Qu y cmo aprenden nuestros nios y nias?
rea Curricular
3, 4, 5 aos de Educacin Inicial
Matemtica
Versin 2015
IICiclo
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Presentacin ...........................................................................................................................Pg. 5Introduccin ............................................................................................................................. 7
1. Fundamentos y definiciones .......................................................................................................... 8
1.1 Por qu aprender matemtica? ............................................................................................ 8
1.2 Para qu aprender matemtica? ......................................................................................... 11
1.3 Cmo aprender matemtica? ............................................................................................... 13
1.4 Cules son las condiciones necesarias para el aprendizaje de la matemtica? ........... 19
2. Competencias y capacidades ........................................................................................................ 20
2.1 Competencias matemticas ................................................................................................... 22
2.2 Capacidades matemticas ..................................................................................................... 28
2.3 Cmo se desarrolla las competencias en el segundo ciclo de Educacin Inicial? ......... 38
2.3.1 Acta y piensa matemticamente en situaciones de cantidad ................................ 38
2.3.2 Acta y piensa matemticamente en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio .................................................................................................. 46
2.3.3 Acta y piensa matemticamente en situaciones de forma,
movimiento y localizacin ............................................................................................ 50
2.3.4 Acta y piensa matemticamente en situaciones de gestin de datos e
incertidumbre ................................................................................................................ 58
3. Orientaciones didcticas ................................................................................................................ 62
3.1 Algunas consideraciones a tomar en cuenta para desarrollar el actuar y pensar
matemticamente .................................................................................................................... 62
3.1.1 Cmo desarrollamos competencias matemticas a travs del desarrollo
perceptivo? ...................................................................................................................... 63
3.1.2 Cmo desarrollamos el actuar y pensar matemticamente
a partir de la resolucin de problemas? ..................................................................... 68
ndiceMinisterio de educacin Av. De la Arqueologa, cuadra 2 - San Borja Lima, Per Telfono 615-5800 www.minedu.gob.pe Versin 2.0 Tiraje: 88 100
elaboracin:Mara Isabel Daz Maguia, Wenndy Betzabel Monteza Ahumada, Nelly Gabriela Rodriguez Cabezudo, Giovanna Karito Piscoya Rojas, Lorena Puente de la Vega, Pedro David Collanqui Daz, Marisol Zelarayan Adauto, SINEACE - Programa de Estndares de Aprendizaje: Gina Patricia Paz Huamn, Lilian Edelmira Isidro Camac.
colaboradores:Nohem Luca Estrada Prez, Lorena Fabiola Ruiz Lpez, Marcela Poblete Prez, Carlos Ramiro Francisco Febres Tapia, Lourdes Flores Huamn, Carmen Malca Vargas, Patricia Pachas Pilago, Fernando Escudero Ratto, Rodrigo Valera Lynch y Andrea Soto Torres.
ilustraciones: Oscar Casquino Neyra
diseo y diagramacin: Hungria Alipio Saccatoma
impreso por:Metrocolor S.A.Los Gorriones 350, Lima 9 - Per
Ministerio de Educacin Todos los derechos reservados. Prohibida la reproduccin de este material por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores. Hecho el depsito Legal en la Biblioteca nacional del Per: n 2015-01447 Impreso en el Per / Printed in Peru
En vista de que en nuestra opinin, el lenguaje escrito no ha encontrado an una manera satisfactoria de nombrar a ambos gneros con una sola palabra, en estos fascculos se ha optado por emplear el trmino nios para referirse a los nios y las nias.
4 5
3.1.3 Propuestas de interrogantes para promover la participacin en la resolucin de
problemas ....................................................................................................................... 71
3.1.4 Cmo promover la situaciones ldicas para desarrollar el actuar
y pensar matemticamente? ........................................................................................ 71
3.1.5 Cmo desarrollamos el actuar y pensar matemticamente
desde los sectores del aula? ........................................................................................ 73
3.1.6 Cmo promover espacios favorables para el actuar
y pensar matemticamente? ........................................................................................ 76
Referencias bibliogrficas .................................................................................................................... 108
Anexo 1: Cuento: El Pas de las formas .............................................................................................. 109
Anexo 2: Mapas de Progreso .............................................................................................................. 113
PresentacinLas Rutas del Aprendizaje son orientaciones pedaggicas y didcticas para una enseanza efectiva de las competencias de cada rea curricular. Ponen en manos de nosotros, los docentes, pautas tiles para los tres niveles educativos de la Educacin Bsica Regular: Inicial, Primaria y Secundaria.
Presentan:
Los enfoques y fundamentos que permiten entender el sentido y las finalidades de la enseanza de las competencias, as como el marco terico desde el cual se estn entendiendo.
