñar las columnas de madera para que resistan las cargas a las
que se ven sometidas. Suponer para el diseño que la unión de viga-columna restringe los
desplazamientos pero permite la rotación. Utilizar para el diseño madera del Grupo A.
4 m
1m
35
20
5 m
ZAPATAS
COLUMNAS
VIGA
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
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Esquema Estructural:
PESO PROPIO
q = 1 t/m5 m
5 m
El Quebracho corresponde a una madera del Grupo A; por lo tanto la viga como las
columnas son del mismo grupo estructural.
Grupo A
El peso propio de la viga, que es igual a :
hb pP
Pp = 800 k/m3 . 0.20 m . 0.35 m = 56 k/m
La carga total es igual a:
PpqCT
CT = 1000+56 = 1056 k/m
Las reacciones de apoyo de las vigas serán igual a:
Según fórmula de Anexo de capítulo 2:
k26402
51056
2
LCR T
cf 145 k/cm2
E 95000 k/cm2
800 k/m3
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
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Los extremos de las columnas actuarían como articulado – articulado; en la parte inferior
debido a que la zapata aislada restringe los desplazamientos pero no garantiza una total
restricción de la rotación. Para la unión viga columna, en el enunciado se mencionó que se
podía suponer como articulado dicha unión.
La siguiente gráfica muestra como actúan las columnas:
5 m5 m
2640 k 2640 k
5 m
2640 k 2640 k
q = 1 t/m
Pp = 56 k/m
Como existe simetría geométrica como simetría de cargas, solo se analizara una columna,
ya que la otra deberá ser exactamente igual.
Para el diseño de la columna se debe tantear una sección, y hallar su carga admisible, que
deberá ser mayor a la carga externa actuante. Para tantear con una sección que sea muy
próxima a la necesaria se recurre a las tablas o ábacos para el diseño de columnas (ver
Anexo del Cáp. 4).
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
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Para tantear con la Tabla A4-1(Tabla de anexos de capítulo IV), se entra con :
Longitud efectiva, que como las condiciones de borde en los apoyos de
la columna, se obtiene de la tabla 4.1 un valor de k = 1, por lo tanto la
longitud efectiva es igual a la longitud real no arriostrada = a 5 metros.
La carga a resistir, que para este caso será 2640 kilogramos.
Entonces:
De la tabla se observa que la sección mas pequeña cuya longitud efectiva es 5 metros y
cuya carga admisible es mayor a 2640 kilogramos es la sección 1515 cm. Pero porque la
carga admisible de la sección de 1515 cm es mucho mayor a 2640 kilogramos, nos
vemos obligados por razones económicas a buscar una sección que sea más pequeña.
Por lo tanto como el tanteo de las secciones se realiza pulgada por pulgada (debido a que en
el comercio se vende así), probar con la sección:
Entones:
Se tiene una esbeltez igual a : 0.405.12
500
d
Lef
Como es mayor que 10 la columna no es corta.
Longitud efectiva (metros)Dimensiones Area (cm) (cm
2)
10 100 7813.75 5000.80 3472.78 2551.43 1953.44 1543.46 1250.2015 150 11720.63 7501.20 5209.17 3827.14 2930.16 2315.19 1875.3020 200 15627.50 10001.60 6945.56 5102.86 3906.88 3086.91 2500.4015 225 29337.33 24598.47 17580.94 12916.61 9889.28 7813.75 6329.14 5230.6920 300 39116.45 32797.96 23441.25 17222.14 13185.70 10418.33 8438.85 6974.2625 375 48895.56 40997.45 29301.56 21527.68 16482.13 13022.92 10548.56 8717.8220 400 56150.69 53485.08 48637.86 40655.47 31255.00 24695.31 20003.20 16531.5725 500 70188.36 66856.35 60797.32 50819.34 39068.75 30869.14 25004.00 20664.4630 600 84226.03 80227.62 72956.79 60983.21 46882.50 37042.96 30004.80 24797.3625 62530 750
Sección de columna
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5hb
TABLA A4.1 CAPACIDAD DE CARGA PARA COLUMNAS SUJETAS ACOMPRESIÓN (kilogramos) PARA MADERAS DEL GRUPO A
Base (b) = 12.5 cm
Altura (h) = 12.5 cm
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
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De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo A vale 17.98.
Como es mayor que 10 y mayor a 17.98, la columna es larga.
La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna larga es :
2admAE
329.0N
k25.305240
5.1295000329.0N
2
2
adm
Como Nadm es mayor que 2640 kilogramos, entonces SECCIÓN RESISTE.
