1Captulo IV: Ecuaciones Diferenciales
en Derivadas Parciales
Profesor: Raul Fierro P.
1 Ecuacion ordinaria de primer orden
1. Observacion Sean a0, a1 y h funciones continuas de R en R tales que para todo
x R, a1(x) 6= 0.
Consideremos la ecuacion diferencial ordinaria siguiente:
a1(x)y + a0(x)y = h(x). (1)
Dividiendo en (1) por a1(x) y luego multiplicando por exp( xa
a0(u)a1(u)
du) se obtiene
d
dx
(y(x) exp(
xa
a0(u)
a1(u)du)
)=
h(x)
a1(x)exp(
xa
a0(u)
a1(u)du).
Integrando entre a y x se obtiene as:
y(x) = exp(
xa
a0(u)
a1(u)du)
(y(a) +
xa
h(u)
a1(u)exp(
ua
a0(v)
a1(v)dv)du
). (2)
2. Ejemplo Resolverdy
dx+ 2xy = x, y(0) = 1.
3. Observacion Sea n N\{0, 1}. Para resolver
a1(x)y + a0(x)y = h(x)y
n, (3)
dividimos por yn y entonces a1(x)y
yn+ a0(x)y
1n = h(x).
Haciendo u(x) = y(x)1n se obtienedu
dx=y(x)
yn(x)y entonces (3) es equivalente a
2 Fierro
a1(x)du
dx+ a0(x)u(x) = h(x). (4)
Esta ultima ecuacion se resuelve con las indicaciones dadas en Observacion 1.
4. Ejemplo Resolver y + xy = xy3.
2 Problemas de valor de frontera
1. Definicion Se dice que un operador diferencial L de segundo orden definido en
C2[a, b] esta en forma autoadjunta, si y solo si,
L = D(p(x)D) + q(x)I, (5)
donde p C1[a, b] es tal que para todo x ]a, b[, p(x) 6= 0, y q C[a, b].
2. Nota En esta seccion, consideraremos C[a, b] con el producto interno usual, a
saber,
< f, g >=
ba
f(x)g(x) dx. (6)
3. Observaciones Sea L un operador lineal sobre C[a, b] y supongamos que L es
simetrico; es decir, para todos x, y C[a, b], < x,Ly >=< Lx, y >.
En este caso se tiene
(3.1) los valores propios de L son reales, y
(3.2) los vectores propios de L correspondientes a distintos valores propios son
ortogonales.
4. Teorema Sean S C2[a, b] y L = D(p(x)D) + q(x)I un operador definido sobre
S en forma autoadjunta. Entonces, las dos condiciones siguientes son equivalentes:
(4.1) L es simetrico sobre S.
(4.2) Para todos y1, y2 S, p(x)[y1(x)y
2(x) y
1(x)y2(x)]ba= 0.
5. Observaciones Sean S C2[a, b] y L = D(p(x)D) + q(x)I un operador definido
sobre S en forma autoadjunta.
3(5.1) Si S = C2[a, b] y p(a) = p(b) = 0, entonces L es simetrico sobre S.
(5.2) Supongamos que S es el conjunto de todas las funciones y C2[a, b] tales
que
1y(a) + 2y(a) = 0
1y(b) + 2y(b) = 0,
donde |1|+ |2| 6= 0 y |1|+ |2| 6= 0.
Entonces, L es simetrico sobre S.
(5.3) Supongamos ahora que p(a) = p(b) (no necesariamente iguales a 0) y
que S es el conjunto de todas las funciones y C2[a, b] tales que y(a) = y(b) e
y(a) = y(b).
Entonces, L es simetrico sobre S.
6. Ejemplo Analizar el problema de valor de frontera
y + y = 0, y(0) = y(pi) = 0.
3 Desarrollos en serie
1. Observacion Sea L : S C2[a, b] C[a, b] un operador diferencial lineal
de segundo orden y simetrico sobre S. Supongamos ademas que existe un sistema
(k; k N) de funciones propias de L. Luego, (k; k N) es una sucesion ortogonal
y los correspondientes valores propios asociados a estas funciones propias son reales.
Sea h C[a, b] tal que h =
k=0 kk. Luego, los k estan unvocamente deter-
minados y deben ser iguales a k =< h,k > /2.
En consecuencia,
h =k=0
< h,k >
k2k. (7)
Sea y(x) =
k=0 kk (k R), y supongamos que y es solucion de la ecuacion
Ly = h. (8)
4 Fierro
Para cada k N, sea k el valor propio correspondiente a la funcion propia k.
Es decir, Lk = kk.
Procediendo formalmente se obtiene que si y satisface (8), entonces
k=0
kkk(x) =k=0
< h,k >
k2k.
Por lo tanto, para todo k N, kk =< h,k > /k2, y en consecuencia, las
afirmaciones siguientes son validas:
(1.1) Si para algun k N, k = 0 y < h,k > 6= 0, entonces y no es solucion
de (8).
(1.2) Si para algun k N, k = 0 y < h,k >= 0, entonces (8) tiene infinitas
soluciones.
