Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al
mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Jhon Edisson Rodriguez Castellanos
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería, Departamento de Eléctrica y Electrónica
Bogotá, Colombia
2018
Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al
mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Jhon Edisson Rodriguez Castellanos
Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Ingeniería - Automatización Industrial
Director:
Victor Hugo Grisales Palacio. Ph.D
Línea de Investigación:
Inteligencia Computacional y Automática
Grupo de Investigación:
Grupo de Automática de la Universidad Nacional - GAUNAL
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería, Departamento de Eléctrica y Electrónica
Bogotá, Colombia
2018
Este documento de tesis está dedicado a mis
padres, mis hermanos, demás familiares y
amigos que me brindaron su apoyo y
compresión.
Agradecimientos
Quiero agradecer a mis padres, Segundo Avelino Rodríguez y María Isabel Castellanos
por su apoyo incondicional, por brindarme cariño y amor y motivarme a salir siempre
adelante.
Agradezco a mi director de tesis Victor Hugo Grisales, Ph.D, por su apoyo en el desarrollo
de esta tesis, por sus consejos para ser un buen profesional y su amistad.
Agradezco a todas las personas que participaron en el desarrollo y ejecución de este
trabajo de tesis.
Resumen y Abstract IX
Resumen
El presente trabajo de tesis de maestría se desarrolló para el establecimiento de
metodologías, que permitan el diseño e implementación de controladores difusos, bajo tres
arquitecturas seleccionadas, por la creciente atención en aplicaciones de control difuso en
el ámbito industrial. Las arquitecturas seleccionadas son controladores difusos directos,
controladores difusos supervisados y controladores difusos paralelos, que proporcionan
formas diferentes para realizar tareas de control. Teniendo en cuenta lo anterior, se
proponen varias metodologías de diseño de controladores bajo estas arquitecturas,
ajustando los parámetros necesarios para obtener un buen desempeño temporal y una
buena relación para el rechazo de perturbaciones. Para realizar un comparativo entre
estas arquitecturas se implementó en el entorno de simulación un modelo matemático y
un tanque CSTR que exhiben comportamientos no lineales particulares. Con el desarrollo
de las metodologías sistemáticas de diseño de estas tres arquitecturas de control difuso,
estas pueden ser implementadas en el ámbito industrial y obtener un desempeño
aceptable en lazos de control continuo, sin recurrir a múltiples pruebas de ensayo y error
o modificación de los parámetros estructurales de los sistemas difusos para la
sintonización de los controladores.
Palabras clave: Control difuso, control no lineal, métodos de sintonización, FLC
Directo, FLC supervisado, FLC paralelo, factores de escala.
Abstract
The present master's thesis work was developed for the establishment of methodologies,
which allow the design and implementation of fuzzy controllers, under three selected
architectures, by the increasing attention in diffuse control applications in the industrial field.
The selected architectures are direct fuzzy controllers, fuzzy supervised controllers and
parallel fuzzy controllers, which provide different ways to perform control tasks. Taking into
account the above, several control design methodologies are proposed under these
architectures, adjusting the necessary parameters to obtain a good temporary performance
and a good relation for the rejection of disturbances. To make a comparison between these
architectures, a mathematical model and a CSTR tank that exhibit particular nonlinear
behaviors were implemented in the simulation environment. With the development of the
systematic design methodologies of these three diffuse control architectures, these can be
implemented in the industrial field and obtain an acceptable performance in continuous
control loops, without resorting to multiple trial and error tests or modification of the
parameters of diffuse systems for the tuning of controllers.
Keywords: Fuzzy control, non-linear control, tuning methods, Direct FLC,
supervised FLC, parallel FLC, scale factors.
Contenido XI
Contenido
Pág.
Resumen ........................................................................................................................ IX
Lista de figuras ............................................................................................................ XIV
Lista de tablas ........................................................................................................... XVIII
Lista de Símbolos ........................................................................................................ XIX
1. Introducción ............................................................................................................. 1 1.1 Contexto .......................................................................................................... 1 1.2 Motivación ....................................................................................................... 4 1.3 Antecedentes ................................................................................................... 5
1.3.1 Controlador difuso directo ..................................................................... 5 1.3.2 Controlador difuso supervisado (programación de ganancias) .............. 6 1.3.3 Controlador difuso paralelo ................................................................... 8
1.4 Objetivos.......................................................................................................... 9 1.5 Contribuciones ................................................................................................. 9
1.5.1 Capítulo 2: Controlador Difuso directo ................................................... 9 1.5.2 Capítulo 3: Controlador Difuso Supervisado ........................................ 10 1.5.3 Capítulo 4: Controlador Difuso Paralelo .............................................. 11 1.5.4 Capítulo 5: Estudio Comparativo ......................................................... 11 1.5.5 Anexo: Control PID ............................................................................. 11
1.6 Organización del documento ......................................................................... 11
2. Controlador Difuso Directo .................................................................................... 13 2.1 Control difuso ................................................................................................ 14
2.1.1 Fuzificación ......................................................................................... 15 2.1.2 Inferencia ............................................................................................ 16 2.1.3 Defuzificacion ...................................................................................... 21
2.2 Arquitectura FPD+I ........................................................................................ 22 2.2.1 Generalidades ..................................................................................... 22
2.3 Arquitectura MHPID ....................................................................................... 27 2.3.1 Generalidades ..................................................................................... 27
2.4 Normalización ................................................................................................ 30 2.4.1 Normalización FPD+I .......................................................................... 31 2.4.2 Normalización MHPID ......................................................................... 32
2.5 Wind-Up ........................................................................................................ 33 2.5.1 Wind-up FPD+I ................................................................................... 35 2.5.2 Wind-up MHPID .................................................................................. 36
XII Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al
mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
2.6 Ecuaciones de conversión FPD+I y MHPID................................................... 37 2.7 Metodología de diseño: FPD+I y MHPID ....................................................... 38
2.7.1 Analizar el comportamiento de la planta ............................................. 39 2.7.2 Obtener la representación Matemática aproximada de la planta ......... 39 2.7.3 Obtener las Ganancias de Escalamiento Difusas ............................... 40 2.7.4 Sintonización ...................................................................................... 40
3. Controlador Difuso Supervisado .......................................................................... 43 3.1 Arquitectura supervisor FLC: FGS – f(e, de) .................................................. 45
3.1.1 Generalidades .................................................................................... 45 3.1.2 Normalización FGS – f(e, de) .............................................................. 50
3.2 Arquitectura supervisor FLC: FGS – f(y, r) ..................................................... 50 3.2.1 Generalidades .................................................................................... 50
3.3 Metodología de diseño: FGS – f(e, de) .......................................................... 54 3.3.1 Analizar el comportamiento de la planta ............................................. 54 3.3.2 Obtener la representación Matemática aproximada de la planta ......... 54 3.3.3 Sintonización ...................................................................................... 55
3.4 Metodología de diseño: FGS – f(y, r) ............................................................. 55 3.4.1 Analizar el Comportamiento de la Planta ............................................ 55 3.4.2 Identificación de los modelos en los diferentes puntos de operación .. 56 3.4.3 Sintonizar el controlador PID local en los diferentes puntos de operación .......................................................................................................... 56 3.4.4 Generar el Sistema Difuso .................................................................. 56 3.4.5 Sintonización ...................................................................................... 57
4. Controlador Difuso Paralelo .................................................................................. 59 4.1 Arquitectura Paralela: FLC-PID por αFunción ................................................ 60 4.2 Arquitectura Paralela: FLC-PID por αSupervisión .......................................... 62
4.2.1 Metodología de Diseño: FLC-PID por αSupervisión ............................ 64 4.3 Arquitectura Paralela: FLC Directo - Supervisor FLC..................................... 65
4.3.1 Metodología de Diseño: FLC Directo - Supervisor FLC ....................... 65
5. Estudio Comparativo ............................................................................................. 67 5.1 Modelos de plantas No-lineales ..................................................................... 67
5.1.1 Modelo Matemático No Lineal ............................................................. 67 5.1.2 Sistema No Lineal (CSTR) .................................................................. 69
5.2 FLC Directos ................................................................................................. 70 5.2.1 Modelo No Lineal ................................................................................ 70 5.2.2 Sistema No-Lineal .............................................................................. 73
5.3 FLC Supervisados ......................................................................................... 75 5.3.1 Modelo No Lineal ................................................................................ 75 5.3.2 Sistema No-Lineal .............................................................................. 79
5.4 FLC Paralelos ............................................................................................... 82 5.4.1 Modelo No Lineal ................................................................................ 82 5.4.2 Sistema No-Lineal .............................................................................. 84
5.5 Comparativo global ....................................................................................... 87 5.5.1 Tareas de seguimiento y regulación ................................................... 87 5.5.2 Esfuerzo del diseñador (Requisitos de implementación) ..................... 93
6. Conclusiones y Trabajo futuro ............................................................................. 95 6.1 Conclusiones ................................................................................................. 95
6.2 Trabajo futuro ................................................................................................ 98
A. Anexo: Control PID ................................................................................................ 99 6.3 Caracterización de los modelos ................................................................... 103
6.3.1 Métodos que utilizan la curva de reacción del proceso...................... 103 6.3.2 Métodos que utilizan la información de ciclo último ........................... 106 6.3.3 Índice de desempeño ........................................................................ 106
6.4 Modos PID ................................................................................................... 109 6.5 Sintonía de controladores PID ..................................................................... 110
6.5.1 Métodos que utilizan la información de la curva de reacción del proceso. 110 6.5.2 Métodos que utilizan el mínimo índice de desempeño. ..................... 111 6.5.3 Métodos que utilizan la información de ciclo ultimo ........................... 112 6.5.4 Control de Modelo Interno ................................................................. 112
6.6 Comparativo de controladores PID lineales ................................................. 113
B. Anexo: Sintonización FGS – f(y, r) ...................................................................... 117
Bibliografía .................................................................................................................. 123
Contenido XIV
Lista de figuras
Pág.
Figura 1-1: Conjuntos difusos del universo velocidad. Tomado de (Babuška, 2009). . 2
Figura 1-2: Componentes de un sistema difuso. Tomado de (Babuška, R.). .............. 3
Figura 1-3: Arquitecturas de controladores difusos. Elaboración propia. .................... 5
Figura 1-4: Arquitectura de un controlador difuso Directo. Tomado de (Passino &
Yurkovich, 1998). .............................................................................................................. 5
Figura 1-5: Arquitectura de un controlador difuso Supervisado. Tomado de (Viljamaa
& Koivo, 1995). ……………………………………………………………………………………7
Figura 1-6: Arquitectura de un controlador difuso Paralelo. Tomado de (Zhang &
Shao, 2006)……………………………………….. ............................................................... 8
Figura 2-1: Clasificación estructural de los FLC. Tomado de (Mann et al., 1999). .... 13
Figura 2-2: FLC PID con (a) base de reglas desacopladas, (b) base de reglas
acopladas. Tomado de (Mann et al., 1999). .................................................................... 14
Figura 2-3: Comportamiento temporal del error y la derivada del error. Tomado de
(Altas & Sharaf, 2007). .................................................................................................... 15
Figura 2-4: Ejemplo de Fuzificación de la variable error. Elaboración propia. ........... 16
Figura 2-5: División del espacio de entrada en 3 regiones para e, Δe. Modificado de
(Altas & Sharaf, 2007). ................................................................................................... 18
Figura 2-6: Mecanismo de inferencia Mamdani. Elaboración propia. ........................ 19
Figura 2-7: Mecanismo de inferencia con composición: (a) Max-Min, (b) Producto-
Suma. Elaboración propia. .............................................................................................. 19
Figura 2-8: Mecanismo de inferencia Takagi-Sugeno. Modificado de (Wildrow, 2014).
…………………………………………………………………………………..20
Figura 2-9: Defuzificacion por COG. Tomado de (Babuška, 2009) ........................... 21
Figura 2-10: (a) MFs e, (b) MFs Δe, (c) MF para u y (d) Superficie de control.
Elaboración propia. ......................................................................................................... 24
Figura 2-11: Arquitectura de un controlador FPD+I. Elaboración propia. .................... 25
Figura 2-12: Respuesta temporal de los controladores PID y FPD+I para: (a) to/tao =
0.19 y (b) to/tao = 2.01. Elaboración propia..................................................................... 26
Figura 2-13: Respuesta temporal de los controladores PID y FPD+I con variación en la
magnitud de la señal de entrada. Elaboración propia ...................................................... 26
Figura 2-14: (a) MFs e, (b) MFs Δe, (c) MF Superficie de control. Elaboración propia.
…………………………………………………………………………………..28
Figura 2-15: Arquitectura de un controlador MHPID. Elaboración propia. ................... 29
Figura 2-16: Respuesta temporal de los controladores PID y MHPID para: (a) to/tao =
0.19 y (b) to/tao = 2.01. Elaboración propia .................................................................... 29
Figura 2-17: Respuesta temporal de los controladores PID y MHPID con variación en
la magnitud de la señal de entrada. Elaboración propia. ................................................ 30
Figura 2-18: Respuestas temporales con FLC normalizado. Elaboración propia. ...... 32
Figura 2-19: Respuestas temporales con FLC normalizado. Elaboración propia. ...... 33
Figura 2-20: Controlador PID con anti wind-up por recalculo y seguimiento. Tomado de
(Astrom, 1995) …………………………………………………………………………………..34
Figura 2-21: Método anti wind-up propuesto para FPD+I. Elaboración propia. .......... 35
Figura 2-22: Respuesta temporal para controladores con y sin Anti wind up.
Elaboración propia. ........................................................................................................ 35
Figura 2-23: Método anti wind-up propuesto para MHPID. Elaboración propia. ......... 36
Figura 2-24: Respuesta temporal para controladores con y sin Anti wind-up.
Elaboración propia. ........................................................................................................ 36
Figura 2-25: Respuesta temporal para conversiones (a) to/tao = 0.19; (b) to/tao = 2.01.
Elaboración propia. ........................................................................................................ 38
Figura 2-26: Respuesta en lazo cerrado. Elaboración propia. .................................... 39
Figura 3-1: Clasificación de supervisores difusos en función de las señales de
entrada. Tomado de ((Viljamaa & Koivo, 1995; Zhao & Isaka, 1993; Babuška, 2009;
Passino & Yurkovich, 1998) . .......................................................................................... 44
Figura 3-2: (a) MFs para e; (b) MFs para Δe; (c) MFs de salida para 𝐾𝑝′; (d)
Superficie 𝐾𝑝′; (e) MFs de salida para 𝐾𝑑′; (f) Superficie 𝐾𝑑′; (g) MFs de salida para 𝛼;
Superficie 𝛼. Elaboración propia. .................................................................................... 47
Figura 3-3: Arquitectura supervisor difuso. Elaboración propia. ............................... 49
Figura 3-4: Respuesta temporal para (a) to/tao = 0.19 y (b) to/tao = 1.10. Elaboración
propia……………. .......................................................................................................... 49
Figura 3-5: Respuesta temporal de los controladores PID y SUPF 1 con variación en
la magnitud de la señal de entrada. Elaboración propia. ................................................ 50
Figura 3-6: Funciones de pertenencia para las entradas y la salida. Tomado de
(Viljamaa & Koivo, 1995). ............................................................................................... 51
Figura 3-7: Funciones de pertenencia para (a) y ; (b) r. Elaboración propia ............. 52
Figura 3-8: Interpolación para: (a) 𝐾𝑝; (b) 𝑇𝑖; (c) 𝑇𝑑. Elaboración propia. ................ 53
Figura 3-9: Arquitectura supervisor difuso. Elaboración propia. ............................... 54
Figura 4-1: Clasificación de controladores difusos en paralelo. ................................ 60
Figura 4-2: Comportamiento de 𝛼 en función de del valor absoluto del error. Tomado
de (Zhang & Shao, 2006). .............................................................................................. 61
Figura 4-3: Arquitectura FLC-PID por αSupervisión. Tomado de (Chakchouk et al.,
2015)…………… ............................................................................................................ 62
Figura 4-4: (a) MFs para e y Δe; (b) MFs para α; (c) Base de reglas; (d) Superficie
difusa. Elaboración propia. ............................................................................................. 63
Figura 4-5: Comportamiento dinámico de α. Elaboración propia. ............................. 64
Figura 4-6: Arquitectura Paralela. Elaboración propia. ............................................. 65
Figura 5-1: Curva de reacción del sistema. (a) Vista ampliada punto de operación
inferior (b) Vista ampliada punto de operación superior. Elaboración propia. ................. 68
X
VI
Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al
mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Figura 5-2: Reactor CSTR. Tomado de (Bequette, 1998). ........................................ 69
Figura 5-3: Curva de reacción del sistema. Elaboración propia. ............................... 70
Figura 5-4: Respuesta temporal ante variaciones de la referencia. Elaboración
propia…………………….. ............................................................................................... 71
Figura 5-5: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo
paso…………………….. .................................................................................................. 72
Figura 5-6: Respuesta temporal ante variaciones de la referencia. Elaboración
propia…………………. .................................................................................................... 74
Figura 5-7: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo
paso……………………. ................................................................................................... 74
Figura 5-8: Funciones de pertenencia para (a) y ; (b) r. Elaboración propia ............. 76
Figura 5-9: Respuesta temporal ante variaciones de la referencia. Elaboración
propia……………………. ................................................................................................ 77
Figura 5-10: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo
paso…………………. ...................................................................................................... 78
Figura 5-11: Funciones de pertenencia para (a) y ; (b) r. Elaboración propia ............. 80
Figura 5-12: Respuesta temporal ante variaciones de la referencia. Elaboración
propia………………......................................................................................................... 81
Figura 5-13: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo
paso……………… ........................................................................................................... 81
Figura 5-14: Respuesta temporal ante variaciones de la referencia. Elaboración
propia…………………. .................................................................................................... 83
Figura 5-15: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo
paso………………. .......................................................................................................... 84
Figura 5-16: Respuesta temporal ante variaciones de la referencia. Elaboración
propia………….. .............................................................................................................. 85
Figura 5-17: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo
paso…………….. ............................................................................................................ 86
Figura 5-18: Respuesta temporal de los FLC ante variaciones de la referencia en el
punto bajo de operación. ................................................................................................. 87
Figura 5-19: Respuesta temporal de los FLC ante variaciones de la referencia en el
punto alto de operación. .................................................................................................. 87
Figura 5-20: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo
paso…………… .............................................................................................................. 88
Figura 5-21: Respuesta temporal de los FLC ante variaciones de la referencia en el
punto bajo de operación. ................................................................................................. 89
Figura 5-22: Respuesta temporal de los FLC ante variaciones de la referencia en el
punto alto de operación. .................................................................................................. 89
Figura 5-23: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo
paso……………… ........................................................................................................... 90
Figura 6-1: Arquitectura típica de un sistema de control. Tomado de (Smith &
Corripio, 2004)… ........................................................................................................... 100
Figura 6-2: Parámetros del comportamiento de sistemas de segundo orden. Tomado
de (Copyright 2008 Pearson Prentice Hall, Inc) .............................................................102
Figura 6-3: Método de la tangente de Ziegler y Nichols. Elaboración propia ...........104
Figura 6-4: Método de la tangente de Miller. Elaboración propia ............................104
Figura 6-5: Método de Smith. Elaboración propia ...................................................105
Figura 6-6: Método de Alfaro. Elaboración propia ...................................................106
Figura 6-7: Familia de curvas para 𝐺𝑝𝑠. Elaboración propia ...................................107
Figura 6-8: Curvas representativas. Elaboración propia..........................................108
Figura 6-9: Respuesta temporal de los controladores de la planta con 𝑁 = 2, 𝛼 = 0.1
Elaboración propia ........................................................................................................114
Figura 6-10: Respuesta temporal de los controladores para la planta con 𝑁 = 12, 𝛼 =
0.5 Elaboración propia. ..................................................................................................114
Figura 6-11: Valor del IAE para cada método. Elaboración propia ............................115
Figura 6-12: Valor del ITAE para cada método. Elaboración propia ..........................116
Figura 6-13: Curva de reacción del proceso No-Lineal .............................................117
Figura 6-14: (a) MF para y; (b) MF para r ; (c) Desempeño temporal (d) Variación de
las ganancias del controlador PID local. ........................................................................118
Figura 6-15: (a) MF para y; (b) MF para r ; (c) Desempeño temporal (d) Variación de
las ganancias del controlador PID local .........................................................................118
Figura 6-16: a) MF para y; (b) MF para r ; (c) Desempeño temporal (d) Variación de las
ganancias del controlador PID local ..............................................................................119
Figura 6-17: (a) Respuesta temporal; (b) Variación de parámetros PID ....................120
Figura 6-18: Desempeño temporal para (a) Wy=1; Wr=0; (b) Wy=0.75; Wr=0.25; (c)
Wy=0.5; Wr=0.5; (d) Wy=0.25; Wr=0.75; (e) Wy=0; Wr=1; ...........................................120
Figura 6-19: Desempeño temporal (a) Corrimiento MFs hacia la derecha; (b)
Corrimiento MFs hacia la izquierda ...............................................................................121
Contenido XVIII
Lista de tablas
Pág.
Tabla 2-1: Signos para e, Δe y u. ................................................................................ 17
Tabla 2-2: Base de reglas para e, Δe y u. ................................................................... 18
Tabla 2-3: Base de reglas arquitectura FPD+I. ........................................................... 23
Tabla 3-1: Reglas difusas para 𝐾𝑝′ ............................................................................. 46
Tabla 3-2: Reglas difusas para 𝐾𝑑′ ............................................................................. 46
Tabla 3-3: Reglas difusas para α ................................................................................ 46
Tabla 5-1: Mediciones de índices de desempeño ....................................................... 72
Tabla 5-2: Mediciones de desempeño ........................................................................ 72
Tabla 5-3: Mediciones de índices de desempeño ....................................................... 74
Tabla 5-4: Mediciones de desempeño ........................................................................ 75
Tabla 5-5: Mediciones de índices de desempeño ....................................................... 77
Tabla 5-6: Mediciones de desempeño ........................................................................ 78
Tabla 5-7: Mediciones de índices de desempeño ....................................................... 80
Tabla 5-8: Mediciones de desempeño ........................................................................ 82
Tabla 5-9: Mediciones de índices de desempeño ....................................................... 83
Tabla 5-10: Mediciones de desempeño ..................................................................... 84
Tabla 5-11: Mediciones de índices de desempeño.................................................... 86
Tabla 5-12: Mediciones de desempeño ..................................................................... 86
Tabla 5-13: Desempeño en tareas de seguimiento ................................................... 88
Tabla 5-14: Desempeño en tareas de regulación (Planta No-Lineal sección 5.1.1) ... 88
Tabla 5-15: Desempeño en tareas de seguimiento ................................................... 90
Tabla 5-16: Desempeño en tareas de regulación (Sistema No-Lineal sección 5.1.2) 91
Tabla 6-1: Parámetros de los modelos ..................................................................... 108
Tabla 6-2: Calculo del IAEP para cada método. ....................................................... 109
Tabla 6-3: Cálculo del índice IAE para cada método. ............................................... 114
Tabla 6-4: Cálculo del índice ITAE para cada método. ............................................. 115
Tabla 6-5 Índices de desempeño para las variaciones de Wy y Wr. ........................ 121
Tabla 6-6 Índices de desempeño para corrimientos de las MFs .............................. 122
Contenido XIX
Lista de Símbolos
t Tiempo
u(t) Señal de control en el tiempo t
Upi Señal de control proporcional integral
Δu Diferencial de la acción de control
y(t) Salida del proceso en el tiempo t
Ref(t) Señal de referencia o set point para el proceso en el tiempo t
e(t) =Ref(t) – y(t) error entre la referencia y la salida del proceso
Δe(t) / ce Primera derivada del error
ie Integral del error
G(s) Función de transferencia de la planta
GI Función de transferencia en el punto inferior
Gs Función de transferencia en el punto superior
MF Funciones de pertenencia
mx Numero de conjuntos difusos para x
Θin Parámetros de funciones de pertenencia de entrada
Θrules Índice de base de reglas
Θout Lugares de los singletons de salida
FIS Sistema de inferencia difusa
COG Método de defuzificacion por centro de gravedad
Kp Ganancia proporcional en un controlador PID
X
X
Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al
mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Ti Tiempo integral en un controlador PID
Td Tiempo derivativo en un controlador PID
α Coeficiente de ponderación
λ Índice de suavidad
δ Umbral del error
FLC Controlador lógico difuso
FPD+I Fuzzy Proportional-Derivative-Plus-Integral
MHPID Modified Hybrid Proportional-Integral-Derivative
FGS-f(e, de) Fuzzy gain scheduling en función del error y la derivada del error
FGS-f(y, r) Fuzzy gain scheduling en función de la salida y la referencia
FLC-PID αsup Fuzzy logic controller en paralelo con un PID por medio de un
supervisor
FLC DIr-Sup
FLC Fuzzy logic controller en paralelo con un supervisor difuso
IAEP índice de la Integral del valor absoluto del error de predicción
IAE índice de la Integral del valor absoluto del error
ITAE índice de la Integral del valor absoluto del error por el tiempo
Ki Ganancia estática correspondiente al modelo en el punto inferior
Ks Ganancia estática correspondiente al modelo en el punto superior
Wy , Wr Factores de peso
1. Introducción
En procesos continuos, la transformación de materias primas se realiza de manera
constante por lo cual se hace necesario el manejo de variables analógicas (p. ej.
temperatura, flujo, nivel, presión) con el fin de medir, manipular o controlar el flujo de
material. Para controlar estos procesos continuos habitualmente se desea imponer un
comportamiento en la respuesta del sistema y mantenerlo en un punto de control a pesar
de las perturbaciones.
El controlador más popular utilizado en la industria y diseñado bajo este enfoque es el PID
(Proporcional, integral, derivativo) el cual presenta sencillez, versatilidad y un desempeño
satisfactorio en procesos lineales. No obstante, para procesos que tengan cambios en
puntos de operación que evidencien un comportamiento dinámico no lineal, se presenta
frecuentemente degradación del desempeño en la respuesta, aunque se realice una
adecuada sintonización de los parámetros del controlador en el punto de operación del
proceso.
