Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
Universidad Nacional Autónoma de Honduras Facultad de Ciencias Económicas
Guía de Ejercicios No. 1 DET – 385, Métodos Cuantitativos III
PARTE 1: Propiedades de límites: No. Teorema Forma de reconocerlo 1 x a
C CLím→
= Límite de una constante
2 x ax aLím
→= Límite de la función identidad
3 ( )x a
mx b ma bLím→
+ = + Límite de una función lineal
4 ( )
( ) ( ) nn nx a
P x es un polinomioP x P a
en x de grado nLím→
= Límite de un polinomio
5 [ ( ) ( )] ( ) ( )x a x a x a
f x g x f x g xLím Lím Lím→ → →
+ = + Límite de la suma de dos funciones
6 [ ( ) ( )] ( ) ( )x a x a x a
f x g x f x g xLím Lím Lím→ → →
− = − Límite de la resta de dos funciones
7 ( ) ( ) ( ) ( )x a x a x a
f x g x f x g xLím Lím Lím→ → →
= Límite del producto de dos funciones
8 ( )( )
( ) ( )x a
x ax a
f xf xg x g x
LímLím Lím
→→
→
= Límite del cociente de dos funciones
9 [ ( )] ( )n
nx a x a
f x f xLím Lím→ →
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
Límite de la n–ésima potencia de una función
10 ( )] ( )n nx a x af x f xLím Lím
→ →= Límite de la raíz n–ésima de una fun-
ción
Ejemplo ilustrativo 1: Evalúe 2
3 3 215 4 1
2 8 6 15xx x
x x xLím→−
− + ++ − +
( )
( )
2 23 33 2 3 21 1
21
3 3 21
23 3 2
3
5 4 1 5 4 12 8 6 15 2 8 6 15
5 4 1
2 8 6 15
5( 1) 4( 1) 12( 1) 8( 1) 6( 1) 15
8 2 227 3 3
x x
x
x
x x x xx x x x x x
x x
x x x
Lím Lím
Lím
Lím
→− → −
→ −
→ −
− + + − + +=
+ − + + − +
− + +=
+ − +
− − + − +=
− + − − − +
− −= = = −
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 2 –
En donde se aplicaron en forma sucesiva el límite de la raíz n–ésima de una función, el límite del cociente de dos funciones y el límite de un polinomio, para, posteriormente calcular y simplificar.
Ejemplo ilustrativo 2: Evalúe 2
393x
xx
Lím→ −
−+
2
3 3
( 3)93x x
xxx
Lím Lím→ − → −
+−=
+
( 3)3x
x−
+ 3( 3) 3 3 6
xxLím
→ −= − = − − = −
Debido a que al sustituir directamente se obtenía la forma indeterminada 0
0, fue necesario factorizar y
simplificar puesto que x + 3 ≠ 0 si x ≠ – 3. Luego se aplicó el límite de una función lineal.
Ejemplo ilustrativo 3: Evalúe0
4 2x
xx
Lím∆ →
+ ∆ −∆
( )
( )
0 0
2 2
0 0
4 2 4 2 4 24 2
4 2 4
4 2
x x
x x
x x xx x x
x
x x
Lím Lím
Lím Lím
∆ → ∆ →
∆ → ∆ →
+ ∆ − + ∆ − + ∆ += ⋅
∆ ∆ + ∆ +
+ ∆ −= =
∆ + ∆ +
( ) 4x+ ∆ −
( )
0
4 2
x
x x
xLím∆ →
∆ + ∆ +
∆=
x∆ ( ) 01
4 24 2
1 1 1 12 2 44 0 2 4 2
x xxLím∆ →
=+ ∆ ++ ∆ +
= = = =++ + +
También en este ejemplo, al sustituir directamente se obtenía la forma indeterminada 0
0 por lo que
fue necesario racionalizar el numerador y simplificar ya que ∆x ≠ 0. Luego se aplicó en forma suce-
siva: El límite del cociente de dos funciones, límite de la suma de dos funciones, el límite de la raíz
n–ésima y de una función lineal.
EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 17 halle el valor del límite, y según sea el caso indique los teoremas de límites que utilizó.
1) 23
( 5 9)x
x xLím→
− + 2) 3 22
(3 7 5 4)w
w w wLím→−
+ − − 3) 2
2144z
zz
Lím→
−+
4) 2
12 9
2 4xx x
xLím→ −
+ −−
5) 1
86 2ttt
Lím→
+−
6) 3
221
3 6xx
x xLím→
++ +
7) 2
3 242 3 7
4rr rr r
Lím→
− +− −
8) 3
4644s
ss
Lím→
−−
9) 2
111s
ss
Lím→−
−+
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 3 –
10) 2
2312
5 6xx xx x
Lím→ −
− −+ +
11) 2
252 13 153 14 5xx xx x
Lím→
− +− −
12) 2
224
3 2xx
x xLím→ −
−+ +
13) 3 2
222 2
6xx x x
x xLím→
− + −+ −
14) 2
3 212
2 3 12 5 2x
x xx x x
Lím→−
+ +− + +
15)
0 1 1t
tt
Lím→ + −
AYUDA: Racionalice el deno-minador.
16) 1
2 31x
xx
Lím→
− +−
AYUDA: Racionalice el nume-rador.
17) 3 3
0
8 8x
xx
Lím∆ →
+ ∆ −∆
AYUDA: Recuerde que (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3. Tome 3 38 , 8 2a x b= + ∆ = = y racionalice el nume-rador.
18) ( )
3
9729
3xx
x xLím→
−
− AYUDA: Racionalice denominador. Luego factorice numerador y simplifique.
