ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
RESUMEN NO. 1: DEFINICIONES FUNDAMENTALES
Semestre 2019-A Departamento de Formación Básica
1. FUNCIONES
Dados A y B dos conjuntos, f es una función de A en B si:
• f ⊆ A × B;
• para todo x ∈ A , existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ f ;
• si (x, y) ∈ f y (x, z) ∈ f , entonces y = z.
Si f es una función de A en B, se escribirá f : A → B. Y, en lugar de (x, y) ∈ f , escribiremos
f (x) = y , ya que dado x, y es único.
DEFINICIÓN 1: FunciónDEFINICIÓN 1: Función
En otras palabras, una función f de A en B es una relación entre los elementos de A y B de modo
que a cada elemento de A, hay un único elemento en B que le corresponde a x en esta relación. A
ese elemento y se le llama imagen de x respecto de f y se le representa por f (x).
Dada una función f : A → B, el conjunto A se llama dominio de f y se le representa por dom f
.
DEFINICIÓN 2: DominioDEFINICIÓN 2: Dominio
Dada una función f : A → B, la imagen o el recorrido de f es el conjunto
f (x) : x ∈ A,
que se lo representa por img f o rec f .
DEFINICIÓN 3: Imagen o recorridoDEFINICIÓN 3: Imagen o recorrido
Se dice que una función de valor real f : I ⊆ R → R es continua por tramos en el intervalo
I = [a, b] si se verifican las siguientes condiciones:
• La función f está definida y es continua en todos, excepto un número finito de puntos
del intervalo [a, b].
• Los límites laterales:
f (x+0 ) = lımh→0+
f (x0 + h),
f (x−0 ) = lımh→0+
f (x0 − h),
DEFINICIÓN 4: Función continua por tramosDEFINICIÓN 4: Función continua por tramos
1
Departamento de Formación Básica Resumen No. 1: Definiciones Fundamentales
existen en cada punto x0 del intervalo [a, b].
La notación h → 0+ significa que h tiende a 0 sólo a través de valores positivos, y los límites
f (x+0 ) y f (x−0 ) son llamados límites por la derecha e izquierda, respectivamente. Cuando x0 es un
punto de continuidad de f , entonces
f (x+0 ) = f (x−0 ) = f (x0).
Un conjunto A ⊆ R es simétrico si para todo x ∈ A, se tiene que −x ∈ A.
DEFINICIÓN 5: Conjunto simétricoDEFINICIÓN 5: Conjunto simétrico
Una función f : A → R, con A un conjunto simétrico, es:
• par si para todo x ∈ A, f (x) = f (−x);
• impar si para todo x ∈ A, f (x) = − f (x).
DEFINICIÓN 6: Función par e imparDEFINICIÓN 6: Función par e impar
2. NÚMEROS COMPLEJOS
Si x y y son números reales, el par ordenado (x, y) (denotado por z = (x, y)) se llama númerocomplejo si la igualdad, adición y la multiplicación de pares están definidos de la siguiente
forma:
• Igualdad: Si (x, y) = (u, v) entonces x = u y y = v;
• Adición: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v);
• Multiplicación: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu);
para todo x, y, u, v ∈ R. Al conjunto de todos los números complejos se denota por C.
DEFINICIÓN 7: Número ComplejoDEFINICIÓN 7: Número Complejo
PROPOSICIÓN 1. Las operaciones de adición y multiplicación de números complejos satisfa-
cen las leyes conmutativa, asociativa y distributiva. Es decir:
• Ley conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, z1z2 = z2z1.
• Ley asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, z1(z2z3) = (z1z2)z3.
• Ley distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.
para todo z1, z2, z3 ∈ C. Además, los números complejos cuentan con neutro aditivo: (0, 0) y neu-
tro multiplicativo: (1, 0).
2 Dr. Esteban Guevara, PHD
Resumen No. 1: Definiciones Fundamentales Departamento de Formación Básica
El número complejo (0, 1) se llama unidad imaginaria y se denota por:
i = (0, 1).
La unidad imaginaria i tiene la propiedad i2 = −1.
DEFINICIÓN 8: Unidad imaginariaDEFINICIÓN 8: Unidad imaginaria
El número complejo z = (x, y) también se puede denotar por:
z = x + iy.
A x se le llama parte real y se denota Re z, mientras que a y se le llama parte imaginaria, y se
denota Im z.
El complejo conjugado de z = x + iy denotado por z se define como:
z = x − iy.
DEFINICIÓN 9: Complejo conjugadoDEFINICIÓN 9: Complejo conjugado
Es fácil demostrar que las partes real e imaginaria de z se pueden expresar como:
Re z =z + z
2, Im z =
z − z
2i.
Dado el número complejo z = (x, y), con (x, y) 6= (0, 0), sus componentes x y y pueden
expresarse en coordenadas polares como:
x = r cos θ, y = r sen θ.
El número positivo r se llama valor absoluto o módulo de z, (también denotado por |z|) y está
dado por:
r = |z| =√
x2 + y2.
θ es el argumento de z y se denota por arg z, es decir θ = arg z y se obtiene de tan θ = y/x. Por
tanto, z = x + iy toma la forma polar:
z = r(cos θ + i sen θ).
DEFINICIÓN 10: Forma polar de los números complejosDEFINICIÓN 10: Forma polar de los números complejos
Si z1 y z2 son dos números complejos, estos verifican la siguiente desigualdad llamada trian-gular:
|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|.
En general, para n numeros complejos, z1, z2, ..., zn con n ∈ Z+ se verifica la desigualdad:
|z1 + z2 + ... + zn| ≤ |z1|+ |z2|+ ... + |zn|.
DEFINICIÓN 11: Desigualdad triangularDEFINICIÓN 11: Desigualdad triangular
Dr. Esteban Guevara, PHD 3
Departamento de Formación Básica Resumen No. 1: Definiciones Fundamentales
Si z = x + iy es un número complejo, la función exponencial compleja ez se define por:
ez : C −→ C
z 7−→ ez = ex(cos y + i sen y).
DEFINICIÓN 12: Función exponencial complejaDEFINICIÓN 12: Función exponencial compleja
PROPOSICIÓN 2 (Fórmula de Euler). Para todo número real θ se cumple la siguiente relación:
eiθ = cos θ + i sen θ.
PROPOSICIÓN 3 (Teorema de Moivre). Para todo número real θ y para todo entero positivo n
se cumple la siguiente relación:
(cos θ + i sen θ)n = cos(nθ) + i sen(nθ).
PROPOSICIÓN 4. Todo número complejo z 6= 0 puede expresarse de la siguiente manera:
z = |z|eiθ ,
donde θ = arg z + 2nπ, y n ∈ Z+.
Para todo numero complejo z, las funciones seno y coseno se definen de la siguiente manera:
cos : C −→ C
z 7−→ cos (z) =eiz + e−iz
2
,
sen : C −→ C
z 7−→ sen (z) =eiz − e−iz
2i
.
DEFINICIÓN 13: Funciones seno y coseno complejasDEFINICIÓN 13: Funciones seno y coseno complejas
Para todo numero complejo z, las funciones seno y coseno hiperbólicos se definen de la si-
guiente manera:
cosh : C −→ C
z 7−→ cosh (z) =ez + e−z
2
,
sinh : C −→ C
z 7−→ sinh (z) =ez − e−z
2
.
DEFINICIÓN 14: Funciones hiperbólicas complejasDEFINICIÓN 14: Funciones hiperbólicas complejas
4 Dr. Esteban Guevara, PHD
Resumen No. 1: Definiciones Fundamentales Departamento de Formación Básica
3. SUCESIONES Y SERIES
Si a cada entero positivo n está asociado un número real o complejo xn, entonces se dice que
el conjunto ordenado
x1, x2, x3, ..., xn, ...,
define una sucesión infinita. Esta sucesión se denota indistintamente por:
xn, ó xn∞n=1
.
DEFINICIÓN 15: Sucesión infinitaDEFINICIÓN 15: Sucesión infinita
Una sucesión infinita es una función definida por:
xn : Z+ −→ C
n 7−→ xn
.
DEFINICIÓN 16: Función sucesión infinitaDEFINICIÓN 16: Función sucesión infinita
Una sucesión xn converge hacia el límite L si para cada número ǫ positivo, existe otro número
positivo N, tal que:
|xn − L| < ǫ,
para todo n ≥ N y n ∈ Z+ y se denota lımn→∞ xn = L o xn → L. Una sucesión que no
converge se llama divergente.
