ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE

E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN

A. DEFINICION:

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria:

𝑎1 𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎2 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 ………………(1)

Donde 𝑎1, 𝑎2 𝑦 𝑓 son funciones solamente de 𝑥 o constantes.

Supongamos que 𝑎1 𝑥 ≠ 0 entonces, al dividir la ecuación (1) por 𝑎1 𝑥 , se obtiene:

⇨𝑎1 𝑥

𝑎1 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+𝑎2 𝑥

𝑎1 𝑥𝑦 =

𝑓 𝑥

𝑎1 𝑥

𝑃 𝑥 𝑄 𝑥

A la ecuación (2) llamaremos Ecuación Diferencial Lineal del Primero Orden en "𝑦"

Si 𝑄 𝑥 = 0, la ecuación (2) toma la forma siguiente:

⇨𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 0……………………… . (3)

A la ecuación (3) llamaremos E. D. Lineal Homogénea y es una E. D. de Variable Separable, y susolución es:

ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 2

𝑦 = 𝐶𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥

⇨𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 ……………………… . (2)

E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN

Si 𝑄 𝑥 ≠ 0, a la ecuación (2), es decir:𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥

llamaremos E. D. Linenal No homogéna, por lo tanto no es exacta. Su solución se obtieneaplicando el siguiente Factor de Integración:

ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 3

𝒚 = 𝒆− 𝑷 𝒙 𝒅𝒙 𝒆 𝑷 𝒙 𝒅𝒙. 𝑸 𝒙 𝒅𝒙 + 𝑪

E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1). 𝑥2 + 1 𝑑𝑦 = 𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑑𝑥

SOLUCION

1º Identificar 𝑷 𝒙 𝒚 𝑸(𝒙) de la E.D.⇨ 𝑥2 + 1 𝑑𝑦 = 𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑑𝑥

⇨ 𝑥2 + 1𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑥

⇨𝑥2 + 1

𝒙𝟐 + 𝟏

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑥

𝒙𝟐 + 𝟏𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑥2 + 1

⇨𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑥

𝒙𝟐 + 𝟏

⇨𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥3

𝒙𝟐 + 𝟏+

𝑥𝑦

𝒙𝟐 + 𝟏+

𝑥

𝒙𝟐 + 𝟏𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎

⇨𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥𝑦

𝑥2 + 1+𝑥3 + 𝑥

𝒙𝟐 + 𝟏𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝐷 𝑑𝑒 1𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

⇨𝑑𝑦

𝑑𝑥−

𝑥𝑦

𝑥2 + 1=𝒙 𝒙𝟐 + 𝟏

𝒙𝟐 + 𝟏

⇨𝑑𝑦

𝑑𝑥−

𝑥

𝑥2 + 1𝒚 = 𝑥 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝐷 𝑑𝑒 1𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

𝑷 𝒙 𝑸 𝒙

ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥

E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN

2º Aplicar la fórmula cuando 𝑸 𝒙 ≠ 𝟎

𝑦 = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 . 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶

⇨ y = 𝑒− −

𝑥𝑥2+1

𝑑𝑥 𝑒

−𝑥

𝑥2+1𝑑𝑥. 𝒙𝑑𝑥 + 𝐶 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥

∗𝟏

⇨ 𝑦 = 𝑒

𝑥𝑥2+1

𝑑𝑥 𝑒

− 𝑥

𝑥2+1𝑑𝑥. 𝑥𝑑𝑥 + 𝐶

⇨ ∗1= 𝑥

𝑥2 + 1𝑑𝑥 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑜

⇨ 𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝑥2 + 1⇨ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

⇨𝑑𝑢

2𝑥= 𝑑𝑥

⇨ ∗1= 𝑥

𝑢

𝑑𝑢

2𝑥=1

2 𝑑𝑢

𝑢=1

2𝐿𝑛 𝑢 =

1

2𝐿𝑛 𝑥2 + 1

⇨ 𝑦 = 𝑒12𝐿𝑛 𝑥2+1 𝑒−

12𝐿𝑛 𝑥2+1 . 𝑥𝑑𝑥 + 𝐶

ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 5

E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN

⇨ 𝑦 = 𝑒𝐿𝑛 𝑥2+1

12 𝑒𝐿𝑛 𝑥

2+1−12. 𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦𝐿𝑛𝑥 = 𝐿𝑛𝑥𝑦

⇨ 𝑦 = 𝑥2 + 112 𝑥2 + 1 −

12. 𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝐿𝑛𝑥 = 𝑥

⇨ 𝑦 = 𝑥2 + 112

𝑥𝑑𝑥

𝑥2 + 1+ 𝐶 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝐿𝑛𝑥 = 𝑥

∗2

⇨ ∗2= 𝑥𝑑𝑥

𝑥2 + 1+ 𝐶 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑜

⇨ 𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝑥2 + 1⇨ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

