Introducción
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Curso
May 13, 2020
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Contenido
1 IntroducciónConceptos básicos del las ecuaciones diferenciales
2 Ecuaciones de variables separables.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Noción de una ecuación diferencial
Ecuación diferencial F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0
Una ecuación diferencial es una ecuación:1 Cuya incógnita es una función, generalmente denotada por y , o bien z, u, θ,
etc.2 En la cual aparecen ciertas derivadas de y (primera derivada de y , y ′, o
derivadas de orden superior y ′′, y ′′′,...)
Ejemplos:1
y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x
2
y ′ cos x = y ln y , y(π4) = e
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Noción de una ecuación diferencial
Ecuación diferencial F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0
Una ecuación diferencial es una ecuación:1 Cuya incógnita es una función, generalmente denotada por y , o bien z, u, θ,
etc.2 En la cual aparecen ciertas derivadas de y (primera derivada de y , y ′, o
derivadas de orden superior y ′′, y ′′′,...)
Ejemplos:1
y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x
2
y ′ cos x = y ln y , y(π4) = e
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Noción de una ecuación diferencial
Ecuación diferencial F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0
Una ecuación diferencial es una ecuación:1 Cuya incógnita es una función, generalmente denotada por y , o bien z, u, θ,
etc.2 En la cual aparecen ciertas derivadas de y (primera derivada de y , y ′, o
derivadas de orden superior y ′′, y ′′′,...)
Ejemplos:1
y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x
2
y ′ cos x = y ln y , y(π4) = e
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Noción de una ecuación diferencial
Ecuación diferencial F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0
Una ecuación diferencial es una ecuación:1 Cuya incógnita es una función, generalmente denotada por y , o bien z, u, θ,
etc.2 En la cual aparecen ciertas derivadas de y (primera derivada de y , y ′, o
derivadas de orden superior y ′′, y ′′′,...)
Ejemplos:1
y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x
2
y ′ cos x = y ln y , y(π4) = e
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Noción de una ecuación diferencial
Ecuación diferencial F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0
Una ecuación diferencial es una ecuación:1 Cuya incógnita es una función, generalmente denotada por y , o bien z, u, θ,
etc.2 En la cual aparecen ciertas derivadas de y (primera derivada de y , y ′, o
derivadas de orden superior y ′′, y ′′′,...)
Ejemplos:1
y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x
2
y ′ cos x = y ln y , y(π4) = e
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Noción de una ecuación diferencial
1
y ′ = 1 + ex , y(0) = 1
2
u′ −√
t − 3u = 0
3
(y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0
4
∂2z∂x2−∂2z∂x∂y
= sin z
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Noción de una ecuación diferencial
1
y ′ = 1 + ex , y(0) = 1
2
u′ −√
t − 3u = 0
3
(y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0
4
∂2z∂x2−∂2z∂x∂y
= sin z
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Noción de una ecuación diferencial
1
y ′ = 1 + ex , y(0) = 1
2
u′ −√
t − 3u = 0
3
(y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0
4
∂2z∂x2−∂2z∂x∂y
= sin z
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Noción de una ecuación diferencial
1
y ′ = 1 + ex , y(0) = 1
2
u′ −√
t − 3u = 0
3
(y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0
4
∂2z∂x2−∂2z∂x∂y
= sin z
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Orden de una ecuación diferencial
El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación
En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −
√t − 3u = 0, orden 1,
5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y
6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −
∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Orden de una ecuación diferencial
El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación
En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −
√t − 3u = 0, orden 1,
5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y
6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −
∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Orden de una ecuación diferencial
El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación
En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −
√t − 3u = 0, orden 1,
5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y
6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −
∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Orden de una ecuación diferencial
El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación
En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −
√t − 3u = 0, orden 1,
5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y
6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −
∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Orden de una ecuación diferencial
El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación
En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −
√t − 3u = 0, orden 1,
5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y
6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −
∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Orden de una ecuación diferencial
El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación
En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −
√t − 3u = 0, orden 1,
5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y
6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −
∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Orden de una ecuación diferencial
El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación
En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −
√t − 3u = 0, orden 1,
5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y
6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −
∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Orden de una ecuación diferencial
El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación
En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −
√t − 3u = 0, orden 1,
5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y
6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −
∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Orden de una ecuación diferencial
El orden de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es n, que es el númeroentero que corresponde a la más alta derivada que aparece en la ecuación
En los ejemplos anteriores tenemos:1 Ejemplo 1, y ′′ + 2y ′ + 8y = 2x orden 2,2 Ejemplo 2, y ′ cos x = y ln y , orden 1,3 Ejemplo 3, y ′ = 1 + ex , orden 1,4 Ejemplo 4, u′ −
√t − 3u = 0, orden 1,
5 Ejemplo 5, (y ′′′)2− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0, orden 3 y
6 Ejemplo 6, ∂2z∂x2 −
∂2z∂x∂y = sin z, orden 2.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Solución de una ecuación diferencial
Solución de una ecuación diferencial
Una solución de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es una funciónf (x), definida en un intervalo [a, b], tal que al escribir y = f (x) y sustituir y en laecuación diferencial, ésta se satisface.
Ejemplos1 La función y(x) = x2, x ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuación
(y ′′)2− (y ′)2 = 4 − 4x2 En efecto: y ′ = 2x , y ′′ = 2, entonces
(y ′′)2− (y ′)2 = (2)2
− (2x)2 = 4 − 4x2
2 La función u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuaciónu′ + u = e−t
En efecto: u′ = −te−t + e−t , entonces u′ + u = {t(−e−t) + e−t}+ te−t = e−t
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Solución de una ecuación diferencial
Solución de una ecuación diferencial
Una solución de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es una funciónf (x), definida en un intervalo [a, b], tal que al escribir y = f (x) y sustituir y en laecuación diferencial, ésta se satisface.
Ejemplos1 La función y(x) = x2, x ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuación
(y ′′)2− (y ′)2 = 4 − 4x2 En efecto: y ′ = 2x , y ′′ = 2, entonces
(y ′′)2− (y ′)2 = (2)2
− (2x)2 = 4 − 4x2
2 La función u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuaciónu′ + u = e−t
En efecto: u′ = −te−t + e−t , entonces u′ + u = {t(−e−t) + e−t}+ te−t = e−t
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Solución de una ecuación diferencial
Solución de una ecuación diferencial
Una solución de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es una funciónf (x), definida en un intervalo [a, b], tal que al escribir y = f (x) y sustituir y en laecuación diferencial, ésta se satisface.
Ejemplos1 La función y(x) = x2, x ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuación
(y ′′)2− (y ′)2 = 4 − 4x2 En efecto: y ′ = 2x , y ′′ = 2, entonces
(y ′′)2− (y ′)2 = (2)2
− (2x)2 = 4 − 4x2
2 La función u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuaciónu′ + u = e−t
En efecto: u′ = −te−t + e−t , entonces u′ + u = {t(−e−t) + e−t}+ te−t = e−t
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Solución de una ecuación diferencial
Solución de una ecuación diferencial
Una solución de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es una funciónf (x), definida en un intervalo [a, b], tal que al escribir y = f (x) y sustituir y en laecuación diferencial, ésta se satisface.
