68 Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto. Flexin. Prticos
FLEXION. PORTICOS Problema n 27 Dado el prtico de la figura sometido a las cargas indicadas, se pide obtener los diagramas de esfuerzos axiales P(x), esfuerzos cortante V(x) y momentos flectores M(x), acotando sus valores e indicando sus signos en cada tramo.
5 kN/m
A
B C20 kN
4 m
5 m
Solucin: a) Hallemos las reacciones en los apoyos RAx , RAy y RBy.
5 kN/m
A
B C20 kN
4 m
5 m
RAyRAx
RBy
El prtico es una estructura isostticas donde tenemos 3 reacciones y 3 ecuaciones:
Fx = 0 RAx = 20 kN Fy = 0 RAy + RBy = 5 kN/m 5 m = 25 kN
MA = 0 RBy 5 = 20 kN 4m + (5 kN/m 5m) 2,5 m = 142,5 kNm RBy = 28,5 kN Resolviendo el sistema hallamos:
RAx = 20 kN; RAy = -3,5 kN y RBy = 28,5 kN b) Establezcamos el equilibrio en la barra BC
5 kN/m
B
28,5 kN
MABC
RAB
5 kN/m
B
28,5 kN
80kNmC
3,5 kN
Fy = 0 RAB = (5 5) - 28,5 = -3,5 kN
MA = 0 MAB = (5 5) 2,5 - 28,5 5 = - 80 kNm c) Establezcamos el equilibrio en la barra AB Por el principio de accin-reaccin en el nudo B entre las barras AB y BC
RAB = - RBC = 3,5 kN MAB = - MBC = 80 kNm
Anlisis elemental de estructuras. Enfoque prctico. Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto 69
A
B20 kN
20 kN
3,5 kNA
B20 kN80kNm
20 kN
3,5 kN
3,5 kN
MBC
R BC
d) Hallemos los diagramas de axial P(x), cortante V(x) y flector M(x). d.1) Barra AB
A
B
P(x)
3,5
kN
V(x
)20
kN
M(x
)80
kN
m
3,5
kN
20 k
N
20 kN 80kNm
20 kN
3,5 kN
3,5 kN
(x)
d.2) Barra BC
5 kN/m
B
28,5 kN
80kNmC
3,5 kN
-3,5 kN-28,5 kNV(x)
+80 kNmM(x)
(x) Deformada del prtico.
A
B C(x)
El punto C ha sufrido un desplazamiento horizontal a la derecha.
70 Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto. Flexin. Prticos
Problema n 28 Dado el prtico de la figura sometido a una carga puntual P. Hallar los esfuerzos axial P(x) y cortante V(x); y momento flector M(x) y la deformada en C.
A
B C
PLv
Lc
Solucin: a) Hallemos las reacciones en el empotramiento RA y MA .
A
B C
RA
PLv
Lc
MA
BMABP
C= PL
R AB = PA
BMBC
R BC
R A= P
MA= P L
= P L= P
v
v
v
El prtico es una estructura isosttica donde tenemos 2 reacciones y 2 ecuaciones:
Fy = 0 RA = P MA = 0 MA = P Lv
b) Establezcamos el equilibrio en las barras AB y BC b.1) Barra AB
Fy = 0 RBC = RA = P MA = 0 MBC = MA = P Lv
b.2) Barra BC Fy = 0 RAB = P
MA = 0 MAB = P Lv c) Tracemos los diagramas de axial P(x), cortante V(x) y flector M(x).
