ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA
PARA LA ENSEÑANZA MEDIA
Año I Enero - Febrero 1964 Número 4
Alcance y finaJidad de la Reforma
Temas denuestro tiempo: La revolución en la matemática
(conclusión).por Marshall H. STONE
Cuestiones didácticas: Caracteres de la enseñanza mo
derna de la matemática.por Emma CASTELNUOVO
Orientación: Cálculo preposicional (continuación).
por Raúl A. CHIAPPA
El álgebra de Boole.por Florencio D. JAIME
Bibliografía - Miscelánea - Noticias - Correo
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ELEMENTOSSUGESTIONES PARA
PROFESORES
DE MATEMATICAS
Revista de Matemática para la Enseñanza Media Publicación bimestral
Editores: José Banfi - Alfredo B. Besio - Juan J. Rodríguez - Andrés Valeiras
Sede: Fernández Blanco 2045Dirección Postal: Casilla de Correo 12, Sucursal 11
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FUNDAMENTAL CONCEPTS OF ELEMENTARY MATHEMATICS - Brumfiel .......................................................................
GEOMETRIA INTUITIVA --Castelnuovo..................................
QUE ES LA MATEMATICA - Courant-Robbins........................
MODERN GEOMETRY ITS STRUCTURE - Henserson - Pingry - Roblnson .........................................................................
INTRODUCCION A LAS MATEMATICAS FINITAS - Kemeny - Snell - Thompson.............................................................
SETS RELATIONS & FUNCTIONS - McFadden - Moore - Smith
ELEMENTS OF MODERN MATHEMATICS - May...................
MATHEMATICS MANUAL - Merrltt.........................................
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ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA
PARA LA ENSEÑANZA MEDIA
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OlivettiEn su constante afán de a- bastecer el mercado de máquinas para oficina con productos actualizados y ampliamente experimentados, Olivetti Argentina somete hoy a la consideración pública su nuevo producto Olivetti QUANTA, fabricado en el establecimiento de Merlo, con la segundad que obtendrá el éxito logrado, con sus productos Lexikon 80. Summa 15. Elettrosum- ma 14 y Divisumma 14. Con la producción en la Argentina de la Olivetti Quan- ta, se alcanza a lograr un modelo idéntico al que sale actualmente de las fábricas Olivetti en Italia.
Año I Enero - Febrero 1964 Número 4
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Alcance y Finalidad de la Reformaí
iTodo el que toma una actitud educacional inteligente —ya sea
como estudiante, ya como maestro, padre o ciudadano— tiene, más pronto o más tarde, que razonarla con referencia a lo que concibe como fines de la educación. Esos fines, no sólo determinan lo que debe hacerse sino que sin ellos la acción carece de foco. Se vuelve una cuestión de forma, de ¡miración o de rutina.
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SIDNEY HOOK, "La educación del hombre moderno".
La renovación de la enseñanza de la matemática en nuestro país se ha plantea- do y se está experimentando en la escuela secundaria mediante el desarrollo de los programas propuestos para ello. Pero esto de ninguna manera es suficiente: la re- novación debe alcanzar a todos los niveles de la enseñanza y no puede estar circunscripta a los contenidos.
La matemática se enseña desde la escuela primaria hasta la universidad; a lo largo de las tres etapas el aprovechamiento debe ser máximo; ello requiere una tarea coordinada que evite saltos, repeticiones innecesarias y lagunas. Por otra parte, no debe descuidarse el imprescindible perfeccionamiento didáctico que estimule el aprendizaje, aliente vocaciones y destierro el prejuicio contra la asignatura con que muchos estudiantes ingresan a los distintos ciclos.
No concebimos una escuela primaria insensible a la permanente evolución del pensamiento moderno; como educadores sabemos cuánto cuesta desarraigar hábitos mentales o rectificar nociones, cuando unos y otras fueron adquiridos en una edad en que las impresiones resultan ser más duraderas. Por otra parte, siendo la única etapa obligatoria para todos, debe proveer los conocimientos y técnicas matemáticas elementales que hoy requieren las tareas de una gran mayoría de hombres y mu je-
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La QUANTA es una sumadora Impresora eléctrica portátil Suma, resta, da el saldo negativo, multiplica por sumas sucesivas, imprimiendo los términos y resultados de cada operación. Es la sumadora para la tienda, la agencia, la oficina, el comerciante, el artesano, el administrador. Olivetti Quanta
: Olivetti Argentina S. A. Buenos Aíras
resulte necesario volver a encararlas en la escue-
TEMAS DE NUESTRO TIEMPOseguridad tal que nores. con una la secundaria.
Mucho menos imaginamos una universidad que proporcione una imagen obsoleta de la disciplina. Y, por supuesto, de ninguna manera admitimos que la fórma
la estructuración moderna de la marión de los futuros docentes aparente ignorar feria que aspiran a trasmitir a sus futuros alumnos. Si ello ocurre, los estudiantes que cursen un plan moderno en su adolescencia se encontrarán con que en etapas posteriores su saber y su formación intelectual no serán aprovechados como corresponde. Lo que es más grave, egresarán del ciclo superior con un bagaje matemático anti
do que difícilmente se pueda justificar.
La Revolución en la
Matemática (i)cua
conocimiento claro y actualizado deLa reforma debe proponerse suministrar la matemática. Con toda autoridad se ha dicho que “la preparación matemática del hombre culto, que es en definitiva el que la escuela procura formar, no puede estar atrasado en dos siglos por la única razón de no especializarse en las disciplinas tíficas
un MAR5HALL H. STONE (Universidad de Chicago - EE. UU.)
Cieil- PROBLEMAS PARA EL EDUCADOR UNIVERSITARIO p)
sidad de una reforma general que conduzca a la modernización ¿o los programas de matemática en los tres niveles y áe ha trabajado diligentemente para satisfacer esa necesidad. Aunque nuestras universidades no han descuidado este problema, parece claro que se han hecho progresos más sustanciales
En una época en que es cada vez mayor la infiltración matemática en los dominios de las actividades científicas, técnicas, económicas y humanas en general, se impone no descuidarse en la tarea de proporcionar al estudiante de cualquier nivel los conocimientos que presuntivamente haya de necesitar en su actuación futura.
En lugar de ello, podemos ahora considerar brevemente unos pocos problemas específicos con los que parece indudable que el educador universitario deba enfrentarse en un futuro inmediato. Nos referiremos tan sólo a aquellos problemas que de una manera u otra surgen del progreso de la matemática, excluyendo estrictamente todos los que tienen otros orígenes. Por lo ya dicho, es evidente que, entre los más importantes, están los siguientes: primero, decidir qué parte del núcleo será enseñada por la universidad y cómo se la organizará en un programa adecuado; luego, decidir qué cursos especializados adicionales serán ofrecidos por el departamento de matemática de una universidad determinada, y finalmente efectuar una coordinación adecuada entre la instrucción ofrecida por ese departamento de matemática y los cursos relacionados con la matemática, pero que están bajo la jurisdicción de otros departamentos.
A pesar de que los matemáticos interesados en la evolución general y en las tendencias principales de la matemática tienen una idea bastante buena de cómo está constituido el núcleo central en el momento actual, esa idea no está, de ninguna manera .adecuadamente expresada en los programas de matemática habitualir.ente ofrecidos por las escuelas, universidades y departamentos de graduados. Sin embargo, en los últimos años, se ha sentido vastamente la nece-
fi para
resolverlo en los niveles de las escuelas secundarias y escuelas de graduados. En lo que concierne a la enseñanza de la matemática, nuestras universidades se encuentran, por lo tanto, bajo la influencia de los cambios, proyectados o ya iniciados, tanto en el nivel superior en el inferior. En la práctica, el efecto de estos cambios es trasladar gran parte del material matemático hacia el nivel
Por último, ha de meditarse mucho sobre el aspecto fundamental, esto es, sobre el aspecto formalivo que universalmepte y en todos los tiempos se ha reconocido a la enseñanza y al consiguiente aprendizaje de la matemática. Es indiscutible que nuestra asignatura tiene influencia primordial sobre el hábito de pensar correctamente; aprovechar como es debido su enseñanza para arraigar en cada estudiante la for-
del pensamiento matemático es un imperativo que cada docente —primario, secundario, universitario— debe tener presente en todo momento de su labor.
fma como
LOS EDITORES(0 Traducción, autorizada por el autor, del
artículo aparecido en la revista “Liberal Edu- cation” (EE.UU.), vol. XLVII, número H, yo 1961, pg. 304-327. Véase ELEMENTOS, N9 3, página 55.
(2) Esta sección del artículo de STONE estuvo originalmente dirigida a los educadores de los Estados Unidos; pero con sólo pocas modificaciones puede aplicarse a nuestras facultades universitarias e institutos del profesorado. La organización de la educación americana en los distintos niveles es diferente de la nuestra; a la escuela secundaria, “júnior” y “sénior ljigh school” (aproximadamente ciclos básico y superior de la nuestra), siguen los “colleges” y luego la “university” (o “gradúate school”). El ‘'college” es una escuela preuniversitaria. En esta versión la palabra “college” que no tiene equivalente • en nuestra organización se ha traducido como “universidad” y consideramos que puede corresponder a nuestros primeros años universitarios “College educator” se ha traducido como “educador universitario”. (Nota de les Editores) *
ma-
Este es, a grandes rasgos, nuestro pensamiento. Muchas otras opiniones deben escucharse y esperamos que se hagan oír clara y profusamente en beneficio del indispensable proceso de superación que debe vitalizar fructuosamente nuestros esquemas educacionales clásicos. Las páginas de ELEMENTOS se ofrecen para recoger y difundir estas opiniones.
ELEMENTOS, N9 3, pág. 54: "Necesidad de la Reforma".
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I
ticular, puede mencionarse que, en su totalidad, el problema de enseñar suficiente álgebra moderna en el nivel universitario no ha sido resuelto —y requie-
estudio cuidadoso por parte de
inferior, a una otapa algo anterior en la experiencia del estudiante. En realidad, el colegio de graduados presiona a la universidad para que ofrezca cursos algo más avanzados, incluyendo algunos ge- neralmen'.o ofrecidos ahora para graduados, de manera que sus estudiantes gra-
sus estudios
del cuerpo de estudiantes como las calificaciones profesionales del cuerpo ¿o profesores tendrán influencia lección. Es fácil mencionar una cantidad de temas especiales que, con bastante pertinencia, podrían enseñarse a estudiantes universitarios, tales como análisis numérico y técnicas de computación, mecánica, introducción a la física temática, lógica, teoría de juegos, programación lineal, y otros más. Pocas universidades pueden ofrecer una línea pleta de las preferencias posibles, hay razón, por cierto, para que ninguna universidad lo intente siquiera. Por otra parte, el interés de los estudiantes exige seguramente que se ofrezcan algunos cursos de esa naturaleza, por el departamento de matemática o por algún otro de los departamentos en los que se discuten aplicaciones de la matemática. Así, el educador universitario que se preocupe por los modernos desarrollos en matemática y por el aumento incesante de sus aplicaciones, estimulará activamente a su cuerpo docente para estudiar lo que pueda hacerse mediante 1 o s rebursos combinados de los departamentos interesados, con el fin de proporcionar una instrucción adecuada en alguna de las partes más especializadas de la matemática.
