CATEDRA DE ESTRUCTURAS IIICATEDRA DE ESTRUCTURAS IIICATEDRA DE ESTRUCTURAS IIICATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
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LÍNEAS DE INFLUENCIAEJEMPLOS DE OBTENCIÓN POR EL MÉTODO INDIRECTO
DIEGO JAVIER CERNUSCHIAyudante AlumnoCátedra de Estructuras III y IV
INTRODUCCIÓN
Una línea de influencia de un efecto ei debido a una causa móvil Cj, es un gráfico cuya ordenadaen una sección genérica j móvil mide la intensidad del efecto e en la sección fija i, producido poruna causa unitaria Cj que actúa en la sección j.A diferencia de los diagramas de N, Q, y M donde las causas están en un lugar fijo (por ejemplouna fuerza en centro de una barra) y los efectos son móviles (los diagramas se extienden a toda laestructura) los diagramas de línea de influencia el efecto es fijo y las causas son móviles.La obtención de líneas de influencia por el método indirecto surge en forma inmediata de laaplicación de la ley de Maxwell que es un caso particular de la ley de Betti cuando las causas sonunitarias. El enunciado de esta última dice que
El trabajo que realiza una causa Ci en los efectos generados por otra causa Cj, es igual altrabajo que realiza esta última en los efectos generados por la primera
y puede expresarse de la siguiente forma
±±±± Ci ei(Cj) = ±±±± Cj ej(Ci) (el signo menos corresponde al trabajo que realizan efectos reactivos)
si la causa Ci es unitaria se tiene que
±±±±ei(Cj) = ±±±± Cj ej(Ci=1)
y para una causa Cj unitaria la expresión se transforma en
±±±±ei(Cj=1) = ±±±± ej(Ci=1)
Esta forma que adquiere esta ley se denomina Ley Maxwell
±±±±eij= ±±±±eji
El signo negativo en ambos miembros corresponde al caso en que los efectos e sean fuerzasreactivas, ya que su trabajo será negativo.
Con esta expresión podemos calcular líneas de influencia transformado el cálculo de un efecto enun punto fijo en uno donde ahora la causa está en un punto fijo y cuyo cálculo es similar a losutilizados para los diagramas de solicitaciones N, Q o M o elásticas.El primer miembro es por definición la línea de influencia que se desea hallar y el segundomiembro es el efecto debido a una causa fija que es necesario medir para su obtención.
EJEMPLOS
En los siguientes casos se utilizará el método indirecto para la obtención de las líneas deinfluencia. Todas las estructuras resueltas en estos ejemplos están realizadas con perfiles deacero IPN 240 cuya área es 4.61×10-3 m2 y su momento de inercia es 4.25×10-5 m4. No obstante,con el fin de considerar a las barras como de rigidez axil infinita (mantienen su longitudconstante después de deformarse) el área ha sido considerada como de 1m2. El módulo deelasticidad del acero es 2.1×107 T/m2.
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La convención tomada en estos ejemplos para dibujar las líneas de influencia es similar a laadoptada por la Cátedra para los diagramas de M, N y Q, es decir que los valores positivos sedibujarán hacia donde se encuentra ubicada la fibra de referencia, debajo de la barra para barrashorizontales e inclinadas y a la derecha si la barra es vertical.
1
2
3
4
1
2
3
4
5
A
B
X
Y
3 m 2 m
3 m
2 m
Esquema I
Ejemplo 1: Obtener la línea de influencia de corte en el punto A debido a fuerzas según Y en laestructura del esquema I
En este caso la causa Cj son las fuerzas según Y unitarias (el sentido positivo según la ternaglobal adoptada es hacia arriba ↑ ).
El efecto ei que se desea conocer es el corte en el punto A
El efecto ej correspondiente con la causa Cj es un desplazamiento absoluto según Y.
La causa Ci correspondiente con el efecto ei es un desplazamiento relativo normal a la barra en elpunto A
Debido a que Cj es una causa estática y Ci en una causa cinemática, el signo de la expresión seránegativo
Resumiendo se tiene
Cj = FY ⇒ ej = δY
ei = QA ⇒ Ci = δnrA
La expresión
ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)
quedará entonces como
QA (FY = 1) = – δY (δnrA = 1)
o lo que es lo mismo, introduciendo el signo negativo en la causa Cj
QA (FY = 1) = δY (δnr = – 1)
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Con este cambio los diagramas de las líneas de influencia tienen el mismo signo que losdesplazamientos.
