CIRCUITO RC DE SEGUNDO ORDEN
Solución:
Las ecuaciones del sistema son:
Reemplazando la ecuación 3 en la ecuación 2:
V i (t )=RC ( dV C 1
dt+ 1RC
(V C 1−V C 2))+V C 1dV C 1dt
=−2RCV C 1+
1RC
V C 2+1RC
V i(t)
Luego las ecuaciones de estado del sistema son:
Reemplazando para R=50Kohm y C=100nF:
La función de transferencia se halla tomando transformada de Laplace a las ecuaciones de estado:
Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1:
Reemplazando para R=50Kohm y C=100nF:
%% CIRCUITO RC DE SEGUNDO ORDENR=50e3; %ResistenciaCo=100e-9; %Capacitancua A=[-2/(R*Co) 1/(R*Co); 1/(R*Co) -1/(R*Co)]; B=[1/(R*Co); 0 ]; C=[0 1]; D=0; Ge=ss(A,B,C,D) % Ecuación de estadoGt=tf(Ge) % Función de transferenciaTm=1e-3; % Periodo de muestreoGd=c2d(Gt,Tm) % Discretizar la F.TGd.variable='z^-1' % Para ver en la forma z^-1
La ecuación de estado del sistema es:
[ d idt¿d vcdt
]=[−RL −1L
¿ 1C
0 ][ iv c]+[ 1L¿0]v s
Nota: La ecuación de salida depende de lo que se quiere “leer” del sistema, por ejemplo si se quiere leer el voltaje en la bobina, el voltaje en el condensador y el voltaje en la resistencia:
La ecuación de salida debe quedar en función de las variables de estado ¿ ) y la entrada vs
vs=R . i+v L+vc
Entonces el voltaje en la bobina es:
vL=−R .i−vc+v s
El voltaje en la resistencia es
vR=R . i
Finalmente la ecuación de salida es de la forma:
[ vLv Rvc ]=[−R −1R 00 1 ] [ ivc ]+[100]vs
%% circuito serie RLCR=1;c=1;L=1; %Las variables de estado son i(t) y Vc(t) % | i(t) |% X= | |% | Vc(t) | A=[-R/L -1/L; 1/c 0 ]; B=[1/L; 0]; C=[1 0; 0 1]; %Hay dos salidas; un sensor lee i(t) y el otro Vc(t) D=[0; 0]; sist=ss(A,B,C,D) step(5*sist); %respuesta a escalón de amplitud 5 voltiossistft=tf(sist) %convertir a FT
SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN CON AMPLIFICADOR OPERACIONAL
A partir de la ley de Kirchhoff de corriente:
i1=i2+ i3
i2=C2d vc 2dt
; i3=C1d vc1dt
Recordar que en un amplificador operacional se tiene que: v+¿=v−¿ ¿¿
v+¿=v c 2; v−¿=vo ¿¿
Entoncesvc2=vo
El voltaje en el punto vx es:vx=vc2+i2R2
Tambiénvx=vo+vc 1
Luego reemplazando vo=vc2
vx=vc2+vc1
Igualando las ecuacionesvx=vc2+i2R2=vc 2+vc 1
Se obtiene
vc1=i2R2=R2C2d vc2dt
Entonces la primera ecuación de estado es:
d vc 2dt
= 1R2C2
vc 1
Escribiendo la ley de Kirchhoff de voltaje en la malla de entrada:
v i=i1R1+v c1+v o
Reemplazando vo=vc2 , i1=C2d v c2dt
+C1d vc1dt
v i=(C2 d vc 2dt +C1d vc 1dt )R1+vc 1+vc 2
v i=[C2( 1R2C2
vc 1)+C1 d vc 1dt ]R1+vc1+vc2
v i=[ 1R2 vc 1+C1 d vc1dt ]R1+vc 1+vc 2C1R1
d vc1dt
=−R1R2
v c1−vc1−vc 2+v i
C1R1d vc1dt
=−(R1+R2R2 )vc1−vc 2+v iFinalmente la otra ecuación de estado es
d vc 1dt
=−( R1+R2C1 R1R2 )vc1− 1C1R1
vc 2
+ 1C1R1
vi
La ecuación de estado total:
[ d vc 1dt¿d vc2dx
]=[−( R1+R2C1 R1R2 ) ¿− 1C1R1
¿ 1R2C2
¿0 ][ vc 1¿ vc2]+[ 1C1R1¿0 ]v i
La ecuación de salida: vo=vc2
[ vo ]=[0 1 ] [ vc 1¿ vc 2]+ [0 ] v i
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