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Universidad Tecnológica de Torreón.

Ejemplos de Distribuciones de probabilidad.

-Bernoulli- Binomial-Poisson -Normal-Gamma

-T de student

Lizbeth Martinez.

-BERNOULLI

1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la probabilidad de sacar la carta 9?

° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.

P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111

° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.

P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888

2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder darles un premio, pero la maestra los seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es la probabilidad de que salga el alumno numero 16?

° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.

P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625

° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16.

P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.9375

3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al momento de sacar alguno de ellos ¿que probabilidad hay para que pueda salir premiado el boleto número 342?

° La probabilidad de que saque el boleto número 342.

P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 = 0.00292

° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342.

P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 = 0.99707

4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

° La probabilidad de obtener cruz.

P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5

° La probabilidad de no obtener cruz.

P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5

Distribución Binomial

Ejemplo 1:

Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

Ejemplo 2:

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito,

hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han

leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la

lectura:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan

leido la novela 2 personas?

B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2

2.¿Y cómo máximo 2?

Ejemplo 3:

Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas

de la misma edad y que disfrutan de buena salud.

Según las tablas actuales, la probabilidad de que una

persona en estas condiciones viva 30 años o más es

2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30

años, vivan:

1. Las cinco personas.

B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

2.Al menos tres personas.

3.Exactamente dos personas.

Ejemplo 4: Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular

la probabilidad de que salgan más caras que cruces.

B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5

Ejemplo 5:

La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco

es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de

que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la

probabilidad de que acierte por lo menos en una

ocasión?

B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4

POISSON

Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de contabilidad son muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes

n= 100

P=0.03

=100*0.03=3

x=5

Ejemplo2.- La producción de televisores en Samsung trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores con defectos.

n=85

P=0.02

P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746

X=4

=1.7

Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso

n=20

P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418

X=3

Ejemplo4.- El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular probabilidad de que existan 5 registros con problemas?

n=40

P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793

=3.2

X=5

Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular Probabilidad que existan 5 registros con problemas?

n=40

P=0.08

=10

NORMAL

1.- Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14.0

µ = 80

σ = 14 z x−μ

a)Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p (75 ≤ x ≤ 90)

z 90−80

14=10

14=0.71 =

z 75−80

14=−5

14=−0.36 =

Probabilidad acumulada.

0.7611

0.3594

75 80 90 μ

p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017

b)Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.p(x ≤ 75)

z 75−80

14=−5

14=−0.36=¿

p(x ≤ 75) = 0.3594

c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0p (55 ≤ x ≤ 70)

z 70−80

14=−10

14=−0.71 =

z 55−80

14=−25

14=−1.79 =

p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022

2.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de $70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:

µ= $70,00

σ =$20,0 z x−μ

Probabilidad acumulada.

0.3594

75 80 μ

Probabilidad acumulada.

0.2389

0.0367

55 70 80 μ

a)El monto solicitado sea de $80,000 o superior?p(x ≥ 80,000)

z 80 , 000 – 70,000

20,000=10 ,000

20,000=0.50 =

p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085

b)El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000?p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)

z 80 , 000 – 70,000

20,000=10 ,000

20,000=0.50 =

z 65 , 000 – 70,000

20,000=−5 ,000

20,000=−0.25 =

p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902

c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.p(x ≥ 65,000)

z 65 , 000 – 70,000

20,000=−5 ,000

20,000=−0.25 =

p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987

3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución

Probabilidad acumulada.

0.6915

70000 80000 μ

Probabilidad acumulada.

0.6915

0.4013

65000 70000 80000 μ

Probabilidad acumulada.

0.4013

65000 70000 μ

de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5 minutos.

µ = 38.3 min.