Para tratar de solventar estos inconvenientes, surge como una alternativa la utilización de
sistemas de control no lineales que puedan proporcionar un mejor desempeño
comparativamente con el PID convencional. Una técnica que en las últimas dos décadas
está siendo utilizada en la industria con relativo éxito es el control difuso.
1.1 Contexto
El control difuso (Yesil et al, 2003) se basa en la lógica difusa, la cual permite describir
relaciones por medio de reglas si-entonces, en donde las variables pueden tomar valores
intermedios en el rango 0 a 1, de cumplimiento o pertenencia gradual. Por ejemplo, para
el uso de un automóvil, parte del comportamiento se podría describir con la frase "Si oprime
bastante el acelerador, Entonces la velocidad es alta". La definición de los términos
lingüísticos “bastante” y “alta” se puede representar por conjuntos difusos, es decir un
elemento dentro de un universo puede pertenecer simultáneamente a varios conjuntos con
2 Introducción
diferentes grados de pertenencia. A manera de ejemplo, una velocidad de 80 km/h cumple
en el conjunto de velocidad alta con una pertenencia de 0,6 y en el conjunto de velocidad
media con una pertenencia de 0,1 como se observa en la Figura 1-1. En contraste, en la
lógica tradicional las variables solo pueden tomar valores abruptos; es decir pertenecen a
un conjunto o no pertenecen.
Figura 1-1: Conjuntos difusos del universo velocidad. Tomado de (Babuška, 2009).
Las funciones de pertenencia (MF) son una manera de representar gráficamente un
conjunto difuso sobre un universo, En la Figura 1-1, se pueden apreciar dos de las formas
más comunes de funciones de pertenencia; triangular utilizada para el conjunto difuso de
velocidad media y trapezoidal utilizada para los conjuntos difusos de velocidad baja y alta.
Otra forma muy utilizada es el singleton en donde su base es un punto y el valor de la
función de pertenencia es 1 (como una función impulso).
Las reglas que se utilizan en los sistemas de lógica difusa se pueden clasifican según la
estructura de construcción:
Reglas tipo Mamdani: El antecedente y el consecuente son expresiones lingüísticas.
Por ejemplo: Si x es A (antecedente), Entonces y es B (consecuente).
Reglas tipo Takagi-Sugeno: El antecedente es una expresión lingüística mientras que
el consecuente es una función de la entrada. Por ejemplo: Si x es A, Entonces y = f(x).
Para poder combinar dos proposiciones es necesario representar cada proposición en
conjuntos difusos con funciones de pertenencia y la inferencia lógica se encarga de realizar
la combinación para producir nuevas proposiciones. Un sistema de lógica difusa utiliza este
mecanismo para realizar el cálculo de un sistema de entradas y salidas numéricas. La
arquitectura básica de un sistema de lógica difusa está compuesta por: fuzificación,
inferencia y defuzificación, como se muestra en la Figura 1-2.
Introducción 3
Figura 1-2: Componentes de un sistema difuso. Tomado de (Babuška, R.).
A continuación, se indicará una breve descripción de cada una de las partes:
Bloque de fuzificación: Este módulo se encarga de convertir los datos de las entradas en
conjuntos difusos para que puedan ser interpretados y entregarlos al bloque de la máquina
de inferencia. Los valores difusos representan los diferentes niveles del grado de
pertenencia de los datos de entrada en los conjuntos difusos.
Bloque de inferencia (FIS): Utilizando las reglas previamente almacenadas en una base de
conocimiento lingüístico se asigna una correspondencia no lineal entre una o muchas
variables de entrada y una o varias variables de salida (Medina Hurtado S, 2008). Es decir,
se toman decisiones mediante la aplicación de relaciones de composición a las variables
de entrada generando conjuntos difusos de salida para el bloque de defuzificación.
Bloque de defuzificación: La salida del mecanismo de inferencia es un valor difuso; para
obtener una salida con datos numéricos, este bloque puede utilizar alguno de los siguientes
métodos para realizar la conversión: centro de gravedad, centros promediados, centro de
área, entre otros.
El uso de la lógica difusa no es exclusiva para el área de inteligencia computacional, sino
que puede aplicarse a otras áreas del conocimiento como la economía, la semántica, la
psicología, la física, la geografía, etc. En el área de control se busca crear una de base de
conocimiento mediante la extracción y emulación de la experiencia de las personas
expertas en los procesos, de esta manera poder aplicarlo a un controlador basado en
reglas lingüísticas.
En el caso de los controladores PID basados en lógica difusa el principio esencial de
operación está, al igual que en el caso del PID convencional, soportado en el cálculo de la
acción correctiva con base al comportamiento del error. La principal diferencia radica que
4 Introducción
para los controladores PID difusos el comportamiento obtenido es en general no lineal, lo
que podría ser más apropiado para mejorar el desempeño en el control de plantas no
lineales.
1.2 Motivación
Actualmente en el ámbito industrial, existe un cierto número de procesos no lineales cuyo
comportamiento dinámico puede ser aproximado, desde una perspectiva convencional, por
modelos matemáticos relativamente simples. Como parte de la práctica de ingeniería,
estos procesos suelen controlarse mediante sistemas PID convencionales, pero
usualmente no se logra un desempeño adecuado cuando se trabaja en diferentes puntos
de operación, aun cuando se realiza sintonización, esto debido a la naturaleza lineal del
controlador, lo cual se puede traducir en pérdidas económicas, en riesgos de seguridad en
la operación y en degradación del desempeño percibido cuando la respuesta del sistema
tarda más tiempo para alcanzar el set point, o cuando la respuesta del sistema presenta
un sobre-impulso que se va incrementando.
Esencialmente se busca mejorar el desempeño de controladores PID en procesos no
lineales, bien sea empleando directamente un controlador difuso o un supervisor de un
controlador PID convencional o una combinación de un controlador difuso y un PID
convencional. Por lo cual surge la siguiente interrogante ¿Comparativamente, de las tres
técnicas cuál es la más apropiada, teniendo en cuenta consideraciones como arquitectura,
desempeño y naturaleza del proceso?
Por otra parte, no existe un procedimiento o una metodología establecida difundida que
sea lo suficientemente general y detallada para el diseño y sintonización del controlador
difuso, por ende, se requiere de procedimientos de prueba y error mediante simulaciones
por sistemas de cómputo o pruebas del proceso. Surgen entonces inquietudes conexas,
como por ejemplo ¿Cómo se puede diseñar sistemáticamente los FLC o tener pautas de
diseño?, ¿Cuál es la forma de analizar y evaluar los controladores PID difusos diseñados?
El proyecto de investigación busca explorar los formalismos de los sistemas de lógica
difusa, como sistemas no lineales entrada-salida descritos mediante reglas aplicadas al
ámbito de control regulatorio en procesos continuos bajo arquitecturas de control directo,
control supervisorio y control paralelo. El estudio se enfocará en el análisis comparativo de
Introducción 5
las técnicas, metodología y consideraciones de diseño, así como su validación
experimental a nivel académico.
1.3 Antecedentes
Luego de realizar una profunda revisión bibliográfica, se han encontrado varias
aplicaciones de control difuso aplicado al ámbito industrial, esto indica que esta técnica se
está convirtiendo en una herramienta que puede ser aplicada a procesos de carácter no
lineal. En estos artículos se puede observar varias arquitecturas propuestas para los
esquemas de control difuso (Yesil et al, 2003; Ketata et al, 1995; Hu et al, 2001; Precup &
Hellendoorn, 2011; Mann et al, 1999), en donde las técnicas que más se destacan son:
controlador difuso directo, programación de ganancia en donde el controlador difuso actúa
como supervisor de un controlador PID convencional y paralelo en donde se combina las
acciones de control de un FLC y un PID convencional.
Figura 1-3: Arquitecturas de controladores difusos. Elaboración propia.
De manera genérica, los controladores PID difusos se pueden clasificar en tres categorías
de acuerdo con la arquitectura de su construcción, según se describe a continuación:
1.3.1 Controlador difuso directo
Se denomina de esta manera debido a que el controlador PID difuso se encuentra dentro
del lazo de control de realimentación, como se aprecia en la Figura 1-4, ya que el
controlador difuso acciona directamente el proceso. (Passino & Yurkovich, 1998).
Figura 1-4: Arquitectura de un controlador difuso Directo. Tomado de (Passino & Yurkovich, 1998).
6 Introducción
La salida del proceso (y) se compara con una referencia (ref), y si hay una desviación (e),
el controlador realiza la acción de acuerdo con la estrategia de control, la cual se deduce
de la base de conocimientos y calcula las acciones PID a través de la inferencia difusa.
Considerando como las entradas del controlador difuso directo el error y el cambio del
error, como salida la acción de control, la base de reglas suele plantearse de la siguiente
manera: “Si el error es Negativo Grande y el cambio del error es Zero, Entonces control es
Negativo Grande”. Controladores difusos directos han sido aplicados en varios procesos
lineales y no lineales, a continuación, se indicarán algunas referencias a nivel industrial:
En (Fileti et al., 2007) se realizó el diseño y pruebas experimentales en plantas piloto de
controladores difusos en tres procesos: control de temperatura en un reactor de
polimerización por lotes de metacrilato de metilo, control de temperatura en un sistema de
refrigeración y control de la composición del producto superior en una columna de
destilación por lotes. La sintonización de los controladores difusos se obtuvo por prueba y
error basándose en índices de rendimiento (ISE, IAE o ITAE). En (Mahmoud, 2005) se
realizó el diseño de un controlador difuso para una central hidroeléctrica, capaz de
controlar simultáneamente tres turbinas acopladas hidráulicamente. El controlador difuso
está compuesto por 12 entradas, seis salidas, y 699 reglas que se distinguen en cuatro
capas de control. En (Liao, 2008) un controlador difuso se utiliza para mejorar la calidad
del aceite producido a partir de un proceso de separación del petróleo crudo. Se realiza
control de la presión y los niveles del líquido dentro de un separador de aceite. El
controlador fue probado en sitio en una planta que procesa petróleo en Canadá.
1.3.2 Controlador difuso supervisado (programación de ganancias)
Es una combinación jerárquica de un controlador PID lineal y un controlador difuso, en
donde este último se utiliza para sintonizar los parámetros Kp, Ti y Td en línea, con el fin
de realizar modificaciones de la respuesta del sistema en determinado punto de
funcionamiento (Viljamaa & Koivo, 1995). La arquitectura de este tipo de controladores se
puede observar a continuación:
Introducción 7
Figura 1-5: Arquitectura de un controlador difuso Supervisado. Tomado de (Viljamaa &
Koivo, 1995).
Las señales de entrada comúnmente utilizadas para el sistema difuso son: la salida de la
planta y la referencia entre otras; adicionalmente se requiere una tabla con los parámetros
del controlador PID sintonizado fuera de línea en las diferentes condiciones de
funcionamiento. Por lo cual se tendrá el mismo número de conjuntos difusos y de los
modelos, la estructura interna del supervisor es la misma que el de un controlador difuso y
las salidas del supervisor son los incrementos de los parámetros PID.
La base de reglas para esta arquitectura suele plantearse de la siguiente manera: “Si salida
de proceso es Alta Entonces reducir ganancia Proporcional y aumentar ganancia
Derivativa y disminuir ganancia Integral”. A continuación, se indicarán algunas variaciones
entre los esquemas de supervisores difusos:
En (Ketata et al, 1995) se utilizó como entradas para el supervisor difuso, los valores de
rendimiento alcanzados después de un transitorio, es decir valores del tiempo de subida,
sobre-impulso y factor de estabilidad (relación del primer sub-impulso y el primer sobre-
impulso). El objetivo de la supervisión es hacer que la respuesta del proceso converja hacia
un perfil de referencia considerado como apropiado, los antecedentes de las reglas deben
contener los valores difusos del desempeño dinámico y las conclusiones, los incrementos
de los parámetros PID. Mientras que en (Zhao, 1993; Zhang, 2004) se utilizó un parámetro
de ajuste α relacionado con la respuesta del sistema, en donde la base de las reglas
difusas es utilizada para determinar los valores del controlador PID convencional.
Otro enfoque del supervisor difuso es el planteado en (Sanjuan et al., 2006), se presentó
el diseño para el ajuste automático de los parámetros del controlador local para prevenir
comportamientos oscilatorios. El supervisor utiliza un módulo para la detección de picos,
un módulo de escalamiento para detectar la causa de la oscilación, un módulo de inferencia
en conjunto con un acumulador para calcular los parámetros de ajuste del controlador PID
8 Introducción
local. El sistema fue probado en simulación utilizando un modelo de un tanque de reactor
continuamente agitado.
1.3.3 Controlador difuso paralelo
Puede ser la combinación de un controlador PID convencional con un controlador de tipo
FLC, la idea es poder escoger el controlador convencional cuando la respuesta del proceso
esté cerca del estado estacionario, mientras que se selecciona el controlador FLC en los
transitorios. La arquitectura de este tipo de controladores se puede observar en la Figura
1-6.
Figura 1-6: Arquitectura de un controlador difuso Paralelo. Tomado de (Zhang & Shao,
2006).
La base de reglas utilizada para este controlador tiene la misma estructura que las reglas
de un FLC directo. A continuación, se indicarán algunas aplicaciones de controladores
difusos paralelos:
En (Chakchouk et al., 2015) se realiza la combinación de un controlador PI convencional y
un controlador de lógica difusa. Un supervisor difuso tramita el cambio de un controlador a
otro y regula la participación. Para evitar falsas conmutaciones entre controladores,
utilizaron un factor de ponderación α generado por el supervisor difuso. Mientras que en
(Zhang & Shao, 2006), el controlador paralelo se utilizó para controlar la temperatura del
aluminio fundido en un horno de atomización. El coeficiente de ponderación 'α' se definió
como una función del error. En (Tani et al., 1994) se presentó un controlador paralelo en
donde la salida del controlador difuso compensa directamente la salida de control PID
convencional. El controlador se aplicó a un sistema de temperatura superior en una planta
petroquímica. Realizaron la sintonización del controlador PID y el controlador difuso de
forma manual sobre el proceso real.
Introducción 9
1.4 Objetivos
El objetivo general de la Tesis es realizar un estudio comparativo de los sistemas de control
PID difusos a partir de la caracterización de las técnicas de control difuso directo,
supervisor difuso y paralelo con el fin de plantear una metodología de diseño e
implementación orientado a procesos continuos de entorno industrial.
Los objetivos específicos para el problema planteado son:
1. Establecer las características generales y el funcionamiento de las principales
técnicas reportadas en el diseño e implementación de controladores PID Difusos:
directo, supervisado y paralelo.
2. Realizar un análisis comparativo de las técnicas de diseño y programar los
algoritmos correspondientes.
3. A partir de la literatura, escoger un modelo no lineal para generar datos sobre el
cual sea aplicable el diseño y realizar la validación de los controladores PID difusos.
4. Utilizar medidas de desempeño temporal a los algoritmos implementados, en
especial en tareas de seguimiento a referencia con cambios en puntos de
operación, rechazo a perturbaciones, realizando un análisis haciendo énfasis en
ventajas y desventajas de cada técnica.
5. Estructurar y documentar las metodologías de diseño desarrolladas, pruebas e
implementaciones de cada una de las técnicas.
1.5 Contribuciones
1.5.1 Capítulo 2: Controlador Difuso directo
Se propone un esquema simple para evitar la saturación en los actuadores por el efecto
integral, mediante la aplicación del método Anti wind-up por recalculo y seguimiento en las
arquitecturas de los controladores PID difusos directos: Fuzzy Proportional-Derivative-
Plus-Integral (FPD+I) y Modified Hybrid Proportional-Integral-Derivative (MHPID), ya que
en la literatura no se encontró un método practico en estas arquitecturas estudiadas
(sección 2.5.1 y sección 2.5.2 respectivamente).
1
0
Introducción
Se propone un conjunto de ecuaciones que permiten realizar la conversión de la
arquitectura FPD+I a MHPID y viceversa, solo cuando los factores de escala de los FLC
son hallados a partir de un controlador PID convencional sintonizado mediante métodos
que utilizan la información de ciclo último. (Sección 2.6)
La principal contribución del capítulo son las metodologías de diseño de los controladores
difusos directos FPD+I y MHPID, mediante la sintonización de los factores de escala a
través de la relación de las ganancias estáticas de los sub-modelos lineales en los puntos
de operación superior e inferior en procesos (auto-regulados) no-lineales. El procedimiento
sistemático de sintonización de controladores difusos directos fue presentado en un evento
internacional:
Jhon Edisson Rodríguez-Castellanos, Victor H. Grisales-Palacio, Jorge Eduardo Cote-
Ballesteros, A tuning proposal for direct fuzzy PID controllers oriented to industrial
continuous processes” en 3rd IFAC Conference on Advances in Proportional-
Integral_Derivarive Control. Ghent, Belgium, Mayo 09 al 11, 2018. (Sección 2.7)
1.5.2 Capítulo 3: Controlador Difuso Supervisado
La principal contribución del capítulo son las metodologías de diseño para los
controladores difusos supervisados:
Para la arquitectura FGS - f(e, de) se propone un conjunto de ecuaciones para hallar las
ganancias del controlador PID local sintonizándolo mediante IMC en función de las salidas
del sistema difuso y las ganancias estáticas de los sub-modelos lineales del proceso no-
lineal. (Sección 3.3).
Se realizó la implementación del sistema difuso supervisado en fuzzy designer de Matlab,
desarrollando las líneas de código para configurar las etapas de salida, defuzzificacion y
agregación.
Para la arquitectura FGS - f(y, r) se propone 5 pasos para realizar la construcción y
sintonización del supervisor difuso, basado en los sub-modelos lineales calculados en el
rango de variación del valor deseado en los procesos (Sección 3.4).
Introducción 11
1.5.3 Capítulo 4: Controlador Difuso Paralelo
Se propone una metodología de diseño para combinar un controlador difuso directo con
un con controlador PID convencional (FLC-PID por αSupervisión) o con un supervisor
difuso (FLC Directo - Supervisor FLC), mediante un sistema difuso que pondera los aportes
de las acciones de control en función del error y la derivada del error del sistema en lazo
cerrado, con el fin de proporcionar una mejora en el desempeño temporal. (Sección 4.2.1
y 4.3.1).
1.5.4 Capítulo 5: Estudio Comparativo
Se presenta la implementación de: un sistema lineal y de dos modelos matemáticos para
sistemas no lineales; adicionalmente, la construcción de las diferentes arquitecturas de los
controladores difusos (Directos, Supervisados y Paralelos) mediante el programa Simulink
MATLAB.
Se ejecutó un análisis comparativo del desempeño de las diferentes técnicas de control
PID difuso frente a aspectos como arquitectura, tareas de seguimiento a referencias y
rechazo a perturbaciones.
1.5.5 Anexo: Control PID
Se realiza la parametrización de un sistema con el fin de variar la relación 𝑡0/𝜏, para evaluar
mediante un comparativo (IAEP), los diferentes métodos de identificación de modelos para
sistemas de primer orden más tiempo muerto. A partir del método que exhibiera el modelo
más aproximado al sistema, éste se utilizó para realizar el diseño de controladores PID
mediante diferentes métodos de sintonización con el objetivo de seleccionar mediante
índices del error (IAE e ITAE), el controlador lineal de mejor desempeño en este caso el
PID IMC. (Anexo A).
1.6 Organización del documento
En el capítulo 2 se presenta una clasificación de los FLC directos y una breve descripción
de los componentes de un sistema difuso. Se realiza un comparativo a nivel estructural
entre dos FLC PID directos (FPD+I y MHPID), recalcando la necesidad de realizar
normalización para las entradas y salidas. Se propone la implementación de un método
anti wind-up y se establece las metodologías de diseño para estas técnicas.
1
2
Introducción
En el capítulo 4 se presenta una clasificación de los supervisores difusos en función de los
parámetros de ajuste del controlador local y las señales de entrada. Se realiza una
selección de dos técnicas para un comparativo a nivel estructural y se propone las
metodologías de diseño para estas técnicas.
En el capítulo 5 se presenta una clasificación de los FLC difusos paralelos en función de
los controladores que se interconectan y la forma en que se realiza la ponderación de los
aportes individuales de la acción de control de cada controlador. Finalmente se propone
las metodologías de diseño para esta técnica.
En el capítulo 6 se realiza el estudio comparativo teniendo en cuenta las metodologías
desarrolladas en los capítulos anteriores, cada técnica es puesta a prueba en dos sistemas
no-lineales, posteriormente se realiza un análisis frente a aspectos como arquitectura,
tareas de seguimiento a referencias y rechazo a perturbaciones.
2. Controlador Difuso Directo
Los FLC de arquitectura directa suelen utilizarse en la mayoría de aplicaciones de control
difuso (Mann et al., 1999), dependiendo de las señales de entrada y de salida que se
consideren sus estructuras pueden ser muy variadas, clasificándose en sistemas difusos
de: una entrada-una salida, dos entradas-una salida, tres entradas-una salida etc.
Las señales de entrada al sistema difuso que proporcionan mayor información
generalmente son: el error (e), la derivada del error (Δe) y la integral o sumatoria del error
(ie, ∑e), para esta última entrada es difícil formular las reglas de control debido a que el
valor de estado estacionario es desconocido y depende del sistema o planta a controlar,
por tal motivo se dificulta la asignación de los valores de las MFs y la ubicación en el
universo de discurso (Mann et al., 1999). Cuando la señal de salida del sistema difuso es
la acción de control (u), se conoce como salida absoluta, mientras que si la salida es el
diferencial de la acción de control (Δu) se conoce como salida incremental, para este caso
es necesario acumular cada aporte de la acción de control mediante un integrador.
Figura 2-1: Clasificación estructural de los FLC. Tomado de (Mann et al., 1999).
Una arquitectura FLC PID se puede construir mediante los elementos de la Figura 2-1,
cuando se utilizan estructuras de una entrada-una salida, se recurre a un bloque de
inferencia para cada variable del sistema por lo tanto habrá dos o más bases de reglas, lo
14 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
que permitiría manipular cada aporte de control individualmente, este caso se conoce como
FLC de reglas desacopladas, la acción de control será una sumatoria de la salida de cada
estructura como se aprecia en la Figura 2-2. Cuando de utilizan estructuras de dos o tres
entradas y una salida se tiene como característica el uso de una sola base de reglas en el
bloque de inferencia, entonces se habla de FLC de reglas acopladas por lo tanto la acción
de control está en función de cada una de las entradas y es imposible descomponer.
Figura 2-2: FLC PID con (a) base de reglas desacopladas, (b) base de reglas
acopladas. Tomado de (Mann et al., 1999).
(a) (b)
Este capítulo está organizado de la siguiente manera:
En la Sección 2.1, se realiza una breve descripción de los componentes de un FLC. En la
Sección 2.2, se presentan los requisitos de implementación para un FLC FPD+I. En la
Sección 2.3 se presentan los requisitos de implementación para un FLC MHPID. En la
Sección 2.4 se insiste en la necesidad de realizar la normalización en los FLC directos. En
la Sección 2.5, se propone la implementación de un método anti Wind-up en los FLC
estudiados. En la Sección 2.6 se propone un conjunto de ecuaciones de conversión entre
estas arquitecturas. Finalmente, en la Sección 2.7 se proponen las metodologías de diseño
de los FLC FPD+I y MHPID.
2.1 Control difuso
El controlador difuso se puede interpretar como un dispositivo que realiza un mapeo no
lineal, en donde la acción de control se describe mediante reglas difusas si-entonces en
función de las señales de entrada y se genera por la máquina de inferencia. El controlador
Capítulo 2 15
se basa en la lógica difusa por tal razón hereda sus componentes principales: fuzificación,
inferencia y defuzificación.
2.1.1 Fuzificación
Las entradas que comúnmente se seleccionan en las aplicaciones de control difuso son el
error y su derivada, el error relaciona la información de la salida del sistema con la señal
de referencia, mientras que la derivada del error establece la tendencia de la variable del
proceso. La salida del controlador difuso es decir la acción de control estará en función de
la señal del error y su derivada, por lo tanto, es necesario observar el comportamiento de
estas señales en diferentes regiones, para así decidir cuándo es necesario incrementar o
disminuir la acción de control.
Una repuesta típica de las señales del error y la derivada del error se representa en la
Figura 2-3, esta grafica muestra el comportamiento temporal para un sistema de segundo
orden en lazo cerrado excitado con una señal tipo escalón. Estas señales se dividen en
siete conjuntos difusos: Negativo Grande (NB), Negativo Mediano (NM), Negativo Pequeño
(NS), Cero (ZZ), Positivo Pequeño (PS), Positivo Mediano (PM) y Positivo Grande (PB).
Figura 2-3: Comportamiento temporal del error y la derivada del error. Tomado de (Altas
& Sharaf, 2007).
Dependiendo del orden del sistema y del tipo de excitación se obtienen diferentes
comportamientos de las señales del e y Δe, a partir de esta información se realiza la
construcción de la base de reglas.
La Fuzificación es el proceso de adquirir un valor de los datos de entrada por ejemplo para
el e y/o Δe y buscar la correspondencia en las MFs definidas en el universo de discurso
(es el rango de valores que las entradas y salidas pueden asumir) para cada variable. Este
16 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
proceso se realiza continuamente y el valor obtenido depende de la forma y ubicación de
las MFs. En la Figura 2-4 la variable error (e) se define en un universo de discurso de -100
a 100, las funciones de pertenencia son de forma triangular. Por ejemplo:
El valor de e = 40 pertenece a dos conjuntos difusos Positivo Pequeño (PS) y Positivo
Mediano (PM) con diferentes grados de pertenencia, para las demás funciones su valor es
de cero.
𝜇𝑃𝑆(40) = 0.65
𝜇𝑃𝑀(40) = 0.35
Figura 2-4: Ejemplo de Fuzificación de la variable error. Elaboración propia.