A
BC
RA
P
MA
V(x)
P
A
B C
RA
P
MA
M(x)A
B C
RA
P
MA
P(x)
PLP v
Anlisis elemental de estructuras. Enfoque prctico. Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto 71
c) Hallemos la deformada en el punto C
A
CP
B
A
B
B B BPL CICII C
LvLc
La deformada en el punto C es C = CI + CII ; donde: CI : Deformacin debida al giro del nudo B (B) producida por el momento MBC = P Lv CII : Deformacin debida a la carga P en el extremo de una barra en voladizo. c.1) Hallemos el giro en el nudo B de la barra AB provocada por el momento MBC = P Lv
Aplicando el 1 teorema de Mohr IELLP CV
B =
c.2) Hallemos la deformacin en el punto C provocada por el giro B Al tratarse de un giro pequeo podemos asimilar el desplazamiento CI como el arco de un ngulo B y radio IE
LLPLL C
2V
VBCIV == c.3) Hallemos la deformacin del punto C provocado por la carga P
Aplicando el 2 teorema de Mohr IE3
LP 3VC =
c.4) Hallemos la deformada en el punto C
IE3LL3
LPIE3
LPIE
LLP VC2V
3VC
2V
CIICIC+=+=+=
72 Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto. Flexin. Prticos
Problema n 29 Dado el prtico isosttico de la figura sometido a las cargas indicadas, se pide obtener los diagramas de esfuerzos axiales P(x), esfuerzos cortante V(x) y momentos flectores M(x), acotando sus valores e indicando sus signos en cada barra.
A
B C
20 kN 4 m
5 m
30 kN
22
2,5 2,5
Solucin: a) Hallemos las reacciones en los apoyos RAx , RAy y RBy.
A
B C
20 kN 4 m
5 m
RAyRAx
RBy
30 kN
El prtico es una estructura isostticas donde tenemos 3 reacciones y 3 ecuaciones:
Fx = 0 RAx = 20 kN Fy = 0 RAy + RBy = 30 kN
MA = 0 RBy 5 = 20 kN 2m +30 kN 2,5 m = 115 kNm RBy = 23 kN Resolviendo el sistema hallamos:
RAx = 20 kN; RAy =7 kN y RBy = 23 kN b) Establezcamos el equilibrio en la barra BC
B C
30 kNMAB
RAB
B C
30 kN40 kNm
23 kN 23 kN7 kN
Fy = 0 RAB= 30 - 23 = 7 kN MA = 0 MAB = 30 2,5 -23 5 = - 40 kNm
c) Establezcamos el equilibrio en la barra AB Por el principio de accin-reaccin en el nudo B entre las barras AB y BC
RAB = - RBC = 7 kN
Anlisis elemental de estructuras. Enfoque prctico. Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto 73
MAB = - MBC = 40 kNm
A
B
20 kN
20 kN A
B40kNm
20 kN
7 kNMBC
RBC 7 kN
20 kN
7 kN
d) Hallemos los diagramas de axial P(x), cortante V(x) y flector M(x).
B
V(x)A
B
M(x)
B
P(x)
A A
CC C
7 kN
20 k
N
23 kN
7 kN
57,5 kNm40 kNm
40 k
Nm
Problema n 30 Dado el prtico de la figura sometido a una carga puntual P, hallar las reacciones.
A
B C
P Lv
Lc
Solucin: Nos hallamos ante una estructura hiperesttica de grado 1, ya que tenemos 3 ecuaciones de equilibrio ( Fx = 0; Fy = 0; M = 0) y 4 reacciones ( RAx ; RAy ; MA y RCy ).
A
B C
RAy
P Lv
Lc
MA
RCy
RAx
A
B C
P Lv
Lc
MAIR AxI
= +
A
B C
RAyII
Lv
Lc
MAII
R CyCaso I Caso II
74 Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto. Flexin. Prticos
a) Establezcamos las ecuaciones de equilibrio. Fx = 0 RAx = P
Fy = 0 RAy = - RCy MA = 0 MA = P Lc - RCy Lv
b) Consideremos el caso hiperesttico como la superposicin de dos casos isostticos. Apliquemos las ecuaciones de comportamiento a ambos casos, y hallemos la deformacin en el punto C I) Caso I
A
B CP
M(x)
A
B C
P
P
P Lc
V(x)
P
A
CP B
A
B
B B BCI
LvLc
En el caso I la deformada en el punto C es CI debida al giro del nudo B (B) producida por la carga P I.1) Hallemos el giro en el nudo B de la barra AB provocada por la carga P.