Las competencias que deben ser trabajadas a lo largo de toda la escolaridad, y las capacidades en las que se desagregan. Se define qu implica cada una, as como la combinacin que se requiere para su desarrollo.
Los estndares de las competencias, que se han establecido en mapas de progreso.
Posibles indicadores de desempeo para cada una de las capacidades, por grado o ciclos, de acuerdo con la naturaleza de cada competencia.
Orientaciones didcticas que facilitan la enseanza y el aprendizaje de las competencias.
Definiciones bsicas que nos permiten entender y trabajar con las Rutas del Aprendizaje:
1. Competencia
Llamamos competencia a la facultad que tiene una persona para actuar conscientemente en la resolucin de un problema o el cumplimiento de exigencias complejas, usando flexible y creativamente sus conocimientos y habilidades, informacin o herramientas, as como sus valores, emociones y actitudes.
La competencia es un aprendizaje complejo, pues implica la transferencia y combinacin apropiada de capacidades muy diversas para modificar una circunstancia y lograr un determinado propsito. Es un saber actuar contextualizado y creativo, y su aprendizaje es de carcter longitudinal, dado que se reitera a lo largo de toda la escolaridad. Ello a fin de que pueda irse complejizando de manera progresiva y permita al estudiante alcanzar niveles cada vez ms altos de desempeo.
2. Capacidad
Desde el enfoque de competencias, hablamos de capacidad en el sentido amplio de capacidades humanas. As, las capacidades que pueden integrar una competencia combinan saberes de un campo ms delimitado, y su incremento genera nuestro desarrollo competente. Es fundamental ser conscientes de que si
6 7
El presente fascculo es la segunda versin de Rutas de Aprendizaje, mejorada y ms completa, fruto de un arduo trabajo de investigacin y que recoge las diversas opiniones y sugerencias vertidas en las mesas de consulta, talleres y eventos. Esta nueva versin que te presentamos proporciona pautas que te orientarn en el Qu ensear y Cmo ensear. El Qu ensear est relacionado con las competencias, capacidades y contenidos, los cuales trabajaremos en nuestro nivel como nociones. En el Cmo ensear te presentamos una variedad de situaciones ldicas y orientaciones didcticas que te permitirn generar aprendizajes significativos en tus nios.
La matemtica cobra mayor significado y se aprende mejor cuando se aplica directamente a situaciones de la vida real. Nuestros nios sentirn mayor satisfaccin cuando puedan relacionar cualquier aprendizaje matemtico nuevo con situaciones conocidas; as se convierte en una matemtica para la vida, donde el aprendizaje se genera en el contexto cotidiano. La sociedad actual requiere de ciudadanos reflexivos, crticos, capaces de asumir responsabilidades en la conduccin de la sociedad, y la matemtica debe ser un medio para ello. Por esa razn, formamos estudiantes con autonoma, conscientes de que aprenden, cmo aprenden y para qu aprenden. En ese sentido, es importante el rol del docente como agente mediador, que oriente y fomente formas de pensar y reflexionar durante las actividades matemticas. Para tal efecto, se adopta un enfoque centrado en la resolucin de problemas desde el cual, a partir de una situacin ldica, se genera en el nio la necesidad de resolver un problema contextualizado, desarrollando as las competencias y capacidades matemticas. Por ello, conocedores de esa responsabilidad que tienes con tus nios, te ayudamos con el presente fascculo para generar esos aprendizajes significativos.
En este fascculo encontrars:Captulo I: Los fundamentos tericos del por qu y para qu se aprende matemtica, teniendo en la resolucin de problemas el centro del quehacer matemtico. Captulo II: Los elementos curriculares que permiten generar apredizajes significativos; as como los estndares de aprendizaje que se constituyen en los hitos o metas de aprendizaje, a los que deben llegar los nios al culminar el II ciclo. Captulo III: Orientaciones didcticas que permitirn el logro de los aprendizajes significativos en los nios.
La intencin del presente fascculo no es entregar recetas aplicables de manera directa y mecnica, sino proporcionarte herramientas pedaggicas. Haciendo las adaptaciones convenientes, estas te servirn para generar nuevos aprendizajes en tus nios; debes tener en cuenta la exploracin, el juego y el movimiento, as como el uso del material concreto que les permita Actuar y pensar matemticamente en diversas situaciones con agrado, y resolver retos y desafos de acuerdo a sus posibilidades y limitaciones.
Introduccin
bien las capacidades se pueden ensear y desplegar de manera aislada, es su combinacin (segn lo que las circunstancias requieran) lo que permite su desarrollo. Desde esta perspectiva, importa el dominio especfico de estas capacidades, pero es indispensable su combinacin y utilizacin pertinente en contextos variados.