DEFINICIÓN 17: Sucesión convergenteDEFINICIÓN 17: Sucesión convergente
PROPOSICIÓN 5 (Límite algebraico de sucesiones). Si el lımn→∞ xn = a y el lımn→∞ yn = b,
con a, b ∈ R entonces:
• lımn→∞ cxn = ca para todo número c ∈ R
• lımn→∞(xn ± yn) = a + b
• lımn→∞(xnyn) = ab
• lımn→∞(xn/yn) = a/b con b 6= 0
• lımn→∞(xn ± iyn = a + ib
Una sucesión xn, con xn ∈ R, es:
• creciente si xn ≤ xn+1, para todo n ≥ 1;
DEFINICIÓN 18: Sucesiones monótonas de números realesDEFINICIÓN 18: Sucesiones monótonas de números reales
Dr. Esteban Guevara, PHD 5
Departamento de Formación Básica Resumen No. 1: Definiciones Fundamentales
• decreciente si xn ≥ xn+1, para todo n ≥ 1;
• monotona cuando es creciente o decreciente.
A una sucesión creciente se la denota por xn ր y una decreciente por xn ց.
Una sucesión xn, con xn ∈ R, es acotada si existe un número positivo M tal que |xn| ≤ M
para todo n ∈ Z+.
DEFINICIÓN 19: Sucesiones acotadasDEFINICIÓN 19: Sucesiones acotadas
PROPOSICIÓN 6. Una sucesión real y monótona converge si y solo si es acotada.
Una sucesión de sumas parciales denotada por sn se forma a partir de la sucesión xn, con
xn ∈ R, donde sn está definida por:
sn = x1 + x2 + x3 + ... + xn =n
∑k=1
xk.
para todo n ∈ Z+.
DEFINICIÓN 20: Sucesión de sumas parcialesDEFINICIÓN 20: Sucesión de sumas parciales
La sucesión de sumas parciales sn se llama serie infinita o simplemente serie, y se indica
por:∞
∑k=1
xk = x1 + x2 + x3 + ...
La serie ∑∞k=1 xk representa la sucesión sn.
DEFINICIÓN 21: Series infinitasDEFINICIÓN 21: Series infinitas
Se dice que la serie ∑∞k=1 xk converge si existe un número real S tal que:
lımn→∞
sn = S,
y en este caso se escribe:∞
∑k=1
xk = S.
Si la sucesión sn diverge, entonces la serie ∑∞k=1 xk diverge.
DEFINICIÓN 22: Series convergentesDEFINICIÓN 22: Series convergentes
! La suma S de une serie convergente no se obtiene a partir de la adición (ordinaria) de sus
términos, sino como el límite de una sucesión de sumas parciales.
6 Dr. Esteban Guevara, PHD
Resumen No. 1: Definiciones Fundamentales Departamento de Formación Básica
PROPOSICIÓN 7 (Linealidad de las series convergentes). Si ∑ xn y ∑ yn son dos series infini-
tas convergentes de términos complejos y, α y β son constantes complejas, entonces la serie
∑(αxn + βyn) también converge, y su suma viene dada por:
∞
∑n=1
(αxn + βyn) = α∞
∑n=1
xn + β∞
∑n=1
yn
Sean xn y yn dos sucesiones de números complejos tales que satisfacen la propiedad te-
lescópica:
xn = yn − yn+1,
para todo número n ∈ Z+. Entonces, la serie ∑ xn converge si y solo si la sucesión yn con-
verge, en cuyo caso tenemos:∞
∑n=1
xn = y1 − L,
donde L = lımn→∞ yn.
TEOREMA 8: Propiedad telescópicaTEOREMA 8: Propiedad telescópica
Sea x un número real fijo, se define como una serie geométrica a aquella serie que es generada
a partir de adiciones sucesivas de los términos de una progresión geométrica, es decir, aquella
que tiene la forma:∞
∑n=1
xn = 1 + x + x2 + ... + xn + ...
donde el enésimo término xn es la potencia enésima del número x.
DEFINICIÓN 23: Serie geométricaDEFINICIÓN 23: Serie geométrica
Si x es un número complejo con |x| < 1, la serie geométrica ∑∞n=1 xn converge y tiene suma
1/(1-x), es decir:∞
∑n=1
xn = 1 + x + x2 + ... + xn + ... =1
1 − x.
Si x ≥ 1, la serie diverge.
TEOREMA 9: Convergencia de series geométricasTEOREMA 9: Convergencia de series geométricas
Si la serie ∑∞n=1 xn converge, el término enésimo tiende a O, es decir:
lımn→∞
xn = 0.
Si el término enésimo no tiende a O, la serie es divergente.
DEFINICIÓN 24: Condición necesaria de convergencia de seriesDEFINICIÓN 24: Condición necesaria de convergencia de series
Dr. Esteban Guevara, PHD 7
Departamento de Formación Básica Resumen No. 1: Definiciones Fundamentales
Sean las series ∑∞n=1 xn y ∑
∞n=1 yn con xn ≥ 0 y yn ≥ 0. Si existe una constante positiva c tal
que:
xn ≤ cyn,
para todo n ∈ Z+, entonces la convergencia de la serie ∑∞n=1 yn garantiza la convergencia de
la serie ∑∞n=1 xn.
DEFINICIÓN 25: Criterio de comparaciónDEFINICIÓN 25: Criterio de comparación
Dos sucesiones xn y yn de números complejos son asintóticamente iguales si
lımn=∞
xn
yn= 1,
y se denota por:
xn ∼ yn,
para n → ∞.
DEFINICIÓN 26: Sucesiones asintóticamente igualesDEFINICIÓN 26: Sucesiones asintóticamente iguales
Si dos series ∑∞n=1 xn y ∑
∞n=1 yn cuyos elementos son positivos y asintótica ente iguales, o ambas
convergen o ambas divergen.
TEOREMA 10: Convergencia de series asintóticamente igualesTEOREMA 10: Convergencia de series asintóticamente iguales
Sea la función f : [1, ∞] → R+ decreciente. Para cada n ∈ Z+, sea:
sn =n
∑k=1
f (k)
y
tn =∫ n
1f (x)dx
entonces o ambas sucesiones sn y tn convergen o ambas divergen.
DEFINICIÓN 27: Criterio integral de convergenciaDEFINICIÓN 27: Criterio integral de convergencia
Dada una serie ∑∞n=1 xn de términos positivos tales que:
lımn→∞
xn+1
xn= L
• Si L < 1, la serie converge.
• Si L > 1, la serie diverge.
• Si L = 1, el criterio no decide.
DEFINICIÓN 28: Criterio del CocienteDEFINICIÓN 28: Criterio del Cociente
8 Dr. Esteban Guevara, PHD
Resumen No. 1: Definiciones Fundamentales Departamento de Formación Básica
Dada una serie ∑∞n=1 xn de términos positivos tales que:
lımn→∞
x1/nn = R
• Si R < 1, la serie converge.
• Si R > 1, la serie diverge.
• Si R = 1, el criterio no decide.
DEFINICIÓN 29: Criterio de la RaízDEFINICIÓN 29: Criterio de la Raíz
Una serie de la forma:
∞
∑n=1
an(x − xo)n = a1(x − xo) + a2(x − xo)
2 + ...
donde los números x, x0 y los coeficientes an son complejos, se llama serie de potencias de
(x − x0). Cada serie de potencias está asociada a un círculo de convergencia de centro x0 y
radio |x − x0|, tal que la serie converge para todo x interior al mismo, y diverge para todo x
exterior.
DEFINICIÓN 30: Series de PotenciasDEFINICIÓN 30: Series de Potencias
Dada una función f : C → C, infinitamente derivable en un intervalo abierto alrededor del
punto x0, la serie de potencias:∞
∑k=0
f (k)(x0)
k!(x − x0)
k
se llama serie de Taylor generada por f en x0. El término k representa la k-ésima derivada de
la función f . Una serie de McLaurin es una serie de Taylor con centro x0 = 0.
DEFINICIÓN 31: Series de Taylor y McLaurinDEFINICIÓN 31: Series de Taylor y McLaurin
CRÉDITOS
La presente hoja de resúmenes constituye una segunda versión revisada de la realizada durante
el periodo 2018-B por los miembros de la cátedra de Análisis de Fourier: Mat. Carlos Ajila, Mat.
Leonardo Montoya, Fis. Marcelo Arias, Fis. Anibal Cruz, Ing. Byron Montenegro y mi persona.