Un desplazamiento normal relativo de valor positivo implica que la parte izquierda de la barra sedesplazará por sobre la parte derecha como muestra la siguiente figura
Un desplazamiento relativo de valor negativo será
Aplicando este desplazamiento a la estructura se obtiene la siguiente deformada
X
Y
1
2
3
4
δnr= –1
Para obtener la línea de influencia sobre esta deformada se debe medir el efecto ej que en estecaso es el desplazamiento vertical de cada punto lo cual dá como resultado la línea de influenciaque se desea obtener
X
Y
1
2
3
4
-0.375
0.625
-0.020
0.121
+
–
LI QA (FY = 1) = δY (δnr = – 1)
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Ejemplo 2: Obtener la línea de influencia de corte en el punto A de la estructura del esquema Idebido a fuerzas según X
En este caso se tiene
Cj = FX ⇒ ej = δX
ei = QA ⇒ Ci = δnrA
ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)
debido a que Cj es estática y Ci es cinemática el signo que corresponde es el negativo
QA (FX = 1) = – δX (δnrA = 1)
QA (FX = 1) = δX (δnrA = – 1)
Debido a que sobre la estructura hay que aplicar nuevamente un desplazamiento relativo unitarioen la sección A, la deformada sobre la que se tiene que medir el efecto ej el la misma que en elejemplo 1. Sobre ella se medirá el efecto ej que en este caso el el desplazamiento horizontalabsoluto, con lo que la línea de influencia resulta ser
X
Y
1
2
3
4
0.199
0.182 0.182
-0.030
0.182
Ejemplo 3: Obtener la línea de influencia de corte en el punto A de la estructura del esquema Idebido a momentos
En este caso se tiene
Cj = M ⇒ ej = θei = QA ⇒ Ci = δnrA
ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)
debido a que Cj es estática y Ci cinemática el signo que corresponde es el negativo
QA (Mz = 1) = – θ (δnrA = 1)
QA (Mz= 1) = θ (δnrA = – 1)
LI QA (FX = 1) = δX (δnrA = – 1)
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La deformada vuelve a ser la misma de los ejemplos anteriores pero en este caso el efecto ej amedir será el giro absoluto por lo que la línea de influencia es la siguiente
X
Y
1
2
3
4
-0.095
0.184
-0.360
-0.265
0.041
-0.095
Ejemplo 4: Obtener la línea de influencia de axil en el punto A de la estructura del esquema Idebido a fuerzas horizontales.
En este caso se tiene
Cj = FX ⇒ ej = δX
ei = NA ⇒ Ci = δarA
ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)
debido a que Cj es estática y Ci es cinemática el signo que corresponde es el negativo
NA (FX = 1) = – δX (δarA = 1)
NA (FX = 1) = δX (δarA = – 1)
Un desplazamiento relativo positivo en la dirección axil producirá un acercamiento de la partederecha de la barra con la parte izquierda como se muestra en la siguiente figura
Del mismo modo un desplazamiento axil negativo llevará a un alejamiento de las partes como seobserva en el gráfico a continuación
La deformada al aplicar un desplazamiento relativo axil unitario y negativo es la siguiente
+
–
LI QA (FX = 1) = θ (δnrA = – 1)
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X
Y
1
2
3
4
δar = –1
Midiendo el efecto ej que es el desplazamiento horizontal sobre esta deformada se obtiene lalínea de influencia buscada
X
Y
1
2
3
4
-0.231
0.779 0.779
-0.221 -0.221
Ejemplo 5: Obtener la línea de influencia de adebido a fuerzas verticales.
En este caso se tiene
Cj = FY ⇒ ej = δY
ei = NA ⇒ Cj = δarA
ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)
debido a que Cj es estática y Ci cinemática el sig
NA (FY = 1) = – δY (δarA = 1)
NA (FY = 1) = δY (δarA = – 1)
La deformada es la misma que la del ejemplo andesplazamiento vertical absoluto, resultando ento
LI NA (FX = 1) = δX (δarA = – 1)
str/estructuras3.htmstr/estructuras3.htmstr/estructuras3.htmstr/estructuras3.htm
xil en el punto A de la estructura del esquema I
no que corresponde es el negativo
terior pero en este caso el efecto ej a medir es elnces la línea de influencia
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7777 www.ing.unlp.edu.ar/cwww.ing.unlp.edu.ar/cwww.ing.unlp.edu.ar/cwww.ing.unlp.edu.ar/c
X
Y
1
2
3
4
0.519
Ejemplo 6: Obtener la línea de influencia de laesquema I debido a fuerzas horizontales.