PARTE 2: Límites unilaterales:
Ejemplo ilustrativo 1: Determine los límites unilaterales y bilaterales en x = -1 y x = 2 de la
función 2
1 2 1
( ) 1 2,
2 1 2
x si x
f x x si x
x si x
⎧ − − < −⎪⎪= − ≤ ≤⎨⎪ + >⎪⎩
1 12 2
1 1
12 2
2 2
2 2
2
) ( ) ( 1 2 ) 1 2( 1) 1 2 1
) ( ) ( 1) 1
) , ( ) 1
) ( ) (2) 4
) ( ) (2 1) 2(2) 1 5
) , ( )
x x
x x
x
x x
x x
x
a f x x
b f x x
c Por tanto f x
d f x x
e f x x
f Por tanto f x no existe po
Lím Lím
Lím Lím
Lím
Lím Lím
Lím Lím
Lím
− −→ − → −
+ +→ − → −
→ −
− −→ →
+ +→ →
→
= − − = − − − = − + =
= = − =
=
= = =
= + = + =
rque los límites unilaterales son diferentes
EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 6 halle los límites laterales indicados:
1) Si1 1
( ) 1 1 1,2 1
si xf x si x
si x
− < −⎧⎪= − ≤ ≤⎨⎪ ≤⎩
halle:
a) 1
( )x
f xLím−→ −
b)1
( )x
f xLím+→ −
c) 1
( )x
f xLím→ −
d) 1
( )x
f xLím−→
e)1
( )x
f xLím+→
f) 1
( )x
f xLím→
2) Si 2 2
( ) ,1 2
t si tg t
t si t+ < −⎧
= ⎨ − ≥ −⎩halle
a)
2( )
tg tLím
−→ −
b)2
( )t
g tLím+→ −
c) 2
( )t
g tLím→ −
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 4 –
3) Si 2 3 4
( ) ,19 2 4
x si xH x
x si x+ ≤⎧
= ⎨ − >⎩halle
a) 4
( )x
H xLím−→
b) 4
( )x
H xLím+→
c) 4
( )x
H xLím→
4) Si 2
9 2 2( ) ,
1 2
x si xG x
x si x
⎧ − ≤⎪= ⎨+ >⎪⎩
halle
a) 2
( )x
G xLím−→
b) 2
( )x
G xLím+→
c) 2
( )x
G xLím→
5) Si 3 1 2
( ) 1 2 ,9 2
w si wg w si w
w si w
+ <⎧⎪= − =⎨⎪ − >⎩
halle
a) 2
( )w
g wLím−→
b)2
( )w
g wLím+→
c) 2
( )w
g wLím→
6) Si 2( ) 9 ,f x x= − halle:
a) 3
( )x
f xLím−→ −
b)3
( )x
f xLím+→ −
c) 3
( )x
f xLím→ −
d) 3
( )x
f xLím−→
e)3
( )x
f xLím+→
f) 3
( )x
f xLím→
PARTE 3: Propiedades de límites infinitos: Sean a, c ∈ R, c ≠ 0. Suponga además que ( )
x af x cLím
→= y ( ) 0,
x ag xLím
→= Entonces
a) Si c > 0 y ( ) 0g x → a través de valores positivos de g(x), entonces ( )( )x a
f xg x
Lím→
= +∞
b) Si c > 0 y ( ) 0g x → a través de valores negativos de g(x), entonces ( )( )x a
f xg x
Lím→
= −∞
c) Si c < 0 y ( ) 0g x → a través de valores positivos de g(x), entonces ( )( )x a
f xg x
Lím→
= −∞
d) Si c < 0 y ( ) 0g x → a través de valores negativos de g(x), entonces ( )( )x a
f xg x
Lím→
= +∞
Esta propiedad sigue siendo válida si se sustituye «x → a» por «x → a+» o «x → a–».
Ejemplo ilustrativo 1: Si 2 1( ) ,2
xh xx+
=−
evalúe:
a) 2
( )x
h xLím−→
b) 2
( )x
h xLím+→
c) 2
( )x
h xLím→
a) Si x toma valores cercanos a 2 pero menores que 2; por ejemplo, x = 1.9, el denominador
g(x) = x – 2 toma el valor g(1.9) = 1.9 – 2 = – 0.1. Es decir, ( ) 0g x → a través de valores negativos de g(x). Además,
2 22 1 5( ) ( ) .
x xc f x xLím Lím
− −→ →= = + = Por tanto, según b),
2( )
xh xLím
−→= − ∞
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 5 –
b) Si x toma valores cercanos a 2 pero mayores que 2; por ejemplo, x = 2.1, el denominador
g(x) = x – 2 toma el valor g(2.1) = 2.1 – 2 = 0.1. Es decir, ( ) 0g x → a través de valores positivos de g(x). Además,
2 22 1 5( ) ( ) .
x xc f x xLím Lím
+ +→ →= = + = Por tanto, según a),
2( ) .
xh xLím
+→= + ∞
c) Como 2
( )x
h xLím−→
= − ∞ y 2
( ) ,x
h xLím+→
= + ∞ suele escribirse 2
( ) .x
h xLím→
= ∞ Siempre que los
límites laterales, conforme x se aproxima a a, conduzcan a límites infinitos de distintos signos, el límite bilateral se escribirá como infinito sin signo. Esta convención es únicamente una forma de notación. Los resultados pueden visualizarse en la gráfica siguiente:
Ejemplo ilustrativo 2: Si 2
21 2( ) ,(1 )
xh xx
−=
+evalúe:
a) 1
( )x
h xLím−→ −
b) 1
( )x
h xLím+→ −
c) 1
( )x
h xLím→−
21 1
1 2( ) ( - ) 1.x x
xc f xLím Lím→− → −
= = = − El denominador g(x) = (1 + x)2 es siempre positivo para cualquier
valor de x ≠ 0. Es decir, ( ) 0g x → a través de valores positivos de g(x). Por tanto, según c) se cumple:
a) 1
( )x
h xLím−→ −
= − ∞ b) 1
( )x
h xLím+→ −
= − ∞ c) 1
( )x
h xLím→−
= − ∞
Los resultados pueden visualizarse en la gráfica siguiente:
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 6 –
EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 12, evalúe los límites infinitos indicados: 1)
12
1xx
xLím→ −
2) 2
223
4xx
xLím→ −
3) 2
3
19w
ww
Lím−→
+−
4) 2
3
19w
ww
Lím+→
+−
5) 23
19w
ww
Lím→
+−
6) 2
0
1 3x
xx
Lím−→
−
7) 2
0
1 3x
xx
Lím+→
− 8) 2
0
1 3x
xx
Lím→
− 9) 2
201 3
xx
xLím→
−
10) 21
2 3( 1)x
xx
Lím→
−−
11) 20
1 1x xxLím→
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
12) 21
1 41 1x x x
Lím→
⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠
PARTE 4: Propiedades de límites al infinito:
Si n es cualquier entero positivo, entonces: 1) 0
1) 0
nx
nx
ax
bx
Lím
Lím
→+ ∞
→ − ∞
⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
Ejemplo ilustrativo 1: Evalúe los límites a) 2
22 3
2 1xx
x xLím→+ ∞
−− +
, b) 2
22 3
2 1xx
x xLím→−∞
−− +
22 22
2 2
22
32 3 22 3 2 0a) 22 1 1 0 02 1 2 1 1
x x x
xx xx
x x x xx xx
Lím Lím Lím→+ ∞ →+ ∞ → + ∞
− −− −
= = = =− −− + − + − +
22 22
2 2
22
32 3 22 3 2 0b) 22 1 1 0 02 1 2 1 1
x x x
xx xx
x x x xx xx
Lím Lím Lím→−∞ → − ∞ → − ∞
− −− −
= = = =− −− + − + − +
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 7 –
Ejemplo ilustrativo 2: Evalúe los límites a) 2
3 1
4 1xx
xLím→+ ∞
+
−, b)
2
3 1
4 1xx
xLím→−∞
+
−
Se debe tener en cuenta que 2 0.
