Senales sinusoidales y el concepto de frecuenciaAnalisis de Fourier
Muestreo
Dominio de la frecuencia: Conceptos basicosLeccion 06.1
Dr. Pablo Alvarado Moya
CE5201 Procesamiento y Analisis de Imagenes DigitalesArea de Ingenierıa en Computadores
Tecnologico de Costa Rica
I Semestre, 2017
P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 1 / 40
Senales sinusoidales y el concepto de frecuenciaAnalisis de Fourier
Muestreo
Contenido
1 Senales sinusoidales y el concepto de frecuenciaSenal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
2 Analisis de FourierEspacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
3 Muestreo
P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 2 / 40
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Muestreo
Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
Senal sinusoidal continua
Oscilacion armonica:
xa(t) = A cos(Ωt + θ), −∞ < t <∞
conΩ = 2πF
xa(t) = A cos(2πFt + θ), −∞ < t <∞ .
Ω: Frecuencia angular
F : Frecuencia hertziana
P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 3 / 40
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Muestreo
Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
PeriodicidadSenal sinusoidal continua
Si F es constante, entonces xa es periodica
xa(t + Tp) = xa(t)
con perıodo fundamental Tp = 1/F .
0
A cos θ
A
x(t)
t
Tp = 1/F
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Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
Senal sinusoidal discreta
La senal sinusoidal en tiempo discreto se expresa como
x(n) = A cos(ωn + θ), −∞ < n <∞
y con ω = 2πf
x(n) = A cos(2π f n + θ), −∞ < n <∞ .
Dimensiones de f : ciclos por muestra.
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Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
Frecuencia en senal discreta
Ejemplo ω = π/6 y θ = π/6:
x(n)
n
P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 6 / 40
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Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
Periodicidad de un sinusoide discreto
Senal x(n) periodica con periodo N sii
x(n + N) = x(n) para todo n
Una senal sinusoidal de frecuencia f0 es periodica si
cos (2π f0(N + n) + θ) = cos (2π f0n + θ)
lo que se cumple solo si existe un entero k tal que
2π f0 N = 2kπ
o, en otros terminos, f0 es el numero racional
f0 =k
N
de periodo N si k y N son enteros primos relativos.P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 7 / 40
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Muestreo
Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
x(n)x(n)
nn
x(n)x(n)
nn
f = 5/32, N = 32 f = 4/32, N = 8
P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 8 / 40
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Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
Equivalencia de frecuencias en sinusoides discretos
cos ((ω0 + 2π)n + θ) = cos(ω0n + 2πn + θ) = cos(ω0n + θ)
xk(n) = A cos(ωkn + θ), k = 0, 1, 2, . . .
ωk = ω0 + 2kπ
Rango |ω| ≤ π (o |f | ≤ 12 ) es de frecuencias fundamentales
Frecuencias |ω| > π (o |f | > 12 ) son alias.
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Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
Equivalencia de frecuenciasSinusoides continuos y discretos
cos(2πfn)!
= cos(2πFt)|t=nTs
2πfn!
= 2πFnTs
f =F
Fs
ω = 2πΩ
Ωs
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Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
Tasa maxima de oscilacion
x(n)
n
x(n)
n
x(n)
n
ω0 = 0 (f = 0) ω0 = π/6 (f = 1/12) ω0 = π/3 (f = 1/6)
x(n)
n
x(n)
n
ω0 = π/2 (f = 1/4) ω0 = π (f = 1/2)
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Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
Tasa maxima de oscilacion
Sea x0(n) = cos(ω0n) con ω0 ∈ [0, π]
Sea ω1 = 2π − ω0.
Si ω0 ∈ [0, π] entonces ω1 ∈ [π, 2π] de tal forma quesi ω0 aumenta ω1 disminuye.
Debido a que
x1(n) = A cos(ω1n) = A cos((2π−ω0)n) = A cos(−ω0n) = x0(n)
la frecuencia angular ω1 es un alias de ω0.
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Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
Concepto de frecuencia negativa
Im
Re
r
ωt
−ωt
x(n) = A cos(ωn + θ) =A
2e j(ωn+θ) +
A
2e−j(ωn+θ)
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Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
Rango valido de frecuencias
Todas las frecuencias en un intervalo [ω0, ω0 + 2π] representantodas las frecuencias existentes para senales discretas.
Usualmente se utilizan los rangos de frecuencias angularesω ∈ [−π, π] (f ∈ [−1
2 ,12 ]) o ω ∈ [0, 2π] (f ∈ [0, 1]) y reciben
el nombre de rango fundamental.