Dr. Esteban Guevara, PHD 9
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
RESUMEN NO. 2: SERIES DE FOURIER
Semestre 2019-A Departamento de Formación Básica
1. INTRODUCCIÓN
Una función f : I ⊆ R → R se dice periódica con periodo p > 0 si,
f (x + p) = f (x),
para todo x ∈ I.
DEFINICIÓN 1: Función periódicaDEFINICIÓN 1: Función periódica
Si p es el periodo de f , también lo es cualquier múltiplo entero de p, es decir:
f (x + np) = f (x),
para todo n ∈ Z+. El periodo más pequeño, es decir para n = 1, se llama fundamental.
Sean f y g dos funciones periódicas de periodo p > 0, el producto de estas funciones f g o
cualquier combinación lineal de ellas c1 f + c2g, donde c1, c2 ∈ R, es también una función
periódica de periodo p.
DEFINICIÓN 2: Producto de funciones periódicasDEFINICIÓN 2: Producto de funciones periódicas
Dadas dos funciones f y g de I ⊆ R en R, su producto interno se denota por ( f , g), y se define
como:
( f , g) =∫ b
af (x)g(x)dx,
para todo x ∈ I = [a, b].
DEFINICIÓN 3: Producto interno de funcionesDEFINICIÓN 3: Producto interno de funciones
Dos funciones f y g de I ⊆ R en R se dicen ortogonales en el intervalo I, si el producto interno
de f y g es cero, es decir si:
( f , g) =∫ b
af (x)g(x)dx = 0,
para todo x ∈ I = [a, b].
DEFINICIÓN 4: Funciones ortogonalesDEFINICIÓN 4: Funciones ortogonales
1
Departamento de Formación Básica Resumen No. 2: Series de Fourier
A un conjunto de funciones se le denomina mutuamente ortogonal, si cada diferente par de
funciones de ese conjunto son ortogonales entre sí.
DEFINICIÓN 5: Funciones mutuamente ortogonalesDEFINICIÓN 5: Funciones mutuamente ortogonales
Las funciones sen(mπx/L) y cos(mπx/L) constituyen una familia de funciones mutuamente
ortogonales sobre el intervalo [−L, L]. De hecho, estas satisfacen las siguientes relaciones de
ortogonalidad:
∫ L
−Lcos
(mπx
L
)
cos(nπx
L
)
dx =
L si m = n,
0 si m 6= n;∫ L
−Lcos
(mπx
L
)
sen(nπx
L
)
dx = 0 para todo m, n;
∫ L
−Lsen
(mπx
L
)
sen(nπx
L
)
dx =
L si m = n,
0 si m 6= n.
DEFINICIÓN 6: Ortogonalidad de las funciones seno y cosenoDEFINICIÓN 6: Ortogonalidad de las funciones seno y coseno
2. SERIES DE FOURIER
Supongamos que la serie de Fourier
a0
2+
∞
∑n=1
(
an cos(nπx
L
)
+ bn sen(nπx
L
))
converge y tiene suma f (x) para cada x en el intervalo [−L, L], es decir,
f (x) =a0
2+
∞
∑n=1
(
an cos(nπx
L
)
+ bn sen(nπx
L
))
, −L ≤ x ≤ L.
Entonces los coeficientes de Fourier an y bn están relacionados con la función f mediante las
siguientes fórmulas de Euler-Fourier:
an =1
L
∫ L
−Lf (x) cos
(nπx
L
)
dx, n = 0, 1, . . . ;
bn =1
L
∫ L
−Lf (x) sen
(nπx
L
)
dx, n = 1, 2, . . . .
DEFINICIÓN 7: Fórmulas de Euler - FourierDEFINICIÓN 7: Fórmulas de Euler - Fourier
Obviamente esto no es válido para toda función si no para las que cumplan las características del
siguiente teorema.
2 Dr. Esteban Guevara, PHD
Resumen No. 2: Series de Fourier Departamento de Formación Básica
Sea f : [−L, L] → R una función continua y periódica con periodo p = 2L. La expansión enseries de Fourier de f (x) está dada por:
f (x) =a0
2+
∞
∑m=1
(
am cos(mπx
L
)
+ bm sen(mπx
L
))
, −L ≤ x ≤ L,
donde m = 1, 2, ... y los coeficientes de Fourier a0, am y bm están dados por:
a0 =1
L
∫ L
−Lf (x) dx, am =
1
L
∫ L
−Lf (x) cos
(mπx
L
)
dx, bm =1
L
∫ L
−Lf (x) sen
(mπx
L
)
dx.
TEOREMA 1: Series de Fourier 1TEOREMA 1: Series de Fourier 1
Sea f una función continua por tramos definida en el intervalo [−L, L], tal que f ′ es también
continua por tramos en el mismo intervalo y f está definida fuera del intervalo de tal manera
que sea periódica con periodo 2L, entonces la expansión en serie de Fourier:
a0
2+
∞
∑m=1
(am cos(nπx
L
)
+ bm sen(nπx
L
)
)
converge a f (x) para todo x donde f es continua y converge a:
f (x+) + f (x−)
2
en todo x donde f no es continua.
TEOREMA 2: Convergencia de Series de FourierTEOREMA 2: Convergencia de Series de Fourier
3. CAMBIO DE INTERVALO
Sea f : [a, b] → R una función continua y periódica con periodo p = 2L = b − a. La expansiónen series de Fourier de f (x) está dada por:
f (x) =a0
2+
∞
∑m=1
(
am cos
(
2mπx
b − a
)
+ bm sen
(
2mπx
b − a
))
, a ≤ x ≤ b,
donde m = 1, 2, ... y los coeficientes de Fourier a0, am y bm están dados por:
a0 =2
b − a
∫ b
af (x) dx,
am =2
b − a
∫ b
af (x) cos
(
2mπx
b − a
)
dx,
bm =2
b − a
∫ b
af (x) sen
(
2mπx
b − a
)
dx.
TEOREMA 3: Series de Fourier 2TEOREMA 3: Series de Fourier 2
Dr. Esteban Guevara, PHD 3
Departamento de Formación Básica Resumen No. 2: Series de Fourier
4. SIMPLIFICACIONES: FUNCIONES PARES E IMPARES
Si f : [−L, L] → R es una función par, ( esto es, f (−x) = f (x) para todo x ∈ [−L, L]) su serie
de Fourier se reduce a una serie de cosenos, es decir:
f (x) =a0
2+
∞
∑m=1
am cos(mπx
L
)
, −L ≤ x ≤ L,
donde
am =2
L
∫ L
0f (x) cos
(mπx
L
)
dx, m = 0, 1, . . . .
TEOREMA 4: Serie de Fourier de cosenosTEOREMA 4: Serie de Fourier de cosenos
Si f : [−L, L] → R es una función impar, ( esto es, f (−x) = − f (x) para todo x ∈ [−L, L]) la
serie de Fourier se reduce a una serie de senos, es decir:
f (x) =∞
∑m=1
bm sen(mπx
L
)
, −L ≤ x ≤ L,
donde
bm =2
L
∫ L
0f (x) sen
(mπx
L
)
dx, m = 1, 2, . . . .
TEOREMA 5: Serie de Fourier de senosTEOREMA 5: Serie de Fourier de senos
5. EXPANSIÓN DE MEDIO RANGO
A partir de una función f : [0, L] → R (como se muestra en la figura)
es posible construir la extensión par de la función f es decir, fpar : [−L, L] → R que estaría definida
por:
fpar(x) =
f (x) si − L < x < 0
f (x) si 0 < x < L,
4 Dr. Esteban Guevara, PHD
Resumen No. 2: Series de Fourier Departamento de Formación Básica
Gráficamente esto se hace reflejando a la función con respecto del eje y.
Del mismo modo es posible construir la extensión impar de la función f es decir, fimpar : [−L, L] →
R definida por:
fimpar(x) =
f (x) si − L < x < 0
− f (x) si 0 < x < L,
Gráficamente esto se logra reflejando la función respecto al eje x y luego respecto al eje y.
6. PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE
Dadas las funciones y1, y2, · · · de I ⊆ R en R se dice que estas funciones son ortogonales en
el intervalo I con respecto a la función peso r > 0, si para todo m, n ∈ N con m 6= n se tiene:
(ym, yn) =∫ b
ar(x)ym(x)yn(x)dx = 0, m 6= n
DEFINICIÓN 8DEFINICIÓN 8
Dr. Esteban Guevara, PHD 5
Departamento de Formación Básica Resumen No. 2: Series de Fourier
para todo x ∈ I = [a, b]. La norma de la función ym se denota por ||ym||, y se define como:
||ym|| =√
(ym, ym) =
√
∫ b
ar(x)y2
m(x)dx.