⇨𝑑𝑢

2𝑥= 𝑑𝑥

⇨ ∗2= 𝑥

𝑢

𝑑𝑢

2𝑥+ 𝐶 =

1

2 𝑑𝑢

𝑢+ 𝐶 =

1

2 𝑢−

12𝑑𝑢 + 𝐶 =

1

2

𝑢12

12

+ 𝐶 = 𝑢12 + 𝐶

⇨ ∗2= 𝑥2 + 112 + 𝐶

⇨ 𝑦 = 𝑥2 + 112 𝑥2 + 1

12 + 𝐶

ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 6

E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN

⇨ 𝑦 = 𝑥2 + 12+ 𝐶 𝑥2 + 1

⇨ 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝑪 𝒙𝟐 + 𝟏

2). 𝑥2𝑑𝑦 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦𝑑𝑥 = 0

SOLUCION

1º Identificar 𝑷 𝒙 𝒚 𝑸(𝒙) de la E.D.⇨ 𝑥2𝑑𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 − 3𝑥𝑦𝑑𝑥⇨ 𝑥2𝑑𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3𝑥𝑦 𝑑𝑥

⇨ 𝑥2𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3𝑥𝑦

⇨𝑥2

𝑥2𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑥2−3𝑥𝑦

𝑥2𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑥2 + 1

⇨𝑑𝑦

𝑑𝑥+3𝑦

𝑥=𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑥2𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝐷 𝑑𝑒 1𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

⇨𝑑𝑦

𝑑𝑥+3

𝑥𝑦 =

𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑥2

𝑷 𝒙 𝑸 𝒙

2º Aplicar la fórmula cuando 𝑸 𝒙 ≠ 𝟎

𝑦 = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 . 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶

ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 7

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥

E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN

2º Aplicar la fórmula cuando 𝑸 𝒙 ≠ 𝟎

𝑦 = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 . 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶

⇨ 𝑦 = 𝑒− 3𝑥𝑑𝑥 𝑒

3𝑥𝑑𝑥.𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑥2𝑑𝑥 + 𝐶

⇨ 𝑦 = 𝑒−3𝐿𝑛𝑥 𝑒3𝐿𝑛𝑥 .𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑥2𝑑𝑥 + 𝐶

⇨ 𝑦 = 𝑒𝐿𝑛𝑥−3 𝑒𝐿𝑛𝑥

3.𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑥2𝑑𝑥 + 𝐶

⇨ 𝑦 = 𝑥−3 𝑥3.𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑥2𝑑𝑥 + 𝐶

⇨ 𝑦 = 𝑥−3 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 + 𝐶

∗2

⇨ ∗2= 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 + 𝐶

ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 8

E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN

⇨ 𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝑥; 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥

⇨ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥; 𝑣 = −1

2𝑐𝑜𝑠2𝑥

⇨ ∗2= −𝑥

2𝑐𝑜𝑠2𝑥 +

1

2 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 + 𝐶

⇨ ∗2= −𝑥

2𝑐𝑜𝑠2𝑥 +

1

2

1

2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶

⇨ ∗2= −𝑥

2𝑐𝑜𝑠2𝑥 +

1

4𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶

⇨ 𝑦 = 𝑥−3 −𝑥

2𝑐𝑜𝑠2𝑥 +

1

4𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶

⇨ 4𝑦 =1

𝑥3−2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 4𝐶

⇨ 4𝑥3𝑦 = −2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 4𝐶⇨ 𝟒𝒙𝟑𝒚 + 𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = 𝟒𝑪

ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 9

E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN

1).𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 =

2𝑥2 + 2𝑥 − 1

4+ 𝐶𝑒−2𝑥

2). 𝑥𝑦′ + 1 + 𝑥 𝑦 = 𝑒−𝑥 𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 = 𝑒−𝑥 1 +𝐶

𝑥

3). 𝑥5 + 3𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0 𝑅𝑝𝑡𝑎. y =𝑥5

2+ 𝐶𝑥3

4).𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 =

2𝑥2 + 2𝑥 − 1

4+ 𝐶𝑒−2𝑥

5). 𝑥2 + 9𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑥𝑦 = 0 𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 =

𝐶

𝑥2 + 9

Resuelva las siguientes E. D

ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 10