(1.3) Si para todo k N, k 6= 0, entonces (8) tiene solucion unica, a saber,
y(x) =k=0
< h,k >
kk2k. (9)
2. Ejemplo Sea L = D2 y S = {y C2[0, pi] : y(0) = y(pi) = 0}. Determinar la
solucion formal de Ly = h, y calcular explcitamente esta solucion si h(x) = x.
4 Ecuacion de la cuerda vibrante
1. Problema Sean a > 0, c > 0, y f y g funciones de [0, a] en R que satisfacen la
condicion de Dirichlet en cada punto de [0, a].
Resolver2u
t2= c2
2u
x2, (10)
bajo las condiciones de frontera u(0, t) = u(a, t) = 0 para todo t 0, y las condiciones
iniciales u(x, 0) = f(x) yu
t(x, 0) = g(x).
2. Observacion Otro camino para resolver (10) es el siguiente:
5Definimos v = x+ct y w = xct. As, si las segundas derivadas parciales respecto
de v y w existen y son continuas, entonces
2u
t2= c2
(2u
v2+ 2
2u
vw+2u
w2
). (11)
Analogamente,2u
x2=2u
v2 2
2u
vw+2u
w2. (12)
De (11) y (12) obtenemos2u
vw= 0 (13)
lo cual implica que u = (w)+(v). En consecuencia, la solucion de (10) es u(x, t) =
(x ct) + (x+ ct). Esta solucion se conoce como solucion de DAlembert para la
ecuacion de onda unidimensional.
Si se impone las condiciones iniciales u(x, 0) = f(x) yu
t(x, 0) = 0, entonces la
solucion de la ecuacion es
u(x, t) =1
2(f(x+ ct) + f(x ct)) .
5 Flujo unidimensional de calor
1. Problema Sean a > 0, c > 0 y f : [0, a] R una funcion que satisface la
condicion de Dirichlet en cada punto de [0, a].
Resolveru
t= c2
2u
x2, (14)
bajo las condiciones de frontera u(0, t) = u(a, t) = 0 para todo t 0, y bajo la
condicion inicial u(x, 0) = f(x).
6 Ecuacion de la membrana vibrante
1. Problema Sea a > 0, b > 0, c > 0 y f y g funciones continuas de [0, a] [0, b] en
R y diferenciables en el interior de su dominio.
6 Fierro
Resolver
2u
t2= c2
(2u
x2+2u
y2
), (15)
bajo las condiciones de frontera u(x, y, t) = 0 para todo (x, y) en la frontera del
rectangulo [0, a] [0, b] y todo t 0. Ademas, se supone que la solucion de (15)
satisface para todo (x, y) [0, a] [0, b], las condiciones iniciales u = f(x, y) yu
t(x, y, 0) = g(x, y).
7 Ecuacion bidimensional del calor
1. Problema Sean a > 0, b > 0, c > 0 y f : [0, a][0, b] R continua y diferenciable
en el interior de su dominio. Resolver
2u
t2= c2
(2u
x2+2u
y2
), (16)
bajo las condiciones de frontera u(x, y) = 0 para todo (x, y) en la frontera del
rectangulo [0, a] [0, b] y todo t 0. Ademas, se supone que la solucion de (16)
satisface para todo (x, y) [0, a] [0, b], la condicion inicial u(x, y, 0) = f(x, y).
Ejercicios propuestos
1.- Encuentre la solucion general de las ecuaciones siguientes:
(1.1) xy + y = 0. (1.2) cos2(x)y + y = 1. (1.3) y + 2y = x.
(1.4) y + y = ex. (1.5) x3y + x2y = 1 + x4. (1.6) (x2 + 4)y + x2y = 2.
(1.7) y + xy2 + y = 0.(1.8) y + y = y2. (1.9) yy + xy2 = 1 + x.
(1.10) (x 1)y 2y =
(x2 1)y.
2.- Con las condiciones que se indica, encuentre las soluciones de las ecuaciones sigu-
ientes:
(2.1) sen(x)y + cos(x)y = 0, y(3pi/4) = 2.
7(2.2) cos2(x)y + y = 1, y(pi/6) = 1.
(2.3) x3y + x2y = 1 + x4, y(1) = 1.
(2.4) y + y = y2, y(0) = 1/3.
(2.5) yy + xy2 = 1 + x, y(0) = 0.
3.- Encuentre la solucion general de las ecuaciones siguientes:
(3.1) y 3y + 2y = 0. (3.2) y 3y + 2y = x. (3.3) y + 2y + y = 1.
(3.4) y + 2y + y = sen(x). (3.5) y(iv) y = 2x ex . (3.6) y(iv) y = x2 + 1.
4.- Encuentre las soluciones de los siguientes problemas de valor de frontera:
(4.1) y + y = 0, y(0) = 1, y(pi) = 1.
(4.2) y + y = 0, y(0) = 0, y(pi) = 0.
(4.3) y + 4y = sen(2x), y(0) = 0, y(pi) = 0.
5.- Encuentre los valores de y las correspondientes soluciones para los siguientes
problemas de valor de frontera:
(5.1) y + y = 0, y(0) = y(2pi), y(0) = y(2pi).
