1.4 Planteamiento de ecuaciones diferenciales
1.4.1. Operadores diferenciales
Un operador diferencial es una regla L que usa derivadas para asignar una función L() a todafunción suficientemente diferenciable . A la función L() se le llama imagen de bajo L.
Ejemplo
Sea el operador diferencial definido por
L = 2
2+ 16 (1.330)
Este operador es una regla que indica que la salida de calcula a partir de la entrada como la
segunda derivada sumando 16 veces la función de entrada. Por ejemplo, sea 1 = 5, 2 = cos 5
L (1) =25
2+ 255 = 505 (1.331)
L (2) =2 cos 5
2+ 25 cos 5 = 0 (1.332)
Por tanto, la imagen de 1 bajo L es la función 505 y de la 2 es la función cero.
Utilizando la notación
=
; 2 =
2
2; =
(1.333)
una EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes 00 + 0 + = 0, el
operador diferencial de segundo orden es
L = 2 + + = 0 (1.334)
donde es un operador identidad definido como = , por lo que se puede escribir una EDO
como
L () =¡2 + +
¢ = 0 (1.335)
= 2
2+
+ = 0 (1.336)
Se define al operador nabla ∇ como:
c°Gelacio Juárez, UAM 68
1.4 Planteamiento de ecuaciones diferenciales
∇ =
⎡⎢⎢⎣123
⎤⎥⎥⎦ (1.337)
Los operadores que mapean vectores a vectores generalmente se representan por símbolos mayús-
culos negritos. El operador nabla aplicado a una función escalar, (1 2 3), proporciona el
gradiente de dicha función.
∇ = grad =
⎡⎢⎢⎣123
⎤⎥⎥⎦ (1.338)
El divergente de un tensor de primer orden se obtiene mediante el producto punto con el operador
nabla:
∇ · u = divu = =1
1+
2
2+
3
3(1.339)
El divergente de un tensor de primer segundo orden proporciona un vector:
∇ · σ = divσ = σ =
⎡⎢⎢⎣111
+ 122
+ 133
211
+ 222
+ 233
311
+ 322
+ 333
⎤⎥⎥⎦ (1.340)
Tarea
Aplique el operador diferencial a las funciones dadas,
L = ( − )2 , , , sin
L = ¡82 + 2 − ¢2, cosh 1
2, sin 1
2, 2
L = ( − 4)2 ( + 3) , 3 − 2, sin 4
Determine el operador diferencial L de las siguientes ecuaciones,
2 ()
2+ () = 0; L ( ())
4 ()
2− () = 0; L ( ())
()
− () = 0; L ( ())
()
− () = 0; L ( ())
c°Gelacio Juárez, UAM 69
1.4 Planteamiento de ecuaciones diferenciales
1.4.2. Existencia y unicidad: Wronskiano
Definition 5 El Wronskiano. Suponga que cada una de las funciones 1 (), 2 (), . . . ()
poseen − 1 derivadas al menos. El determinante
(1 2 ) =
¯¯¯
1 2
01 02 0...
......
(−1)1
(−1)2
(−1)3
¯¯¯
donde las primas representan las derivadas, es el wronskiano de las funciones.
Theorem 6 Criterio para soluciones linealmente independientes
Sean soluciones, 1, 2, . . . de una ecuación diferencial lineal, homogénea y de orden n, en
un intervalo I. Entonces, el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y sólosi
(1 2 ) 6= 0
para el intervalo.
2
2− 5
+ 6 = 0 (1.341)
Ejemplo. La función () = 22 + 2
3 es solución de la ecuación diferencial homogénea
− 50 + 6 = 0, definida en la ec. (1.249) en el intervalo (−∞∞). Para corroborar que lassoluciones son linealmente independientes en todos los reales o en todo R. Se puede corroborar
con el wronskiano
¡2 3
¢=
¯¯ 2 3
22 33
¯¯ = 332 − 223 = 5 6= 0
para toda x. Concluyendo que forman un conjunto fundamental de soluciones y , en conse-
cuencia es la solución de la ecuación en el intervalo.
Ejemplo. La función () = (1 + 2) es solución de la ecuación diferencial homogénea
− 20 + 1 = 0, definida en la ec. (1.259) en el intervalo (−∞∞). Para corroborar que lassoluciones son linealmente independientes en todos los reales o en todo R. Se puede corroborar
con el wronskiano
¡2 3
¢=
¯¯
+
¯¯ = 2 + 2 − 2 = 2 6= 0
para toda x. Concluyendo que forman un conjunto fundamental de soluciones y , en conse-
cuencia es la solución de la ecuación en el intervalo.
c°Gelacio Juárez, UAM 70
1.4 Planteamiento de ecuaciones diferenciales
Ejemplo. La funcion () = ¡1 cos
√2+ 2 sin
√2¢es solución de la ecuación diferencial
homogénea − 20 +3 = 0, definida en la ec. (1.259) en el intervalo (−∞∞). Para corroborarque las soluciones son linealmente independientes en todos los reales o en todo R. Se puede
corroborar con el wronskiano
¡2 3
¢=
¯¯ cos
√2 sin
√2
cos√2−√2 sin√2 sin
√2+
√2 cos
√2
¯¯
=√22 cos2
√2+
√22 sin2
√2 6= 0
para toda x. Concluyendo que forman un conjunto fundamental de soluciones y , en conse-
cuencia es la solución de la ecuación en el intervalo.
Tarea
Encuentre la EDO homogénea para la cual las funciones dadas son soluciones y muestre la
independencia lineal.
() = 105 + 2
−05
() = (1 + 2)
() = − (1 cos 08+ 2 sin 08)
c°Gelacio Juárez, UAM 71
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