TEMA: ECUACION DE LA ONDA CON SERIES DE FURIER
ASIGNATURA: ECUACIONES
DIFERENCIALES SOLUCIONARIO ECUACION DE LA ONDA
CAP 10.6 LIBRO NAGLE
RESOLUCION DE PROBLEMAS:
QUIPE LOPE GUIDO
SANCHEZ YANCAPALLO ALEJANDRA
ARCE HUAHUACHAMBI GONZALO
CUETO SAIGUA PAVEL
YUCRA CHAPALLMA MARIELA TIPEADO POR:
SANCHEZ YANCAPALLO ALEJANDRA
18/12/2013
TEMA: ECUACION DE LA ONDA CON SERIES DE FURIER ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES
TEMA: ECUACION DE LA ONDA CON SERIES DE FURIER |AUTOR: ING. CIVIL
1
ONDAS CON SERIES DE FURIER
1. Determinar una solución formal del problema de la cuerda vibrante descrito por el
problema con el valor iniciales.
2 2
2 20 1 0
(0, ) (1, ) 0 0
( ,0) (1 ) 0 1
( ,0) (7 ) 0 1
u ux t
t x
u t u t t
u x x x x
ux sen x x
t
SOLUCION:
Por teoría tenemos la siguiente ecuación.
1
( , ) cosn n
n
n ct n ct n xu x t A B sen sen
L L L
En este problema la ecuación toma la siguiente forma
1
( , ) cosn n
n
u x t A n t B sen n t sen n x
Hallamos nuestras constantes:
12
0
1 12
0 0
2
2 . 2 .
n
n
A x x sen n t dx
A x sen n t dx x sen n t dx
Integrando por partes tenemos
1
0
1
1
20
0
1
20
1
0
2 .
1cos
1 12 . cos
1 12 . 2 1 (0)
22 . 1
n
n
x sen n x dx
u x dv sen n x dx
du dx v n xn
x sen n x dx x n x sen n xn n
x sen n x dx sen n senn n
x sen n x dxn
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2
Para integrar la segunda parte:
1
2
02 .x sen n x dx
2
12 cos
u x dv sen n x dx
du xdx v n xn
1 12 2
0 0
22 . cos 2 cosx sen n x dx x n x x n x dx
n
Otra vez por partes:
cos
1
u x dv n x dx
du dx v sen n xn
1
12 2
20
0
1
2
2 1 12 . cos 2 cos
2 2 ( 1) 11( 1) 0 0 0
2 2( 1) ( 1) 1
nn
n n
x sen n x dx x n x x sen n x n xn n n
n n n n
n n
Reemplazando en:
1 1
2
0 02 . 2 .nA x sen n x dx x sen n x dx
1
2
1 1
3
3
2 2 21 1 ( 1) ( 1) 1
2 1 2 1 4( 1) 1
4( 1) 1
n n n
n
n n
n
n
n
n
An n n
An n
An
Ahora hallaremos el valor de B
1
(7 ) n
n
sen x nB sen n x
Evaluamos con 7n
(7 ) 7 7nsen x B sen x
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3
7
7
7 1
1
7
B
B
Seguidamente analizamos para n=1, 2, 3,4….
1
0
2(7 )nB sen x sen n x dx
n
1
0
1
0
2cos(7 ) cos(7 )
2 (7 ) (7 )
7 7
2(0 0)
0
n
n
n
n
B x n x x n x dxn
sen x n x sen x n xB
n n n
Bn
B
Reemplazando en la fórmula:
1
( , ) cosn n
n
u x t A n t B sen n t sen n x
31
1 4( , ) 7 7 ( 1) 1 cos
7
n
n
u x t sen t sen x n t sen n xn
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4
2. Determinar una solución formal del problema de la cuerda vibrante descrito por el
problema con el valor iniciales.
2 2
2 2
2
16 0 0
(0, ) ( , ) 0 0
( ,0) ( ) 0
( ,0) 1 cos( ) 0
u ux t
t x
u t u t t
u x sen x x
ux x x
t
SOLUCION:
Por teoría tenemos la siguiente ecuación.