0x si x
x xx si x
≥⎧= = ⎨ − <⎩
Es decir, 2
2
0
0
x si xx
x si x
⎧ ≥⎪= ⎨⎪ − <⎩
2 2 2 2
22
2
3 1 3 1 3 13 1a)4 1 4 1 4 1 4 1
13 3 0 3 3 1.521 4 0 44
x x x x
x
x x xx x x xx x x x
x xx
x
x
Lím Lím Lím Lím
Lím
→ + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞
→ + ∞
+ + ++
= = =− − − −
+ += = = = =
−−
2 2 2 2
22
2
3 1 3 1 3 13 1b)4 1 4 1 4 1 4 1
13 3 0 3 3 3 1.52 21 4 0 44
x x x x
x
x x xx x x xx x x x
x xx
x
x
Lím Lím Lím Lím
Lím
→ − ∞ → − ∞ → − ∞ → − ∞
→ − ∞
+ + ++
= = =− − − −
−−
+ += = = = = − −
−− − −− −
EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 15, evalúe los límites al infinito indicados: 1) 2 3
1xxx
Lím→+ ∞
+−
2) 2
23
4xx
xLím→−∞ −
3) 2
19z
zz
Lím→−∞
+−
4) 2
19z
zz
Lím→+ ∞
+−
5) 2
1
4 9ww
wLím→+ ∞
+
− 6)
2
1
4 9ww
wLím→−∞
+
−
7) 21 3
xx
xLím→+ ∞
− 8) 21 3
xx
xLím→−∞
− 9) 2
1 1x xxLím→−∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
10) 2
1 1x xxLím→+ ∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
11) ( )2 1x
x xLím→−∞
+ − 12) ( )2 1x
x xLím→+ ∞
+ −
13) 3 2
3 28 1
4 2 3xx x
x xLím→+ ∞
+ −+ −
14) 2
24 9xx
xLím→− ∞ −
15) 2 5
2xxx
Lím→− ∞
−−
PARTE 5: Asíntotas horizontales y verticales: Ejemplo ilustrativo 1: Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de 3 1( )
2xg x
x+
=−
y dibuje la
gráfica de la función g.
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 8 –
2 2
2 2
( ) ( ) 3
, 3
3 1( )2
3 1( )2
, 2
x x
x x
x x
g x g x
Por tanto y es una asíntota horizontal
xg xxxg x
x
Por tanto x es una asíntota vertical
Lím Lím
Lím Lím
Lím Lím
→+ ∞ → − ∞
− −→ →
+ +→ →
= =
=
+= = − ∞
−
+= = + ∞
−
=
Ejemplo ilustrativo 2: Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de
2
3 1( )4 1
xf xx
+=
− y
dibuje la gráfica de la función f.
2
2
20.5 2
20.5 2
3 1( ) 1.54 13 1( ) 1.54 1
1.5, 1.5
3 1( )4 1
3 1( )4 1
0.5, 0.5
x x
x x
x x
x x
xf xxxf xx
y y son asíntotas horizontales
xf xx
xf xx
x x son asíntotas vertic
Lím Lím
Lím Lím
Lím Lím
Lím Lím
→+ ∞ → + ∞
→ − ∞ → − ∞
+ −→ →
− +→ − →
+= =
−
+= = −
−
= = −
+= = + ∞
−
+= = − ∞
−
= = −
∴
∴ ales
EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 14, encuentre las asíntotas horizontales y verticales de la
gráfica de la función definida por la ecuación dada y trace la gráfica. 1) 2( )
1f x
x=
− 2) 1( )
2f x
x−
=+
3) 2
2( )( 2)
f xx−
=−
4) 2
1( )3 2
f xx x
=+ +
5) 2
1( )3 2
f xx x
=− +
6) 2
2( )4
xf xx
=−
7) 2
2( )4
xf xx
=−
8) 2
2( )1
f xx
=−
9) 2
( )1
xf xx
−=
−
10) 2
( )1
xf xx
−=
+ 11)
2
2( )
1
xf xx
=−
12) 2
( )1
xf xx
=−
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 9 –
13) 2
( )1
xf xx
=+
14) 2
2( )
1
xf xx
−=
−
PARTE 6: Continuidad de una función en un número: Se dice que la función f es continua en el número a si y sólo si se satisfacen las condiciones siguientes:
a) f(a) está definida o existe, b) ( )
x af xLím
→ existe,
c) ( ) ( )x a
f x f aLím→
=
Si ( )x a
f xLím→
existe y no se cumplen las condiciones a) o c), se dice que f tiene una discontinuidad
removible (o evitable) y se puede redefinir f para obtener una función continua en el número a. En el
caso de que ( )x a
f xLím→
no existe se habla de una discontinuidad esencial(o inevitable).
Ejemplo ilustrativo 1: Determine si 2 9( )
3xf xx−
=−
es continua en x = 3.
23 9 9 9 0(3)3 3 3 3 0
f − −= = =
− − no está definida.
Por tanto, f no es continua en x = 3. Observe que
2
3 3
3
3
9( )3
( 3) ( 3)3
( 3) 6
x x
x
x
xf xxx x
xx
Lím Lím
Lím
Lím
→ →
→
→
−=
−− +
=−
= + =
Por tanto, f tiene una discontinuidad removible y se puede redefinir f, que la llamaremos g, de tal
manera que g es una función continua en x = 3. Es decir,
2 9 33
( ) .6 3
x si xx
g xsi x
⎧ −≠⎪ −⎪= ⎨
⎪ =⎪⎩
Observe que
g(3) = 6 y 3
( ) 6 (3).x
g x gLím→
= = Como g satisface las tres condiciones de continuidad, g es una función
continua en x = 3. En g se ha tapado el orificio que existía en f cuando x = 3.
