LA ELIPSE Y
LA HIPÉRBOLA
EJERCICIOS RESUELTOS UNIDAD 14
Ejercicios Resueltos
OBJETIVO 1
OBJETIVO 2
OBJETIVO 3
Objetivo 1. Recordarás y aplicarás la definición de la elipse como un lugar geométrico y su ecuación en la forma
canónica y en la forma general.
1) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0, 3) y F’(0, –3), y cada uno de sus lados rectos igual a 9.Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal es el eje y. El centro se encuentra en el punto medio entre ellos: C(0, 0).
•La distancia c es:
•El lado recto es:
330 c2 2 2b a c
922 ab
,
92 2
a
bLR
•Sustituyendo:
•El valor negativo de a no se considera puesto que a es una longitud. Por tanto a = 6.
9
92 2
a
a
01892 2 aa 22
182499 2 a
4
159
4
144819
a 6
4
241 a
2
3
4
62 a
•La ecuación de la elipse es:
922 ab
279362 b
13627
22
yx
2) Los focos de una elipse son los puntos F(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de su eje menor es 8. Encuentra la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices y su excentricidad.•El eje focal es paralelo al eje y. •El centro tiene la misma abscisa que los focos: h = 3. La distancia entre los focos es: k = 2 + c = 2 + 3 = 5 → C(3, 5) 2b = 8 b = 4
8 23
2c
222 cba 259162 a
•Ecuación de la elipse:
•Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10); V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3, 0)
•Excentricidad:
1
25
5
16
3 22
yx
cea
5
3
3) Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (4, 0) es igual a la mitad de su distancia a la recta x – 16 = 0 e interpreta el resultado.
•Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0):
•Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x – 16 = 0:
1d 22 04 yx
2d 21
16
x
El lugar geométrico descrito es una elipse horizontal con centro en el origen, eje mayor igual a 2(8) = 16 y eje menor igual a
1 2
1
2d d 2 24x y 1
162x
2 22 14 16
4x y x
256324
1168 222 xxyxx
218 64
4x x
2 2348
4x y
2 23
14 48 48
x y 1
4864
22
yx
482
4) Un arco con forma de semi-elipse tiene una altura máxima de 45m y un claro de 150m. Encuentra la longitud de dos soportes verticales situados de manera que dividan en claro en tres espacios iguales. Si el eje x es la base del arco (el eje focal de
la elipse) y el origen es su punto medio, la ecuación es del tipo , con el
semieje mayor, a = 75 y el semieje menor, b = 45. Para que el claro se divida en tres partes iguales, la distancia de los soportes a cada vértice y entre ellos debe ser de 50m.
12
2
2
2
b
y
a
x
•La ecuación es:1
20255625
22
yx
Para determinar la altura de los soportes, se hace x = 25 en la ecuación y se despeja el valor de y:
Puesto que y es una longitud (la altura de los postes), se toma sólo la raíz positiva.
2 2251
5625 2025
y 1
20255625
625 2
y
120259
1 2
y
9
8
2025
2
y
18009
162002 y 230y
Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la definición de la hipérbola como un lugar geométrico y su ecuación
en la forma canónica.
