7/17/2019 ECUACIONES DIFERENCIALES
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MATEMATICA III
Lic. Ysela Mariell Alva Ventura
Introducción:
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todos los
ramos de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos
físicos. En dinámica estructural, la ecuación diferencial que
define el movimiento de una estructura es:
() +
() + () =()
donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la
matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la
matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es
vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el
vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta
es una ecuación de segundo grado debido a que se tiene el
desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al
tiempo.
La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación
diferencial en derivadas parciales de segundo orden:
=
donde t es el tiempo y x es la coordenada del punto sobre la
cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.
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Definición:
Una ecuación diferencial es la que contiene derivadas de una o
más funciones, dependiendo del número de variables
independientes respecto de las que se deriva.
Ejemplos:
= 4 + 7
cos
=
= 0
= 0
Clasificación:Las ecuaciones diferenciales se dividen en:
1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: aquellas que
contienen derivadas respecto a una sola variable
independiente.
2. Ecuaciones Diferenciales Parciales: aquellas que
contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Ejemplos:
+ 2 = 0 una ecuación diferencial ordinaria, donde
= ( ) es la variable dependiente, la variable
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independiente e = es la derivada de con respecto
a .
La expresión + + = 0 es una ecuación en
derivadas parciales.
Observación: A la variable dependiente también se le llama
función incógnita.
Orden de la ecuación:
El orden de una ecuación esta dado por el orden mayor de su
derivada.
Ejemplos:
+8 1 5 = 1 0 es una ecuación diferencial de
orden 2, ya que la derivada de mayor orden que aparece en
ella es de ese orden.
+ () = ( ) es una ecuación diferencial de primer
orden.
Grado de la ecuación:
Se llama grado de la ecuación al exponente del mayor orden de su
derivada.
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Ejemplos:
2
+ = 0 es una ecuación diferencial de
segundo grado, ya que el exponente del mayor orden de su
derivada es 2.
+
= es una ecuación diferencial de
primer grado.
Solución de una Ecuación Diferencial:
Una solución de una ecuación diferencial es una función que al
remplazar a la función incógnita, en cada caso con las
derivaciones correspondientes, verifica la ecuación. Hay tres tipos
de soluciones:
1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada
con una o más constantes. La solución general es un haz de
curvas.
2. Solución particular: un caso particular de la solución
general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor
específico.
3. Solución singular: una función que verifica la ecuación,
pero que no se obtiene particularizando la solución general.
En muchos problemas físicos se requiere hallar la solución
particular que satisface una condición de la forma () = a
esta se le llama condición inicial y el problema de hallar una
solución de la ecuación diferencial que satisface la condicióninicial se llama problema de valor inicial.
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Ejemplo:
Verificar que la función = es solución de la ecuación
diferencial = 0
Solución:
Calculando las derivadas de la función obtenemos
= ⟹ = ⟹
=
reemplazando se tiene
= = = 0
Por tanto es solución de la ecuación diferencial.
Origen:1. Ecuación Diferencial de una Familia de Curvas:
Si se tiene la ecuación de una familia de curvas, se puede
obtener su ecuación diferencial mediante la eliminación de
las constantes para ello se deriva la ecuación dada tantas
veces como constantes tenga. Ejemplo:
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es
= ( + )
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Solución:
Dada la solución obtenemos sus derivadas de hasta segundo
orden pues contamos con dos constantes: = ( + )
calculando la primera derivada:
′ = ( + )
calculando la segunda derivada:
= ( + )
notamos que
+ = ( + ) + ( + ) = 0
por tanto la ecuación diferencial es:
+ = 0
2.
Ecuación Diferencial de Problemas Físicos:Una ecuación diferencial puede tener sus orígenes en
problemas físicos, químicos, mecánicos, etc.
Ejemplo:
Un cuerpo de masa m que se encuentra en caída se
encuentra con una resistencia del aire que es proporcional a
su velocidad instantánea, v . Si consideramos que la
dirección positiva es hacia abajo, la fuerza neta que actúa
sobre la masa mg- kv , pues el peso mg del cuerpo es una
fuerza que actúa en dirección positiva y la resistencia del
aire en dirección contraria. Como la v está relacionada con
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la aceleración a mediantedt
dva . Por otro lado la segunda
Ley de Newton se enuncia comodt
dvmam F .. . Al igualar la
fuerza neta con esta forma de la segunda ley, obtenemos una
ecuación diferencial de la velocidad del cuerpo en cualquier
momento:
=
En este caso k es una constante de proporcionalidad
positiva.
AUTOEVALUACIÓN:
I. Encuentre el grado y orden de las siguientes
ecuaciones diferenciales:
1. = (1 + ′)
2.
+
= 4
3.
= 2
4. 66 +
+
+ 2 = c o s ( + 1)
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II. Verificar si la función indicada es solución de la
ecuación diferencial dada:
1.
= ;
2
+ = 0 2. = 5 t a n(5) ; = 2 5 +
3. =
cos+10− ; + =
4. = ; 3 + 3 = 0
III. Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general
es dada:
1. = + −
2. = | + | +
3. = + − , > 0
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