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 10 –
Ejemplo ilustrativo 2: Determine si 2
2 1( )
1
x si xf x
x si x
⎧ + ≤ −⎪= ⎨> −⎪⎩
es continua en x = – 1.
Se observa que la gráfica de f no tiene ni saltos ni orificios, por lo que intuitivamente se puede concluir que f es una función continua en todos sus puntos. Utilizando la definición podemos comprobar, que en efecto, f es continua en x = – 1.
a) f(– 1) = 2 + (–1) = 1
112 2 1
11
b) ( ) (2 ) 2 ( 1) 1
( ) 1( ) ( 1) 1
xx
xxx
f x x
f xf x x
Lím LímLím
Lím Lím→−−→ −
→ −→ −+→ −
⎫= + = + − =⎪
=⎬= = − = ⎪
⎭
⇒
c) 1
( ) 1 ( 1).x
f x fLím→−
= = −
Ejemplo ilustrativo 3: Determine si 1 1
( )4 1
x si xf x
x si x+ <⎧
= ⎨ − ≥⎩ es continua en x = – 1.
La gráfica de f presenta la forma siguiente:
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 11 –
Podemos ver que la gráfica de f tiene un salto en x = 1. Por tanto, f es discontinua en ese número. Ahora lo comprobaremos, f(2) = 3 por lo que se cumple la condición a) de continuidad. Los límites laterales, como puede comprobarse viendo la gráfica de la función f, son diferentes:
1 1
1 1
( ) (1 ) 1 1 2,
( ) (4 ) 4 1 3.x x
x x
f x x
f x x
Lím Lím
Lím Lím− −→ →
+ −→ →
= + = + =
= − = − =
Luego, al ser los límites unilaterales diferentes, 1
( )x
f xLím→
no existe. Por tanto, f es discontinua en
x = 1 y además, se trata de una discontinuidad esencial. EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 12, determine si la función es continua en el punto
especificado. En caso de ser discontinua clasifíquela como removible o esencial. Si la discontinuidad es removible, redefina la función de tal forma que la nueva función sea continua en el punto dado.
1) 3 2
2( ) , 2
3 2
si xx
f x asi x
⎧ ≠⎪ −⎪= =⎨⎪ =⎪⎩
2) 4( ) , 42
xf x ax−
= =−
3) 4
281( ) , 39
xf x ax−
= =−
4) 2
2 0 1( ) , 1
1
x si xf x a
x si x
⎧ − ≤ ≤⎪= =⎨>⎪⎩
5) ( ) , 01 1
xf x ax
= =+ −
6)
11
1( ) , 1
0 1
xsi x
xf x a
si x
⎧ +≠ −⎪ +⎪= = −⎨
⎪ = −⎪⎩
7) 1 1( ) , 1
2 1x si x
f x asi x
⎧ − ≠⎪= =⎨ =⎪⎩ 8)
2 2 11
( ) , 13 2
x x si xx
f x asi x
⎧ + −≠⎪ −⎪= =⎨
⎪ =⎪⎩
9) ( ) 2 4 , 2f x x a= + = −
10) 2
2
1 1
( ) 0 1, 1
1 1
t si t
f t si t a
t si t
⎧ − <⎪⎪= = =⎨⎪ − >⎪⎩
11) 2 3 1
( ) , 15 3 1
x si xf x a
x si x+ ≤ −⎧
= = −⎨ − > −⎩
12) 2( ) , 1
2xf x a
x x= =
+ −
PARTE 7: Tasa de cambio promedio y derivada:
Si y = f(x) es una función de x. las variables x e y reciben, respectivamente, los nombres de variable independiente y variable dependiente. Es decir, a cada valor que le damos a x (variable independiente) obtenemos un valor correspondiente de la variable y (variable dependiente). Por ejemplo, si y = C(x) = 100 + 2x es la función del costo total de una empresa, donde y representa el costo en lempiras y x las unidades producidas. Si se producen 10 unidades, entonces y = 100 + 2(10) = 100 + 20 = 120 lempiras. Luego,
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 12 –
producir 10 unidades le cuesta a la empresa 120 lempiras. Haciendo el mismo cálculo, producir a la empresa 100 unidades le cuesta 300 lempiras y producir 1,000 unidades le cuesta 2,100 lempiras, etc. El incremento en la variable independiente x se simboliza ∆x y se define por:
2 1 1 2, donde y son dos valores dados.x x x x x∆ = −
En tanto que el incremento en la variable dependiente y se simboliza por ∆y y se define por:
2 1 1 1 2 2, donde ( ) y ( )y y y y f x y f x∆ = − = =
Como 2 1 ,x x x= + ∆ entonces otras fórmulas para ∆y son:
2 1 1 1( ) ( ) ( + ) ( )y f x f x y y f x x f x∆ = − ∆ = ∆ −
La tasa de cambio promedio (TCP) que significa la razón de cambio de la variable dependiente y, al efectuar cambios en la variable independiente x. se define por:
2 1 2 1 1 1( ) ( ) ( + ) ( )y y f x f x f x x f xyTCPx x x x
− − ∆ −∆= = = =∆ ∆ ∆ ∆
Gráficamente se interpreta como la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P y Q, donde 1 1 2 2( , ( )) y ( , ( )).P x f x Q x f x= =
La derivada de la función f en x, simbolizada por '( ),f x se define por:
0( ) ( )'( )
xf x x f xf x
xLím∆ →
+ ∆ −=
∆
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 13 –
1
1
'( )
( ). 0 (
)
f x se interpreta como la de la recta tangente
a la gráfica de la función y f x en el punto cuyaabscisa es x Cuando x El incremento de xse hace cada vez más pequeño la
se convierte en la
=∆ →
pendiente
tasa de cambiopromedio tasa de cambi
1.en el punto cuya abscisa es x−o instan
tánea
Ejemplo ilustrativo 1: La función de demanda de un producto está dada por 96
1p
x=
−lempiras.
Si la producción se incrementa de 9 a 49 unidades, encuentre:
a) El incremento de x y p, es decir, x∆ y .p∆ b) La tasa de cambio promedio TCP.