De cualquier modo, este problema está íntimamente relacionado con el de la coordinación, el cual, como ya lo hemos señalado, difícilmente pueda ser evitado por el educador de hoy. 'Puede necesitarse algo más que estímulo para obtener el contacto adecuado entre los departamentos comprometidos. Sin duda, nuestra experiencia sugiere que sin cierta compulsión o supervisión exterior es difícil mantener una cooperación íntima entre dos departamentos. Hoy en día, hay algunos campos donde las circunstancias parecen excepcionalmente favorables para iniciar un serio esfuerzo cooperativo para correlacionar los planes de estudio y programas de ciertos departamentos. Éste es indudablemente el caso en lo que se refiere a la matemática y la física. Si se desea aprovechar y explotar estas oportunidades, considero que el presidente de la universidad no debe vacilar en ejercer una dirección fuerte.
Es bastante evidente que cualquier
éxito que logre alcanzar haciendo de la coordinación una realidad, marcará un avance educacional real para su institución. La naturaleza del problema de la coordinación no es difícil de definir, y los medios para su solución están muy a mano. El mayor obstáculo para alcanzarla reside en la dificultad humana para mantener la coordinación en una situación que manifiestamente lo exige, a pesar de las marcadas diferencias en los puntos de vista. Por lo tanto, como etapa inicial para establecer la cooperación entre el departamento de matemática y cualquier otro departamento que esté interesado, debe intentarse zanjar estas diferencias. En lugar de ir directamente a la consideración de los detalles de cómo deben relacionarse los sos específicos, sería mejor intentar primero un examen conjunto del estado general de las dos materias y de los puntos de vista concernientes a ellas sostenidos por los miembros de los dos departamentos. En la mayoría de los casos, la diferencia básica de opinión muy probablemente resida en los juicios de lor sobre la antitesis entre lo concreto y lo abstracto o la antitesis matemática correspondiente entre manipulación y discernimiento de configuraciones. Desde que la abstracción y el discernimiento de configuraciones están desempeñando papeles cada vez más importantes en el estudio científico de la naturaleza —lo que es muy notablemente claro en el caso de la teoría cuántica del campo— el deseo de los matemáticos de destacar los aspectos abstracto y estructural de la matemática, ambos a causa de su interés intrínseco y de la prensión más firme que proporcionan sobre situaciones concretas y técnicas instrumentales, puede hoy comenzar a recibirse con más simpatía que en tiempos pasados. Por otra parte, es importante que el matemático no descuide los aspectos instrumentales de su materia ni insista en que su propio interés por la generalidad y la precisión sea partido engodos los momentos y circunstancias por los que se dedican a las aplicaciones de la matemática. Aceptando que se pueda alcanzar algún entendimiento mutuo sobre estos puntos, la coordinación real de la enseñanza de
en su se-
re unlos profesores universitarios de matemática. Incluso el éxito completo de los esfuerzos actuales para modernizar la enseñanza del álgebra en el colegio secundario no significará que en ellos ha de enseñarse mucha álgebra moderna por la simple razón de que la parte principal del álgebra del colegio secundario,
la concibe en el momento actual, poco tiene de álgebra en el sentido moderno, estando relacionada principalmente con el análisis elemental de funciones polinómicas, reales o complejas. La determinación de lo que debe enseñarse de geometría en el nivel universitario es otro problema que está lejos de ser resuelto satisfactoriamente, como ya lo hemos mencionado en nuestras primeras consideraciones. En verdad, debemos esperar que nuestras ideas sobre este problema cambiarán mucho ’an el transcurso de la próxima década, como respuesta al progreso que en este campo está haciendo la investigación.
duados puedan comenzcr mejor preparados y llegar más rápidamente a los puntos más avanzcdos de nuestro conocimiento matemático actual. Por otra paria, la escuela secundaria está comenzando a considerar algunos de los temas tradicionalmente enseñados en la universidad como posible material de
ciclos básico y superior. Por ejemplo, algunas escuelas secundarias han 'astado enseñando los elementos del cálculo desde hace muchos años, y hay muchos indicios de que, antes de que transcurra
década, la mayoría de nuestras ras-
ma-
com- y no
una
como se
sus
cur-
unacuelas secundarias más grandes habrá hecho lo mismo. Así, el educador universitario está enfrentando el problema de elevar el nivel da los programas de su departamento de matemática e integrarlo con los profesores mejor preparados. Suponiendo, para el objeto de nuestra discusión, que no pasará mucho tiempo antes de que el curso común de matemática del primer año de la universidad sea un tratamiento riguroso y completo del cálculo integral y diferencial enseñado a estudiantes que ya han tenido una introducción más o menos intuitiva en el colegio secundario, podemos esperar razonablemente que la gran mayoría de nuestras universidades más grandes ofrecerá a través de sus ciclos buenos cursos de introducción a la teoría de las funciones analíticas de una variable compleja, geometría diferencial moderna y análisis funcional del tipo qu*a ofrecen ahora las escuelas de graduados.- Si se fijaran de tal manera los límites superior e inferior del programa de matemática de la universidad, 'entonces el problema principal podría reducirse a organizar los cursos esenciales que deberían enseñarse en esa etapa. Aquí es necesario hacer mucho, tanto, por cierto, que muy bien puede ser necesario realizar un ataque coordinado según las líneas sugeridas por lo que se está haciendo en el campo de la matemática del colegio secundario. En par-
va-
Hablando con claridad, la universidad difícilmente pueda emprender un programa de matemática más rico y avanzado salvo que esté dispuesta a eliminar una apreciable cantidad de material inútil de su programa tradicional. Hay muchas cuestiones obvias para eliminar, temas que deberían enseñarse en la escuela secundaria o no enseñarse nunca. Citemos el álgebra universitaria, la geometría del espacio, la mayor parte de la trigonometría numérica, la geometría descriptiva y algunos tópicos de cálculo. Dado que muchas —quizás la mayoría de nuestras universidades— están todavía ensoñando esos temas, el trabajo de reforma'debe comenzar por eliminarlos de sus planes de estudio. Sólo cuando -esto se haya logrado, podrá darse su justo alcance al programa de matemática de la universidad y llevárselo a un nivel adecuado de calidad.
En lo que concierne a los cursos ofrecidos como complementos especializados del programa central, deba esperarse que haya gran variación de una universidad a otra. Tanto el interés profesional
com-
com-
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tantes de nuestro tiempo, el propósito de ponerdel pensamiento humano.
RESUMENEn resumen, hemos visto cómo la ma
temática ha sufrido cambios revolucionarios y un explosivo desarrollo en el siglo XX; hemos visto cómo simultáneamente ha multiplicado sus contactos con otros campos de investigación, asumiendo en muchos de ellos el papel clave y en otros, por lo menos, un indispensable papel auxiliar. Hemos identificado muchos problemas educacionales serios que se oponen a la necesidad urgente de modernizar nuestra 'enseñanza de la matemática. Estos .problemas son particularmente agudos en el nivel universitario y constituyen un gran desafío contemporáneo a la sabiduría y energía de nuestros cuerpos de profesores y presidentes de universidades.
i.'í!
CUESTIONES DIDACTICAS^
Caractere5 de la Enseñanza
Moderna de la Matemática
la matemática con las otras materias puede ser considerada en una atmósfera favorable. El departamento d.e matemática hará lo mejor que pueda para ofrecer les temas convenientes en el momento debido, con alguna orientación hacia las aplicaciones que puedan contemplarse, y, por otra parte, los^ otros departamentos interesados tratarán de usar, y d*3 usar correctamente, los ma- feriales preparatorios provistos por el departamento de matemática, y asumirán alguna obligación para dar a sus estudiantes preparación práctica adicional en los principios matemáticos y las técnicas implicadas. Obviamente, una coordinación tal como la que hemos des- cripto exig*2 mucho trabajo, difícil y paciente, para su realización. No se la puede lograr de la noche a la mañana, o sin el máximo de buena voluntad y dedicación para el que debe ser uno de los propósitos «educacionales más impor-
de manifiesto la unidad esencial
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EMMA CASTELNUOVO (Roma, Italia)
Estoy convencida de que no es posible considerar la enseñanza de la matemática sin observarla en relación con las otras asignaturas, es decir, desde un punto de vista muy amplio dentro del marco de una didáctica general. Me refiero, a la enseñanza de la matemática a alumnos de 11 a 14 años, o sea de esa edad anterior a la adolescencia que resulta extremadamente interesante.
Comencemos por preguntarnos por qué razón se habla ahora tanto de enseñanza de la matemática. ¿Acaso la matemática no es siempre más o menos la misma? ¿Acaso los alumnos no son siempre más o menos iguales? No pretendemos cambiar nada; sólo queremos pensar en esa enseñanza a la luz de una pedagogía activa, de los estudios psicológicos recientes y de las modernas investigaciones matemáticas. Sólo después de realizado este examen podremos pensar en programas y métodos de enseñanza; sólo entonces podremos preguntarnos: 1) qué debemos enseñar de matemática, y 2) qué métodos debemos emplear en esa enseñanza.
En el año 1657 se publicó un libro intitulado “Didáctica Magna” que puede considerarse como la primera obra de pedagogía científica. Su autor era Comenio, un hombre de familia muy modesta, un hijo del pueblo. Lo que le indujo a escribirlo no fue un motivo estrictamente didáctico, sino más bien social. El principio fundamental expresado en su obra es el del “método cíclico”. Permítaseme citar algunas líneas de Comenio sobre este principio: “Aunque estas escuelas sean diferentes —escuela de la primera infancia, escuela primaria, escuela para adolescentes, escuela para jóvenes— no queremos, sin embargo, que los alumnos aprendan cosas diferentes sino las mismas cosas de diferente manera. Con esto quiero decir que ellos deben aprender todo lo que ayuda a los hombres a ser verdaderamente hombres y a los científicos a ser verdaderamente científicos. Todo eso lo deben aprender de acuerdo con la edad y el nivel de preparación previa, que debe tender a elevarse en forma gradual y amplia”.
Advertimos claramente que este principio tiene un fin social; se habla en efecto de “enseñar todo a todos”, de manera que después de cada ciclo el alumno posea una cultura general y esté, por tanto, en condiciones de ubicarse debidamente en la comunidad.
En nuestros cursos primarios y secundarios se aplica muchas veces el “método cíclico”; por ejemplo, -en la enseñanza de la geometría. En la escuela primaria se habla a los niños de triángulos, cuadrados, círculos, siempre desde un punto de vista práctico y experimental. Las
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CICLOIDE
Esta curva plana —descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre una recta y que consta de infinitos arcos sucesivos e iguales —es llamada a veces la “Helena de la geometría” por su airosa forma y sus hermosas propiedades. No era conocida por los antiguos y parece haber sido entrevista sólo a principios del siglo XVI por C. Bouvelles y N. de Cusa; su nombre se debe a Galileo.
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Entre sus propiedades merecen citarse las siguientes: la longitud de un arco es ocho veces la del radio de la circunferencia generatriz; la superficie comprendida entre ese arco y la cuerda que lo subtiende, es el triple de la superficie del círcuilo correspondiente. Huyghens descubrió una importante propiedad mecánica de la cicloide: es la curva tautócrona, esto es, la trayectoria de un péndulo ideal cuyo período de oscilación es efectivamente independiente de la amplitud. Juan Bernoulli agregó más: la cicloide es la curva braquislócrona, es decir, la trayectoria de tiempo mínimo entre dos puntos para un cuerpo pesado.
Si la recta sobre la que rueda la circunferencia generatriz se sustituye por oLra circunferencia, se obtienen la epicicloide y la hipocicloide, según que aquélla ruede externa o internamente sobre la segunda. Ya Hiparco y Tolomeo se valieron de las epicicloides para describir los movimientos celestes; el mismo Copérnico no pudo prescindir del movimiento epicicloidal. Hoy día, estas curvas tienen mucha importancia en la mecánica aplicada.