1
4
( , ) cosn n
n
L c
n ct n ct n xu x t A B sen sen
L L L
En este problema la ecuación toma la siguiente forma
1
( , ) cos 4 4n n
n
u x t A nt B sen nt sen nx
Hallamos nuestros valores:
2
0
0
0 0
2( )
11 (2 )
1(2 )
n
n
n
A sen x sen nx dx
A sen x sen nx dx
A sen nx dx sen x sen nx dx
Evaluemos:
00
1cos
1( 1) 1n
sen nx nxn
n
Evaluamos para 2n
1
0 0
0
(2 ) cos(2 ) cos(2 )
(2 ) (2 )2
2 2
0
sen x sen nx dx x nx x nx dx
sen x nx sen x nxn
n n
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5
Evaluamos para 2n
1
0 0
0
1(2 ) cos(2 2 ) cos(2 )
2
1 1cos(4 )
2 2
1
2
sen x sen nx dx x x x nx dx
x x
Reemplazamos en la ecuación:
1 1
0 0
1(2 )nA sen nx dx sen x sen nx dx
1
( 1) 1 0 2
12
2
n
n
nn
A
n
Hallamos el valor de B
0
0 0
0
1 1
1(1 cos )
2
1cos( ) ( )
2
1 cos( ) cos( ) cos( )
2 1 1
1 ( 1) ( 1) ( 1)
2 1 1
n
n
n
n n n
n
B x sen nx dxn
B sen nx x sen nx dxn
nx x nx x nxB
n n n n
Bn n n n
Reemplazamos en la siguiente ecuación:
1
( , ) cos 4 4n n
n
u x t A nt B sen nt sen nx
1 1
1
( 1) 11 7 1 ( 1) ( 1) ( 1)( , ) cos 8 (8 ) 2 cos 4 4
2 3 2 1 1
n n n n
n
u x t t sen t sen x nt sen nt sen nxn n n n n
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6
3. Determinar una solución formal del problema de la cuerda vibrante descrito por el
problema con el valor iniciales.
2 2
2 2
2
4 0 0
(0, ) ( , ) 0 0
( ,0) ( ) 0
( ,0) 0 0
u ux t
t x
u t u t t
u x x x x
ux x
t
SOLUCION:
Por teoría tenemos la siguiente ecuación.
1
2
( , ) cosn n
n
L c
n ct n ct n xu x t A B sen sen
L L L
En este problema la ecuación toma la siguiente forma
1
( , ) cos 2 2n n
n
u x t A nt B sen nt sen nx
Hallamos nuestros valores:
2
0
2 3
0 0
2( )
2 2
n
n
A x x sen nx dx
A x sen nx dx x sen nx dx
2
0x sen nx dx
Derivando por partes:
2
12 cos( )
u x dv sen nx
du xdx v nxn
2
12 cos( )
12 ( )
u x dv nxn
du dx v sen nxn
2
3
12 ( )
10 cos( )
u dv sen nxn
du dx v nxn
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7
22
2 30
0
22
30
22
30
2 2cos( ) ( ) cos( )
2( 1) 0 ( 1) (1)
2( 1) ( 1) (1)
n n
n n
x xx sen nx dx nx sen nx nx
n n n
x sen nx dxn n
x sen nx dxn n
3
0x sen nx dx
Derivando por parte:
3
2 13 cos( )
u x dv sen nx dx
du x dx v nxn
2
2
13 cos( )
16 ( )
u x dv nx dxn
du xdx v sen nxn
2
3
16 ( )
16 cos( )
u x dv sen nx dxn
du dx v nxn
3
4
16 cos( )
10 ( )
u dv nx dxn
du dx v sen nxn
3 23
2 3 40
0
33
30
33
30
3 6 6cos( ) ( ) cos( ) ( )
6( 1) 0 ( 1) 0 0
6( 1) ( 1)
n n
n n
x x xx sen nx dx nx sen nx nx sen nx
n n n n
x sen nx dxn n
x sen nx dxn n
Reemplazando en:
2 3
0 0
2 2nA x sen nx dx x sen nx dx
2 3
3 3
2 2 62 ( 1) ( 1) (2) ( 1) ( 1)n n n n
nAn n n n
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8
2 2
3 3
2 2
3 3
1
3
2 62 ( 1) ( 1) (2) 2 ( 1) ( 1)
2 4 2 12( 1) ( 1) (2) ( 1) ( 1)
24( 1) 1
n n n n
n
n n n n
n
n
n
An n n n
An n n n
An
Encontramos el otro valor:
0
10
2
0
n
n
B sen nx dxn
B
Reemplazamos en la ecuación:
1
( , ) cos 2 2n n
n
u x t A nt B sen nt sen nx
1
31
2( , ) 4( 1) 1 cos 2n
n
u x t nt sen nxn
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9
5.- La cuerda pulsada, una cuerda vibrante queda descrita mediante el problema con valores