Las funciones y1, y2, · · · de I ⊆ R en R se llaman ortonormales (con respecto a la función peso
r) si son ortogonales en I y si todas ellas tienen norma 1. Esto se puede representar a través de
la delta de Kronecker δm,n de la siguiente manera:
(ym, yn) =∫ b
ar(x)ym(x)yn(x)dx = δm,n =
1 if m = n
0 if m 6= n
para todo x ∈ I = [a, b]. Para el caso particular donde r(x) = 1 tenemos:
(ym, yn) =∫ b
aym(x)yn(x)dx = 0 m 6= n, ||ym|| =
√
(ym, yn) =
√
∫ b
ay2
m(x)dx.
DEFINICIÓN 9DEFINICIÓN 9
Ejemplo: Las funciones ym = sen(mx), m = 1, 2, · · · forman un conjunto ortogonal en el intervalo
−π ≤ x ≤ π, porque para m 6= n obtenemos por integración:
(ym, yn) =∫ π
−πsen(mx) sen(nx)dx =
1
2
∫ π
−π[cos((m − n)x)− cos((m + n)x)] dx
(ym, yn) =1
2
[
sen((m − n)x)
m − n−
sen((m + n)x)
m + n
]π
−π
= 0, m 6= n.
En la última expresión vemos claramente que los enteros m − n y m + n, permiten que las dos
integrales se anulen. Para la norma tenemos:
||ym||2 = (ym, yn) =
∫ π
−πsen2(mx)dx =
1
2
∫ π
−π(1 − cos(2mx))dx =
1
2
[
x −sen(mx)
2m
]π
−π
= π,
para todo m = 1, 2, · · · . En consecuencia, el conjunto ortonormal correspondiente, se obtiene de la
división de cada función para su respectiva norma:
sen(x)√
π,
sen(2x)√
π,
sen(3x)√
π, · · ·
El siguiente teorema demuestra que para cualquier problema de Sturm - Liouville, las funciones
propias asociadas son ortogonales. Es decir, en la práctica, si es posible formular un problema
tipo Sturm - Liouville, entonces este teorema nos garantiza la ortogonalidad de dichas funciones
propias.
6 Dr. Esteban Guevara, PHD
Resumen No. 2: Series de Fourier Departamento de Formación Básica
7. ORTOGONALIDAD DE LAS FUNCIONES PROPIAS PARA PROBLEMAS DE STURM -LIOUVILLE
Dadas las funciones p, r positivas y la función q real, la ecuación diferencial lineal de segundo
orden de la forma:
[p(x)y′]′ + [q(x) + λr(x)]y = 0
para todo x ∈ [a, b] con las condiciones:
k1y + k2y′ = 0 en x = a
l1y + l2y′ = 0 en x = b
con λ, k1, k2, l1, l2 ∈ R, se conoce como problema de Sturm - Liouville.
DEFINICIÓN 10: Ecuación de Sturm - LiouvilleDEFINICIÓN 10: Ecuación de Sturm - Liouville
Supongamos que las funciones p, q, r (con r(x) > 0) y p′ en la ecuación de Sturm - Liouville
son contínuas y de valores reales en el intervalo I ⊆ R para todo x ∈ I = [a, b]. Además, sean
ym(x) y yn(x) funciones propias del problema de Sturm - Liouville asociadas a los valores
propios λm y λn, respectivamente. Entonces ym(x) y yn(x) son ortogonales en ese intervalo
con respecto a la función peso r, esto es,
(ym, yn) =∫ b
ar(x)ym(x)yn(x)dx = 0 m 6= n.
TEOREMA 6TEOREMA 6
8. SERIES ORTOGONALES DE POLINOMIOS: SERIES DE FOURIER GENERALIZADAS
Sean y0, y1, y2, · · · funciones ortogonales con respecto a la función peso r(x) en un intervalo
a ≤ x ≤ b, y sea f (x) una función que puede representarse por medio de la serie convergente,
f (x) =∞
∑m=0
amym(x) = a0y0(x) + a1y1(x) + · · · (1)
a esta se le llama serie ortogonal, expansión ortogonal, o serie de Fourier generalizada. Si las
funciones ym son funciones propias del problema de Sturm - Liouville, entonces llamamos a
esta serie expansión en funciones propias.
DEFINICIÓN 11: Serie de Fourier generalizadaDEFINICIÓN 11: Serie de Fourier generalizada
Dada la función f (x), para determinar los coeficientes de Fourier am de f (x) con respecto a y0,
y1, · · · , multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por r(x)yn(x) para un n fijo, y luego
Dr. Esteban Guevara, PHD 7
Departamento de Formación Básica Resumen No. 2: Series de Fourier
integramos ambos lados con respecto a x ∈ [a, b], es decir:
( f , yn) =∫ b
ar f yndx =
∫ b
ar
(
∞
∑m=0
amym
)
yndx =∞
∑m=0
am
∫ b
arymyndx =
∞
∑m=0
am(ym, yn)
Debido a la ortogonalidad de las funciones, todas las integrales de la derecha son cero, excepto
para m = n. Entonces tenemos,
( f , yn) = an(yn, yn) = an||yn||2.
Si asumimos que todas las funciones ym tienen normas no nulas, entonces los coeficientes de Fou-
rier toman la forma:
am =( f , ym)
||ym||2=
1
||ym||2
∫ b
ar(x) f (x)ym(x)dx ∀m ∈ Z
+
CRÉDITOS
La presente hoja de resúmenes constituye una segunda versión revisada de la realizada durante
el periodo 2018-B por los miembros de la cátedra de Análisis de Fourier: Mat. Carlos Ajila, Mat.
Leonardo Montoya, Fis. Marcelo Arias, Fis. Anibal Cruz, Ing. Byron Montenegro y mi persona.
8 Dr. Esteban Guevara, PHD
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
RESUMEN NO. 3: INTEGRALES DE FOURIER
Semestre 2019-A Departamento de Formación Básica
1. INTEGRAL DE FOURIER
Una función f : R → R se dice absolutamente integrable si la integral de Riemann impropia
∫ ∞
−∞| f (x)| dx
es convergente.
DEFINICIÓN 1: Función absolutamente integrableDEFINICIÓN 1: Función absolutamente integrable
Sea f : R → R una función absolutamente integrable. Para cada w ≥ 0 se define:
A(w) =1
π
∫ ∞
−∞f (v) cos(wv) dv y B(w) =
1
π
∫ ∞
−∞f (v) sen(wv) dv.
A la expresión
f (x) =∫ ∞
0[A(w) cos(wx) + B(w) sen(wx)] dw
se la llama la representación de f (x) por una integral de Fourier, y a la integral que aparece
en esta expresión se la llama integral de Fourier.
DEFINICIÓN 2: Integral de FourierDEFINICIÓN 2: Integral de Fourier
!
La expresión
f (x) =∫ ∞
0[A(w) cos(wx) + B(w) sen(wx)] dw
en la definición anterior no debe entenderse como una igualdad. Se trata de un abuso de
lenguaje para indicar que
∫ ∞
0[A(w) cos(wx) + B(w) sen(wx)] dw
es la representación de f (x) por una integral de Fourier.
Sea f : R → R una función no necesariamente periódica y absolutamente integrable. La
representación en integral de Fourier de f (x) está dada por:
f (x) =∫ ∞
0[A(w) cos(wx) + B(w) sen(wx)] dw,
TEOREMA 1: Integral de FourierTEOREMA 1: Integral de Fourier
1
Departamento de Formación Básica Resumen No. 3: Integrales de Fourier
para cada w ≥ 0. Donde A(w) y B(w) están dados por:
A(w) =1
π
∫ ∞
−∞f (v) cos(wv) dv y B(w) =
1
π
∫ ∞
−∞f (v) sen(wv) dv.
Si f : R → R es una función absolutamente integrable continua por tramos en todo inter-
valo acotado y si f admite derivadas por izquierda y derecha en todo punto, entonces f (x)
admite una representación por una integral de Fourier para todo x ∈ R. La integral de Fourier
converge a f (x) en los puntos x ∈ R donde f es continua y hacia:
f (x+) + f (x−)
2
en los puntos x ∈ R donde f es discontinua.