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Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
Frecuencia en el tiempo
Frecuencia herziana F : Ciclos por unidad de tiempo
f (t) = cos(2πFt)
Frecuencia herziana normalizada f : Ciclos por muestra
f (n) = cos(2πfn)
Frecuencia angular Ω: Radianes por unidad de tiempo
f (t) = cos(Ωt)
Frecuencia angular normalizada ω: Radianes por muestra
f (n) = cos(ωn)
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Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
Frecuencia espacial
Senal senoidal en el espacio continuo
x(s) = A cos(2πFs + θ) = A cos(Ωs + θ), −∞ < s <∞Senal senoidal en el espacio discreto
x(n) = A cos(2πfn + θ) = A cos(ωn + θ), −∞ < n <∞
0
A cos θ
A
x(t)
t
Tp = 1/F
x(n)
n
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Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
Unidades de la frecuencia espacial
Frecuencia herziana F : Ciclos por unidad de longitud
f (s) = cos(2πFs)
Frecuencia herziana normalizada f : Ciclos por muestra
f (n) = cos(2πfn)
Frecuencia angular Ω: Radianes por unidad de longitud
f (s) = cos(Ωs)
Frecuencia angular normalizada ω: Radianes por muestra
f (n) = cos(ωn)
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Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
Frecuencia horizontal
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Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
Frecuencia horizontal
f =6 ciclos
256 px
= 0, 0234 ciclos/px
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Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
Espacios lineales
Analisis de Fourier se basa en concepto de espacios lineales
Funciones equivalen a vectores en un espacio lineal de infinitasdimensiones.
Con imagenes: espacio de interes es finito con todas lasimagenes de un tamano R × C particular,
Dos operaciones:1 Suma de funciones f (t) + g(t)2 Producto escalar af (t)
Repasar lecciones 13 y 14 de “Modelos de Sistemas”
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Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
Cambio de sistema de referencia
u1
u2
u′1
u′2
a1
a2
a′1
a′2
xx
ai a′i
1 2 1 2ii
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Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
Multiples representaciones de un vector
El mismo vector x tiene distintas representaciones:
x = [a1, a2]T si se usa base u1,u2x = [a′1, a
′2]T si se usa base u′1,u′2
. . .
Multiples representaciones
El mismo vector x tiene distintas representaciones, dependiendo dela base utilizada
Sıntesis a partir de componentes:
x =∑i
aiui
Analisis a partir del vector y la base
ai =〈ui , x〉‖ui‖2
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Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
Extension del concepto a funciones
Igual que para vectores, una funcion tiene diferentesrepresentaciones, dependiendo de la base utilizada.
Series generalizadas de Fourier
Sıntesis x(t) =∑k
ckuk(t)
Analisis ck =〈uk(t), x(t)〉‖uk(t)‖2
Analisis de Fourier: base compuesta por exponencialescomplejas
Wavelets proveen otras bases
De moda: bases dispersas
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Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
Analisis de Fourier
Herramienta Tiempo Espectro
tiempo periodo frecuencia periodo
Series continuo periodica discreta aperiodica
Transformada continuo aperiodica continua aperiodica
Series discreto periodica discreta periodica
Transformada discreto aperiodica continua periodica
periodico ←→ discretoaperiodico ←→ continuo
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Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
Base funcional en el analisis de Fourier
Herramienta base funcional
Series en tiempo continuo e jkΩ0t k ∈ Z, t ∈ IRPeriodo Tp = 2π
Ω0
Transformada en tiempo continuo e jΩt Ω ∈ IR, t ∈ IR
Series en tiempo discreto e j2πk(1/N)n k ∈ Z, n ∈ ZPeriodo N
Transformada en tiempo discreto e jωn n ∈ Z, ω ∈ IR
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Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
Sıntesis y analisis
Herramienta Sıntesis / Trans. Inversa Analisis / Trans. DirectaSeriestiempocontinuo
x(t) =∞∑
k=−∞cke
jΩ0kt ck =1
Tp
∫ t0+Tp
t0
x(t)e−jΩ0kt dt
t ∈ [0,Tp] k = −∞ . . .∞Transformadatiempocontinuo
x(t) =1
2π
∫ ∞−∞
X (Ω)e jΩt dΩ X (Ω) =
∫ ∞−∞
x(t)e−jΩt dt
t ∈ [−∞,∞] Ω = −∞ . . .∞Seriestiempodiscreto
x(n) =N−1∑k=0
ckej2πkn/N ck =
1
N
N−1∑n=0
x(n)e−j2πkn/N
n = 0 . . .N − 1 k = 0, 1, . . . ,N − 1Transformadatiempodiscreto
x(n) =1
2π
∫ π
−πX (ω)e jωn dω X (ω) =
∞∑n=−∞
x(n)e−jωn
n = −∞ . . .∞ ω ∈ [−π, π]
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Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
Transformada Discreta de Fourier
Senales discretas aperiodicas espectro periodico continuo
Transformada Discreta de Fourier (TDF o DFT)
Senales discretas aperiodicas espectro periodico discreto
DFT permite utilizar medios digitales para procesamiento espectral.
P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 26 / 40
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Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
¿Como se obtiene DFT?