iniciales y en la frontera Si la cuerda se levanta hasta la altura 0h en x=a y se vuelve entonces
las condiciones iniciales:
0
0
0
( )
xh x a
af x
L xh a x L
L a
Y ( ) 0g x determine la solución formal:
SOLUCION:
Tomamos como condiciones bases:
( ) 0 ( )
(0) 0 ( )
g x g L
f f L
La solución formal es:
1
( ) 0 n
n
n a n xg x B sen
L L
0nB
La solución formal de toda la ecuación toma la siguiente forma:
1
( , ) cosn
n
n at n xu x t A sen
L L
Ahora hallamos el valor de A:
0
00
0
0
0
2( )
2( )
2 1 1( )
L
n
a L
na
a L L
na a
n xA f x sen dx
L L
h n x L x n xA x sen dx h sen dx
L a L L a L
h n x L n x n xA x sen dx sen dx xsen dx
L a L L a L L a L
Aplicamos derivada por partes:
cos
n xu x dv sen dx
L
L n xdu dx v
n L
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10
2
( ) cosn x xL n x L n x
x sen dx senL n L n L
Reemplazando en la ecuación:
0
0
2 1 1( )
a L L
na a
h n x L n x n xA x sen dx sen dx xsen dx
L a L L a L L a L
2 2
0
0
2 1 1cos cos cos
a L
n
a
h xL n x L n x L n x xL n x L n xA sen sen
L a n L n L L a L L a n L n L
0
2 2
2n
h n aA sen
n aL a L
Al sustituir en:
1
( , ) cosn
n
n at n xu x t A sen
L L
0
2 21
2 1( , ) cos
n
h n a n at n xu x t sen sen
aL a n L L L
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11
7.- Resolver
2 2
2 20 0
(0, ) ( , ) 0 0
( ,0) ( ) 0
( ,0) 5 (2 ) 3 (5 ) 0
u utx x t
t x
u t u t t
u x sen x x
ux sen x sen x x
t
Como es no homogénea tenemos que hay una solución homogénea y unas partículas las
cuales son respectivamente
1
1
0
( , ) ( )
( , ) ( )
2( ) ( , )
n
n
n
n
L
n
n xu x t u t sen
L
n xh x t h t sen
L
n xh t h x t sen dx
L L
SOLUCION:
0
2( )nh t txsen nx dx
1
cos
u x dv sen nx dx
du dx v nxn
0
2
0
2( )
2 1( ) cos
2( ) ( 1)
n
n
n
n
h t txsen nx dx
t xh t nx sen nx
n n
th t
n
Por el modelo formal tenemos:
0
2 0
1( ) cos ( ) ( ( ))
2( ) cos ( 1) . ( ( ))
t
n n n n
tn
n n n
u t A nt B sen nt h s sen n t s dsn
u t A nt B sen nt s sen n t s dsn
Derivando por partes:
( ( ))
cos( ( ))
u s dv sen n t s ds
n t sdu ds v
n
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12
2 2
0
3
3 4
2 cos( ( )) 1( ) cos ( 1) ( ( ))
2 ( )( ) cos ( 1) 0
2 2( ) cos ( 1) ( 1) ( )
(0) ( )
t
n
n n n
n
n n n
n n
n n n
n
n t su t A nt B sen nt s sen n t s
n n n
sen ntu t A nt B sen nt t
n n
u t A nt B sen nt t sen ntn n
u x
1
1
1
( ) ( )
( ) ( )
1
0 1
n
n
n
n
n
x A sen nx
sen x A sen nx
A
A n
Derivamos:
3 3
2 2' ( ) cos ( 1) ( 1) cos( )
' (0)
n n
n n n
n n
u t nA sen nt nB nt ntn n
u nB
Seguidamente tenemos:
1
2 5
5 (2 ) 3 (5 ) ( )
5 30 2 5
2 5
n
n
n
sen x sen x B sen nx
B B B n n
La solución general es:
3 41
3 41 1 1
2 2( , ) cos ( 1) ( 1) ( ) ( )
2 2( , ) cos ( ) ( 1) ( 1) ( )
n n
n n n
n
n n
n n n
n n n
u x t A nt B sen nt t sen nt sen nxn n
u x t A nt B sen nt sen nx t sen ntn n
5 3( , ) cos( ) ( ) (2 ) (2 ) (5 ) (5 )
2 5nu x t t sen x sen t sen x sen t sen x
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13
11.- El problema del telégrafo .Use el método de separación e variables para reducir una
solución formal del problema del telégrafo.