σ = 7.5 min. z x−μ

a)¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos?p( x ≤ 30)

z 30 – 38.3

7.5=−8 .3

7.5=−1.11 =

p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35%

b)¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?p(30 ≤ x ≤ 35)

z 35 – 38.3

7.5=−3 .3

7 .5=−0.44 =

z 30 – 38.3

7.5=−8 .3

7.5=−1.11 =

p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%

c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos?p(30 ≤ x ≤ 40)

z 40 – 38.3

7.5=1 . 7

7 . 5=0.23 =

z 30 – 38.3

7.5=−8 .3

7 .5=−1.11 =

p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 = 45.75%

Probabilidad acumulada.

0.1335

30 38.3 μ

Probabilidad acumulada.

0.3300

0.1335

30 35 38.3 μ

Probabilidad acumulada.

0.5910

0.1335

30 38.3 μ

4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond, Virginia, tiene una distribución normal, con una media de $1,200 y una desviación estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario?

1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65

1.65 x – 1,200

225

1.65 ×225=x−1,200 371.25=x−1,200 x=1,200+371.25

x = 1,571.25

5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y que la desviación estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad?

µ = 1,200 σ = 225

Probabilidadacumulada.

5% = .0500 z

5% ó 0.0500

X =

1.64 x – 20,082

4 , 500

1.64 × 4,500=x−20,082 7,380=x−20,082 x=20,082+7,380

x = 27,462.

DISTRIBUCIÓN GAMMA

La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable que

µ = 20,082 σ = 4,500

Probabilidad Valor acumulada. de z

95% = .9500 =

X =

95% ó 0.9500

mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetros a= nlambda(escala) y p=n (forma). Se denotaGamma(a,p).

Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de elementos físicos (tiempo de vida).Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).

Ejercicio 1El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución dePoisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).

Solución:

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a p)a : Escala 60000p : Forma 20000Punto X 10000

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667

La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.

Ejercicio 2Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:

1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100

Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

T DE STUDENT

Ejemplo 1: Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:

SOLUCIÓN.

t= x -μ

SI n α = 1- Nc = 10%

v = n-1 = 24

t = 2.22

Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.

520 521 511 513 510 µ=500 h513 522 500 521 495 n=25496 488 500 502 512 Nc=90%510 510 475 505 521 X=505.36506 503 487 493 500 S=12.07

Ejemplo 2: El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10 días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone el despertador acaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de cada 10 días en los que olvida poner el despertador, llega a tiempo adar su primera clase.

(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.

(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su primera clase?

Solución:

En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamos realizando. Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor Pérez y analizarlo en base a los siguientes sucesos.

(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:

O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador

T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.

Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos. A continuación traducimos en términos de probabilidad de los sucesos anteriores todos los datos que nos dan en el enunciado.

P(O) =3

10, P (T |O) =

210

, P(O) =7

10, P(T |O) =

1¿0

(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto nos piden que calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema completo de sucesos, podemos aplicar la formulas de la probabilidad total, de donde tenemos que:

P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).

En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el enunciado, sin embargo no conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos que

P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 −1

10=

19 De esta forma, la expresión

anterior se puede escribir como: P(T¯) =2

310

710

=0.69

Ejemplo 3: La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:

P (μ<20.5)

Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de libertad

T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5

P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)

P (T<2.5) = 0.9902

P (μ<20.5)=0.9902

La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior a 20.5 mm es del 99.02%

Ejemplo 4:

Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los siguientes casos:

1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.

2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.

Solución.

1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica:

S [W · w0=95] = 0=95

Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:

- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.

- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso: 0=95=

- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores hasta cruzarnos en el punto w0=95.

Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será el valor:

w0=95 = 2=3534

Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la primera columna, llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente hacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95 (probabilidad acumulada).

Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas probabilísticas que van desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25, tendremos que realizar la siguiente consideración:

S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]

Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:

w0=25 = ¡w0=75

Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]

Por tanto, buscando en la tabla con los datos:

Grados de libertad: 3

Cola de probabilidad: 0.75

Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649

2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso anterior, pero buscando en la fila 30 de la tabla. Resultando:

w0=95 = 1=6973

Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828

Ejemplo 5 :