Aplicando el 1 teorema de Mohr IE2
LP 2CB =
I.2) Hallemos la deformacin en el punto C provocada por el giro B Al tratarse de un giro pequeo podemos asimilar el desplazamiento CI como el arco de un ngulo B y radio Lv IE2
LLPL V
2C
VBCI == II) Caso II
A
B C
M(x)
A
B C
V(x)
A
CB
A
B
B BB
cIIaLvLc
Rcy
Rcy
Rcy
R Lcy v
R Lcy v
Rcy
cIIb cIIR Lcy v
Rcy R
Lcy
v
En el caso II la deformada en el punto C es CII = CIIa + CIIb; donde: CIIa : Deformacin debida al giro del nudo B (B) producida por el momento MBC = Rcy Lv CIIb : Deformacin debida a la carga Rcy en el extremo de una barra en voladizo. Conocemos el valor de esta deformacin
Anlisis elemental de estructuras. Enfoque prctico. Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto 75
IE3LL3
LRIE3
LRIE
LLR VC2VCy
3VCyC
2VCy
bCIIaCIICII+=+=+=
c) Apliquemos la ecuacin de compatibilidad La ecuacin de compatibilidad es que el punto C no sufre desplazamiento alguno en direccin del eje OY
+=+==
)LL3(L2LP3
RIE3LL3
LRIE2LLP
VCV
2C
CyVC2
VCyV
2C
CIICI (Por equilibrio)
)LL3(L2LP3
RR0FVCV
2C
CyAyy +===
)LL3(2LLP2LP3
)LL3(2LP3
LPLRLPM0MVC
VC2
C
VC
2C
CVCyCAA ++=+== =
d) Tracemos los diagramas de cortante V(x) y flector M(x). Por el principio de superposicin las grficas de cortante y flector resultan de la suma de los casos I y II.
A
BP
M(x)
A
B C
V(x)
C
A
CB x
puntoinflexin
(x)
Problema n 31 Sea la estructura de la figura constituida por una viga AB y un cable CD. La viga soporta una carga uniformemente distribuida. Hallar las reacciones, la condicin necesaria para que la deformada de la viga presente puntos de inflexin y las grficas del esfuerzo cortante V(x) y del momento flector M(x).
q(x)
L va a
Lc
A B
C
D
Solucin: Nos hallamos ante una estructura hiperesttica de grado 1, ya que tenemos 2 ecuaciones de equilibrio ( Fy = 0; M = 0) y 3 reacciones (RA ; RB y RC ).
76 Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto. Flexin. Prticos
q(x)
Lv
Lc
A B
C
D
Ra Rb
Rc
q(x)
A B
C
D
I IIIII
a) Establezcamos las ecuaciones de equilibrio. Fy = 0 RA + RB = q Lv - RC
MD = 0 RA = RB b) Consideremos el caso hiperesttico como la superposicin de 3 casos isostticos. Apliquemos las ecuaciones de comportamiento a estos tres casos, y hallemos la deformacin en el punto medio de la viga D.
q(x)
A BD
A BD
Rc C
RcD
Caso I Caso II Caso III La ecuacin de compatibilidad en el punto central de la viga D ser:
IIIIII += donde === AELR
;IE48
LR;
384Lq5 CC
III
3VC
II
4V
I
( )+=+= C3V4
CC
CC3
VC4
V
LI48LA8LIAEq5
RAELR
IE48LR
384Lq5
(Por equilibrio)
( ) ( )
+=+== C3V4
CV
C3
V
4CV
BALI48LA16
LIAE52
Lq
LI48LA16
LIAEq52Lq
RR
c) Condicin para que la deformada presente puntos de inflexin. En el tramo AD las ecuaciones del cortante y del flector son:
xRx2q)x(MyRxq)x(V A
2ADAAD +=+=
La deformada de la viga tendr 2 puntos de inflexin si la ecuacin del flector presenta una
raz en el intervalo AD qR2
q0RR
x;0xa2
ca4bbx A
2AA
2
====
Observemos los siguientes puntos de esta expresin:
( )C3V4
CV
LI48LA8
LIAE5Lx += . Observemos los siguientes puntos de esta expresin:
a) El valor de x no depende de q sino de la geometra de la estructura
b) El trmino ( ) 0LI48LA16 LIAE5 C3V4
C >+ , al ser todos los trminos positivos x < Lv
Anlisis elemental de estructuras. Enfoque prctico. Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto 77
c) Al ser [ ]VA L,0x0xqR2
x >= Para que la deformada tenga puntos de inflexin, x deber pertenecer al intervalo
2
L,0 V
( ) ( ) 2LLI48LA8 LIAE52LLI48LA8 LIAE5LqR2x VC3V4
CV
C3
V
4C
VA >+
78 Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto. Flexin. Prticos
A
B C
RA
5 m
4m
MA
RCA
B C
= +
A
B C
RA
MA
R CCaso I Caso II
5 m
4m
5 m
4m-25C25C -25C25C
a) Establezcamos las ecuaciones de equilibrio.