En este caso se tiene
Cj = FX ⇒ ej = δX
ei = RY5 ⇒ Ci = δY5
ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)
debido a que Cj es estática y Ci cinemática el si
RY5 (FX = 1) = – δX (δY5 = 1)
RY5 (FX = 1) = δX (δY5 = – 1)
δY4=-1 implica un desplazamiento de vínculo iLa deformada al aplicar este desplazamiento ab
X
Y
1
2
3
4
δ
Midiendo los ej que en este caso son los desqueda
LI N (F = 1) = δ (δ = – 1)
onstr/estructuras3.htmonstr/estructuras3.htmonstr/estructuras3.htmonstr/estructuras3.htm
reacción vertical en el nudo 5 de la estructura del
gno que corresponde es el negativo
mpuesto en el apoyo del nudo 4 de valor –1 en Y.soluto es
Y = –1
plazamientos horizontales, la línea de influencia
A Y Y arA
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8888 www.ing.unlp.edu.arwww.ing.unlp.edu.arwww.ing.unlp.edu.arwww.ing.unlp.edu.ar
X
Y
1
2
3
4
0.182
0.199
0.182 0.182
-0.030
0.182
Ejemplo 7: Obtener la línea de influencia desquema I debido a fuerzas verticales.
En este caso se tiene
Cj = FY ⇒ ej = δY
ei = M1 ⇒ Ci = θ1
ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)
debido a que Cj es estática y Ci cinemática e
M1 (FY = 1) = –δY (θ1= 1)
M1 (FY = 1) = δY (θ1= – 1)
La deformada al aplicar un giro impuesto en
X
Y
1
2
3
4
θ = –1
Para confeccionar la línea de influencia hdeformada anterior, obteniendo
LI R (F = 1) = δ (δ = – 1)
/constr/estructuras3.htm/constr/estructuras3.htm/constr/estructuras3.htm/constr/estructuras3.htm
el momento reactivo en el nudo 1 de la estructura del
l signo que corresponde es el negativo
el empotramiento del nudo 1 es
ay que medir los desplazamientos verticales en la
Y5 X X Y5
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X
Y
1
2
3
4
0.000
0.479
0.479
Ejemplo 8: Obtener la línea de influencia del giro en el nudo 4 de la estructura del esquema Idebido a fuerzas horizontales.
En este caso se tiene
Cj = FX ⇒ ej = δX
ei = θ4 ⇒ Ci = M4
ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)
debido a que Cj es estática y Ci también es estática el signo que corresponde es positivo
θ4 (FX = 1) = δX (M4= 1)
Aplicando un momento unitario en el nudo 4 la deformada obtenida es la siguiente
X
Y
1
2
3
4
M = 1
El efecto ej a medir sobre esta deformada es el desplazamiento horizontal, por lo que la línea deinfuencia es la siguiente
LI M1 (FY = 1) = δY (θ1= – 1)
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10101010 www.ing.unlp.edu.ar/www.ing.unlp.edu.ar/www.ing.unlp.edu.ar/www.ing.unlp.edu.ar/
X
Y
1
2
3
4-0.000009
0.000043
0.000067
0.000043
0.000349
Ejemplo 9: Obtener la línea de influencia estructura del esquema I debido a fuerzas verti
En este caso se tiene
Cj = FY ⇒ ej = δY
ei = δY4 ⇒ Ci = FY4
ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)
debido a que Cj es estática y Ci también es está
δY4 (FY = 1) = δY (FY4= 1)
La deformada para una fuerza vertical unitaria
X
FY = 1
1
2
3
4
El efecto ej a medir sobre esta deformada es infuencia resulta ser la siguiente
LI θ4 (FX = 1) = δX (M4= 1)
constr/estructuras3.htmconstr/estructuras3.htmconstr/estructuras3.htmconstr/estructuras3.htm
del desplazamiento vertical en el nudo 4 de lacales.
tica el signo que corresponde es positivo
aplicada en el nudo 4 es la siguiente
el desplazamiento vertical, por lo que la línea de
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X
Y
1
2
3
4
0.000479
0.000479
Ejemplo 10: Obtener la línea de influencia del giroesquema I debido a momentos.
En este caso se tiene
Cj = M ⇒ ej = θei = θ3 ⇒ Ci = M3
ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)
debido a que Cj es estática y Ci también es estática el
θ3 (M = 1) = θ (M3= 1)
La deformada para una momento unitario aplicado en
X
Y
1
2
3
4
M = 1
El efecto ej a que se debe medir sobre esta deformadaes el giro, resultando la línea de infuencia ser la siguie
LI δ (F = 1) = δ (F = 1)
structuras3.htmstructuras3.htmstructuras3.htmstructuras3.htm
en apoyo del nudo 3 de la estructura del
signo que corresponde es positivo
el nudo 3 es la siguiente
para obtener la línea de influencia deseadante
Y4 Y Y Y4
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12121212 www.ing.unlp.edu.ar/cowww.ing.unlp.edu.ar/cowww.ing.unlp.edu.ar/cowww.ing.unlp.edu.ar/co
X
Y
1
2
3
4-0.000359
0.001144
-0.000052
0.000246
-0.0
0.000073
Ejemplo 11: Obtener la línea de influencia deesquema I debido a fuerzas horizontales.