TEOREMA 2: Existencia (y convergencia) de la integral de FourierTEOREMA 2: Existencia (y convergencia) de la integral de Fourier
2. INTEGRALES FOURIER DE SENO Y COSENO
Cuando f : R → R es una función par que admite una representación por una integral de
Fourier, se tiene, para w ≥ 0, que
B(w) =1
π
∫ ∞
−∞f (v) sen(wv) dv = 0
y
A(w) =1
π
∫ ∞
−∞f (v) cos(wv) dv =
2
π
∫ ∞
0f (v) cos(wv) dv,
gracias a la imparidad y paridad, respectivamente, de los integrandos.
Si f : R → R es una función par absolutamente integrable y si para cada w ≥ 0,
A(w) =2
π
∫ ∞
0f (v) cos(wv) dv,
a la expresión
f (x) =∫ ∞
0A(w) cos(wx) dx
se la llama la representación de f (x) por una integral de Fourier de coseno y a la integral en
dicha expresión se la denomina integral de Fourier de coseno.
DEFINICIÓN 3: Integral de Fourier de CosenoDEFINICIÓN 3: Integral de Fourier de Coseno
Análogamente, si f : R → R es impar, para w ≥ 0 se tiene que
A(w) = 0 y B(w) =2
π
∫ ∞
0f (v) sen(vw) dv.
2 Dr. Esteban Guevara, PHD
Resumen No. 3: Integrales de Fourier Departamento de Formación Básica
Si f : R → R es una función impar absolutamente integrable y si para cada w ≥ 0,
B(w) =2
π
∫ ∞
0f (v) sen(wv) dv,
a la expresión
f (x) =∫ ∞
0B(w) sen(wx) dx
se la llama la representación de f (x) por una integral de Fourier de seno y a la integral en
dicha expresión se la denomina integral de Fourier de seno.
DEFINICIÓN 4: Integral de Fourier de SenoDEFINICIÓN 4: Integral de Fourier de Seno
CRÉDITOS
La presente hoja de resúmenes constituye una segunda versión revisada de la realizada durante
el periodo 2018-B por los miembros de la cátedra de Análisis de Fourier: Mat. Carlos Ajila, Mat.
Leonardo Montoya, Fis. Marcelo Arias, Fis. Anibal Cruz, Ing. Byron Montenegro y mi persona.
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ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
RESUMEN NO. 4: TRANSFORMADA DE FOURIER
Semestre 2019-A Departamento de Formación Básica
1. TRANSFORMADA DE FOURIER COSENO Y SENO
Dada la función f : I ⊆ R → R par, la transformada de Fourier coseno de f (x) se define por:
fc(w) =
√
2
π
∫ ∞
0f (x) cos(wx)dx
para todo x ∈ I ⊆ R y w ≥ 0. Por otro lado, la transformada de Fourier coseno inversa de
fc(w) se define por:
f (x) =
√
2
π
∫ ∞
0fc(w) cos(wx)dw
para todo x ∈ I ⊆ R y w ≥ 0.
DEFINICIÓN 1: Transformada de Fourier CosenoDEFINICIÓN 1: Transformada de Fourier Coseno
Dada la función f : I ⊆ R → R impar, la transformada de Fourier seno de f (x) se define por:
fs(w) =
√
2
π
∫ ∞
0f (x) sen(wx)dx
para todo x ∈ I ⊆ R y w ≥ 0. Por otro lado, la transformada de Fourier seno inversa de fs(w)
se define por:
f (x) =
√
2
π
∫ ∞
0fs(w) sen(wx)dw
para todo x ∈ I ⊆ R y w ≥ 0.
DEFINICIÓN 2: Transformada de Fourier SenoDEFINICIÓN 2: Transformada de Fourier Seno
Otras notaciones para las transformadas de seno y coseno son:
Fc( f ) = fc, Fs( f ) = fs,
y para sus inversas: F−1c y F−1
s .
Si f : I ⊆ R → R es una función absolutamente integrable sobre I y continua por partes sobre
cada intervalo acotado, entonces la transformada de Fourier de cosenos y senos de f existe.
TEOREMA 1: Existencia de la Transformada de Fourier de Cosenos y SenosTEOREMA 1: Existencia de la Transformada de Fourier de Cosenos y Senos
1
Departamento de Formación Básica Resumen No. 4: Transformada de Fourier
Si existe la transformada de Fourier de cosenos o senos para las funciones f : I ⊆ R → R y
g : I ⊆ R → R, también existe la transformada para cualquier combinación lineal de estas
funciones, es decir:
Fc(a f ± bg) = aFc( f )± bFc(g) y Fs(a f ± bg) = aFs( f )± bFs(g).
donde a, b ∈ R.
TEOREMA 2: LinealidadTEOREMA 2: Linealidad
En efecto, basta notar que:
Fc(a f ± bg)(w) =
√
2
π
∫ ∞
0[a f (x)± bg(x)] cos(wx) dx
= a
√
2
π
∫ ∞
0f (x) cos(wx) dx ± b
√
2
π
∫ ∞
0g(x) cos(wx) dx
= aFc( f )(w)± bFc( f )(w),
y de manera similar se prueba para la transformada de seno.
Sea f una función continua y absolutamente integrable tal que f ′ es continua por partes sobre
cualquier intervalo finito y tal que f (x) → 0 cuando x → ∞. Entonces:
a) Fc f ′(x) = wFs f (x) −
√
2
πf (0).
b) Fs f ′(x) = −wFc f (x).
c) Fc f ′′(x) = −w2Fc f (x) −
√
2
πf ′(0).
d) Fs f ′′(x) = −w2Fs f (x)+
√
2
πw f (0).
TEOREMA 3: Transformada de la Derivada de una FunciónTEOREMA 3: Transformada de la Derivada de una Función
Los literales c) y d) pueden demostrarse fácilmente a partir de Fc f ′′ una vez mostrado que f ′ y
f ′′ satisfacen los literales a) y b):
Fc f ′′(x) = wFs f ′(x) −
√
2
πf ′(0).
2 Dr. Esteban Guevara, PHD
Resumen No. 4: Transformada de Fourier Departamento de Formación Básica
2. TRANSFORMADA DE FOURIER
La representación en integral de Fourier de una función f : I ⊆ R → R puede expresarse
también por:
f (x) =1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞f (v)eiw(x−v) dv dw,
que es llamada la forma compleja de la integral de Fourier.
DEFINICIÓN 3: Forma Compleja de la Integral de FourierDEFINICIÓN 3: Forma Compleja de la Integral de Fourier
De hecho, si consideramos la integral de Fourier de f , está dada por:
f (x) =∫ ∞
0[A(w) cos(wx) + B(w) sen(wx)] dw,
donde:
A(w) =1
π
∫ ∞
−∞f (v) cos(wv) dv, B(w) =
1
π
∫ ∞
−∞f (v) cos(wv) dv.
Si substituimos los valores de A(w) y B(w) tenemos:
f (x) =1
π
∫ ∞
0
∫ ∞
−∞f (v)[cos(wv) cos(wx) + sen(wv) sen(wx)] dv dw
que puede escribirse como:
f (x) =1
π
∫ ∞
0
[
∫ ∞
−∞f (v) cos(wx − wu) dv
]
dw.
Notemos además que:
cos(wx − wu) = cos(wu − wx),
y que la integral entre corchetes es una función par de w por lo que tenemos:
f (x) =1
2π
∫ ∞
−∞
[
∫ ∞
−∞f (v) cos(wx − wu) dv
]
dw.
Por otro lado, como el sen(wx − wv) es una función impar de w tenemos que:
∫ ∞
−∞f (v) sen(wx − wu) dv
lo que implica que1
2π
∫ ∞
−∞
[
∫ ∞
−∞f (v) sen(wx − wu) dv
]
dw = 0.
Así, podemos expresar a f (x) como
f (x) =1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞[ f (v) cos(wx − wu) + i f (v) sen(wx − wu)] dv dw.
Finalmente, haciendo uso de la fórmula de Euler tenemos:
f (x) =1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞f (v)eiw(x−v) dv dw
Dr. Esteban Guevara, PHD 3
Departamento de Formación Básica Resumen No. 4: Transformada de Fourier
que es llamada la forma compleja de la integral de Fourier. Esta última expresión puede escribirse
como:
f (x) =1
√2π
∫ ∞
−∞
[
1√
2π
∫ ∞
−∞f (v)e−iwv dv
]
eiwx dw.
donde la expresión entre corchetes es una función de w que notaremos por f (w) y es llamada la
Transformada de Fourier de f .
La transformada de Fourier de la función f : I ⊆ R → R se define por:
f (w) =1
√2π
∫ ∞
−∞f (x)e−iwx dx.
y su inversa está dada por:
f (x) =1
√2π
∫ ∞
−∞f (w)eiwx dw.