1) Encuentra los elementos de la hipérbola 1
169
22
xy
92 a 2 16 a = 3; b = 4b 222 bac 251692 c
5 (la raíz negativa se descarta)c
Centro C(0, 0)
Eje focal El eje y
Vértices V(0, 3), V’(0, –3)
Focos F(0, 5), F’(0, –5)
Distancia focal 10
Longitud del eje transverso 6
Longitud del eje conjugado 8
Longitud de cada lado recto
Excentricidad
Asíntotas
a
b223
32
a
ce
5
3
xy4
3 xy
4
3
2)Encuentra la ecuación de la hipérbola horizontal que tiene su centro en (0, 0), su lado recto mide 6 unidades y su excentricidad es
72
226
bLR
a ab 32
2 2 7
2
c a bea a
4
72
22
a
ba 22 734 aaa
01247 22 aaa 0123 a 43
12a 162 a
12)4(32 b
11216
22
yx
12
2
2
2
b
y
a
x
3) Determina la ecuación de la hipérbola con C(0, 0), eje focal sobre el eje y, y que pasa por los puntos (4, 6) y (1, –3)
Hipérbola vertical:
Se sustituyen las coordenadas de los puntos por los que pasa:
12
2
2
2
b
x
a
y
2 2
2 2
(6) (4)1
a b 1
163622
ba
2222 1636 baab 2 2
2 2
( 3) (1)1
a b
1
1922
ba
22229 baab
Se despeja a2 en la segunda ecuación:
y se sustituye en la primera:
2222 9baba 222 91 bba
1
92
22
b
ba
22
2
2
22
1
9
1
91636 b
b
b
b
bb
1
9
1
1441392
4
2
222
b
b
b
bbb
4224 91443636 bbbb 010827 24 bb
Se resuelve para b y se sustituye para calcular a:
La ecuación de la hipérbola es:
10827 2 b
427
1082 b
5
36
14
)4(92
a
14
536
22
xy
4) Los vértices de una hipérbola son los puntos (–3, 2) y (–3, –2) y la longitud de su eje conjugado es 6. Encuentra la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.
V(–3, 2) y V’(–3, –2) → la hipérbola es vertical:
Centro de la hipérbola: h = –3,
1
2
2
2
2
b
hx
a
ky
2 2 42 ( 3,0)
2 2k C
Semieje transverso:
Eje conjugado 2b = 6 → semieje conjugado: b = 3
Ecuación de la hipérbola:
Focos:
Excentricidad:
a = 0 2 2
1
9
3
4
0 22
xy
2 2c a b 1394
13,3 13,3
2
13e
Objetivo 3. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una
elipse o de una hipérbola y las características de los coeficientes de una
ecuación de segundo grado que representa a una elipse o a una hipérbola.
1) Comprueba que el lugar geométrico de la ecuación es una elipse y encuentra las coordenadas del centro, de los vértices y focos.
A = 2, C = 4, 2 ≠ 4, ambos son positivos.D = 3, E = –12, F = 6;
la ecuación sí representa una elipse. Por los valores de A y de C, tiene su eje focal paralelo al eje x.
0612342 22 yxyx
2 2 4CD AE ACF 642412234 22
= 36 + 288 - 192 = 132 > 0
Por lo tanto:a2 = 4; a = 2; b2 = 2; b =
2bA 2aC hbD 22 kaE 22 222222 bakahbF
2
2 2 2c a b 2242 c
22b
Dh
3
4
22a
Ek
12 3
8 2
2
3,
4
3C
3 32,
4 2V
2
3,
4
5 11 3' ,
4 2V
3 32,
4 2F
3 3
' 2,2 2
F
2) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos (–2, 1) y (4, 5) es igual a 3
Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (–2, 1):
Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (4, 5):
El lugar geométrico es una hipérbola.
1
1m =
2
y
x
2
5m =
4
y
x
1 2
1 5m m = 3
2 4
y y
x x
3
842
552
2
xxx
yyy
82356 22 xxyy 029663 22 yxyx
3) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tal que el producto de las pendientes de las rectas que unen el punto P con los puntos fijos (3, –2) y (–2, 1) es igual a .
Pendiente de la recta que une a P con (3, –2):
Pendiente de la recta que une a P con (–2, 1):
Es una elipse.
1m 3
2
x
y
2m 2
1
x
y
1 2mm 62
1
3
2
x
y
x
y
66
22
2
xx
yy 662 22 xxyy
03866 22 yxyx
4) Encuentra todos los elemento de la elipse
•A = 2, C = 9, D = 0, E = 0, F = -18; 2 ≠ 9, ambos son positivos y C > A. La ecuación no tiene términos en x ni en y por lo que el centro está en el origen.
C(0, 0), V(3, 0), V’(-3, 0);
01892 22 yx
01892 22 yx
1892 22 yx
129
22
yx 7292 c
( 7,0)F '( 7,0)F
3
4LR
3
7e
2a = 6 2b = 2 2