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LA PEDAGOGÍA MODERNA
; En primer lugar, digamos algo acerca de pedagogía. Se ha hablado mucho en estos últimos años sobre enseñanza activa y clases activas; pero los principios fundamentales de esta escuela activa son muy antiguos. Estos principios esián ligados a los nombres de dos personalidades de la educación: el bohemio Jan Amos Komenski, más conocido como Comenio, y el suizo Enrique Pestalozzi.
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desarrollaba libremente, me convenció cada vez más de que una enseñanza es verdadera y educativa sólo cuando está basada en la actividad de los niños. Al enseñarle a trazar líneas, ángulos y círculos se desarrolla la intuición de cada objeto y en cada niño se genera una energía activa que le ayudará a percibir
más claridad los conceptos abarcados por el círculo de su experiencia”.
En estas líneas se habla de intuición. La etimología de este vocablo procede del verbo latino intueri, que significa mi-
profundamente, con atención. El sentido, es pues, originariamente, de contemplación pasiva. Este significado de la palabra intuición lo hallamos desde Platón hasta Rousseau y Pestalozzi. Sobre todo en las obras de este último cambia el sentido, y de actitud pasiva se convierte en activa. Para Pestalozzi, intuición significa construcción. Esta aclaración es muy importante para nosotros cuando hablamos de geometría intuitiva; en efecto, tendremos dos geometrías intuitivas diferentes según Ja interpretación que demos al t.rmino intuición: la intuición como actitud pasiva o la intuición como actitud activa.
La consecuencia que se deriva de la interpretación moderna de la palabra intuición es que los alumnos estarán siempre activos y la lección nunca tendrá carácter verbal. Acerca de esta cuestión escuchémos una vez más a Comenio y Pestalozzi. Dice Comenio: "El conocimiento tiene que originarse necesariamente a través de los sentidos. Entonces, ¿por qué iniciar la enseñanza con una exposición verbal de las cosas y no con la observación real de las mismas? Sólo después de haber observado las cosas, podrá explicárselas eficazmente”. Pestalozzi va aún más lejos: "Cualquier ñanza científica cuyas definiciones se viertan en la mente de los muchachos como un deus ex machina o revistan la apariencia de algo sugerido, a la ra de lo que hace el apuntador en teatro, no tiene más valor que el de estudio destinado a producir mediocres comediantes. Si quedan adormecidas las fuerzas esenciales del espíritu y sobre su sueño se vierten palabras huecas, sólo se formarán soñadores que imaginarán sombras tanto más vanas cuanto más
mismas figuras se tratan en los primeros años de la escuela secundaria; pero en tonces no se pretende dar justificaciones sólo por la vía experimental, sino valiéndose de razonamientos. Más tara-a, las mismas figuras formarán parte de un sistema axiomático. Se trata siempre, pues, de los mismos asuntos, pero considerados cada vez con mayor amplitud y profundidad en los ciclos sucesivos.
Es justamente este desarrollo, esta ampliación pausada y progresiva, lo^ que constituye el principio de este método. De esta manera, después de cada ciclo el educando tendrá una conciencia tal de cada asignatura que podrá ubicarse sin inconveniente en la sociedad. Conenio se propone obtener un "hombre completo” —son sus palabras— después de cada ciclo.
Se comprende que este método tenga como objetivo el respeto a la personalidad humana, y conmueve pensar que su principio, base de la moderna pedagogía, fuera enunciado hace ya tres siglos por un hombre, Comenio, surgido del pueblo mismo.
Otro principio fundamental de la escuela activa lo encontramos expresado en las obras de Enrique Pestalozzi, . en modo particular en su libro "Cómo enseña Gertrudis a sus hijos”, publicado en 1801.
Antes de citar algunas de sus líneas, quiero decir algo sobre su vida. Pestalozzi pertenecía a una distinguida familia suiza y su existencia podría haber trascurrido tranquila y feliz; pero desde muy joven dejó la vida fácil para irse a trabajar al campo y llevar la vida de los campesinos y la gente más pobre. Recuerdo muy bien sus palabras: "Viví mucho tiempo en compañía de unos cincuenta niños pobrísimos, compartí con ellos mi pan en la pobreza, viví como un mendigo, para enseñar a los mendigos a vivir como hombres”.
Éste fue Enrique Pestalozzi, el hombre. Veamos ahora lo que nos dice como pedagogo: "Unos niños enseñaban a los otros —se refiere a una de las escuelas fundadas por él—, trataban de hacer lo que yo les decía y, de esta forma, llegaban por sí solos a descubrir los medios más convenientes por las maneras más diversas. Esta actividad personal, que se
grandiosas y pretenciosas hayan sido las palabras que se vertieron sobre el tedio y ia mediocridad de su psique.. . Las descripciones deben preceder a las definiciones. Si algo está claro para mí, ello no significa que lo pueda definir, sino sólo que lo puedo describir, o sea, que puedo decir con precisión cómo está formado, pero no qué cosa es”.
Esta última frase podría ser aceptada, sin duda alguna, por el profesor más tradicionalista. Es obvio —dice el profesor— que nunca me permitiría dar la definición de un concepto o propiedad sin antes haber descrito el concepto o explicado la propiedad. Pero no es eso lo que Pestalozzi pretendía expresar; el sentido de su afirmación es mucho más profundo. Pestalozzi quería decir lo siguiente: “si un concepto es claro para mí, no es cierto que mediante una explicación verbal esté yo en condiciones de hacerlo claro también para ti”.
La explicación verbal ayuda muy poco cuando se enseña a muchachos de 11 a 13 años Quiero aclarar esta afirmación con un ejemplo geométrico; se trata de una experiencia que quizá han tenido muchos docentes.
Deseo introducir la noción de ángulo. Si doy a niños de 11 a 12 años la definición dada por el francés Arnaud hacia 1600 —ángulo es la parte de plano comprendida entre dos semirrectas del mismo origen— y hago el dibujo correspondiente, podemos estar casi seguros de que muchos alumnos, cuando se les pida que dibujen un ángulo más grande, prolongarán sencillamente los trazados de los lados.
Si en lugar de esta definición doy la de Euclides —ángulo es la inclinación de una recta sobre otra— y hago el dibujo de un ángulo distinguiendo su amplitud con el consabido arco circular, podemos estar seguros de que muchos niños, instados a dibujar un ángulo más grande, se limitarán a trazar un arco más distante del vértice, es decir de mayor radio. Y debe tenerse presente que en gran parte de los casos se t’ata de alumnos que son capaces de repetir exactamente la definición de ángulo.
Estos errores son muy significativos y nos obligan a reflexionar sobre el tema. Nos preguntamos por qué es tan difícil
la noción de ángulo. Después de muchos años, ahora estoy investigando las dificultades que plantea esa noción a los alumnos. A tal fin, les he propuesto • estas cuatro preguntas sobre los ángulos, que debían contestar por escrito.
1) Entre los objetos que te rodean, ¿ves ángulos?
2) ¿Es posible describir un ángulo con un movimie.nto de tus miembros?
3) ¿Se puede medir un ángulo con el metro?
4) ¿Qué es un ángulo?Por razones de brevedad no me referiré
a las ;ospuestas concernientes a las tres primeras preguntas; todas ellas son interesantes, pero, sin niguna duda, lo son más las que conciernen a la cuarta. He llevado a cabo la investigación con unos quinientos alumnos. Bien; unos doscientos escribieron: "ángulo es el punto en que se encuentran dos rectas”, es decir, ángulo es el vértice. El porcentaje de niños que dieron esta respuesta es tan grande que nos invita a investigar el por qué de este error. Yo creo que se debe a que en el lenguaje habitual decimos que un objeto anguloso es un objeto con puntas, y la correspondiente sensación táctil impresiona al niño
En conclusión, antes de dar una definición y describir un concepto, debemos investigar sobre la noción que los niños tienen de ese concepto, noción muchas veces adquirida a través del lenguaje corriente o por su propia experiencia.
Por ello, si queremos una enseñanza activa, la moderna pedagogía nos obliga a dar ai término intuición el sentido de construcción; esto es, nos exige que nuestra enseñanza sea de carácter constructivo.
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ense-f NUEVAS TÉCNICAS PSICOLÓGICAS\
Satisfecha esta exigencia es evidente que si los alumnos deben estudiar sin una guía demasiado ríqida del profesor, su labor partirá de la observación de lo concreto para abst'aer los conceptos matemáticos. ¿Qué significa esto? ¿Qué sentido se debe dar a ese "concreto”?
Lamentablemente no podemos extendemos sobre la evolución que se ha operado en el tiempo en el significado de la
mane-unun
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Lo que interesa es la forma de manejo del material; esto es, las operaciones que se realicen.
29) Se presentan al niño dos cuadrados iguales de cartón verde; ellos —se le dice— representan dos prados. Se le agrega que en los cuadrados se meten dos vacas, una en cada uno. Entonces, se le pregunta: '‘¿Las dos vacas tienen la misma cantidad de hierba para comer?" Todos los niños interrogados contestan afirmativamente.
A continuación, en el primero de los cartones y en su centro se coloca un car- tonciío marrón y se dice al niño que representa una casa. Si se le pregunta: ¿Ahora las dos vacas tiene la misma cantidad de hierba para comer? Todos están de acuerdo en que la vaca del primer prado tiene menos hierba para comer porque la casa está ocupando un "•espacio" en él.
Ahora bien —y aquí está el hecho psicológicamente interesante— si colocamos en el segundo cartón un cartoncito marrón como el del primero, pero no en su centro sino en una 'esquina, los niños empiezan a sentirse confundidos y contestan que ahora los espacios libres a disposición de las vacas no son los mismos, porque cuando la casa está en la esquina del prado, la vaca tiene "más espacio" y, por lo tanto, más hierba para comer.
Me- parece que los errores de esta clase hay que atribuirlos, ya sea al significado que se da a la palabra "espacio" (por ejemplo, si en una habitación se coloca una mesa en un rincón, en lugar de hacerlo en el medio, decimos que hay más "espacio"), ya sea a la confusión que el niño se hace siempre entre la noción de superficie y la de perímetro; ya sea sobre todo —según mi opinión—al hecho de que para llegar a la conclusión de que las vacas tienen la misma cantidad de hierba para comer, se necesita comprender que los dos prados son 'equivalentes porque son diferencias entre polígonos iguales dos a dos, y esta consideración requiere una cierta facultad de abstracción.
De -estas dos experiencias se deduce cuál es el papel que Piaget asigna al material empleado. La función del material es para él exclusivamente operativa. Es
mayor parte a niños cuya edad es sobre las transformaciones de configuración a configuración hacia donde se debe enfocar la atención y la actividad del niño, y no sobre las configuraciones en sí mismas, ¿*e las cuales el niño debe liberarse poco a poco.
Teniendo en cuenta qu*3 estas investigaciones se han hecho con millares de niños, Piaget llega a la conclusión de que en el niño surgen primero las estructuras topológicas y después las algebraicos (por ejemplo, la reversibilidad de .las acciones) y las de orden (por ejemplo, la posibilidad de disponer bastoncitos según sus tamaños).
Estas observaciones tienen gran importancia no sólo desde el punto de vista psicológico, sino por el hecho de que las estructuras que nacen naturalmente en la mente infantil son idénticas a aquéllas que, según la escuela de Bourbaki, constituyen la base del edificio matemático. Se comprende fácilmente que esta correspondencia entre el nacimiento de los primeros conceptos matemáticos y los fundamentos de la matemática moderna, es muy importante y debe tener sus consecuencias en la didáctica.
Resumiendo, podemos decir que los estudios relativos a la psicología del niño, nos obligan a dar a la enseñanza de la matemática un carácter operativo.
frase "recurrir a lo concreto"; nos limitaremos a hacerlo brevemente.