2 1
2 1
a) 49 9 40 unidades96 96( ) ( ) (49) (9)
49 1 9 196 96 96 96 16 48 32 lempiras.7 1 3 1 6 2
4 (8)32b)40
x x x
p p x p x p p
pTCPx
∆ = − = − =
∆ = − = − = −− −
= − = − = − = −− −
−∆ −= = =
∆ 5 (8)4 8 0.8 lempiras.
5 10− −
= = = −
Ejemplo ilustrativo 2: Calcule la derivada de 2( ) 4 3.f x x x= − +
2 2
0 02 2 2
0
2
0
( ) ( ) [( ) 4( ) 3] ( 4 3)'( )
2 ( ) 4 4 3 4 3)'( )
'( )
x x
x
x
f x x f x x x x x x xf xx x
x x x x x x x xf xx
xf x
Lím Lím
Lím
Lím
∆ → ∆ →
∆ →
∆ →
+ ∆ − + ∆ − + ∆ + − − += =
∆ ∆+ ∆ + ∆ − − ∆ + − + −
=∆
=22 ( ) 4x x x x+ ∆ + ∆ − 4 3x− ∆ + 2x− 4x+ 3−
2
0 0
0
)
2 ( ) 4 (2 4)'( )
'( ) (2 4) 2 0 4 2 4x x
x
xx x x x x x xf x
x xf x x x x x
Lím Lím
Lím∆ → ∆ →
∆ →
∆∆ + ∆ − ∆ ∆ + ∆ −
= =∆ ∆
= + ∆ − = + − = −
Ejemplo ilustrativo 3: Calcule la derivada de ( ) .f x x=
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 14 –
1( ) .1
f xx
=+
( ) ( )
0 0
0
2 2
0 0
0
( ) ( )'( )
'( )
'( )( ) ( )
'( )
x x
x
x x
x
x x xf x x f xf xx x
x x x x x xf x
x x x x
x x x x x xf xx x x x x x x x
xf x
Lím Lím
Lím
Lím Lím
Lím
∆ → ∆ →
∆ →
∆ → ∆ →
∆ →
+ ∆ −+ ∆ −= =
∆ ∆+ ∆ − + ∆ +
= ⋅∆ + ∆ +
+ ∆ − + ∆ −= =
∆ + ∆ + ∆ + ∆ +
=x x+ ∆ −
0
0
( ) ( )
'( )
x
x
xx x x x x x x x
xf x
Lím
Lím
∆ →
∆ →
∆=
∆ + ∆ + ∆ + ∆ +
∆=
x∆ 01
( ) ( )1 1 1'( )
0 2
xx x x x x x
f xx x x x x
Lím∆ →
=+ ∆ + + ∆ +
= = =+ + +
Ejemplo ilustrativo 4: Calcule la derivada de
0 0
0
0 0
1 1( ) ( ) ( ) 1 1'( )
1 1( 1) [( ) 1]( ) 1 1'( )( 1) [( ) 1]
( 1) [( ) 1] 1 1'( )( 1) [( ) 1] ( 1) [( ) 1]
'( )
x x
x
x x
f x x f x x x xf xx x
x x xx x xf xx x x x
x x x x x xf xx x x x x x x x
f x
Lím Lím
Lím
Lím Lím
Lí
∆ → ∆ →
∆ →
∆ → ∆ →
−+ ∆ − + ∆ + += =
∆ ∆
−+ + ∆ ++ ∆ + += ⋅
∆ + + ∆ ++ − + ∆ + + − − ∆ −
= =∆ + + ∆ + ∆ + + ∆ +
=0x
xm∆ →
1+ x− 1x− ∆ −0
0
( 1) [( ) 1] ( 1) [( ) 1]
'( )
x
x
xx x x x x x x x
xf x
Lím
Lím
∆ →
∆ →
− ∆=
∆ + + ∆ + ∆ + + ∆ +
− ∆=
x∆ 0
2
1( 1) [( ) 1]( 1) [( ) 1]
1 1 1'( )( 1) [( 0) 1] ( 1)( 1) ( 1)
x x x xx x x
f xx x x x x
Lím∆ →
−=
+ + ∆ ++ + ∆ +− − −
= = =+ + + + + +
EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 6, determine los incrementos y la tasa de cambio promedio:
1) ( ) 2 1, 2, 0.3f x x x x= + = ∆ = 2) 2( ) 3 2 1, 1, 0.1f x x x x x= − + = − ∆ = 3) 2
2( ) , 2, 0.5( 1)
xf x x xx
= = ∆ =−
4) ( ) 1 , 5, 5f x x x x= − = ∆ = 5) 2( ) , 2, 0.5f t t t tt
= + = ∆ = 6) ( ) 7 3 ,f x x de x a x x= − + ∆
5) (Propagación de una epidemia) La cantidad de personas afectadas por cierta epidemia está dada por la fórmula:
1000( ) , dado en días1 999 tP t te−=+
a) Determine el incremento en el número de personas afectadas cuando t cambia de 10 a 20 días. b) ¿Cuál es la tasa de cambio promedio cuando t cambia de 10 a 20 días? c) Después de un tiempo largo, qué puede concluir respecto al número de personas afectadas.
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 15 –
6) (Función de ingreso) La función de demanda de un producto está dada por 961
px
=−
lempiras. La función de ingreso se define por R(x) = x p. Si la producción se incrementa de 9 a 49 unidades, encuentre:
a) El incremento en el ingreso. b) La tasa de cambio promedio TCP.
7) (Función de costo) Si la función de costo de una empresa está dada por:
C(x) = 0.01x2 + 10x + 10,000 lempiras.
Determine el incremento y la tasa de cambio promedio cuando la producción se incrementa de 90 a 100 unidades.
En los ejercicios del 8 al 16, utilice la definición de derivada para calcular f ’(x).
8) 2( ) 5 6 9f x x x= − + 9) 2 31( )2
f x x x= − 10) ( ) 2 1f x x= −
11) ( ) 5f x x= − 12) ( ) 1 4f x x= − 13) 3( )2
f xx
=+
14) 1( )f x xx
= − 15) 21( )
1f x
x=
+ 16) 2( )
1f x
x−
=−
PARTE 8: Reglas de Diferenciación (potencias, sumas, restas, productos y cocientes):
No. Función Derivada Forma de Recordarla 1 ( ) ,f x C C= ∈R '( ) 0f x = La derivada de una constante es 0. 2 ( )f x x= '( ) 1f x = La derivada de la función identidad es 1.