Ejemplos1 La función y(x) = x2, x ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuación
(y ′′)2− (y ′)2 = 4 − 4x2 En efecto: y ′ = 2x , y ′′ = 2, entonces
(y ′′)2− (y ′)2 = (2)2
− (2x)2 = 4 − 4x2
2 La función u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuaciónu′ + u = e−t
En efecto: u′ = −te−t + e−t , entonces u′ + u = {t(−e−t) + e−t}+ te−t = e−t
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Solución de una ecuación diferencial
Solución de una ecuación diferencial
Una solución de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es una funciónf (x), definida en un intervalo [a, b], tal que al escribir y = f (x) y sustituir y en laecuación diferencial, ésta se satisface.
Ejemplos1 La función y(x) = x2, x ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuación
(y ′′)2− (y ′)2 = 4 − 4x2 En efecto: y ′ = 2x , y ′′ = 2, entonces
(y ′′)2− (y ′)2 = (2)2
− (2x)2 = 4 − 4x2
2 La función u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuaciónu′ + u = e−t
En efecto: u′ = −te−t + e−t , entonces u′ + u = {t(−e−t) + e−t}+ te−t = e−t
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Solución de una ecuación diferencial
Solución de una ecuación diferencial
Una solución de la ecuación F(x , y(x), y ′(x), · · · y (n)(x)) = 0 es una funciónf (x), definida en un intervalo [a, b], tal que al escribir y = f (x) y sustituir y en laecuación diferencial, ésta se satisface.
Ejemplos1 La función y(x) = x2, x ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuación
(y ′′)2− (y ′)2 = 4 − 4x2 En efecto: y ′ = 2x , y ′′ = 2, entonces
(y ′′)2− (y ′)2 = (2)2
− (2x)2 = 4 − 4x2
2 La función u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞) es una solución de la ecuaciónu′ + u = e−t
En efecto: u′ = −te−t + e−t , entonces u′ + u = {t(−e−t) + e−t}+ te−t = e−t
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Grado de una ecuación diferencial
Grado de una ecuación diferencial
Si una una ecuación diferencial puede escribirse como un polinomio en su m’asalta derivada, se llama grado de la ecuaci|’on el exponente más alto de la másalta derivada.
Ejemplos:1 (y ′′′)2
− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0 es orden 3 y grado 2.2 xy ′′ + 2y ′ + 3y = 6ex es de orden 2 y grado 1.3 (y ′′)3 + (y ′)2 = 4x2
− 4 es orden 2 y grado 3.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Grado de una ecuación diferencial
Grado de una ecuación diferencial
Si una una ecuación diferencial puede escribirse como un polinomio en su m’asalta derivada, se llama grado de la ecuaci|’on el exponente más alto de la másalta derivada.
Ejemplos:1 (y ′′′)2
− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0 es orden 3 y grado 2.2 xy ′′ + 2y ′ + 3y = 6ex es de orden 2 y grado 1.3 (y ′′)3 + (y ′)2 = 4x2
− 4 es orden 2 y grado 3.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Grado de una ecuación diferencial
Grado de una ecuación diferencial
Si una una ecuación diferencial puede escribirse como un polinomio en su m’asalta derivada, se llama grado de la ecuaci|’on el exponente más alto de la másalta derivada.
Ejemplos:1 (y ′′′)2
− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0 es orden 3 y grado 2.2 xy ′′ + 2y ′ + 3y = 6ex es de orden 2 y grado 1.3 (y ′′)3 + (y ′)2 = 4x2
− 4 es orden 2 y grado 3.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Grado de una ecuación diferencial
Grado de una ecuación diferencial
Si una una ecuación diferencial puede escribirse como un polinomio en su m’asalta derivada, se llama grado de la ecuaci|’on el exponente más alto de la másalta derivada.
Ejemplos:1 (y ′′′)2
− 2y ′y ′′′ + (y ′′)3 = 0 es orden 3 y grado 2.2 xy ′′ + 2y ′ + 3y = 6ex es de orden 2 y grado 1.3 (y ′′)3 + (y ′)2 = 4x2
− 4 es orden 2 y grado 3.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Curva integral de una ecuación diferencial
La gráfica de una solución de una ecuación diferencial se llama una curvaintegral de la ecuación diferencial
Hemos visto que la función
u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞)
es una solución de la ecuación u′ + u = e−t . Puede verificarse que también lo esla función
u1(t) = (t + 1)e−t
y que para cualquier constante C la a función
uC(t) = (t + C)e−t
también es solución de a ecuación diferencial dada.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Curva integral de una ecuación diferencial
La gráfica de una solución de una ecuación diferencial se llama una curvaintegral de la ecuación diferencial
Hemos visto que la función
u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞)
es una solución de la ecuación u′ + u = e−t . Puede verificarse que también lo esla función
u1(t) = (t + 1)e−t
y que para cualquier constante C la a función
uC(t) = (t + C)e−t
también es solución de a ecuación diferencial dada.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Curva integral de una ecuación diferencial
La gráfica de una solución de una ecuación diferencial se llama una curvaintegral de la ecuación diferencial
Hemos visto que la función
u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞)
es una solución de la ecuación u′ + u = e−t . Puede verificarse que también lo esla función
u1(t) = (t + 1)e−t
y que para cualquier constante C la a función
uC(t) = (t + C)e−t
también es solución de a ecuación diferencial dada.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Curva integral de una ecuación diferencial
La gráfica de una solución de una ecuación diferencial se llama una curvaintegral de la ecuación diferencial
Hemos visto que la función
u(t) = te−t , t ∈ (−∞,+∞)
es una solución de la ecuación u′ + u = e−t . Puede verificarse que también lo esla función
u1(t) = (t + 1)e−t
y que para cualquier constante C la a función
uC(t) = (t + C)e−t
también es solución de a ecuación diferencial dada.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales
Se dice que la ecuación
u′ + u = e−t
u(0) = 1
es una ecuación diferencial con condición inicial, o que es un problema convalores iniciales
Más ejemplos:
u′(t) = u√
t − 3
u(1) = 2 (1)
y ′′ + y = 0
y(1) = 3
y ′(1) = −4 (2)
y ′(t) = 2√
y
y(0) = 0 (3)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales
Se dice que la ecuación
u′ + u = e−t
u(0) = 1
es una ecuación diferencial con condición inicial, o que es un problema convalores iniciales
Más ejemplos:
u′(t) = u√
t − 3
u(1) = 2 (1)
y ′′ + y = 0
y(1) = 3
y ′(1) = −4 (2)
y ′(t) = 2√
y
y(0) = 0 (3)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales
Se dice que la ecuación
u′ + u = e−t
u(0) = 1
es una ecuación diferencial con condición inicial, o que es un problema convalores iniciales
Más ejemplos:
u′(t) = u√
t − 3
u(1) = 2 (1)
y ′′ + y = 0
y(1) = 3
y ′(1) = −4 (2)
y ′(t) = 2√
y
y(0) = 0 (3)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales
Se dice que la ecuación
u′ + u = e−t
u(0) = 1
es una ecuación diferencial con condición inicial, o que es un problema convalores iniciales
Más ejemplos:
u′(t) = u√
t − 3
u(1) = 2 (1)
y ′′ + y = 0
y(1) = 3
y ′(1) = −4 (2)
y ′(t) = 2√
y
y(0) = 0 (3)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales
Se dice que la ecuación
u′ + u = e−t
u(0) = 1
es una ecuación diferencial con condición inicial, o que es un problema convalores iniciales
Más ejemplos:
u′(t) = u√
t − 3
u(1) = 2 (1)
y ′′ + y = 0
y(1) = 3
y ′(1) = −4 (2)
y ′(t) = 2√
y
y(0) = 0 (3)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ecuaciones diferenciales con valores a la frontera
Si en una ecuación diferencial todas las condiciones están relacionadas conun sólo valor de la variable independiente, se trata de un Problema deValores Iniciales.