2.1.2 Inferencia
Los FLC utilizan una base de reglas que permite expresar el conocimiento del proceso y
el comportamiento deseado del controlador, las reglas expresan lingüísticamente una
asociación entre las funciones de pertenencia y las variables de entrada y salida del
sistema difuso. A la asignación de los términos lingüísticos a las variables lingüísticas de
entrada se conoce como antecedente, mientras que a la asignación de los términos
lingüísticos a las variables lingüísticas de salida se conoce como consecuente. Los
conjuntos difusos del antecedente y el consecuente se asocian mediante operaciones
lógicas difusas como And, Or, Not, etc. (Babuška, 2009)
𝑆𝑖 𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑒𝑠 ⏟ 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑙𝑖𝑔𝑢𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑃𝑆⏟𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑔𝑢𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠
𝑎𝑛𝑑 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑒𝑠⏟ 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑙𝑖𝑔𝑢𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑁𝑆⏟𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑔𝑢𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠⏟
𝐴𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝑒𝑠 ⏟ 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑙𝑖𝑔𝑢𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑃𝐵⏟𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑔𝑢𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠⏟
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒
Capítulo 2 17
El número de reglas aumenta exponencialmente con el número de variables lingüísticas
de entrada y los términos lingüísticos que se utilicen, con el fin de mantener una base de
reglas pequeña, se debe restringir el número de entradas y términos lingüísticos lo cual
implicaría un gasto computacional menor a la hora de la implementación. Por ejemplo, en
la Figura 2-3, se utilizan dos entradas y siete términos lingüísticos por ende se obtiene 72
= 49 reglas.
La construcción de la base de reglas para el caso específico de la Figura 2-3, en donde se
utilizan el e, Δe, se inicia con una asignación de términos lingüísticos para estas variables
en un número determinado de intervalos, luego se analiza el comportamiento de las
entradas en especial los signos en cada región, de allí se deduce el signo para la salida es
decir u. Los signos indican si hay un incremento (+) o una reducción (-) de las señales, se
busca que la salida del proceso se dirija al set point (Ref) y el error tienda asintóticamente
a cero. Los signos para e, Δe y u se pueden observar en la siguiente tabla:
Tabla 2-1: Signos para e, Δe y u.
Regiones de Operación
I II III IV V VI VII VIII IX X
e + 0 - - 0 + + - + 0
Δe - - - + + + - 0 0 0
u + - - - + + + - + 0
En la Tabla 2-1 se puede apreciar que las variables lingüísticas tienen tres opciones de
diferentes de signos (+), (-) y (0), a partir de este análisis el espacio de las variables de
entrada pueden reducirse al dividirse en 3 regiones (Figura 2-5) permitiendo la
construcción de una base de 9 reglas.
Una forma de representar la base de reglas es mediante una tabla, en donde la primera
fila y la primera columna hacen referencia a los conjuntos difusos de las entradas, los
conjuntos difusos de la salida están dados por cada intersección entre columnas y filas.
Cada cruce representa una regla.
18 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Tabla 2-2: Base de reglas para e, Δe y u.
U
Δe
N Z P
e
P P P P
Z N Z P
N N N N
Figura 2-5: División del espacio de entrada en 3 regiones para e, Δe. Modificado de
(Altas & Sharaf, 2007).
La base de reglas debe cumplir con las siguientes propiedades:
Un conjunto de reglas difusas es completa si cualquier combinación de valores de entrada
da como resultado un valor apropiado correspondiente para la salida, es consistente si no
tiene ninguna regla contradictoria es decir si dos reglas tienen el mismo antecedente y
tienen diferente consecuente y es continua si no tiene reglas vecinas con salida de los
conjuntos difusos que tengan intersección vacía. (Wildrow, 2014).
Una base de reglas es una relación difusa, para obtener un conjunto difuso de salida se
requiere del mecanismo de inferencia, este primero compara todos los antecedentes de
las reglas con los datos de entrada del controlador, para establecer que reglas deben ser
aplicadas, posteriormente determina mediante los consecuentes de las reglas activadas
cuales deben ser los conjuntos de salida, por último, el mecanismo de inferencia tratará de
combinar los conjuntos de salida para llegar a una sola conclusión (Agregación) (Passino
& Yurkovich, 1998). Existe una variedad de métodos para el mecanismo de inferencia
difusa, destacándose dos por su utilización en FLC:
Capítulo 2 19
Inferencia difusa Mamdani
Este método fue propuesto en 1974 utilizado para tratar de controlar una máquina de vapor
mediante un FLC de tipo PI, proponen como operadores genéricos para las operaciones
de unión e intercepción de los conjuntos difusos, la función Max o Sum y la función Min o
Producto respectivamente (Mamdani, 1974). En la Figura 2-6 se muestra gráficamente el
mecanismo de inferencia Mamdani para el sistema que se describe en la Tabla 2-2 y la
Figura 2-5.
Figura 2-6: Mecanismo de inferencia Mamdani. Elaboración propia.
En la máquina de inferencia cuando se utiliza el operador mínimo, la función de pertenencia
de salida se corta a partir de la altura correspondiente al grado de pertenencia calculado
por los antecedentes de la regla. En la máquina de inferencia cuando se utiliza el operador
producto, la función de pertenencia de salida se multiplica por el grado de pertenencia
calculado por los antecedentes de la regla.
Figura 2-7: Mecanismo de inferencia con composición: (a) Max-Min, (b) Producto-
Suma. Elaboración propia.
(a) (b)
20 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
En (Viljamaa, 2002) se efectuó un estudio comparativo entre la composición Min-Max
(Figura 2-7-a) y la composición Producto-Suma (Figura 2-7-b) para el mecanismo de
inferencia Mamdani, las pruebas se realizaron en sistemas difusos de dos y tres entradas
con cuatro y ocho reglas respectivamente, concluyendo que la composición Min-Max
genera una pobre interpolación debido a que el operador Min solo tiene en cuenta las
proposiciones que tienen el menor grado de pertenencia ignorando las demás.
Inferencia difusa Takagi-Sugeno.
Este método fue propuesto por Takagi-Sugeno en 1985, es un mecanismo de inferencia
que realiza una interpolación entre las asignaciones definidas por las funciones en los
consecuentes de las reglas difusas. (Sugeno M, 1985). Se utilizan como operadores de
conjunción Min o Producto. En la Figura 2-8 se muestra gráficamente el mecanismo de
inferencia para un sistema que tiene como entradas el e, Δe y salida u, A y B corresponden
a las MFs para los antecedentes, mientras que z = f (x, y) son funciones lineales en los
consecuentes. Por lo general, f (x, y) es un polinomio siempre que se pueda describir
adecuadamente la salida del modelo dentro de la región difusa especificada por el
antecedente de la regla. Cuando f (x, y) es una constante, el modelo difuso Sugeno se
puede considerar como un caso especial del modelo difuso Mamdani, en el que el
consecuente de cada regla se especifica por un singleton difuso (constante).
Figura 2-8: Mecanismo de inferencia Takagi-Sugeno. Modificado de (Wildrow, 2014).
Capítulo 2 21
2.1.3 Defuzificacion
Es la operación inversa de la fuzificacion, es el proceso de conversión del conjunto difuso
de la salida del mecanismo de inferencia a datos numéricos. Existen varios métodos de
defuzificacion los cuales se podrían clasificar en (Wildrow, 2014):
Métodos de Zona: En estos métodos se busca que el valor de la defuzificacion
divida la función de pertenencia del conjunto difuso de salida en dos partes iguales.
Métodos de distribución: En estos métodos se busca que la defuzificacion sea el
cálculo del valor esperado de la función de pertenencia del conjunto difuso de salida
en convertida en una función de probabilidad.
Métodos de Máximo: Se busca seleccionar un elemento del conjunto difuso de
salida como el valor de la defuzificacion.
Los métodos de zona son los más utilizados en aplicaciones del control difuso de estos se
destaca el método por centro de gravedad (COG). El método COG calcula numéricamente
la coordenada del centro de gravedad del conjunto difuso de salida B' (2.1).
𝑦 , = 𝑐𝑜𝑔(𝐵,) =∑ 𝜇𝐵,𝐹𝑗=1 (𝑦𝑗)𝑦𝑗
∑ 𝜇𝐵,𝐹𝑗=1 (𝑦𝑗)
⁄ (2.1)
De donde F es el número de elementos yj en Y.
Figura 2-9: Defuzificacion por COG. Tomado de (Babuška, 2009)
22 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
2.2 Arquitectura FPD+I
2.2.1 Generalidades
La arquitectura propuesta en (Jantzen, 1998) utiliza como entradas al mecanismo de
inferencia del FLC, la fuzificacion del (e) y (Δe), la salida es (u) por lo tanto esta arquitectura
se puede clasificar como un FLC PID de reglas acopladas con salida absoluta.
El universo de discurso definido para las variables de entrada debe ser lo suficientemente
grande con el fin de evitar la saturación, por lo tanto, este fue establecido entre [-100 100]
mientras que el universo para la variable de salida se definió entre [-200 200].
Proponen tres conjuntos difusos para los términos lingüísticos de las variables de entrada,
estos son: Negativo (Neg), Cero (Zero) y Positivo (Pos), para la variable de salida utilizan
cinco términos lingüísticos: -200, -100, 0, 100 y 200.
Eligieron funciones de pertenencia de forma triangular distribuidas de manera uniforme en
el universo de discurso de las entradas, estas funciones se pueden representar
matemáticamente mediante tres parámetros {a, b, c}, los parámetros a y c ubican la base
del triángulo y el parámetro b ubica la punta, entonces una función de pertenencia de forma
triangular se describe como:
𝜇(𝑥) = max (min (𝑥−𝑎
𝑏−𝑎,𝑐−𝑥
𝑐−𝑏) , 0) (2.2)
Hay diversidad de formas para las funciones de pertenencia irregulares, regulares
simétricas, asimétricas, funciones de pertenencia de forma trapezoidal que involucra
cuatro parámetros, funciones de pertenencia de forma gaussiana o acampanadas que se
pueden parametrizar mediante funciones exponenciales, pero esto involucra un tiempo de
procesamiento elevado, la simplicidad en la parametrización de las funciones triangulares
permite velocidad en el cálculo ahorrando tiempo de procesamiento. Las funciones de
pertenencia de forma triangular se interceptan en 0.5 con las MFs adyacentes, sus puntas
serán equidistantes, por lo tanto, cualquier valor de entrada puede ser miembro de como
máximo dos conjuntos, esta característica proporciona al controlador difuso un tiempo de
subida más rápido y reduce el sobre-impulso por tal motivo la forma de las funciones de
pertenencia no es un ítem decisivo en el desempeño del controlador. ((Wildrow, 2014;
Boverie et al., 1991; Margaliot & Langholz, 2000; Kovacic, 2006).
Capítulo 2 23
Se utilizan tres términos lingüísticos para las dos entradas al mecanismo de inferencia, por
lo tanto, se tendrán 32 = 9 reglas, estas reglas son del tipo Mamdani representadas en la
siguiente tabla:
Tabla 2-3: Base de reglas arquitectura FPD+I.
U
Δe
N Z P
e
N -200 -100 0
Z -100 0 100
P 0 100 200
En la Tabla 2-3 se puede apreciar la base de reglas típica para un controlador FLC-PD
(Proporcional-Derivativo), una característica es la simetría alrededor de la diagonal de
ceros, los términos lingüísticos negativos de la salida se ubican por encima de la diagonal
mientras que los términos lingüísticos positivos se ubican por debajo de la diagonal, los
valores de los términos lingüísticos aumentan conforme crece la distancia desde la línea
diagonal.
Para simplificar el proceso de defuzificacion, las MFs de los conjuntos difusos de salida se
seleccionan de forma Singleton, los cuales estarán ubicados en el universo de discurso de
salida, en la posición que da como resultado la suma de las posiciones de las puntas de
las MFs de las entradas. Estos conjuntos pueden ser representados como números reales,
produciendo reglas como las de la Tabla 2-3.
Con la elección de cada uno de los parámetros indicados anteriormente se genera una
superficie de control como resultado del mapeo entrada-salida, en la cual se aprecia la
relación entre las entradas e, Δe y la salida u, figura 3-10 (d).
La superficie de control puede ser modificada por cambios en los siguientes elementos
(fuentes de no-linealidades): base de reglas, forma de las MFs, ubicación en los universos
de discurso, la selección del sistema de inferencia difusa (FIS) y el método de
defuzificación, como consecuencia se altera el mapeo no lineal de las dos entradas y la
salida.
24 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Figura 2-10: (a) MFs e, (b) MFs Δe, (c) MF para u y (d) Superficie de control. Elaboración
propia.
(a)
(b)
(c)
(d)
Otra forma de modificar la no-linealidad del FLC es mediante los factores de escala, que
permiten contraer y extender uniformemente las MFs tanto de entrada y salida en los
universos de discurso, permitiendo modificar la respuesta temporal del controlador. Los
factores de escala de entrada y salida del sistema difuso influyen en el desempeño y
estabilidad del sistema al igual que las ganancias de un PID convencional. Una inadecuada
elección conlleva a oscilaciones excesivas, sobre-amortiguación e inestabilidad. (Fileti et
al., 2007; Yesil et al, 2003).
Mediante los parámetros estándar definidos en la Figura 2-10, se genera una superficie de
control lineal que permite una equivalencia con la respuesta de un controlador PID
convencional de arquitectura ideal, esto cuando se halla los factores de escala mediante
un conjunto de ecuaciones que están en función de las ganancias Kp, Ti y Td.
Como se dijo anteriormente la base de reglas corresponde a un controlador de tipo PD,
para lograr corregir el error de estado estacionario en la respuesta, el autor adiciona a la
salida del sistema difuso la integral del error por un factor de escalamiento, por lo tanto, la
arquitectura del FPD+I es:
Capítulo 2 25
Figura 2-11: Arquitectura de un controlador FPD+I. Elaboración propia.
Se define la acción de control para PID de arquitectura ideal como:
𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝 (𝑒(𝑡) +1
𝑇𝑖∫ 𝑒(𝜏)𝑑𝜏𝑡
0+ 𝑇𝑑
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡) (2.3)
La acción de control producida por el FPD+I, al igual que el PID convencional está en
función de tres entradas: error (e), la derivada del error (ce) y la integral del error (ie),
mediante la superficie lineal se puede aproximar a:
𝑢 = 𝐺𝑈 ∗ [𝐺𝐸 ∗ 𝑒 + 𝐺𝐼𝐸 ∗ 𝑖𝑒 + 𝐺𝐶𝐸 ∗ 𝑐𝑒] (2.4)
Al factorizar GE para llevar la expresión a la forma:
𝑢 = 𝐺𝐸 ∗ 𝐺𝑈 ∗ [𝑒 +𝐺𝐼𝐸
𝐺𝐸∗ 𝑖𝑒 +
𝐺𝐶𝐸
𝐺𝐸∗ 𝑐𝑒] (2.5)
Al comparar las acciones de control (2.3) con (2.5) se obtienen las expresiones para hallar
factores de escala:
𝐺𝑈 =𝐾𝑝
𝐺𝐸 (2.6)
𝐺𝐶𝐸 = 𝑇𝑑 ∗ 𝐺𝐸 (2.7)
𝐺𝐼𝐸 =𝐺𝐸
𝑇𝑖 (2.8)
Con el fin de validar la correspondencia de las respuestas temporales entre el controlador
PID convencional y el controlador FPD+I lineal se realizan pruebas utilizando la planta
parametrizada en el anexo A. El controlador PID convencional fue sintonizado mediante el
método IMC, a partir de estas ganancias se calcularon los factores de escala por medio de
las ecuaciones (2.6) a la (2.8), la señal de entrada es un escalón unitario.
26 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Figura 2-12: Respuesta temporal de los controladores PID y FPD+I para: (a) to/tao = 0.19
y (b) to/tao = 2.01. Elaboración propia.
(a)
(b)
El ajuste de los factores de escala GE y GCE depende del tamaño del universo de discurso
y de la magnitud de la señal de entrada (Ref), para las simulaciones anteriores se asumió
GE=100 para explotar todo el universo de discurso definido para e, pero al excitar la
entrada del sistema con una entrada paso de magnitud mayor a uno se presenta un
desfase entre las respuestas temporales de los controladores.
Figura 2-13: Respuesta temporal de los controladores PID y FPD+I con variación en la
magnitud de la señal de entrada. Elaboración propia
Para evitar modificar constantemente los factores de escalamiento GE y GCE es necesario
hacer que estos factores dependan de las magnitudes de las señales de entrada del
Capítulo 2 27
proceso a controlar por lo tanto se realiza una normalización de las entradas y la salida del
FLC.
2.3 Arquitectura MHPID
2.3.1 Generalidades
La arquitectura propuesta por (Escamilla & Mort, 2002) utiliza como entradas al mecanismo
de inferencia del FLC, la fuzificacion de e y Δe, la salida es u por lo tanto esta arquitectura
se puede clasificar como un FLC PID de reglas acopladas con salida absoluta, presentando
una particularidad en el aporte Upi debido a que allí se realiza la integral de la salida del
sistema de inferencia (salida incremental). El universo de discurso definido para las
variables de entrada fue establecido entre [-1 1] mientras que el universo para la variable
de salida se definió entre [-2 2]. Proponen dos conjuntos difusos para los términos
lingüísticos de las variables de entrada estos son: Negativo (N) y Positivo (P), para la
variable de salida se utiliza una función lineal de las entradas. Eligieron funciones de
pertenencia de forma triangular, utilizando segmentos de rectas distribuidas de manera
uniforme en el universo de discurso interceptándose en 0.5. Se utilizan cuatro reglas del
tipo Takagi-Sugeno:
𝑅1: 𝑺𝒊 𝑒 𝑒𝑠 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦 ∆𝑒 𝑒𝑠 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑢 = 𝑝1 ∗ 𝐸 + 𝑞1 ∗ �̇� + 𝑟1
𝑅2: 𝑺𝒊 𝑒 𝑒𝑠 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦 ∆𝑒 𝑒𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑢 = 𝑝2 ∗ 𝐸 + 𝑞2 ∗ �̇� + 𝑟2
𝑅3: 𝑺𝒊 𝑒 𝑒𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦 ∆𝑒 𝑒𝑠 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑢 = 𝑝3 ∗ 𝐸 + 𝑞3 ∗ �̇� + 𝑟3
𝑅4: 𝑺𝒊 𝑒 𝑒𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦 ∆𝑒 𝑒𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑢 = 𝑝4 ∗ 𝐸 + 𝑞4 ∗ �̇� + 𝑟4
El mecanismo de inferencia usado en esta arquitectura es del tipo Takagi-Sugeno, para
este método el cálculo de la salida consiste en la búsqueda del valor de accionamiento (wi)
de cada regla y la aplicación de la función establecida en el consecuente de dicha regla
(Zi). En el consecuente se estableció un polinomio de primer orden con valores de las
constantes: pi = 1, qi = 1 y ri = 0, para i = 1, 2, 3, 4. La salida total se obtiene a través de
la media ponderada de las salidas, reduciendo el tiempo consumido en la etapa de
defuzificación (Wildrow, 2014):
𝑧 , =∑𝑤𝑖𝑧𝑖
𝑤𝑖⁄ (2.9)
28 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Con la elección de cada uno de los parámetros indicados anteriormente se genera una
superficie de control como resultado del mapeo entrada-salida, en la cual se aprecia la
relación entre las entradas e, Δe, y la salida u Figura 2-14 (c).
Figura 2-14: (a) MFs e, (b) MFs Δe, (c) MF Superficie de control. Elaboración propia.
(a)
(b)
(c)
Mediante los parámetros estándar definidos, se genera una superficie de control lineal que
permite una equivalencia con la respuesta de un controlador PID convencional de dos
grados de libertad con ponderación de la referencia y derivada sobre la salida:
𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝 (𝛽𝑦𝑟 − 𝑦 +1
𝑇𝑖∫ 𝑒(𝜏)𝑑𝜏𝑡
0− 𝑇𝑑
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡) (2.10)
Esta arquitectura se construye a partir de la suma de los aportes de un FLC-PD y un FLC-
PI, se utiliza la misma base de reglas para los dos controladores, entonces la acción de
control producida por el FLC se define como:
𝑢𝑃𝐼 = 𝐺𝐶𝑈 ∗ ∫ (𝐺𝐸 ∗ 𝑒(𝑡) − 𝐺𝐶𝐸 ∗𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡) 𝑑𝑡 (2.11)
𝑢𝑃𝐷 = 𝐺𝑈 ∗ (𝐺𝐸 ∗ 𝑒(𝑡) − 𝐺𝐶𝐸 ∗𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡) (2.12)
𝑢𝑃𝐼𝐷 = 𝐺𝑈 ∗ 𝐺𝐸 ∗ 𝑦𝑟 − (𝐺𝐶𝑈 ∗ 𝐺𝐶𝐸 + 𝐺𝑈 ∗ 𝐺𝐸) ∗ 𝑦 + 𝐺𝐶𝑈 ∗ 𝐺𝐸 ∗ ∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡 − 𝐺𝑈 ∗ 𝐺𝐶𝐸 ∗𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡 (2.13)
Al comparar las acciones de control (2.10) con (2.13) y estableciendo una relación Td/Ti =
¼, se obtienen las expresiones para hallar factores de escala:
Capítulo 2 29
𝐺𝐸 = 1 (2.14)
𝐺𝐶𝐸 = 2 ∗ 𝑇𝑑 (2.15)
𝐺𝑈 = 𝐾𝑝 2⁄ (2.16)
𝐺𝐶𝑈 = 𝐾𝑝 𝑇𝑖⁄ (2.17)
Figura 2-15: Arquitectura de un controlador MHPID. Elaboración propia.
Con el fin de validar la correspondencia de las respuestas temporales entre el controlador
PID convencional y el controlador MHPID lineal se realizan pruebas utilizando la planta
parametrizada en el Anexo A. El controlador PID convencional fue sintonizado mediante el
método de ciclo último Ziegler y Nicholds, a partir de estas ganancias se calcularon los
factores de escala por medio de las ecuaciones (2.14) a la (2.17), se utilizó una señal de
entrada de tipo escalón unitario.
Figura 2-16: Respuesta temporal de los controladores PID y MHPID para: (a) to/tao =
0.19 y (b) to/tao = 2.01. Elaboración propia
(a)
(b)
30 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Al igual que en la arquitectura FPD+I, el ajuste de los factores de escala GE y GCE
depende del tamaño de paso, para las simulaciones anteriores se asumió GE=1, al excitar
la entrada del sistema con una entrada paso de magnitud mayor a uno se presenta un
desfase entre las respuestas temporales de los controladores.
Figura 2-17: Respuesta temporal de los controladores PID y MHPID con variación en la
magnitud de la señal de entrada. Elaboración propia.
2.4 Normalización
Los sensores transmisores envían señales generalmente eléctricas al módulo de
fusificacion, pero en la mayoría de los casos las magnitudes de las variables mesurables
no corresponden con las magnitudes definidas para los universos de entrada de los FLC,
por lo tanto, se requiere una transformación de escala (T) de los valores de salida de los
sensores transmisores hacia los universos de discurso. Adicionalmente es necesario
volver a los valores en los dominios físicos por lo que se requiere una transformación de
escala (T-1) inversa de la variable de salida de control. Mediante las siguientes
transformaciones lineales de coordenadas se realiza la conversión del dominio de las
variables físicas hacia el universo de discurso y viceversa (Espíndola, 2004):
La transformación lineal T1 se realiza mediante:
𝑇 ∶ [𝑋𝑚𝑖𝑛, 𝑋𝑚𝑎𝑥] → [𝑌𝑚𝑖𝑛, 𝑌𝑚𝑎𝑥] (2.18)
Capítulo 2 31
𝑇(𝑥) = 𝑦 = 𝑌𝑚𝑖𝑛 +𝑌𝑚𝑎𝑥 − 𝑌𝑚𝑖𝑛𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛
(𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛)
La transformación lineal T1-1 se realiza mediante:
𝑇−1 ∶ [𝑌𝑚𝑖𝑛, 𝑌𝑚𝑎𝑥] → [𝑋𝑚𝑖𝑛, 𝑋𝑚𝑎𝑥] (2.19)
𝑇−1(𝑦) = 𝑥 = 𝑋𝑚𝑖𝑛 +𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛𝑌𝑚𝑎𝑥 − 𝑌𝑚𝑖𝑛
(𝑦 − 𝑌𝑚𝑖𝑛)
De donde:
𝑋 ∶ [𝑋𝑚𝑖𝑛, 𝑋𝑚𝑎𝑥] es el dominio de la variable medible
𝑌 ∶ [𝑌𝑚𝑖𝑛, 𝑌𝑚𝑎𝑥] es el dominio normalizado.
2.4.1 Normalización FPD+I
Para utilizar toda la gama de los universos de discurso para las entradas error y la derivada
del error el autor propone las siguientes relaciones:
|𝑒𝑚𝑎𝑥 ∗ 𝐺𝐸| = |𝑈𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜𝑚𝑎𝑥| (2.20)
|𝐶𝑒𝑚𝑎𝑥 ∗ 𝐺𝐶𝐸| = |𝑈𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜𝑚𝑎𝑥| (2.21)
Por lo tanto, para fijar GE=100 se implementaron las siguientes ecuaciones para la
normalización del error y la derivada:
𝑒 , = −1 +2
𝑒𝑚𝑎𝑥−𝑒𝑚𝑖𝑛(𝑒 − 𝑒𝑚𝑖𝑛) (2.22)
𝑐𝑒 , = −1 +2
𝑐𝑒𝑚𝑎𝑥−𝑐𝑒𝑚𝑖𝑛(𝑐𝑒 − 𝑐𝑒𝑚𝑖𝑛) (2.23)
Para volver al dominio físico (salida acción de control u) se utilizó la siguiente
transformación:
𝑢, = 𝑢𝑚𝑖𝑛 +𝑢𝑚𝑎𝑥−𝑢𝑚𝑖𝑛
400(𝑢 + 200) (2.24)
Se implementó el módulo de normalización para las entradas y la salida, como ejemplo de
simulación se utilizaron los siguientes valores: emax = 20; emin = -20 y cemax = 20; cemin = -
20.
32 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Figura 2-18: Respuestas temporales con FLC normalizado. Elaboración propia.