3 ( ) ,nf x x n= ∈R 1( ) nf x n x −= La derivada de una potencia es el producto del exponente por la potencia con el exponente disminuido en 1.
4 ( ) ( ),f x C g x C= ⋅ ∈R '( ) '( )f x C g x= ⋅ La derivada de una constante por una función g es el producto de la constante por la derivada de la función g.
5 ( ) ,nf x Cx C= ∈R 1( ) nf x nC x −= Combinación de reglas 3 y 4.
6 ( ) ( ) ( )f x g x h x= + '( ) '( ) '( )f x g x h x= + La derivada de una suma es la suma de las derivadas
7 ( ) ( ) ( )f x g x h x= − '( ) '( ) '( )f x g x h x= − La derivada de una resta es la resta de las derivadas
8 ( ) ( ) ( )f x g x h x= ⋅ '( ) ( ) '( ) '( ) ( )f x g x h x g x h x= ⋅ + ⋅ La derivada de un producto es: el producto de la primera por la derivada de la segunda más la derivada de la primera por la segunda.
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 16 –
No. Función Derivada Forma de Recordarla
9 ( )( )( )
g xf xh x
= 2
( ) '( ) ( ) '( )'( )[ ( )]
h x g x g x h xf xh x
⋅ − ⋅=
La derivada de un cociente es: el producto del denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador y, toda esta diferencia, divida por el cuadrado del denominador.
Ejemplo ilustrativo 1: 4 3 2Si ( ) 5 8 7 4 3 2, hallar '( ).f x x x x x f x= − − + − 3 2'( ) 20 24 14 4f x x x x= − − +
Ejemplo ilustrativo 2: 1Si ( ) 2 , hallar '( ).2
f x x f xx
= +
1 / 2
1 / 2 1 / 21 / 2
1 1( ) 2 2 22 22
xf x x x xx x
−= + = + = +
3 / 2
1 / 21 / 2 3 / 2 3
2 1 1 1 1'( )2 2 2 2 ( 2 )2 2 2
xf x xx xx x
−−= − = − = −
Ejemplo ilustrativo 3: 23 4
3 5Si ( ) (7 4 ), hallar '( ).f x x x f xx x
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
( )( ) ( )
3 4 2
3 4 4 5 2
2 3 3 4 2 3 3 4
4 3 24 3 2
( ) 3 5 (7 4 )
'( ) 3 5 (14 4) 9 20 (7 4 )
'( ) 42 12 70 20 63 36 140 8060 94 21'( ) 60 94 21
f x x x x x
f x x x x x x x x
f x x x x x x x x x
f x x x xx x x
− −
− − − −
− − − − − − − −
− − −
= − −
= − − + − + −
= − − + − + + −
= − + − = − + −
Ejemplo ilustrativo 4: 3
24Si ( ) , hallar '( ).2
x xf x f xx−
=+
2 2 3
2 2
4 2 2 4 2 4 2
2 2 2 2
( 2)(3 4) ( 4 )(2 )'( )( 2)
3 4 6 8 2 8 10 8'( )( 2) ( 2)
x x x x xf xx
x x x x x x xf xx x
+ − − −=
+
− + − − + + −= =
+ +
EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 19, calcule '( ).f x
1) 2( ) 5 6 9f x x x= − + 2) 2 31( )2
f x x x= − 3) 1 14 54 5
( ) t tf t = −
4) 3 2( ) (2 1)( 7 )f x x x x= − + 5) 3 4 22
32 1( ) ( )f y y y y
y
⎛ ⎞⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
6) 3 2( ) (3 4)f x x= −
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 17 –
7) 3 3 2( ) (2 5)(4 3 )f x x x x= − − 8) 5 4( ) 2 ( )f t t t= + 9) 1( ) ( )f w w w ww
⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠
10) 34
3( )V r rπ= 11) 2
1( ) xf x
x=
− 12) ( )
2xf x
x=
+
13) 2
22 2( )
2 1x xf x
x x− +
=+ −
14)4 3 2
32 3 6 5 1( ) x x x xf x
x− + − +
= 15) 4 3 2
32 5 7 3( ) x x x xf x
x− + − −
=
16) 3
31( )1
wf ww
−=
+ 17) 2 2 )( ) 2 (f r a r a−= 18) 3
1( ) (2 )2
xf x xx−
= −+
19) 2
22
23
1( )2
xf x xxx
− ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
PARTE 9: Derivada de la función compuesta (Regla de la Cadena): No. Función Derivada Forma de Recordarla
1 ( ) ( ( ))f x g h x= '( ) '( ( )) '( )'( ) '( ) ', ( )
f x g h x h xf x g u u u h x
== =
La derivada de una función compuesta ( ) ( ( ))f x g h x= es: '( ( ))g h x multiplicada
por '( )h x (la derivada interna o el argumento de g)
2 ( ) [ ( )]nf x u x= 1'( ) [ ( )] '( )nf x n u x u x−=
La derivada de la función [ ( )]nu x es: el
exponente n por la potencia 1[ ( )]nu x − multiplicada por '( )u x (la derivada interna)
Ejemplo ilustrativo 1: Si ( ) 2 1 ,f x x= + hallar '( ).f x
1 / 2
1 1 / 2 1 1 / 22
21
2 22
( ) ( 1)
'( ) ( 1) ( ) (2 1)1
f x x
f x x xx
− −
= +
= + = + =+
Ejemplo ilustrativo 2: Si 10
2 1( )1
xf xx
⎛ ⎞+= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
hallar '( ).f x
9
2
9
2 1 2) 2 1)10
1 1)
2210
1
1 ( )( ( 1)('( )(
1'( )
x x xf xx x
xxf xx
⎛ ⎞+ − − += ⋅⎜ ⎟− −⎝ ⎠
⎛ ⎞+= ⋅⎜ ⎟−⎝ ⎠
2 2x− − 9
2 2
9 9 9
2 2 9 11
2 310
11) 1)
30 2 30 2 30 211) 1) 1)
1 1( (
1 ( 1) ( 1)'( )( ( ( 1) (
xxx x
x x xf xxx x x x
− ⎛ ⎞+ −= ⋅⎜ ⎟−− −⎝ ⎠
⎛ ⎞+ + += − = − = −⎜ ⎟−− − − −⎝ ⎠
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 18 –
EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 19, calcule '( ).f x
1) 5 / 62 3)( ) (f x x= − 2) 1 / 3 1 / 22 2( ) ( 1) ( 3)f s s s= + − 3) 1
1( )
xf x
x+
=−
4) ( ) 1 1f x x= + − 5) 1
( ) xf xx
=−
6) 2 92 1( ) ( 3 )f x x x= − +
7) 42
22 3 1
2( ) x xf x
x x
⎛ ⎞− += ⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠
8) 42 2 5( ) ( )f z z z −= − − 9) 2 1
( )x
f xx+
=
10) 3
1
1( )
xf x
x+
=−
11) 2
42
1
1( ) yf y
y−
=+
12) 2 / 34 22 3( ) ( )f w w w −= + +
PARTE 10: Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas:
No. Función Derivada Forma de Recordarla 1 ( ) xf x e= '( ) xf x e= La derivada de la función exponencial es sí misma.
