7/24/2019 Estado tensional de los slidos elsticos
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Elasticidad y resistencia de materialesCurso 2013-2014
Captulo 2
Antonio Gimnez
s a o ens ona e osslidos elsticos
Dpto. Ingenierarea de Ingeniera Construccin
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Componentes de un vectorde un vector
Z
VVz
V = Vx + Vy + Vz
Vx = V cos = = = = V
Vy = V cos = = = = V
Antonio Gimnez
X
Y
Vx
Vy
Vz = V cos = = = = V
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Componentes del vector tensinComponentes del vector tensin
k
z
x =
y =
= x + y + z
Antonio Gimnez
i
j
x
y
z =
u = i + j + k
1 = 2 + 2 + 2
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Componentes de un vectorComponentes de un vector
u ====
00
0 0
00 i
j
k
*
Antonio Gimnez
====
x
y
z
0
0
0 0
0
0 i
jk
*
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Estado tensional de un punto
Antonio Gimnez
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Estado tensional de un puntoz
nx
xz z
nz
zyzx
Antonio Gimnez
x
y
xy xz
xy
yxny
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Estado tensional de un punto
x
y
z
nxnx xy
xz
xz
xy
yxny
yz
nz
zy zx
dydx nz
dydz xz
dxdzyz
Antonio Gimnez
dydz nx +dxdz yx +dydx zx = dydz nx +dxdz yx +dydx zx
dydz xy +dxdz ny +dydx zy = dydz xy +dxdz ny +dydx zy
dydz xz +dxdz yz + dydx nz= dydz xz +dxdz yz + dydx nz
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
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Estado tensional de un punto
x
z
nxnx xy
xz
xz
xy
yx
yz
nz
zy zx
Mx =(dydx nz )dy1/2 - (dydx nz )dy1/2
Mx =(dydx zy)dz
My =(dydx zx)dz
My =(dydx nz )dx1/2 - (dydx nz )dx1/2
Tensiones uniformemente distribuidas,
Antonio Gimnez
y
ny
(dxdz yz )dy (dydx zy)dz = 0 Mx = 0 =>
(dydx zx )dz (dydz xz )dz = 0 My = 0 =>
(dxdz yx )dy (dydz xy)dx = 0 Mz = 0 =>
Teorema de la reciprocidad de las TensionesTangenciales
resu an e e es uerzos so re ca a cara pasa por
el centro de gravedad.
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Teorema de reciprocidad delas tensiones tangenciales
zy = yz
Antonio Gimnez
zx = xz
xy = yx
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Vectores tensin en un punto
Tomamos momentos respecto al eje Z, Y, X
Fx = 0 => nx dy dz + zx dx dy + yx dx dz = X Fy = 0 => ny dx dz + zy dy dx + xy dy dz = Y
Fz = 0 => nz dx dy + xz dy dz + yz dx dz = Z
Antonio Gimnez
Mx = 0 => ( zy dx dy ) dz - ( yz dx dz ) dy = 0 My = 0 => ( zx dy dx ) dz - ( xz dy dz ) dx = 0
Mz = 0 => ( xy dy dz ) dx - ( yx dx dz ) dy = 0
Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales
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Valores del vector de tensin De los 18 valores de las caras del
paraleleppedo infinitesimal slo hay 6valores distintos
Antonio Gimnez
x, y, z, yz, zx, xy Conocidos los 6 valores queda determinado el vector
tensin correspondiente a cualquier orientacin
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Condiciones de equilibrio
Antonio Gimnez
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Condiciones de equilibrioz
N
dSx = d
=
Antonio Gimnez
nx
xz
xy x
y
d
dSz = d
Las reas de las caras del tetraedro
paralelas a los planos coordenados
son las proyecciones ortogonales delrea d del tringulo ABC
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Condiciones de equilibriox d = nx d + yx d + zx d
y d = xy d + ny d + zy d
z d = xz d + yz d + nz d
Antonio Gimnez
====
x
y
z
nxny
nz
xyyx
zx zy
yz
xz
====
cosenos directores[ ]]]] ==== [ ]]]] [ u ]]]]
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Matriz de tensionesMatriz de tensiones
T ====
nx
nynz
xy
yx
zx zy
yz
xz = T * u
Tensor de tensiones o Tensor de CauchyTensor simtrico de 2 orden
Antonio Gimnez
====
x
y
z
nx
nynz
xy
yx
zx zy
yz
xz
====
cosenos directores
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Tensiones principales de un
puntoz
N
dSx = d
=
Antonio Gimnez
nx
xz
xy x
y
d
dSz = d
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Tensiones principales de un