Fy = 0 RA = - RC MA = 0 MA = 5 RC
b) Consideremos el caso hiperesttico como la superposicin de dos casos isostticos. Apliquemos las ecuaciones de comportamiento a ambos casos, y hallemos la deformacin en el punto C I) Caso I
A
B C
A
CB
A
B
B B BCI
4m-25C25C-
25C
CURVATURA
''(x)= th5m
25C
En el caso I la deformada en el punto C es CI debida al giro del nudo B (B) producida por las diferencias de temperatura en las caras de la columna. I.1) Hallemos el giro en el nudo B de la barra AB provocada por t. La diferencia de temperatura induce una curvatura k:
( ) 3521 103550
3,010TT
h''k
====
Aplicando el 1 teorema de Mohr a la grfica de la curvatura 3CB 10320Lk ==
I.2) Hallemos la deformacin en el punto C provocada por el giro B Al tratarse de un giro pequeo podemos asimilar el desplazamiento CI como el arco de un ngulo B y radio Lv 30
1LVBCI ==
Anlisis elemental de estructuras. Enfoque prctico. Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto 79
II) Caso II
A
B C
M(x)
A
B C
V(x)
A
CB
A
B
B B B
cIIaLvLc
Rc
Rc
R c
R Lc v
R Lc v
Rc
cIIb cIIR Lc v
R
Lc
v
Rc
El momento de inercia de la viga 4433
V m1016124,03,0
12hbI === .
El momento de inercia de la columna 4433
C m10427
123,03,0
12hbI === .
En el caso II la deformada en el punto C es CII = CIIa + CIIb ; donde: CIIa : Deformacin debida al giro del nudo B (B) producida por el momento MBC = Rc Lv CIIb : Deformacin debida a la carga Rc en el extremo de una barra en voladizo. Del problema anterior conocemos el valor de esta deformacin
=+=+=V
3VC
C
C2
VCCIIbCIIaCII IE3
LRIE
LLR [Sustituyendo] C3C R1071,8R34560301 ==
c) Apliquemos la ecuacin de compatibilidad La ecuacin de compatibilidad es que el punto C no sufre desplazamiento alguno
==== kN83,3kN301
1152RR34560
301301
CCCIICI (Por equilibrio) === kN83,3RR0F CAy
=== m.kN14,19m.kN301
5760M0M AA
d) Tracemos los diagramas de cortante V(x) y flector M(x). El caso I no produce esfuerzos internos al tratarse de un caso isosttico, por tanto, slo el caso II provoca esfuerzos internos V(x) y M(x).
A
B C
M(x)
A
B C
V(x)
3,83
3,83
3,83 19,
1
3,8319,1
19,1 e) Trazado de la deformada Al trazar la deformada tenemos que tener en cuenta que en la columna se presentan 2 curvaturas de signo contrario.
80 Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto. Flexin. Prticos
e.1) La producida por la diferencia trmica
( ) 33521 1066,1103550
3,010TT
h''k
=====
e.2) La producida por el momento flector 3
C1042,1
2257532
IEM''k ====
Podemos observar que es mayor la curvatura provocada por la diferencia trmica, por tanto la deformada ser:
A
B C
-25C ''(x)= th25C
A
B C
''(x)= -MEI
+
A
CBx
(x)=
Problema n 33 Sea la estructura de la figura constituida por una viga AB y un cable CD. La viga soporta un incremento de temperatura T1 en su cara superior y T2 en su cara inferior (T2 > T1). Hallar las reacciones y dibujar las grficas del esfuerzo cortante V(x), el momento flector M(x), de la curvatura y de la deformada.