DEFINICIÓN 4: Transformada de Fourier y Transformada de Fourier InversaDEFINICIÓN 4: Transformada de Fourier y Transformada de Fourier Inversa
Si f : I ⊆ R → R es absolutamente integrable y contínua a trozos en cada intervalo finito,
entonces la transformada de Fourier f (w) de f (x) existe.
TEOREMA 4: Existencia de la Transformada de FourierTEOREMA 4: Existencia de la Transformada de Fourier
Ejemplo 1.- Calcular la transformada de Fourier de la función definida por:
f (x) =
1 si |x| < 1
0 de otro modo
Solución: A partir de la definición de la transformada de Fourier tenemos para f (x) tenemos:
f (w) =1
√2π
∫ 1
−1e−iwxdx =
1√
2π
e−iwx
−iw
∣
∣
∣
∣
1
−1
=e−iw − eiw
−iw√
2π.
Teniendo en cuenta que eiw − e−iw = 2i sen w podemos reescribir la última ecuación como:
f (w) =−2i sen w
−iw√
2π=
√
2
π
sen w
w.
Ejemplo 2.- Calcular la transformada de Fourier de la función definida por:
f (x) =
e−ax si x > 0, a > 0
0 si x < 0
Solución: A partir de la definición de la transformada de Fourier tenemos para f (x) tenemos:
f (w) =1
√2π
∫ 1
−1e−axe−iwxdx =
1√
2π
∫ 1
−1e−(a+iw)xdx =
e−(a+iw)x
√2π(a + iw)x
∣
∣
∣
∣
∣
∞
0
=1
√2π(a + iw)x
.
4 Dr. Esteban Guevara, PHD
Resumen No. 4: Transformada de Fourier Departamento de Formación Básica
2. INTERPRETACIÓN FÍSICA: ESPECTRO
Como sabemos, la inversa de la transformada de Fourier de f (x) está dada por:
f (x) = F−1 f (w)(x) =1
√2π
∫ ∞
−∞f (x)eiwxdx (1)
La naturaleza esta ecuación queda aclarada si la entendemos como una superposición de oscilacio-
nes sinusoidales de todas las posibles frecuencias, llamada representación espectral. Este nombre
proviene de la óptica en donde la luz es una superposición de diferentes colores o frecuencias. En
esta ecuación, f (w) mide la intensidad de f (x) en el intervalo de frecuencias entre comprendido
entre w y w + dw. Visto como un sistema de osciladores de diferentes frecuencias w, en los que
mw2 A2 representa la energía total del sistema proveniente de la frecuencia w, entonces la integral
∫ b
a| f (w)|2dw,
viene a representar justamente la energía total del sistema físico en el intervalo de las frecuencias
comprendidas desde a hasta b.
La transformada de Fourier es una transformación lineal, es decir para toda función f : I ⊆
R → R y g : I ⊆ R → R :
Fa f (x) + bg(x) = aF f (x)+ bFg(x),
con a, b ∈ R y para todo x ∈ I.
TEOREMA 5: Linealidad de la Transformada de FourierTEOREMA 5: Linealidad de la Transformada de Fourier
Demostración: A partir de la definición de transformada de Fourier tenemos:
Fa f (x) + bg(x) =1
√2π
∫ ∞
−∞[a f (x) + bg(x)] e−iwxdx,
de donde,
Fa f (x) + bg(x) = a
[
1√
2π
∫ ∞
−∞f (x)e−iwxdx
]
+ b
[
1√
2π
∫ ∞
−∞f (x)e−iwxdx
]
Fa f (x) + bg(x) = aF [ f (x)] + bFg(x)
Si f : I ⊆ R → R es una función contínua y tal que, lım|x|→∞ f (x) = 0 y además, f ′(x) es
absolutamente integrable, entonces, para todo x ∈ R, y w ≥ 0:
F f ′(x) = iwF f (x),
F f ′′(x) = −w2F f (x),
F f (n)(x)(w) = (iw)(n)F f (x)(w).
TEOREMA 6: Transformada de Fourier de DerivadasTEOREMA 6: Transformada de Fourier de Derivadas
Dr. Esteban Guevara, PHD 5
Departamento de Formación Básica Resumen No. 4: Transformada de Fourier
Demostración: A partir de la definición de transformada de Fourier, tenemos:
F f ′(x)(w) =1
√2π
∫ ∞
−∞f ′(x)e−iwxdx.
Integrando por partes:
F f ′(x)(w) =1
√2π
[
f (x)e−iwx∣
∣
∣
∞
−∞− (−iw)
∫ ∞
−∞f (x)e−iwxdx
]
.
de donde el primer término es nulo, y por tanto:
F f ′(x)(w) = iwF f (x)(w).
Además, aplicando nuevamente el teorema, tenemos:
F f ′′(x)(w) = iwF f ′(x)(w) = (iw)2F f (x)(w) = −w2F f (x)(w).
Tras la aplicación sucesiva del teorema se puede obtener:
F f (n)(x)(w) = (iw)(n)F f (x)(w).
La convolución de dos funciones f : I ⊆ R → R y g : I ⊆ R → R se define por:
( f ∗ g)(x) =∫ ∞
−∞f (p)g(x − p)dp,
o alternativamente, como:
( f ∗ g)(x) =∫ ∞
−∞f (x − p)g(p)dp,
para todo x ∈ R.
DEFINICIÓN 5: ConvoluciónDEFINICIÓN 5: Convolución
Ejemplo.- Dadas las funciones f : R → R y g : R → R con f (x) = e−x y g(x) = sen x,
respectivamente, calcular su convolución en el intervalo I = [0, t] y donde t ∈ R.
Solución: A partir de la definición de convolución para f y g tenemos:
( f ∗ g)(x) =∫ ∞
−∞f (p)g(x − p)dp =
∫ t
0f (p)g(x − p)dp =
∫ t
0e−p sen(x − p)dp.
Resolviendo la última integral por partes tenemos,
I =∫
e−p sen(x − p)dp = e−p cos(x − p) +∫
e−p cos(x − p)dp
I = e−p cos(x − p) +
(
−e−p sen(x − p)−∫
e−p sen(x − p)dp
)
.
de donde tenemos que,
I =e−p
2[cos(x − p)− sen(x − p)].
6 Dr. Esteban Guevara, PHD
Resumen No. 4: Transformada de Fourier Departamento de Formación Básica
Evaluando en los límites del intervalo obtenemos,
( f ∗ g)(x) =∫ t
0e−p sen(x − p)dp =
1
2
[
e−t(cos(x − t)− sen(x − t)) + sen x − cos x)]
.
Si las funciones f : I ⊆ R → R y g : I ⊆ R → R son contínuas a trozos, acotadas, y absoluta-
mente integrables, entonces:
F( f ∗ g)(x) =√
2πF f · Fg =√
2π f (w) · g(w).
para todo x ∈ R.
TEOREMA 7: Teorema de ConvoluciónTEOREMA 7: Teorema de Convolución
!
Aplicando la transformada de Fourier inversa en ambos lados de la ecuación obtenemos un
resultado muy importante,
( f ∗ g)(x) =∫ ∞
−∞f (w)g(w)eiwxdw,
que será usado mas adelante en la resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas par-
ciales.
CRÉDITOS
La presente hoja de resúmenes constituye una segunda versión revisada de la realizada durante
el periodo 2018-B por los miembros de la cátedra de Análisis de Fourier: Mat. Carlos Ajila, Mat.
Leonardo Montoya, Fis. Marcelo Arias, Fis. Anibal Cruz, Ing. Byron Montenegro y mi persona.
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
RESUMEN NO. 5: ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Semestre 2019-A Departamento de Formación Básica
1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Sea I ⊆ R un intervalo abierto y k ∈ N∗. Una ecuación diferencial ordinaria de orden k es un
expresión de la forma:
F(u(k)(x), u(k−1)(x), . . . , u′(x), u(x), x) = 0, x ∈ I,
donde
F : Rk+1 × I → R
es una función conocida y u : I → R es una función a ser determinada.
DEFINICIÓN 1: Ecuación Diferencial OrdinariaDEFINICIÓN 1: Ecuación Diferencial Ordinaria
Con las mismas notaciones de la definición anterior, una función u0 : I → R se dice que es
una solución de la ecuación diferencial
F(u(k)(x), u(k−1)(x), . . . , u′(x), u(x), x) = 0, x ∈ I,
si u0 es k veces derivable en I y si la igualdad
F(u(k)0 (x), u
(k−1)0 (x), . . . , u′
0(x), u0(x), x) = 0
se verifica para todo x ∈ I.
