Distribuciones discretas
MSc Edgar Madrid Cuello.
Dpto de Matemática, UNISUCREEstadística I
2017
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 1 / 15
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADHIPERGEOMÉTRICA [2]
De�nición
1 Los resultados de cada ensayo de un experimento se clasi�can en doscategorías exclusivas: éxito o fracaso.
2 La variable aleatoria es el número de éxitos de un número �jo deensayos.
3 Los ensayos no son independientes.
4 Los muéstreos se realizan con una población �nita sin reemplazo y n/N> 0.05. Por lo tanto, la probabilidad de éxito cambia en cada ensayo.
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De�nición (distribución hipergeométrica[1])
Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución hipergeometrica deparámetro n R y N , si su función de másica de probabilidad está dada por:
f(x) =
(Rx
)(N−Rn−x
)(Nn
) si x = 0, 1, · · · , n
0 e.c.o.c
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De�nición (distribución hipergeométrica[1])
Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución hipergeometrica deparámetro n R y N , si su función de másica de probabilidad está dada por:
f(x) =
(Rx
)(N−Rn−x
)(Nn
) si x = 0, 1, · · · , n
0 e.c.o.c
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Ejemploa Un equipo de trabajo, establecido por el ministerio del medio ambiente,programó visitas a 25 fábricas para investigar posibles violaciones a losreglamentos para el control de la contaminación ambiental. Sin embargo,los recortes presupuéstales han reducido drásticamente el tamaño delequipo de trabajo, por lo que, solamente se podrán investigar 5 de las 25fábricas. Si se sabe que 10 de las fábricas están operando sin cumplir losreglamentos, calcule la probabilidad de que al menos una de las fábricasmuestreadas esté operando en contravención a los reglamentos. [1]
aEjemplo 3.17
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Teorema
Sea X ∼ Hg(n,R,N), entonces:
1 E(x) =nR
N
2 V ar(X) = n× R
N× N −R
N× N − nN − 1
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Ejemplo
Blackjack, o veintiuno, como se le suele llamar, es un popular juego deapuestas en los casinos de Las Vegas. A un jugador se le reparten doscartas. Las �guras (sotas, reinas y reyes) y los 10 valen 10 puntos. Losases valen 1 u 11. Una baraja de 52 cartas tiene 16 cartas que valen 10(sotas, reinas, reyes y dieces) y cuatro ases. [3]
¾Cuál es la probabilidad de que las dos cartas repartidas sean ases ocartas que valgan 10 puntos?
¾De que las dos cartas sean ases?
¾De que las dos cartas valgan 10?
Figure: dd
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Ejemplo
Un blackjack es una carta de 10 puntos y un as que suman 21. Usesus respuestas a los incisos a, b y c para determinar la probabilidad deque a un jugador se le reparta blackjack. (Indicación: El inciso c no esun problema hipergeométrico. Desarrolle su propio razonamientológico para combinar las probabilidades hipergeométricas de los incisosa, b y c para responder esta pregunta.)
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distribución Poisson
De�nición (EXPERIMENTO DE PROBABILIDAD DE POISSON)
1 La variable aleatoria es el número de veces que ocurre un eventodurante un intervalo de�nido.
2 La probabilidad de que ocurra el evento es proporcional al tamaño delintervalo.
3 Los intervalos no se superponen y son independientes.
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distribución Poisson
De�nición (EXPERIMENTO DE PROBABILIDAD DE POISSON)
1 La variable aleatoria es el número de veces que ocurre un eventodurante un intervalo de�nido.
2 La probabilidad de que ocurra el evento es proporcional al tamaño delintervalo.
3 Los intervalos no se superponen y son independientes.
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distribución Poisson
De�nición (EXPERIMENTO DE PROBABILIDAD DE POISSON)
1 La variable aleatoria es el número de veces que ocurre un eventodurante un intervalo de�nido.
2 La probabilidad de que ocurra el evento es proporcional al tamaño delintervalo.
3 Los intervalos no se superponen y son independientes.
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Distribuciones Discretas
De�nición (distribución Poisson)
Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución Poisson deparámetro λ > 0, si su función de másica de probabilidad está dada por:
fX(x) =
λx
x!e−λ si x = 0, 1, · · ·
0 e.c.o.c
La función de una distribución de Poisson tiene la forma que presenta la�gura 1.
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Distribuciones Discretas
De�nición (distribución Poisson)
Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución Poisson deparámetro λ > 0, si su función de másica de probabilidad está dada por:
fX(x) =
λx
x!e−λ si x = 0, 1, · · ·
0 e.c.o.c
La función de una distribución de Poisson tiene la forma que presenta la�gura 1.
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Distribuciones Discretas
De�nición (distribución Poisson)
Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución Poisson deparámetro λ > 0, si su función de másica de probabilidad está dada por:
fX(x) =
λx
x!e−λ si x = 0, 1, · · ·
0 e.c.o.c
La función de una distribución de Poisson tiene la forma que presenta la�gura 1.
