8/18/2019 ejercicios de grandville
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u
a
TALLER DE CALCULO INTREGRAL.
1. ∫5
10
X 2dx
√ x2 − 6
2.
9 − u2 ¿3 /2¿¿u
2
¿
∫0
π /2
¿
3. ∫01
dx x√ 25 − x2
4. ∫ dy
y2 √ y2 − 7
5. ∫√ y2 − 9
y dy
6. ∫√ x2 − 9 dx
x6
DESARROLLO:
1. ∫5
10
X 2dx
√ x2 − 6
u= x
a = √ 6 Aplica √ u2 − a 2
a2 = 6
Entonce :
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u= asec z
du = asec z. tg z dz
dx= du
Entonce :asecz
¿¿
¿2 .asecz.tgzdz¿¿¿
∫5
10
X 2dx
√ x2 − 6=∫ u
2du
√ u2 − a 2=∫ ¿
a2se c
3 z dz= ¿a 2∫ se c 3 z dz
∫ ¿
!"i#e"o e inte$"a se c3 z dz
se c3 z dz= sec 2 z . sec z dz
se c3 z dz= secz .tagz −∫ secz. t g 2 z dz
secz.tagz −∫ secz (se c2
−1)dz
secz . tagz −∫ (sec 3 z− secz )dzse c
3 z dz= secz .tagz −∫ se c 3 z dz+seczdz
sec(¿ z+ tangz )
2 se c3 z dz= secz . tagz + ln ¿
sec(¿ z+tangz )
1
2 secz . tagz +ln ¿+c
se c3 z dz= ¿
Entonce e tiene:
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x
sec(¿ z+tangz )
1
2 secz . tagz +ln ¿+c
a2 ¿
!a"a %acilita" el &e a""ollo e epa"an
x2 − 6
x√ ¿(¿¿)− 3 ln √ 6 +c x√ x2 − 6
2 +3 ln ¿
√ 6 ¿2 secztanz
2
¿
√ 6 ¿2 x√ 6
√ x2 − 6√ 6
2
¿
√ 6 ¿2¿¿
x√ x2 − 6¿
√ 6 ¿2 ¿¿
√ 6 ¿2 ln | secz +taz|
2
¿
√ 6 ¿2ln x
√ 6+
√ x2 − 6√ 6
2
¿
√ 6 ¿2 x√ x2 − 6
√ 62
1
¿
x x2 − 6
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3u
x2 − 6
x√ ¿(¿¿)+c
x√ x2 − 62
+3 ln ¿
x2 − 6
x√ ¿
(¿¿)∫5
10
❑
x2dx
√ x2− 6= ¿ x
√ x2 − 62 +3 ln ¿
∫5
10
¿
1 0 2 − 610 √ ¿5 2 − 65 √ ¿
¿¿
(¿¿)−5 √ 5 2 − 6
2 +3 ln ¿
¿10 √ 1 0 2− 6
2 +3 ln ¿
¿42.29
2.
9 − u2 ¿3 /2¿¿u
2
¿
∫0
π /2
¿
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√ 3 2− u2 ¿3¿¿
u2du¿
¿∫
¿
√ 3 2 − u2 →u = 3 sen β
u3
= sen β ≫ β= sen−1 (u3
)
du3
= cos β dβ
3 senβ ¿2
.3 cosβ dβ¿3 senβ ¿2
¿¿3
3 2 − ¿√ ¿¿¿¿
∫ ¿
3 2 − 3 2 β= 3 2 (1 − sen 2 β)
¿9 (co s 2 β)
√ 9 co s 2 β ¿3¿¿
se n2 β . cosβdβ
¿27 ∫ ¿
27
27 ∫se n
2 β cosβ dβ
cos3 β dβ
∫ ta n 2 β dβ
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5x
∫ sec 2 β dβ− ∫ 1 dβtangβ +c− β
u√ 9 − u2 − arcsen
u3 +c
π 2
¿¿2¿
0 ¿2¿
9 −(¿− arc sen0
3 ¿)
√ ¿9 − ¿√ ¿π 2
¿π 2 ¿2
¿9 − ¿2 √ ¿
π ¿
3. ∫0
1
dx
x√ 25 − x2
cosθ =√ 25 − x2
5
√ 25 − x2
= 5cos θ
senθ = x5