En este caso se tiene
Cj = FX ⇒ ej = δX
ei = MB ⇒ Ci = θrB
ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)
debido a que Cj es estática y Ci es cinemática el
MB (FX = 1) = – δX (θrB = 1)
MB (FX = 1) = δX (θrB = –1)
Un giro relativo unitario positivo corresponde al
En el caso de tener un giro unitario negativo el g
La deformada para una momento unitario negati
LI θ3 (M = 1) = θ (M3= 1)
nstr/estructuras3.htmnstr/estructuras3.htmnstr/estructuras3.htmnstr/estructuras3.htm
00408
l momento en el punto B de la estructura del
signo que corresponde es negativo
indicado en la figura siguiente
iro será
vo aplicado en el punto B es la siguiente
+
–
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13131313 www.ing.unlp.edu.ar/cwww.ing.unlp.edu.ar/cwww.ing.unlp.edu.ar/cwww.ing.unlp.edu.ar/c
X
Y
1
2
3
4
θr= –1
El efecto ej a medir sobre esta deformada es el desplazamiento horizontal con lo que la línea deinfuencia es la siguiente
X
Y
1
2
3
4
-0.1494-0.1494
-0.6885
Ejemplo 12: Obtener la línea de influencia esquema II (similar a la anterior sólo que se ha3) que se muestra a continuación debido a fuerz
1
2
3
4
1
2
3
4
53 m 2 m
3 m
2 m
LI MB (FX = 1) = δX (θrB = –1)
onstr/estructuras3.htmonstr/estructuras3.htmonstr/estructuras3.htmonstr/estructuras3.htm
del giro relativo el nudo 2 de la estructura del agregado una articulación en el inicio de la barraas verticales.
Esquema II
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14141414 www.ing.unlp.edu.ar/constr/www.ing.unlp.edu.ar/constr/www.ing.unlp.edu.ar/constr/www.ing.unlp.edu.ar/constr/
En este caso se tiene
Cj = FY ⇒ ej = δY
ei = θr2 ⇒ Ci = Mr2
ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)
debido a que Cj es estática y Ci es también es estática el signo que corresponde es positivo
θr2 (FY = 1) = δY (Mr2 = 1)
Al aplicar un par de momentos unitarios en el nudo 2 la deformada de la estructura es
X
Y
1
2
3
4
M = 1
Sobre esta deformada el efecto ej a medir es el desplazamiento vertical. La línea de influenciaresulta ser
X
Y
1
2
3
4
-0.000664
-0.000249
Ejemplo 13: Obtener la línea de influencia del cortela viga continua que se muestra a continuación en el
1 21 2 35m 5m
CX
Y
LI θr2 (FY = 1) = δY (Mr2 = 1)
estructuras3.htmestructuras3.htmestructuras3.htmestructuras3.htm
debido a fuerzas verticales en el punto C deesquema III
3 45m
Esquema III
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15151515 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Se vuelve a remarcar en este punto que las fuerzas verticales positivas de acuerdo a laconvención adoptada en este apunte tienen el sentido positivo del eje Y de la terna global (↑).
En este caso se tiene
Cj = FY ⇒ ej = δY
ei = QC ⇒ Ci = δnrC
ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)
debido a que Cj es estática y Ci es cinemática el signo que corresponde es negativo
QC (FY = 1) = – δY (δnrC = 1)
QC (FY = 1) = δY (δnrC = – 1)
La deformada al aplicar un desplazamiento normal relativo unitario de signo negativo es
1 2 3
δnr = –1
Para obtener la línea de influencia el efecto ej a medir sobre esta deformada es de desplazamientovertical, por lo que finalmente la línea de influencia es
1 2 3
0.128
-0.500
0.500
-0.128
LI QC (FY = 1) = δY (δnrC = – 1)
Ejemplo 14: Obtener la línea de influencia del momento debido a fuerzas verticales en el puntoC de la viga continua del esquema III
En este caso se tiene
Cj = FY ⇒ ej = δY
ei = MC ⇒ Ci = θrC
ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)
debido a que Cj es estática y Ci es cinemática el signo que corresponde es negativo
MC (FY = 1) = – δY (θrC = 1)
MC (FY = 1) = δY (θrC = – 1)
La deformada al aplicar como causa Ci un desplazamiento normal relativo unitario de signonegativo es
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16161616 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
1 2 3
θr= –1
El efecto ej a medir en esta deformada es el desplazamiento vertical, por lo que la línea deinfluencia solicitada es la siguiente
1 2 30.192
-0.875
0.192 LI MC (FY = 1) = δY (θrC = – 1)
Puede verse que todos los conceptos de simetría previamente estudiados son aplicables a laslíneas de influencia en estructuras simétricas.