L va a
Lc
A B
C
DT1T2
T1T2
Solucin: Nos hallamos ante una estructura hiperesttica de grado 1, ya que tenemos 2 ecuaciones de equilibrio ( Fy = 0; M = 0) y 3 reacciones (RA ; RB y RC ).
R A RB
RC
L va a
Lc
A B
C
DT1T2
T1T2
A B
C
D
III III a) Establezcamos las ecuaciones de equilibrio.
Fy = 0 RA + RB = RC
Anlisis elemental de estructuras. Enfoque prctico. Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto 81
MD = 0 RA = RB b) Consideremos el caso hiperesttico como la superposicin de 3 casos isostticos. Apliquemos las ecuaciones de comportamiento a estos tres casos, y hallemos la deformacin en el punto medio de la viga D.
A BD
A BD
Rc C
RcD+ =
Caso I Caso II Caso III
T1T2
b.1) Hallemos I debido al incremento trmico en una viga apoyada-apoyada.
A B
''
DT1T2
EBE =
Lv4
D'I
Sabemos que la curvatura ( )21V
TTh
'' = y dada la simetra del problema, la tangente D' E es horizontal y por tanto, aplicando el 2 teorema de Mohr al intervalo [D, B]: BE = I = Momento esttico del rea sombreada respecto al eje vertical en B =
( ) ( )21V
2VVV
21V
TTh8L
4L
2L
TTh
BE =
=
Al ser ( )21V
2V
I21 TTh8L
,TT =< b.2) Conocemos las deformaciones en los casos II y III
AELR
;IE48
LR CCIII
3VC
II == b.3) Apliquemos la ecuacin de compatibilidad en el punto central de la viga D.
+= IIIIII
( ) ( ) ( )+=+= 12C3VV2
VC
CC3
VC12
V
2V TT
LI48LAhLIAE6
RAELR
EI48LR
TTh8L
(Por equilibrio) ( )12C
3VV
2V
BA TT)LI48LA(h
LIAE3RR +==
c) Grficas de V(x), M(x), ''(x) y (x) Los esfuerzos cortantes y flectores de la viga AB son debidos al caso II, ya que al ser el caso I isosttico la variacin trmica no genera esfuerzo.
82 Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto. Flexin. Prticos
Lv
Lc
A B
C
D
RB
Rc
V(x)
M(x)
RA RC
RA RB
Lv
Lc
A B
C
D
Rc
(x)
RA RB
' ' (x)
' ' (x)
Esfuerzos
Temperatura
+
Problema n 34 La viga AB de la figura se encuentra sometida en toda su longitud a un incremento de temperatura de valor t = -25 C en su cara superior y de valor +25 C en su cara inferior. En el punto central de esta viga se ancla el cable CD. Hallar a) La fuerza R que debe aplicarse en el extremo C del cable para que este punto no sufra ningn desplazamiento vertical. b) Las grficas acotadas de cortantes y flectores en la viga AB c) Las grficas de la curvatura y deformada de la viga AB Datos: Cable CD: E = 20 106 kN/m2 ; A = 10-4 m2 ; y viga AB: E = 20 106 kN/m2 ; I = 10-5 m4 ; = 10-5 ; Canto= 15 cm
4
2 2
2
A B
C
D- 25+ 25
R
- 25+ 25
Solucin: El punto C de esta estructura se comporta como si se tratase de una estructura ya que en dicho punto se genera una fuerza RC y no se produce desplazamiento o giro alguno. Por tanto el problema propuesto es equivalente a la figura siguiente, y son aplicables las ecuaciones del problema anterior,
Anlisis elemental de estructuras. Enfoque prctico. Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto 83
R A RB
RC
2
A B
C
D-25 -25+25 +25
422
A B
C
D
I IIIII a) Establezcamos las ecuaciones de equilibrio.