→ x= 5 senθ
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∫ 5 cosθ dθ5 senθ 5 cosθ =∫ dθ5 senθ
=1
5 ∫ 1
senθ dθ =∫ cscθdθ
1
5 ln (cscz +ctgz )+c
1
5 ln (5 x+√ 25 − x
2
x )+c1
5 ln (5 +√ 25 − x2 x )+c
Entonce e tiene:
∫0
1
dx
x√ 25 − x2=
1
5ln (5 +√ 25 − x2 x )+c∫0
1
❑
[15 ln (5 +√ 25 − 1 21 )+c]−[ 15 ln (5 +√ 25 − 0 20 )+c]
4. ∫ dy y
2 √ y2 − 7
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yx
√ 7 ¿2¿
y2 − ¿
y2 √ ¿dy
¿∫ ¿
√ 7 ¿2 → y= √ 7 sec z y
2 − ¿
y√ 7
= sec z
dy√ 7
= sec z tan z dz
√ 7 ¿2¿
√ 7 secz ¿2− ¿¿
√ 7 secz ¿2 √ ¿¿
√ 7 secz tan z dz¿
∫ ¿
√ 7 ¿2 (se c 2 z− 1 )√ 7 ¿2 = ¿
√ 7 ¿2 se c 2 z+¿¿
√ 7 ¿2 ta n 2 z¿¿
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√ 7 ¿2 ta n 2 z¿¿¿√ ¿
z¿2
¿√ 7 sec ¿¿
sec z tan z dz¿
√ 7 ∫ ¿
√ 7 ¿3¿
√ 7 ¿2¿¿¿
√ 7¿
√ 7 ¿2¿¿1
¿
√ 7 ¿2¿¿1
¿
√ 7 ¿2¿¿ y¿
√ 7 ¿2
y2 − ¿√ ¿¿¿
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y
P
3
¿ √ y2 − 7
7 y +c
5. ∫ √ y2 − 9 y
dy
∫ √ y2 − 3 2
y dy
3 sec z ¿2− 3 2¿¿
√ ¿¿
∫ ¿
3 2 se c2 − 3 2= 3 2 (se c2 z− 1 )
¿3 2 ta g 2 z
∫ √ 32ta g
2 z
3 sec z .3 sec z tan z dz
3 ∫ tan z . tan z dz= 3 ∫ tan 2 z dz∫ sec 2 z−∫ dz¿
3 ¿3 tanz − 3 z
y= 3 secz
d y= 3 sec z tan z dz
y= sec z
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xP
3
3 sen zcos z
− 3 z
√ y2 − 3 2
y3 y
3
√ y2 − 3 2
y3
y
− 3 arcsec y3
√ y2
− 32
− 3 arcsec y3
6. ∫ √ x2− 9 dx x6
3 secβ ¿2 − 3 2¿
dx¿
3 secβ ¿6¿¿
√ ¿¿
∫ √ x2 − 3 2 dx x
6 =∫ ¿
x= 3 secβ
dx= 3 secβtanβ dβ
x= sec
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2 se c2 β− ¿3 2 = 3 2 (sec 2 β− 1 )
3 ¿
¿3 2 (ta g 2 β)
3 secβ ¿6¿¿
√ 3 2 tan g2 β¿
∫ ¿
3 2
36
∫ tangβ
se c6
β. secβ tanβ dβ
1
3 4∫ ta n
2 β
se c2 β
dβ = 1
3 4∫
sen2 β
co s2 β
1
co s5 β
dβ
1
3 4∫ sen 2 β cos 3 β dβ
∫ sen2
β cos2
β cos β dβ
∫ sen 2 β(1 − sen 2 β)cos β dβ∫ (se n 2 β− se n 2 β)cos β dβu= senβ
du = cosβ dβ
1
3 4 ∫ (u2
− u4
)dβ
1
3 4 (se n3 β
3 − se n
5 β
5 )+c
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√ x2 − 9 x
¿3
¿√ x2 − 9
x ¿5
¿(¿5 ¿)+c¿
(¿3 ¿)−¿¿
1
3 4 ¿
x2 − 9 ¿3 /2
¿¿ x3
¿ x
2 − 9 ¿5 /2¿
¿ x5
(¿¿5 ¿)+c¿¿¿
1
3 4 ¿
x2
− 9 ¿3
/2
¿¿¿
x2 − 9 ¿
3
2
¿¿¿
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