2 ( ) ln( )f x x= 1'( )x
f x = La derivada de la función logarítmica es el inverso de x.
3 ( )( ) u xf x e= ( )( ) '( )u xf x e u x= La derivada de ( )u xe es ( )u xe por la derivada del exponente.
4 ( ) ln[ ( )]f x u x= '( )'( )( )
u xf xu x
= La derivada de ln[ ( )]u x es el cociente entre la derivada de u, '( )u x , y ( )u x , es decir, '( ) / ( ).u x u x
5 ( ) xf x a= '( ) ln( ), 0xf x a a a= > La derivada de la función exponencial de base a es si misma por el logaritmo natural de la base.
6 ( ) log ( )af x x= 1'( ) logaf x ex
= La derivada de la función logaritmo de base a es el inverso de x por log .a e
7 ( )( ) u xf x a= ( )'( ) '( ) ln( )u xf x a u x a=
La derivada de ( )u xa es ( )u xa por la derivada del exponente, '( )u x , por el logaritmo natural de la base.
8 ( ) log ( )af x u x= '( )'( ) log( ) a
u xf x eu x
= La derivada de log ( )a u x es el cociente '( ) / ( )u x u x por log .a e
Observación: Le daremos prioridad a las cuatro primeras reglas, pues la otras solo difieren en los factores constantes: ln( )a y log .a e
No. Propiedades de los exponentes Propiedades de los logaritmos 1 x yyxe e e += ln( ) ln( ) ln( )x x y= +
2 x
x yy
e ee
−= ln ln( ) ln( )x x yy
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
3 ( )y xyxe e= ln( ) ln( )yx y x=
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 19 –
No. Propiedades de los exponentes Propiedades de los logaritmos 4 0 1e = 1 0ln( ) =
5 1e e= 1ln(e) =
6 ln( )xe x= ln(e ) = x x
Ejemplo ilustrativo 1: Si 3 1( ) ln ,2 5
xf xx
⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
hallar '( ).f x
1 / 21 1 1
2 2 2
3 1 3 13 1 2 5
2 5 2 5
3 2 3 12 3 1 2 2 5 2 3 1 2 5
( ) ln ln ln( ) ln( )
'( ) '( )( ) ( ) ( )
x xf x x xx x
f x f xx x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= = = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= − ⇒ = −− + − +
Ejemplo ilustrativo 2: Si ( ) ,xx
xxe ef xe e
−
−−
=+
hallar '( ).f x
2
2 2
2
2 22 2
2 2
) )
)
)
)
)
) )
( ) ,
( ( ( ) ( )'( )(
( ( )'( )(
( 2 ( 2 ) 4'( ) '( )( (
xx
xx
x x x xx x x x
xx
x xx x
xx
x xx x
x xx x
e ef xe e
e e e e e e e ef xe e
e e e ef xe e
e e e ef x f xe e e e
−
−
− − − −
−
− −
−
− −
− −
−=
+
+ + − − −=
+
+ − −=
+
+ + − − += ⇒ =
+ +
Ejemplo ilustrativo 3: Si 4
41
1( ) ln ,
x
xef xe
⎛ ⎞+= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
hallar '( ).f x
4 4
4 4
4 4
1) 1)
1 1
( ) ln( ln(
4 4'( )
x x
x x
x x
f x e e
e ef xe e
−= + −
= −− +
EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 12, calcule '( ).f x
1) 4 32 1( ) ln( )f x x x= + − 2) 34 5( ) x xf x e + −= 3) 2( ) ln[ln( 3)]f x x= +
4) 2 3
( )xef x e
+=
5) 4 3
22 1
3( ) ln
x xf x
x
⎛ ⎞−⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎝ ⎠
6) 22( ) ( 1) xf x x e −= +
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 20 –
7) 3ln( )( ) x
xf xe
= 8) 3ln( )( ) xf x
x= 9)
3)2 ln(( ) ( 1) xf x x e= +
10) 22( ) ( 1) ln( )xf x x e= − 11) 4 3
2 2 1( ) log ( )f x x x= + − 12) 34 5( ) 3 x xf x + −=
PARTE 11: Aplicaciones geométricas y económicas: Ejemplo ilustrativo 1: Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función
2 1( )f x x= − en el punto (5, 3).
1 1
3 32 1 2(5 11 1 1'( ) '(5)
) 9f x f m
x= ⇒ = = = ⇒ =
− −
1 1
1
3
1 5
3 3
1 5
3 3
1 4
3 3
3 5
3
3
( )
( )
y y m x x
y x
y x
y x
y x
− = −
− = −
− = −
= − +
= +
Ejemplo ilustrativo 2: Un fabricante estima que cuando se producen x unidades de un artículo, el costo total será C(x) = x2 + 4x + 5 lempiras y que las x unidades se venderán cuando el precio sea p = 28 – x lempiras por unidad.
a) Utilice la función de costo marginal para calcular el costo de producir la unidad 5. ¿Cuál es el incremento en el costo cuando se produce un cambio de producción de 4 a 5 unidades, es decir, cuál es el costo real de producir la unidad 5?
2 2
2 42(5) 4 14
5 4 5 4 5 5] 4 4 4 5]50 37 13
'( )'(5)
( ) ( ) [ ( ) [ ( )
Lempiras
Lempiras
C x xC
C C CC
=
= += +
∆ = − = + + − + +∆ = − =
b) Halle la función de ingreso para el artículo. Luego, utilice la función de ingreso marginal para calcular el ingreso derivado de la venta de la unidad
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 21 –
5. ¿Cuál es el ingreso real derivado de la venta de la unidad 5 (o incremento en el ingreso al aumentar las ventas de 4 a 5 unidades)?