y ′′ + y = 0
y(1) = 3
y ′(1) = −4
Si en una ecuación diferencial las condiciones están relacionadas con dos omás valores de la variable independiente, se trata de un Problema deValores a la Frontera.
y ′′ + y = 0
y(0) = 1
y ′(1) = 5
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ecuaciones diferenciales con valores a la frontera
Si en una ecuación diferencial todas las condiciones están relacionadas conun sólo valor de la variable independiente, se trata de un Problema deValores Iniciales.
y ′′ + y = 0
y(1) = 3
y ′(1) = −4
Si en una ecuación diferencial las condiciones están relacionadas con dos omás valores de la variable independiente, se trata de un Problema deValores a la Frontera.
y ′′ + y = 0
y(0) = 1
y ′(1) = 5
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ecuaciones diferenciales con valores a la frontera
Si en una ecuación diferencial todas las condiciones están relacionadas conun sólo valor de la variable independiente, se trata de un Problema deValores Iniciales.
y ′′ + y = 0
y(1) = 3
y ′(1) = −4
Si en una ecuación diferencial las condiciones están relacionadas con dos omás valores de la variable independiente, se trata de un Problema deValores a la Frontera.
y ′′ + y = 0
y(0) = 1
y ′(1) = 5
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ecuaciones diferenciales con valores a la frontera
Si en una ecuación diferencial todas las condiciones están relacionadas conun sólo valor de la variable independiente, se trata de un Problema deValores Iniciales.
y ′′ + y = 0
y(1) = 3
y ′(1) = −4
Si en una ecuación diferencial las condiciones están relacionadas con dos omás valores de la variable independiente, se trata de un Problema deValores a la Frontera.
y ′′ + y = 0
y(0) = 1
y ′(1) = 5
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Presentación de las soluciones de una ecuaciones diferencial
Soluciones explícitas
La funcióny = 2sen x + 3 cos x , x ∈ (−∞,+∞)
es una solución de la ecuación diferencial
y ′′ + y = 0,
la cual se llama Solución Explícita de la ecuación, pues la función está“despejada”
Soluciones implícitas
La relaciónx2 + y2 = 25
define en el intervalo (−5, 5), dos Soluciones Implícitas para la ecuacióndiferencial
y ′y + x = 0,
a saber, define las soluciones: y1(x) =√
25 − x2 y y1(x) =√
25 − x2. En laexpresi’on x2 + y2 = 25, la función y no está “despejada”.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Presentación de las soluciones de una ecuaciones diferencial
Soluciones explícitas
La funcióny = 2sen x + 3 cos x , x ∈ (−∞,+∞)
es una solución de la ecuación diferencial
y ′′ + y = 0,
la cual se llama Solución Explícita de la ecuación, pues la función está“despejada”
Soluciones implícitas
La relaciónx2 + y2 = 25
define en el intervalo (−5, 5), dos Soluciones Implícitas para la ecuacióndiferencial
y ′y + x = 0,
a saber, define las soluciones: y1(x) =√
25 − x2 y y1(x) =√
25 − x2. En laexpresi’on x2 + y2 = 25, la función y no está “despejada”.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Presentación de las soluciones de una ecuaciones diferencial
Soluciones explícitas
La funcióny = 2sen x + 3 cos x , x ∈ (−∞,+∞)
es una solución de la ecuación diferencial
y ′′ + y = 0,
la cual se llama Solución Explícita de la ecuación, pues la función está“despejada”
Soluciones implícitas
La relaciónx2 + y2 = 25
define en el intervalo (−5, 5), dos Soluciones Implícitas para la ecuacióndiferencial
y ′y + x = 0,
a saber, define las soluciones: y1(x) =√
25 − x2 y y1(x) =√
25 − x2. En laexpresi’on x2 + y2 = 25, la función y no está “despejada”.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Presentación de las soluciones de una ecuaciones diferencial
Soluciones explícitas
La funcióny = 2sen x + 3 cos x , x ∈ (−∞,+∞)
es una solución de la ecuación diferencial
y ′′ + y = 0,
la cual se llama Solución Explícita de la ecuación, pues la función está“despejada”
Soluciones implícitas
La relaciónx2 + y2 = 25
define en el intervalo (−5, 5), dos Soluciones Implícitas para la ecuacióndiferencial
y ′y + x = 0,
a saber, define las soluciones: y1(x) =√
25 − x2 y y1(x) =√
25 − x2. En laexpresi’on x2 + y2 = 25, la función y no está “despejada”.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Presentación de las soluciones de una ecuaciones diferencial
Soluciones explícitas
La funcióny = 2sen x + 3 cos x , x ∈ (−∞,+∞)
es una solución de la ecuación diferencial
y ′′ + y = 0,
la cual se llama Solución Explícita de la ecuación, pues la función está“despejada”
Soluciones implícitas
La relaciónx2 + y2 = 25
define en el intervalo (−5, 5), dos Soluciones Implícitas para la ecuacióndiferencial
y ′y + x = 0,
a saber, define las soluciones: y1(x) =√
25 − x2 y y1(x) =√
25 − x2. En laexpresi’on x2 + y2 = 25, la función y no está “despejada”.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Presentación de las soluciones de una ecuaciones diferencial
Soluciones explícitas
La funcióny = 2sen x + 3 cos x , x ∈ (−∞,+∞)
es una solución de la ecuación diferencial
y ′′ + y = 0,
la cual se llama Solución Explícita de la ecuación, pues la función está“despejada”
Soluciones implícitas
La relaciónx2 + y2 = 25
define en el intervalo (−5, 5), dos Soluciones Implícitas para la ecuacióndiferencial
y ′y + x = 0,
a saber, define las soluciones: y1(x) =√
25 − x2 y y1(x) =√
25 − x2. En laexpresi’on x2 + y2 = 25, la función y no está “despejada”.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Solución explícita
La funcióny = sen x + x , x ∈ (−∞,+∞)
es una Solución Explícita de la ecuación
(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = 0
En efecto:
y ′ = cos x + 1
y ′′ = −sen x
(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = (2 − x cot x)(−sen x) − x(cos x + 1) + 2(sen x + x) − x
= −2sen x + x cos x − x − x cos x + 2x + 2sen x − x = 0
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Solución explícita
La funcióny = sen x + x , x ∈ (−∞,+∞)
es una Solución Explícita de la ecuación
(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = 0
En efecto:
y ′ = cos x + 1
y ′′ = −sen x
(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = (2 − x cot x)(−sen x) − x(cos x + 1) + 2(sen x + x) − x
= −2sen x + x cos x − x − x cos x + 2x + 2sen x − x = 0
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Solución explícita
La funcióny = sen x + x , x ∈ (−∞,+∞)