- Hasta comienzos de este siglo, dicha frase significaba mostrar a los educandos dibujos apropiados u objetos tales dados, pelotas, etc. Se reclamaba la atención del niño sobre estas figuras y la percepción de este "concreto" se grababa en su mente como si se tratase de una impresión sobre una placa fotográfica. Tan sólo a principios de siglo, pedagogos como la italiana María Mon- tessori y el belga Ovide Decroly dieron a la noción de "recurrir a lo concreto" un sentido más activo, tal como lo había postulado Pestalozzi. María Montessori sugiere que se facilite al niño un material de construcción especial. Manipulando este material, llegará a percatarse del número y la medida. El material sugerido es de carácter sintético: partiendo de cada uno de los elementos integrantes se llega a construir la totalidad de la figura. Decroly expone una tendencia opuesta: sostiene que el niño se siente más atraído por la observación de la totalidad que por la de sus elementos constitutivos. Sugiere, en consecuencia, que se lo guíe hacia la observación de fenómenos complejos, como por ejemplo los fenómenos naturales y, poco a poco, a su posterior análisis, para llegar así a descubrir el número y la medida. Puede decirse, pues, que el método propugnado por Decroly es analítico.
Ambas metodologías, aún teniendo carácter activo, fueron criticadas por Jean Piaget, el psicólogo suizo contemporáneo. Según éste, los métodos de Montessori y Decroly, aún siendo constructivos, fuerzan al niño a seguir una vía determinada y, consecuentemente, constituyen una pedagogía que no puede considerarse libre.
Piaget se propone estudiar el desarrollo de las estructuras mentales del niño. Dicho estudio se lleva a cabo mediante conversaciones privadas entre maestro y alumno; en ellas no se procura el análisis o la síntesis con un material especial, sino que se aborda el problema de las operaciones que, mediante ese material, se pueden realizar y que, en tanto que operaciones, no dependen del tipo de material.
Las experiencias de Piaget se refieren
en suinferior a los 11 años. Pero no dejan de ser también interesantes para nosotros
método puede, sin duda.porque suadaptarse a alumnos de más edad. En el
particular de los comprendidos entre 11 y 14 años, se ha hecho muy poco; por tanto, tendrán mucha importancia las investigaciones que podamos realizar con nuestros alumnos.
Para tener una idea más clara de la metodología propugnada por Piaget, creo oportuno referirme a dos experiencias: la primera consiste en la adquisición del concepto de número y la otra, en la del concepto de medida. Los niños con los que se ha experimentado tienen menos de 6 años.
I9) Se presentan al niño dos recipientes cilindricos de vidrio iguales, en uno de los cuales hay agua coloreada de rojo y en el otro, de azul; en ambos hasta el mismo nivel. El contenido del segundo recipiente se vierte en un tercero, igualmente de vidrio, pero más alto y estrecho. Se pregunta al niño si el primer y el tercer recipientes contienen la misma cantidad de líquido. Hasta los 5 años, la respuesta es negativa. Los niños dicen: "contiene más el tercer recipiente, porque el agua llega hasta un nivel más alto".
comocaso
í¡
Idéntica experiencia puede realizarse con cantidades discontinuas, valiéndose por ejemplo, de bolitas rojas y azules, que el propio niño puede introducir en los recipientes. Pero el resultado es siempre el mismo: la comprensión del niño es exclusivamente de índole perceptiva.
Sólo hacia los 6 años el niño posee la noción de "conservación del conjunto"; sonríe entonces cuando se le hace esa pregunta y dice: "¡Claro que la cantidad de agua es la misma! Basta volcar la azulada en el recipiente que ocupaba antes para ver que alcanza otra vez el mismo nivel". Ahora el niño está en posesión de la ley de reversibilidad.
Estas experiencias nos inducen a creer que el niño no puede aprehender el concepto de número mientras le falta la ley de conservación del conjunto, o sea, el principio de la invariancia del número.
Se advierte que en las experiencias de Piaget no es el material lo importante; es indiferente que sean bolitas o líquidos.
ORIENTACION DE LA MATEMATICA ACTUAL
He aludido a las relaciones de los 'estudios psicológicos con las investigaciones matemáticas modernas. Ahora quisiera exponer más detalladamente la transformación, o mejor dicho, la evolución de la matemática en 'estos últimos cincuenta años. Me limitaré a dar una imagen global y visual de la matemática moderna, comparándola con la matemática clásica.
Tengo presente el cuadro que se solía dar de la matemática «en el novecientos: se la representaba como una inmensa construcción encerrada por una muralla, una construcción formada por muchos edificios más o menos altos; algunos terminados, otros, la mayor parte, todavía en ejecución; armónicos algunos, s i n gracia los otros. Estos edificios no estaban aislados unos de otros; no sólo se
!
11f
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/dores y pasadizos, sin detenerse en los recintos y aposentos de las diversas sas,iguales que se encuentran en arquitecturas diferentes y que en el día de mañana podrán sugerirnos otras construcciones similares.
Gustave Choquet resume en pocas {rala diferencia entre la matemática
clásica y la de nuestros días: '‘El matemático tradicional —dice— estudiaba argumentos particulares que reagrupaba según su color (aritmética, álgebra, geometría, trigonometría, etc.). El descubrimiento de las grandes estructuras ha cambiado la urdimbre y la trama de la fábrica de nuestro mundo. En lugar de las fibras horizontales vemos las verticales".'"A la matemática que se estudiaba hace 50 años se la denomina hoy matemática clásica. En ella —me permito insistir — la atención se concentraba sobre '‘los edificios", o sea sobre los diferentes capítulos de la matemática, y sobre ''los cimientos de esos edificios", esto es, los elementos fundamentales de las teorías: el número, el punto, la recta, etc.
Por lo contrario, se da el nombre de matemática moderna a esa matemática cuya esencia no reside en la calidad del material con que opera sino en las leyes que rigen las operaciones que permitieron su construcción. Ahora, en lugar de razonar sobre entes determinados, s*e consideran diversos sistemas de reglas (las axiomáticas); cada uno de estos sistemas Z'3 aplica después en muchos modelos diferentes. Y son justamente estas axiomáticas las que constituyen los cimientos de la matemática moderna. En nuestro modelo se podrá interpretar a esas reglas como las leyes arquitectónicas que son siempre válidas cualquiera sea la forma de construcción y la calidad del material empleado.
Es, por consiguiente, sobre las estructuras, sobre las relaciones, que debemos guiar la atención de los educandos. En conclusión, la enseñanza de la matemática deberá tener por esta causa un carácter relaciona!.
podía entrar a cada uno de ellos por la respectiva puerta, sino que, y esto era la más interesante, un sistema de puentes, pasadizos, corredores, intercomunicaba los pisos altos con los bajos de los diferentes edificios, sobreponiéndose y entrecruzándose como rutas aéreas. Los edificios representaban los diversos capítulos de la matemática: el álgebra, el análisis, las geometrías, etc.; los puentes, pasadizos y corredores indicaban que los diversos capítulos no estaban aislados, sino que muchas relaciones permitían pasar de una teoría a la otra.
Esta imagen de la construcción matemática siempre me ha impresionado y he encontrado muy sugestivo —aun en la enseñanza de niños— hacer alusión a aquellas intercomunicaciones.
En nuestro siglo, de la imagen de la fortaleza medioeval dada a la matemática, sin haber perdido nada de la sugestión y »al valor que tenía, queda, al igual que ocurre con las obras de arte, un hermoso cuadro que representa a la. matemática de otra época, una época que abarca más de 2000 años. Hoy vemos aquella imagen con el mismo espíritu con que contemplamos un pueblo en una pintura de Breughel o Corot, y decimos que es un pueblo de otros tiempos, como lo decimos también si se descubre una forma de vida que ya no existe, en algún lugar perdido, al que se llega ocasionalmente movido por la curiosidad y la devoción de revivir justamente lo que ya ha muerto.
¿Qué le ha sucedido a la matemática en estos últimos decenios? ¿Por qué han cambiado, y siguen cambiando, las investigaciones matemáticas? ¿En qué consisten estos cambios?
También aquí para recoger el espíritu de la matemática moderna, empleamos una imagen: no se trata ahora de observar un paisaje con sus casas y edificios, sino de analizar, de estudiar anatómicamente, desde los cimientos, las estructuras de esas construcciones. Hoy no se podría presentar la obra matemática como el modelo de un conjunto de casas y puentes; hoy la investigación nos lleva al análisis detallado de los corre-
ORIENTACIONca-trátando de recoger las estructuras
El Algebra de Boole”ses
FLORENCIO D. JAIME(Instituto Superior del Profesorado - Bs. As.)
ORIGEN DEL ALGEBRA DE BOOLE la clase o conjunto de todas las cosas que se habrán de tomar en consideración. Con 0 indicaba la inexistencia de elementos en una clase, o sea lo que hoy llamamos la clase vacía. Los símbolos X, Y, Z, representaban clases. A los elementos de estas clases los llamaba "los Xs", '‘los Ys", “los Zs", respectivamente. Aplicar como factor uno de los símbolos x, y o z al símbolo representativo de una clase significaba seleccionar los Xs, los Ys o los Zs, respectivamente, que existieran en esa clase. Cuando no se indicaba a quién multiplicaba uno de esos símbolos, debía 'entenderse que multiplicaba al símbolo 1 del universo, que se había dejado sobreentendido. El símbolo x significaba, pues, x . 1, y este producto significaba •el conjunto de los Xs que existieran en el universo 1, ó sea el conjunto X. De modo, pues, que:
Descartes, el genial filósofo y matemático francés que en 1637 introdujo la representación de los puntos por sus coordenadas, logró con ello reducir el razonamiento geométrico al razonamiento algebraico que, como sabemos, se expresa por medio de símbolos comunes a todos los idiomas. Cuarenta y dos años después, Leibniz, el ilustre filósofo y matemático alemán que participó en la creación del Cálculo Infinitesimal, concibió un proyecto más ambicioso aún que el de Descartes: la creación de un lenguaje simbólico de carácter universal que permitiera efectuar todos los razonamientos científicos aplicando las reglas de un cálculo especial a los símbolos de ese lenguaje. El mismo Leibniz efectuó algunos ensayos al respecto, pero sin alcanzar una solución satisfactoria.
Debió transcurrir algo más de un siglo y medio antes de que se inventara una nueva álgebra adecuada para realizar con éxito la plausible idea de Leibniz. Tal invento se debió al lógico inglés George Boole (1815-1864), quien lo expuso en su libro "The Mathematical Ana- iysis of Logic" publicado en 1847. Boole fue un hombre de escasos recursos pecuniarios, circunstancia adversa que te impidió realizar su deseo de graduarse en Matemáticas; pero, convertido en autodidacto, triunfó sin embargo en la empresa de justificar, con procedimientos algebraicos por él ideados, las reglas aristotélicas del silogismo. Para ello, representaba por 1 al universo, o sea a
fi
x = x.l = X y análogamente y = y.l == Y
z = z.l = Zy
En cambio x . y significaba el conjunto formado por aquellos Xs que existieran en la clase Y. Cuando la clase Y no contiene elementos Xs, el producto x . y,= 0; cuando las clases x e y tienen elementos comunes, los Xs contenidos en Y son los mismos que los Ys contenidos enX, de modo que x . y = y . x.
{
(*) En el centenario de la muerte de George BOOLE (1815-1864), ELEMENTOS rinde homenaje a su memoria publicando esta colaboración del profesoi JAIME.