(5.2) y + y = 0, y(0) = y(pi) = y(pi).
(5.3) y + y = 0, y(0) = y(pi) = 0.
(5.4) y + 4y + (4 + 9)y = 0, y(0) = y(a) = 0, (a > 0).
6.- Determine el desarrollo formal en serie de la solucion de los siguientes problemas
de valor de frontera, en terminos de las funciones propias para el problema de Sturm-
Liouville asociado.
(6.1) y = x(x 2pi), y(0) = y(pi) = 0.
(6.2) y = x2 pi2, y(0) = y(pi) = 0.
(6.3) y = sen(pix/a), y(0) = y(a) = 0, (a > 0).
(6.4) y = sen(pix/a), y(0) = y(a) = 0, (a > 0).
8 Fierro
7.- Use el metodo de separacion de variables para encontrar soluciones de la ecuacion
diferencial en derivadas parciales siguiente:
2u
t2+ a2
4u
x4= 0, (a > 0).
8.- Resuelva las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales sujetas a las condiciones
sealadas:
(8.1)u
t= cos(t)
2u
x2, u(0, t) = u(pi/4, t) = 0 (t 0) y u(x, 0) = f(x)
(x [0, pi/4]).
(8.2)u
t=2u
x2,
u
x(pi, t) =
u
x(pi, t) = 0, (t 0) y u(x, 0) = cos(x) +
2sen(x/2)
(8.3)u
t=
2u
x2,
u
x(a, t) =
u
x(a, t) = 0, (t 0) y u(0, x) = 1 +
cos(pix/2a) + 3sen(pix/2a), (a > 0).
(8.4)u
t= et
2u
x2, u(0, t) = u(3, t) (t 0) y u(x, 0) = x, (x [0, 3]).
(8.5)u
t= t2
2u
x2, u(0, t) = u(1, t) (t 0) y u(x, 0) = x, (x [0, 1]).
(8.6)2u
x22u
t2+ u = 0, u(0, t) = u(pi, t) = 0 (t 0), u(x, 0) = sen(x) y
u
t(x, 0) = sen(5x).
9.- Sean a > 0, S = {y C1[0, a] : y(0) = y(a) = 0} y L = D2 I.
(9.1) Demuestre que L esta en forma autoadjunta y que es simetrico sobre S.
(9.2) Determine los valores de para los cuales Ly = y tiene solucion no
trivial. Encuentre las soluciones.
(9.3) Resuelva
u
t= cos(t)(
2u
x2 u),
con la condicion inicial u(x, 0) = x y la condicion de frontera u(0, t) = u(a, t) = 0
(t 0).
10.- Sean a > 0, S = {y C2[0, a] : y(0) = y(a) = 0} y L : S C[0, a] el operador
9definido por Ly = y.
(10.1) Verifique que L es simetrico.
(10.2) Demuestre que el conjunto de valores propios de L esta dado por
{(2n+ 1)2pi2/4a2 : n N}.
(10.3) Para cada valor propio de L, encuentre la solucion general de Ly = y.
(10.4) Para a > 0, resuelva la ecuacion diferencial en derivadas parciales
u
t= cos(t)
2u
x2,
bajo las condiciones de frontera u(0, t) =u
x(a, t) = 0 (t 0) y la condicion inicial
u(x, 0) = sen(5pix/2a).
11.- Sean a > 0 y b > 0. Resuelva
u
t= cos(t)
(2u
x2+2u
y2
),
u(x, y, t) = 0 y u(0, x, y) = f(x, y), (t 0, (x, y) ([0, a] [0, b])).
12.- Sean lh,1 = [0, a]{0} y lh,2 = [0, a] {b} los lados horizontales del rectangulo
[0, a] [0, b] y, lv,1 = {0} [0, b] y lv,2 = {a} [0, b] sus correspondientes lados
verticales.
Encuentre la solucion de2u
x2+2u
y2= 0 (17)
en los casos siguientes:
(12.1) u(x, y) = f1(x) si (x, y) lh,1 y u(x, y) = 0 si (x, y) lh,2 lv,1 lv,2.
(12.2) u(x, y) = f2(x) si (x, y) lh,2 y u(x, y) = 0 si (x, y) lh,1 lv,1 lv,2.
(12.3) u(x, y) = f3(x) si (x, y) lv,1 y u(x, y) = 0 si (x, y) lh,1 lh,2 lv,2.
(12.4) u(x, y) = f4(x) si (x, y) lv,2 y u(x, y) = 0 si (x, y) lh,1 lh,2 lv,1.
Si ui (i = 1, 2, 3, 4) es la solucion encontrada en (12..i), demuestre que
u = u1 + u2 + u3 + u4
10 Fierro
es solucion de (17) y satisface
u(x, y) =
f1(x) si (x, y) lh,1
f2(x) si (x, y) lh,2
f3(x) si (x, y) lv,1
f4(x) si (x, y) lv,2.
(12.5) Resuelva (17) bajo las condiciones u(0, y) = u(a, y) = 0 (0 y b) y
u(x, 0) = u(x, b) = 2x(x a) (0 x a).
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