es una Solución Explícita de la ecuación
(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = 0
En efecto:
y ′ = cos x + 1
y ′′ = −sen x
(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = (2 − x cot x)(−sen x) − x(cos x + 1) + 2(sen x + x) − x
= −2sen x + x cos x − x − x cos x + 2x + 2sen x − x = 0
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Solución explícita
La funcióny = sen x + x , x ∈ (−∞,+∞)
es una Solución Explícita de la ecuación
(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = 0
En efecto:
y ′ = cos x + 1
y ′′ = −sen x
(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = (2 − x cot x)(−sen x) − x(cos x + 1) + 2(sen x + x) − x
= −2sen x + x cos x − x − x cos x + 2x + 2sen x − x = 0
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Solución explícita
La funcióny = sen x + x , x ∈ (−∞,+∞)
es una Solución Explícita de la ecuación
(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = 0
En efecto:
y ′ = cos x + 1
y ′′ = −sen x
(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = (2 − x cot x)(−sen x) − x(cos x + 1) + 2(sen x + x) − x
= −2sen x + x cos x − x − x cos x + 2x + 2sen x − x = 0
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Solución explícita
La funcióny = sen x + x , x ∈ (−∞,+∞)
es una Solución Explícita de la ecuación
(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = 0
En efecto:
y ′ = cos x + 1
y ′′ = −sen x
(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = (2 − x cot x)(−sen x) − x(cos x + 1) + 2(sen x + x) − x
= −2sen x + x cos x − x − x cos x + 2x + 2sen x − x = 0
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Solución explícita
La funcióny = sen x + x , x ∈ (−∞,+∞)
es una Solución Explícita de la ecuación
(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = 0
En efecto:
y ′ = cos x + 1
y ′′ = −sen x
(2 − x cot x)y ′′ − xy ′ + 2y − x = (2 − x cot x)(−sen x) − x(cos x + 1) + 2(sen x + x) − x
= −2sen x + x cos x − x − x cos x + 2x + 2sen x − x = 0
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Solución implícita
La relacióntan y − C(2 − ex)3 = 0 (4)
es la Solución Implícita de la ecuación diferencial
3ex tan y dx + (2 − ex) sec2 y dy = 0 (5)
Transformemos primero la ecuación (5), “dividiéndola por dx”:
3ex tan y + (2 − ex) sec2 yy ′ = 0 (6)
Derivemos ahora implícitamente la relación (4):
sec2 yy ′ − 3C(2 − ex )2(−ex ) = 0
(2 − ex ) sec2 yy ′ + 3C(2 − ex )3ex = 0
(2 − ex ) sec2 y y ′ + 3 tan y ex = 0
verificando que se satisface (??)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Solución implícita
La relacióntan y − C(2 − ex)3 = 0 (4)
es la Solución Implícita de la ecuación diferencial
3ex tan y dx + (2 − ex) sec2 y dy = 0 (5)
Transformemos primero la ecuación (5), “dividiéndola por dx”:
3ex tan y + (2 − ex) sec2 yy ′ = 0 (6)
Derivemos ahora implícitamente la relación (4):
sec2 yy ′ − 3C(2 − ex )2(−ex ) = 0
(2 − ex ) sec2 yy ′ + 3C(2 − ex )3ex = 0
(2 − ex ) sec2 y y ′ + 3 tan y ex = 0
verificando que se satisface (??)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Solución implícita
La relacióntan y − C(2 − ex)3 = 0 (4)
es la Solución Implícita de la ecuación diferencial
3ex tan y dx + (2 − ex) sec2 y dy = 0 (5)
Transformemos primero la ecuación (5), “dividiéndola por dx”:
3ex tan y + (2 − ex) sec2 yy ′ = 0 (6)
Derivemos ahora implícitamente la relación (4):
sec2 yy ′ − 3C(2 − ex )2(−ex ) = 0
(2 − ex ) sec2 yy ′ + 3C(2 − ex )3ex = 0
(2 − ex ) sec2 y y ′ + 3 tan y ex = 0
verificando que se satisface (??)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Solución implícita
La relacióntan y − C(2 − ex)3 = 0 (4)
es la Solución Implícita de la ecuación diferencial
3ex tan y dx + (2 − ex) sec2 y dy = 0 (5)
Transformemos primero la ecuación (5), “dividiéndola por dx”:
3ex tan y + (2 − ex) sec2 yy ′ = 0 (6)
Derivemos ahora implícitamente la relación (4):
sec2 yy ′ − 3C(2 − ex )2(−ex ) = 0
(2 − ex ) sec2 yy ′ + 3C(2 − ex )3ex = 0
(2 − ex ) sec2 y y ′ + 3 tan y ex = 0
verificando que se satisface (??)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Solución implícita
La relacióntan y − C(2 − ex)3 = 0 (4)
es la Solución Implícita de la ecuación diferencial
3ex tan y dx + (2 − ex) sec2 y dy = 0 (5)
Transformemos primero la ecuación (5), “dividiéndola por dx”:
3ex tan y + (2 − ex) sec2 yy ′ = 0 (6)
Derivemos ahora implícitamente la relación (4):
sec2 yy ′ − 3C(2 − ex )2(−ex ) = 0
(2 − ex ) sec2 yy ′ + 3C(2 − ex )3ex = 0
(2 − ex ) sec2 y y ′ + 3 tan y ex = 0
verificando que se satisface (??)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Solución implícita
La relacióntan y − C(2 − ex)3 = 0 (4)
es la Solución Implícita de la ecuación diferencial
3ex tan y dx + (2 − ex) sec2 y dy = 0 (5)
Transformemos primero la ecuación (5), “dividiéndola por dx”:
3ex tan y + (2 − ex) sec2 yy ′ = 0 (6)
Derivemos ahora implícitamente la relación (4):
sec2 yy ′ − 3C(2 − ex )2(−ex ) = 0
(2 − ex ) sec2 yy ′ + 3C(2 − ex )3ex = 0
(2 − ex ) sec2 y y ′ + 3 tan y ex = 0
verificando que se satisface (??)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Solución implícita
La relacióntan y − C(2 − ex)3 = 0 (4)
es la Solución Implícita de la ecuación diferencial
3ex tan y dx + (2 − ex) sec2 y dy = 0 (5)
Transformemos primero la ecuación (5), “dividiéndola por dx”:
3ex tan y + (2 − ex) sec2 yy ′ = 0 (6)
Derivemos ahora implícitamente la relación (4):
sec2 yy ′ − 3C(2 − ex )2(−ex ) = 0
(2 − ex ) sec2 yy ′ + 3C(2 − ex )3ex = 0
(2 − ex ) sec2 y y ′ + 3 tan y ex = 0
verificando que se satisface (??)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Solución implícita
La relacióntan y − C(2 − ex)3 = 0 (4)
es la Solución Implícita de la ecuación diferencial
3ex tan y dx + (2 − ex) sec2 y dy = 0 (5)
Transformemos primero la ecuación (5), “dividiéndola por dx”:
3ex tan y + (2 − ex) sec2 yy ′ = 0 (6)
Derivemos ahora implícitamente la relación (4):
sec2 yy ′ − 3C(2 − ex )2(−ex ) = 0
(2 − ex ) sec2 yy ′ + 3C(2 − ex )3ex = 0
(2 − ex ) sec2 y y ′ + 3 tan y ex = 0
verificando que se satisface (??)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ecuación diferencial lineal de orden n
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama LINEAL, si tiene la forma
an(x)dnydxn
+ an−1(x)dn−1ydxn−1
+ · · ·+ a2(x)d2ydx2
+ a1(x)dydx
+ a0(x)y = b(x) (7)
en donde ai(x), i = 0, 1, 2, · · · , n y b(x) son funciones independientes de lavariable y .