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i
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ALGEBRAS MODERNAS
En 1881, el lógico-matemático italiano Giuseppe Peano desarrolló la Aritmética de los números naturales con método axiomático, partiendo de tres conceptos primitivos (no definidos previamente pero caracterizados implícitamente por los axiomas) y de cinco axiomas expresivos de las relaciones fundamentales existentes entre aquellos conceptos primitivos. En 1899, el matemático alemán David Hilbert estructuró en forma axiomática la Aritmética de los números reales considerando como conceptos primitivos el de número real, los de las operaciones de adición y multiplicación, y los de mayor y menor; y aceptando'como axiomas algunas de las propiedades que se demuestran en la Aritmética ordinaria, para deducir de ellas las demás. En 1905, el matemático estadounidense Edward V. Huntington encontró un conjunto de conceptos primitivos y un sistema de axio- más que permitía desarrollar directamente la Aritmética de los números complejos y, como parte de ellos, la de los números reales, dentro de los cuales se podían caracterizar como tipos especiales, los números racionales, los enteros y los naturales.
Ahora bien, esos interesantes trabajos precedentemente mencionados constituían exposiciones nuevas, sí, pero de la misma vieja Aritmética que todos hemos estudiado de otro modo. En cambio, los trabajos de Bolyai, publicados entre 1832 y 1835, y los de Lobachevsky, desarrollados en el lapso comprendido 1833 y 1855, habían conducido Geometría métrica nueva, que se llamó Geometría no euclidiana hiperbólica, a la que se agregó otra Geometría más ideada por Riemann en 1854: la Geometría no euclidiana elíptica. ¿A qué obedecían las difeiencias entre estas geometrías y la de Euclides? Sencillamente a que aquellos matemáticos habían aceptado los cuatro primeros postulados de Euclides y habían sustituido el quinto por otro que lo contradecía. Este modo de proceder sugirió la idea de crear álgebras nuevas aceptando, como axiomas, algunas de las propiedades de la Aritmética ordinaria y alguna o algunas otras proposiciones que no se verificaran
sus trabajos en tal sentido, publicados en los dos primeros decenios del presente siglo; y, precisamente, fue él quién indicó, de dos maneras distintas, cuáles podrían ser los conceptos primitivos y los axiomas que habrían de permitir la reconstrucción del Algebra de Boole con método axiomático. En lo que sigue, adoptaremos uno de esos puntos de partida señalados por Huntington.
en esa Aritmética. Claro está que, con estos cambios, los números dejarán de ser interpretaciones de los símbolos con que se op*ere en las nuevas álgebras y las operaciones indicadas con los símbolos " + " y "." habrán de tener significados distintos de los que se les atribuyen en la Aritmética clásica. El mismo Huntington, anteriormente mencionado, fue uno de los que más se distinguieron por
Para ilustrar esta propiedad conmutativa, ponía el siguiente ejemplo: Supongamos que 1 sea el conjunto de todos los animales, que Y sea el conjunto de los ovejunos y qu*e X sea el conjunto de los animales que tienen cuernos En tal caso x . y es el conjunto de los animales con cuernos existentes entre los ovejunos, o sea el de los carneros. A su vez y . x es el conjunto de los ovejunos existentes entre los animales con cuernos, o sea. otra vez, el conjunto de los carneros.
Con estos ingeniosos recursos Boole consiguió expresar simbólicamente las proposiciones que intervienen en los silogismos clásicos. Así, por ejemplo, la proposición universal afirmativa:
Todos los Xs son Ysse traducía en símbolos mediante el siguiente razonamiento: Si todos los Xs están en Y, entonces seleccionando los Xs que hay en Y se obtienen todos los Xs existentes; luego:
/
RECONSTRUCCION AXIOMATICA DEL ALGEBRA DE BOOLE
Entes primitivos
1) Un conjunto K formado por elementos desconocidos;2) Una primera operación, llamada "adición" e indicada con el símbolo "H-°,
realizable con elementos de K;3) Otra operación, llamada "multiplicación" e indicada con el símbolo reali
zable con elementos de K.Notación
A las variables a, b, c, ... les atribuiremos como campo de variabilidad elcuales-conjunto K; de modo, pues, que dichas variables representarán elementos
quiera del referidos conjunto.#A xio mas(1)X . y = X
Por otra parte, si todos los Xs están en el conjunto Y, entonces, al quitar del universo el conjunto Y, no quedará ningún elemento de X en el conjunto restantes 1 — Y; luego:
! Ax. I. 2, llamado "de existencia y unicidad del producto y de cierre del conjunto K con respecto a la multiplicación":
Para cada elemento a y cada elemento b, de K, existe un elemento c, de K, tal que:
Ax. 1.1, llamado "de existencia y unicidad de la suma y do cierre del conjunto K con respecto a la adición":'
Para cada elemento a y cada elemento b, de K, existe un elemento c, de K, tal que:
x (1 — y) = 0 (2) a . b = c
Ax. II. 2, llamado "existencial de un elemento neutro en la multiplicación":
Existe al menos un elemento de K» llamado "uno" y representado por "1", tal que para ese elemento y cualquiera a, de K, se verifica que:
> a -r b = c
Ax. II. 1, llamado "existencial de un elemento neutro en la adición":
Existe al menos un elemento de K, llamado "cero" y representado por "0", tal que para ese elemento y cualquiera a, de K, se verifica que:
Cualquiera de las igualdades (1) y (2) puede servir de expresión simbólica de la proposición universal afirmativa. Obsérvese que de la (1) se puede pasar a la (2) por transposición de términos y factoreo; mientras que de la (2) se puede pasar a la (1) aplicando la propiedad distributiva y transponiendo términos. Pero no todas las propiedades del álgebra ordinaria subsisten en el Algebra de Boole. Así, por ejemplo, x . x significa el conjunto de los Xs que hay en X, o sea el mismo conjunto X, de modo que x . x = x, lo que no es cierto para todo x en el álgebra ordinaria.
No interesa por el momento seguir describiendo el Algebra óa Boole jen su forma original, porque en la actualidad se la puede desarrollar en forma más abstracta y más general empleando el método exiomático, como habremos de hacerlo más adelante.
entre a una
1 . a = a0 + a r= a
Ax. III. 1, llamado "propiedad conmutativa de la adición":
Para todo elemento a y todo elemento b, de K, se verifica que:
Ax. III. 2, llamado "propiedad conmutativa de la multiplicación".
Para todo elemento a y todo elemento b, de K. se verifica que:
a + b = b + a a . b = b . a
Ax. IV. 1, llamado "propiedad distributiva hacia la derecha de la adición con respecto a la multiplicación".
Para todo elemento a, todo elemento b y todo elemento c, de K, se verifica que:
Ax, IV. 2, llamado "propiedad distributiva hacia la derecha de la multiplicación con respecto a la adición":
Para todo elemento a, todo elemento b y todo elemento c, de K, se verifica que:
a -{- (b . c) = (a + b) (a -j- c) a (b + c) =ja . b + a . c
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Ax. V, llamado “existencial de un elemento complementario":
'■
Para cada elemento a, de K, existe al otro elemento a', de K, Riamadomenos
“elemento complementario del a", tal aque:
a . a' = 0
Ax. VI, “de la mínima composición de K":
Existen por lo menos dos elementos distintos en el conjunto K.
a + a = 1 y
1 es el rectángulo, 0 la clave vacía, el signo indica unión de conjuntos, y el signo intersección. Dada una fi
gura a (por ejemplo un círculo), su complementaria a" es la que se obtiene excluyendo del rectángulo la figura a.
(Continuará)
© © ©cuencia dual extraida del grupo de axiomas duales de los del anterior.
En virtud de la expresada ley, basta demostrar uno sólo de cada dos teoremas duales, pues la demostración del otro se puede obtener mecánicamente haciendo las permutaciones indicadas y cambiando la numeración de los axiomas invocados como justificativo por la de sus respectivos duales.
Ley de dualidad del Algebra de Boole
Los axiomas I. 1,1. 2, II. 1, II. 2, III. 1, III. 2, IV. 2 y VI expresan propiedades comunes al Algebra de Boole y a la Aritmética ordinaria. Los axiomas IV. 1 y V, que no se cumplen en la Aritmética ordinaria, completan en el Algebra de Boole una relación que se advierte entre los axiomas referentes a la adición y los referentes a la multiplicación. Esa relación consiste en lo siguiente: Si en el enunciado de uno cualquiera de los axiomas del Algebra de Boole se permutan los símbolos “1", se obtiene el enunciado de otro axioma del Algebra de George Boole, llamado “dual" del primitivo. Los pares de axiomas designados con un mismo número romano son duales entre sí; el axioma V es dual de sí mismo y el VI se puede considerar también como dual de sí mismo, ya que no sufre modificación al efectuar las indicadas permutaciones de símbolos por carecer de ellos.
La relación de dualidad existente entre los axiomas del Algebra de Boole da origen a la siguiente ‘ley de j dualidad de esa misma Algebra: Si en el enunciado y en la demostración de un teorema cualquiera, que exprese una consecuencia lógica (directa o indirectamente extraida) de un determinado grupo de axiomas del Algebra de Boole, se permutan los símbolos y *7', “0" y "l", seobtiene el enunciado y la demostración de otro teorema, expresivo de la conse-
JOSE HERNANDEZ, ¿FILOSOFO DE LA MATEMATICA?
Según Leopoldo Kronecker (1823-1891), “Dios creó los números naturales; todo lo demás es obra de los hombres“Con estas palabras —dicen Courant-Ro- bbins—, indicó el terreno seguro sobre el cual puede cojistruirse la estructura de la matemática”.
Por su parle José Hernández (1834-1886), nuestro máximo poeta gauchesco, pone en boca de Martín Fierro, en su contrapunto con el Moreno, los siguientes versos: __ _
Ji
INTERPRETACION ILUSTRATIVA !Uno es el sol, uno el mundo, sola y única es la luna; ansí, han de saber que Dios no crió canlidá ninguna.El ser de todos los seres sólo formó la unida; lo demás lo ha criado el hombre después que aprendió a contar.
“ + " y V', “0" y El Algebra de Boole, desarrollada con método axiomático, es abstracta y, por lo tanto, no requiere el conocimiento previo de interpretación alguna de sus entes primitivos. Más aún: las demostraciones deben ser efectuadas con prescin- dencia absoluta de toda interpretación de esos entes a fin de que las conclusiones tengan validez general y aplicación a cualquiera de las interpretaciones que satisfagan los axiomas. Sin perjuicio de ello, y a simple título ilustrativo, es útil disponer de una interpretación que permita entender y retener conceptos y enunciados. La siguiente puede pleada al efecto:
Como conjunto K se considera el conjunto constituido por la clase vacía y por todas las figuras geométricas que se puedan formar con los puntos de un rectángulo dado, incluso el rectángulo mismo, consideradas todas juntos de puntos.
.
;© © ©
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ser em-
VALORES APROXIMADOS DE \/2
Siendo m y n enteros positivos arbitrarios, probar que \/2 está siempre comprendido entre m/n y {m + 2n)/{m + n), y que esta últimd es en cualquier caso una aproximación mejor que la primera (Problema propuesto por G. H. Hardy, A. Course of Puré Malhcmatics, y tratado por el Dr. F. Herrera eru el curso de perfeccionamiento de San Luis de 1964).como con-
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Cálculo Proposicional1*’ prefación" ambas tienen igual V. Ó3 V. Por ejemplo: "Si llueve, iré al cine" y "Si no voy al cine, no llueve".
Para determinar si una proposición A es equivalente a otra proposición B, se establece el bicondicional A±^B y se construye su T.V. de V. Si el bicondicional A ^ B es tautológico, diremos que A equivale (formalmente) a B y lo simbolizaremos por A: A === B.