2.4.2 Normalización MHPID
En esta arquitectura es necesario fijar el valor de GE=1 por lo tanto se implementaron las
siguientes ecuaciones para la normalización del error y la derivada:
𝑒 , = −1 +2
𝑒𝑚𝑎𝑥−𝑒𝑚𝑖𝑛(𝑒 − 𝑒𝑚𝑖𝑛) (2.25)
𝑐𝑒 , = −1 +2
𝑐𝑒𝑚𝑎𝑥−𝑐𝑒𝑚𝑖𝑛(𝑐𝑒 − 𝑐𝑒𝑚𝑖𝑛) (2.26)
Para volver al dominio físico (salida acción de control u) se utilizó la siguiente
transformación:
𝑢, = 𝑢𝑚𝑖𝑛 +𝑢𝑚𝑎𝑥−𝑢𝑚𝑖𝑛
4(𝑢 + 2) (2.27)
Se implementó el módulo de normalización para las entradas y la salida, como ejemplo de
simulación se utilizaron los siguientes valores: emax = 20; emin = -20 y cemax = 20; cemin = -
20.
Capítulo 2 33
Figura 2-19: Respuestas temporales con FLC normalizado. Elaboración propia.
2.5 Wind-Up
Todos los actuadores presentan límites físicos por ejemplo una válvula exhibe un rango
máximo y mínimo de apertura, un motor tiene un límite de velocidad nominal etc. Los
sistemas de control que utilizan el modo integral (PI o PID) es común que la salida (acción
de control) supere estos límites establecidos para el actuador, esto debido a que el error
está siendo integrado y continuara incrementando su valor hasta que el error cambie de
signo en un lapso de tiempo grande, por lo tanto, en la respuesta temporal de este tipo de
controladores pueden aparecer transitorios grandes cuando el actuador se encuentre en
saturación. Este fenómeno se conoce como wind-up del integrador producido por grandes
cambios en la señal de referencia, por perturbaciones o mal funcionamiento del
controlador.
Para evitar el wind-up en el integrador se han propuesta varios métodos, como imponer
limitaciones en la señal de referencia para que la salida del controlador no sobrepase los
límites del actuador, pero no evade el wind-up por perturbaciones. Otro método es
denominado como recalculo y seguimiento integral, básicamente cuando la salida se
satura el termino integral es recalculado para que el nuevo valor este en el límite de
saturación, el diagrama de bloques de la técnica implementada en controlador PID
convencional se encuentra a continuación (Astrom, 1995):
34 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Figura 2-20: Controlador PID con anti wind-up por recalculo y seguimiento. Tomado de
(Astrom, 1995)
En la mayoría de los casos la salida del actuador no puede ser medida por lo cual se
recurre al modelo matemático de la saturación en este elemento, para realizar la tarea del
anti wind-up se calcula el error (es) entre la señal de salida del modelo del actuador y la
señal de salida del controlador, este a su vez es sumado al factor de ganancia integral del
controlador PID a través de un factor 1/Tt. Cuando es = 0 significa que no hay saturación y
no se afecta la operación normal del controlador, cuando se satura el actuador es cambia
su valor, allí el lazo de realimentación tratara de llevar nuevamente el valor de es a 0,
mediante la modificación del factor de ganancia integral total evitando el wind-up. El
termino Tt (constante de seguimiento) indica la rapidez con que es llega 0, una regla
sugerida en (Astrom, 1995), es que esta se calcule como:
𝑇𝑡 = √𝑇𝑖 ∗ 𝑇𝑑 (2.28)
Se realizó una exploración bibliográfica sobre los métodos anti wind-up para controladores
PID difusos, en (Broel-Plater et al., 2004) se propone implementar el método anti wind-up
en un controlador difuso de arquitectura PD+PI dividiendo la estructura en tres términos de
inferencia difusa, presenta como desventaja que la señal de referencia debe estar acotada
en valores máximos y mínimos y del cálculo de varias constantes. Mientras que en (Liyong,
2009) se propone una estrategia anti wind-up para una arquitectura FPD+I, esta presenta
como desventaja la utilización de un bloque de saturación a la salida de la máquina de
inferencia PD limitando la acción de control.
Con el fin de superar los inconvenientes indicados en los métodos anteriores se propone
como alternativa la implementación de la técnica clásica de anti wind-up por recalculo y
seguimiento en las siguientes arquitecturas difusas:
Capítulo 2 35
2.5.1 Wind-up FPD+I
Se propone la implementación del lazo de realimentación para que es tienda a cero, por lo
tanto, es necesario asociar la constante de seguimiento Tt a las ganancias de escalamiento
difusas, esto se consigue mediante la aplicación de las siguientes ecuaciones:
𝑇𝑓𝑓𝑗 = √(1 𝐺𝐼𝐸)⁄ ∗ 𝐺𝐶𝐸 (2.29)
El factor de ganancia 𝑇𝑓 debe ser modificado con el fin de que el valor de la constante de
seguimiento este dentro del rango de los universos de discurso de las variables de control,
por lo tanto, este término debe ser:
𝑇𝑓𝑗 = 100 ∗ (1 𝑇𝑓𝑓𝑗)⁄ = 100 √(1 𝐺𝐼𝐸)⁄ ∗ 𝐺𝐶𝐸⁄ (2.30)
Figura 2-21: Método anti wind-up propuesto para FPD+I. Elaboración propia.
Figura 2-22: Respuesta temporal para controladores con y sin Anti wind up. Elaboración
propia.
36 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
2.5.2 Wind-up MHPID
Para esta arquitectura el cálculo de Tf se realiza mediante la siguiente ecuación en función
de los factores de escala:
𝑇𝑓𝑓𝑒 = √(𝐺𝑈 𝐺𝐶𝑈)⁄ ∗ 𝐺𝐶𝐸 (2.31)
El factor de ganancia debe ser modificado con el fin de que el valor de la constante de
seguimiento este dentro del rango de los universos de discurso de las variables de control,
por lo tanto, este término debe ser:
𝑇𝑓𝑒 = 100 ∗ (1 𝑇𝑓𝑓𝑒)⁄ = 100 √(𝐺𝑈 𝐺𝐶𝑈)⁄ ∗ 𝐺𝐶𝐸⁄ (2.32)
Figura 2-23: Método anti wind-up propuesto para MHPID. Elaboración propia.
Figura 2-24: Respuesta temporal para controladores con y sin Anti wind-up. Elaboración
propia.
Capítulo 2 37
2.6 Ecuaciones de conversión FPD+I y MHPID
Se desarrollaron una serie de ecuaciones que permiten realizar la conversión de la
arquitectura FPD+I a MHPID y viceversa, teniendo en cuenta que estas ecuaciones son
válidas cuando los factores de escala de los FLC son hallados a partir de un controlador
PID convencional sintonizado mediante métodos que utilizan la información de ciclo último.
En un controlador de dos grados de libertad la acción de control se define como:
𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝 (𝛽𝑦𝑟 − 𝑦 +1
𝑇𝑖∫ 𝑒(𝜏)𝑑𝜏𝑡
0+ 𝑇𝑑 (𝛾 ∗
𝑑𝑦𝑟(𝑡)
𝑑𝑡−𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡)) (2.33)
Sustituyendo las ganancias del PID lineal por las ganancias difusas de escalamiento del
método de [26] mediante las ecuaciones (2.6) a (2.7) y reemplazando en (2.33) se obtiene:
𝑢 = 𝐺𝐸𝑗 ∗ 𝐺𝑈𝑗 ∗ [𝛽𝑦𝑟 − 𝑦 +𝐺𝐼𝐸𝑗
𝐺𝐸𝑗∗ ∫ 𝑒(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
0 +
𝐺𝐶𝐸𝑗
𝐺𝐸𝑗∗ (𝛾 ∗
𝑑𝑦𝑟(𝑡)
𝑑𝑡−𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡)] (2.34)
Sustituyendo las ganancias del PID lineal por las ganancias difusas de escalamiento del
método de (Escamilla & Mort, 2002) mediante las ecuaciones (2.14) a (2.17) y
reemplazando en (2.33) se obtiene:
𝑢 = 2 ∗ 𝐺𝑈𝑒 ∗ [𝛽𝑦𝑟 − 𝑦 +𝐺𝐶𝑈𝑒
2∗𝐺𝑈𝑒∗ ∫ 𝑒(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
0 +
𝐺𝐶𝐸𝑒
2∗ (𝛾 ∗
𝑑𝑦𝑟(𝑡)
𝑑𝑡−𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡)] (2.35)
Estableciendo β=0.5 y γ=0 para que se cumpla la igualdad entre las ecuaciones (2.34) y
(2.35) se obtiene:
Ecuaciones de conversión de FPD+I a MHPID
𝐺𝐸𝑒 = 1 (2.36)
𝐺𝐶𝐸𝑒 = (2 ∗ 𝐺𝐶𝐸𝑗) 𝐺𝐸𝑗⁄ (2.37)
𝐺𝑈𝑒 = (𝐺𝐸𝑗 ∗ 𝐺𝑈𝑗) 2⁄ (2.38)
𝐺𝐶𝑈𝑒 = 𝐺𝐼𝐸𝑗 ∗ 𝐺𝑈𝑗 (2.39)
Ecuaciones de conversión de MHPID a FPD+I
𝐺𝐸𝑗 = 100 (2.40)
𝐺𝐶𝐸𝑗 = (100 ∗ 𝐺𝐶𝐸𝑒) 2⁄ (2.41)
38 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
𝐺𝐼𝐸𝑗 = (100 ∗ 𝐺𝐶𝑈𝑒) (2 ∗ 𝐺𝑈𝑒)⁄ (2.42)
𝐺𝑈𝑗 = (2 ∗ 𝐺𝑈𝑒) 100⁄ (2.43)
A continuación, se realiza una simulación en donde se observa la equivalencia entre las
respuestas temporales al realizar las conversiones de arquitecturas para el sistema
parametrizado en el Anexo A:
Figura 2-25: Respuesta temporal para conversiones (a) to/tao = 0.19; (b) to/tao = 2.01.
Elaboración propia.
(a)
(b)
2.7 Metodología de diseño: FPD+I y MHPID
Se propone una serie de pasos con el fin de realizar la sintonización de un controlador FLC
directo ya sea empleando la técnica FPD+I o MHPID, consiste en:
Identificación y modelamiento del proceso.
Cálculo de factores de escala de los FLC a través de ganancias del PID
convencional.
Sintonización fina de los factores de escala de los FLC a través del parámetro Kf,
que relaciona las ganancias estáticas de los submodelos lineales en los diferentes
puntos de operación.
Capítulo 2 39
2.7.1 Analizar el comportamiento de la planta
Entender el comportamiento del sistema en lazo cerrado, en especial la forma en que
reacciona a cambios de la entrada. En particular se han considerado dos casos
encontrados con frecuencia en aplicaciones industriales de control de procesos con
manifestaciones diferentes de la presencia de no linealidades. Al variar la referencia
(aumentando el set point) en diferentes puntos de operación del proceso:
La respuesta del sistema tarda más tiempo para alcanzar el SP.
La respuesta del sistema presenta un sobre-impulso que se va incrementando.
Figura 2-26: Respuesta en lazo cerrado. Elaboración propia.
(a)
(b)
2.7.2 Obtener la representación Matemática aproximada de la
planta
El ajuste del controlador PID difuso en las arquitecturas consideradas requiere un
conocimiento mínimo del sistema a controlar. En el entorno industrial por facilidad se
utilizan métodos de identificación que permiten aproximar el comportamiento de los
submodelos lineales comúnmente a modelos de primer o segundo orden más tiempo
muerto. En este trabajo se propone un ajuste simple pero eficaz para el controlador PID
difuso, basado en el cálculo de un coeficiente llamado Kf que está relacionado con las
ganancias estáticas de los submodelos lineales en los diferentes puntos de operación. A
medida que cambia la referencia en el proceso y considerando procesos autoregulados
40 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
como los descritos en el paso anterior, se determinan las ganancias estáticas en los
diferentes puntos de operación y entre estas se eligen los valores inferior Ki y superior Ks.
El coeficiente Kf relaciona las ganancias estáticas de los submodelos lineales de la
siguiente manera:
𝐾𝑓 = 𝐾𝑖 𝐾𝑠⁄ (2.44)
2.7.3 Obtener las Ganancias de Escalamiento Difusas
Transferir las ganancias del controlador PID Lineal (diferenciando su arquitectura: ideal,
serie y paralelo) que se encuentra en operación, al controlador PID Difuso mediante las
ecuaciones de conversión propuestas por (Jantzen, 1998) y (Escamilla & Mort, 2002), a
través de una superficie de control lineal.
2.7.4 Sintonización
Modificar las ganancias de escalamiento en función del parámetro Kf. Después de haber
definido la arquitectura del controlador difuso y obtener un desempeño aproximado con su
contraparte lineal se procede hallar las nuevas ganancias mediante:
Jantzen FPD+I:
𝐺𝐸 = 𝐺𝐸𝑛 (2.45)
𝐺𝑈 = 𝐺𝑈𝑛 ∙ 𝐾𝑓 (2.46)
𝐺𝐶𝐸 = 𝐺𝐶𝐸𝑛 ∙ 0.5 (2.47)
𝐺𝐼𝐸 = 𝐺𝐼𝐸𝑛 (2.48)
Escamilla MHPID:
𝐺𝐸 = 𝐺𝐸𝑛 (2.49)
𝐺𝐶𝐸 = 𝐺𝐶𝐸𝑛 (2.50)
𝐺𝑈 = 𝐺𝑈𝑛 ∗ 4𝐾𝑓 (2.51)
𝐺𝐶𝑈 = 𝐺𝐶𝑈𝑛 ∗ 𝐾𝑓 (2.52)
Capítulo 2 41
Para las ecuaciones de la (2.45) a la (2.52) el subíndice n hace referencia al valor nominal,
es decir el valor hallado con las ecuaciones de conversión (2.6) a (2.8) para Jantzen y
(2.14) a (2.17) para Escamilla. Estos conjuntos de ecuaciones se obtuvieron buscando
desarrollar un método práctico pero efectivo de sintonía aplicable a nivel industrial,
modificando la menor cantidad de factores de escala. La determinación de tales valores
está apoyada en la realización de numerosas pruebas computacionales teniendo presente
mediciones de índices de desempeño y respuesta temporal del sistema. En el capítulo 5
se ilustra la aplicación de la metodología y sus resultados experimentales en dos casos de
estudio considerados.
En las arquitecturas FPD+I y MHPID, se realizó la construcción de unos subsistemas
denominados pre-filtrado y post-filtrado dinámico, el pre-filtrado se utiliza para obtener Δe
y/o ∫e mediante filtros lineales, adicionalmente la normalización de las señales de entrada,
mientras que el subsistema post-filtrado dinámico realiza la normalización de la señal de
salida del controlador.
3. Controlador Difuso Supervisado
Al utilizar un sistema de control supervisorio ubicado en un segundo nivel de jerarquía y
controladores convencionales en el primer nivel, se logra proporcionar cierta versatilidad
al incorporar diferentes diseños del controlador convencional en diferentes regiones de
operación mejorando el desempeño del conjunto. El controlador supervisor se comporta
como un interpolador generando como sus salidas los valores de las ganancias del
controlador local en función de las señales de entrada. Una forma de construir el supervisor
es a través de una tabla en la cual se plasman los datos como regiones de operación,
valores de las ganancias del controlador local entre otros, cuando no se encuentra una
región de operación especifica en la tabla se realiza una interpolación de los datos para
generar los valores de las ganancias del controlador local.
La utilización de un supervisor de naturaleza difusa permitirá la construcción de una base
de reglas en función del deterioro del desempeño del controlador local, por ejemplo,
cuando el supervisor detecta tiempo de subida excesivo, aumento en el tiempo de
establecimiento, o presencia de oscilaciones, por lo tanto, realizará una re-sintonización a
partir de una variación suave de las ganancias, mediante la interpolación de valores
almacenados offline, para el controlador local. De esta forma, el comportamiento del
sistema de control del primer nivel será modificado para atacar las no linealidades de los
procesos. Se podría realizar una primera clasificación de los controladores difusos
supervisados en función de los parámetros de ajuste del controlador PID:
1. El supervisor difuso contiene una base de reglas en función de las características
dinámicas del proceso, como tiempo de establecimiento o sobreimpulso. A partir
de estas reglas se obtienen los valores de los parámetros del controlador PID (Kp,
Ti, Td), (Passino & Yurkovich, 1998).
2. El supervisor difuso contiene los valores de los parámetros del controlador PID, que
fueron calculados previamente en distintos puntos de operación del proceso. La
44 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
conmutación de los valores se realiza mediante variables que indican un cambio en
la dinámica del sistema, el supervisor mediante la base de reglas selecciona los
valores de los parámetros del controlador PID (Passino & Yurkovich, 1998).
Una segunda clasificación para los supervisores difusos es por las señales de entrada
(variables de programación) que se utilizan, estas pueden ser: la señal de error y su
derivada, la señal de salida del proceso y la señal de referencia, la señal de la acción de
control, entre otras siempre y cuando indiquen el estado actual del proceso.
Figura 3-1: Clasificación de supervisores difusos en función de las señales de entrada.
Tomado de ((Viljamaa & Koivo, 1995; Zhao & Isaka, 1993; Babuška, 2009;
Passino & Yurkovich, 1998) .
En este documento se limitará el análisis y diseño a los supervisores difusos que utilizan
como señales de entrada el error y el cambio del error, esta arquitectura fue propuesta en
(Zhao & Isaka, 1993) y la arquitectura propuesta en (Viljamaa & Koivo, 1995) que utiliza
como señales de entrada la referencia y la salida de proceso.
Este capítulo está organizado de la siguiente manera:
En la Sección 3.1, se presentan los requisitos de implementación para un FLC Supervisado
FGS – f(e, de) allí se utiliza unas MFs de salida, un método de agregación y defuzificacion
específicos y se incorpora un bloque de normalización. En la Sección 3.2 se realiza una
descripción para la implementación de otro FLC Supervisado FGS – f(y, r), haciendo
Capítulo 3 45
énfasis en la parametrización de las MFs y la construcción del sistema difuso. Finalmente,
en la Sección 3.3 y 3.4 se proponen las metodologías de diseño de los FLC Supervisores
3.1 Arquitectura supervisor FLC: FGS – f(e, de)
3.1.1 Generalidades
La arquitectura propuesta en (Zhao, Z.-Y et al, 1993), utiliza como entradas al mecanismo
de inferencia del FLC, la fuzificacion de e y Δe, mientras que la salida son los valores de
las ganancias 𝐾𝑝′, 𝐾𝑑
′ y un factor α, creado para deducir el valor de la ganancia integral
mediante una relación entre la ganancia proporcional y la ganancia derivativa, el
controlador local propuesto es de arquitectura paralela.
El universo de discurso definido para las variables de entrada es [-1, 1], proponiendo siete
conjuntos difusos para los términos lingüísticos de las variables: Negativo Grande (NB),
Negativo Mediano (NM), Negativo Pequeño (NS), Cero (ZO), Positivo Pequeño (PS),
Positivo Mediano (PM) y Positivo Grande (PB), seleccionaron funciones de pertenencia de
forma triangular. El universo de discurso para las variables de salida 𝐾𝑝′, 𝐾𝑑
′ es de [0, 1],
utilizan dos conjuntos difusos para los términos lingüísticos de estas variables: Pequeño
(S) y Grande (B), como funciones de pertenencia utilizan las descritas por las siguientes
ecuaciones:
𝜇𝑆𝑚𝑎𝑙𝑙(𝑥) = −1
4ln 𝑥 𝑂 𝑥𝑆𝑚𝑎𝑙𝑙(𝜇) = 𝑒
−4𝜇 (3.1)
𝜇𝐵𝑖𝑔(𝑥) = −1
4ln(1 − 𝑥) 𝑂 𝑥𝐵𝑖𝑔(𝜇) = 1 − 𝑒
−4𝜇 (3.2)
Mientras que para α se definió un universo de discurso de [1, 5], utilizando cuatro términos
lingüísticos para cuatro funciones de pertenencia de forma Singleton con valores de: 2, 3,4
y 5. Se utilizan siete términos lingüísticos para las dos entradas al mecanismo de
inferencia, por lo tanto, se tendrán 72 = 49 reglas, estas reglas son del tipo Mamdani de la
forma: Si el error es ZO y la derivada del error es NB Entonces 𝐾𝑝′ es Small, 𝐾𝑑
′ es Big y
α = 5, representadas en las Tablas 4-1 a 4-3.
El mecanismo de inferencia es de tipo Mamdani dado por:
𝜇𝑖 = 𝜇𝐴(𝑒) ∗ 𝜇𝐵(Δ𝑒) (3.3)
46 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Tabla 3-1: Reglas difusas para 𝐾𝑝
′
𝐾𝑝′
Δe
NB NM NS ZO PS PM PB
e
NB B B B B B B B
NM S B B B B B S
NS S S B B B S S
ZO S S S B S S S
PS S S B B B S S
PM S B B B B B S
PB B B B B B B B
Tabla 3-2: Reglas difusas para 𝐾𝑑′
𝐾𝑑′
Δe
NB NM NS ZO PS PM PB
e
NB S S S S S S S
NM B B S S S B B
NS B B B S B B B
ZO B B B B B B B
PS B B B S B B B
PM B B S S S B B
PB S S S S S S S
Tabla 3-3: Reglas difusas para α
α
Δe
NB NM NS ZO PS PM PB
e
NB 2 2 2 2 2 2 2
NM 3 3 2 2 2 3 3
NS 4 3 3 2 3 3 4
ZO 5 4 3 3 3 4 5
Capítulo 3 47
PS 4 3 3 2 3 3 4
PM 3 3 2 2 2 3 3
PB 2 2 2 2 2 2 2
Al utilizar funciones de pertenencia de forma triangular para las entradas, con puntos de
intercesión en 0.5, inferencia dada por la ecuación (3.3) se puede afirmar que para cada i-
esima regla activa la sumatoria de los valores de pertenencia del e por el Δe es:
∑ 𝜇𝑖𝑚𝑖=1 = 1 (3.4)
Por lo anterior se realiza una simplificación para la defuzzificacion, en donde el valor real
corresponde al valor i-esimo de 𝜇𝑖 calculado en 𝑥𝑆𝑚𝑎𝑙𝑙(𝜇) o 𝑥𝐵𝑖𝑔(𝜇) según la regla activada:
𝐾𝑝′ = ∑ 𝜇𝑖
𝑚𝑖=1 ∗ 𝐾𝑝,𝑖
′ (3.5)
𝐾𝑑′ = ∑ 𝜇𝑖
𝑚𝑖=1 ∗ 𝐾𝑑,𝑖
′ (3.6)
𝛼 = ∑ 𝜇𝑖𝑚𝑖=1 ∗ 𝛼𝑖 (3.7)
Con la elección de cada uno de los parámetros indicados anteriormente se genera una
superficie en la cual se aprecia la relación entre las entradas e, Δe y la salidas 𝐾𝑝′, 𝐾𝑑
′ y
𝛼, fue necesario realizar funciones personalizadas para generar las MFs de salida
(ecuaciones 3.1 y 3.2) e implementar el método de defuzificacion descrito en las
ecuaciones (3.5) a (3.7).
Figura 3-2: (a) MFs para e; (b) MFs para Δe; (c) MFs de salida para 𝐾𝑝′; (d) Superficie
𝐾𝑝′; (e) MFs de salida para 𝐾𝑑
′; (f) Superficie 𝐾𝑑′; (g) MFs de salida para 𝛼;
Superficie 𝛼. Elaboración propia.
(a)
(b)
48 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Para obtener las ganancias del controlador local, el autor propone las siguientes
ecuaciones:
𝐾𝑝 = (𝐾𝑝𝑚𝑎𝑥 − 𝐾𝑝𝑚𝑖𝑛)𝐾𝑝′ + 𝐾𝑝𝑚𝑖𝑛 (3.8)
𝐾𝑑 = (𝐾𝑑𝑚𝑎𝑥 − 𝐾𝑑𝑚𝑖𝑛)𝐾𝑑′ + 𝐾𝑑𝑚𝑖𝑛 (3.9)
𝐾𝑖 = 𝐾𝑝
2
𝛼𝐾𝑑 (3.10)
Los limites max y min para las ganancias los obtuvieron heurísticamente en función de los
parámetros 𝐾𝑢 y 𝑇𝑢 (Método de identificación por ciclo ultimo):
𝐾𝑝𝑚𝑖𝑛 = 0.32𝐾𝑢 𝐾𝑝𝑚𝑎𝑥 = 0.6𝐾𝑢 (3.11)
Capítulo 3 49
𝐾𝑑𝑚𝑖𝑛 = 0.08𝐾𝑢𝑇𝑢 𝐾𝑑𝑚𝑎𝑥 = 0.15𝐾𝑢𝑇𝑢 (3.12)
Figura 3-3: Arquitectura supervisor difuso. Elaboración propia.
En esta arquitectura, se realizó la construcción de subsistemas denominados pre-filtrado y
post-filtrado dinámico, el pre-filtrado se utiliza para obtener el e y Δe mediante filtros
lineales, adicionalmente normalización de las señales de entrada, mientras que los
subsistemas de post-filtrado dinámico realizan el cálculo de las acciones de control que se
aplican en el controlador local a través de las formulas 3-8 a la 3-12.
Con el fin de validar la respuesta temporal del supervisor difuso, se realizaron pruebas
utilizando la planta parametrizada en el Anexo A, se realiza una comparación con un
controlador PID convencional sintonizado mediante IMC, la señal de entrada es un escalón
unitario.
Figura 3-4: Respuesta temporal para (a) to/tao = 0.19 y (b) to/tao = 1.10. Elaboración
propia.
(a)
(b)
Al igual que en los controladores difusos directos es necesario normalizar las señales de
entrada al FIS del supervisor difuso, este fenómeno se puede apreciar en la Figura 3-5.
50 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
3.1.2 Normalización FGS – f(e, de)
Con el fin de evitar la saturación de los universos de discurso causado por las variaciones
del Set Point, es necesario implementar un módulo de normalización para las entradas e y
Δe, este se implementa a través de las siguientes transformaciones:
𝑒 , = −1 +2
𝑒𝑚𝑎𝑥−𝑒𝑚𝑖𝑛(𝑒 − 𝑒𝑚𝑖𝑛) (3.13)
𝑐𝑒 , = −1 +2
𝑐𝑒𝑚𝑎𝑥−𝑐𝑒𝑚𝑖𝑛(𝑐𝑒 − 𝑐𝑒𝑚𝑖𝑛) (3.14)
Figura 3-5: Respuesta temporal de los controladores PID y SUPF 1 con variación en la
magnitud de la señal de entrada. Elaboración propia.