DEFINICIÓN 2: Solución de una EDODEFINICIÓN 2: Solución de una EDO
2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Si u : Ω → R es una función k veces diferenciable en el abierto Ω ⊆ Rn, se denotará su
diferencial de k-ésimo orden por Dku : Ω → Rnk.
Sean k ∈ N∗, n ∈ N con n ≥ 2, y Ω ⊆ Rn un conjunto abierto. Una ecuación en derivadas
parciales de orden k es un expresión de la forma
F(Dku(x), Dk−1u(x), . . . , Du(x), u(x), x) = 0, x ∈ Ω
donde
F : Rnk× R
nk−1× · · · × Rn × R × Ω → R
DEFINICIÓN 3: Ecuación en Derivadas ParcialesDEFINICIÓN 3: Ecuación en Derivadas Parciales
1
Departamento de Formación Básica Resumen No. 5: Ecuaciones Diferenciales Parciales
es un campo escalar conocido y u : Ω → R es un campo escalar a ser determinado.
Un campo escalar u0 : Ω → R se dice que es una solución de la ecuación diferencial
F(Dku(x), Dk−1u(x), . . . , Du(x), u(x), x) = 0, x ∈ Ω,
si u0 es k veces diferenciable en Ω y si la igualdad
F(Dku0(x), Dk−1u0(x), . . . , Du0(x), u0(x), x) = 0
se verifica para todo x ∈ Ω.
DEFINICIÓN 4: Solución de una EDPDEFINICIÓN 4: Solución de una EDP
Sean k ∈ N∗, n, m ∈ N con n, m ≥ 2, y Ω ⊆ Rn un conjunto abierto. Una sistema de ecuaciones
en derivadas parciales de orden k es un expresión de la forma:
F(Dku(x), Dk−1u(x), . . . , Du(x), u(x), x) = 0, x ∈ Ω
donde
F : Rmnk
× Rmnk−1
× · · · × Rmn × Rm × Ω → R
es un campo vectorial conocido y u : Ω → R es un campo vectorial a ser determinado.
DEFINICIÓN 5: Sistema de EDP’sDEFINICIÓN 5: Sistema de EDP’s
Un campo vectorial u0 : Ω → R se dice que es una solución del sistema de ecuaciones dife-
renciales
F(Dku(x), Dk−1u(x), . . . , Du(x), u(x), x) = 0, x ∈ Ω
si u0 es k veces diferenciable en Ω y si la igualdad
F(Dku0(x), Dk−1u0(x), . . . , Du0(x), u0(x), x) = 0
se verifica para todo x ∈ Ω.
DEFINICIÓN 6: Solución de un Sistema de EDP’sDEFINICIÓN 6: Solución de un Sistema de EDP’s
!
Recordemos que si u : Ω → Rm es un campo vectorial (escalar si m = 1) diferenciable en el
punto x0 ∈ Ω, el diferencial de u en el punto x0 es una aplicación lineal Du(x0) : Rn → Rm,
de donde Du(x0) ∈ L(Rn, Rm). En particular, si u es diferenciable en cada punto de Ω,
esto nos permite definir una aplicación D : Ω → L(Rn, Rm). Ahora, dado que los espacios
vectoriales L(Rn, Rm) y Rmn son isomorfos, podemos considerar que Du : Ω → Rmn.
De manera análoga, se tiene que Dku : Ω → Rmnkcuando u es un campo vectorial k veces
diferenciable. Este razonamiento justifica la elección del dominio para los campos F y F en
las dos definiciones precedentes.
2 Dr. Esteban Guevara, PHD
Resumen No. 5: Ecuaciones Diferenciales Parciales Departamento de Formación Básica
Una ecuación en derivadas parciales se llama lineal, si esta es lineal respecto a la función
buscada y todas sus derivadas que forman parte de la ecuación. En caso contrario se llama no
lineal. La ecuación más general en derivadas parciales de segundo orden lineal tiene la forma:
n
∑j,k=1
ajk(x)∂2u
∂xj∂xk+
n
∑j=1
bj∂u
∂xj+ c(x)u(x) + d(x) = 0
donde al menos uno de los coeficientes ajk(x) es diferente de cero.
DEFINICIÓN 7: EDP LinealDEFINICIÓN 7: EDP Lineal
Una ecuación no lineal con la parte principal lineal se la conoce como semilineal. La ecuación
general en derivadas parciales de segundo orden semilineal tiene la forma:
n
∑j,k=1
ajk(x)∂2u
∂xj∂xk= f
(
x, u,∂u
∂x1, ...,+
∂u
∂xn
)
DEFINICIÓN 8: EDP Semi-LinealDEFINICIÓN 8: EDP Semi-Lineal
Cuando cada término de la ecuación diferencial contiene la función o sus derivadas esta ecua-
ción se dice homogénea:
n
∑j,k=1
ajk(x)∂2u
∂xj∂xk+
n
∑j=1
bj∂u
∂xj+ c(x)u(x) = 0,
es decir d(x) = 0, mientras que la ecuación:
n
∑j,k=1
ajk(x)∂2u
∂xj∂xk+
n
∑j=1
bj∂u
∂xj+ c(x)u(x) + d(x) = 0
es no homogénea.
DEFINICIÓN 9: EDP HomogéneaDEFINICIÓN 9: EDP Homogénea
La ecuación diferencial:
A∂2u
∂x2+ B
∂2u
∂x∂y+ C
∂2u
∂y2+ D
∂u
∂x+ E
∂u
∂y+ Fu = f (x, y)
donde A, B, C, D, E y F son constantes reales se dice:
• Hiperbólica si B2 − 4AC > 0;
• Parabólica si B2 − 4AC = 0;
• Elíptica si B2 − 4AC < 0.
DEFINICIÓN 10: Clasificación de EDP’s Lineales de Segundo OrdenDEFINICIÓN 10: Clasificación de EDP’s Lineales de Segundo Orden
Por ejemplo:
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Departamento de Formación Básica Resumen No. 5: Ecuaciones Diferenciales Parciales
1. La ecuación de la onda unidimensional:
∂2u
∂t2= c2 ∂2u
∂x2
es una ecuación hiperbólica.
2. La ecuación del calor unidimensional:
∂u
∂t= c2 ∂2u
∂x2
es una ecuación parabólica.
3. La ecuación de Laplace en dos dimensiones:
∂2u
∂x2+
∂2u
∂y2= 0
es una ecuación elíptica.
Si u1 y u2, dos funciones de Ω ⊆ Rn en R, son soluciones de una EDP lineal y homogénea en
Ω, entonces la combinación lineal de ellas u, con:
u(x) = c1u1(x) + c2u2(x),
c1, c2 ∈ R, y x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Ω ⊆ Rn también es solución (de esa EDP en Ω).
TEOREMA 1: Teorema Fundamental de SuperposiciónTEOREMA 1: Teorema Fundamental de Superposición
Dada una función u : Ω → R, con Ω ⊆ Rn, se define el operador Laplaciano como:
∆ =n
∑j=1
∂2
∂x2j
.
DEFINICIÓN 11: Operador LaplacianoDEFINICIÓN 11: Operador Laplaciano
Si consideramos una función u(x, t), donde x = (x1, x2, . . . , xn) representa a la variable espacial y
t ∈ [0,+∞[ la variable temporal, consideraremos ∆u como la aplicación del operador laplaciano a
la variable espacial, es decir:
∆u =n
∑j=1
∂2u
∂x2j
=n
∑j=1
uxjxj,
Así, para una función u(x, t) con x ∈ Ω ⊆ R2
∆u =∂2u
∂x21
+∂2u
∂x22
y NO
∆u =∂2u
∂x21
+∂2u
∂x22
+∂2u
∂t2.
4 Dr. Esteban Guevara, PHD
Resumen No. 5: Ecuaciones Diferenciales Parciales Departamento de Formación Básica
Dada una función u : Ω → R, con Ω ⊆ Rn+1, u = u(x, t), x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn se define el
operador D’Alambert como:
= ∂tt −n
∑k=1
∂2
∂x2k
.
es decir:
= ∂tt − ∆.