También pueden demostraros las siguientes leyes generales de la equivalencia:
a) Toda proposición es equivalente a sí misma.
b) Si una proposición es equivalente a otra, ésta es equivalente a la primera.
c) Si una proposición es equivalente a otra y ésta a una tercera, la primera es equivalente a la tercera.!
Mediante el estudio de la equivalencia entre proposiciones, es posible verificar si distintos enunciados pueden considerarse con igual significado; es decir, si representan a la misma proposición.
Por ejemplo, las siguientes proposiciones pueden clasificarse en dos grupos de proposiciones equivalentes:
plica la proposición "Juan vino", pues si la primera es verdadera, debe serlo la segunda.
Recordando la definición de razonamiento correcto se observa que puede definirse como aquel razonamiento en el que las premisas implican formalmente a la conclusión. Por ello, el estudio de la implicación es uno de los principales propósitos de la lógica, interesada especialmente en la determinación de técnicas que muestren si una proposición se deduce, o no, "lógicamente" de otra.
Para determinar si la proposición A implica a la proposición B, se esiablece el condicional A-*B y se hace su T. V. de V.
Si el condicioanl A->B es tautológico, •diremos que A implica (formalmente) a B. Lo simbolizaremos: A=>B.
En el ejemplo anterior tendríamos que verificar que efectivamente "Juan vino y Pedro se fue" implica "Juan vino". Para ellos estableceremos la T. V. de V. •de la proposición AAB-»A, siendo: A: "Juan vino" y B: "Pedro se fue":
RAUL A. CHIAPPA(Universidades de Bs. As. y del Sur)
acuerdo con sus propiedades, en tautológicas, contradictorias y contingentes.
Una proposición es contingente (láctica) cuando su T.V. de V. da verdad o falsedad según sea la valoración (V, F) de sus componentes simples. Perra determinar su V. de V. debe recurrirse a la experiencia; es decir, el V. de V. final depende de la "interpretación'’.E¡.: "Sí llegas temprano, ¡remos al cine o al teatro",
que se formaliza C -* (D V E), siendo: C. "Llegas temprano", D: "Iremos al cine", E: "Iremos al teatro".
Una proposición es tautológica cuando su T.V. de V. da siempre verdad, cualquiera sea la "interpretación"' de sus componentes. Tautología es sinónimo deverdad lógica.Ej.: "Voy al cine o no voy al cine", que se formaliza:
A V —A, siendo A: "Voy al cine".
Una proposición es contradictoria cuando su T.V. de V. da siempre falsedad, cualquiera soa la "interpretación" de sus componentes.E¡.: # Aprobare el examen y no aprobaré el examen",
que se formaliza: E /\ —E, siendo E: "Aprobaré el examen".
RELACIONES FORMALES ENTRE PROPOSICIONES
Al definir los conectivos "implicación material" y "equivalencia material", hicimos notar que no debía confundírselos con las relaciones de "implicación formal". A estas relaciones nos referiremos en general diciendo simplemente "implicación" y "equivalencia".
Implicación. Una proposición implica (formalmente) a otra cuando no es posible interpretarlas de manera que si la primera es verdadera, la sequnda falsa.
Por ejemplo, puede verse que la proposición "Juan vino y Pedro se fue" im-
DETERMINACION DEL VALOR DE VERDAD
Recordando lo dicho en Tablas de Valores de Verdad, tendremos que, definidos los coneciivos, podemos determinar el V. de V. de las proposiciones compuestas mediante un método mecánico. Veamos, por ejemplo, cómo se construye la tabla de la siguiente proposición:
"No es cierto que si hoy llueve, entonces iré al cine o me quedaré en casa".
Supuesto que:
A: "Hoy llueve",B: "Hoy iré al cine",C: "Hoy me quedaré en casa",
se obtiene la siguiente formalización- — | A-»(B V C)]. En tal caso, la T. V. de V. será:
I
i\
A B AAB AAB-A1) Si hoy llueve o tengo frío, entonces hoy es martes.2) Hoy no es martes; luego no es cierto que llueva o
tenga frío.3) Es martes o no Hueve y por ello no tengo frío.4) No es cierto que no es martes y que llueve o tengo
frío.5) No tengo frío, pero si no es martes, entonces no
llueve.6) Si no es martes, no llueve y no tengo frío.7) Es martes y no tengo frío o no es cierto quo llueve
o tengo frío7'.
VVV V F VV F F F
VFABC BVC A-KBVC) -[A^BVC)]VFVV V V
F V VV F V F F VV V F FVF ' VV F F F F F
V V FFV V F
Luego, AAB-+A corresponde a quema de razonamiento correcto y podríamos poner: AAB=>A.
De acuerdo con lo expuesto pueden demostrarse las siguientes leyes generales de la implicación:
a) Toda proposición se implica a sí misma.
b) Si una proposición'implica a otra y •ésta a una tercera, la primera implica a la ieroera.
c) Una proposición contradictoria implica cualquier proposición y es implicada sólo por proposiciones contradicto - rias.
• d) Una proposición tautológica es implicada por cualquier proposición e implica sólo proposiciones tautológicas.
Equivalencia. — Dos proposiciones son equivalentes cuando significan lo mis-
decir, cuando para cada "inter-
V V F un es-V V FV V F
V FF F V Análogamente, es posible determinar
cuáles Ó3 los siguientes razonamientos son válidos (1):
F V F
CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONES 1) Si el enemigo se siente derrotado, iza bandera
blanca.El enemigo no se siente derrotado._______________
Aplicando el método de las T.V. de V. a distintas proposiciones, observamos que hay proposiciones cuyo V. de V. es siempre verdad, cualesquiera sean los valores que se asignen a las proposiciones simples componentes; hay otras ya T.V. de V. da siempre falsedad. Por último, la T.V. de V. de algunas proposiciones da verdad en algunos casos y falsedad en otros. Sobre esta base, las
El enemigo no iza bandera blanca.
2) Se producirá inflación, si los precios continúan subien-■
do.No se producirá inflación.Los precios no suben.
cu- sea 3) Juan es alto o Pedro ha mentido. Juan no es alto.Pedro ha mentido.
(1) Las premisas se transcriben encima de la raya; la conclusión correspondiente va colocada debajo.proposiciones se pueden clasificar, de
(*) Véase ELEMENTOS N9 3, pág. 71. mo, es
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!Asociativa:4) Si trabajo gano dinero y si no trabajo me divierto. ;ABC BVC A A (BVC) AAB AAC ,(AAB) V (AAC) A A (BVC)^=- (A A B) V (AAC)Gano dinero o me divierto. (A^±B)^C = -•A^(B^C) V V V
F V VV F V F'FV VV V F F V FV F F F F F
V V V ViAsimismo, mediante la equivalencia formal pueden 'expresarse las más importantes propiedades de los conectivos lógicos y leyes del cálculo proposicional, demostrables por las T. V. de V. correspondientes, a saber:
VV F F F FV VNo idempotente: F V V
F F F FA ^ A# A V V V F VV F F F F
Leyes Importantes del Cálculo Proposicional
F F F Tp FF F F F F
Propiedades importantes de los conectivos lógicos Ley de absorción: CONDICIONALES CONJUGADOS Para analizar las relaciones que exis
ten entre los V. de V. de los condicionales conjugados, confeccionamos las correspondientes T. V. de V.:
A V (B A A) = A A (B V A) = A
Leyes de dualidad (de De Morgan):
— (A A B) s= — A V — B— (A V B) = — A A — B
Negación: Involutiva — (— A) == A (2)
Conjunción: Conmutativa A A B = B A A Asociativa (A A B) A C ==A A (B A C) Idempotente A A A == A Distributiva respecto de la disjunción
A A (B V C) ss (A A B) V (A A C)
Disjunción: Conmutativa A V B = B V A Asociativa (A V B) V C == A V (B V C) Idempotente A V A == A Distributiva respecto de la conjunción A V (B A C) = (A V B) A (A V C)
En las ciencias deductivas, y en particular en la matemática, la mayor parte de los enunciados de los teoremas son implicaciones en las que el antecedente recibe el nombre de hipótesis y el consecuente, el de tesis.
Dado un condicional que diremos directo, pueden obtenerse otros tres condicionales cuyos V. de V. están relacionados directamente con el condicional dado. Conocer tales relaciones es conveniente, pues evitará demostraciones inútiles o permitirá facilitarlas, recurriendo a un enunciado equivalente más •adecuado.
Estos cuatro condicionales, que llamaremos conjugados, serán:
directo: A ->■ B recíproco: B -► A
contrario: — A -* — B contrarrecíproco: — B -► — A
Dado el condicional directo obtenemos el condicional recíproco permutando antecedente y consecuente; el condicional contrario negando antecedente y consecuente; el condicional contrarrecíproco formando el contrario del recíproco o el recíproco del contrario.
Obsérvese que los condicionales son en realidad (respectivamente) contrarios, recíprocos o contrarrecíprocos entre sí; por lo tanto, cualquiera de ellos puede ser tomado como directo.
Las relaciones existentes entre los condicionales conjugados pueden visualizarse' en el siguiente cuadro:
A B A-B B-A —A-+—B — B-—ALey de contraposición (de contrarrecí
procos):VVV V V V
F V V FV F F VF F V V
VFFVA“*B== — B — A VV
Ley de exportación:. De ellas se concluye que: i
(AAB)-C = A^(B-»C) B-*A=— A — B A-B=—B-—AEmpleando estas leyes puede verifi
carse la clasificación en grupos de proposiciones equivalentes propuesta en la página 99.
A título de ejemplo demostraremos una de las equivalencias de la lista anterior, dejando las restantes como ejercicio para el lector. Sea la ley distributiva de la conjunción respecto de la disjunción:
iEs decir:
a) los condicionles contrarrecíprocos son equivalentes;
b) el recíproco o el contrario de un condicional verdadero no son necesariamente verdaderos ni falsos.
Observando las relaciones existentes entre los condicionales conjugados puede afirmarse que si es cierto un condicional y su recíproco, o su contrario, son ciertos los cuatro condicionales conjugados (esto es válido también para teoremas); en tal caso, antecedente y consecuente son equivalentes.
Diremos que un teorema es válido si y sólo si el condicional establecido entre hipótesis y tesis es tautológico; en caso contrario habría alguna interpretación que verificaría a la hipótesis y no a la tesis. Es decir que H = > T.
Por lo tanto, si consideramos el caso especial de un teorema, que diremos directo, podemos afirmar que el contrarrecíproco es equivalente (o sea que es indistinto demostrar uno cualquiera de •ellos), mientras que nada podemos afir-
r
Condicional: No conmutativa
A -+ B B A
No asociativa(A - B) - C # A - (B - C)
No idempotente:¡
fA A A
iA A (B V C) = (A A B) V (A A C)Distributiva (a la derecha) respecto de la conjunción: Para construir la T.V. de V., luego de
indicar las 2n combinaciones iniciales, aplicaremos, tantas veces como sea necesario, la tabla que define cada conectivo, en la proposición dada. Si, y sólo si, la columna que corresponde a la proposición dada es tautológica, diremos que dicha proposición es una ley lógica.
La tabla construida indica que, independientemente del V. de V. que en alguna "interpretación'" corresponda a cada proposición elemental, la equivalencia analizada se cumple, es decir que ambos miembros son distintas formulaciones de una misma proposición.
■
A - (B A C) »(A - B) A (A - C)
Seudodistributiva (a la izquierda) respecto de la disjunción:
(A V B) -♦ C ss (A - C) A (B -♦ C)
Bicondicional:
Conmutativa: B-AA B------recíprocos
contrarios contrarrecíprocos contrarios/A^B = B?íA
\/(2) Obsérvese que la ley involutiva sólo vale para la ne
gación.—B —Arecíprocos—A —B
- 101- 100 -
i
vmSegún definimos, un razonamiento es válido si, y sólo si, supuestas ciertas las premisas, la conclusión también lo ello equivalo a decir que es tautológico el condicional formado por la conjunción de las premisas como antecedente y la conclusión como consecuente.