Observamos las siguientes características:
La función y y todas sus derivadas y ′, y ′′, · · · y (n) tienen potencia 1.
ai(x) depende sólo de x .
No contiene funciones trascendentes de y ni de sus derivadas, ni productosde las derivadas de y .
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ecuación diferencial lineal de orden n
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama LINEAL, si tiene la forma
an(x)dnydxn
+ an−1(x)dn−1ydxn−1
+ · · ·+ a2(x)d2ydx2
+ a1(x)dydx
+ a0(x)y = b(x) (7)
en donde ai(x), i = 0, 1, 2, · · · , n y b(x) son funciones independientes de lavariable y .
Observamos las siguientes características:
La función y y todas sus derivadas y ′, y ′′, · · · y (n) tienen potencia 1.
ai(x) depende sólo de x .
No contiene funciones trascendentes de y ni de sus derivadas, ni productosde las derivadas de y .
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ecuación diferencial lineal de orden n
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama LINEAL, si tiene la forma
an(x)dnydxn
+ an−1(x)dn−1ydxn−1
+ · · ·+ a2(x)d2ydx2
+ a1(x)dydx
+ a0(x)y = b(x) (7)
en donde ai(x), i = 0, 1, 2, · · · , n y b(x) son funciones independientes de lavariable y .
Observamos las siguientes características:
La función y y todas sus derivadas y ′, y ′′, · · · y (n) tienen potencia 1.
ai(x) depende sólo de x .
No contiene funciones trascendentes de y ni de sus derivadas, ni productosde las derivadas de y .
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ecuación diferencial lineal de orden n
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama LINEAL, si tiene la forma
an(x)dnydxn
+ an−1(x)dn−1ydxn−1
+ · · ·+ a2(x)d2ydx2
+ a1(x)dydx
+ a0(x)y = b(x) (7)
en donde ai(x), i = 0, 1, 2, · · · , n y b(x) son funciones independientes de lavariable y .
Observamos las siguientes características:
La función y y todas sus derivadas y ′, y ′′, · · · y (n) tienen potencia 1.
ai(x) depende sólo de x .
No contiene funciones trascendentes de y ni de sus derivadas, ni productosde las derivadas de y .
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ecuación diferencial lineal de orden n
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama LINEAL, si tiene la forma
an(x)dnydxn
+ an−1(x)dn−1ydxn−1
+ · · ·+ a2(x)d2ydx2
+ a1(x)dydx
+ a0(x)y = b(x) (7)
en donde ai(x), i = 0, 1, 2, · · · , n y b(x) son funciones independientes de lavariable y .
Observamos las siguientes características:
La función y y todas sus derivadas y ′, y ′′, · · · y (n) tienen potencia 1.
ai(x) depende sólo de x .
No contiene funciones trascendentes de y ni de sus derivadas, ni productosde las derivadas de y .
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ecuación diferencial lineal de orden n
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama LINEAL, si tiene la forma
an(x)dnydxn
+ an−1(x)dn−1ydxn−1
+ · · ·+ a2(x)d2ydx2
+ a1(x)dydx
+ a0(x)y = b(x) (7)
en donde ai(x), i = 0, 1, 2, · · · , n y b(x) son funciones independientes de lavariable y .
Observamos las siguientes características:
La función y y todas sus derivadas y ′, y ′′, · · · y (n) tienen potencia 1.
ai(x) depende sólo de x .
No contiene funciones trascendentes de y ni de sus derivadas, ni productosde las derivadas de y .
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Ejemplos de ecuación diferenciales lineales
y ′′ − y = 2
xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x
y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1
Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales
y ′′ − cos y = x
y ′ − y2 = x3
y ′′y ′ − y = x
(y ′)2 + y = 1
xy ′′ + ln y = tan x
xy ′ + y = x4y3
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Ejemplos de ecuación diferenciales lineales
y ′′ − y = 2
xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x
y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1
Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales
y ′′ − cos y = x
y ′ − y2 = x3
y ′′y ′ − y = x
(y ′)2 + y = 1
xy ′′ + ln y = tan x
xy ′ + y = x4y3
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Ejemplos de ecuación diferenciales lineales
y ′′ − y = 2
xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x
y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1
Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales
y ′′ − cos y = x
y ′ − y2 = x3
y ′′y ′ − y = x
(y ′)2 + y = 1
xy ′′ + ln y = tan x
xy ′ + y = x4y3
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Ejemplos de ecuación diferenciales lineales
y ′′ − y = 2
xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x
y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1
Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales
y ′′ − cos y = x
y ′ − y2 = x3
y ′′y ′ − y = x
(y ′)2 + y = 1
xy ′′ + ln y = tan x
xy ′ + y = x4y3
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Ejemplos de ecuación diferenciales lineales
y ′′ − y = 2
xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x
y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1
Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales
y ′′ − cos y = x
y ′ − y2 = x3
y ′′y ′ − y = x
(y ′)2 + y = 1
xy ′′ + ln y = tan x
xy ′ + y = x4y3
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Ejemplos de ecuación diferenciales lineales
y ′′ − y = 2
xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x
y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1
Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales
y ′′ − cos y = x
y ′ − y2 = x3
y ′′y ′ − y = x
(y ′)2 + y = 1
xy ′′ + ln y = tan x
xy ′ + y = x4y3
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Ejemplos de ecuación diferenciales lineales
y ′′ − y = 2
xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x
y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1
Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales
y ′′ − cos y = x
y ′ − y2 = x3
y ′′y ′ − y = x
(y ′)2 + y = 1
xy ′′ + ln y = tan x
xy ′ + y = x4y3
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Ejemplos de ecuación diferenciales lineales
y ′′ − y = 2
xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x
y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1
Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales
y ′′ − cos y = x
y ′ − y2 = x3
y ′′y ′ − y = x
(y ′)2 + y = 1
xy ′′ + ln y = tan x
xy ′ + y = x4y3
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Ejemplos de ecuación diferenciales lineales
y ′′ − y = 2
xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x
y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1
Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales
y ′′ − cos y = x
y ′ − y2 = x3
y ′′y ′ − y = x
(y ′)2 + y = 1
xy ′′ + ln y = tan x
xy ′ + y = x4y3
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Ejemplos
Ejemplos de ecuación diferenciales lineales
y ′′ − y = 2
xy ′′′ − ln(x)y ′ − ex y = cos x
y ′′ + x3y ′ + y = x2 + 1
Ejemplos de ecuación diferenciales no lineales
y ′′ − cos y = x
y ′ − y2 = x3
y ′′y ′ − y = x
(y ′)2 + y = 1
xy ′′ + ln y = tan x
xy ′ + y = x4y3
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Separación de variables
Decaimiento radioactivo
Elementos radioactivos, como el radio o el uranio, tienden a desintegrarse odecaer con el paso del tiempo, debido a la emisión de electrones. Algunassustancias lo hacen más rápido que otras. Existe un principio general quegobierna la razón o la velocidad a la cual estas sustancias se desintegran:
El decaimiento radioactivo tiene lugar continuamente.