Ejemplo 3:En la siguiente figura se muestra a una viga de madera Almendrillo, de 3050 cm de
sección, que soporta un muro de ladrillo gambote de 18 cm de espesor y de 3 metros de
altura (cuya longitud es igual a la longitud total de la viga). La viga esta soportada por 2
columnas de madera de 15×15 cm de sección y, que transmiten la carga hacia el suelo a
través de zapatas aisladas de HºAº. Se pide encontrar la máxima distancia “L” que puede
tener la combinación viga-muro, para que las columnas del pórtico resistan las
solicitaciones actuantes. Suponer para el diseño que la unión de viga-columna restringe los
desplazamientos pero permite la rotación. Utilizar para las columnas madera del Grupo B.
COLUMNAS
VIGA
50
30
3 m
5 m
1m
ZAPATAS
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
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Esquema Estructural:
L
PESO PROPIO
qLad
6 m
El Almendrillo corresponde a una madera del Grupo A; por lo tanto para la viga:
Grupo A
El peso propio de la viga, que es igual a :
hb pP
Pp = 800 k/m3 . 0.30 m . 0.50 m = 120 k/m
La carga qLad , que se debe al peso del muro de ladrillo es igual a :
Ladrillo Gambote
alturaespesorqLad
mk
972318.01800qLad
La carga total es igual a:
PpqCT
CT = 972+120 = 1092 k/m
800 k/m3
1800 k/m3
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA90
Las reacciones de apoyo de las vigas serán igual a:
Según formula de Anexo de cap2:
kL5462
L1092
2
LCR T
El peso propio de cada columna, que es igual a :
hbPp
Columnas(Grupo B)
Pp = 750 k/m3 . 0.15 m . 0.15 m . 6 m = 101.25 k 102 k
Los extremos de las columnas actuarían como articulado – articulado; en la parte inferior
debido a que la zapata aislada restringe los desplazamientos pero no garantiza una total
restricción de la rotación. Para la unión viga columna, en el enunciado se mencionó que se
podía suponer como articulado dicha unión.
La siguiente gráfica muestra como actúan las columnas:
L
546L k
6 m 6 m
546L k
PESO PROPIO
q = 0.97 t/m
(546L+102) k (546L+102) k
750 k/m3
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
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Como existe simetría geométrica como simetría de cargas, solo se analizara una columna,
ya que la otra deberá ser exactamente igual.
Ahora el siguiente paso es establecer la carga admisible de la columna dato: 1515 cm y 6
metros de longitud efectiva (igual a la longitud real debido a que k es igual a 1), y
perteneciente al Grupo B. Para el valor de la carga admisible de una manera rápida se
puede usar las tablas o graficas de diseño de columnas (ver Anexo del Cáp. 4).
Usando la grafica de diseño correspondiente al Grupo B y a la escuadría: 1515 cm:
GRAFICA PARA DISEÑO DE COLUMNAS - GRUPO B
0.00
5 000.00
10 000.00
15 000.00
20 000.00
25 000.00
30 000.00
35 000.00
40 000.00
2 3 4 5 6 7
LONGITUD EFECTIVA (metros)
CA
PAC
IDA
D D
E C
AR
GA
(kilo
gram
os)
10*1010*1510*2015*1515*2015*25
ESCUADRIAS
3450
GRAFICA PARA DISEÑO DE COLUMNAS - GRUPO B
0.00
5 000.00
10 000.00
15 000.00
20 000.00
25 000.00
30 000.00
35 000.00
40 000.00
2 3 4 5 6 7
LONGITUD EFECTIVA (metros)
CA
PAC
IDA
D D
E C
AR
GA
(kilo
gram
os)
10*1010*1510*2015*1515*2015*25
ESCUADRIAS
GRAFICA PARA DISEÑO DE COLUMNAS - GRUPO B
0.00
5 000.00
10 000.00
15 000.00
20 000.00
25 000.00
30 000.00
35 000.00
40 000.00
2 3 4 5 6 7
LONGITUD EFECTIVA (metros)
CA
PAC
IDA
D D
E C
AR
GA
(kilo
gram
os)
10*1010*1510*2015*1515*2015*25
ESCUADRIAS
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA92
Entonces:
Nadm = 3450 = 546L+102
L = 6.13 metros
Aproximadamente: la longitud de la viga no debe exceder de 6 metros para que las
columnas RESISTAN.
