UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO DI DMMG Tema 2 QC Distribuciones de Probabilidad

Ejemplos Modelos de Probabilidad Prof. V. Garca T. Fuente: Bibliografa propuesta

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ARCHIVO NO. 2 EJEMPLOS DE DIST. DE PROBABILIDAD

Binomial

1.- Sea x una variable aleatoria binomial ( ; , )b x n p

a) Para n=6, p=0.2, encuentre: (1) P(x>3), (2) ( 3),P x (3) P(x2) b) P(2

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b) Encuentre la probabilidad de que dos de estas mquinas requieran una reparacin mayor durante el primer ao de uso.

10.- Un comit de polticas energticas de una Agencia para la Proteccin Ambiental, reporta que el 75 por ciento de las viviendas del norte del pas utilizan quemadores de petrleo para calefaccin en los meses de Invierno. Si se sabe que una comunidad del norte del pas tiene 2500 viviendas, encuentre el nmero esperado de las que usan quemadores de petrleo para calefaccin en los meses de invierno.

11.- Una estacin de gasolina vende el combustible con cierto descuento a aquellos clientes que paguen en efectivo y no con tarjeta de crdito. La experiencia indica que el 40% de los clientes pagan en efectivo. Durante un determinado da, 20 clientes compraron gasolina. a) Encuentre la probabilidad de que al menos 10 clientes hayan pagado en efectivo. b) Encuentre la probabilidad de que ms de 10 hayan pagado en efectivo. c) Encuentre la probabilidad de que ms de 10 y menos de 15 hayan pagado en efectivo.

12.- Un integrante de la Comisin de Derechos Humanos, asegura que el 75% de indocumentados que cruzan diariamente la frontera sur del pas son de Guatemala. Cul es la probabilidad de que por lo menos tres de los prximos diez no sean de Guatemala?

13.- Si la probabilidad de que una columna falle ante una carga axial especfica es 0.05, cules son las probabilidades de que entre 16 de tales columnas a) a lo mximo fallen dos? b) Al menos cuatro fallen?

14.- Muchos patrones encuentran que algunas personas que contratan no son lo que afirman ser. La deteccin de solicitantes para un trabajo que falsean la informacin en sus solicitudes, ha generado un nuevo tipo de negocio: los servicios de verificacin de antecedentes. Cierto peridico local que hizo notar sobre este problema, report que en un periodo de dos meses, el 35 % de todos los antecedentes examinados, no era verdico. Supngase que se contrat a cinco empleados nuevos la semana pasada, en esta ciudad, y que la probabilidad de que un solo empleado haya falseado los datos de su solicitud, es de 0.35. (a) Cul es la probabilidad de que al menos en una de las cinco solicitudes no haya datos veraces? (b) O en dos ms?

15.- Se asegura que en el 60% de todas las instalaciones fototrmicas, los gastos de servicios se reducen al menos en una tercera parte. De acuerdo con esto, cules son las probabilidades de que se reduzcan al menos en una tercera parte los gastos de servicios en a) cuatro de cinco instalaciones? b) En por lo menos cuatro de cinco instalaciones?

16.- La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una molcula rara particular es del 10%. Suponga que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molcula. Encuentre la probabilidad de que en las 18 muestras siguientes, exactamente dos contengan la molcula rara.

17.- En un proceso de produccin se examinan lotes de 50 resortes helicoidales para determinar si cumplen con los requerimientos del cliente. El nmero promedio de resortes helicoidales que no cumplen con los requerimientos es de cinco por lote. Suponga que el nmero de resortes que no cumplen con los requerimientos en un lote, denotado por x, es una variable aleatoria binomial. a) qu valor tienen n y p?

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b) Calcule P (x 2) c) Calcule P (x 49)

18.- Las lneas telefnicas del sistema de reservacin de una aerolnea, estn ocupadas 40% del tiempo. Suponga que los eventos donde las lneas estn ocupadas en llamadas sucesivas son independientes. Suponga que se hacen diez llamadas telefnicas al sistema de reservacin. a) Cul es la probabilidad de que, al llamar exactamente tres veces, las lneas estn ocupadas? b) Cul es la probabilidad de que al menos en una de las llamadas las lneas no estn ocupadas?

19.- Una persona pasa todas las maanas a la misma hora por un crucero donde el semforo est en verde el 20% de las veces. Suponga que cada maana representa un ensayo independiente. a) En cinco maanas consecutivas, cul es la probabilidad de que el semforo est en verde exactamente un da? b) En 20 maanas, cul es la probabilidad de que el semforo est en verde exactamente cuatro das? c) En 20 maanas, cul es la probabilidad de que el semforo est en verde ms de cuatro das?

