Series de tiempo
EstadısticaMiguel
´
Angel Chong R.
7 de mayo del 2013
Miguel Chong Series de tiempo
Modelos no estacionarios
Como dijimos al inicio del curso, cuando tenemos una serie de
tiempo observada y graficamos los datos, es posible que notemos
que la serie no sea estacionaria, entonces es deseable aplicar alguna
trasformacion a los datos para hacerlos estacionarios.
Si en nuestra serie observada solo se aprecia un compontente de
tendencia (media no constante)
Xt = mt + Yt ,
esta puede eliminarse mediante la aplicacion del operador
diferencia rd= (1� B)d , con esto buscamos eliminar una
tendencia polinomial de orden d en la serie, este tipo de
trasformacion da origen a los modelos integrados o ARIMA.
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Definicion Procesos ARIMA(p,d,q) (causales e invertible)
Sea d 2 {1, 2, 3, . . .}. Diremos que {Xt}t2T es un proceso ARIMA(p, d , q)causal e invertible si al diferenciarlo d veces, es decir, Yt = rdXt =
(1� B)dXt tenemos un proceso ARMA(p, q) causal e invertible.
Dicho de otro modo, si {Xt} es un proceso ARIMA(p, d , q) se escribe de
la siguiente forma
�⇤(B)Xt = �p(B)(1� B)
dXt = ✓q(B)✏t ,
�1� �
1
B � �2
B2 � . . .� �pBp�
(1� B)
dXt =
�1 + ✓
1
B + ✓2
B2
+ . . .+ ✓qBq� ✏t ,
�p(B)Yt = ✓q(B)✏t ,
donde {✏t} es ruido blanco, �p(B) y ✓q(B) son los polinomios de retraso
de grado p y q respectivamente.
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Observaciones
1
El polinomio �⇤(B) = �p(B)(1� B)d tiene una raız de orden
d cuando B = 1, o tiene una raız unitaria.
2
El proceso es estacionario si solo si d = 0 y
ARIMA(p, 0, q) = ARMA(p, q).
3
Aunque los modelos ARIMA(p, d , q) son muy usados para
modelar series con tendencia, tambien pueden ser usados para
modelar series sin tendencia.
4
La estimacion de los parametros � = (�1
,�2
, . . . ,�p) ,✓ = (✓
1
, ✓2
, . . . , ✓q) y �2
✏ se haran con respecto el proceso
estacionario
�(1� B)dXt
.
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Ejemplo
Si {Xt} es un proceso ARIMA(1, 1, 1) causal e invertible donde
� 2 (�1, 1) y ✓ 2 (�1, 1)
(1� �B)(1� B)Xt = (1 + ✓B)✏t ,
(1� �B)Yt = (1 + ✓B)✏t ,
donde Yt = (1� B)Xt es un proceso ARMA(1, 1) causal einvertible.
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Modelos puramente estacionales
Ahora nuestro objetivo es poder describir series de tiempo que
tengan ademas
1
una componente estacional,
Xt = St + Yt o
Xt = mt + St + Yt .
donde la parte estacional {St} se repite en forma“determinıstica”
en un periodo de tamano s. Primero vamos a hablar de los
modelos estacionales puros, la idea en estos modelos es que solo
existe una dependencia entre las observaciones que estan separadas
un multiplo de s.
1
Con o sin un compontente de tendencia mt .
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Por ejemplo, si tenemos una serie mensual y el periodo del cıclo s = 12
Meses
1 2 3 . . . 11 12
1 X
1
X
2
X
3
. . . X
11
X
12
2 X
13
X
14
X
15
. . . X
23
X
24
Anos
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
r � 1 X
12(r�2)+1
X
12(r�2)+2
X
12(r�2)+3
. . . X
12(r�2)+11
X
12(r�1)
r X
12(r�1)+1
X
12(r�1)+2
X
12(r�1)+3
. . . X
12(r�1)+11
X
12r
Es importante notar que aunque la estacionaridad se puede considerar como un
fenomeno anual, puede existir un comportamiento periodico con duracion
menor a un ano
2
.
2
Semestral o trimestral por ejemplo.