2
2 2
28 2828 228 2 5 18
5 4 28 5 5 ] 28 4 4 ]115 96 19
( ) ( )'( )'(5) ( )
( ) ( ) [ ( ) [ ( )
Lempiras
Lempiras
R x x p x x x xR x xR
R R RR
=
= ⋅ = − = −= −= −
∆ = − = − − −∆ = − =
c) Halle la utilidad asociada con la producción de x unidades. Trace la función de utilidad y determine el nivel de producción donde se maximiza la utilidad. ¿Cuál es la utilidad y la utilidad marginal en ese nivel óptimo de producción?
2 2 228 4 5 2 24 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )U x R x C x x x x x x x= − = − − + + = − + −
Como la gráfica de la utilidad es una parábola que abre hacia abajo, el nivel
óptimo ocurre en el vértice, es decir, 24 24 242 2 2 4 4
6.( )
bxa
= − = − = − = =− −
De esta manera, la utilidad se maximiza cuando se venden 6 unidades al precio de 28 28 6 22p x= − = − = lempiras. La utilidad será, entonces
26 2 6 24 6 5 67( ) ( ) ( )U = − + − = lempiras. 4 24,'( )xU x= − + por lo tanto, la utilidad marginal en 6 unidades es 6 4 6 24 0.'( ) ( )U = − + = CUANDO LA UTILIDAD ES MÁXIMA, LA UTILIDAD MARGINAL ES CERO.
Ejemplo ilustrativo 3: Si C(x) = x2 + 4x + 9 es la función de costo total para un producto.
a) Halle el costo promedio y el costo promedio marginal del producto.
Costo promedio: 2 94 9
4( )x
xx xC x
x+ +
= = + +
Costo promedio marginal: 29
1'( )x
xC = −
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 22 –
b) ¿En que nivel de producción el costo promedio marginal es igual a 0?
22
2 29 9
9 31 0 0 0'( ) xx
x xx xC ⇒ ⇒ ⇒
−= − = = − = = ±
Pero como x debe ser positivo, x = 3. Luego, el costo promedio marginal es igual a 0 cuando x = 3.
c) ¿En que nivel de producción el costo promedio es igual al costo marginal?
Costo promedio: 2 94 9
4( )x
xx xC x
x+ +
= = + +
Costo marginal: 2 4 9) ' 2 4'( ) (xC x x x= + + = + 29 9
4 2 4 9 3( ) '( )x x
xC C x x x x x x= ⇒ + + = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±
Nuevamente, como x debe ser positivo, x = 3. Luego, el costo promedio es igual al costo marginal cuando x = 3.
PODEMOS CONCLUIR QUE EL COSTO PROMEDIO ES MÍNIMO CUANDO ES IGUAL AL COSTO MARGINAL.
Ejemplo ilustrativo 4: Si 2'( ) ,f x x= diseñe una tabla de valores para comparar la tasa de cambio promedio y '( )f x cuando 2 0 5 0 1 0 01 0 001, . , . , . , . .x x= ∆ =
2 2 2 2 2
2
2
2 22
( ) ( ) ( ) ( )TCP
( ) ( )TCP
'( ) 2
f x x f x x x x x x x x xx x x
x x x x x x x xx x
f x x
+ ∆ − + ∆ − + ∆ + ∆ −= = =
∆ ∆ ∆
∆ + ∆ ∆ + ∆= = = + ∆
∆ ∆=
x x∆ Tasa de cambio promedio '( )f x 2 0.5 4.500 4 2 0.1 4.100 4 2 0.01 4.010 4 2 0.001 4.001 4
Elaborada por: Wilfredo Saravia M.
– 23 –
PODEMOS CONCLUIR QUE CUANDO x∆ ES BASTANTE PEQUEÑO, LA TASA DE CAMBIO PROMEDIO Y LA DERIVADA DE f SON APROXIMADAMENTE IGUALES.
Resuelva los ejercicios de aplicación siguientes:
1) Encuentre la pendiente de la tangente a la curva y = (4x2 + 2x – 5) (x3 + 7x + 4) en (– 1, 12).
2) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 61
yx
=−
en el punto (3, 3).
3) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y = (4x2 + 2x – 5) (x3 + 7x + 4) en el punto (– 1, 12).
4) (Consumo y ahorro marginal) Para Estados Unidos (1922–1942), la ecuación de consumo se estimó por la ecuación: C = 0.672 I + 113.1. Encuentre la propensión marginal al consumo y la
propensión marginal al ahorro. Sugerencia: C + S = I de donde 1dC dS
dI dI+ = o bien .1dS dC
dI dI= −
5) (Consumo y ahorro marginal) Suponga que la función de consumo está dada por 2 2 .C I= + Encuentre la propensión marginal al consumo y la propensión marginal al ahorro cuando I = 9.
6) (Costo marginal) Si la ecuación de costo total de un fabricante está estimada por la ecuación: 25
50003
( ) .xC xx
= ++
Encuentre la función de costo marginal.
7) (Ingreso marginal) Si la ecuación de demanda del producto de un fabricante es: 1000.
5p
x=
+
Encuentre la función de ingreso marginal y evalúela cuando x = 45.
8) (Ingreso marginal) Si p = – 0.5x + 450 es una ecuación de demanda, encuentre la función de ingreso marginal.
9) (Ingreso marginal) Si R(x) = x (20 – 0.1x) es una función de ingreso total, encuentre la función de ingreso marginal.
10) (Costo marginal) Si 30 03 1 2( ) . .
xC x x= + + es una función de costo promedio, encuentre el
costo marginal cuando x = 100.
11) (Costo marginal) Se estima que la función de costo total de una planta de energía eléctrica es: 216 68 0 125 0 00439 20 90,( ) . . . ,C x x x x= + + ≤ ≤ donde x es la producción total en 8 horas (como
porcentaje de la capacidad) y C es el costo total del combustible en dólares. Encuentre la función de costo marginal y evalúela cuando x = 70.
12) (Utilidad marginal) Si la ecuación de demanda del producto de un fabricantes es: p + 2x = 1,000 y la función de costo se estima en C(x) = 10 + x2. Encuentre la utilidad marginal cuando: a) p = 600. b) p = 800. c) x = 150. d) x = 500 / 3. e) x = 550 / 3.
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