Fy = 0 RA + RB = RC MD = 0 RA = RB
b) Apliquemos la ecuacin de compatibilidad en el punto central de la viga D.
I = II + III ( ) ( )( )
15012525
15,08410
TTh8L 25
12V
2V
I ===
150R
IE48LR C
3VC
II == y == 1000R
AELR CCC
III
( ) ( ) ==+= kN869565,02320TTLI48LAh LIAE6R 12C3VV2
VC (Por equilibrio)
kN434782,04620RR BA ===
c) Grficas de V(x), M(x), ''(x) y (x)
A B
C
D
0,87 kN
V(x)
M(x)
A B
C
D
(x)
' ' (x)
' ' (x)
Esfuerzos
Temperatura
+
0,43 kN 0,43 kN
-0,43 kN
0,43 kN
0,87 kNm
0,0087 m 1
0,0033 m 10,87 kN
84 Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto. Flexin. Prticos
Problema n 35 Sea la estructura de la figura constituida por una viga AB y un cable CD. El cable CD soporta una disminucin de temperatura T . Hallar las reacciones.
L va a
Lc
A B
C
D
T
Solucin: Nos hallamos ante una estructura hiperesttica de grado 1, ya que tenemos 2 ecuaciones de equilibrio ( Fy = 0; M = 0) y 3 reacciones (RA ; RB y RC ).
R A RB
RC
L va a
Lc
A B
C
D
T
A B
C
D
t
Rc
a) Establezcamos las ecuaciones de equilibrio.
Fy = 0 RA + RB = RC MD = 0 RA = RB
b) Consideremos el caso hiperesttico como la superposicin de 3 casos isostticos. Apliquemos las ecuaciones de comportamiento a estos tres casos, y hallemos la deformacin en el punto D.
A BD
Rc C
RcD=
Caso I Caso III
C
D
Caso II
-T
b.1) Caso I: Conocemos la flecha en el punto central del vano de una viga apoyada-poyado
que soporta una carga puntual centrada IE48
LR 3CCI =
Caso II: Conocemos el acortamiento que sufre una barra sometida a una disminucin de temperatura T t = T LC. Caso III: Conocemos el estiramiento que sufre la barra CD sometida a la carga RC
Anlisis elemental de estructuras. Enfoque prctico. Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto 85
AELR CC
RC =
b.2) Apliquemos la ecuacin de compatibilidad en el punto D I = t - Rc
+== C3VC
CCC
C
3VC
LI48LALIAET48
RAELR
LTIE48
LR
(Por equilibrio)C
3V
CBA
LI48LALIAET24
RR +==
86 Flexin. Vigas continuas
FLEXION. VIGAS CONTINUAS Problema n 36 Dada la viga continua de la figura se pide hallar las reacciones en las sustentaciones y trazar las grficas de esfuerzo cortante V(x) y momento flector M(x). El vano AB presenta una rtula.
4 8
q= 4 Mp/m
Rtula
1,52
10 Mp
A B C
Solucin. a) Grado hiperesttico La estructura es hiperesttica externa de grado 1, pero al presentar una rtula en el vano AB perdemos un grado hiperesttico, y por tanto estamos ante una estructura isosttica. b) Clculo de las reacciones Ecuaciones estticas
Fy = 0 RA + RB + RC = 42 MA = 0 4 RB + 12 RC + 20 = 256
Una rtula aade una ecuacin ms. La suma de momentos de cualquiera de las dos partes de en que la rtula divide a la estructura respecto al punto donde se halla la rtula es nulo. En este caso tomemos la parte izquierda.
MRot Izq = 0 1,5 RA = 35 RA = 70/3 = 23,33 Mp Resolviendo el sistema:
==
=+=+
Mp16,20RMp50,1R
236R12R43
56RRC
B
CB
CB
c) Dibujo de las grficas. En el trazado del momento flector debemos tener en cuenta que la rtula se caracteriza por presentar momento flector cero.