Con el objeto de una utilización posterior damos a continuación una lista de formas de razonamiento:
maracerca de la validez de los teoremas recíproco y contrario, que dependerá del caso especial que se analice.
! €■ • ■ ■■ * • .■ .•
V-es;
flH: x es positivo {x > 0)T: x5 es positivo
o) T. directo; Si x es positivo, x5 es positivo.b) T, recíproco: Si x= es positivo, x es positivo.c) T. contrario: Si x no es positivo, x5 no es positivo.d) T. contrarrecíproco: Si x5 no es positivo, x no es
positivo.Los casos a) y d) (controrrecíprocos) son en realidad distintas formulaciones del mismo teorema; ambos afirmaciones son verdaderas. En los casos b) y c), cualquier valor de x negativo es contraejemplo; por lo tanto estas últimas afirmaciones son falsas aun cuando anda podemos afirmar respecto de su validez para algún x.
E¡.:j
! i
IVIModus ponens: A -*■ B
A i:B
&o, de otra manera:Como la validez col teorema directo
no permite afirmar la validez del recíproco, ni su falsedad, debe tenerse especial cuidado al utilizar el método de “demostración por reducción" (generalmente llamado método analítico) y según el cual supuesto cierto lo que debe demostrarse, se deducen consecuencias cuya verdad se conoce; en este caso siempre debe verificarse que la inversión del razonamiento también es válida.
Nótese además que la equivalencia entre teoremas contranecíprocos justifica el méiodo de “demostración por el absurdo", según el cual de la negación de la tesis se llega a la negación de la hipótesis.
Debe tenerse también en cuenta que si. dos proposiciones son equivalentes, no lo son necesariamente sus respectivas recíprocas.
(A"+B)AA => B
Modus tolens: A -*■ B
Curso de verano en San Luis—B
—A mente al estudio) este curso fue una agradable y provechosa experiencia, sobre todo por permitirnos confrontar nuestros puntos de vista sobre la enseñanza de la materia con colegas de otras provincias, cotejo fructífero especialmente para los de las ciudades chicas, a los que rara vez se nos presenta oportunidad de hacerlo. La convivencia de alumnos y profesores en el Hotel de Turismo, facilitó el contacto recíproco y prolongó la clase formal más allá del aula y del horario establecido.
Paso ahora a señalar los aspectos que a juicio de la mayoría de nosotros fueron puntos débiles del curso y pueden ser mejorados. En primer termino, el tiempo resultó escaso para un aprovechamiento integral de los cursos desarrollados, situación agravada para muchos que al dispersarnos perdimos la posibilidad de consultar y aclarar dudas; este misma falta de tiempo no permitió aprovechar debidamente l:s apuntes que los profesores se tomaron el trabajo de redactar. Además, se. advirtió la conveniencia de que los profesores encargados de los cursos, conozcan lo que atañe a su enseñanza en el nivel secundarlo: en general, nos faltó la orientación fundamental de cómo encarar nuestra labor en la aplicación de los nuevos programas, lo que contribuyó a mantener las dudas que a muchos nos embargan sobre
Organizado por el Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, se llevó a cabo en la ciudad de San Luis, entre el 6 y el 30 de enero, un curso de perfeccionamiento para profesores de matemática, en prosecución de la campaña tendiente a crear en los docentes secundarios la conciencia de la necesidad •de reformar ios programas de esa asignatura, incorporando conocimientos que ha hecho necesarios el estado actual de la técnica y la cultura y eliminando otros que por análogos motivos no deben figurar en ellos.
Se dictaron cursos de geometría (Ing. Roberto Ovejero, Salta), álgebra (Dr. Enzo Gen- tile y Lie. Lucrecia Iglesias, Buenos Aires), probabilidades (Prof. Hugo H. Torriani, La Plata) y análisis (Dr. Félix Herrera, Tucumán); en todos ellos se procuró desarrollar los temas de los programas propuestos para la escuela secundarla por la Subcomisión Argentina de la C.LE.M. Las clases se dictaron en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Cuyo.
Entre los participantes —cerca de cincuenta incluidos los oyentes— se estableció, casi desde •el primer momento, una típica camaradería estudianti>, con sus rasgos más simpáticos: Ja casi comunidad de elementos de trabajo, la anulación poco menos que total de las barreras de edad y procedencia, la participación cordial•en reuniones y pasees.
A pesar del trabajo abrumador, con seis horas diarias de clase —¡y las horas fueron de sesenta minutos!— y las tareas adicionales de preparación de ejercicios y redacción de apuntes (estos últimos aún continúan en nuestros hogares, pues no fue posible terminarlos en San Luis), que llegó hasta limitarnos las horas de sueño, para muchos de nosotros (mujeres y hombres con familia y otras obligaciones, que desde nuestra época estudiantil no habíamos dispuesto de un mes para dedicarlo íntegra-
!o, de otra manera: i
í(A - B); —B A —A
Silogismo hipotético:
A->B;B-C .*. A-C
Silogismo disjuntivo: A V B; —A .’. B- Simplificación A A B A Conjunción; A; B .'. A A B Disjunción: A A V B
I
Fi) A - C B - C
F',) A - C —A-C
AVB-C CA -*■—A A - (B A —B)Ej.: P -+ (Q -> R) == (P A Q) R
pero (Q —♦ R) —► P ^ R —♦ (P A Q) Fo) F.,)—A —A
Por lo tanto, haciendo cambios »an el enunciado de un teorema, que no afecten a su validez, puede alterarse el grado de validez que correspondo a sus recíprocos.
(AA-B)-B A -*■ B; —A CF,) Fa)
—(A A —B) B VC
Recordando la definición del condicional, es inmediato que F.j) da un método- para demostrar que A B. (En realidad es un caso de demostración por reducción al absurdo).
Aplicando estas formas de razonamiento puede comprobarse la validez de los razonamientos de la página 99.
(Continúa en la pág. 105)?
I el éxito de nuestra tarea.En conclusión, entiendo —y creo concordar
con la mayoría de los colegas que fuimos dispuestos a trabajar— que el saldo del curso es netamente positivo y es una lástima que no se puedan realizar otros similares con mayor frecuencia, para permitir a un mayor número de docentes actualizar sus conocimientos y compenetrarse de los alcances de la proyectada refor-
FORMAS VALIDAS DE RAZONAMIENTO
Diremos “forma válida de razonamiento a un esquema de razonamiento que sea válido (correcto) independiente- men'.o de la interpretación que se le asigne a las proposiciones que lo componen.
ma.Prof. Eusebio Sastre
Paso de los Libres (Corrientes)
- 103 -- 102 -
I
ien la deducción ¿*el teorema de Bayes para pasar al estudio de procesos esto- cásticos y del caso particular de los ensayos repetidos con los cuales llegan a la ley de los grandes números y a la idea de desvío "standard"; los 'ensayos repetidos con más de dos probabilidades en cada uno, el concepto de valor esperado y nociones sobre cadenas de Markov terminan es te notable capítulo cuarto, quizá el más importante del libro. El quinto, se dedica a las matrices; para mostrar la importancia práctica del trabajo con ellas, se introducen las nociones de vector fila y vector columna y se muestra la necesidad de construir su producto, para resolver, por ejemplo, ciertos problemas de costos. Se generaliza el concepto de matriz y se establecen en ciertas condiciones sus productos por vectores y la suma y producto de matrices. Se estudian luego sistemas de ecuaciones lineales y su solución por 'el método de reducción; el concepto de matriz inversa, cuya existencia para matrices regulares se prueba únicamente para las de orden 2X2 enunciándose en. el caso general, y las aplicaciones a cadenas de Markov iniciadas en el capítulo anterior. El capítulo concluye con funciones lineales y transformaciones y el análisis de los grupos y subgrupos que se forman con matrices de permutación.
El penúltimo capítulo expone elementos de programación lineal y teoría de
juegos; en el primer caso se demuestra que una función lineal definida sobre un polígono convexo tiene sus extremos en vértices del mismo y se resuelven problemas de dos variables usando representaciones planas. En cuanto a juegos, se consideran los de matriz 2 X 2 y luego los de matriz m X n; se pasa, por último, a los d*e matrices 2 X n y m X 2 para mostrar la determinación del valor y las estrategias óptimas en los juegos 2X2 derivados de ellos.
Las aplicaciones más interesantes, pues muestran la creciente importancia de la matemática en los campos más diversos y aparentemente alejados de ella, ocupan el último capítulo; se refieren al uso de matrices de dominancia y a la determinación de poderes individuales en sociometría; al uso de matrices para red-es de comunicación; se señala la importancia de la teoría de las probabilidades y en especial de las cadenas de Markov en genéiica y en probtemas de comportamiento por aprendizaje en animales, y de las matrices y vectores en problemas de expansión y equilibrio económico.
La presentación del libro -es muy buena; sólo se pueden lamentar algunos errores de imprenta fácilmente subsanables.
El lector interesado en los aspectos d*e la matemática moderna aplicables en la escuela secundaria encontrará en este libro un valiosísimo auxiliar para sus tareas docentes.
•'’■
:
:
J. G. KEMENY, J. L. SNELL y G. L. THOMPSON. Introducción a las matemáticas finitas. Ed. Continental; México, 1962.
permitido profundizar los temas en la mayor de lo que hubiera sido posible en caso contrario" y obtener simplicidad mayor que incluyendo tiones vinculadas con procesos infinitos.
En el primer capítulo se encara el álgebra de proposiciones; comienza fizando los conectivos más comunes y sus tablas de verdad; luego se consideran las relaciones lógicas, especialmente las de aplicación usual en los razonamientos matemáticos, es decir, la implicación y sus variantes, y el método de demostración por el absurdo; se termina con su empleo en el estudio de circuitos simples. El segundo capítulo está dedicado al álgebra de conjuntos y sus relaciones con -el álgebra de proposiciones y con el álgebra de las clases residuales, módulo 2, analizando para éstas todas las posibles tablas de suma, una de las cuales lleva, además, a la idea del sistema binario de numeración. En 'el tercero, se consideran las particiones de un conjunto y problemas de conteo, es decir, de determinación del número de •elementos de un conjunto o de cualquiera de sus subconjuntos; se estudian las permutaciones simples o con repetición de n elementos, estas últimas vinculadas a los problemas de particiones ordenadas, y se llega naturalm-ente al estudio de los números aplicaciones de polinomios.
Los conceptos estudiados hasta aquí permiten a los autores fundamentar con toda sencillez la idea de medida d-3 probabilidad y sus propiedades, de las que deducen elegantemente los resultados fundamentales de la teoría de las probabilidades, se detienen en algunos -ejemplos en los que la intuición sugiere resultados muy alejados de la realidad y
•esca- -
unacues-
ana- IEste libro data de 1957; desde entonces se menciona en casi todas las bibliografías de obras de actualización de conceptos matemáticos y sus aplicacio-
Fue recomendado por la C I.E.M, para su traducción a otros idiomas; la edición en español es la que comentamos.
nesI
iSu éxito proviene de la selección de
los temas, de la elegancia con que son presentados y d*e la gran cantidad de ejemplos y aplicaciones claras, interesantes y, en general, novedosas de las cuestiones que trata. Si se comparte la opinión de que la matemática »es totalmente entendida sólo cuando se trabaja sobre ella y con ella, es decir, si se acepta que no basta conocer los aspectos teóricos d*e una cuestión, sino que es indispensable trasladarlos a sus aplicaciones prácticas, la lectura de este libro —mejor dicho, el trabajo rial— ha de cada tema
í
t> €> e
con su mate- ser muy provechoso LIBROS RECIBIDOSpues
se presenta con numerosos ejemplos de aplicación y es seguido por una serie de ejercicios y problemas que el lector debe resolver y que complementan magníficamente la teoría. Corresponde asimismo destacar la unidad de la exposición: los temas de sus diversos capítulos se relacionan naturalmente mediante ejemplos y aclaraciones oportunas; en particular los cinco primeros componen "una unidad natural", como lo señalan en el prólogo los autores.