puntoz
N
Antonio Gimnez
nx
xz
xy x
y = 1+ 2 + 3
1
> 2
> 3
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Tensiones y direcciones
principales
0 = (nx - )* + yx * + zx * 0 = xy * + (ny - )* + zy *
[ ]]]] ==== [ ]]]] [ u ]]]]
Existe un plano cuya tensin es perpendicular a l:
Antonio Gimnez
= xz + yz + nz -
Su determinante es :
(nx - ) yx zx
xy (ny - ) zy
xz yz (nz -)
= 0
que desarrollado es
-3333 + I1 2222 - I2 + I3 = 0
Las direcciones correspondientes son lasdirecciones principales
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Calculo matricial
[ T ] Matriz de tensiones
Ecuacin de equilibriox = ....nx + .... yx + . . . . zx x nx yx zx
y = .... xy + ....ny + . . . . zy y = xy ny zy *
z = .... xz + .... yz + . . . .nz z xz yz nz
[][][][] = [ T ] * [u]
0000 = ....nx + ....yx + ....zx
= .... .... .... -3
2-
Ecuacin caracterstica : Direcciones Principales y Tensiones Principales
Antonio Gimnez
0000 = ....xz + .... tyz + ....nz -Invariante lineal
1111 = nx +ny + nz
Invariante cuadrtico
2222 = nx ny ++++ ny nz + nx nz - 2yx -
2222zx -
2222yz
3333 = T
1111 > 2222 > 3333
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Tensiones y direcciones
principales[ ]]]] ==== [ ]]]] [ u ]]]]
Ecuacin caracterstica o secular
-3333 + I1 2222 - I2 + I3 = 0
Antonio Gimnez
Tensiones principales : son las races de la ecuacindonde :
I1 = nx + ny + nz
I2 = nxny+nynz+nznx-2222
yz-2222
zx-2222
xy
I3 = | |
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Tensiones PrincipalesTensiones Principales
T ====
1
2 3
0
0
0 0
0
0
Tomando como sistema de referencia el triedro correspondiente a las direccionesprincipales, la matriz de tensiones se reduce a su forma diagonal
Antonio Gimnez
= 1 . .i + 2 . .j + 3 ..k
n = . u = 1 . 2 + 2 .
2 + 3 . 2 n =
dFN
dS
=dFt
dS
2 = 2 - n2
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Calculo matricial
Cambio de ejes coordenados
1111 2222 3333
u1*
= 1111 u2*
= 2222 u3*
= 3333
1111 2222 3333
r = xu1 + yu2 + zu3 REFERENCIA: Elasticidad, L. Ortiz Berrocal
r = x*u*1 + y*u*2 + z*u*3 Cambio de ejes
Antonio Gimnez
x 1111 2222 3333 x*
x = x* 1111 + y* 2222 + z* 3333 y = 1111 2222 3333 * y*
y = x* 1111 + y* 2222 + z* 3333 z 1111 2222 3333 z*
z = x*1111 + y*2222 + z*3333
[[[[r]]]] = [R ] * [r*]
0000 = ....nx + ....yx + ....zx
0000 = . ...xy + ....ny + ....zy => = 0
0000 = . ...xz + ....tyz + ....nz -
-3+ I1
2- I2+ I 3
Ecuacin caracterstica : Direcciones Principales y Tensiones Principales
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Cambio de sistema de referenciaP interior a un prisma mecnico, referida a Pxyz, referida a Pxyz
matriz de cambio de ejes. El vector tensin referente a un plano , cuyaorientacin viene dada por un vector unitario y
Antonio Gimnez
Relaciones entre matrices de tensiones
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Elipsoide de Lam
1
2
0
0 0
0
1 >>>> 2 >>>> 3
Sea P un punto interior a un slido elstico, buscamos el lugar geomtrico detodos los extremos de vectores tensin correspondientes a todos los planosque pasan por dicho punto. Siendo x, y, z los extremos del vector tensincorrespondiente con la direccin
Antonio Gimnez
3
Direcciones principales
1
2
3
0
0
0 0
0
0xy
z=
=>
x =
1
y = 2z = 3
=>
1 = 2 + 2 + 2
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Tensiones y direcciones principales
12 22 32x2 y2 z2
+ + = 1Elipsoide de Lam,
Cuyos ejes coincides con las
direcciones principales
Antonio Gimnez
=>
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Circulo de Mohr Representacin grfica plana del vector
tensin
Ingeniero alemn (1835-1918)
Antonio Gimnez
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Circulo de Mohr (I) Ecuacin del vector tensin
Antonio Gimnez
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Circulo de Mohr (II) Sistema de ecuaciones (variacin de las componentes normal y
tangencial)
Antonio Gimnez
(Variamos la normal segn generatrices deconos de revolucin de eje Px podemoseliminar y en el sistema de ecuaciones.
