EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
Preparado por ALVARO MONSALVE H.
Ecuación exponencial
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.
Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:
1
2
3 Las propiedades de las potencias.
a0 = 1 ·
a1 = a
am · a n = am+n
am : a n = am - n
(am)n = am · n
an · b n = (a · b) n
an : b n = (a : b) n
Resolver las ecuaciones exponenciales:
EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
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Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos
cuya base es la base de la potencia.
EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
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Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada
por un logaritmo.
Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:
1 Las propiedades de los logaritmos.
2
3
4 Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos
nulos o negativos.
Resolver las ecuaciones logarítmicas
1
2
3
EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
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4
Resolver las ecuaciones logarítmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Resolver las siguientes ecuaciones:
EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
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EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
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EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
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EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
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0
2
4log)20
03log4log)19
04log)18
log101log9)17
162)16
0)1(log5
4log)5(log)15
0)3(log)1(log)3(log)32(log)14
12
log5log)13
0)22(loglog)12(log)12
3)15(log)11
063.83)10
0222)9
365.6525)8
7242)7
4824)6
602222)5
653439)4
293
183)3
324)2
014.34)1
3
1
3
2
3
2
2
log
222
2
2
2
2
122
3
321
1
1
1
1
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xxxx
xx
x
x
xx
yy
xx
x
xx
xx
xx
xxxxx
xx
xxx
xx
EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
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Resolver los siguientes sistemas.
2loglog3
5loglog7)3
42
164)2
0)log(
1)2log()1
2
1
yx
yx
y
y
yx
yx
x
x
FUNCIONES LOGARITMICAS
Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la
notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para
este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la
inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base
b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.
Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para
obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces
logb y = x si y sólo si y = bx.
Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.
Ejemplos:
1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 =
25. Decimos que “el logaritmo de 25 en la base 5 es 2”. Simbólicamente lo expresamos de la
forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52 = 25. (Observa que un
logaritmo es un exponente.)
2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.
EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
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Nota: El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales
positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que, log10 3 está
definido, pero el log10 0 y log10 (-5) no lo están. Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico,
pero 0 y -5 no lo son.
Ejemplo para discusión: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:
1 9 2
2 71
2
31
42
3
49
2
) log
) log
) log
Ejercicio de práctica: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:
1 27 3
2 61
2
31
92
3
36
3
) log
) log
) log
Ejemplo para discusión: Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:
1 9
21
33
3 100 10
2
1
1
2
)81
)
)
Ejercicio de práctica: Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:
1 64 4
2 2 8
31
164
3
3
2
)
)
)
EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
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Solución de ecuaciones logarítmicas simples
Ejemplos para discusión:
1) Halla el valor de x si log3 9 = x.
2) Halla el valor de b si logb 8 = 3.
3) Halla el valor de y si log2 y = 7.
Ejercicio de práctica:
1) Halla el valor de y si log3 27 = y.
2) Halla el valor de b si logb 100 = 2.
3) Halla el valor de x si log2 x = -3.
Propiedades de las funciones logarítmicas: Si b, M y N son números reales positivos, b es
diferente de uno, y p y x son números reales, entonces:
1) logb 1 = 0
2) logb b = 1
3) logb bx = x
4) logb MN = logb M + logb N
5) log log logb b b
M
NM N
6) logb M
p = p logb M
7) logb M = logb N si y sólo si M = N
Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para simplificar:
1) log5 1 =
2) log10 10 =
3) log10 0.01 =
Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para simplificar:
1) log10 1 =
2) log5 25 =
3) log10 10 -5 =
Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para expandir cada expresión:
1) logb 5x =
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2) logb x9 =
31
5
45
5 2
2
3
2
3
) log
) log
) log
xy
Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para expandir cada expresión:
1
2
3
4
3
1
5
3
) log
) log
) log
) log
b
b
b
b
uv
uv
r
xy
u
v
Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo
logaritmo:
1) log3 (x) + log 3 (6) =
2) log3 (24) - log3 (4) =
3) log10 (x - 1) + log10 (3) - 3 log10 (x) =
Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo:
1) log10 (5) + log10 (3) =
2) log3 (x + 2) - log3 ( x - 1) =
3) 2 log10 (x) + log10 (y) + log10 (3) =
Logaritmos comunes y naturales
Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. Los logaritmos naturales son los
logaritmos de base e. Si y = ex entonces x = loge y = ln. Muchas calculadoras tienen la tecla
[log] para los logaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales.
Notación:
Logaritmo común: log x = log10 x
Logaritmo natural: ln x = loge x
Ejemplo para discusión: Usa la calculadora para hallar:
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1) log 2 =
2) ln .0034 =
3) log (-3.24) =
Ejercicio de práctica: Usa la calculadora para hallar:
1) log 3 =
2) ln 28.693 =
3) log (-0.438) =
El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b. En particular:
1 1
2 1 0
3
4
5
) ln
) ln
) ln( ) ln ln
) ln ln ln
) ln ln
e
uv u v
u
vu v
u n un
Ejemplos:
Usa las propiedades para expandir:
yx
x
x
23ln)2
2
12ln)1
Simplifica como un solo logaritmo:
05.1ln)4
)6(lnln)3
x
xy
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
La ecuación 2x - 1 = 7 representa una ecuación exponencial y la ecuación
Log(x + 1) - log x = 3 representa una ecuación logarítmica. Las propiedades de los logaritmos
nos ayudan a resolver estas ecuaciones.
EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
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Ejemplo para discusión: Resuelve las siguientes ecuaciones para x:
1 29
2 2 5
3 3 1
4 31
225
5
3
3 2
8 8 8
2 2
)5
)
) log( ) log( )
) log log log
)(ln ) ln
x
x
x x
x
x x
Ejercicio de práctica: Resuelve las siguientes ecuaciones:
1 35 7
2 2 1
3 15 2
4
1 2
3 3
2 2
)
) log ( ) log ( )
) log( ) log( )
) log (log )
x
x x
x x
x x
Gráficas de funciones logarítmicas
Las funciones y = bx; y = logb x para b>0 y b diferente de uno son funciones inversas. Así que
la gráfica de y = logb x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y = bx. La gráfica de
y = bx tiene como asíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica de y = logb x tiene al
eje de y como asíntota vertical.
Ejemplo:
0
2
4
6
8
-4 -2 0 2 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 2 4 6 8
y = 2x y = log2 x
Las funciones y = 2x ; y = log2 x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y
= log2 x es una reflexión de la gráfica de y = 2x sobre la recta y = x. El dominio de y = 2x es el
conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero.
El dominio de y = log2 x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el
conjunto de los números reales.
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