3.2 Arquitectura supervisor FLC: FGS – f(y, r)
3.2.1 Generalidades
La arquitectura propuesta en (Viljamaa & Koivo, 1995) utiliza como entradas al mecanismo
de inferencia del FLC, la señal de salida de la planta (y) y la señal de referencia (r), mientras
que la salida son los valores de los parámetros del controlador local sintonizado en
diferentes puntos de operación, el controlador local propuesto es un PID IMC.
Los universos de discurso para las variables tanto de entrada como de salida del sistema
difuso dependen de la definición de los rangos de operación de la planta o proceso, esto
debido a que los parámetros del controlador son sintonizados en varios puntos de
operación en función de la referencia y la salida, los conjuntos difusos para la señal de
Capítulo 3 51
salida y la referencia serán la misma cantidad de modelos obtenidos del controlador de
primer nivel. Las funciones de pertenencia para las entradas son de forma triangular o
trapezoidal parametrizadas mediante un vector:
𝑃𝑥 = [𝑥0(1) 𝑥0
(2) … . . 𝑥0(𝑚𝑥) ] (3.15)
En donde 𝑥0(𝑖) es el núcleo de las funciones de pertenencia ith y mx es el número de
funciones de pertenencia de la variable x. Las funciones de pertenencia se superponen de
tal manera que máximo dos MFs son distintas de cero y cuando una MFs es igual a 1 las
otras son iguales a cero. Los puntos de esquina de estas funciones de pertenencia
corresponden a los puntos de operación en donde se estiman los parámetros de los
modelos del controlador local. Los conjuntos difusos y las funciones de pertenencia de la
señal de referencia deben ser idénticas con la salida de la planta. Las funciones de
pertenencia de salida del sistema difuso son de tipo singleton.
Figura 3-6: Funciones de pertenencia para las entradas y la salida. Tomado de
(Viljamaa & Koivo, 1995).
En (Viljamaa, 2002) se plantean dos formas para realizar la construcción de la base de
reglas del sistema difuso en ambas se utiliza mecanismo inferencia de tipo Mamdani, la
primera es considerar el sistema difuso de dos entradas, pero para esta técnica no hay
suficiente información para reproducir los resultados. La segunda técnica es considerar
dos sistemas difusos de una entrada, por lo tanto, ambos sistemas difusos tienen
exactamente los mismos parámetros:
52 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
𝑃𝑦 = 𝑃𝑟 = [𝑦0(1) 𝑦0
(2) … .. 𝑦0(𝑚𝑦) ] (3.16)
Los diferentes valores de los parámetros de la sintonización del controlador local son
almacenados en una matriz de la forma:
𝜃 = [𝜃(1)𝑇 𝜃(2)𝑇 … . . 𝜃(𝑚𝑦)𝑇 ] (3.17)
El valor del parámetro aplicado al controlador local es la suma ponderada de las salidas
de los sistemas difusos:
𝜃 = 𝑤𝑦𝐹(𝑦(𝑡), 𝜃𝑖𝑛, 𝜃𝑟𝑢𝑙𝑒𝑠, 𝜃𝑜𝑢𝑡) + 𝑤𝑟𝐹(𝑟(𝑡), 𝜃𝑖𝑛, 𝜃𝑟𝑢𝑙𝑒𝑠, 𝜃𝑜𝑢𝑡) (3.18)
De donde 𝑤𝑦 y 𝑤𝑟 son factores de peso para la variable de proceso y la señal de referencia
respectivamente, el autor sugiere mantener un leve efecto de la señal de referencia
asumiendo 𝑤𝑦 ≈ 0.9, por lo tanto 𝑤𝑟 = 1 − 𝑤𝑦.
Un ejemplo para el diseño que propone el autor aplicado a un sistema no-lineal se indica
a continuación: escogieron seis puntos de operación para el modelo de la planta no lineal
estos están definidos por los vectores:
𝜃𝑖𝑛 = 𝑃𝑦 = 𝑃𝑟 = [0.05 0.33 0.50 0.86 0.95 0.97 ] (3.19)
Por lo tanto, las funciones de pertenencia para y y r , se aprecian en la Figura 3-7
Figura 3-7: Funciones de pertenencia para (a) y ; (b) r. Elaboración propia
(a)
(b)
Los parámetros del controlador PID IMC sintonizado en los diferentes puntos de operación
son representados mediante la siguiente matriz:
Capítulo 3 53
𝜃𝑜𝑢𝑡 = [
𝐾𝑝1 𝑇𝑖1 𝑇𝑑1𝐾𝑝2 𝑇𝑖2 𝑇𝑑2⋮ ⋮ ⋮
𝐾𝑝𝑚𝑦 𝑇𝑖𝑚𝑦 𝑇𝑑𝑚𝑦
] =
[ 0.0308 2.6848 1.42750.0427 1.9024 1.45120.0562 1.4710 1.44590.1622 0.5152 1.44930.3000 0.2893 1.42530.4173 0.2059 1.2773]
(3.20)
Para realizar una simplificación al momento de la implementación en la plataforma Matlab,
la matriz de salida la cual contiene los parámetros del controlador PID sintonizado en los
diferentes puntos de operación, se reemplazó por tres salidas asociadas a la ganancia
proporcional 𝐾𝑝𝑚𝑦, tiempo integral 𝑇𝑖𝑚𝑦 y tiempo derivativo 𝑇𝑑𝑚𝑦 del controlador local
utilizando funciones de pertenencia de tipo singleton. Por lo anterior las reglas serán de la
siguiente forma:
Si r es rn entonces 𝐾𝑝 es 𝐾𝑝𝑛, 𝑇𝑖 es 𝑇𝑖𝑛 y 𝑇𝑑 es 𝑇𝑑𝑛
Si y es yn entonces 𝐾𝑝 es 𝐾𝑝𝑛, 𝑇𝑖 es 𝑇𝑖𝑛 y 𝑇𝑑 es 𝑇𝑑𝑛
Con la elección de cada uno de los parámetros indicados anteriormente se genera un plano
en la cual se aprecia la interpolación que se realiza en función de la señal de entrada y las
salidas 𝐾𝑝, 𝑇𝑖 y 𝑇𝑑
Figura 3-8: Interpolación para: (a) 𝐾𝑝; (b) 𝑇𝑖; (c) 𝑇𝑑. Elaboración propia.
(a)
(b)
(c)
54 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Figura 3-9: Arquitectura supervisor difuso. Elaboración propia.
3.3 Metodología de diseño: FGS – f(e, de)
Con el fin de realizar la sintonización de un controlador Supervisor difuso FGS – f(e, de),
se proponen los siguientes pasos:
3.3.1 Analizar el comportamiento de la planta
Se analizaron dos comportamientos en aplicaciones industriales en presencia de no
linealidades. Al variar la referencia (aumentando el set point) en diferentes puntos de
operación del proceso:
La respuesta del sistema tarda más tiempo para alcanzar el SP.
La respuesta del sistema presenta un sobre-impulso que se va incrementando.
3.3.2 Obtener la representación Matemática aproximada de la
planta
Al igual que en la metodología propuesta para los controladores difusos directos se
requiere del cálculo del coeficiente Kf que relaciona las ganancias estáticas de los
submodelos lineales:
𝐾𝑓 = 𝐾𝑖 𝐾𝑠⁄ (3.21)
Capítulo 3 55
3.3.3 Sintonización
Se proponen las siguientes ecuaciones de sintonización, en donde se establecen los
límites de variación de las ganancias del controlador PID del primer nivel, en función de los
parámetros de un controlador PID convencional sintonizado mediante IMC y el parámetro
𝐾𝑓, el cual interviene en el cálculo de 𝐾𝑝𝑚𝑎𝑥, 𝐾𝑑𝑚𝑎𝑥 e indirectamente en 𝐾𝑖
Caso 1 (La respuesta del sistema tarda más tiempo para alcanzar el SP)
𝐾𝑝𝑚𝑖𝑛 = 𝐾𝑝𝑖𝑚𝑐 (3.22)
𝐾𝑝𝑚𝑎𝑥 = 𝐾𝑓𝐾𝑝𝑖𝑚𝑐 (3.23)
𝐾𝑑𝑚𝑖𝑛 = 𝐾𝑑𝑖𝑚𝑐 (3.24)
𝐾𝑑𝑚𝑎𝑥 = (𝐾𝑓/4) 𝐾𝑑𝑖𝑚𝑐 (3.25)
𝐾𝑝 = (𝐾𝑝𝑚𝑎𝑥 − 𝐾𝑝𝑚𝑖𝑛)𝐾𝑝′ + 𝐾𝑝𝑚𝑖𝑛 (3.26)
𝐾𝑑 = (𝐾𝑑𝑚𝑎𝑥 − 𝐾𝑑𝑚𝑖𝑛)𝐾𝑑′ + 𝐾𝑑𝑚𝑖𝑛 (3.27)
𝐾𝑖 = 𝐾𝑝
2
𝛼𝐾𝑑 (3.28)
Caso 2 (La respuesta del sistema presenta un sobre-impulso que se va
incrementando). Solo se modifica la obtención de la ganancia integral con respecto
al caso anterior:
𝐾𝑖 = 𝐾𝑝
4(𝛼𝐾𝑑) (3.29)
3.4 Metodología de diseño: FGS – f(y, r)
3.4.1 Analizar el Comportamiento de la Planta
Se analizaron dos comportamientos típicos en aplicaciones industriales en presencia de
no linealidades. Al variar la referencia (aumentando el set point) en diferentes puntos de
operación del proceso:
La respuesta del sistema tarda más tiempo para alcanzar el SP.
La respuesta del sistema presenta un sobre-impulso que se va incrementando.
56 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
3.4.2 Identificación de los modelos en los diferentes puntos de operación
Para realizar la construcción de la tabla off-line que contiene los valores de los parámetros
del controlador PID local, se requiere de la extracción de los sub-modelos lineales en los
diferentes puntos de operación. Un punto de partida es identificar el rango de variación del
valor deseado (SP) en el proceso, luego definir los puntos de operación distribuidos de
manera equidistante en este rango. En caso que el sistema o proceso a controlar exhiba
no-linealidades o cambios bruscos en los valores de los parámetros del controlador PID
local se recomienda obtener más modelos del sistema por ende más parámetros del
controlador PID local, lo que permitirá un ajuste más fino en la interpolación del sistema
difuso.
3.4.3 Sintonizar el controlador PID local en los diferentes puntos de operación
Se propone como método de sintonización del controlador PID local, IMC el cual se basa
en modelo, este se sintoniza en los diferentes puntos de operación definidos en el paso
anterior. De esta manera ya se cuenta con los valores de referencia (asociados a los
modelos obtenidos) y los parámetros del controlador (Kp, Ti, Td). Es necesario que la
repuesta del sistema obtenida se aproxime a una respuesta temporal de primer orden, es
decir con la mínima presencia de sobre-impulso, para evitar interpolaciones indeseadas
con los modelos PID vecinos.
3.4.4 Generar el Sistema Difuso
Definir mediante los puntos de operación los vectores: 𝜃𝑖𝑛 = 𝑃𝑦 = 𝑃𝑟, que
corresponden a la ubicación en el universo de discurso de las funciones de
pertenencia para las entradas y y r..
Asignar los parámetros para el controlador PID local en los diferentes puntos de
operación mediante tres salidas del sistema difuso con funciones de pertenencia
de tipo singleton.
Generar la base de reglas:
Si r es rn entonces 𝐾𝑝 es 𝐾𝑝𝑛, 𝑇𝑖 es 𝑇𝑖𝑛 y 𝑇𝑑 es 𝑇𝑑𝑛
Capítulo 3 57
Si y es yn entonces 𝐾𝑝 es 𝐾𝑝𝑛, 𝑇𝑖 es 𝑇𝑖𝑛 y 𝑇𝑑 es 𝑇𝑑𝑛
3.4.5 Sintonización
Asignar valores a los factores de peso wy y wr, se recomienda que wy=0.75 y wr=0.25, con
el fin de evitar oscilaciones en el transitorio y tener una buena relación para el rechazo a
perturbaciones. (Este aspecto se explora en detalle en el Anexo B).
4. Controlador Difuso Paralelo
Un controlador paralelo consiste en una estructura que combina los aportes individuales
de diversas arquitecturas de control, por medio de factores de ponderación en función de
variables que proveen información del comportamiento dinámico del sistema. Los
controladores difusos presentan esta particularidad, se pueden combinar con
controladores lineales tradicionales o con otros esquemas de control, denominados FLC
Paralelos (Meng & Ya, 2003; Mohammed et al, 2017).
Una ventaja al combinar controladores difusos y controladores lineales (PID), es proveer
al controlador lineal una mejora en el desempeño ante procesos no-lineales, a través de la
acción correctiva generada por la superficie de control de naturaleza no-lineal del FLC,
estas arquitecturas se pueden apreciar en las Figuras 4-1-a y 4-1-b. Adicionalmente se
puede combinar dos controladores difusos de diferentes arquitecturas buscando mejorar
el desempeño temporal del conjunto, por ejemplo, utilizar en mayor medida un FLC
supervisor en las respuestas transitorias y hacer una transición gradual a un FLC directo
en los estados estacionarios. Esta arquitectura se observa en la Figura 4-1-c.
Otra forma de combinar los controladores difusos es complementarlos (por ejemplo a nivel
de ajuste de sus parámetros) a través de técnicas de inteligencia computacional como:
Redes Neuronales Artificiales (ANFIS - Adaptative Neuro Fuzzy Inference Systems)
basadas en aprendizaje a través de datos (propio de redes neuronales) manteniendo la
descripción basada en reglas y Algoritmos Genéticos (GA-Fuzzy) basados en encontrar
una solución óptima de los parámetros de ajuste a través de iteraciones sucesivas (Figura
4-1-d) (Jang & Sun, 1995; Hímer et al., 2005; Lin & Xu 2006) entre otros.
El enfoque se centra en los FLC Paralelos vistos como una combinación entre un
controlador difuso directo y otro controlador ya sea un PID convencional o un FLC
supervisado.
60 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Figura 4-1: Clasificación de controladores difusos en paralelo.
(a) Paralelo FLC y PI (Kovacic & Bogdan
2005)
(b) Paralelo FLC y PID (Zhang &
Shao 2006)
(c) Paralelo Supervisor FLC y FLC
Directo (Mohammed et al., 2017)
(d) FLC y GA (Dideková, 2018)
Este capítulo está organizado de la siguiente manera:
En la sección 4.1 se realiza un análisis sobre un controlador difuso paralelo el cual utiliza
como factor de ponderación una función con base al valor absoluto del error y dos
parámetros adicionales (λ y δ). En la sección 4.2 se describe un sistema de control difuso
paralelo el cual utiliza un selector difuso para realizar la ponderación de los aportes de
control en función de e y Δe. En la sección 4.3 se propone una metodología de diseño de
un FLC paralelo que combina un controlador difuso directo y un controlador supervisorio
difuso.
4.1 Arquitectura Paralela: FLC-PID por αFunción
En (Zhang & Shao, 2006) se propone un esquema para realizar la conexión de un
controlador difuso directo y un controlador PID convencional mediante una arquitectura
Paralela, con el objetivo de controlar la temperatura del aluminio fundido en un horno de
Capítulo 4 61
Atomización. La acción de control es una combinación de la salida del controlador difuso y
la salida del controlador PID convencional, dada por la siguiente ecuación:
𝑈 = 𝛼𝑈1 + (1 − 𝛼)𝑈2 (4.1)
De donde:
𝑈1: Corresponde al aporte de la acción de control del FLC
𝑈2: Corresponde al aporte de la acción de control del PID convencional
𝛼: Corresponde a un factor de ponderación.
El factor de ponderación alfa (𝛼) permite la conmutación gradual entre los controladores,
al aplicar en mayor medida determinada acción de control en función de: el valor absoluto
del error del sistema en lazo cerrado, λ es un coeficiente que permite modificar la pendiente
de inclinación de 𝛼, denominado índice de suavidad y δ definido como el error umbral. Por
lo tanto alfa (𝛼) se define como:
𝛼 = 1 1 + 𝑒−λ (|𝑒|−δ)⁄ (4.2)
Figura 4-2: Comportamiento de 𝛼 en función de del valor absoluto del error.
Tomado de (Zhang & Shao, 2006).
Este método de Hibridación presenta una seria desventaja debido a que no se cuenta con
un análisis o punto de partida para realizar el ajuste de los parámetros λ y δ, por lo cual se
debe recurrir a múltiples pruebas en simulación para lograr un comportamiento apropiado,
por lo tanto, esta técnica es difícil de incorporar sistemáticamente a nivel de una
metodología de diseño (ajuste de λ y δ).
62 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
4.2 Arquitectura Paralela: FLC-PID por αSupervisión
Se busca generar una acción de control ponderada, entre un controlador PID convencional
enfocado a actuar en las respuestas transitorias y un controlador FLC enfocado a actuar
en las no linealidades por los cambios de puntos de operación. Esta ponderación debe
permitir la transición gradual entre los controladores evitando conmutaciones fuertes que
puedan degradar el desempeño del sistema, por lo tanto, una forma de realizar transiciones
suaves es a través de un selector difuso (supervisor difuso) en función de e y Δe.
En (Chakchouk et al., 2015) se propone una arquitectura Paralela que combina un
controlador difuso directo y un controlador PI convencional con el objetivo de controlar
presión y caudal en una estación de riego de aspersión. La arquitectura propuesta se ilustra
a continuación.
Figura 4-3: Arquitectura FLC-PID por αSupervisión. Tomado de (Chakchouk et al.,
2015)
Se puede observar que el FLC paralelo está compuesto por tres bloques, en la parte
superior se encuentra el controlador difuso directo, en la parte central un supervisor difuso
el cual se encarga de ponderar las contribuciones y en la parte inferior el controlador PI.
La acción de control para la arquitectura paralela está gobernada por la siguiente ecuación:
𝑈𝑃𝐶 = 𝛼𝑈𝐹𝐿𝐶 + (1 − 𝛼)𝑈𝑃𝐼𝐷 (4.3)
En donde el parámetro α es un factor de peso encargado de realizar la conmutación
gradual entre el controlador lineal y el controlador difuso. Este es generado por un sistema
difuso el cual presenta como entradas los valores absolutos del e y Δe, lo que significa que
Capítulo 4 63
este parámetro cambia dinámicamente en función del comportamiento del sistema en lazo
cerrado.
El universo de discurso definido para las variables de entrada e y Δe fue establecido entre
[0 1] al igual que el universo para la variable de salida α, proponen tres conjuntos difusos
para los términos lingüísticos de las variables de entrada estos son: Cero (Z), Mediano (M)
y Grande (L) y MFs de forma triangular. Para la variable de salida se utiliza MFs de forma
Singleton, utilizando cinco términos lingüísticos Cero (Z), Pequeño (S), Mediano (M)
Grande (L) y Muy Grande (VL), distribuidos de manera equidistante en el universo de
discurso, esto con lleva a realizar una variación gradual de α dado la forma de las funciones
de pertenencia de las entradas (Figura 4-4-a) permitiendo transiciones suaves en los
aportes de los controladores.
El mecanismo de inferencia difusa es Takagi-Sugeno y composición producto.
𝜇𝑖 = 𝜇𝐴(𝑒) ∗ 𝜇𝐵(Δ𝑒) (4.4)
En la Figura 4-4 se aprecian las características en la construcción del sistema difuso para
α.
Figura 4-4: (a) MFs para e y Δe; (b) MFs para α; (c) Base de reglas; (d) Superficie
difusa. Elaboración propia.
(a)
(b)
(c)
| Δe |
e
Z M L
Z VL L M
M S S Z
L Z Z Z
(d)
64 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
En la referencia (Chakchouk et al., 2015) se indica que el controlador lineal actúa en el
régimen transitorio mientras que el controlador difuso actúa en el régimen permanente.
Analizando el comportamiento de α en la Figura 4-5, se puede observar que en el estado
transitorio hay una pequeña intervención del controlador difuso que se va incrementando
hasta que el sistema en lazo cerrado alcanza el estado estacionario, evidenciándose que
tanto el error como la derivada del error tienden a cero.
Figura 4-5: Comportamiento dinámico de α. Elaboración propia.
4.2.1 Metodología de Diseño: FLC-PID por αSupervisión
Se propone los siguientes pasos para realizar la construcción de la arquitectura paralela:
Diseñar el Controlador Difuso Directo según la metodología que se describe en la
sección 2.7.
Diseñar el Controlador PID convencional.
Diseñar el selector difuso (supervisor) el cual varía en función de e y Δe según las
pautas dadas en la sección 4.2.
Implementar la función de la acción de control de la arquitectura paralela dada por
la ecuación 4.4.
Capítulo 4 65
4.3 Arquitectura Paralela: FLC Directo - Supervisor FLC
Se propone como una mejora al desempeño que presenta el controlador difuso directo
FPD+I en procesos no-lineales, este se caracteriza por la presencia de un pequeño sobre-
impulso en el régimen transitorio, realizando la conexión en paralelo con un supervisor
difuso FGS – f(e, de) el cual se caracteriza por tener una base de reglas enfocadas a
mejorar el comportamiento en los transitorios reduciendo: el sobre-impulso, el tiempo de
subida y tiempo de establecimiento.
La arquitectura propuesta se puede apreciar en la Figura 4-6. Este esquema de control
estará compuesto de tres partes: el controlador difuso directo (FPD+I), el controlador difuso
supervisado (FGS – f(e, de)) y el selector difuso (Sup α).
Figura 4-6: Arquitectura Paralela. Elaboración propia.
4.3.1 Metodología de Diseño: FLC Directo - Supervisor FLC
Se propone los siguientes pasos para realizar la construcción de la arquitectura paralela:
Diseñar el Controlador Difuso Directo (FPD+I) según la metodología que describe
en la sección 2.7.
Diseñar el Controlador Supervisorio Difuso (SUPF 1) según la metodología que
describe en la sección 3.3.
Diseñar el selector difuso el cual varía en función de e y Δe según las pautas dadas
en la sección 4.2
Implementar la función de la acción de control de la arquitectura paralela dada por
la ecuación 4.4.
5. Estudio Comparativo
Para evaluar el desempeño de los controladores FLC analizados en los capítulos
anteriores, las metodologías de diseño fueron puestas a prueba con el objetivo de realizar
tareas de seguimiento de referencias cuando se cambian puntos de operación y rechazo
de perturbaciones. Para ello se consideraron dos plantas, la primera un modelo
matemático No-Lineal extraído de (Viljamaa & Koivo, 1995) y luego en un sistema No-
Lineal un tanque de reacción continuamente agitado (CSTR).
El modelo matemático No-lineal se caracteriza por presentar en lazo cerrado, una
respuesta del sistema que tarda más tiempo en alcanzar el SP al variar la referencia en
diferentes puntos de operación (manifestación de no-linealidades), mientras que el CSTR
se caracteriza por presentar en lazo cerrado, una respuesta del sistema que presenta un
sobre-impulso que se va incrementando al variar la referencia en diferentes puntos de
operación (manifestación de no-linealidades).
Para analizar el comportamiento de los controladores se utilizaron los siguientes criterios
de medición de desempeño: Integral del error absoluto (IAE) e Integral del tiempo por el
error absoluto (ITAE). Para cada proceso se realizó sintonización de un controlador lineal
PID bajo la técnica de internal model control (IMC) (Morari & Zafiriou 1989).
Se realizará un análisis comparativo en una tabla considerando requerimientos de
construcción de la arquitectura de controlador y consideraciones iniciales para la
implementación.
5.1 Modelos de plantas No-lineales
5.1.1 Modelo Matemático No Lineal
El modelo no lineal está representado por las siguientes ecuaciones:
68 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
𝑥(𝑡)̇ = [𝑥2(𝑡)
−0.25 ∗ 𝑥1(𝑡) − 0.70 ∗ 𝑥2(𝑡) + (4.75 − 4.50 ∗ 𝑥1(𝑡)) ∗ 𝑢(𝑡)] (5.1)
𝑦(𝑡) = 𝑥1(𝑡)
El rango de trabajo para este sistema se escogió de 0 a 1 en pasos incrementales de
referencia de magnitud 0.1. La respuesta dinámica del proceso ante estímulos tipo escalón
permitió la caracterización como modelos de segundo orden. En la Figura 5.1 se presenta
la curva de reacción del proceso ante estímulos tipo paso.
Figura 5-1: Curva de reacción del sistema. (a) Vista ampliada punto de operación
inferior (b) Vista ampliada punto de operación superior. Elaboración propia.
(a)
(b)
En los puntos de operación inferior (Figura 5-1-a) y superior (Figura 5-1-b) las funciones
de transferencia obtenidas mediante curva de reacción de proceso (estimación de
parámetros) son de la forma:
Capítulo 5 69
G(s) = k𝑤𝑛
2
𝑠2+2𝔷𝑤𝑛𝑠+𝑤𝑛2 (5.2)
Por lo tanto, las funciones de transferencia son:
𝐺𝑖 = (6.7860)(0.83552)
𝑠2+0.6992 𝑠+0.6981 (5.3)
𝐺𝑠 = (0.0580)(2.142)
𝑠2+0.879 𝑠+4.58 (5.4)
5.1.2 Sistema No Lineal (CSTR)
Se consideró como segunda planta un reactor CSTR convierte una sustancia química A
en una sustancia química B a través de una reacción exotérmica irreversible de primer
orden A → B, el modelo fenomenológico consiste en 2 ecuaciones diferenciales no lineales
(Bequette, 1998). El reactor tiene tres entradas: u1, u2, u3 y dos salidas: y1, y2, como se
describe en la Figura 5-2. El objetivo de control es mantener la temperatura del reactor y2
(t) en un punto de referencia deseado de forma que maximice la transformación de la
materia química A, al regular la temperatura del refrigerante en la camisa (u3).