Aplicando la condicin de compatibilidad
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Circulo de Mohr (II)
Desarrollado el determinante por los elementosde la primera columna y dividiendo porse obtiene una familia de circunferenciasconcntricas (C1)
Antonio Gimnez
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Circulo de Mohr (III)
Antonio Gimnez
Siendo 123 >0 se dibuja en las coordenadasintrnsecas del vector tensin los tres crculosfundamentales de Mohr
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Circulo de Mohr (IV) Familia de circunferenciasconcntricas de centros
Antonio Gimnez
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Circulo de Mohr (V)
Antonio Gimnez
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Circulo de Mohr (VI) Clculo de las direcciones del vectortensin
ngulo
Antonio Gimnez
La potencia de M respecto a C1ser P1= - 2 (1- 2) (3 - 1)
Se puede expresar de la formasiguiente
P1 = HNHF= IEHF =
(1- 2) (1- 3)
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Circulo de Mohr (VII) Clculo de las direcciones del vectortensin
ngulo
Antonio Gimnez
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Circulo de Mohr (VIII) Clculo de las direcciones del vectortensin
ngulo y
Antonio Gimnez
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Circulo de Mohr (IX)
Antonio Gimnez
7/24/2019 Estado tensional de los slidos elsticos
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Circulo de Mohr (X) Representacin grfica Clculo de las
componentes intrnsecas
a partir de los ngulos
Antonio Gimnez
Ci l d M h (XI)
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Circulo de Mohr (XI) Ms informacin sobre el crculo de Mohr Los puntos representativos del haz de
planos que contienen al primer ejeprincipal pertenecen a la circunferencia C1
Antonio GimnezGirado 90 detrs
Ci l d M h (XII)
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Circulo de Mohr (XII) La relacin entre el ngulo real y el ngulo en el
crculo es 2
Antonio GimnezIgualdades del ngulo doble
Ci l d M h (XIII)
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Circulo de Mohr (XIII) Los puntos representativos del haz de
planos que contienen al segundo eje
principal pertenecen a la circunferencia C2
Antonio Gimnez
Ci l d M h (XIV)
7/24/2019 Estado tensional de los slidos elsticos
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Circulo de Mohr (XIV) La relacin entre el ngulo real y el ngulo en el
crculo es 2
Antonio Gimnez
Ci l d M h (XV)
7/24/2019 Estado tensional de los slidos elsticos
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Circulo de Mohr (XV) Los puntos representativos del haz de
planos que contienen al tercer eje
principal pertenecen a la circunferencia C3
Antonio Gimnez
Circ lo de Mohr (XVI)
7/24/2019 Estado tensional de los slidos elsticos
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Circulo de Mohr (XVI) La relacin entre el ngulo real y el ngulo en el
crculo es 2
Antonio Gimnez
Ci l d M h (XVII)
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Circulo de Mohr (XVII)
Valor de la tensintangencial mxima
Antonio Gimnez
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Tensiones octadricas Tensiones correspondientes a los planos que
forman ngulos iguales con los ejesprincipales
Antonio Gimnez
3
1
3
1
3
1),,(
===
=
ur
Vector tensin de tensiones
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Vector tensin de tensiones
octadricas Tensin igual
Componente intrnseca normal
[ ]
3
2
3
2
2
2
122
3
22
2
22
1
2
0
++
=++=
= uT rr
Antonio Gimnez
Componente intrnseca tangencial3
321
0
2
3
2
2
2
10
=++= nn
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Matriz de tensiones octadricas Tensiones correspondientes a los planos queforman ngulos iguales con los ejes
principales
Antonio Gimnez
Descompone la matriz de tensiones referida alas direcciones principales en otras dos:
+
=
03
02
01
0
0
0
00
00
00
00
00
00
][
n
n
n
n
n
n
T
Tensin esfrica (tensional
hidrosttico)
Tensin desviadora
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Ecuaciones de equilibrio Equilibrio interno
Fuerzas de volumen y el incremento de lastensiones
Antonio Gimnez
Fuerzas de superficie y las tensiones por sus
direcciones
Ecuaciones de equilibrio (I)
7/24/2019 Estado tensional de los slidos elsticos
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Ecuaciones de equilibrio (I) Planteamiento del equilibrio elemental de aristas dx, dy,
dz respecto al sist. Ref. XYZ. Los valores de lascomponentes de la matriz no pueden ser arbitrarios, ya
que las fuerzas de volumen, el planteamiento delequilibrio esttico
Antonio Gimnez
Ecuaciones de equilibrio (II)
7/24/2019 Estado tensional de los slidos elsticos
50/54
Ecuaciones de equilibrio (II)
Antonio Gimnez
Ecuaciones de equilibrio (III)
7/24/2019 Estado tensional de los slidos elsticos
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Ecuaciones de equilibrio (III)
Antonio Gimnez
7/24/2019 Estado tensional de los slidos elsticos
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Ecuaciones de equilibrio interno
0=
+
+
+ zyx
X xzxynx
Antonio Gimnez
0
0
=
+
+
+
=+++
zyxZ
zyxY
nzzyzx
yznyyx
Ecuaciones de equilibrio en el
7/24/2019 Estado tensional de los slidos elsticos
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q
contorno Planteamiento del equilibrio en los puntos del contorno
exterior del slido
Antonio Gimnez
La tensin en los puntos dedicha superficie exterior hade coincidir con
Ecuaciones de equilibrio en el
7/24/2019 Estado tensional de los slidos elsticos
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Ecuaciones de equilibrio en el
contorno Planteamiento del equilibrio en los puntos del contorno exterior del
slido
X ++=r
Antonio Gimnez
nzzyzx
yznyyx
Z
Y
++=
++=r
r
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