Coeficientes indeterminados
HEI Si yplxtnulxltirlx ) es solución de
(1) y" lxltpcxlyilxltqcxlycxk
Mlxltitlxl
entoncesi ) ulxl es solución de
y" lxttplxlyilx ) tqcxlycxk
Mx )
Y ii ) rlx ) essolución de
yulxltpcxlyilxltqlxlylxkulx)
Ejemplo : Resolver el problema con condición inicial
Y"
lxttsyllxttleglxklxti ) seux
y lo ) =
y 401=0
Para sesoher este problema no homogéneo m . venimos
dos Ingredientes ,
¿ I La solución general yhlx ) de la ecva .amo .
genera yiyxltsyilxltbylxkoii ) Una solución particular yplx ) de la ecuación no
homogéneay
" , ix , +6gal = lxttlslnx
La solución general de la eón no homogénea toma la foma
yglxkyhlxltyplx )
yesta debe satisfacer las condiciones ylokykoko
i ) Encontremosla solución yncxl ,
solucion general de la
eon hauogeneay
" lxltsykxltbycxko
El polinomio característico estádado por
plrf ótsrt 6
= lrt 3) lrtz )
cuyas raices sonr , = - y ,
RE -2
De esta formay ,
IX ) = éi ×= ¿
3 X
Yalxl = errx = e-ZX
SM soluciones de la ecuación homogénea .Veamos si son
soluciones linealmente Independientes ,
calculando su
Wronski ano .Si este no se anula
,las soluciones serán
linealmente independientes .
Asi, wey .
.gs#l.::YIs%adsl=t.ee?sIEIixI=.2E3e-2X+3e-3E-2X
= - 2C. 5×+3 e-
SX
→e- SX
Es decirW [ y , Mrflx ) = l
yeste nunca se anula .
Por lo tanto,
y ,Lx ) =
é"
y
ydxt = e-"
son soluciones linealmente independientes .
De esta,
forma ,la solución general ynlxl de la ecuación
homogénea debe ser combinación lineal de ykx ) = c- *
y yalxfe. "
; es decir
Yhlxt 49 ilxltczyzcx ) = c ,ésltqél
donde G, Cz EIR
.
i e) Procedamos a hallar una solución particular yplx ) de
la ecuación no homogénea
y" lxlt 5g
' lx ) Heglx ) = lxtilsenx
Primero,
observemos quelxti ) ei ×
= lxts ) [ cosxtisarxf
Así, por el HECHO 1
,
= lxttlcosx ti KH ) senx
si encontramos una solución compleja
yelxl=ulxltox )
de la ecuación diferencial
Y" lxltsyclxttloycx ) =
Lxttki "
entonces ulxt IRE yelxl será solucion de
yulxltsyilx ) HoglxtxttlcosxY ocxl = Em yecx ) será solucion de
y" t 5g
' lxl tbycxl = Cxtilsenx
Procedamos a encontra una solucion compleja
y elxlde
y" tsyilxltbylxl = CXH ) el
"
Recordemos queTenemos un problema de la forma
a yillxtt' byilxltcgktplxled
"
dondePlx ) es un polinomio .
En un caso como este proponemos una solución particular
de la formaycx ) = Mcx , eax
donde MCXI también es un polinomio .
obtenemos que en el problema
y" cxltsgkxltcglx ) = lxt De
"
plxtxtt ,
año.
Proponemos una solución compleja de la forma
yalx ) =Mcxleíx
Así,
calculemosyálx )
, yo" K )
Y sustituya mos au la ecuación oufexucial .
Así
yálxl = i Mlxlei × tnilxleix
=eíx ( M
' lxlti Mlxl )
Yy ¢" lxl =
ei × ( inilxl ti2 Mlxt )
+ ei × ( M " lxltí Mtxl )
= é"
( M " lxltzi MYX ) -Mlxl )
sustituyendo en la ecuación diferencial ,tenemos
Cxthe"
= yálxlt 5yd lxtt 6 y ¢lxl
=Ei × ( M " Cx ) tzirílxl- Mlx ) )
+ SciilrílxltiMlx ) )
+ 6 ei × Mlx )
=
ei.fr#tr_x_Ml.qemxmtqqtEIk' ]
-
= ei × [ M" lxl tlstzítnllx ) t 15 tsi ) Mlx ) ]
Es decir
eíx ( * y = ei × [ Miyxytfstzi ) nllx ) HSTSDMKLY
De esta forma ,
Mlx ) debe ser solucion de
M' ' lxlt C St 2 i ) M
'lx ) t ( St si ) Mcx ) = ltx
Por la forma de la een diferencial ,vemos que
Mlx )
debe Ser un polinomio de primer grado con coeficientescomplejos ; es dear
,
Mlxt = AXTB,
A,
BE ¢.
Calculemos Mllxl = A ; n " lxko ; sustituya nos au la ecuación
diferencial .