Figura 5-2: Reactor CSTR. Tomado de (Bequette, 1998).
El rango de trabajo para este sistema se escogió de 300 K a 350 K en pasos incrementales
de referencia de magnitud 10 K. La respuesta dinámica del proceso ante estímulos tipo
escalón permitió la caracterización como modelos de primer orden más tiempo muerto. En
la Figura 5-3 se presenta la curva de reacción del proceso ante estímulos tipo paso.
70 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Figura 5-3: Curva de reacción del sistema. Elaboración propia.
Las funciones de transferencia obtenidas mediante curva de reacción de proceso
(estimación de parámetros) son de la forma:
G(S) = K𝑒−𝑡0 𝑠
τ 𝑠+1 (5.5)
Por lo tanto, las funciones de transferencia son:
𝐺𝑖 = 1.27∗𝑒−0.245 𝑠
2.484 𝑠+1 (5.6)
𝐺𝑠 = 0.47∗𝑒−0.005 𝑠
1.65 𝑠+1 (5.7)
5.2 FLC Directos
5.2.1 Modelo No Lineal
Se realiza la identificación de la respuesta en lazo cerrado, encontrando que al variar la
referencia (aumentando el set point) en diferentes puntos de operación del proceso, la
respuesta del sistema tarda más tiempo para alcanzar el SP.
A partir de las ganancias estáticas de los sub-modelos lineales, obtenidos en el punto
superior e inferior del proceso mediante curvas de reacción, se calcula el coeficiente Kf,
para este caso Kf = 117.
Realizar la construcción de los controladores difusos directos según las pautas indicadas
en la sección 2.2.1 (FPD+I) y en la sección 2.3.1 (MHPID)
El controlador PID convencional fue sintonizado mediante IMC (Arquitectura ideal), a través
del modelo obtenido en el punto inferior del proceso. Los valores de las ganancias de este
controlador son: Kp=0.0295; Ti=1.0016 y Td=1.4302. Mediante las ecuaciones de
Capítulo 5 71
conversión (2.6 a 2.8) para la arquitectura FPD+I y las ecuaciones de conversión (2.14 a
2.17) para la arquitectura MHPID se obtiene como punto inicial los valores de los factores
de escala de los FLC (GE=100; GCE=143.01; GIE=99.83 y GU=0.000295 para FPD+I y
GE=1; GCE=2.86; GU=0.0148 y GCU=0.0295 para MHPID).
Se modifica las ganancias de escalamiento (obtenidas en el paso anterior) en función del
parámetro Kf, mediante las ecuaciones 2.45 a la 2.48 para la arquitectura FPD+I y las
ecuaciones 2.49 a la 2.52 para la arquitectura MHPID (GE=100; GCE=71.5; GIE=99.83 y
GU=0.034 para FPD+I y GE=1; GCE=2.86; GU=6.92 y GCU=3.45 para MHPID).
En la Figura 5.4 se presenta la respuesta temporal de los controladores difusos directos
ante variaciones de la referencia. Se puede observar que la respuesta del PID IMC
presenta sobre impulso en la parte inferior y degradación en la parte superior, mientras
que los FLC PID directos presentan un desempeño temporal más consistente. Esto se
aprecia en la Tabla 5-1, obteniéndose una mejora en el índice del desempeño ITAE para
el FPD+I del 95.3% y para MHPID del 86.2%.
Figura 5-4: Respuesta temporal ante variaciones de la referencia. Elaboración propia.
Los índices del comportamiento del error ante variaciones de la referencia se concentran
en la siguiente tabla:
72 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Tabla 5-1: Mediciones de índices de desempeño
Controlador PID IMC FPD+I MHPID
IAE 14.71 1.15 3.22
ITAE 4158 196.9 572.4
En la Figura 5.5 se presenta la repuesta temporal de los controladores difusos directos al
introducir una perturbación tipo paso en t = 25 s.
Figura 5-5: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo paso.
La evaluación numérica de la respuesta temporal e índices de desempeño se presenta en
la Tabla 5-2.
Tabla 5-2: Mediciones de desempeño
Mediciones sin perturbacion hasta t=50s Perturbación t=25s
Controlador Mp (%) Tr (s) Ts(s) IAE ITAE IAE ITAE
PID-IMC 8.07 5.62 19.12 1.35 3.67 2.03 24.41
FPD+I 22.85 1.19 8.9 0.40 0.60 0.41 0.80
MHPID --- --- 17.23 1.21 3.64 1.22 3.82
Capítulo 5 73
En el cuadro anterior se observa que los controladores difusos directos hacen un rechazo
casi inmediato de la perturbación, el controlador FPD+I presenta un tiempo de
establecimiento menor, a costa de un sobre-impulso más grande.
5.2.2 Sistema No-Lineal
Se realiza la identificación de la respuesta en lazo cerrado, encontrando que al variar la
referencia (aumentando el set point) en diferentes puntos de operación del proceso, la
respuesta del sistema presenta un sobre-impulso que se va incrementando.
A partir de las ganancias estáticas de los sub-modelos lineales, obtenidos en el punto
superior e inferior del proceso mediante curvas de reacción, se calcula el coeficiente Kf,
para este caso Kf = 2.702.
Realizar la construcción de los controladores difusos directos según las pautas indicadas
en la sección 2.2.1 (FPD+I) y en la sección 2.3.1 (MHPID)
El controlador PID convencional fue sintonizado mediante IMC (Arquitectura ideal), a través
del modelo obtenido en el punto superior del proceso. Los valores de las ganancias de
este controlador son: Kp=14.20; Ti=1.65 y Td=0.0025. Mediante las ecuaciones de
conversión (2.6 a 2.8) para la arquitectura FPD+I y las ecuaciones de conversión (2.14 a
2.17) para la arquitectura MHPID se obtiene como punto inicial los valores de los factores
de escala de los FLC (GE=100; GCE=0.24; GIE=60.51 y GU=0.142 para FPD+I y GE=1;
GCE=0.005; GU=7.1 y GCU=8.596 para MHPID).
Se modifica las ganancias de escalamiento (obtenidas en el paso anterior) en función del
parámetro Kf, mediante las ecuaciones 2.45 a la 2.48 para la arquitectura FPD+I y las
ecuaciones 2.49 a la 2.52 para la arquitectura MHPID (GE=100; GCE=0.12; GIE=60.51 y
GU=0.38 para FPD+I y GE=1; GCE=0.005; GU=76.77 y GCU=23.22 para MHPID).
En la Figura 5.6 se presenta la respuesta temporal de los controladores difusos directos
ante variaciones de la referencia. La respuesta del PID IMC presenta aumento de las
oscilaciones con la variación del SP mientras que los FLC lograron reducir el sobre impulso
y las oscilaciones de baja amplitud. Esto se aprecia en la Tabla 5-3, obteniéndose una
mejora en el índice del desempeño ITAE para el FPD+I del 59.6% y para MHPID del 69.9%.
74 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Figura 5-6: Respuesta temporal ante variaciones de la referencia. Elaboración propia.
Los índices del comportamiento del error ante variaciones de la referencia se concentran
en la siguiente tabla:
Tabla 5-3: Mediciones de índices de desempeño
Controlador PID IMC FPD+I MHPID
IAE 48.75 18.74 16.29
ITAE 614 247.8 184.6
En la Figura 5.7 se presenta la repuesta temporal de los controladores difusos directos al
introducir una perturbación tipo paso en t = 15 s.
Figura 5-7: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo paso.
Capítulo 5 75
La evaluación numérica de la respuesta temporal e índices de desempeño se presenta
en la Tabla 5-4.
Tabla 5-4: Mediciones de desempeño
Mediciones sin perturbacion hasta t=25s Perturbación t=15s
Controlador Mp (%) Tr (s) Ts(s) IAE ITAE IAE ITAE
PID-IMC 30 0.46 3.2 50.26 164.7 73.35 547.8
FPD+I 13.4 0.22 1.6 18.25 54.31 26.79 196.2
MHPID 4.4 0.22 1 14.2 51.82 22.35 196.9
De las Tablas 5-2 y 5-4 se puede observar que, al introducir las perturbaciones a los
sistemas en lazo cerrado, los FLC corrigen el valor de la variable del proceso de manera
más rápida y suave que el PID lineal.
5.3 FLC Supervisados
5.3.1 Modelo No Lineal
Metodología de diseño: FGS – f(e, de)
Se realiza la identificación de la respuesta en lazo cerrado, encontrando que al variar la
referencia (aumentando el set point) en diferentes puntos de operación del proceso, la
respuesta del sistema tarda más tiempo para alcanzar el SP.
A partir de las ganancias estáticas de los sub-modelos lineales, obtenidos en el punto
superior e inferior del proceso mediante curvas de reacción, se calcula el coeficiente Kf,
para este caso Kf = 117.
Realizar la construcción del controlador difuso supervisorio según las pautas indicadas en
la sección 3.1.1
A partir de las ecuaciones de sintonización propuestas (3.22 a la 3.28) se calculan los
límites de variación de las ganancias del controlador del primer nivel, para este caso:
Kpmin=0.0295; Kpmax=3.45; Kdmin=0.0422 y Kdmax=1.234.
76 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Metodología de diseño: FGS – f(y, r)
El rango de variación del Set Point definido para este sistema no-lineal es de 0 a 1, por lo
tanto, los puntos de operación para este proceso son: 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1 (ver anexo B).
Los sub-modelos lineales en los puntos de operación son obtenidos mediante curva de
reacción del proceso.
𝐺(𝑠)0.2 = 4.629 (𝑠2 + 0.691𝑠 + 1.12)⁄
𝐺(𝑠)0.4 = 1.025 (𝑠2 + 0.696𝑠 + 2.036)⁄
𝐺(𝑠)0.6 = 0.578 (𝑠2 + 0.701𝑠 + 2.945)⁄
𝐺(𝑠)0.8 = 0.398 (𝑠2 + 0.7133𝑠 + 3.797)⁄
𝐺(𝑠)1 = 0.312 (𝑠2 + 0.669𝑠 + 4.806)⁄
Luego se realiza la sintonización del controlador PID local en este caso mediante IMC en
los puntos de operación definidos en el paso anterior.
𝜃𝑜𝑢𝑡 = [
𝐾𝑝1 𝑇𝑖1 𝑇𝑑1𝐾𝑝2 𝑇𝑖2 𝑇𝑑2⋮ ⋮ ⋮
𝐾𝑝𝑚𝑦 𝑇𝑖𝑚𝑦 𝑇𝑑𝑚𝑦
] =
[ 0.0299 1.727 1.4450.135 5.456 1.44360.2423 5.9 1.4260.3579 4.697 1.4260.4287 1.46 1.493 ]
Posteriormente se define los puntos de operación en el siguiente vector:
𝜃𝑖𝑛 = 𝑃𝑦 = 𝑃𝑟 = [0.2 0.4 0.6 0.8 1 ]
Lo que permite generar la ubicación en el universo de discurso de las funciones de
pertenencia para las entradas y y r y la creación del sistema difuso.
Figura 5-8: Funciones de pertenencia para (a) y ; (b) r. Elaboración propia
(a)
(b)
Por último, se realiza la sintonización de los factores de peso wy y wr, según las métricas
indicadas en el Anexo B.
Capítulo 5 77
En la Figura 5.9 se presenta la respuesta temporal de los controladores difusos
Supervisados ante variaciones de la referencia. Se puede observar que la respuesta del
PID IMC presenta sobre impulso en la parte inferior y degradación en la parte superior
mientras que el FLC Supervisados presentan un desempeño temporal más consistente.
Esto se aprecia en la Tabla 5-5, obteniéndose una mejora en el índice del desempeño ITAE
para el FGS – f(e, de) del 94.1% y para FGS – f(y, r) del 85.2%.
Figura 5-9: Respuesta temporal ante variaciones de la referencia. Elaboración propia
Los índices del comportamiento del error ante variaciones de la referencia se concentran
en la siguiente tabla:
Tabla 5-5: Mediciones de índices de desempeño
Controlador PID IMC FGS – f(e, de) FGS – f(y, r)
IAE 14.71 1.05 3.44
ITAE 4158 245.5 614
En la Figura 5.10 se presenta la repuesta temporal de los controladores difusos
supervisados al introducir una perturbación tipo paso en t = 25 s.
78 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Figura 5-10: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo paso.
La evaluación numérica de la respuesta temporal e índices de desempeño se presenta en
la Tabla 5-6.
Tabla 5-6: Mediciones de desempeño
Mediciones sin perturbacion hasta t=50s Perturbación t=25s
Controlador Mp (%) Tr (s) Ts(s) IAE ITAE IAE ITAE
PID-IMC 8.07 5.62 19.12 1.35 3.67 2.03 24.41
FGS – f(e, de) 14.75 0.46 4.5 0.14 0.12 0.15 0.28
FGS – f(y, r) --- --- 16.09 1.37 3.86 2.15 29.3
En el cuadro anterior se observa que el supervisor difuso FGS – f(y, r) hace un rechazo de
perturbaciones peor que el controlador PID convencional, mientras que el supervisor difuso
FGS – f(e, de) presenta un tiempo de subida y tiempo establecimiento bastante bajos con
la presencia de un sobre-impulso moderado y buenos índices en cuanto al rechazo de la
perturbación.
Capítulo 5 79
5.3.2 Sistema No-Lineal
Metodología de diseño: FGS – f(e, de)
Se realiza la identificación de la respuesta en lazo cerrado, encontrando que al variar la
referencia (aumentando el set point) en diferentes puntos de operación del proceso, la
respuesta del sistema presenta un sobre-impulso que se va incrementando. Sección 3.3.1.
A partir de las ganancias estáticas de los sub-modelos lineales, obtenidos en el punto
superior e inferior del proceso mediante curvas de reacción, se calcula el coeficiente Kf,
para este caso Kf = 2.70.
Realizar la construcción del controlador difuso supervisorio según las pautas indicadas en
la sección 3.1.1
A partir de las ecuaciones de sintonización propuestas (3.29 a la 3.35) se calculan los
límites de variación de las ganancias del controlador del primer nivel, para este caso:
Kpmin=14.2; Kpmax=38.36; Kdmin=0.0355 y Kdmax=0.0239.
Metodología de diseño: FGS – f(y, r)
El rango de variación del Set Point definido para este sistema no-lineal es de 300 a 350,
por lo tanto, los puntos de operación para este proceso son: 300, 310, 320, 330, 340 y 350
(ver anexo B). Los sub-modelos lineales en los puntos de operación son obtenidos
mediante curva de reacción del proceso.
𝐺(𝑠)300 = 1.27𝑒−0.245 (2.484𝑠 + 1)⁄
𝐺(𝑠)310 = 0.47𝑒−0.005 (2.05𝑠 + 1)⁄
𝐺(𝑠)320 = 0.473𝑒−0.005 (1.9𝑠 + 1)⁄
𝐺(𝑠)330 = 0.473𝑒−0.005 (1.8𝑠 + 1)⁄
𝐺(𝑠)340 = 0.472𝑒−0.005 (1.75𝑠 + 1)⁄
𝐺(𝑠)350 = 0.472𝑒−0.005 (1.65𝑠 + 1)⁄
Luego se realiza la sintonización del controlador PID local en este caso mediante IMC en
los puntos de operación definidos en el paso anterior.
80 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
𝜃𝑜𝑢𝑡 = [
𝐾𝑝1 𝑇𝑖1 𝑇𝑑1𝐾𝑝2 𝑇𝑖2 𝑇𝑑2⋮ ⋮ ⋮
𝐾𝑝𝑚𝑦 𝑇𝑖𝑚𝑦 𝑇𝑑𝑚𝑦
] =
[ 17.02 1.19 0.02517.06 1.2 0.02516.25 1.25 0.02515.39 1.2 0.02515 1.2 0.02514.14 1.2 0.025 ]
Posteriormente se define los puntos de operación en el siguiente vector:
𝜃𝑖𝑛 = 𝑃𝑦 = 𝑃𝑟 = [300 310 320 330 340 350 ]
Lo que permite generar la ubicación en el universo de discurso de las funciones de
pertenencia para las entradas y y r y la creación del sistema difuso. Sección 3.4.4
Figura 5-11: Funciones de pertenencia para (a) y ; (b) r. Elaboración propia
(a)
(b)
Por último, se realiza la sintonización de los factores de peso wy y wr, según las métricas
indicadas en el Anexo B.
En la Figura 5-12 se presenta la respuesta temporal de los controladores difusos
Supervisados ante variaciones de la referencia. Las respuestas de los controladores
presentan aumento de las oscilaciones con la variación del SP, los índices se presentan
en la Tabla 5-7, obteniéndose una mejora en el índice del desempeño ITAE para el FGS –
f(e, de) del 63.33% y para FGS – f(y, r) del 15.24%.
Los índices del comportamiento del error ante variaciones de la referencia se concentran
en la siguiente tabla:
Tabla 5-7: Mediciones de índices de desempeño
Controlador PID IMC FGS – f(e, de) FGS – f(y, r)
IAE 48.73 9.227 34.41
ITAE 613.2 224.8 519.7
Capítulo 5 81
Figura 5-12: Respuesta temporal ante variaciones de la referencia. Elaboración propia.
En la Figura 5.13 se presenta la repuesta temporal de los controladores difusos
supervisados al introducir una perturbación tipo paso en t = 15 s.
Figura 5-13: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo paso.
La evaluación numérica de la respuesta temporal e índices de desempeño se presenta en
la Tabla 5-8
82 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Tabla 5-8: Mediciones de desempeño
Mediciones sin perturbacion hasta t=25s Perturbación t=15s
Controlador Mp (%) Tr (s) Ts(s) IAE ITAE IAE ITAE
PID-IMC 30 0.46 3.2 50.26 164.7 73.35 547.8
FGS – f(e, de) 32.8 0.16 1.27 10.81 46.61 12.36 70.24
FGS – f(y, r) 17.2 0.45 3.27 33.71 112.4 50.58 388.2
De la Tabla 5-8 que el supervisor difuso FGS – f(y, r) hace un rechazo de perturbaciones
similar al controlador PID convencional, mientras que el supervisor difuso FGS – f(e, de)
presenta un tiempo de subida y tiempo establecimiento bastante bajos con la presencia de
un sobre-impulso moderado y buenos índices en cuanto al rechazo de la perturbación.
5.4 FLC Paralelos
5.4.1 Modelo No Lineal
Arquitectura Paralela: FLC-PID por αSupervisión
Para realizar la construcción de esta arquitectura paralela:
El controlador FLC directo se diseña con los siguientes valores para los factores de escala:
GE=100; GCE=71.5; GIE=99.83 y GU=0.034 (FPD+I).
El controlador PID convencional fue sintonizado mediante IMC (Arquitectura ideal), a través
del modelo obtenido en el punto inferior del proceso. Los valores de las ganancias de este
controlador son: Kp=0.0295; Ti=1.0016 y Td=1.4302.
El selector difuso (supervisor) se diseña según las pautas dadas en la sección 4.2 y se
construye un módulo que realiza la suma de las acciones de control por el factor de
ponderación (ecuación 4.1).
Arquitectura Paralela: FLC Directo - Supervisor FLC
Para realizar la construcción de esta arquitectura paralela:
Capítulo 5 83
El controlador FLC directo fue diseñado con los siguientes valores para los factores de
escala, GE=100; GCE=71.5; GIE=99.83 y GU=0.034 (para FPD+I)
El FLC supervisor se diseñó con los siguientes límites de variación de las ganancias del
controlador del primer nivel, para este caso: Kpmin=0.0295; Kpmax=3.45; Kdmin=0.0422
y Kdmax=1.234.
El selector difuso (supervisor) se diseña según las pautas dadas en la sección 4.2 y se
construye un módulo que realiza la suma de las acciones de control por el factor de
ponderación (ecuación 4.4).
En la Figura 5.14 se presenta la respuesta temporal de los controladores difusos Paralelos
ante variaciones de la referencia. Se puede observar que la respuesta de los FLC Paralelos
presentan un desempeño temporal más consistente. Esto se aprecia en la Tabla 5-9,
obteniéndose una mejora en el índice del desempeño ITAE para el FLC-PID por αFunción
del 95% y para FLC Directo - Supervisor FLC del 95.9%.
Figura 5-14: Respuesta temporal ante variaciones de la referencia. Elaboración propia.
Tabla 5-9: Mediciones de índices de desempeño
Controlador PID IMC FLC-PID αFunción FLC Dir - Sup FLC
IAE 14.71 1.22 0.954
ITAE 4158 205.2 170.3
84 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
En la Figura 5.15 se presenta la repuesta temporal de los controladores difusos Paralelos
al introducir una perturbación tipo paso en t = 25 s. La evaluación numérica de la respuesta
temporal e índices de desempeño se presenta en la Tabla 5-10.
Figura 5-15: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo paso.
Tabla 5-10: Mediciones de desempeño
Mediciones sin perturbacion hasta t=50s Perturbación t=25s
Controlador Mp (%) Tr (s) Ts(s) IAE ITAE IAE ITAE
PID-IMC 8.07 5.62 19.12 1.35 3.67 2.03 24.41
FLC-PID por αFunción 36 0.97 8.7 0.52 0.86 0.52 1.06
FLC Directo - Supervisor FLC 24.8 0.97 7.64 0.36 0.52 0.37 0.73
5.4.2 Sistema No-Lineal
Arquitectura Paralela: FLC-PID por αSupervisión
Para realizar la construcción de esta arquitectura paralela:
El controlador FLC directo se diseña con los siguientes valores para los factores de escala:
GE=100; GCE=0.12; GIE=60.51 y GU=0.38 (FPD+I).
Capítulo 5 85
El controlador PID convencional fue sintonizado mediante IMC (Arquitectura ideal), a través
del modelo obtenido en el punto superior del proceso. Los valores de las ganancias de
este controlador son: Kp=14.20; Ti=1.65 y Td=0.0025.
El selector difuso (supervisor) se diseña según las pautas dadas en la sección 4.2 y se
construye un módulo que realiza la suma de las acciones de control por el factor de
ponderación (ecuación 4.4).
Arquitectura Paralela: FLC Directo - Supervisor FLC
Para realizar la construcción de esta arquitectura paralela:
El controlador FLC directo fue diseñado con los siguientes valores para los factores de
escala, GE=100; GCE=0.12; GIE=60.51 y GU=0.38 (para FPD+I)
El FLC supervisor se diseñó con los siguientes límites de variación de las ganancias del
controlador del primer nivel, para este caso: Kpmin=14.2; Kpmax=38.36; Kdmin=0.0355 y
Kdmax=0.0239
El selector difuso (supervisor) se diseña según las pautas dadas en la sección 4.2 y se
construye un módulo que realiza la suma de las acciones de control por el factor de
ponderación (ecuación 4.4).
En la Figura 5.16 se presenta la respuesta temporal de los controladores difusos Paralelos
ante variaciones de la referencia. En la Tabla 5-11, se aprecia una mejora en el índice del
desempeño ITAE para el FLC-PID por αFunción del 54.7% y para el FLC Directo -
Supervisor FLC del 57.5%.
Figura 5-16: Respuesta temporal ante variaciones de la referencia. Elaboración propia.
86 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Tabla 5-11: Mediciones de índices de desempeño
Controlador PID IMC FLC-PID αFunción FLC Dir - Sup FLC
IAE 48.75 19.68 18.5
ITAE 614 277.9 260.5
En la Figura 5.17 se presenta la repuesta temporal de los controladores difusos paralelos
al introducir una perturbación tipo paso en t = 15 s. La evaluación numérica de la respuesta
temporal e índices de desempeño se presenta en la Tabla 5-12.
Figura 5-17: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo paso.
Tabla 5-12: Mediciones de desempeño
Mediciones sin perturbacion hasta t=25s Perturbación t=15s
Controlador Mp (%) Tr (s) Ts(s) IAE ITAE IAE ITAE
PID-IMC 30 0.46 3.2 50.26 164.7 73.35 547.8
FLC-PID por αFunción 15.4 0.27 2.12 20.68 67.12 29.22 208.4
FLC Directo - Supervisor FLC 29.2 0.1 3.5 21.32 79.1 29.81 223.2
En la Tabla 5-12 se puede apreciar una degradación de los índices IAE e ITAE para los
controladores difusos Paralelos cuando se presenta la perturbación tipo paso.
Capítulo 5 87
5.5 Comparativo global
5.5.1 Tareas de seguimiento y regulación
En las figuras 5-18 y 5-19 se presenta la respuesta temporal de los controladores en tareas
de seguimiento de referencias para la planta No-lineal Parametrizada en la sección 5.1.1
Figura 5-18: Respuesta temporal de los FLC ante variaciones de la referencia en el punto
bajo de operación.
Figura 5-19: Respuesta temporal de los FLC ante variaciones de la referencia en el punto
alto de operación.
88 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Tabla 5-13: Desempeño en tareas de seguimiento
FLC Directos FLC Supervisorios FLC Paralelos
FPD+I MHPID FGS –
f(e, de)
FGS –
f(y, r)
FLC-PID
αFunción
FLC Dir -
Sup FLC
IAE 1.15 3.22 1.05 3.44 1.22 0.954
ITAE 196.9 572.4 245.5 614 205.2 170.3
A continuación, se presenta un cuadro comparativo de los índices de error para cada
arquitectura difusa cuando se realizan tareas de regulación (rechazo de perturbaciones)
Tabla 5-14: Desempeño en tareas de regulación (Planta No-Lineal sección 5.1.1)
FLC Directos FLC Supervisorios FLC Paralelos
FPD+I MHPID FGS –
f(e, de)
FGS –
f(y, r)
FLC-PID
αFunción
FLC Dir -
Sup FLC
IAE 0.41 1.22 0.15 2.15 0.52 0.36
ITAE 0.80 3.82 0.28 29.3 1.06 0.52
Figura 5-20: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo paso.
Capítulo 5 89
En las figuras 5-21 y 5-22 se presenta la respuesta temporal de los controladores en tareas
de seguimiento de referencias para el sistema No-lineal parametrizado en la sección 5.1.2
Figura 5-21: Respuesta temporal de los FLC ante variaciones de la referencia en el punto
bajo de operación.