2 22
2 20 0
(0, ) ( , ) 0 0
( ,0) ( ) 0
( ,0) 0 0
u u uu a x L t
t t x
u t u L t t
u a f x x L
ux x L
t
SOLUCION:
Asumiendo que una solución a este problema es de forma:
( , ) ( ) ( )u x t X x T t
Sustituimos en la ecuación:
2( ) ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ''( ) ( )X x T t X x T t X x T t a X x T t
2
2
''( ) '( ) ( ) ''( )
( ) ( )
T t T t T t X xa
a T t X x
Con estas dos expresiones que deben ser iguales para todos los x en (0,L) y en todo t>0, no
puede variar. Por ello lo igualamos a una constante.
''( ) '( ) ( )
( )
T t T t T tk
T t
2''( ) '( ) (1 ) ( ) 0T t T t a k T t
''( )
( )
X xk
X x ''( ) ( ) 0X x kX x
(0) ( ) 0 ( ) ( )X T t X L T t
(0) ( ) 0
(0) ( )
X X L
X X L
Encontramos:
2
( )n n
n n xk X x A sen
L L
2 2 2
2''( ) '( ) (1 ) ( ) 0
a nT t T t T t
L
Las ecuaciones auxiliares cuadráticas, encontramos las raíces.
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14
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 4 11 4 4
2 2 2
1 3 4
2 2
a n
L L L a nr
L a nr i
La solución de la ecuación es:
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
3 4 3 4( ) cos
2 2
3 4
2
t
n n n
n
L a n L a nT t e B t C sen t
L L
L a n
L
Las soluciones serian:
2
2
( ) cos
( , ) ( ) ( )
( , ) cos
t
n n n n n
n n n
t
n n n n n n
T t e B t C sen t
u x t X x T t
n xu x t A e B t C sen t sen
L
Por el principio de superposición:
( , ) ( ) '( , ) 0
n n n n n nC A B D A C
u x t f x u x t
2 2
1
1'( , ) cos cos
2
t t
n n n n n n n n n n
n
n xu x t e C t D sen t e C sen t D t sen
L
1
'( , ) 02
nn n
n
C n xu x t D sen
L
Cada término de la serie debe ser cero.
2
1
1
02 2
1( ,0) cos
2
( ,0) ( )
n nn n n
n
t
n n n
n n
n
n
C CD D
n xu x C e t sen t sen
L
n xu x f x C sen
L
0
2( )
L
n
n xC f x sen dx
L L
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15
13.- Usando la ecuación de D’Alembert Calcular las siguientes ecuaciones en derivadas
parciales
2 22
2 20
( ,0) 0
( ,0) cos( )
u ua x t
t x
u x
ux x
t
SOLUCION:
Usamos la fórmula:
1 1
( , ) ( ) ( ) ( )2 2
xat
x atu x t f x at f x at g s ds
a
Reemplazando en la fórmula:
1 1( , ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1( , ) 0 cos( )
2 2
1( , ) 0 ( )
2
1( , ) ( ) ( )
2
1( , ) 2 cos
2 2 2
1( , ) 2 c
2
xat
x at
x at
x at
x at
x at
u x t f x at f x at g s dsa
u x t x dsa
u x t sen xa
u x t sen x at sen x ata
x at x at x at x atu x t sen
a
u x t sen ata
os
1( , ) cos
x
u x t sen at xa
1
( , ) cosu x t sen at xa
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16
14.- Usando la ecuación de D’Alembert Calcular las siguientes ecuaciones en derivadas
parciales
2 22
2 2
2
0
( ,0)
( ,0) 0
u ua x t
t x
u x x
ux
t
SOLUCION:
Usamos la fórmula:
1 1
( , ) ( ) ( ) ( )2 2
xat
x atu x t f x at f x at g s ds
a
Reemplazando en la fórmula:
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
1 1( , ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1( , ) ( ) ( ) 0
2 2
1( , ) 2 ( ) 2 ( )
2
1( , ) ( ) ( )
2
( , ) ( )
( , )
x at
x at
x at
x at
u x t f x at f x at g s dsa
u x t x at x at dsa
u x t x atx at x atx at
u x t x at x at
u x t x at
u x t x a t
2 2 2( , )u x t x a t
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17
15.- Usando la ecuación de D’Alembert Calcular las siguientes ecuaciones en derivadas