Anlisis elemental de estructuras. Enfoque prctico. Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto 87
23,3 Mp
1,5
Mp
10Mp
20,16MpV(x)
M(x)
Rtula
Pico
Mximo
Problema n 37 Dada la viga continua de la figura hallar las reacciones y las grficas V(x) y M(x)
8 kN10 kN/m10 kN/m
2 m 2 m 2 m3 m 1 m6 m
A B C
Solucin: a)Hallemos el momento Mb en el apoyo b, Apliquemos la ecuacin de los 3 momentos para hallar Mb, Conocemos Ma = 0 y Mc = 8 kNm
M = 0a M b M b M = -8c
A = 0b
20 kN.m
Aax a CBBA
En la grfica de momentos ( ) 3xy,3
280220220322AA aaa ==+
=
Sustituyendo en la ecuacin:
=
+
++
bb
bb
aa
aa
b
bc
b
b
a
ab
a
aa LI
xA6LI
xA6IL
MIL
IL
M2IL
M
( ) ( ) km22,14kNm9
128M2803836M2 bb ===++
88 Flexin. Vigas continuas
b)Hallemos las reacciones en los apoyos. 8 kNm14,22 kNm
R a R bI R bII R c20 -14 , 22
620 + 14 , 22
6
14,22 kNm
17,63 kNm 22,37 kNm14,22
3 8
3
14,22
3+ 8
38 -
2,07 kNm 5,92 kNm
Ra = Risosttico kN63,17622,1420
LM
a
b ==
RbI = Risosttico kN37,22622,1420
LM
a
b =+=+
RbII = Risosttico kN44,24RRRkN07,238
322,140
LM
LM
bIIbIbb
c
b
b =+==+=+
RcI = Risosttico kN92,538
322,148
LM
LM
b
c
b
b =+=+ c)Dibujemos las grficas V(x), M(x) y (x)
8 kN10 kN/m10 kN/m
A B C
2,37 kN
17,63 kN
22,37 kN
2,07 kN 5,92 kN8 kN
V(x)
-8 kNm
-14,22 kNm
M(x)
Punto inflexin (x)
d) Comprobemos que el momento Mb es correcto Vamos a comprobar que el giro a ambos lados del apoyo B es el mismo:
( ) ( )IE22,18aL2
IEL24aq
aL2IEL24
aqIE3LM 2
a
222
a
2ab
2q1qMbBizq =++=++=
IE22,18
IE6LM
IE3LM bcbb
McMbBder =+=+=
Anlisis elemental de estructuras. Enfoque prctico. Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto 89
Problema n 38 Dada la viga continua de la figura hallar las reacciones y las grficas V(x) y M(x)
20 kN/m
A C DB
100 kN
8m 8m 10m4m 4m
Solucin: Esta viga continua es una estructura hiperesttica de grado 2, ya que tenemos 2 ecuaciones de equilibrio ( Fy = 0; M = 0) y 4 reacciones ( RA ; RB ; RC y RD ). a)Hallemos los momentos MB y MC en los apoyos B y C. Sabemos que Ma = 0 y Md = 0.
A
100 kN
B
P L
4= 200 kN
M B M B B CM C
20 kN/m
C
MC
Dq L2
8= 250 kNm
x =4a
x =5C
a.1) Apliquemos la ecuacin de los 3 momentos a los tramos AB y BC.
En la grfica de momentos 0A;m42Lx;m800
8LPL
4LP
21AA ba
22
aAB ====== Sustituyendo en la ecuacin:
=
+
++
bb
bb
aa
aa
b
bc
b
b
a
ab
a
aa LI
xA6LIxA6
IL
MIL
IL
M2IL
M
( ) 300MM4800I8
6I8M
I8
I8M2 cbcb =+=+
+
a.2) Apliquemos la ecuacin de los 3 momentos a los tramos BC y CD.
En la grfica de momentos 0A;m52Lx;m
35000L
8Lq
32AA bc
22
cAC ===== Sustituyendo en la ecuacin:
=
+
++
cc
cc
bb
bb
c
cd
c
c
b
bc
b
bb LI
xA6LI
xA6IL
MIL
IL
M2IL
M
5000M36M853
5000I10
6I
10I8M2
I8M cbcb =+
=
++
a.3) Resolviendo el sistema:
==
=+=+
kNm4,129MkNm65,42M
5000M36M8300MM4
c
b
cb
cb
90 Flexin. Vigas continuas
b)Hallemos las reacciones en los apoyos.