Ejemplo 15: Obtener la línea de influencia del giro en el apoyo del nudo 2 de la viga continuadel esquema III debido a fuerzas verticales
En este caso se tiene
Cj = FY ⇒ ej = δY
ei = θ2 ⇒ Ci = M2
ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)
debido a que Cj y Ci son ambas estáticas el signo que corresponde es positivo
θ2 (FY = 1) = δY (M2 = 1)
La deformada al aplicar un momento unitario en el nudo 2 es la siguiente
1 2 3
M = 1
El efecto ej a medir sobre la estructura deformada es el desplazamiento vertical y la línea deinfluencia resultante es
1 2 3
-0.000837
0.000747
-0.000239
LI θ2 (FY = 1) = δY (M2 = 1)
Ejemplo 16: Obtener la línea de influencia de la reacción vertical en el apoyo del nudo 2 de laviga continua del esquema III debido a fuerzas verticales
En este caso se tiene
CATEDRA DE ESTRUCTURAS IIICATEDRA DE ESTRUCTURAS IIICATEDRA DE ESTRUCTURAS IIICATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
17171717 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Cj = FY ⇒ ej = δY
ei = RY2 ⇒ Ci = δY2
ei(Cj=1) = ± ej(Ci=1)
debido a que Cj es estática y Ci es cinemática el signo que corresponde es negativo
RY2 (FY = 1) = – δY (δY2 = 1)
RY2 (FY = 1) = δY (δY2 = – 1)
La deformada al aplicar como causa Ci un desplazamiento de vínculo impuesto unitario negativoen el nudo 2 es
1 2 3δY = –1
Sobre esta deformada se medirá el efecto ej, que es el desplazamiento vertical, para obtener lalínea de influencia
1 2
3
-1.000
0.154 LI RY2 (FY = 1) = δY (δY2 = – 1)
EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA
Ejemplo 17: Obtener el valor máximo de la reacción vertical en el apoyo del nudo 2 de la vigacontinua del esquema III debido una carga como la que se muestra en la siguiente figura
Conociendo la línea de influencia de la reacción vertical en el apoyo del nudo 2 tal como se hahecho en el ejemplo anterior, solamente queda por aplicar la carga en aquella posición que lareacción resulte máxima. El valor máximo de la línea de influencia de la reacción se encuentraen la ordenada del apoyo, por lo tanto se debe colocar la carga sobre esta ordenada para obtenerun máximo. La carga tiene sentido contrario al sentido adoptado como positivo para el eje Y, porlo tanto, para hallar el valor de la reacción debido esta carga se tendrá
RY2,max = –1 × –2 T = 2 T
Es decir que de acuerdo a la convención adoptada, la reacción vertical tendrá el sentido positivodel eje Y (hacia arriba) como era de esperar.
Ejemplo 18: Obtener el valor máximo de la reacción vertical en el apoyo del nudo 2 de la vigacontinua del esquema III debido un tren de cargas como el que se muestra en la siguiente figura
2 T
2 m1.5 T2 T
CATEDRA DE ESTRUCTURAS IIICATEDRA DE ESTRUCTURAS IIICATEDRA DE ESTRUCTURAS IIICATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.
18181818 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Este caso tiene como diferencia del anterior que ya no es una sola la carga aplicada si no que esuna configuración particular de cargas llamada tren de cargas. Para obtener la máxima reacciónvertical en el apoyo 2 se tendrá que aplicar la carga mayor sobre el máximo de la línea deinfluencia y la carga restante en la ordenada distante a dos metros del apoyo que tenga mayorvalor. En este caso el tren de cargas debe aplicarse de la siguiente forma para lograr la máximareacción vertical
1 2
3
-1.000
0.154
3.2456 T
-0.8304
1.5 T 2 m 2 T
LI RY2 (FY = 1)
De este modo la máxima reacción vertical en el apoyo del nudo 2 para este tren de cargas será
RY2,mzx = (–1 × –2 T) + (–0.8304 × –1.5 T) = 2 T + 1.2456 T = 3.2456 T
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