Así,
Itx = M" lx ) t L St 2 i ) M ' lx ) t lstsi ) Mlx )
= O t Lstzi ) A tlstsi ) [ AXTB ]
= [ Cst Li ) A tlstsi ) Bf t lstsi ) AX
Igualando coeficientes de los polinomios ,se tiene el siguiente
sistema de ecuaciones lineales
( stsí ) A= 1
( St 2 í ) At ( Stsi ) B =1
De la primeraecuación
,
A = sti = stsi . sstsii = ssztscísip
5- Sí=
rgt= Sissi = si - to i
= Io - foi : A = fo . foiCon el valor A = Io - tu i
,de la segunda ecuación
tenemos que
B =TÍA5 tsi
Pero lstzil A = lstzi ) ( fo - foi ) = lslito ) tls)t.it ) i
+ Cri ) Lt ) ttítfó )
= Eo - Esoi t Eo i t Io= Io
- Io í
Asi,
I - lstzil A = I - [ 7. Io if = 1-7 t foi= - co t Io i
Por tanto
B =
1- lstril A telefilm= (6+711)Tti
=
( stsi ) L s . Si )
=
l . btfoílls . si ) 57- 5450 35
=-281+3,10 i szts
g- 10 1
=- Foto tssttoi
=- soIotrozo
i: . D=- ¥ tsotoi
Portentomuy = AxtB.it - foi IX t tsiootfoi )
-
.
y= ffox -qtoftifitoxtboto ]
De esta formayalxlzeí
"Mlx )
=eix [ liox . SE
.) titfoxtteoo ) ]
= Lcosxtíseuxffltox .
sto) tittoxtf ) ]
es la solucion compleja de
Y" lxltsyckltceylx ) =
ei ×
lltx )
Para obtener la solucion de
Y" lxltsyilx ) Heylxl = lltxlcosx
debemos calcular
vlxt = Rely ¢lxl )
y para obtener la solucion de
esmaispensabk cargo"
, kaft584×1 Hegcxklttxlsenx
vlxkltmlyelxl )
Independientemente de cual queramosobtener
,ulxlorcx ,
debemos escribir yeuy en la forma
yacxl = ulxltírlx
Así que ,manos a la obra con el oso correcto del álgebra
yla aritmética compleja .yecxt-fosxtitseuxfllkox.SE
. ) tiftoxtq ) ]
= lcosxlltox . Foo ) tilcosx ) ttoxttefo )
tilsenxllfox . qot ) tilsenx ) i ftoxtciso )
= lcosx) ltox . Eo ) tilcosxltttoxtbofo )
tilseuxtltox - ¥ ) - senxftoxtfeo )
= [ ttox - Foto ) cosx tito X - GTIO ) seux ]
ti [ tfoxta.IO/cosxtitox - SÍ ) senx ]
Por tanto
ulxt Relyelxl )
= 1 tu x . SÍ ) cosxt ( to X - Foto ) sarx
y vlxt =En ( yalxll
= litoxtfo ) cosx t ( fox - 5¥ ) son X
De esta formaukk I to x . soIo ) cosxt ( to X - teto ) sarx
es solución particular de
y" Lx ) tsyllx ) Hey
" l XI = Lxti ) cosx
y vlxl = 1- foxtbo ) cosxtlfox - soIo ISLMX
es una solución particular de
y" Lxlt 5g
' lx ) Heylx ) = lxtt ) son ×
Así , tomamos
yplxkl - fo x tb ) cosxt ( fox - soIo ISLMX
como la solución particular buscada de
y" lxl tsy
' lxl tleylxk lxttlsenx
Por tanto,la solucion general de esta última ecuación
diferencial está dada por
Yglxt Yhlxltyplx )
= c, y , lxltcryalxltyplx )
= c,
e-3 ×
+ qérx
+ ftp.xta?o)eosxtitox-Io7)sarx ,
es decir ,
ygcxkcié" tcrótttfxttfo ) cosxtffox - Foto ) sasx
para terminar este problema ,debemos hallar 4,4 tales
que ygloko y yg' lo 1=0 .
Usando la primera condición inicial en ygcx ),
tenemos que
o =
ygLXK CI tlz t 6%
es decir,
c,
+ cz = -62100
para usar la segunda condición inicial requerimos ygclx !
yjlxk- 34 é 31.245"
- lit xtbo ) seux - foeosxU t l to X - soIo ) cosx t.to son X
Deesta forma
O = ygllo ) = -34 -24 - To - SÍ
= -3C, -24 - Yozo
- SÍO
=- 3C ,
-2cL -6-7
LO O
es decirzc , tzcc = - ¥0
Por tanto,
c ,,
ca deben ser tales queGtcz =
- 6310O
3C , TZCZ = - 6-7Resolviendo este sistema : 100
1 :' al:* :o) . l :i l?¥.
)
Y : il÷:)Y ::I.÷ :) : ::¥:*
Por lo tanto la solución al problema con condiciones iniciales
y" Kl t Sy
' k ) tcylxl = lxtllseux
y lo I = o = y 40 )está
dadapor
YGLXI= c ,
e-3 × tcaérx
+ 1 - to xtteo ) cosxt ( fox - 5¥ ) son X
= qqnoé"
- Eq é" tffoxtfoo ) cosxtlfox.is#sax
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