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0 1 2 3 4 5 6
0.05
0.10
0.15
0.20
Distribuciónde Poisson, lamda=3
Pro
babi
lidad
●
●
● ●
●
●
●
Figure: 1
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Ejemplo
Sea X el número de personas de usan tarjeta de crédito en una tiendadurante un periodo determinado. Suponga que X tiene una distribución dePoisson con λ = 4.5, así que en promedio las compras con tarjeta serán 4.5personas. La probabilidad de que una tienda hayan usado tarjetaexactamente cinco personas es esa
P (X = 5) =e−4.54.55
5!
La probabilidad de que una tienda cuando mucho cinco tarjeta habientes es:
P (X ≤ 5) =
5∑x=0
e−4.54.5x
x!
aAdaptado de Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Jay L.
Devore, Séptima edición, 2008
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Ejemplo
Sea X el número de personas de usan tarjeta de crédito en una tiendadurante un periodo determinado. Suponga que X tiene una distribución dePoisson con λ = 4.5, así que en promedio las compras con tarjeta serán 4.5personas. La probabilidad de que una tienda hayan usado tarjetaexactamente cinco personas es esa
P (X = 5) =e−4.54.55
5!
La probabilidad de que una tienda cuando mucho cinco tarjeta habientes es:
P (X ≤ 5) =
5∑x=0
e−4.54.5x
x!
aAdaptado de Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Jay L.
Devore, Séptima edición, 2008
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Ejemplo
Sea X el número de personas de usan tarjeta de crédito en una tiendadurante un periodo determinado. Suponga que X tiene una distribución dePoisson con λ = 4.5, así que en promedio las compras con tarjeta serán 4.5personas. La probabilidad de que una tienda hayan usado tarjetaexactamente cinco personas es esa
P (X = 5) =e−4.54.55
5!
La probabilidad de que una tienda cuando mucho cinco tarjeta habientes es:
P (X ≤ 5) =
5∑x=0
e−4.54.5x
x!
aAdaptado de Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Jay L.
Devore, Séptima edición, 2008
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 12 / 15
Ejemplo
Sea X el número de personas de usan tarjeta de crédito en una tiendadurante un periodo determinado. Suponga que X tiene una distribución dePoisson con λ = 4.5, así que en promedio las compras con tarjeta serán 4.5personas. La probabilidad de que una tienda hayan usado tarjetaexactamente cinco personas es esa
P (X = 5) =e−4.54.55
5!
La probabilidad de que una tienda cuando mucho cinco tarjeta habientes es:
P (X ≤ 5) =
5∑x=0
e−4.54.5x
x!
aAdaptado de Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Jay L.
Devore, Séptima edición, 2008
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 12 / 15
Ejemplo
Sea X el número de personas de usan tarjeta de crédito en una tiendadurante un periodo determinado. Suponga que X tiene una distribución dePoisson con λ = 4.5, así que en promedio las compras con tarjeta serán 4.5personas. La probabilidad de que una tienda hayan usado tarjetaexactamente cinco personas es esa
P (X = 5) =e−4.54.55
5!
La probabilidad de que una tienda cuando mucho cinco tarjeta habientes es:
P (X ≤ 5) =
5∑x=0
e−4.54.5x
x!
aAdaptado de Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Jay L.
Devore, Séptima edición, 2008
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Suponga que en la función masa de probabilidad binomial binom(x, n, p),si n −→∞ y p −→ 0 de tal modo que np tienda a un valor λ > 0.Entonces b(x, n, p) −→ p(x, λ)
De acuerdo con esta proposición, en cualquier experimento binomial en elcual n es grande y p es pequeña, binom(x, n, p) ' pois(x;λ), donde = np.Como regla empírica, esta aproximación puede ser aplicada con seguridad sin > 50 y np < 5.
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Suponga que en la función masa de probabilidad binomial binom(x, n, p),si n −→∞ y p −→ 0 de tal modo que np tienda a un valor λ > 0.Entonces b(x, n, p) −→ p(x, λ)
De acuerdo con esta proposición, en cualquier experimento binomial en elcual n es grande y p es pequeña, binom(x, n, p) ' pois(x;λ), donde = np.Como regla empírica, esta aproximación puede ser aplicada con seguridad sin > 50 y np < 5.
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Teorema (propiedades de la distribución Poisson)
Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro λentonces:
1 µX = E (X )= λ
2 σ2X = V ar (X )= λ
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Teorema (propiedades de la distribución Poisson)
Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro λentonces:
1 µX = E (X )= λ
2 σ2X = V ar (X )= λ
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 14 / 15
Bibliografía
Blanco, Liliana, Probabilidad, segunda edicion, Universidad Nacional deColombia, Bogotá, DC, 2010.
Lind, D.A. and Marchal, W.G. and Wathen, S.A. Estadística aplicada alos negocios y a la economía, 15 edición, McGraw-Hill, Mexico, DF,2005
Anderson, David R.,Dennis J. Sweeney y Thomas A. WilliamsEstadística para administración y economía, 10a. ed., CengageLearning, México,DF, 2008
Devore, J. Probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias, 7a.ed., Cengage Learning, México,DF, 2008
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 15 / 15
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