Figura 5-22: Respuesta temporal de los FLC ante variaciones de la referencia en el punto
alto de operación.
90 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
A continuación, se presenta un cuadro comparativo de los índices de error para cada
arquitectura difusa cuando se realiza tareas de seguimiento y se presentan cambios en los
puntos de operación el sistema No-Lineal parametrizada en la sección 5.1.2
Tabla 5-15: Desempeño en tareas de seguimiento
FLC Directos FLC Supervisorios FLC Paralelos
FPD+I MHPID FGS –
f(e, de)
FGS –
f(y, r)
FLC-PID
αFunción
FLC Dir -
Sup FLC
IAE 18.74 16.29 10.82 35.24 19.68 18.5
ITAE 247.8 184.6 247.4 562.7 277.9 260.5
Figura 5-23: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo paso.
A continuación, se presenta un cuadro comparativo de los índices de error para cada
arquitectura difusa cuando se realizan tareas de regulación (rechazo de perturbaciones)
en la planta No-Lineal parametrizada en la sección 5.1.2:
Capítulo 5 91
Tabla 5-16: Desempeño en tareas de regulación (Sistema No-Lineal sección 5.1.2)
FLC Directos FLC Supervisorios FLC Paralelos
FPD+I MHPID FGS –
f(e, de)
FGS –
f(y, r)
FLC-PID
αFunción
FLC Dir -
Sup FLC
IAE 26.79 22.35 12.36 50.58 29.22 29.81
ITAE 196.2 196.9 70.24 388.2 208.4 223.2
5.5.2 Esfuerzo del diseñador (Requisitos de implementación)
A continuación, se realiza un cuadro comparativo sobre la información necesaria que debe proporcionar con el fin de poder realizar la
implementación de cualquier controlador difuso tratado en las secciones anteriores:
Requisitos FLC Directos FLC Supervisorios FLC Paralelos
FPD+I MHPID FGS – f(e, de) FGS – f(y, r) FLC-PID
αFunción
FLC Dir - Sup
FLC
Consideraciones
Iniciales
Modelos del
sistema a
controlar
[2] En puntos de
operación
superior e inferior
[2] En puntos de
operación
superior e inferior
[2] En puntos de
operación
superior e inferior
Varios Modelos [2] En puntos de
operación
superior e inferior
[2] En puntos de
operación superior
e inferior
Requiere en el
lazo de control de
un PID
convencional
NO
NO
SI
SI
SI
NO
Para iniciar la
sintonización se
requiere de alguna
arquitectura
especifica de un
controlador PID
Se inicia con el
que se encuentra
en operación
Se inicia con el
que se encuentra
en operación
Conveniencia de
iniciar con un
controlador PID
IMC
Requiere de los
parámetros de un
controlador PID
IMC
Se inicia con el
que se encuentra
en operación
Requiere de los
parámetros de un
controlador PID
IMC
Tiempo de
ejecución de la
arquitectura de
control (Planta
5.1.1) *
BAJO
15 seg
BAJO
11 seg
ALTO
2 min 12 seg
BAJO
14 seg
BAJO
16 seg
ALTO
2 min 21 seg
94 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Las pruebas se
ejecutan en un
procesador
Pentium Dual
con 6GB de
memoria RAM
Consideraciones
estructurales
Numero de
Funciones de
pertenencia (MFs)
para las Entradas
3
2
7
Depende de los
modelos
Depende del FLC
directo
Depende del FLC
directo y el
Supervisor Difuso
Numero de
Funciones de
pertenencia (MFs)
para la salida
5 ------- 2 Depende de los
modelos
Depende del FLC
directo
Depende del FLC
directo y el
Supervisor Difuso
Inferencia Producto Producto Producto Producto Producto Producto
Base de reglas Mamdani Takagi-Sugeno Mamdani Mamdani Depende del FLC
directo
Depende del FLC
directo y el
Supervisor Difuso
Defuzificacion COG Suma Ponderada Propietaria COG Depende del FLC
directo
Depende del FLC
directo y el
Supervisor Difuso
Normalización SI SI SI NO SI SI
Numero de
sistemas difusos
en la arquitectura
de control
1
1
3
2
1
Depende del FLC
directo y el
Supervisor Difuso
6. Conclusiones y Trabajo futuro
Los controladores difusos constituyen una alternativa de solución, particularmente en
procesos industriales que tengan cambios en puntos de operación que evidencien un
comportamiento dinámico no lineal, presentando degradación del desempeño en la
respuesta del sistema, razón por la cual existe un alto interés en el control de estos
procesos con el fin de alcanzar un rendimiento satisfactorio. En este capítulo se presentan
las conclusiones generales del trabajo y se establece las perspectivas futuras.
6.1 Conclusiones
El desarrollo del presente proyecto consistía en el establecimiento de una metodología de
diseño e implementación de sistemas de control PID difusos a partir de la caracterización
de las técnicas de control difuso directo, supervisor difuso y paralelo a partir de un
comparativo orientado a procesos continuos de entorno industrial.
Para la consecución de este objetivo se generó unas etapas mínimas para el diseño e
implementación de un controlador difuso, estas son: normalización de las entradas y salida
(solo se consideraron sistemas SISO), identificación y modelamiento del proceso, cálculo
de ganancias difusas y sintonización fina del FLC.
A nivel de simulación se implementó un modelo matemático No-Lineal y se consideró un
reactor CSTR, realizando la construcción de cada una de las arquitecturas de los
controladores difusos considerados, ajustando sus respectivos parámetros como
universos de discurso, ubicación y forma de las funciones de pertenencia, mecanismos de
inferencia, bases de reglas y tipo de defuzificacion, para desarrollar un comparativo de
desempeño frente a tareas de seguimiento y regulación. Las metodologías que se
proponen en este documento, se establecieron mediante la exploración de múltiples
técnicas, análisis paramétricos y comparativos buscado un equilibrio entre facilidad de
implementación, reducir pruebas de ensayo y error en la sintonización de los controladores
96 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
difusos, tiempo de desarrollo y de requerir de un mínimo conocimiento por parte del
personal técnico que realiza la sintonización de los controladores asociando la variación
de ganancias de un controlador convencional con la variación de factores de escala en los
controladores difusos.
Después de realizar la implementación de los algoritmos correspondientes a cada una de
las técnicas de control difuso definidas, es decir FLC directo, FLC Supervisado y FLC
Paralelo, y de haber realizado pruebas con el fin de evaluar el desempeño de las mismas
ante diferentes aspectos se concluye lo siguiente:
Cada una de las técnicas descritas en este documento fueron implementadas utilizando
lenguaje grafico para la construcción de las arquitecturas de control (simulink), y se utilizó
la herramienta Fuzzy Logic Toolbox para generar de los sistemas difusos, permitiendo gran
flexibilidad a la hora de manipular los parámetros en simulación, se encontró que la técnica
FGS – f(e, de) represento mayor dificultad con respecto a construcción que de las otras
técnicas debido a la falta de documentación para generar las funciones de pertenencia de
salida y el método de defuzificacion, por lo que fue necesario generarlas mediante
funciones personalizadas lo que implica un mayor gasto computacional.
En cuanto a la arquitectura, es posible concluir que las técnicas FPD+I, MHPID, FGS – f(e,
de), FLC-PID por αSupervisión y FLC Directo - Supervisor FLC requieren menos
intervención por parte del diseñador en la afinación de parámetros. Mientras que FGS –
f(y, r) requieren de una intervención más exhaustiva por parte del diseñador ya que se
deben realizar varias pruebas en simulación o en el proceso para que el rendimiento de
control sea aceptable (establecer el número adecuado de modelos).
En general, las tres técnicas presentan un mejor desempeño comparativamente con un
PID convencional, tanto en tareas de seguimiento a referencias cuando se opera en
diferentes puntos de operación o en tareas de regulación (rechazo a perturbaciones). Pero
para que se brinden estos resultados es estrictamente necesario realizar normalización de
las entradas y/o salidas para todas las técnicas exceptuando el supervisor difuso FGS –
f(y, r).
Dependiendo de la naturaleza del proceso a controlar es decir si permite presencia de
ligeros sobre–impulsos se sugiere al diseñador utilizar un controlador difuso directo FPD+I
Conclusiones 97
debido a la baja complejidad de implementación y a sus buenos índices en tareas de
seguimiento y regulación. Si se desea alcanzar la referencia en el menor tiempo posible y
tener menor porcentaje de sobre-impulso se sugiere implementar un controlador FGS-f(e,
de) pero esto involucra un gasto computacional mayor, si no se tiene estas limitantes se
sugiere implementar un FLC Dir – Sup FLC el cual reúne las características anteriores.
Si la naturaleza del proceso a controlar no permite presencia de sobre–impulsos por
ejemplo en aplicaciones de precisión como sistemas robóticos, se sugiere al diseñador
utilizar un controlador difuso directo MHPID debido a que su respuesta se aproxima a una
respuesta temporal de primer orden. La arquitectura supervisor difuso FGS-f(y, r), también
presenta una respuesta suave pero esta técnica involucra pruebas en simulación y/o
proceso para obtener un desempeño aceptable, adicionalmente al usar como variable de
scheduling la señal de salida (y) no proporciona la suficiente información al controlador
difuso para realizar el rechazo de perturbaciones de una mejor manera aun cuando se
realiza un ajuste en los factores de peso en la salida de los sistemas difusos.
Los controladores difusos que utilizan como entradas la información del error y su primera
derivada, presentan un mejor comportamiento en tareas de regulación al rechazar
perturbaciones, debido a que por medio de la inferencia difusa en función de estas
entradas genera una acción correctiva inmediata y de mayor proporción.
Los controladores difusos diseñados, a partir de las metodologías propuestas presentan
un buen desempeño ante tareas de seguimiento de referencias y rechazo de
perturbaciones, presentando índices de error (IAE e ITAE) bajos, por lo cual las
metodologías son suficientes. En caso de requerirse una mejora en la respuesta del
desempeño temporal, frente problemas típicos en entornos industriales, es posible agregar
módulos adicionales en las respectivas arquitecturas para este fin, debido a que los
controladores difusos en cumplen con los requerimientos mínimos de operación.
98 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
6.2 Trabajo futuro
Con el desarrollo del presente trabajo, han surgido varios posibles trabajos de investigación
para el futuro. Algunos de estos son:
Realizar la implementación de los controladores difusos propuestos sobre
productos comerciales del ámbito industrial, como por ejemplo los PAC de Rockwell
utilizando herramientas como FuzzyDesigner with RSLogix 5000 Software, lo que
permitiría analizar el comportamiento de los controladores diseñados en
aplicaciones prácticas.
Realizar un análisis de estabilidad de las arquitecturas propuestas.
Realizar un análisis cuando se realiza variación de los parámetros en los sistemas
a controlar, con el fin de validar cual método presenta el mejor comportamiento en
este ítem.
Para la técnica FGS – f(e, de) se propone explorar funciones de pertenencia de tipo
triangular para las salidas y defuzificacion COG con el fin de reducir el costo
computacional a la hora de la implementación.
Para la técnica FGS – f(y, r) se propone explorar el ajuste de los modelos en función
de las ganancias estáticas del sistema en los diferentes puntos de operación con
el fin de mejorar el desempeño temporal de esta arquitectura.
Para la técnica FLC-PID por αSupervisión y FLC Directo - Supervisor FLC se
propone explorar si se puede lograr un mejor rendimiento temporal al variar la
ubicación de las funciones de pertenencia de salida (singleton) del selector difuso.
A. Anexo: Control PID
Los sistemas de control implementados en procesos continuos tienen como objetivo
realizar tareas de seguimiento de referencias, es decir que las salidas del proceso imiten
el comportamiento del valor deseado o punto de consigna (control de seguimiento).
Adicionalmente el sistema de control debe estar en la capacidad de rechazar
perturbaciones sobre las salidas o las entradas del proceso, esto significa que la variable
controlada debe permanecer en el punto de control que le indique la variable de referencia
(control regulatorio). Para la selección de los puntos de consigna de las variables análogas
y el punto de operación óptimo se debe tener en cuenta las limitaciones físicas de la planta
y/o proceso, mientras que el rechazo a perturbaciones asegura robustez al sistema; con la
correcta elección y sintonización del controlador, mejoraría el desempeño en el proceso
obteniéndose beneficios económicos haciendo referencia a índices de productividad,
eficacia y eficiencia.
Los componentes de un sistema típico de control de procesos son:
Sensor / Transmisor.
Controlador.
Elemento Final de Control o Actuador.
Planta / Proceso.
Mediante el actuador, el controlador es capaz de mantener una variable o proceso en un
punto de operación deseado el cual se encuentra en el rango de medición del sensor. En
el bloque del controlador, se realiza la comparación de la señal proveniente del
sensor/transmisor (variable del proceso) y el valor o comportamiento deseado.
10
0
Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al
mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Figura 6-1: Arquitectura típica de un sistema de control. Tomado de (Smith & Corripio,
2004)
Para realizar el diseño del controlador utilizando métodos convencionales es indispensable
obtener el modelo aproximado de la Planta, además se requiere establecer criterios del
comportamiento en lazo cerrado en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia.
Mediante el ajuste de la respuesta transitoria (fijando, por ejemplo, el tiempo de
establecimiento y el porcentaje de sobre-impulso) y la respuesta estática (reducción del
error en estado estacionario) se obtiene la ley de control.
En el entorno industrial, habitualmente no se dispone de una representación matemática
rigurosa que describa el comportamiento de la Planta, esto debido a que involucra un
estudio del proceso, el cual puede llegar a ser costoso, difícil de obtener si hay una gran
cantidad de parámetros y requiere de mucho tiempo para su validación. Por facilidad se
utilizan métodos de identificación, que permiten aproximar el comportamiento de la Planta
por medio de modelos matemáticos relativamente simples, estos métodos empíricos han
demostrado ser una buena herramienta en el modelamiento de sistemas y se siguen
utilizando en la actualidad. Las aproximaciones obtenidas son modelos de primer y
segundo orden más tiempo muerto.
Sistemas de primer orden más tiempo muerto:
Se pueden extraer las características del proceso (Planta) mediante el cálculo de los
siguientes parámetros:
𝜏 : Constante de tiempo, es la relación de la velocidad de respuesta del proceso; mientras
más lenta es la respuesta del proceso a una entrada, más grande es el valor de 𝜏 y
viceversa. Para 𝜏 se utilizan unidades de tiempo.
Anexo A. Control PID 101
𝐾 : Ganancia del proceso. Indica cuánto cambia la variable de salida en función del cambio
de la variable de entrada (Smith & Corripio, 2004). Se define como:
𝐾 = ∆ 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
∆ 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 =
∆𝑦
∆𝑢 =
𝑦𝑓−𝑦𝑖
𝑢𝑓−𝑢𝑖 (6.1)
𝑡0 : Tiempo muerto. Es el intervalo de tiempo entre el momento en que se excita al proceso
y éste empieza a responder.
La función de transferencia relaciona los parámetros del proceso en un modelo de primer
orden más tiempo muerto (FOLPDT):
𝐺𝑝(𝑠) = 𝐾∗𝑒−𝑡0𝑠
𝜏𝑠+1 (6.2)
Sistemas de segundo orden más tiempo muerto
Se pueden extraer las características del proceso (Planta) mediante el cálculo de los
siguientes parámetros:
ζ: Coeficiente de amortiguamiento. Produce diferentes respuestas temporales que
dependen de la naturaleza de las raíces, se generan los siguientes casos:
1. ζ > 1; caso sobreamortiguado
2. ζ = 1; caso críticamente amortiguado.
3. 0 < ζ < 1; caso subamortiguado.
4. ζ = 0; caso no amortiguado.
La respuesta típica de aplicación en entornos industriales ocurre cuando ζ se encuentra
entre 0 y 1, es decir que sus polos son complejos conjugados. Con el objetivo de obtener
la representación matemática de este comportamiento es necesario calcular:
𝑡𝑟. Tiempo de subida: Es el tiempo que se demora la respuesta del sistema en alcanzar el
valor final por primera vez.
𝑡𝑝. Tiempo pico: Es el tiempo en el cual la respuesta del sistema alcanza el primer máximo.
𝑃𝑂. Porcentaje de sobrepico: Es la cantidad excedente de la respuesta del sistema con
respecto al valor final o de estado estacionario, expresada en porcentaje.
10
2
Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al
mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
𝑡𝑠. Tiempo de establecimiento: Es el tiempo necesario para que la respuesta del sistema
alcance un rango y permanezca en él, dependiendo del autor puede estar entre 2% y 5%
del régimen estacionario.
Figura 6-2: Parámetros del comportamiento de sistemas de segundo orden. Tomado
de (Copyright 2008 Pearson Prentice Hall, Inc)
Las ecuaciones que permiten modelar el sistema a partir de los parámetros descritos
anteriormente son:
𝜔𝑛 = 𝜋
𝑇𝑝√(1−𝜁2)
(6.3)
Donde 𝜔𝑛 es la frecuencia natural no amortiguada, corresponde a la frecuencia que
oscilaría el sistema si no hubiera amortiguación.
𝜁 = 1
√(𝜋2
[ln(𝑃𝑂%100
)]2+1)
(6.4)
La función de transferencia que relaciona los parámetros en un modelo de segundo
orden es:
𝐺(𝑠) = 𝐾𝜔𝑛
2∗𝑒−𝑇0∗𝑠
𝑠2+2𝜁𝜔𝑛𝑠+𝜔𝑛2 (2.5)
El polinomio del denominador se denomina polinomio característico cuyas raíces son los
polos de la función de transferencia, estos pueden ser reales o complejos conjugados. Los
Anexo A. Control PID 103
parámetros como la ganancia estática 𝐾 y el tiempo muerto 𝑡0 se calculan como en los
sistemas de primer orden.
6.3 Caracterización de los modelos
Los métodos de identificación utilizados para la caracterización de los procesos se pueden
clasificar según la forma de aplicar el procedimiento:
Métodos que utilizan la curva de reacción del proceso.
Métodos que utilizan la información de ciclo último.
6.3.1 Métodos que utilizan la curva de reacción del proceso
Los métodos que se basan en la curva de reacción son técnicas en lazo abierto que
permiten extraer los parámetros del proceso para ser modelados, el comportamiento
característico que se observa a la salida del proceso es en forma de S. El procedimiento
que se aplica es el siguiente:
1. Poner el instrumento controlador del proceso en modo manual (Lazo abierto).
2. Se aplica un cambio de tipo escalón a la entrada el proceso, es decir a la salida
del instrumento controlador.
3. Mediante instrumentos registradores se deben almacenar la información de los
cambios tanto en la entrada como en la salida del proceso hasta que el sistema
alcance el estado estable.
A continuación, se indican algunos métodos basados en la curva de reacción del proceso.
Método de la tangente de Ziegler y Nichols
El método de la tangente propuesto por Ziegler y Nichols (Ziegler,& Nichols 1942) permite
aproximar la respuesta de un proceso a un modelo FOLPDT; para obtener los parámetros
del modelo es necesario trazar una recta tangente a la curva de reacción del proceso en
el punto de máxima pendiente (punto de inflexión).
10
4
Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al
mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Figura 6-3: Método de la tangente de Ziegler y Nichols. Elaboración propia
Método de la tangente Miller
Con este método también se obtiene una aproximación del proceso a un modelo FOLPDT
(Miller, 1967); el autor propone una modificación a la técnica propuesta por Ziegler y
Nichols en la estimación de la constante de tiempo 𝜏. El cálculo de esta constante se
efectúa como la resta del valor que se proyecta en el eje tiempo cuando se alcanza el
63.2% del valor final de la salida del proceso (estado estable), menos el valor en el eje del
tiempo cuando la recta tangente lo traspasa.
Figura 6-4: Método de la tangente de Miller. Elaboración propia
Anexo A. Control PID 105
Método de Smith
Es la primera técnica propuesta que no requiere que se trace la recta tangente en el punto
de inflexión; el autor propone (Smith, 1972) la selección de dos puntos en la curva de
reacción del proceso para hallar 𝜏 y 𝑡0, para esto se construye dos ecuaciones con dos
incógnitas seleccionando dos puntos en la curva de reacción. Smith propuso que estos
puntos fueran el 28.3% y 63.2% del valor final del proceso. Las ecuaciones son:
𝑡1 = 𝑡0 + 𝜏 (6.6)
𝑡2 = 𝑡0 + 𝜏
3 (6.7)
𝜏 = 3
2(𝑡2 − 𝑡1) (6.8)
𝑡0 = 𝑡2 − 𝜏 (6.9)
Figura 6-5: Método de Smith. Elaboración propia
Método de Alfaro
El autor propone a diferencia de Smith escoger como puntos en la curva de reacción
cuando se alcance el 25% y el 75% del valor final del proceso, para hallar 𝜏 y 𝑡0 se utilizan
las siguientes ecuaciones:
𝜏 = 0.9102 ∗ (𝑡2 − 𝑡1) (6.10)
𝑡0 = 1.262 ∗ 𝑡1 − 0.262 ∗ 𝑡2 (6.11)
10
6
Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al
mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Figura 6-6: Método de Alfaro. Elaboración propia
6.3.2 Métodos que utilizan la información de ciclo último
Estos métodos requieren que el instrumento controlador esté presente en el lazo para la
obtención de los parámetros, por ende, ese tipo de técnicas también se conocen como
métodos de identificación en lazo cerrado. Para ello es necesario hallar los siguientes
valores:
Ganancia última 𝐾𝑢: Es la información que corresponde al valor de la ganancia
proporcional que lleva al sistema a una oscilación mantenida; es necesario configurar en
el instrumento controlador las ganancias 𝑘𝑑 y 𝑘𝑖 iguales a cero
Periodo de oscilación última 𝑇𝑢: Esta información corresponde al periodo de oscilación
mantenida.
Método de Ziegler y Nichols en lazo cerrado
Consiste en hallar los valores de ganancia última y el periodo de oscilación último, se inicia
variando la ganancia proporcional hasta alcanzar una oscilación sostenida, es decir que la
oscilación no aumente ni disminuya en su valor de salida conforme transcurre el tiempo.
6.3.3 Índice de desempeño
Para establecer una métrica de medición en la identificación de procesos, en este trabajo
se utilizó el índice de la Integral del valor absoluto del error de predicción (IAEP) propuesto
Anexo A. Control PID 107
en (Murillo 2004). Este índice permite realizar la comparación mediante la sustracción entre
la salida de la planta (𝑦𝑝) y la salida pronosticada por el modelo (𝑦𝑚).
𝐼𝐴𝐸𝑃 = ∫|𝑦𝑝 − 𝑦𝑚| 𝑑𝑡 (6.12)
Si el IAEP se acerca a cero, significa que la salida de la planta se acerca a la salida del
modelo.
Selección de la Planta
Con el fin de validar cuál puede ser el mejor método al momento de realizar la identificación
de los procesos, se propone la siguiente planta en la cual se puede realizar un barrido de
la relación 𝑡𝑜
𝜏, lo que implica una variación del orden del sistema.
𝐺𝑝(𝑠) =𝐾
((𝜏𝑠+1)(𝛼𝜏𝑠+1)𝑛) (6.13)
La parametrización de la planta se realizó con los siguientes valores:
𝐾 = 0.5; 𝜏 = 10; 𝛼 = 0.01, 0.05, 0.1, 0.3 𝑦 0.5; 𝑛 = 1 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 12
La familia de curvas obtenidas con una entrada escalón unitario variando 𝛼 y 𝑛 son:
Figura 6-7: Familia de curvas para 𝐺𝑝(𝑠). Elaboración propia
De esta familia de curvas se seleccionaron 5 curvas representativas a ser modeladas
10
8
Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al
mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Figura 6-8: Curvas representativas. Elaboración propia
En la siguiente tabla, se expone los valores de los parámetros que representan los modelos
obtenidos por los diferentes métodos de identificación presentados anteriormente:
Tabla 6-1: Parámetros de los modelos
Método
Parámetros
𝑛 = 2, 𝛼 = 0.1
Parámetros
𝑛 = 3, 𝛼 = 0.2
Parámetros
𝑛 = 6, 𝛼 = 0.3
Parámetros
𝑛 = 9, 𝛼 = 0.4
Parámetros
𝑛 = 12, 𝛼 = 0.5
𝐾 𝜏 𝑡0 𝐾 𝜏 𝑡0 𝐾 𝜏 𝑡0 𝐾 𝜏 𝑡0 𝐾 𝜏 𝑡0
Z-N 0.5 16.5 0.68 0.5 18.9 4.09 0.5 28.4 11.6 0.5 37.5 25.7 0.5 48.4 43.9
Miller 0.5 11.4 0.68 0.5 12.5 4.09 0.5 18.2 11.6 0.5 23.4 25.7 0.5 31 43.9
Smith 0.5 10 2.05 0.5 11.2 5.39 0.5 14.5 15.2 0.5 19.6 29.4 0.5 26.2 48.6
Alfaro 0.5 10 1.99 0.5 10.9 5.45 0.5 13.7 15.2 0.5 18.3 29.6 0.5 24.1 48.6
En la Tabla 6-2, se expone los valores de IAEP para medir la aproximación del modelo con
la respuesta del sistema, el IAEP se calculó mediante el software Simulink de Matlab para
cada uno de los cinco modelos.
Anexo A. Control PID 109
Tabla 6-2: Calculo del IAEP para cada método.
Método
Parámetros
𝑛 = 2,
𝛼 = 0.1
Parámetros
𝑛 = 3,
𝛼 = 0.2
Parámetros
𝑛 = 6,
𝛼 = 0.3
Parámetros
𝑛 = 9,
𝛼 = 0.4
Parámetros
𝑛 = 12,
𝛼 = 0.5
Z-N 2.648 3.5 6.001 8.597 11.11
Miller 0.467 0.6596 1.872 2.571 3.666
Smith 0.055 0.3569 1.025 1.8 2.735
Alfaro 0.053 0.3007 0.8636 1.553 2.29
De la Tabla 6-2 se puede concluir que el mejor desempeño en la identificación de sistemas
con curvas de reacción parecidas a un primer orden más tiempo muerto lo exhibe el método
de Alfaro, mientras que el método de Ziegler y Nichols manifiesta el desempeño más pobre.