El decaimiento radioactivo ocurre a una razón proporcional a la cantidadpresente de la sustancia en un momento dado.
dAdt
= −kA (8)
en donde
A(t) cantidad de la sustancia, presente al tiempo t .
K Constante positiva de proporcionalidad, la cual depende de la sustancia.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Separación de variables
Decaimiento radioactivo
Elementos radioactivos, como el radio o el uranio, tienden a desintegrarse odecaer con el paso del tiempo, debido a la emisión de electrones. Algunassustancias lo hacen más rápido que otras. Existe un principio general quegobierna la razón o la velocidad a la cual estas sustancias se desintegran:
El decaimiento radioactivo tiene lugar continuamente.
El decaimiento radioactivo ocurre a una razón proporcional a la cantidadpresente de la sustancia en un momento dado.
dAdt
= −kA (8)
en donde
A(t) cantidad de la sustancia, presente al tiempo t .
K Constante positiva de proporcionalidad, la cual depende de la sustancia.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Separación de variables
Decaimiento radioactivo
Elementos radioactivos, como el radio o el uranio, tienden a desintegrarse odecaer con el paso del tiempo, debido a la emisión de electrones. Algunassustancias lo hacen más rápido que otras. Existe un principio general quegobierna la razón o la velocidad a la cual estas sustancias se desintegran:
El decaimiento radioactivo tiene lugar continuamente.
El decaimiento radioactivo ocurre a una razón proporcional a la cantidadpresente de la sustancia en un momento dado.
dAdt
= −kA (8)
en donde
A(t) cantidad de la sustancia, presente al tiempo t .
K Constante positiva de proporcionalidad, la cual depende de la sustancia.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Separación de variables
Decaimiento radioactivo
Elementos radioactivos, como el radio o el uranio, tienden a desintegrarse odecaer con el paso del tiempo, debido a la emisión de electrones. Algunassustancias lo hacen más rápido que otras. Existe un principio general quegobierna la razón o la velocidad a la cual estas sustancias se desintegran:
El decaimiento radioactivo tiene lugar continuamente.
El decaimiento radioactivo ocurre a una razón proporcional a la cantidadpresente de la sustancia en un momento dado.
dAdt
= −kA (8)
en donde
A(t) cantidad de la sustancia, presente al tiempo t .
K Constante positiva de proporcionalidad, la cual depende de la sustancia.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Separación de variables
Decaimiento radioactivo
Elementos radioactivos, como el radio o el uranio, tienden a desintegrarse odecaer con el paso del tiempo, debido a la emisión de electrones. Algunassustancias lo hacen más rápido que otras. Existe un principio general quegobierna la razón o la velocidad a la cual estas sustancias se desintegran:
El decaimiento radioactivo tiene lugar continuamente.
El decaimiento radioactivo ocurre a una razón proporcional a la cantidadpresente de la sustancia en un momento dado.
dAdt
= −kA (8)
en donde
A(t) cantidad de la sustancia, presente al tiempo t .
K Constante positiva de proporcionalidad, la cual depende de la sustancia.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Separación de variables
Decaimiento radioactivo
Elementos radioactivos, como el radio o el uranio, tienden a desintegrarse odecaer con el paso del tiempo, debido a la emisión de electrones. Algunassustancias lo hacen más rápido que otras. Existe un principio general quegobierna la razón o la velocidad a la cual estas sustancias se desintegran:
El decaimiento radioactivo tiene lugar continuamente.
El decaimiento radioactivo ocurre a una razón proporcional a la cantidadpresente de la sustancia en un momento dado.
dAdt
= −kA (8)
en donde
A(t) cantidad de la sustancia, presente al tiempo t .
K Constante positiva de proporcionalidad, la cual depende de la sustancia.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Separación de variables
Decaimiento radioactivo
Elementos radioactivos, como el radio o el uranio, tienden a desintegrarse odecaer con el paso del tiempo, debido a la emisión de electrones. Algunassustancias lo hacen más rápido que otras. Existe un principio general quegobierna la razón o la velocidad a la cual estas sustancias se desintegran:
El decaimiento radioactivo tiene lugar continuamente.
El decaimiento radioactivo ocurre a una razón proporcional a la cantidadpresente de la sustancia en un momento dado.
dAdt
= −kA (8)
en donde
A(t) cantidad de la sustancia, presente al tiempo t .
K Constante positiva de proporcionalidad, la cual depende de la sustancia.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
Problema
Si 20 g de una sustancia radioactiva se reducen, después de 6 años dedecaimiento radioactivo, a 18 g, determinar la cantidad de sustancia A(t) quequedará después de 15 años.
Pensando en la derivada como un cociente, igual que lo pensaba Leibnitz,reescribimos la ecuación (8):
1A
dA = −Kdt∫1A
dA =
∫−Kdt
ln(A(t)) + C1 = −Kt + C2
ln(A(t)) = −Kt + C, C = C2 − C1
A(t) = e−Kt+C = e−Kt eC
Solución general
A(t) = eCe−Kt
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
Problema
Si 20 g de una sustancia radioactiva se reducen, después de 6 años dedecaimiento radioactivo, a 18 g, determinar la cantidad de sustancia A(t) quequedará después de 15 años.
Pensando en la derivada como un cociente, igual que lo pensaba Leibnitz,reescribimos la ecuación (8):
1A
dA = −Kdt∫1A
dA =
∫−Kdt
ln(A(t)) + C1 = −Kt + C2
ln(A(t)) = −Kt + C, C = C2 − C1
A(t) = e−Kt+C = e−Kt eC
Solución general
A(t) = eCe−Kt
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
Problema
Si 20 g de una sustancia radioactiva se reducen, después de 6 años dedecaimiento radioactivo, a 18 g, determinar la cantidad de sustancia A(t) quequedará después de 15 años.