Una característica especial sólo se
ESPASA-CALPE; Madrid, 1963.L. DE BROGLIE: Por los senderos de la ciencia.E. E\ SABBATIELLO: Números en color en el jardín de infantes (Guía didáctica de actividades).
CULTURAL ARGENTINA; Bs. As., 1963.
combinatorios y sus para determinar potencias
yendo la correspondiente T. V. de V., resulta:
(Viene de la página 102)
Demostraremos una sola de ellas y dejaremos la demostración de las restantes a cargo del lector.
Por ejemplo, para demostrar la forma "Modus ponens": A A (A-*B)=>B basta verificar que es tautológico el condicional A A (A -*■ B) -*• B. En efecto, constru-
A B AH3 AA(A-B) [AA(A-B)] -BV V V V VF V V F V
F VV F Fes
tratan procesos finitos “lo queha FF F V V{Continuará)
- 104 - - 105 -
;
'■
'
operaciones y relacionas. (El profesor demostrará algunas y los alumnos otras, como ejercicios, sin perder tiempo las triviales).
Propiedades típicas para demostrar: 0 C A, ^ A) = A, leyes de De Morgan, distributividad. Uso de paréntesis.
con los natural-as. Los conjuntos finitos no son coordinables con sus partes propias; los infinitos, sí.
Operaciones entre naturales; suma, multiplicación, potenciación. Sus propiedades (algunas demostraciones tipo a cargo del profesor y otras como problemas; destacar el uso sistemático de la inducción, innecesario en el caso finito). Cambios de base de numeración.
VI. — Combinatoria. Variaciones, permutaciones y combinaciones; deducción de las fórmulas básicas. Triángulo de Pascal.' Binomio de Newton.
VII. — Números enteros: Definidos rigurosamente por pares de naturales o un natural y un signo. Demostrar que extienden a los naturales (destacar el concepto de subestructura).
Demostrar que la resta es posible. Llamar la atención sobre la regla de los signos.
Función módulo; uso y propiedades: |ab| = [a| . |b|; ¡a + b| < |a| + |b|
VIII. — Números racionales: Definidos por pares de enteros y una equivalencia Extienden a los enteros. La división es posible, salvo por cero.
La ecuación a + bx = c Manejo de fórmulas, pasaje de un miembro a otro, paréntesis.
Propiedades de las operaciones. Potencias de exponentes negativos. Expresión decimal de los racionales; períodos. Idem binaria. Los racionales son numerables.
Orden usual de los racionales. Entre dos racionales, siempre hay otro.
6. En Catamarca se ha constituido en junio ppdo. el Centro de Profesores de Matemática, con cade en Sarmiento 781, de esa ciudad.
7. En la Facultad de Ciencias de B. Aires se está dictando entre el 3 y el 29 de febrero, un curso de perfeccionamiento para profesores de matemática, organizado por el Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, similar al desarrollado en San Luis en el mes de enero y dedicado a docentes de la Capital Federal y sus alrededores. Las clases están a cargo de los profesores Raúl Chiappa (Geometría), Norberto Fava (Algebra), Enzo Gentile (Algebra) y Carlos Segovia (Análisis y Probabilidades y Estadística).
Noticias con
III. — Relaciones y funciones: Relaciones como propiedades con dos sujetos. Muchos ejemplos (e, <, C, =, etc.), en su mayoría de la vida cotidiana. Maneras de definir relaciones: a) coloquialmente, b) por tablas o enumeración explícita, c) por gráficos, d) por fórmulas o definiciones geométricas.
¿Qué es una relación de orden? Ejem-
1. En el curso de perfeccionamiento para profesores de matemática dictado en 1963 en la Escuela Normal N9 4, la Dra. Cora R. de Sadovsky desarrolló el siguiente programa: Álgebra de conjuntos. Relaciones, funciones y operaciones. Grupos, isomorfismos y homomorfismos Anillos, ideales. Espacios vectoriales. Transformaciones lineales, matrices, determinantes.
2. Para el curso de verano que comenzó a desarrollarse a principios de febrero en Lima (Perú) fueron seleccionados catorce profesores argentinos, la mitad de los cuales ejercen en escuelas del interior del país.
3. La CIEM (Comisión de Enseñanza de la IMU) está actualmente integrada por: A. Lichnerowicz (Francia) como presidente; S. Straszewicz (Polonia) y E. Moi- ca (EE. UU.) como vicepresidentes; A. De- lessert (Suiza) como secretario; Y. Akizuki (Japón), H. Behnke (Alemania), H. Freu- denthal (Holanda), A. Gloden (Luxembur- go), I. Karamata (Suiza), S. Bundgaard (Dinamarca), G. Choquet (Francia), O. Fortsman (Suecia), R. L. Jeffery (Canadá) y A. Kolmogorov (URSS) como vocales.
4. La Nuova Italia Editrice, de Florencia, nos ha remitido la caja 'Construyamos la geometría" basada en los métodos didácticos expuestos por la profesora Castelnuovo en sus difundidos textos. Contiene varillas articulables, sectores circulares y elásticos, con los cuales es posible realizar las experiencias indicadas en el folleto que la acompaña. Se trata de material individual destinado a los alumnos para el aprendizaje intuitivo de propiedades geométricas.
5. El programa de Álgebra propuesto para 2? año por la Subcomisión Argen-
tina de la C. I. E. M., que se desarrollará en 1964 en los cursos experimentales es el siguiente:
I —Necesidad del rigor y del simbolismo: Ejemplos de razonamientos falaces extraídos de la Geometría y la Aritmética (al nivel de 1er. año) y la vida cotidiana (analogía con los juegos) y contraejemplos de verdades "evidentes", para demostrar la necesidad de hacer las deducciones paso a paso, definir claramente los términos y explicitar totalmente las premisas.
Introducción de alguna terminologíaalusiva: proposición, tautología, __dicción, premisas, axiomas, términos definidos, modus ponens, etc.
Ejemplos de la necesidad de usar fórmulas "literales" (reconstrucción presim- blica de algún teorema de 1er. año). Rigor y simbolismo como características esenciales de la matemática actual.
¿Qué hace se usa esta ciencia?
píos.Funciones, correspondencias o transfor
maciones como caso especial de relaciones. Dominio, imagen, rango. Nomenclatura: f: A -*■ B, f (x) =' y, etc. Variables. Funciones constantes, identidad, etc. Funciones biunívocas y sobre. Composición de funciones, e/arcitación. Función inversa. Ecuaciones. Conjuntos coordinables. Otras relaciones de equivalencia. Número de funciones entre dos conjuntos finitos.
IV. — Operaciones binarias, como funciones de dos variables, dominio y rango coincidentes. Muchos ejemplos. Definición coloquial, por fórmulas, por matrices. Número de operaciones binarias en un conjunto finito. Conmutatividad, asociativi- dad, unidades, inversión, iferación. Ecuaciones.
Dos operaciones en un conjunto. Distributividad. Manejo de paréntesis.
V. — Número natural: Admitido como concepto primitivo, pero destacando sus propiedades esenciales; concepto de sucesor; primer elemento; inexistencia de último elemento. Inducción completa: "Si un conjunto contiene a 0 y con cada elemento a su sucesor, entonces contiene a todos los naturales". Justificación de fórmulas establecidas en capítulos anteriores.
Concepto de contar un conjunto finito como coordinación con un intervalo inicial de naturales. Dos conjuntos finitos son coordinables si, y sólo si, tienen igual número de elementos. Un conjunto infinito es el que tiene una parte coordinable
contra- tno-
matemático? ¿Para .quéun
II. — Conjuntos finitos: Conjunto, elemento y pertenencia serán términos ¿•afinidos. Muchos ejemplos, en su mayor parte no numéricos ni geométricos. Terminología y simbolismo: clase, familia, miembro, "está en", punto, s, 1 ! (R. Arg. e N. U.; a c A), A =Juan, SConjuntos
nc
f x|x.... i, •{ Pedro, iguales definidos:
maneras diferentes. Las propiedades y los conjuntos que definen. Conjuntos universal y vacío (0).
Parte
*de
o subconjunto, símbolo C; c no- es transitivo, paro C sí. A C A. Partes- propias. Número de partes de un conjunto finito. Unión, intersección, diferencia y complemento. Símbolos, representación gráfica. Correspondencia con "o", "y”> no * etc. Diversas propiedades de estas
- 106 - - 107 -
I
la Escuela Normal Superior "Garzón Aguila" de su dependencia. En dicho curso se trataron temas de Algebra Lineal, Probabilidades y Estadística, y se comentó el programa de Geometría In- tituitiva para 1er. año.
8. El Consejo de Enseñanza Media, Especial y Superior de la Provincia de Córdoba organizó un curso de perfeccionamiento para profesores de matemática, dictado durante el mes de febrero en
TEXTOS PRIMARIOS Y SECUNDARIOS
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Señalamos un error del número 3
Pídalos a su librero, o en la:Página 65, Miscelánea uAlgebra de Boole”, Linea 4, donde dice JS64 debe decir 4854.
EDITORIAL GUILLERMO KRAFT LTDA.Prof. Ivonne C. de Stoisa (San Martín, Mendoza): Le rogamos que aclare su consulta.
Prof. Mario M. Vázquez (• Adrogué): Recibimos su carta que publicaremos en breve. Buenos AiresT. E. 31-3411Reconquista 319
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GALILEO GALILEI (1564-1642)l
El 15 de febrero se cumplen cuatrocientos años del nacimiento de esta “figura cumbre del pensamiento modernoEn “II Saggialore”, su escrito polémico publicado en 1623, señaló la importancia del papel de la matemática en la elaboración de la ciencia natural con estas palabras: “La filosofía está escrita en este grandísimo libro constantemente abierto ante nuestros ojos (me refiero al universo), pero no se lo puede entender si antes no se comprende su lenguaje y se conocen los caracteres con que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin cuyo recurso no es posible a los humanos entender cosa alguna; sin ellos no es sino un vano deambular a través de laberinto
v.A Nuestros Lectores:
Acaba de aparecer "Álgebra para escuelas secundarias", Tomo I, Ma
temática Intuitiva, de Oscar Varsovsky, ajustado al programa propuesto
29 año, que se publica en este número de «ELEMENTOS, pág. 106-7,paraun oscuro
i- 108 -
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DINFIA¡
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v-r.'-iLector: V -
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ELEMENTOSPara que!
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Este complejo industrial de 250.000 m2 cubiertos se encuentra en los alrededores de la ciudad de Córdoba. Aquí trabajan 8.500 obreros utilizando casi 4.000 máquinas-herramientas.ESTO ES DINFIA, la empresa del Estado que creó la industria aeronáutica argentina; madre y promotora de las
‘ industrias del automotor y del tractor; fundadora, en fin, de la “Córdoba Industrial".Y ahora, también, se encuentra a la cabeza de la investigación y experien-
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ore
EN LA VANGUARDIA DE LAS INVESTIGACIONES Y DEL DESARROLLO INDUSTRIAL ARGENTINOS SE ENCUENTRA, SIEMPRE, DINFIA.
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