ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
12.1 NOCIONES BÁSICAS
Definición 72. Ángulo diedro.
Sean , distintos, , , , , .
Definimos el ángulo diedro que notamos a la figura .
Esto es . Ver figura 218.
Figura 218
Notas:
Dado el ángulo diedro designaremos los siguientes términos:
se denomina arista del ángulo diedro.
y se llaman las caras del ángulo diedro, o también, lados del
ángulo diedro.
Si y , entonces, y se
denominan ángulos diedros opuestos por la arista.
1 21 2 AB 1P P AB 2Q Q AB
QABP : : AB AB
P Q AB
ABQPQABPABAB
::21
QABP
AB
PAB
:1
QAB
:2
PPAB
:~´1
QQAB
:~´2
QABP ´´ QABP
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
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Definición 73. Ángulo rectilíneo asociado al ángulo diedro.
Sean un ángulo diedro, , , , ,
.
Definimos como el ángulo rectilíneo asociado al ángulo diedro . Ver
figura 219.
Figura 219
Definición 74. Medida de un ángulo diedro.
La medida de un ángulo diedro es igual a la medida del ángulo rectilíneo asociado. En este
sentido hablaremos de ángulos diedros agudos, rectos, obtusos.
Nota:
Diremos que dos planos son perpendiculares si sus ángulos diedros determinados al
intersectarse son rectos.
QABP O AB OK AB1OK OW AB
2OW
ˆKOW QABP
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Definición 75. Ángulo poliedro convexo.
Sean , ,…., tales que 3 cualesquiera de ellas no sean coplanarias y todas
distintas.
Definimos como ángulo poliedro convexo que notamos a la figura
.
Esto es . Ver figura 220.
Figura 220
Notas:
Dado el ángulo poliedro convexo designaremos los siguientes términos:
O se llama vértice del ángulo poliedro convexo
, ,…., se llaman aristas del ángulo poliedro convexo.
, , …….., son las caras del ángulo poliedro convexo.
Puede concluirse a partir de las condiciones de la definición, que dada una cara cualquiera
del ángulo poliedro convexo, todos los puntos de la figura siempre están contenidas en el
mismo semiespacio con respecto al plano de la cara.
1OA 2OA nOA
1 2.... nO A A A
1 2 .... nOA OA OA O
1 2.... nO A A A 1 2 .... nOA OA OA O
1 2.... nO A A A
1OA 2OA nOA
1 2, ,O A A 2 3, ,O A A 1, ,nO A AMate
rial e
duca
tivo
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Definición 76. Sección plana de un ángulo poliedro convexo.
Sean un ángulo poliedro convexo, un plano que intercepta a cada una de
las aristas del ángulo poliedro así: , , …….,
entonces el polígono lo designamos como una sección plana del ángulo poliedro
convexo en el plano . Ver figura 221.
Figura 221
Definición 77. Ángulos diedros de un ángulo poliedro convexo.
Designamos de esta forma cada uno de los ángulos diedros con arista en cada una de las
aristas del ángulos poliedro convexo. Los notaremos mediante los dos puntos que indican sus
aristas. Así en la figura 222 designaremos los tres ángulos diedros del ángulo poliedro
convexo como el diedro OA, el diedro OB, el diedro OC.
1 2.... nO A A A
1 1 OA A 2 2
OA A n nOA A
1 2 ....... nA A A
1 2.... nO A A A
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Figura 222
Definición 78. Ángulo triedro.
Designamos de esta forma el ángulo poliedro determinado por tres semirrectas. Ver figura
223.
Notas:
Un ángulo triedro que tiene un ángulo diedro recto se denomina ángulo triedro
rectángulo.
Un ángulo triedro que tiene dos ángulos diedros rectos se denomina ángulo triedro
birrectángulo
Un ángulo triedro que tiene tres ángulos diedros rectos se denomina ángulo triedro
trirrectángulo. En la figura 223 se indica un ángulo triedro trirrectángulo.
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Figura 223
Definición 79. Poliedro convexo.
Designamos de esta forma a la figura determinada por la unión de un número finito de
polígonos convexos que satisface estas tres condiciones:
1. Cada lado del polígono es exactamente el lado de otro polígono
2. La intersección de dos polígonos cualesquiera es el conjunto vacío, un punto o un lado.
3. Toda la figura está contenida en el mismo subespacio con relación a cada plano que
contiene a cada polígono
En la figura 224 se ilustran algunos poliedros convexos.
Figura 224
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Notas:
Dado un poliedro convexo destacamos los siguientes elementos:
Caras del poliedro son los polígonos que los determinan
Aristas del poliedro son los lados de las caras, es decir los lados del polígono
Vértices del poliedro son los puntos de intersección de tres o más caras del poliedro
Ángulos del poliedro son los ángulos poliedros convexos, con vértice en cada uno de
los vértices del poliedro
Diagonales del poliedro son los segmentos determinados por dos vértices
cualesquiera no contenidos en la misma cara
Área del poliedro es la suma de las áreas de todas las caras del poliedro
Convención. Designamos a un poliedro por medio de sus vértices. Así en la figura 224
tenemos: el poliedro , poliedro , poliedro .
Definición 80. Poliedro convexo regular.
Un poliedro convexo es regular si sus caras son polígonos regulares congruentes y sus
ángulos tienen el mismo número de caras.
Notas:
La definición anterior es equivalente a la siguiente proposición: “Un poliedro convexo
es regular si todas sus caras son polígonos regulares congruentes y todos sus ángulos
poliedros convexos son congruentes”
Existen únicamente cinco poliedros convexos regulares cuyos nombres indican el
número de sus caras respectivas así: Ver figuras 225.
1 2 3 4A A A A 1 2 3 4 5 6 7 8B B B B B B B B 1 2 10.....C C C
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Número de caras Polígono asociado a la cara Nombre
4 Triángulo equilátero Tetraedro
6 Cuadrado Hexaedro
8 Triángulo equilátero Octaedro
12 Pentágono regular Dodecaedro
20 Triángulo equilátero Icosaedro
a.
b.
Materia
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cativ
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comerc
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c.
d.
e.
Figura 225
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cativ
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PROBLEMA
Demuestre que no existe otro poliedro convexo regular distinto a los enunciados.
Definición 81. Poliedros convexos Arquimedianos.
Designamos de esta manera a todos los poliedros convexos cuyas caras son polígonos
regulares y todos sus ángulos poliedros son congruentes.
Notas:
Se concluye de las dos últimas definiciones que todo poliedro convexo regular es un
poliedro convexo Arquimediano, pero su recíproco no es verdadero.
Los poliedros Arquimedianos son en total 13.
PROBLEMA
Consulte las características y los nombres de los ochos poliedros convexos Arquimedianos
restantes.
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