VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
M.Sc. Cristina Navarro FloresMg. William Carlos Echegaray Castilo
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
Las losas son elementos estructurales horizontales
cuyas dimensiones en planta son relativamente
grandes en comparacin con su altura donde las
cargas son perpendiculares a su plano, se emplean
para proporcionar superficies planas y tiles.
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
Se postula que mediante un algoritmo multimalla para
resolver numricamente un sistema lineal de
ecuaciones, obtenida con el elemento finito HCT se
puede conseguir buenos resultados de los
desplazamientos en la losa de concreto armado.
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
Espacio
Se define
Con producto interno y norma, respectivamente:
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
Espacio de Sobolev
Se define como
Donde
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
Las multimallas, son mtodos numricos para
sistemas lineales no densas y de un nmero de
condicin muy alto (sistemas inestables). Ellas
consisten en disminuir el error global en la malla que
se encuentre, estos errores globales presentan dos
componentes de alta y baja frecuencia (vistos en
espacios de Fourier).
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
Para reducirlos, se usa:
Proceso de relajacin, para reducir las
componentes de alta frecuencia y sucede en el
nivel de malla superior (malla fina).
Correccin en las mallas ms inferior (malla
gruesa), para reducir las componentes de baja
frecuencia. Ver (Ref.1), (Ref.2)
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
Fig.(1)
Fig.(2)
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
Los mtodos multimallas son de dos tipos:
Geomtricas, si el nmero de nudos interiores de
la malla coinciden con el orden del sistema lineal a
resolver.
Algebraicas, si no se tiene informacin de la malla
en el sistema lineal a resolver, o no se da el caso
anterior.
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
Definicin (Nmero de contraccin)
Sea el sistema a resolver y
el resultado de usar un mtodo multimalla, con vector
inicial para las iteraciones, los pasos
pre-suaves y pos-suaves de la multimalla, se define:
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
Teora Aditiva de las Multimallas
Se identifica los operadores:
Identidad
Relajacin , definido por
Restriccin
Interpolacin
Desarrollada en (Ref.4).
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
Sea el tringulo K de vrtices a1, a2 y a3 con centro
de gravedad a, y adems, sean los puntos
donde recaen las alturas. El tringulo K se divide en
tres tringulos como se observa en la figura:
Fig.(3)
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
Donde:
Su desarrollo se expresa en coordenadas de rea:
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
Polinomio de Forma
Para cada subtringulo se tiene 12 funciones de forma,
que se denotan como:
Donde:
,,
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
Fig.(4) Doce funciones de forma para
K1
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
Fig.(5) Dos funciones de forma para el subtringulo K2
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
Fig.(6) Dos funciones de forma para el subtringulo K3
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
,
La aplicacin se realizar en una losa delgada de
material elstico homogneo e istropo.
Donde: E: Modulo de Young : Coeficiente de Poisson e: Espesor de la losa f: Fuerza uniformemente distribuida a la losa u: Desplazamiento vertical del plano medio de la losa
::
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
,
Cuya formulacin variacional es:
Donde:
::
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
,
::
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
,
::
0 5 10 15 20 250.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1Multimalla V-Ciclo simtrico
m : # de pasos pre suaves y pos suaves
Nro
. de
Con
tracc
in
k=2k=3k=4k=5
0 5 10 15 20 250.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1Multimalla W-Ciclo simtrico
m : # de pasos pre suaves y pos suaves
Nro
. de
Con
tracc
in
k=2k=3k=4k=5
0 5 10 15 20 25
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1Multimalla F-Ciclo simtrico
m : # de pasos pre suaves y pos suaves
Nro
. de
Con
tracc
in
k=2k=3k=4k=5
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
,
::
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
,
::
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
,
::
Con m=6 en la multimalla
Con m=20 en la multimalla
Fig.(8): Usando el V-Ciclo en el nivel k=5, con 648 elementos
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
,
::
Con m=6 en la multimalla
Con m=20 en la multimalla
Fig.(9): Usando el W-Ciclo en el nivel k=5, con 648 elementos
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
,
::
Con m=6 en la multimalla
Con m=20 en la multimalla
Fig.(10): Usando el F-Ciclo en el nivel k=5, con 648 elementos
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
,
::
Fig.(11): Asintocidad de las curvas de convergencia
Con m=6 en la multimalla
Con m=20 en la multimalla
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
,
::
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
,
::
El elemento finito HCT, por sus propiedades del operador de
interpolacin nodal, hace que sea apropiado para resolver
problemas de cuarto orden.
En los resultados numricos se verifica, la convergencia de
los mtodos multimalla V-Ciclo y F-Ciclo y que sus nmeros
de contraccin decrecen uniformemente como el nmero de
pasos suaves (m) aumenta, para cualquiera que sea el nivel
de malla.
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
,
::
Se sugiere usar como un suavizador en los algoritmos
multimalla, el mtodo de Relajacin de Richardson, por la
simplicidad de su algoritmo. Tambin puede usarse el
algoritmo de Jacobi (SORJacobi) con w = 2/3 como el
coeficiente de relajacin.
Los resultados de la deformada de la losa, va depender: De
un buen mallado del dominio, la eleccin de un buen mtodo
de relajacin para las multimallas y la cuadratura que se elija.
VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014
M.Sc. Cristina Navarro FloresMg. William Carlos Echegaray Castillo