Pensando en la derivada como un cociente, igual que lo pensaba Leibnitz,reescribimos la ecuación (8):
1A
dA = −Kdt∫1A
dA =
∫−Kdt
ln(A(t)) + C1 = −Kt + C2
ln(A(t)) = −Kt + C, C = C2 − C1
A(t) = e−Kt+C = e−Kt eC
Solución general
A(t) = eCe−Kt
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
Problema
Si 20 g de una sustancia radioactiva se reducen, después de 6 años dedecaimiento radioactivo, a 18 g, determinar la cantidad de sustancia A(t) quequedará después de 15 años.
Pensando en la derivada como un cociente, igual que lo pensaba Leibnitz,reescribimos la ecuación (8):
1A
dA = −Kdt∫1A
dA =
∫−Kdt
ln(A(t)) + C1 = −Kt + C2
ln(A(t)) = −Kt + C, C = C2 − C1
A(t) = e−Kt+C = e−Kt eC
Solución general
A(t) = eCe−Kt
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
Problema
Si 20 g de una sustancia radioactiva se reducen, después de 6 años dedecaimiento radioactivo, a 18 g, determinar la cantidad de sustancia A(t) quequedará después de 15 años.
Pensando en la derivada como un cociente, igual que lo pensaba Leibnitz,reescribimos la ecuación (8):
1A
dA = −Kdt∫1A
dA =
∫−Kdt
ln(A(t)) + C1 = −Kt + C2
ln(A(t)) = −Kt + C, C = C2 − C1
A(t) = e−Kt+C = e−Kt eC
Solución general
A(t) = eCe−Kt
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
Problema
Si 20 g de una sustancia radioactiva se reducen, después de 6 años dedecaimiento radioactivo, a 18 g, determinar la cantidad de sustancia A(t) quequedará después de 15 años.
Pensando en la derivada como un cociente, igual que lo pensaba Leibnitz,reescribimos la ecuación (8):
1A
dA = −Kdt∫1A
dA =
∫−Kdt
ln(A(t)) + C1 = −Kt + C2
ln(A(t)) = −Kt + C, C = C2 − C1
A(t) = e−Kt+C = e−Kt eC
Solución general
A(t) = eCe−Kt
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
Problema
Si 20 g de una sustancia radioactiva se reducen, después de 6 años dedecaimiento radioactivo, a 18 g, determinar la cantidad de sustancia A(t) quequedará después de 15 años.
Pensando en la derivada como un cociente, igual que lo pensaba Leibnitz,reescribimos la ecuación (8):
1A
dA = −Kdt∫1A
dA =
∫−Kdt
ln(A(t)) + C1 = −Kt + C2
ln(A(t)) = −Kt + C, C = C2 − C1
A(t) = e−Kt+C = e−Kt eC
Solución general
A(t) = eCe−Kt
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
Problema
Si 20 g de una sustancia radioactiva se reducen, después de 6 años dedecaimiento radioactivo, a 18 g, determinar la cantidad de sustancia A(t) quequedará después de 15 años.
Pensando en la derivada como un cociente, igual que lo pensaba Leibnitz,reescribimos la ecuación (8):
1A
dA = −Kdt∫1A
dA =
∫−Kdt
ln(A(t)) + C1 = −Kt + C2
ln(A(t)) = −Kt + C, C = C2 − C1
A(t) = e−Kt+C = e−Kt eC
Solución general
A(t) = eCe−Kt
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:
A(0) = 20, Condición inicial
A(0) = e0eC = eC
eC = 20
A(6) = 18, Condición adicional
A(6) = e−6K eC = e−6K 20
18 = 20e−6K
1820
= e−6K
ln(1820
) = −6K
− K =16
ln(910
) = −16
ln(109)
A(t) = 20e−16 ln 10
9 t
A(15) = 20e−156 ln 10
9 = 20(9
10)
52 ≈ 15.37g
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:
A(0) = 20, Condición inicial
A(0) = e0eC = eC
eC = 20
A(6) = 18, Condición adicional
A(6) = e−6K eC = e−6K 20
18 = 20e−6K
1820
= e−6K
ln(1820
) = −6K
− K =16
ln(9
10) = −
16
ln(109)
A(t) = 20e−16 ln 10
9 t
A(15) = 20e−156 ln 10
9 = 20(9
10)
52 ≈ 15.37g
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:
A(0) = 20, Condición inicial
A(0) = e0eC = eC
eC = 20
A(6) = 18, Condición adicional
A(6) = e−6K eC = e−6K 20
18 = 20e−6K
1820
= e−6K
ln(1820
) = −6K
− K =16
ln(9
10) = −
16
ln(109)
A(t) = 20e−16 ln 10
9 t
A(15) = 20e−156 ln 10
9 = 20(9
10)
52 ≈ 15.37g
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:
A(0) = 20, Condición inicial
A(0) = e0eC = eC
eC = 20
A(6) = 18, Condición adicional
A(6) = e−6K eC = e−6K 20
18 = 20e−6K
1820
= e−6K
ln(1820
) = −6K
− K =16
ln(9
10) = −
16
ln(109)
A(t) = 20e−16 ln 10
9 t
A(15) = 20e−156 ln 10
9 = 20(9
10)
52 ≈ 15.37g
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:
A(0) = 20, Condición inicial
A(0) = e0eC = eC
eC = 20
A(6) = 18, Condición adicional
A(6) = e−6K eC = e−6K 20
18 = 20e−6K
1820
= e−6K
ln(1820
) = −6K
− K =16
ln(9
10) = −
16
ln(109)
A(t) = 20e−16 ln 10
9 t
A(15) = 20e−156 ln 10
9 = 20(9
10)
52 ≈ 15.37g
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:
A(0) = 20, Condición inicial
A(0) = e0eC = eC
eC = 20
A(6) = 18, Condición adicional
A(6) = e−6K eC = e−6K 20
18 = 20e−6K
1820
= e−6K
ln(1820
) = −6K
− K =16
ln(9
10) = −
16
ln(109)
A(t) = 20e−16 ln 10
9 t
A(15) = 20e−156 ln 10
9 = 20(9
10)
52 ≈ 15.37g
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:
A(0) = 20, Condición inicial
A(0) = e0eC = eC
eC = 20
A(6) = 18, Condición adicional
A(6) = e−6K eC = e−6K 20
18 = 20e−6K
1820
= e−6K
ln(1820
) = −6K
− K =16
ln(9
10) = −
16
ln(109)
A(t) = 20e−16 ln 10
9 t
A(15) = 20e−156 ln 10
9 = 20(9
10)
52 ≈ 15.37g
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:
A(0) = 20, Condición inicial
A(0) = e0eC = eC
eC = 20
A(6) = 18, Condición adicional
A(6) = e−6K eC = e−6K 20
18 = 20e−6K
1820
= e−6K
ln(1820
) = −6K
− K =16
ln(9
10) = −
16
ln(109)
A(t) = 20e−16 ln 10
9 t
A(15) = 20e−156 ln 10
9 = 20(9
10)
52 ≈ 15.37g
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:
A(0) = 20, Condición inicial
A(0) = e0eC = eC
eC = 20
A(6) = 18, Condición adicional
A(6) = e−6K eC = e−6K 20
18 = 20e−6K
1820
= e−6K
ln(1820
) = −6K
− K =16
ln(9
10) = −
16
ln(109)
A(t) = 20e−16 ln 10
9 t
A(15) = 20e−156 ln 10
9 = 20(9
10)
52 ≈ 15.37g
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:
A(0) = 20, Condición inicial
A(0) = e0eC = eC
eC = 20
A(6) = 18, Condición adicional
A(6) = e−6K eC = e−6K 20
18 = 20e−6K
1820
= e−6K
ln(1820
) = −6K
− K =16
ln(9
10) = −
16
ln(109)
A(t) = 20e−16 ln 10
9 t
A(15) = 20e−156 ln 10
9 = 20(9
10)
52 ≈ 15.37g
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:
A(0) = 20, Condición inicial
A(0) = e0eC = eC
eC = 20
A(6) = 18, Condición adicional
A(6) = e−6K eC = e−6K 20
18 = 20e−6K
1820
= e−6K
ln(1820
) = −6K
− K =16
ln(9
10) = −
16
ln(109)
A(t) = 20e−16 ln 10
9 t
A(15) = 20e−156 ln 10
9 = 20(9
10)
52 ≈ 15.37g
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método de separación de variables
A partir de la solución general obtenida: A(t) = eCe−Kt y las condiciones dadasse tiene:
A(0) = 20, Condición inicial
A(0) = e0eC = eC
eC = 20
A(6) = 18, Condición adicional
A(6) = e−6K eC = e−6K 20
18 = 20e−6K
1820
= e−6K
ln(1820
) = −6K
− K =16
ln(9
10) = −
16
ln(109)
A(t) = 20e−16 ln 10
9 t
A(15) = 20e−156 ln 10
9 = 20(9
10)
52 ≈ 15.37g
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método general de separación de variables.
