Cálculo IntegralEl Teorema Fundamental del Cálculo
M. en C. Juliho Castillo30 de enero de 2017
Facultad de Ingeniería, Universidad Panamericana
1
1 El Teorema Fundamental del Cálculo
Valor promedio de una función
Enunciado del T.F.C
Ejercicios Resueltos
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Valor promedio de una función
Si una función f se evalua en n puntos ξ1, ξ2, ..., ξN , el valorpromedio de la función para estos puntos es
f(ξ1) + f(ξ2) + ... + f(ξN)N
= 1N
N∑k=1
f(ξk).
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Sin embargo, si tratamos de promediar una función en unintervalo [a, b], esta definición no es útil porque habrá unainfinidad1 de puntos.
Aun así, todavía podemos encontrar una definición, motivadapor el promedio en una cantidad finita de puntos
1De hecho, una cantidad no numerable de puntos, por lo que ni siqueirapodemos tratar de aplicar algunas técnicas para series
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Sin embargo, si tratamos de promediar una función en unintervalo [a, b], esta definición no es útil porque habrá unainfinidad1 de puntos.
Aun así, todavía podemos encontrar una definición, motivadapor el promedio en una cantidad finita de puntos
1De hecho, una cantidad no numerable de puntos, por lo que ni siqueirapodemos tratar de aplicar algunas técnicas para series
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Escogiendo el tamaño del paso fijo para un número N dado desubintervalos, tenemos que
h = b − a
N.
O de manera equivalente
1N
= 1b − a
h.
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Escogiendo el tamaño del paso fijo para un número N dado desubintervalos, tenemos que
h = b − a
N.
O de manera equivalente
1N
= 1b − a
h.
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De manera que
1N
N∑k=1
f(ξk) = 1b − a
N∑k=1
f(ξk) · h.
Cuando N → ∞, el lado derecho se aproxima a
1b − a
∫ b
af(ξ)dξ.
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De manera que
1N
N∑k=1
f(ξk) = 1b − a
N∑k=1
f(ξk) · h.
Cuando N → ∞, el lado derecho se aproxima a
1b − a
∫ b
af(ξ)dξ.
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Sea f una función continua en [a, b]. Si x ∈ [a, b], entonces
F (x) =∫ x
af(ξ)dξ
es una función que depende de x tal que
DxF (x) = Dx
(∫ x
af(ξ)dξ
)= f(x). (1.1)
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Teorema 1.1 (Teorema Fundamental del Cálculo).Sea f una función continua en [a, b] y F (x) una antiderivadade f(x). Entonces∫ b
af(ξ)dξ = F (b) − F (a). (TFC)
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La ecuación (TFC) nos da una manera sencilla de calcular∫ b
af(ξ)dξ...
siempre y cuando podamos encontrar una antiderivada def(x), en términos de funciones elementales.
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La ecuación (TFC) nos da una manera sencilla de calcular∫ b
af(ξ)dξ...
siempre y cuando podamos encontrar una antiderivada def(x), en términos de funciones elementales.
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Proposición 1.1 (TFC con Cambio de Variables).Supongamos que en el intervalo [a, b], la función f es continuay la función g es diferenciable.
Entonces ∫ b
af(g(x))g′(x)dx =
∫ g(b)
g(a)f(u)du,
donde u = g(x).
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Proposición 1.1 (TFC con Cambio de Variables).Supongamos que en el intervalo [a, b], la función f es continuay la función g es diferenciable.
Entonces ∫ b
af(g(x))g′(x)dx =
∫ g(b)
g(a)f(u)du,
donde u = g(x).
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Ejercicio Resuelto 2.Encuentre el área de la región entre la curva dada porf(x) = 1√
4 − x2, el eje x, x = 0 y x = 1.
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Teorema 1.2 (Teorema del Valor Medio para Integrales).Sea f una función continua en [a, b]. Entonces existe c ∈ [a, b]tal que ∫ b
af(ξ)dξ = (b − a) f(c) (1.2)
24
Teorema 1.2 (Teorema del Valor Medio para Integrales).Sea f una función continua en [a, b]. Entonces existe c ∈ [a, b]tal que ∫ b
af(ξ)dξ = (b − a) f(c) (1.2)
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Ejercicio Resuelto 5.Demuestre que
1 Si f es una función par, entonces para a > 0 :∫ a
−af(x)dx = 2
∫ a
0f(x)dx;
2 Si f es una función impar, entonces para a > 0 :∫ a
−af(x)dx = 0.
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Ejercicio Resuelto 5.Demuestre que
1 Si f es una función par, entonces para a > 0 :∫ a
−af(x)dx = 2
∫ a
0f(x)dx;
2 Si f es una función impar, entonces para a > 0 :∫ a
−af(x)dx = 0.
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Ejercicio Resuelto 6 (Regla trapezoidal).Sea f(x) ≥ 0 en [a, b]. Dividamos [a, b] en N subintervalos delongitud fija h = b−a
N, por medio de puntos
xk = a + k · h, k = 1, ..., N.
Muestre que∫ b
af(ξ)dξ ≈ h
2
(f(a) + 2
N−1∑k=1
f(ξk) + f(b))
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Ejercicio Resuelto 6 (Regla trapezoidal).Sea f(x) ≥ 0 en [a, b]. Dividamos [a, b] en N subintervalos delongitud fija h = b−a
N, por medio de puntos
xk = a + k · h, k = 1, ..., N.
Muestre que∫ b
af(ξ)dξ ≈ h
2
(f(a) + 2
N−1∑k=1
f(ξk) + f(b))
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Ejercicio Resuelto 7.Use la regla trapezoidal para aproximar∫ 1
0x2dx
con N = 1.
Utilice el (TFC) para calcular la integral de manera exacta ycompare.
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