Poisson

20.- Si x es una variable aleatoria de Poisson, con = 3.7 encuentre a) P(x = 4) b) P(x 2) c) P(x 5)

21.- Si x es una distribucin de Poisson, con media 4, encuentre a) P(x = 0) b) P(x = 4) c) P(x 2) d) P(x = 8)

22.- Se supone que el nmero de defectos en los rollos de tela de cierta industria textil es una variable aleatoria de Poisson con una media de 0.1 defectos por metro cuadrado. a) Cul es la probabilidad tener dos defectos en un metro cuadrado de tela? b) Cul es la probabilidad de tener un defecto en 10 metros cuadrados de tela? c) Cul es la probabilidad de que no halla defectos en 20 metros cuadrados de tela? d) Cul es la probabilidad de que existan al menos dos defectos en 10 metros cuadrados de

tela?

23.- El nmero de baches en una seccin de una carretera interestatal que requieren reparacin urgente, puede modelarse con una distribucin de Poisson que tiene una media de dos baches por milla. Cul es la probabilidad de que no haya baches qu reparar en un tramo de cinco millas? Cul es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo de media milla? 24.- El nmero diario de accidentes industriales en un astillero tiene una distribucin de Poisson

con = 2.4. Determine la probabilidad de que en un da seleccionado al azar haya cuando menos dos accidentes industriales.

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25.- Cul ser la probabilidad de que en cierto da ocurran tres accidentes si el promedio de accidentes por da es de 1.6?

26.- El conmutador de una oficina recibe en promedio 10 llamadas telefnicas por minuto. Determine la probabilidad de que lleguen exactamente cuatro llamadas en un periodo de 30 segundos.

27.- El nmero promedio de fallas en un rollo de cierto tipo de papel mural es de 2.5. Utilice la distribucin de Poisson para determinar la probabilidad de que un rollo tenga 4 o ms fallas.

28.- El promedio anual de terremotos en un pas es de 0.5. Utilice la distribucin de Poisson para determinar la probabilidad de que no haya terremotos en ese pas en los prximos tres aos.

29.- Al inspeccionar la aplicacin de estao por un proceso electroltico, se descubren en promedio 0.2 imperfecciones por minuto. Calcule las probabilidades de descubrir: a) una imperfeccin en 3 minutos b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos c) a lo sumo una imperfeccin en 15 minutos

30.- El nmero de vuelos que llegan a un aeropuerto privado durante el da es una variable aleatoria de Poisson con = 3. cules son las probabilidades de los siguientes nmeros de llegadas de vuelos en una hora del da seleccionada al azar:

a) cero b) uno c) dos d) cuando mucho dos? 31.- Suponga que una compaa de seguros contra incendios tiene 1860 clientes y la probabilidad de que uno de ellos haga alguna reclamacin es de 1/600 en cualquier ao. Encuentre las siguientes probabilidades para un ao dado. a) La probabilidad de que ninguno reclame. b) De que exactamente uno reclame c) De que exactamente dos reclamen d) De que exactamente tres reclamen.

32.- Suponga que una gran planta procesadora y enlatadora de alimentos tiene veinte mquinas enlatadoras automticas en operacin constante. Si la probabilidad de que las mquinas se descompongan durante un da determinado es 0.05, encuentre la probabilidad de que en un da determinado fallen dos mquinas enlatadoras. Use la distribucin binomial para calcular la probabilidad exacta y posteriormente calcule la aproximacin de Poisson correspondiente.

33.- Se sabe que 1% de los artculos de un envo grande de transistores de un proveedor tiene defectos. Si se elige una muestra de 30 transistores al azar, determine la probabilidad de que dos o ms de ellos tengan defectos.

34.- Una compaa de seguros est considerando la adicin de cobertura para una enfermedad relativamente rara en el campo de los seguros mdicos mayores. La probabilidad de que una persona elegida al azar tenga esa enfermedad es 0.001, y en el grupo asegurado existen 3,000 personas.

a) Cul es el nmero esperado de personas que tienen la enfermedad en el conjunto?

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b) Cul es la probabilidad de que ninguna persona de las 3,000 tenga la enfermedad?

