DISEDISEÑO DE EXPERIMENTOSÑO DE EXPERIMENTOS
Ing. Felipe Llaugel
Análisis de Varianza
Ing. Felipe Llaugel
ANALISIS DE VARIANZA
Este método se emplea para analizar experimentos mas complicados que el ejemplo anterior. La mayoría de los experimentos de la vida real, requieren del estudio de mas de dos tratamientos, y en esos casos hay que usar de herramientas mas poderosas de análisis.
Para mostrar la utilización del análisis de varianza, analicemos el siguiente ejemplo.
Ing. Felipe Llaugel
Se desea determinar que efecto tiene en la resistencia a la tensión, el porcentaje de algodón contenido en una fibra textil. Para esto se desea tomar 5 muestras de fibras con los siguientes contenidos de algodón: 15%, 20%, 25%, 30% y 35% respectivamente.
Antes de tomar las muestras, para garantizar la minimizacion del error de medición, se decidió aleatorizar el orden en el que se probarían las muestras, según como se indica en la siguiente tabla:
ANALISIS DE VARIANZA
Ing. Felipe Llaugel
ORDEN DE MUESTREO PARA PRUEBA DE TENSIONDE FIBRAS TEXTILES
Numerode
Orden
Porcentajede
algodón
Numerode
Orden
Porcentajede
algodón
Numerode
Orden
Porcentajede
algodón
1 20 9 25 17 352 30 10 30 18 253 20 11 20 19 154 35 12 15 20 255 30 13 25 21 356 15 14 20 22 307 25 15 15 23 358 20 16 35 24 30
25 15
Ing. Felipe Llaugel
RESISTENCIA A LA TENSION DE FIBRA TEXTIL(Lb/Pulg.2)
Observaciones
% deAlgodón 1 2 3 4 5 Total Promedio
15 7 7 15 11 9 49 9.820 12 17 12 18 18 77 15.425 14 18 18 19 19 88 17.630 19 25 22 19 23 108 21.635 7 10 11 15 11 54 10.8
376 15.04
Ing. Felipe Llaugel
TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA
Donde:
a = Numero de TratamientosN = Numero de Observaciones
Fuentede
Variación
Sumade
Cuadrados
Gradosde
LibertadCuadradoPromedio F0
Entretratamientos
SStratamiento a - 1 MStratamiento MStratamiento/MSe
Dentro delTratamiento
SSe N - a MSe
Total SSt N - 1
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ANALISIS ESTADISTICO
El modelo a utilizar es el siguiente:yij = + i+ ij
Donde:
yij = Es la observación j del tratamiento i. = Es el promedio general. i = Es el efecto del tratamiento i. ij = El error aleatorio del experimento.
Llamemos:
i ijj
n
y y.
1entonces i
iy yn.
. i = 1,2,..., a
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ANALISIS ESTADISTICO
....y yN ..
..y yNentonces
N = an
t ijj
n
i
a
SS y y ( )
..
2
11
tratamientoi
a
SSy yin N
. ..
2
1
2
tratamientotrtamientoMS SSa
1
SSSSSS otratamientte e
eMS SSN a
0F MSMStratamiento
e
Luego:
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ANALISIS ESTADISTICO
Decimos que hay diferencia entre los tratamientos si:
Para nuestro ejemplo:
0 1F F a N a , ,
SSt = (7)2 + (7)2 +....+(15)2 + (11)2 - ((376)2/25) =
636.96
SStratamiento = ((49)2 + ... + (54)2)/5 - (376)2/25 = 475.76
SSe = SSt - SStratamiento = 636.96 - 475.76 = 161.20
MS tratamiento = 475.76 / 4 = 118.94
MS e = 161.20 / 20 = 8.06
F 0 = 118.94 / 8.06 = 14.76
Ing. Felipe Llaugel
ANALISIS ESTADISTICO
Buscando en la tabla del estadístico F, para = 0.05,
y 4 y 20 grados de libertad tenemos que F ,a-1,N-a = F
0.05,4,20 = 2.87, lo que indica que hay diferencia entre
los tratamientos y por lo tanto la fibra textil con el
30% de algodón es mas resistente que las demás.
Ing. Felipe Llaugel
ESTIMACION DE PARAMETROS DEL MODELO
Recordando el modelo en que se basa el análisis de varianza:
yij = + i+ ij
se pueden estimar los parámetros de este modelo de la siguiente manera:
o sea, el gran promedio es el mejor estimador de
este es el mejor estimador del efecto del tratamiento i
..
y
i iy y
. ..