A
100 kN
B B C
20 kN/m
C D
42,7 kNm 129,4 kNm
RA = 50 -42,7
844,7 kN 55,3 kN
RBI= 50 +42,7
8RBII=
42,7
8
129,4
8-
10,8 kN
RCI=42,7
8
129,4
8-
10,8 kN
RCII=100+129,4
10112,9 kN
RDI = 100-129,4
1087,1 kN
R = 44,5 kNB R = 123,7 kNC
kN7,448
7,4250LM
RRa
bisostticaa ===
kN3,558
7,4250LM
kN3,558
7.4250LM
RRa
b
a
bisostticabI =+=+=+=+=
kN5,44RRRkN8,108
4,1298
7,420LM
LM
RR IIbIbbb
c
b
bisostticabI =+==+=+=
kN8,108
4,1298
7,420LM
LM
RRb
c
b
bisostticacI =+=+=
kN7,123RRRkN9,1128
4,129100LM
RR IIcIccc
cisostticacI =+==+=+=
kN878
4,129100LM
RRc
cisostticadI ===
c)Dibujemos las grficas V(x), M(x) y (x)
20 kN/m
A C DB
100 kN
44,7 kN
-55,3 kN-10,8 kN -10,8 kN
112,9 kN
87 kN
200 kNm
42,7 kNm
129,4 kNm
189,16 kNm
A C DB
Punt
o in
flex
in
Punt
o in
flex
in
Anlisis elemental de estructuras. Enfoque prctico. Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto 91
Problema n 39 Dada la viga continua de la figura hallar a) el momento flector en el punto B aplicando el mtodo de los 3 momentos; b) las reacciones en los apoyos; c) las grficas de cortantes y flectores, acotando sus valores y direcciones y d) el momento positivo mximo en el primer vano.
5 kN10 kN/m
3 m 1 m6 m
A B C
6 kN
Solucin: a)Hallemos el momento Mb en el apoyo b, Apliquemos la ecuacin de los 3 momentos para hallar Mb, Conocemos Ma = 0 y Mc = -5 kNm
M = 0a M b M b M = - 5c
Mmax= 45 kN.m
Aa
x aCBBA
10 kN/m
Mmax= 4,5 kN.m
x b
6 kN
En las grficas de momentos
( ) 5,1xy,75,62
35,4A;3xy,180645
32A bbaa ======
Sustituyendo en la ecuacin:
=
+
++
bb
bb
aa
aa
b
bc
b
b
a
ab
a
aa LI
xA6LI
xA6IL
MIL
IL
M2IL
M
( ) kNm2917,30M3
5,175,666
318063536M2 bb ==+
b)Hallemos las reacciones en los apoyos.
5 kNm30,29 kNm
R a R bI R bII R c30 - 30,296
30 +6
30,29 kNm
24,95 kNm 35,04 kNm30,29
3 5
3
30,29
3+ 5
35+3 -
11,43 kNm -0,43 kNm
10 kN/m 6 kN
30,29
3 +
Ra = Risosttico kN95,24629,3030
LM
a
b ==
92 Flexin. Vigas continuas
RbI = Risosttico kN05,35629,3030
LM
a
b =+=+
RbII = Risosttico kN48,46RRRkN43,1135
329,303
LM
LM
IIbIbbb
c
b
b =+==+=+
RcI = Risosttico kN43,035
329,3035
LM
LM
b
c
b
b =++=+ c)Dibujemos las grficas V(x), M(x).
5 kN10 kN/m
A B C
24,95 kN
35.04kN
11,43 kN
5 kNV(x)
-5 kNm
-30,29 kNm
M(x)
6 kN
5,43 kN
31,12 kN
d) Hallemos el valor mximo del momento flector en el tramo AB V(x) = -10 x + 24,95 Si V(x) = 0 x = 2,49 m
M(x) = -5 x2 + 24,95 x = (en x = 2,49) = 31,12 kNm