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DefinicionDiremos que {Xt}t2T es un proceso auto regresivo-medias movilesestacional puro con periodo s de orden (P,Q), y lo denotamos
ARMA(P,Q)s donde P,Q � 0 y �
1
, . . . ,�P ,⇥1
, . . . ,⇥Q . son reales tales
que
Xt = �
1
Xt�s + . . .+ �PXt�Ps +✏t +⇥
1
✏t�s + . . .+⇥Q✏t�Qs ,
o equivalentemente
�1� �
1
Bs � . . .� �pBPs�Xt =
�1 +⇥
1
Bs+ . . .+⇥QB
Qs�✏t
�P(Bs)Xt = ⇥Q(B
s)✏t ,
donde {✏t}t es ruido blanco y los polinomios de retraso �P(·) y ⇥Q(·) notienen ceros en comun.
Para que el proceso ARMA(P,Q)s sea causal e invertible necesitamos
que las raıces de los polinomios �P(·) y ⇥Q(·) sean en modulo mayores a
la unidad.
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Algunos ejemplos de este tipo de procesos son:
1
ARMA(0, 1)s = MA(1)s , de la forma Xt = ✏t +⇥
1
✏t�s , donde la funcion
de autocorrelacion esta dada por
⇢h =
�h�0
=
8>><
>>:
1 h = 0
⇥
1
1 +⇥
2
1
si h = s
0 cualquie otro caso.
2
ARMA(1, 0)s = AR(1)s , es decir, Xt = �
1
Xt�s + ✏t , donde la funcion de
autocorrelacion esta dada por
⇢h =
�h�0
=
8><
>:
1 h = 0
�
hs1
si h = s, 2s, 3s, . . .
0 cualquie otro caso
3
ARMA(1, 1)s , de la forma Xt = �
1
Xt�s + ✏t +⇥
1
✏t�s , y la funcion de
autocorrelacion esta dada por
⇢h =
�h�0
=
8>>>><
>>>>:
1 h = 0
(1+�
1
⇥
1
)(⇥
1
+�
1
)
1+⇥
2
1
+2⇥
1
�
1
h = s
�
1
⇢h�s si h = 2s, 3s, . . .
0 cualquie otro caso
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Modelos estacionales multiplicativos y estacionarios
En la mayor parte de los casos los datos no solo estan correlacionados
con observaciones que estan separadas por un multiplo de s, sino que
tambien pueden estar correlacionados con observaciones mas cercanas. A
continuacion definiremos una familia de modelos que combinen efectos
estacionales y no estacionales.
Definicion
Diremos que {Xt}tes un proceso estacional multiplicativo, con periodo s,y lo denotamos como ARMA(p, q)⇥ARMA(P,Q)S si el proceso se escribe
como
�p(B)�P(Bs)Xt = ✓q(B)⇥Q(B
s)✏t ,
donde {✏t}t es ruido blanco y los polinomios de retraso son los siguientes:
�p(z) = 1� �1
B � · · ·� �pBp,
�P(z) = 1� �
1
Bs � · · ·� �PBPs,
✓q(z) = 1 + ✓1
B + · · ·+ ✓qBq,
⇥Q(z) = 1 +⇥
1
Bs+ · · ·+⇥QBQs
.
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Modelos estacionales no estacionarios
Si tenemos una serie de la forma Xt = mt + St + Yt , vimos que vıa difierenciassimples rd
= (1� B)
dpodıamos eliminar la componente mt y hablamos del
uso de la diferencia estacional rDs = (1� B
s)
D, para eliminar la componente
St .
Estos los operadores los usaremos para describir el modelo mas general, es
decir, una serie que tiene tanto una componente de tendencia como el de una
parte estacional.
Definicion Sean d ,D 2 Z enteros no negativos. Diremos que {Xt}tes un
proceso auto-regresivo de promedios moviles integrado estacional multi-plicativo de periodo s, denotado por ARIMA(p, d , q) ⇥ ARIMA(P,D,Q)s o
SARIMA(p, d , q)⇥ (P,D,Q)S si el proceso
Yt = (1� B)
d⇣1� B
S⌘D
Xt ,
es un proceso ARMA(p, q)⇥ ARMA(P,Q)S causal
�p(B)�P(Bs)Yt = ✓q(B)⇥Q(B
s)✏t ,
donde {✏t}t es ruido blanco.
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1
Identifica el modelo SARIMA(p, d , q)⇥ (P,D,Q)S
�1� 0.8B + 0.25B2
�rr
12
Xt =
�1� 0.7B2
� �1� 0.5B12
�✏t ,
Xt = (1 + 0.2B)�1� 0.8B8
�✏t .