Dos enfoques:
1 Discretizacion del espectro por muestreo
2 Continuacion periodica de la senal
ambas condiciones son mutuamente dependientes.
P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 27 / 40
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Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
DFT
La transformada discreta de Fourier DFT:
X (k) =N−1∑n=0
x(n)e−j2πkn/N , k = 0, 1, . . . ,N − 1
La transformada discreta de Fourier inversa (IDFT):
x(n) =1
N
N−1∑k=0
X (k)e j2πkn/N , n = 0, 1, . . . ,N − 1
P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 28 / 40
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Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
Transformada de Fourier enmultiples dimensiones
P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 29 / 40
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Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
Definicion de producto interno
En caso de una dimension:
〈f (x), g(x)〉 =
∫ ∞−∞
f ∗(x)g(x) dx∫ ∞−∞|f (x)|2 dx = 〈f (x), f (x)〉 = ‖f (x)‖2
2 <∞
Generalizacion a w dimensiones:
〈f (x), g(x)〉 =
∫ ∞−∞
f ∗(x)g(x) dwx∫ ∞−∞|f (x)|2 dwx = 〈f (x), f (x)〉 = ‖f (x)‖2
2 <∞
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Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
Base bidimensional
Funciones exponenciales complejas armonicamenterelacionadas en dos dimensiones:
εk,l(x , y) = e j(kΩx 0x+lΩy 0y) = e j2π(kFx 0x+lFy 0y) k , l = 0,±1,±2, . . .
Estas funciones son separables, en el sentido de que
εk,l(x , y) = εk(x)εl(y) = e jkΩx 0xe jlΩy 0y
Estas funciones son ortogonales entre sı
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Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
Herramientas de analisis de Fourier (1)Caso de dos dimensiones
Serie de Fourier continua
u(x , y) =∞∑
l=−∞
∞∑k=−∞
ck,lej(kΩx 0x+lΩy 0y)
ck,l =1
SxSy
∫ y0+Sy
y0
∫ x0+Sx
x0
e−j(kΩx 0x+lΩy 0y)u(x , y) dx dy
P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 32 / 40
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Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
Herramientas de analisis de Fourier (2)Caso de dos dimensiones
Serie de Fourier discreta
u(n,m) =M−1∑l=0
N−1∑k=0
ck,lej2π(kn/N+lm/M)
ck,l =1
NM
M−1∑m=0
N−1∑n=0
u(n,m)e−j2π(kn/N+lm/M)
0 ≤ k < N, 0 ≤ l < M
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Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
Herramientas de analisis de Fourier (3)Caso de dos dimensiones
Transformada de Fourier
U(Ωx ,Ωy ) =
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
u(x , y)e−j(Ωxx+Ωyy) dx dy
u(x , y) =1
4π2
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
U(Ωx ,Ωy )e j(Ωxx+Ωyy) dΩx dΩy
Transformada de Fourier de senales discretas
U(ωx , ωy ) =∞∑
m=−∞
∞∑n=−∞
u(n,m)e−j(ωxn+ωym)
u(n,m) =1
4π2
∫ π
−π
∫ π
−πU(ωx , ωy )e j(ωxn+ωym) dωx dωy
P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 34 / 40
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Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
Herramientas de analisis de Fourier (4)Caso de dos dimensiones
Transformada discreta de Fourier (DFT)
U(k , l) =M−1∑m=0
N−1∑n=0
u(n,m)e−j2π(kn/N+lm/M)
0 ≤ k < N, 0 ≤ l < M
u(n,m) =1
NM
M−1∑l=0
N−1∑k=0
U(k, l)e j2π(kn/N+lm/M)
0 ≤ n < N, 0 ≤ m < M
P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 35 / 40
Senales sinusoidales y el concepto de frecuenciaAnalisis de Fourier
Muestreo
Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
Separabilidad de DFT
DFT-2D es separable
U(k, l) =M−1∑m=0
N−1∑n=0
u(n,m)e−j2π(kn/N+lm/M)
=M−1∑m=0
N−1∑n=0
u(n,m)e−j2π(kn/N)e−j2π(lm/M)
=M−1∑m=0
e−j2π(lm/M)N−1∑n=0
u(n,m)e−j2π(kn/N)
Primero DFT-1D de cada fila
Segundo DFT-1D de cada columna de resultado anterior
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Muestreo
Muestreo
(Gonzalez y Woods, 2008)
P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 37 / 40
Senales sinusoidales y el concepto de frecuenciaAnalisis de Fourier
Muestreo
Patrones de Moire
Productos de interferencia espectral
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Muestreo
Resumen
1 Senales sinusoidales y el concepto de frecuenciaSenal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial
2 Analisis de FourierEspacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional
3 Muestreo
P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 39 / 40
Senales sinusoidales y el concepto de frecuenciaAnalisis de Fourier
Muestreo
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P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 40 / 40
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