DEFINICIÓN 12: Operador D’AlambertDEFINICIÓN 12: Operador D’Alambert
Las ecuaciones en derivadas parciales clásicas, son aquellas que debido a su importancia dentro
de la matemática y en otros campos han sido (y siguen siendo) estudiadas por generaciones de
matemáticos y otros científicos, a continuación se presentan unas cuantas de ellas, aquí u(x, t) se
considera una función con x ∈ Ω ⊆ Rn denotando la variable espacial y t ≥ 0 la variable temporal
3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CLÁSICAS
3.1 Ecuación de Poisson
Está dada por:
∆u = h(x),
donde u = u(x), u = u(x), x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, y h(x) es una función real no nula. Si h(x) = 0,
entonces la EDP se llama:
∆u = 0,
se llama Ecuación de Laplace.
3.2 Ecuación de la Onda
Está dada por:
utt − c2∆u = 0,
donde c ∈ R, u = u(x, t), y x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn
3.3 Ecuación del Calor
Está dada por:
ut − c2∆u = 0,
donde c ∈ R, y u = u(x, t), x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn
3.4 Ecuación de Schrodinger
Está dada por:
iut = −h
2m∆u + vu,
donde m > 0 es la masa del electrón, u = u(x, y, z, t), v es una función potencial y h es la constante
de Planck.
Dr. Esteban Guevara, PHD 5
Departamento de Formación Básica Resumen No. 5: Ecuaciones Diferenciales Parciales
Se refiere al valor que tiene la función u. Por ejemplo para una cuerda esta firmemente sujetada
en sus extremos (es decir, en x = 0 y x = L) se concluye que, para todo t ≥ 0 las oscilaciones
de la cuerda deben ser nulas en los extremos, es decir:
u(x, t)|x=0 = u(x = 0, t) = 0, t ≥ 0
u(x, t)|x=L = u(x = L, t) = 0, t ≥ 0
Si u está definida en Ω ⊆ R2, la frontera de Ω se suele denotar por: ∂Ω y si f (u) el valor que
toma u en la frontera de Ω, se suele denotar por:
u|∂Ω = f (u)
DEFINICIÓN 13: Condiciones de FronteraDEFINICIÓN 13: Condiciones de Frontera
Las condiciones iniciales se refieren al valor que toma la función o su derivada al tiempo t = 0.
Por ejemplo, para una cuerda se refiere a su forma o posición inicial y su velocidad inicial, es
decir:
u(x, t)|t=0 = u(x, t = 0) = f (x), x ∈ [0.L]
∂u(x, t)
∂x
∣
∣
∣
∣
t=0
= ut(x, t = 0) = g(x), x ∈ [0.L]
DEFINICIÓN 14: Condiciones InicialesDEFINICIÓN 14: Condiciones Iniciales
3. MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES
Ejemplo: El siguiente problema describe las vibraciones transversales u(x, t) de una cuerda
elástica de longitud L = π fija en ambos extremos, la cual ha sido desplazada de su posición de
equilibrio levantándola en su centro y luego soltada al tiempo t = 0 (su velocidad inicial es cero):
utt = 9uxx t > 0, 0 < x < π
u(0, t) = 0, u(π, t) = 0 t ≥ 0,
u(x, 0) = f (x) ut(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ π.
donde
f (x) =
x, 0 ≤ x ≤ π/2.
π − x, π/2 ≤ x ≤ π
Vamos a utilice el método de separación de variables para encontrar una expresión que describa
las vibraciones transversales u(x, t) en todo punto x ∈ [0, π] de la cuerda y para todo tiempo t.
Para esto buscamos una solución de la forma:
u(x, t) = X(x)T(t) (1)
la cual al derivar
utt = X(x)T′′(t)
uxx = X′′(x)T(t)
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Resumen No. 5: Ecuaciones Diferenciales Parciales Departamento de Formación Básica
y reemplazar utt y uxx en nuestra EDP: utt = 9uxx, tenemos:
X(x)T′′(t) = 9X′′(x)T(t)
que se puede reescribir como:T′′(t)
9T(t)=
X′′(x)
X(x).
El lhs de la ecuación depende solamente de t y el rhs solamente de x, esto es posible si ambos son
igual a una constante k (arbitraria), es decir:
T′′(t)
9T(t)=
X′′(x)
X(x)= k.
de donde podemos obtener las EDO’s:
X′′(x)− kX(x) = 0 (2)
T′′(t)− 9kT(t) = 0. (3)
con las condiciones de frontera:
u(0, t) = X(0)T(t) = 0, X(0) = 0
u(π, t) = X(π)T(t) = 0, X(π) = 0
Como k es una constante arbitraria, esta puede ser positiva, negativa o incluso cero, y por
tanto esto las soluciones de las ecuaciones (2) y (3) serán diferentes. Se puede demostrar que para
valores de k > 0 o k = 0 las soluciones de las ecuaciones (2) y (3) corresponden a la solución trivial
u(x, t) = 0.
Para k < 0 y tomando k = −γ2 tenemos la ecuación:
X′′(x) + γ2X(x) = 0 (4)
con las condiciones de frontera que obtuvimos previamente:
X(0) = 0, X(π) = 0
Para resolverla, buscamos una solución de la forma:
X(x) = emx, (5)
que derivando y reemplazando X′(x) y X′′(x) en (4) tenemos:
m2emx + γ2emx = 0
emx(m2 + γ2) = 0
de donde:
m = ±iγ.
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Departamento de Formación Básica Resumen No. 5: Ecuaciones Diferenciales Parciales
Reemplazando m en (5),
X(x) = e±iγx. (6)
Se puede verificar que la solución general de (4) está dada por:
X(x) = A cos(γx) + B sen(γx). (7)
Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones X(0) = 0 y X(π) = 0.
X(0) = A cos(γ0) + B sen(γ0) = 0, A = 0. (8)
X(π) = B sen(γπ) = 0. (9)
El sen(γπ) es 0 si el argumento γπ es igual a nπ para todo n = 0, 1, 2, 3, ... es decir:
γπ = nπ
y por tanto,
γn = n, n = 0, 1, 2, 3, ...
Como X(x) = B sen(γx) y existen un infinito número de valores de γ, existen también un infinito
número de soluciones para la ecuación (4) (denotadas por el subíndice n), es decir:
Xn(x) = Bn sen(γnx)
reemplazando γn = n y tomando Bn = 1, tenemos:
Xn(x) = Bn sen(nx). (10)
Como habíamos considerado k = −γ2, la ecuación (3) se convierte en:
T′′(t) + 9n2T(t) = 0. (11)
cuya resolucón es similar a la ecuación (4). Se puede verificar que la solución a (11) está dada por:
Tn(t) = Cn cos(3nt) + Dn cos(3nt) (12)
para n = 1, 2, 3, .... Reemplazando las ecuaciones (10) y (12) en (1), tenemos:
un(x, t) = Bn sen(nx) [Cn cos(3nt) + Dn cos(3nt)] (13)
Por el teorema fundamental de superposición, la solución general está dada por:
u(x, t) =∞
∑n=1
cnun(x, t) =∞
∑n=1
cn
[
Bn sen(nx) [Cn cos(3nt) + Dn cos(3nt)]]
(14)
o simplemente por:
u(x, t) =∞
∑n=1
sen(nx) [A∗n cos(3nt) + B∗
n cos(3nt)] (15)
donde, para determinar los coeficientes A∗n y B∗
n utilizamos las condiciones iniciales: u(x, 0) = f (x)
8 Dr. Esteban Guevara, PHD
Resumen No. 5: Ecuaciones Diferenciales Parciales Departamento de Formación Básica
y ut(x, 0) = 0, y se puede demostrar que estas están dadas por:
A∗n =
2
π
∫ π
0f (x) sen(nx)dx =
2
π
∫ π/2
0x sen(nx)dx +
2
π
∫ π
π/2(π − x) sen(nx)dx =
4
πn2sen(
nπ
2)
B∗n =
2
nπ
∫ π
0ut(x, 0) sen(nx)dx = 0
por tanto:
u(x, t) =∞
∑n=1,3,5,...
4
πn2sen(
nπ
2) sen(nx) cos(3nt)
o
u(x, t) =4
π
∞
∑k=1
(−1)2k−1
(2k − 1)2sen
(
(2k − 1)π
2
)
sen((2k − 1)x) cos(3(2k − 1)t).
CRÉDITOS
La presente hoja de resúmenes constituye una segunda versión revisada de la realizada durante
el periodo 2018-B por los miembros de la cátedra de Análisis de Fourier: Mat. Carlos Ajila, Mat.
Leonardo Montoya, Fis. Marcelo Arias, Fis. Anibal Cruz, Ing. Byron Montenegro y mi persona.
Dr. Esteban Guevara, PHD 9
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