6.4 Modos PID
El controlador PID surge de la combinación de las acciones de control proporcional, integral
y derivativo beneficiándose de las características de cada una. El cálculo de la acción de
control de los controladores por retroalimentación se basa en el error, definiendo éste como
la diferencia entre el valor deseado (set point) y la salida del sistema. De esta manera,
intenta resolver el problema de control de muchas aplicaciones en la industria,
particularmente cuando los procesos pueden ser descritos por dinámicas de primer y
segundo orden.
El modo proporcional actúa proporcional a la magnitud del error, el modo integral conlleva
a la eliminación del error de estado estacionario en procesos autorregulados cuando la
señal de referencia es de tipo escalón unitario (tipo posición) y el modo derivativo ayuda a
obtener una mayor velocidad de respuesta en lazo cerrado (si la señal de error no tiene
ruido), el modo derivativo sólo actúa en el estado transitorio.
11
0
Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al
mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
6.5 Sintonía de controladores PID
Para estos tipos de controladores se han propuesto diferentes arquitecturas y métodos de
ajuste (sintonía) de sus parámetros (O’Dwyer, 2003) abarcando enfoques analíticos y
empíricos. Para estos últimos se encuentran técnicas como las basadas en modelo, en
donde se proponen reglas de sintonía que relacionan los parámetros del controlador, es
decir hallar los valores de 𝐾𝑐, 𝑇𝑖 y 𝑇𝑑, en función de los parámetros del modelo del proceso
de forma directa, permitiendo un ajuste sistemático, el primer trabajo bajo esta perspectiva
fue presentado por (Ziegler & Nichols 1942).
Se limitará el análisis de los métodos de sintonización y los resultados de la comparación,
a los controladores PID que realizan tareas de seguimiento, arquitectura ideal y utilizan un
modelo del proceso. Entonces algunos de estos métodos de sintonización utilizados a nivel
industrial son:
Métodos que utilizan la información de la curva de reacción del proceso
Métodos que utilizan el mínimo índice de desempeño
Métodos que utilizan la información de ciclo ultimo
IMC
6.5.1 Métodos que utilizan la información de la curva de reacción
del proceso.
Para la sintonización del controlador PID, estos métodos utilizan la información de la
identificación del modelo generalmente aproximado a FOLPDT:
Método de Ziegler y Nichols
Esta metodología fue propuesta en el año 1942, las ecuaciones obtenidas
experimentalmente buscan que la respuesta del sistema en lazo cerrado ante una entrada
escalón tuviera un decaimiento del segundo sobre-impulso de ¼ con relación al primer
sobre-impulso. Las ecuaciones de sintonización son:
𝐾𝑐 = 1.2 ∗𝜏
𝐾∗𝑡0 (6.21)
𝑇𝑖 = 2 ∗ 𝑡0 (6.22)
Anexo A. Control PID 111
𝑇𝑑 = 0.5 ∗ 𝑡0 (6.23)
Método de Liptak
Este método de sintonización fue publicado en el año 2001, las ecuaciones son:
𝐾𝑐 = 0.85 ∗𝜏
𝐾∗𝑡0 (6.24)
𝑇𝑖 = 1.6 ∗ 𝑡0 (6.25)
𝑇𝑑 = 0.6 ∗ 𝑡0 (6.26)
6.5.2 Métodos que utilizan el mínimo índice de desempeño.
La sintonización de los controladores se puede realizar en función del comportamiento del
error, de esta manera se busca minimizarlo por el ajuste de los parámetros PID, por medio
de las siguientes integrales:
𝐼𝑆𝐸 = ∫ 𝑒(𝑡)2𝑑𝑡∞
0 : Integral del error cuadrático. (6.27)
𝐼𝐴𝐸 = ∫ |𝑒(𝑡)|𝑑𝑡∞
0 : Integral del error absoluto. (6.28)
𝐼𝑇𝐴𝐸 = ∫ 𝑡 ∗ |𝑒(𝑡)|𝑑𝑡∞
0 : Integral del error absoluto por el tiempo. (6.29)
Los criterios que usan solo el error tienen como objetivo minimizar el máximo sobre impulsó
y el error en estado estacionario, mientras que los criterios que usan el tiempo y el error
tienen como objetivo que la repuesta del sistema sea la más rápida a pesar de un sobre
impulsó más grande. Algunos métodos seleccionados son:
Método de Alfaro
Este método de sintonización fue publicado en el año 2003, utiliza como criterio de
desempeño mínimo IAE las ecuaciones son:
𝐾𝑐 =1
𝐾(0.3295 + 0.7182 (
𝑡0
𝜏)−0.9971
) (6.30)
𝑇𝑖 = 𝜏 (0.9781 + 0.3723 (𝑡0
𝜏)0.8456
) (6.31)
𝑇𝑑 = 𝜏 ∗ 0.3416 (𝑡0
𝜏)0.9414
(6.32)
11
2
Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al
mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Método de Smith
Este método de sintonización fue publicado en el año 2003, utiliza como criterio de
desempeño mínimo ITAE las ecuaciones son:
𝐾𝑐 =0.965
𝐾(𝜏
𝑡0)0.855
(6.33)
𝑇𝑖 = 1.26 ∗ 𝜏 (6.34)
𝑇𝑑 = 0.308 ∗ 𝜏 (6.35)
6.5.3 Métodos que utilizan la información de ciclo ultimo
Estos métodos utilizan los parámetros 𝐾𝑢 y 𝑇𝑢 para realizar la sintonización del controlador.
Método de Ziegler y Nichols
Este método de sintonización fue publicado en el año 1942, las ecuaciones son:
𝐾𝑐 = 0.6 ∗ 𝐾𝑢 (6.33)
𝑇𝑖 = 0.5 ∗ 𝑇𝑢 (6.34)
𝑇𝑑 = 0.125 ∗ 𝑇𝑢 (6.35)
Método de Corripio
Este método de sintonización fue publicado en el año 1990, las ecuaciones son:
𝐾𝑐 = 0.75 ∗ 𝐾𝑢 (6.33)
𝑇𝑖 = 0.63 ∗ 𝑇𝑢 (6.34)
𝑇𝑑 = 0.1 ∗ 𝑇𝑢 (6.35)
6.5.4 Control de Modelo Interno
El controlador obtenido por el método de control de modelo interno o IMC, se compone de
tres funciones de transferencia, estas son: la del modelo, la inversa del modelo y un filtro
pasabajos, el filtro IMC se usa para hacer que el controlador sea realizable. (Morari &
Zafiriou 1989). Las ecuaciones de sintonización para modelos FOLPDT son:
Anexo A. Control PID 113
𝐾𝑐 =(𝜏+0.5𝑡0)
𝐾(𝜆+0.5𝑡0) (6.36)
𝑇𝑖 = 𝜏 + 0.5𝑡0 (6.37)
𝑇𝑑 =𝜏∗𝑡0
2𝜏+𝑡0 (6.38)
Para la elección del valor de la contante del filtro IMC se recomienda que este sea λ >
0.8𝑡0
Para sistemas que exhiban un comportamiento dinámico de segundo orden las ecuaciones
que se proponen para realizar la sintonización del controlador basado en este modelo son:
𝐾𝑐 =2𝜁
𝜆𝐾𝜔𝑛 (6.39)
𝑇𝑖 =2𝜁
𝜔𝑛 (6.40)
𝑇𝑑 =1
2𝜁𝜔𝑛 (6.41)
6.6 Comparativo de controladores PID lineales
Para establecer una métrica de comparación para los métodos de sintonización de los
controladores PID lineales vistos anteriormente, en este trabajo se utilizó como índices de
medición la Integral del error absoluto (IAE) y la Integral del error absoluto por el tiempo
(ITAE). Para este caso estos índices miden el desempeño del sistema en lazo cerrado,
calculando el área entre la curva de la respuesta del sistema y el escalón de entrada. Las
pruebas de desempeño se realizaron a los cinco modelos representativos de la planta
expresada en la ecuación 6.13, se utilizaron los modelos identificados mediante el método
de Alfaro para la sintonización de los controladores.
En el siguiente cuadro, se expone los valores de los índices IAE e ITAE para cada uno de
los métodos de sintonización de los controladores PID lineales. El calculó de los índices
se realizó mediante el software Simulink de Matlab para cada uno de los cinco modelos.
11
4
Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al
mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Tabla 6-3: Cálculo del índice IAE para cada método.
Método to/tao = 0.19
(𝑛 = 2, 𝛼 = 0.1)
to/tao = 0.49
(𝑛 = 3, 𝛼 = 0.2)
to/tao = 1.10
(𝑛 = 6, 𝛼 = 0.3)
to/tao = 1.61
(𝑛 = 9, 𝛼 = 0.4)
to/tao = 2.01
(𝑛 = 12, 𝛼 = 0.5)
Z-N LA 4,746 10,44 28,17 79,45 163,6
LIPTAK 6,427 12,87 31,84 89,73 184,8
ALFARO 4,149 10,25 26,44 49,38 80,17
SMITH 6,422 10,88 28,21 57,41 97,74
Z-N CU 4,065 10,25 25,17 49,62 84,53
CORRIPIO 3,886 10,92 30,9 64,48 110,9
IMC 4,116 9,913 25,43 49,08 80,39
A continuación, se presenta la respuesta temporal de los controladores:
Figura 6-9: Respuesta temporal de los controladores de la planta con 𝑁 = 2,𝛼 = 0.1
Elaboración propia
(a)
(b)
Figura 6-10: Respuesta temporal de los controladores para la planta con 𝑁 = 12, 𝛼 =
0.5 Elaboración propia.
(a)
(b)
Anexo A. Control PID 115
Figura 6-11: Valor del IAE para cada método. Elaboración propia
De la gráfica anterior se puede apreciar que el menor índice IAE los presentan los métodos
IMC y Alfaro, mientras que el mayor valor del índice los métodos Ziegler-Nichold en lazo
abierto y Liptak.
Tabla 6-4: Cálculo del índice ITAE para cada método.
Método to/tao = 0.19 to/tao = 0.49 to/tao = 1.10 to/tao = 1.61 to/tao = 2.01
Z-N LA 23,49 96,65 631 6484 2.885e+4
LIPTAK 48,44 163,5 679 7332 3.331e+4
ALFARO 18,34 81,55 464 1569 4130
SMITH 58,32 104,9 556,5 2446 7340
Z-N CU 16,83 91,58 495,1 2016 6193
CORRIPIO 17 126,2 1034 4854 1.508e+4
IMC 19,54 78,25 431 1660 4509
0
50
100
150
200
to/tao = 0.19 to/tao = 0.49 to/tao = 1.10 to/tao = 1.61 to/tao = 2.01
IAE
Z-N LA LIPTAK ALFARO SMITH Z-N CU CORRIPIO IMC
11
6
Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al
mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Figura 6-12: Valor del ITAE para cada método. Elaboración propia
De la gráfica anterior se puede apreciar que el menor índice ITAE los presentan los
métodos IMC y Alfaro, mientras que el mayor valor del índice los métodos Ziegler-Nichold
en lazo abierto y Liptak igual que en la figura de mérito para IAE.
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
Z-N LA LIPTAK ALFARO SMITH Z-N CU CORRIPIO IMC
ITAE
to/tao = 0.19 to/tao = 0.49 to/tao = 1.10 to/tao = 1.61 to/tao = 2.01
B. Anexo: Sintonización FGS – f(y, r)
A continuación, se describe una serie de pruebas con el fin de obtener una metodología
de sintonización sistemática para el controlador supervisado FGS – f(y, r):
El rango de variación del Set Point definido para este sistema no-lineal es de 0 a 1, por lo
tanto, los puntos de operación para este proceso que fueron seleccionados son: 0.2, 0.4,
0.6, 0.8 y 1. Se inicia obteniendo los sub-modelos lineales en los puntos de operación
mediante curva de reacción del proceso.
Figura 6-13: Curva de reacción del proceso No-Lineal
𝐺(𝑠)0.2 = 4.629 (𝑠2 + 0.691𝑠 + 1.12)⁄
𝐺(𝑠)0.4 = 1.025 (𝑠2 + 0.696𝑠 + 2.036)⁄
𝐺(𝑠)0.6 = 0.578 (𝑠2 + 0.701𝑠 + 2.945)⁄
𝐺(𝑠)0.8 = 0.398 (𝑠2 + 0.7133𝑠 + 3.797)⁄
𝐺(𝑠)1 = 0.312 (𝑠2 + 0.669𝑠 + 4.806)⁄
Luego se realizó la sintonización del controlador PID local mediante IMC, como punto de
partida se seleccionaron los modelos para los puntos de operación 0.2 y 1. Con los
11
8
Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al
mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
parámetros del controlador PID local, se genera el supervisor difuso obteniendo la
distribución de las funciones de pertenencia en el universo de discurso para las variables
y y r.
Figura 6-14: (a) MF para y; (b) MF para r ; (c) Desempeño temporal (d) Variación de las
ganancias del controlador PID local.
(a)
(c)
(b)
(d)
En la Figura 6-14 se puede apreciar que la respuesta del sistema presenta Sobre-impulsos
en la región entre los puntos de operación 0.2 y 0.6, lo que indica que los parámetros del
controlador local están variando de forma agresiva, es necesario definir más puntos de
operación para contrarrestar las no-linealidades.
Figura 6-15: (a) MF para y; (b) MF para r ; (c) Desempeño temporal (d) Variación de las
ganancias del controlador PID local
(a)
(c)
Anexo B. Sintonización FGS – f(y, r) 119
(b)
(d)
En la Figura 6-15 se puede apreciar que la respuesta del sistema mejora en comparación
a la Figura 6-14 pero se presenta ligeros Sobre-impulsos por lo tanto se definen dos puntos
de operación adicionales:
Figura 6-16: a) MF para y; (b) MF para r ; (c) Desempeño temporal (d) Variación de las
ganancias del controlador PID local
(a)
(c)
(b)
(d)
Cuando la respuesta del sistema no se aproxima a una respuesta temporal de primer orden
o con un ligero sobre-impulso se produce inconvenientes en la respuesta transitoria debido
a que si el Sobre-impulso es muy grade el supervisor difuso empieza a interpolar con el
modelo del siguiente punto de operación:
12
0
Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al
mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
Figura 6-17: (a) Respuesta temporal; (b) Variación de parámetros PID
(a)
(b)
Para realizar la sintonización de los factores de peso 𝑤𝑦 y 𝑤𝑟, se realizó pruebas de
rechazo a perturbaciones teniendo en cuenta que el número de modelos con el cual se
diseñó el supervisor difuso es de cinco, el cual exhibe la mejor respuesta en cuanto a
seguimiento de referencias. Se realizó el análisis introduciendo una perturbación tipo paso
de magnitud unitaria en t=50s y escogiendo como referencia 0.5:
Figura 6-18: Desempeño temporal para (a) Wy=1; Wr=0; (b) Wy=0.75; Wr=0.25; (c)
Wy=0.5; Wr=0.5; (d) Wy=0.25; Wr=0.75; (e) Wy=0; Wr=1;
(a)
(b)
(c)
(d)
Anexo B. Sintonización FGS – f(y, r) 121
(e)
Tabla 6-5 Índices de desempeño para las variaciones de Wy y Wr.
Wy=1; Wr=0 Wy=0.75; Wr=0.25 Wy=0.5; Wr=0.5 Wy=0.25; Wr=0.75 Wy=0; Wr=1
IAE 2.83 2.11 2.11 2.11 2.11
ITAE 49.44 38.62 41.46 43.59 45.31
En la Tabla 6-5, se puede observar que el mejor índice de desempeño en cuanto a rechazo
de perturbaciones se presenta con Wy=0.75 y Wr=0.25, cuando se da mayor ponderación
a la referencia se evidencia una ligera degradación en la respuesta transitoria.
Con el fin de validar si es posible lograr un mejor desempeño del supervisor difuso se
procedió a realizar un corrimiento de las MFs definidas en los cinco puntos de operación,
los nuevos puntos se seleccionaron para realizar un corrimiento de las MFs hacia la
derecha y hacia la izquierda y los parámetros del controlador local se obtuvieron a través
de interpolación lineal con los parámetros de los modelos vecinos al nuevo punto de
operación. Los factores de peso son Wy=0.75 y Wr=0.25.
Figura 6-19: Desempeño temporal (a) Corrimiento MFs hacia la derecha; (b) Corrimiento
MFs hacia la izquierda
(a)
12
2
Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al
mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo
(b)
Tabla 6-6 Índices de desempeño para corrimientos de las MFs
5 MFs centradas 5 MFs derecha 5 MFs izquierda
IAE 2.492 3.515 3.594
ITAE 311.1 665.7 724.5
De la tabla 6-6 se puede apreciar que al realizar corrimientos en la MFs no se obtiene una
mejora significativa en cuanto a tareas de seguimiento de referencias.
Bibliografía
Altas, I.H., & Sharaf, A. M. A. (2007). Generalized Direct Approach for Designing Fuzzy
Logic Controllers in Matlab/Simulink GUI Environment. International Journal of
Information Technology and Intelligent Computing, Vol 1.
Astrom, K.J., and Hagglund, T. (1995). PID Controllers: Theory, Design, and tuning.
Instrument Society of America, USA. 2 edition.
Babuška, R. (2009). FUZZY AND NEURAL CONTROL DISC Course Lecture Notes
(November 2009), (November), 55–72.
Babuška, R. Delft Center for Systems and Control, TU Delft.
Bequette, B. Wayne. (1998). Process Dynamics: Modeling, Analysis and Simulation, 1st.
edition, Prentice-Hall, New Jersey.
Boverie S, Demaya B, Titli. (1991). A Fuzzy logic control compared with other automatic
control approaches. In: Proceedings of the 30th conference on decision and control,
vol 2. Briton, UK, pp 1212–1216.
Broel-Plater, Bogdan., Pietrusewicz, Krzysztof., & Stanisław Skoczowski. (2004). Anti-
Windup Implementation in a Fuzy-Logic Model-Following Robust PID Controller,
IFAC Proceedings Volumes, Volume 37, Issue 16. Pages 139-144.
Chakchouk, W., Zaafouri, A., & Sallami, A. (2015). "Hybrid control of a station of irrigation
by sprinkling: Fuzzy supervisor approach," 2015 4th International Conference on
Systems and Control (ICSC), Sousse. pp. 43-49.
Dideková, Z., Kajan, S., Kozáková, A., & Kozák, Š. (2018). "Intelligent adaptive fuzzy
control," 2018 Cybernetics & Informatics (K&I), Lazy pod Makytou. pp. 1-5.
Escamilla-Ambrosio, P.J., & Mort, N. (2002). A Novel Design and Tuning Procedure for PID
Type Fuzzy Logic Controllers. First international IEEE symposium intelligent
systems, volume (1), 36-41.
12
4
Título de la tesis o trabajo de investigación
Espíndola Vásquez, Agustín. (2004). Sistema de control inteligente para regular la
temperatura en la turbina de gas de una central termoeléctrica de ciclo combinado.
Cuernavaca, Morelos, México.
Fileti, A.M.F., Antunes, A.J.B., Silva, F.V., Silveira, V Jr., & Pereira, J.A.F.R. (2007).
Experimental investigations on fuzzy logic for process control. Control Engineering
Practice 15. 1149–1160.
Hímer, Z., Dévényi, G., Kovács, J., Kortela, U. (2005). Fuzzy control of combustion with
genetic learning automata, IFAC Proceedings, volume (38), 121-126
Hu, Bao-Gang., Mann, George K. I., & Gosine. Raymond G. (2001). A Systematic Study of
Fuzzy PID Controllers—Function-Based Evaluation Approach. IEEE transactions
on fuzzy systems, vol. 9, no. 5.
Jang, J. S. R., & Sun, Chuen-Tsai. (1995). "Neuro-fuzzy modeling and control," in
Proceedings of the IEEE, vol. 83, no. 3, pp. 378-406
Jantzen, Jan. (1998). Tuning Of Fuzzy PID Controllers. Denmark. Tech. Report no 98- H
871(fpid). PP: 1-22.
Ketata, R., De Geest, D., & Titli, A. (1995). Fuzzy controller: design, evaluation, parallel and
hierarchical combination with a PID controller. Fuzzy Sets and Systems. 113-129.
Kovacic, Z., & Bogdan, Stjepan. (2005). Fuzzy Controller Design: Theory and Applications.
Volumen 19 de Automation and Control Engineering.
Kovacic Z., & Bogdan, S (2006). Fuzzy controller design: theory and application. CRC
Press, Taylor and Francis Group.
Liao, R.F., Chan, C.W., Hromek, J., Huang, G.H., & He, L. (2008). Fuzzy logic control for a
petroleum separation process. Engineering Applications of Artificial Intelligence
835–845.
Lin, Cheng-Jian., & Xu, Yong-Ji. (2006). A novel genetic reinforcement learning for
nonlinear fuzzy control problems, Neurocomputing, volume (69), 2078-2089.
Liyong, Yang., Zhigang, Chen., Peie, Yuan., & Zhenguo Chang. (2009). "A novel fuzzy logic
and anti-windup PI controller for a rectifier with direct driven permanent magnet
synchronous generator," 2nd International Conference on Power Electronics and
Intelligent Transportation System (PEITS), Shenzhen. pp. 422-426.
Mahmoud, M., Dutton, K., & Denman, M. (2005). Design and simulation of a nonlinear fuzzy
controller for a hydropower plant. Electric Power Systems Research. 87–99.
Bibliografía 125
Mamdani EH, Assilian S (1974). Application of fuzzy algorithms for control of simple
dynamic plant. Proc IEE 121:1585–1588.
Mann, George K. I., Hu, Bao-Gang., & Gosine, Raymond G. (1999). Analysis of Direct
Action Fuzzy PID Controller Structures. IEEE transactions on systems, man, and
cybernetics, vol. 29, no. 3.
Margaliot M., & Langholz G (2000). New approaches to fuzzy modelling and control: design
and analysis, vol 38. World Scientific Publishing Company Inc, Singapore
Medina Hurtado S., & Paniagua Gomez G. (2008). fuzzy inference systems to
creditworthiness analysis. Revista DYNA.
Meng, J.E. & Ya, L.S., (2003). “Hybrid fuzzy proportional-integral plus conventional
derivative control of robotics systems,” in Autonomous Robotic Systems: Soft
Computing and Hard Computing Methodologies and Applications, Germany, pp.
403–427.
Miller, J., (1967). "Department of Chemical Engineering Report". Louisiana State University,
Bato Rouge, La., EUA.
Mohammed, Zakaria Baroud., Atallah Benalia, Benmiloud,. & Ocampo-Martinez, Carlos.
(2017). Novel hybrid fuzzy-PID control scheme for air supply in PEM fuel-cell-based
systems, International Journal of Hydrogen Energy, Volume 42, Issue 15, Pages
10435-10447.
Morari, M., & Zafiriou, E. (1989). Robust Process Control. Prentice-Hall, New Jersey.
Murillo Solís, Iván Alonso (2004). Comparación de las características de desempeño de
los modelos de primer y segundo orden más tiempo muerto.
O’Dwyer, A. (2003). Handbook of PI and PID controller tuning rules. Imperial College Press,
London, UK.
Passino, Kevin M., & Yurkovich, Stephen. (1998). Fuzzy Control. Addison Wesley
Longman. California
Precup, Radu-Emil., Hellendoorn, Hans. (2011). A survey on industrial applications of fuzzy
control. Computers in Industry 62. 213–226.
Sanjuan, M., Kandel, A., & Smith, C.A. (2006). Design and implementation of a fuzzy
supervisor for on-line compensation of nonlinearities: An instability avoidance
module. Engineering Applications of Artificial Intelligence. 323–333.
Smith, Carlos A., & Corripio, Armando B. (2004). Principles and Practice of Automatic
Process Control. John Wiley & Sons Inc.
12
6
Título de la tesis o trabajo de investigación
Smith, C.L., (1972). "Digital Computer Process Control", International Texbook Co
Sugeno M, Takagi T. (1985). Fuzzy identification of systems and its application to modeling
and control. IEEE Trans Syst Man Cybern 15:116–132.
Tani, T., Umano, M., Utashiro, M., & Tanaka, K. (1994). Application of practical fuzzy-PID
hybrid control system to petrochemical plant. Fuzzy Systems. IEEE World Congress
on Computational Intelligence.
Viljamaa, Pauli., & Koivo, Heikki N. (1995). Fuzzy logic in PID gain scheduling. Third
European Congress on Fuzzy and Intelligent Technologies EUFIT’95, Aachen,
Germany, Ago 28−31.
Viljamaa, Pauli. (2002). Fuzzy Gain Scheduling and Tuning of Multivariable Fuzzy
Control—Methods of Fuzzy Computing in Control Systems. Tampere University of
Technology Finland.
Wildrow, Bernard. Intelligent Control. (2014) A Hybrid Approach Based on Fuzzy Logic,
Neural Networks and Genetic Algorithms. Volume 517.
Yager, RR., Filev D (1994). Essentials of fuzzy modelling and control. Wiley, NY,
Chichester, Fuzzy Sets. Inf Control 8:338–353.
Yesil, E., Güzelkaya, Müjde., & Eksin, I. (2003). Fuzzy PID Controllers: an overview. The
3rd Triennial ETAI International Conference on Applied Automatic Systems.
Ziegler, J.G., & Nichols N.B., (1942) “Optimun Settings for Automatic Controllers”, ASME
Transactions, Vol. 64, pág. 759-768.
Zhao, Z.-Y., Tomizuka, M., & Isaka, S. (1993). Fuzzy gain scheduling of PID controllers.
Control Applications. IEEE Trans. Syst. Man, Cybern. Vol. 23, pp. 1392–1398.
Zhang, Jianming., Wang, Ning., & Wang, Shuqing. (2004). A Developed Method of Tuning
PID Controllers with Fuzzy Rules for Integrating Processes. Proceeding of the 2004
American Control Conference Boston, Massachusetts.
Zhang, Y., & Shao, C. (2006). "Fuzzy-PID Hybrid Control for Temperature of Melted
Aluminum in Atomization Furnace," Sixth International Conference on Intelligent
Systems Design and Applications, Jinan. pp. 332-335.
Top Related