parciales
2 22
2 20
( ,0)
( ,0)
u ua x t
t x
u x x
ux x
t
SOLUCION:
Usamos la fórmula:
1 1
( , ) ( ) ( ) ( )2 2
xat
x atu x t f x at f x at g s ds
a
Reemplazando en la fórmula:
2
2 2
2 2 2 2
1 1( , ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1( , ) ( ) ( )
2 2
1 1( , ) ( ) ( )
2 2 2
1 1( , )
2 2 2
1 1 2( , ) 2
2 2
x ta
x ta
x ta
x ta
x at
x at
u x t f x at f x at g s dsa
u x t x at x at xdxa
xu x t x at x at
a
x ta x tau x t x at x at
a
x tax t a xu x t x
a
2 22
2
1 4( , )
2 2
( , )
tax t a
atxu x t x
a
u x t x xt
( , )u x t x tx
TEMA: ECUACION DE LA ONDA CON SERIES DE FURIER ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES
TEMA: ECUACION DE LA ONDA CON SERIES DE FURIER |AUTOR: ING. CIVIL
18
16.- Usando la ecuación de D’Alembert Calcular las siguientes ecuaciones en derivadas
parciales
2 22
2 20
( ,0) (3 )
( ,0) 1
u ua x t
t x
u x sen x
ux
t
SOLUCION:
Usamos la fórmula:
1 1
( , ) ( ) ( ) ( )2 2
xat
x atu x t f x at f x at g s ds
a
Reemplazando en la fórmula:
1 1( , ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1( , ) 3( ) 3( ) 1
2 2
1 1( , ) 3( ) 3( )
2 2
1( , ) 3( )cos(3 ) cos(3 ) (3 ) 3( )cos(3 ) cos(3 ) (
2
x ta
x ta
x ta
x ta
x ta
x ta
u x t f x at f x at g s dsa
u x t sen x at sen x at dxa
u x t sen x at sen x at xa
u x t sen x at x sen at sen x at x sen
13 )
2
1 1( , ) 2 3( )cos(3 )
2 2
1( , ) 3( )cos(3 ) 2
2
( , ) 3( )cos(3 )
x ta
x taat x
a
u x t sen x at x ta x taa
u x t sen x at taa
u x t sen x at t
( , ) 3( )cos(3 )u x t sen x at t
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TEMA: ECUACION DE LA ONDA CON SERIES DE FURIER |AUTOR: ING. CIVIL
19
17.- Usando la ecuación de D’Alembert Calcular las siguientes ecuaciones en derivadas
parciales
2
2 22
2 20
( ,0)
( ,0)
x
u ua x t
t x
u x e
ux senx
t
SOLUCION:
Usamos la fórmula:
1 1
( , ) ( ) ( ) ( )2 2
xat
x atu x t f x at f x at g s ds
a
Reemplazando en la fórmula:
2 2
2 2
2
( ) ( )
( ) ( )
( ) 4
1 1( , ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1( , ) ( )
2 2
1 1( , ) cos( )
2 2
1 1( , ) 1 cos( ) cos( )
2 2
( ,
x ta
x ta
x tax at x at
x ta
x tax at x at
x ta
x at t
u x t f x at f x at g s dsa
u x t e e sen x dxa
u x t e e xa
u x t e e x at x ata
u x
2( ) 41 ( ) ( )) 1
2
x at t sen x sen att e e
a
2( ) 41 ( ) ( )( , ) 1
2
x at t sen x sen atu x t e e
a
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18.- Usando la ecuación de D’Alembert Calcular las siguientes ecuaciones en derivadas
parciales
2
2 22
2 20
( ,0)
( ,0)
x
u ua x t
t x
u x e
ux senx
t
SOLUCION:
Usamos la fórmula:
1 1
( , ) ( ) ( ) ( )2 2
xat
x atu x t f x at f x at g s ds
a
Reemplazando en la fórmula:
1 1( , ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1( , ) cos( ) cos( ) (1 )
2 2
1 1( , ) cos( )cos( ) ( ) ( ) cos( )cos( ) ( ) ( ) (1 )
2 2
1( , ) cos( )cos( ) (
2
x ta
x ta
x ta
x ta
x ta
x ta
u x t f x at f x at g s dsa
u x t x at x at x dxa
u x t x at sen x sen at x at sen x sen at x dxa
u x t x ata
2
2 2
1 )
1( , ) cos( )cos( )
2 2
1 ( ) ( )( , ) cos( )cos( )
2 2
1 4( , ) cos( )cos( ) 2
2 2
( , ) cos( )cos( )
x ta
x ta
x ta
x ta
x dx
xu x t x at x
a
x ta x tax t x at x ta x ta
a
taxx t x at ta
a
x t x at t tx
( , ) cos( )cos( )x t x at t tx