Universidad de los Andes Departamento de Ingeniería Industrial Probabilidad y Estadística I (IIND2106) Profesor Coordinador: Mario Castillo Profesores: Hernando Mutis Instructores: Astrid Johanna Bernal, María Andrea Novoa, John Jairo Ríos, Andrés Arboleda, María Alejandra López y Carlos Castellanos Segundo Semestre 2012
Complementaria 10 Teorema del Limite Central y Suma de Variables Aleatorias
1. La cantidad de barriles diaria que se extraen de un pozo petrolero entre semana se
comporta como una variable aleatoria X con distribución Normal, con media 20 pozos y desviación estándar 5. Adicionalmente, se conoce que los fines de semana los barriles extraídos se comporta como una variable aleatoria Y con distribución Normal, con media 10 pozos y desviación 3. Asuma que la cantidad de barriles diaria que se extraen en cualquier día de la semana se comporta de forma independiente a lo largo de los diferentes días del año.
a) Sea W la variable que representa la cantidad total de barriles que se extraerán
la próxima semana. Halle una expresión para W.
𝑊 = 𝑋!
!
!!!
+ 𝑌!
!
!!!
b) Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria W.
𝑋~𝑁 𝜇 = 20,𝜎! = 25 , 𝑌~𝑁(𝜇 = 10,𝜎! = 9)
𝐸 𝑊 = 𝐸 𝑋!
!
!!!
+ 𝑌!
!
!!!
= 𝐸 𝑋!
!
!!!
+ 𝐸 𝑌!
!
!!!
= 𝐸 𝑋!
!!!
+ 𝐸(𝑌)!
!!!
= 5𝐸 𝑋 + 2𝐸(𝑌)
𝑉𝐴𝑅 𝑊 = 𝑉𝐴𝑅 𝑋!
!
!!!
+ 𝑌!
!
!!!
= 𝑉𝐴𝑅 𝑋!
!
!!!
+ 𝑉𝐴𝑅 𝑌!
!
!!!
= 𝑉𝐴𝑅 𝑋!
!!!
+ 𝑉𝐴𝑅(𝑌)!
!!!
= 5𝑉𝐴𝑅 𝑋 + 2𝑉𝐴𝑅(𝑌)
𝑊~𝑁(𝜇 = 5 ∗ 20+ 2 ∗ 10 = 120,𝜎! = 5 ∗ 25+ 2 ∗ 9 = 143)
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sean extraídos más de 150 pozos en una
semana cualquiera?
𝑃 𝑍 > 150 = 1− 𝑃 𝑍 ≤ 150 = 1− Φ150 − 120
143= 1 − Φ 2,51 = 1 − 0,9939
= 0.0061
d) Si se escoge un mes al azar de 4 semanas, calcule la probabilidad de que sean extraídos menos de 400 barriles de petróleo. Se define K= Suma de barriles extraídos en un mes cualquiera.
𝐾~𝑁(𝜇 = 4 ∗ 120 = 480,𝜎! = 4 ∗ 143 = 572)
𝑃 𝑧 < 400 = 𝑃 𝑧 < !""!!"#!"#
= 𝑃 𝑧 < −3.34 = 1− 𝑃 𝑧 < 3.34 = 1−0,99958854
= 0,00041146
2. El valor de la inflación del próximo mes se comporta como una variable aleatoria X, la cual se distribuye uniformemente entre 1.5 y 3.5 porciento, con media 2.5 y varianza 1/3.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un mes seleccionado al azar la inflación sea inferior a 2.5?
𝑋~𝑈(𝜇 = 2.5,𝜎! =13)
𝑃 𝑋 < 2.5 =12
b) Se toma una muestra aleatoria de un año. ¿Cuál es la probabilidad de que
el promedio del valor de la inflación del año sea inferior a 2.45?
𝑃𝑜𝑟 𝑇𝐿𝐶: 𝑋 =112 𝑋!
!"
!!!
~𝑁(2.5,136)
𝑃 𝑋 < 2.45 = 𝜙2.45− 2.5
136
= 𝜙 −0.3 = 1− 𝜙 0.3 = 1− 0.618
= 0.382
c) ¿Cuál es el mínimo valor que debe tomar la suma de las inflaciones mensuales durante un año, para que este dato este en el percentil 90?
𝑌 = 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜
𝑌~𝑁 𝜇 = 12 ∗ 2.5 = 30,𝜎! = 12 ∗13 = 4
𝑆𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒𝑃 𝑍 ≤ 𝑧 = 0.9
𝑧 = 1,28155
𝑧 =𝑦 − 𝜇𝜎 → 𝑦 = 𝑧𝜎 + 𝜇
𝑦 = 1,28155 ∗ 4+ 30 = 32.56
3. El gerente de producción de una fábrica de celulares, está interesado en conocer el número total de celulares que salen defectuosos de las marcas Blackberry, Samsung y Iphone. Asuma que los mecánicos cometen un error en la producción de celulares con probabilidad de 1/4, lo que implica que el celular salga defectuoso. El plan de producción para el día de hoy será: producir 50 celulares Blackberry, 60 Samsung y 30 Iphones. Encuentre el valor esperado total de los celulares que salen defectuosos del lote de producción. Utilice la función generatriz de momentos. X= Número de celulares defectuosos de la marca Blackberry. Y= Número de celulares defectuosos de la marca Samsung. K= número de celulares defectuosos de la marca Iphone. Z= Número total de celulares defectuosos. Z=X+Y+K
𝑀! 𝑡 = 𝑀! 𝑡 ∗𝑀! 𝑡 ∗𝑀! 𝑡
Si X se distribuye binomial (n,p):
Si X se distribuye binomial (50,(1/4)): 𝑀! 𝑡 = (1 − 𝑝 + 𝑝𝑒!)!"
Si Y se distribuye binomial (n,p):
Si Y se distribuye binomial (60,(1/4)): 𝑀! 𝑡 = (1 − 𝑝 + 𝑝𝑒!)!"
Si K se distribuye binomial (n,p):
Si K se distribuye binomial (30,(1/4)): 𝑀! 𝑡 = (1 − 𝑝 + 𝑝𝑒!)!"
𝑀! 𝑡 = (1 − 𝑝 + 𝑝𝑒!)!" ∗ 1 − 𝑝 + 𝑝𝑒! !" ∗ 1 − 𝑝 + 𝑝𝑒! !"=(1 − 𝑝 + 𝑝𝑒!)!"#
Por lo tanto:
X+Y+K = Z ~ Binomial (140, 1/4)
E[Z]=np=140*(1/4)=35
ntX peptM )1()( +−=
ntY peptM )1()( +−=
ntY peptM )1()( +−=
Top Related