Normal

35.- Calcule las probabilidades siguientes para la variable aleatoria normal estndar Z. a) P (Z< 1.32) b) P (Z < 3.0) c) P (Z > 1.45) d) P (Z> -2.15)

d) P (-2.34 < Z < 1.76) e) P (-1 < Z < 1) f) P (0 < Z < 1)

36.- Suponga que Z tiene una distribucin normal estndar. Determine el valor de z que resuelve cada una de las siguientes probabilidades. a) P (Z < z) = 0.9 b) P (Z < z) = 0.5 c) P (Z > z) = 0.1 d) P (Z > z) = 0.9

e) P (-1.24 < Z < z) = 0.8 f) P (-z < Z < z) = 0.95 g) P(-z < Z < z)=0.68

37.- Suponga que X tiene una distribucin normal con media 10 y desviacin estndar 2. Calcule lo siguiente: a) P (X< 13) b) P (X > 9) c) P (6 < X < 14) d) P (2 < X < 4) e) P (-2 < X < 8)

38.- Una planta produce un dispositivo cuyos dimetros se distribuyen normalmente, con = 0.498 y = 0.002. Si las especificaciones determinan que el dimetro debe ser de 0.5 cm ms menos 0.004 cm, (0.5 0.004) qu proporcin de la produccin resulta inaceptable?

39.- Ciertos bastoncillos de plstico moldeados por inyeccin son cortados automticamente en longitudes nominales de 6 pulgadas. Las longitudes reales estn distribuidas normalmente alrededor de la media de 6 pulgadas y su desviacin estndar es 0.06 pulgadas. a) Qu proporcin de los bastoncillos rebasan los lmites de tolerancia, que son de 5.9 a 6.1

pulgadas? b) A qu valor es necesario reducir la desviacin standard si 99% de los bastoncillos debe

estar dentro de los lmites de tolerancia?

40.- Un anlisis de la duracin de llamadas telefnicas locales hechas desde la oficina de una dependencia muestra que el tiempo de las llamadas es una variable aleatoria que tiene aproximadamente una distribucin normal con =125.7 segundos y =30 segundos. Qu porcentaje de estas llamadas a) es mayor que tres minutos? b) Es, cuando mucho, dos minutos? c) Est entre 120.0 y 180.0 segundos? 41.- Una mquina expendedora de refresco se ajusta para servir 7.00 onzas del lquido por vaso. La desviacin standard es de 0.10 oz. Cul es la probabilidad de que la mquina sirva: a) entre 7.10 y 7.25 onzas de refresco? b) 7.25 onzas o ms? c) Entre 6.80 y 7.25 onzas? d) cunto refresco se sirve en el mximo 1% de las bebidas?

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Ejemplos Prob. y Est. Prof. V. Garca T. Fuente: Bibliografa propuesta

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42.- En una industria alimenticia se envasa caf instantneo en frascos cuyos pesos netos tienen una distribucin normal con desviacin standard de 5.5 gramos. Si el 5% de los frascos tiene un peso mayor que 139 gramos, cul es el peso medio de ellos?

43.- Si se supone que el tiempo promedio requerido para terminar de resolver un determinado examen tiene una distribucin aproximadamente normal, con una =70 minutos y =12 minutos, cunto tiempo debe durar un examen si se pretende que el 90% de las personas que lo toman lo termine?

44.- En cierta ciudad, el nmero de interrupciones en el suministro elctrico al mes es una variable aleatoria que tiene una distribucin con = 11.6 y = 3.3. Si esta distribucin puede aproximarse con una distribucin normal, cul es la probabilidad de que haya al menos 8 interrupciones en cualquier mes?

45.- Cul es la probabilidad de obtener cuando menos 12 respuestas a cuestionarios enviados por correo a 100 estudiantes, cuando la probabilidad de que uno de ellos responda es de 0.18?

46.- Un ingeniero de seguridad cree que 30% de todos los accidentes en su planta se deben a que los empleados no siguen las disposiciones de seguridad. Si esta apreciacin es correcta, calcule aproximadamente la probabilidad de que, entre 84 accidentes en la planta, de 20 a 30 se deban a esto.

47.- Una empresa manufacturera de cigarrillos afirma que controla alrededor del 10% del mercado a travs de las ventas de su producto de marca A. Para comprobar lo anterior se eligieron al azar 2500 fumadores de la poblacin de fumadores de cigarrillos y se les pregunt acerca de la marca de su preferencia. Cul es la probabilidad de que por lo menos 218 fumadores prefieran la marca A?

48.- Si una variable aleatoria tiene la distribucin binomial con n = 20 y p = 0.60, con la aproximacin normal determnese las probabilidades de que asuma: a) el valor de 14 b) un valor menor de 12 49.- Un fabricante sabe que en promedio, 2 % de los motores que produce requerirn reparacin en los 90 das siguientes a su venta. Con la aproximacin normal a la distribucin binomial determnese la probabilidad de que entre 1200 de los motores, al menos 30 requieran reparacin en los primeros 90 das despus de su venta. 50.- La probabilidad de que un componente electrnico falle en menos de 1000 horas de uso continuo es 0.25. Utilce la aproximacin normal para encontrar la probabilidad de que entre 200 de tales componentes menos de 45 fallen en menos de 1000 horas de uso continuo.