Ing. Felipe Llaugel
Usando estas ecuaciones tenemos que el estimador de la gran media es: 376/25 = 15.04 y los estimadores para cada uno de los tratamientos son:
= 9.80 - 15.04 = -5.24
= 15.4 - 15.04 = + 0.36
= 17.6 - 15.04 = - 2.56
= 21.6 - 15.04 = + 6.56
= 10.8 - 15.04 = - 4.24
1
2
3
4
5
ESTIMACION DE PARAMETROS DEL MODELO
Ejercicio 3.1 con MINITAB (1 de 9)Ejercicio 3.1 con MINITAB (1 de 9)
Ejercicio 3.1 con MINITAB (2 de 9)Ejercicio 3.1 con MINITAB (2 de 9)
Ejercicio 3.1 con MINITAB (3 de 9)Ejercicio 3.1 con MINITAB (3 de 9)
Ejercicio 3.1 con MINITAB (4 de 9)Ejercicio 3.1 con MINITAB (4 de 9)
Ejercicio 3.1 con MINITAB (5 de 9)Ejercicio 3.1 con MINITAB (5 de 9)
Ejercicio 3.1 con MINITAB (6 de 9)Ejercicio 3.1 con MINITAB (6 de 9)
Ejercicio 3.1 con MINITAB (7 de 9)Ejercicio 3.1 con MINITAB (7 de 9)
Ejercicio 3.1 con MINITAB (8 de 9)Ejercicio 3.1 con MINITAB (8 de 9)
Ejercicio 3.1 con MINITAB (9 de 9)Ejercicio 3.1 con MINITAB (9 de 9)
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Los señores Kruskal y Wallis en 1952, idearon un método que permite verificar la hipótesis nula de que las medias de los resultados de los tratamientos son iguales, contra la hipótesis alternativa, indicando que son diferentes.
METODOS NO PARAMETRICOS
LA PRUEBA DE KRUSKAL-WALLIS
En situaciones cuando la condición de normalidad en la distribución de los residuos no esta presente, la prueba F del análisis de varianza no brinda resultados satisfactorios. En estos casos se recurre a métodos alternativos para verificar si existe o no diferencia entre los tratamientos usado estadísticas no parametricas.
Ing. Felipe Llaugel
METODOS NO PARAMETRICOS
PASOS PARA APLICAR EL MÉTODO DE KRUSKAL-WALLIS
Ordenar las observaciones yij en orden ascendente.
Asígnele a cada observación un numero de orden Rij comenzando con el 1 en la observación mas pequeña. En caso de empate, asígnele un número de orden promedio a cada una de las observaciones empatadas.
Hagamos Ri. la suma de los números de orden en el tratamiento I, entonces el estadístico H es:
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METODOS NO PARAMETRICOS
PASOS PARA APLICAR EL MÉTODO DE KRUSKAL-WALLIS
donde ni es el numero de observaciones en el
tratamiento i , N es el número total de observaciones, y S2 es :
HS
Rn
N Ni
ii
a
1
42
2 2
1
1. ( )
2 2
11
2
1
1 4
1S R
N NN
nij
ji
a i
( )
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METODOS NO PARAMETRICOS
PASOS PARA APLICAR EL MÉTODO DE KRUSKAL-WALLIS
Nótese que S2 es la varianza de los números de orden. Si no hay empates, S2=N(N+1)/12, y el estadístico H se simplifica a:
HN N
Ni
ii
a Rn
12
13 1
2
1( )( ).
Si ni es mayor o igual a 5, entonces H se distribuye aproximadamente como una distribución . La hipótesis nula será aceptada si
,a 1
2
Ha
, 1
2
Ing. Felipe Llaugel
EJEMPLO
Asignación de números de orden a resultados de prueba de tensión
para fibras textilesPORCENTAJE DE ALGODÓN
15 20 25 30 35y1j R1j y2j R2j y3j R3j y4j R4j y5j R5j
7 2.0 12 9.5 14 11.0 19 20.5 7 2.07 2.0 17 14.0 18 16.5 25 25.0 10 5.0
15 12.5 12 9.5 18 16.5 22 23.0 11 7.011 7.0 18 16.5 19 20.5 19 20.5 15 12.59 4.0 18 16.5 19 20.5 23 24.0 11 7.0
Ri. 27.5 66.0 85.0 113.0 33.5
METODOS NO PARAMETRICOS
PASOS PARA APLICAR EL MÉTODO DE KRUSKAL-WALLIS
Ing. Felipe Llaugel
Aplicando las ecuaciones anteriores tenemos:
y
Dado que que es menor que H, concluimos que la prueba dice que hay diferencia entre los tratamientos.
2
2
1
245497 79
25
453 03
26S
. .
( )H
1
53 035245 0
25
419 25
2
26.
. .( )
0 01 4
213 28
. ,.
METODOS NO PARAMETRICOS
PASOS PARA APLICAR EL MÉTODO DE KRUSKAL-WALLIS
Ejercicio 3.10.1 con MINITAB (1 de 3)Ejercicio 3.10.1 con MINITAB (1 de 3)
Ejercicio 3.10.1 con MINITAB (2 de 3)Ejercicio 3.10.1 con MINITAB (2 de 3)
Ejercicio 3.10.1 con MINITAB (3 de 3)Ejercicio 3.10.1 con MINITAB (3 de 3)