Ejemplo 4:
Para la columna mostrada en la siguiente figura se pide determinar la escuadría para que
resista la solicitación actuante. Considerar para el diseño que la longitud efectiva es igual a
la longitud no arriostrada. Diseñar el miembro para la especie verdolago.
10 cm4 m
20 ton
DE la grafica se aprecia que la carga axial es de 20 toneladas, y debido a la excentricidad
de 10 cm, genera un momento igual a 2000 kg.m., por lo tanto diseñar a flexocompresión.
El Verdolago corresponde a una madera del Grupo B; por lo tanto:
Grupo B
Asumir una sección:
Predimensionando solo con la carga axial (con ábacos o tablas), una sección de 20×20
cumple, entonces:
cf 110 k/cm2
mf 150 k/cm2
E 75000 k/cm2
Base (b) = 20 cm
Altura (h) = 20 cm
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA93
Se tiene una esbeltez igual a: 2020
400
d
L
Como es mayor que 10 la columna no es corta.
De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo B vale 18.34.
Como es mayor que 10 y mayor a 18.34, pero menor que 50, la columna es larga.
La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna
larga es:
2admAE
329.0N
k2467520
2075000329.0N
2
2
adm
Lo que sigue es hallar el factor de magnificación de momentos Km.:
Donde: Ncr es la carga critica de Euler:
El modulo resistente de la sección es:
cr
m
NN
5.11
1k
2ef
2
crL
IEN
k03.6168540012
2075000N
2
42
cr
947.1
03.61685
200005.11
1k m
332
cm33.13336
20
6
hbZ
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA94
Verificando a la flexocompresión:
Entonces aumentamos la sección:
Se tiene una esbeltez igual a: 1625
400
d
L
Como es mayor que 10 la columna no es corta.
De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo B vale 18.34.
Como es mayor que 10 y menor a 18.34, la columna es intermedia.
La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna
intermedia es:
4
kcadm C3
11AfN
k95.5548434.18
16
3
11)2525(110N
4
adm
Lo que sigue es hallar el factor de magnificación de momentos Km:
Donde: Ncr es la carga critica de Euler:
1fZ
Mk
NN
m
m
adm
FALLA176.215033.1333
200000947.1
24675
20000
Base (b) = 25 cm
Altura (h) = 25 cm
cr
m
NN
5.11
1k
2ef
2
crL
IEN
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA95
El modulo resistente de la sección es:
Verificando a la flexocompresión:
Por lo tanto la sección de 25×25 resiste las solicitaciones externas.
Ejemplo 5:
En la siguiente figura se ilustra una condición de carga para un miembro de la cuerda
inferior de una armadura. La sección de el miembro es de 7.5×15 cm, y la madera utilizada
es para su construcción es Quebracho. Se pide analizar el miembro y determinar si es
adecuado para las condiciones de carga mostradas.
1 t1 t
10 t10 t
4 m
1 m 1 m
k21..15059840012
2575000N
2
42
cr
249.1
21.150598
200005.11
1k m
332
cm17.26046
25
6
hbZ
1fZ
Mk
NN
m
m
adm
CUMPLE1999.015017.2604
200000249.1
95.55484
20000
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
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Solución:
El elemento esta sometido a flexotracción, para lo cual se debe verificar que:
El Quebracho corresponde a una madera del Grupo A; por lo tanto:
Grupo A
Sección
La tracción actuante es:
k10000N
El momento actuante máximo en el miembro es:
kcm100000mk100011000aPMmax
El modulo resistente de la sección es :
Verificando la relación del elemento a flexotracción:
1fZ
M
fAN
mt
tf 145 k/cm2
E 95000 k/cm2
800 k/m3
mf 210 k/cm2
Base (b) = 7.5 cm
Altura (h) = 15 cm
322
cm25.2816
155.7
6
hbZ
1fZ
M
fAN
mt
!CUMPLE168.021025.281
100000145155.7
10000
ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA97
EJERCICIO PROPUESTO.-
En la lectura de capítulo dar especial importancia a los siguientes conceptos:
Compresión Axial
Flexocompresión
Flexotracción
Longitud efectiva - Esbeltez
Postes
PROBLEMAS PROPUESTOS.-
Diseñar una columna circular que soportará un tanque de agua de hormigón armado
de 5 metros cúbicos de capacidad. Considerar el espesor de las paredes del tanque
como constante y de 7.5 centímetros. La altura a la que se encontrará el tanque será
de 5 metros.
Realizar una planilla electrónica (tipo Excel) de diseño para los diferentes grupos
de maderas utilizando secciones circulares.
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