2
Como se ve la ecuacion de los modelos
1 SARIMA(1, 0, 2)⇥ (0, 1, 1)3
,
2 SARIMA(1, 1, 2)⇥ (2, 1, 1)2
,
Miguel Chong Series de tiempo
Metodologıa de Box-Jenkins para modelos ARIMA
estacionales
Etapa de identificacion de los ordenes p, d , q,P,D y Q.
Una vez que hemos introducido una familia de proceso nuestro objetivo sera,
dada una serie de tiempo observada {xt}Nt=1
, encontrar un(os) modelo( de esa
familia del cual podamos suponer que nuestra serie observada sea un elemento
muestral. Usando el principio de parsimonia, es decir usar el modelo con el
menor numero de parametros posibles.
Etapa 1
Identificación de
los parámetros
d,D,p,P,q y Q
Etapa 2
Estimación de
los coeficientes
Etapa 3
Verificación de
los supuestos
El modelo
cumple con
los supuestos
Usar el modelo
para hacer
predicción
sí
No
Miguel Chong Series de tiempo
Identificacion del modelo, esta parte la podemos dividir en dos
partes:
1
Buscamos la estructura no estacionaria (si es que la hay), esdecir filtrar la parte de tendencia y/o parte estacional, para
quedarnos con la parte estacionaria.
2
Una vez obtenida la parte estacionaria buscaremos cual es el
modelo ARMA que mejor ajusta esta parte.
En otras palabras buscamos encontrar una transformacion de los
datos originales de tal forma que obtengamos una serie
estacionaria. Aquı tenemos dos posibles tipos de trasformaciones
posibles
Miguel Chong Series de tiempo
Cuando graficamos la serie de tiempo observada y notamos que la
varianza no es constante, una forma de corregir este problema es aplicar
una transformacion del tipo Box Cox a los datos, es decir
T (Xt) =
(X�t �1
� si � 6= 0
log (Xt) si � = 0
.
Cuando graficamos la serie de tiempo observada y notamos que no tiene
una media costante es recomendable aplicarle el operador diferencia r;
anteriormente habıamos platicado que el operador diferencia eliminaba
tendencias lineales, mt = a
0
+ a
1
t, y que el operador diferenica aplicado
dos veces, r2
, elimina tendencias cuadraticas, mt = a
0
+ a
1
t + a
2
t
2
. En
la practica no hacen falta diferenciar mas de dos veces una serie para
quitarle el componente de tendencia.
Algunas veces las series de tiempo veces presentan un componente
estacional St con periodo s, esto lo podemos notar de manera grafica a
partir de la acf muestral, ya que las autocorrelaciones son muy
significativa en los lag�s s, 2s, 3s, 4s, . . . y decrece de manera lenta. En
estos casos es aconsejable aplicarle a la serie una diferencia estacional
rs = (1� B
s), no es comun que se requiera aplicar una diferencia mas
de una vez.
Miguel Chong Series de tiempo
1
Encontrar d y D tal que la serie
Yt = (1� B)d (1� Bs)
D T (Xt) tenga aspecto estacionario.
Notemos que la serie la serie de tiempo original Xt corre de
los ındices t 2 {1, 2, . . . , n}, mientras que la serie estacionaria
Yt corre de los ındices t 2 {d + sD + 1, . . . , n}.2
Examinar la ACF y la PACF muestrales asociadas a {Yt}tpara aquellos enteros que son multiplos de s, (identificar losordenes de P y Q del modelo).
Si b⇢(·) y ˆ�k k son la ACF y la PACF muestral respectivamente
de la serie {Yt}t , entonces P y Q pueden seleccionarse de
forma tal que, b⇢(ks) y ˆ�sk sk con k = 1, 2, . . .sea compatible
con la ACF y la PACF teoricas del modelo ARMA(P,Q)s .
3
Los ordenes de p y q deben ser seleccionados de forma tal que:
b⇢(1), . . . , b⇢(s � 1) sea complatible con la ACF teorica y
ˆ�1 1
, . . . , ˆ�s�1 s�1
sea complatible con la PACF la teorica de
un proceso ARMA(p, q).
En las aplicaciones es usual que d 2 {0, 1, 2} y D 2 {0, 1}.Miguel Chong Series de tiempo
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