Consideremos una ecuación de primer orden en su forma normal
y ′(x) = f (x , y) (9)
Si es posible escribir a f (x , y) como un producto de dos funciones, una funciónde x y otra función de y :
f (x , y) = f1(x)f2(y),
entonces la ecuación (9) puede escribirse como:dydx
= f1(x)f2(y) (10)
de donde, si f2(y) , 0,dy
f2(y)= f1(x)dx (11)
es decir,
f1(x)dx −1
f2(y)dy = 0 (12)
o en generalM(x)dx + N(y)dy = 0 (13)
la cual puede integrarse término a término:∫M(x)dx +
∫N(y)dy = C (14)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método general de separación de variables.
Consideremos una ecuación de primer orden en su forma normal
y ′(x) = f (x , y) (9)
Si es posible escribir a f (x , y) como un producto de dos funciones, una funciónde x y otra función de y :
f (x , y) = f1(x)f2(y),
entonces la ecuación (9) puede escribirse como:dydx
= f1(x)f2(y) (10)
de donde, si f2(y) , 0,dy
f2(y)= f1(x)dx (11)
es decir,
f1(x)dx −1
f2(y)dy = 0 (12)
o en generalM(x)dx + N(y)dy = 0 (13)
la cual puede integrarse término a término:∫M(x)dx +
∫N(y)dy = C (14)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método general de separación de variables.
Consideremos una ecuación de primer orden en su forma normal
y ′(x) = f (x , y) (9)
Si es posible escribir a f (x , y) como un producto de dos funciones, una funciónde x y otra función de y :
f (x , y) = f1(x)f2(y),
entonces la ecuación (9) puede escribirse como:dydx
= f1(x)f2(y) (10)
de donde, si f2(y) , 0,dy
f2(y)= f1(x)dx (11)
es decir,
f1(x)dx −1
f2(y)dy = 0 (12)
o en generalM(x)dx + N(y)dy = 0 (13)
la cual puede integrarse término a término:∫M(x)dx +
∫N(y)dy = C (14)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método general de separación de variables.
Consideremos una ecuación de primer orden en su forma normal
y ′(x) = f (x , y) (9)
Si es posible escribir a f (x , y) como un producto de dos funciones, una funciónde x y otra función de y :
f (x , y) = f1(x)f2(y),
entonces la ecuación (9) puede escribirse como:dydx
= f1(x)f2(y) (10)
de donde, si f2(y) , 0,dy
f2(y)= f1(x)dx (11)
es decir,
f1(x)dx −1
f2(y)dy = 0 (12)
o en generalM(x)dx + N(y)dy = 0 (13)
la cual puede integrarse término a término:∫M(x)dx +
∫N(y)dy = C (14)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método general de separación de variables.
Consideremos una ecuación de primer orden en su forma normal
y ′(x) = f (x , y) (9)
Si es posible escribir a f (x , y) como un producto de dos funciones, una funciónde x y otra función de y :
f (x , y) = f1(x)f2(y),
entonces la ecuación (9) puede escribirse como:dydx
= f1(x)f2(y) (10)
de donde, si f2(y) , 0,dy
f2(y)= f1(x)dx (11)
es decir,
f1(x)dx −1
f2(y)dy = 0 (12)
o en generalM(x)dx + N(y)dy = 0 (13)
la cual puede integrarse término a término:∫M(x)dx +
∫N(y)dy = C (14)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método general de separación de variables.
Consideremos una ecuación de primer orden en su forma normal
y ′(x) = f (x , y) (9)
Si es posible escribir a f (x , y) como un producto de dos funciones, una funciónde x y otra función de y :
f (x , y) = f1(x)f2(y),
entonces la ecuación (9) puede escribirse como:dydx
= f1(x)f2(y) (10)
de donde, si f2(y) , 0,dy
f2(y)= f1(x)dx (11)
es decir,
f1(x)dx −1
f2(y)dy = 0 (12)
o en generalM(x)dx + N(y)dy = 0 (13)
la cual puede integrarse término a término:∫M(x)dx +
∫N(y)dy = C (14)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método general de separación de variables.
Consideremos una ecuación de primer orden en su forma normal
y ′(x) = f (x , y) (9)
Si es posible escribir a f (x , y) como un producto de dos funciones, una funciónde x y otra función de y :
f (x , y) = f1(x)f2(y),
entonces la ecuación (9) puede escribirse como:dydx
= f1(x)f2(y) (10)
de donde, si f2(y) , 0,dy
f2(y)= f1(x)dx (11)
es decir,
f1(x)dx −1
f2(y)dy = 0 (12)
o en generalM(x)dx + N(y)dy = 0 (13)
la cual puede integrarse término a término:∫M(x)dx +
∫N(y)dy = C (14)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Método general de separación de variables.
Consideremos una ecuación de primer orden en su forma normal
y ′(x) = f (x , y) (9)
Si es posible escribir a f (x , y) como un producto de dos funciones, una funciónde x y otra función de y :
f (x , y) = f1(x)f2(y),
entonces la ecuación (9) puede escribirse como:dydx
= f1(x)f2(y) (10)
de donde, si f2(y) , 0,dy
f2(y)= f1(x)dx (11)
es decir,
f1(x)dx −1
f2(y)dy = 0 (12)
o en generalM(x)dx + N(y)dy = 0 (13)
la cual puede integrarse término a término:∫M(x)dx +
∫N(y)dy = C (14)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Top Related