3. Estndar nacional
Los estndares nacionales de aprendizaje se establecen en los Mapas de progreso y se definen all como metas de aprendizaje en progresin, para identificar qu se espera lograr respecto de cada competencia por ciclo de escolaridad. Estas descripciones aportan los referentes comunes para monitorear y evaluar aprendizajes a nivel de sistema (evaluaciones externas de carcter nacional) y de aula (evaluaciones formativas y certificadoras del aprendizaje). En un sentido amplio, se denomina estndar a la definicin clara de un criterio para reconocer la calidad de aquello que es objeto de medicin y pertenece a una misma categora. En este caso, como sealan los mapas de progreso, se indica el grado de dominio (o nivel de desempeo) que deben exhibir todos los estudiantes peruanos al final de cada ciclo de la Educacin Bsica con relacin a las competencias.
Los estndares de aprendizaje no son instrumentos para homogeneizar a los estudiantes, ya que las competencias a que hacen referencia se proponen como un piso, y no como un techo para la educacin escolar en el pas. Su nica funcin es medir logros sobre los aprendizajes comunes en el pas, que constituyen un derecho de todos.
4. Indicador de desempeo
Llamamos desempeo al grado de desenvoltura que un estudiante muestra en relacin con un determinado fin. Es decir, tiene que ver con una actuacin que logra un objetivo o cumple una tarea en la medida esperada. Un indicador de desempeo es el dato o informacin especfica que sirve para planificar nuestras sesiones de aprendizaje y para valorar en esa actuacin el grado de cumplimiento de una determinada expectativa. En el contexto del desarrollo curricular, los indicadores de desempeo son instrumentos de medicin de los principales aspectos asociados al cumplimiento de una determinada capacidad. As, una capacidad puede medirse a travs de ms de un indicador.
Estas Rutas del Aprendizaje se han ido publicando desde el 2012 y estn en revisin y ajuste permanente, a partir de su constante evaluacin. Es de esperar, por ello, que en los siguientes aos se sigan ajustando en cada una de sus partes. Estaremos muy atentos a tus aportes y sugerencias para ir mejorndolas en las prximas reediciones, de manera que sean ms pertinentes y tiles para el logro de los aprendizajes a los que nuestros estudiantes tienen derecho.
8 9
La matemtica como parte del proceso de cambios y progreso de nuestro mundo, no permanece esttica, esta presente cada vez ms en la prctica total de las creaciones de la mente humana ms que ninguna ciencia en cualquiera de los periodos de la historia. Por esta razn, la enseanza de una matemtica rgida y pensada para un mundo ideal se ha ido sustituyendo por la enseanza de una matemtica ms aplicada y pensada para un mundo cotidiano. Por lo antes mencionado, se nos presenta un desafo como docentes entre la utilidad de los conocimientos matemticos y la enseanza rgida de la misma que genera, muchas veces dificultades de aprendizaje en nuestros nios.
La matemtica es un eje fundamental en el desarrollo de las sociedades y la base para el progreso de la ciencia y la tecnologa
Cuando hablamos de matemtica siempre se nos vienen a la mente nmeros o tal vez la cantidad de operaciones que hacemos con ellas; pero nos olvidamos que tambin la podemos encontrar a nuestro alrededor, en la belleza y perfeccin de nuestra naturaleza. Quin no se ha maravillado al observar la naturaleza?
Si observamos las plantas, por ejemplo, una margarita, veramos que est formada por dos crculos, uno que se encuentra al borde de la flor y otro que se encuentra al centro, tambin cuenta con colores variados, las formas de sus ptalos son ovaladas. Asi mismo, en nuestra anatoma, al observar con un microscopio la composicin de nuestro ADN apreciaramos que est conformado por una estructura geomtrica de molculas, eso quiere decir que estamos conformados por una estructura matemtica2.
En tal sentido, la utilidad de los conocimientos matemticos es indiscutible, sin embargo gran parte de las personas no saben hacer uso de los saberes matemticos para resolver problemas que les plantea el mundo actual, como sostiene Carmen Gmez Granell3: "Las matemticas, uno de los conocimientos ms valorados y necesarios en las sociedades modernas altamente tecnificadas es, a la vez, uno de los ms inaccesibles para la mayora de la poblacin", de ello se desprende que las personas requieran incorporar las matemticas en diversas actividades que les permitan ser autnomos, convirtindose en una clave esencial para desarrollar el pensamiento crtico y poder transformar y comprender nuestra cultura. Ello nos conduce a la necesidad de desarrollar competencias y capacidades matemticas asumiendo un rol participativo en diversos mbitos del mundo moderno con la necesidad de usar el ejercicio de la ciudadana de manera crtica y creativa. La matemtica aporta en esta perspectiva cuando es capaz de ayudarnos a cuestionar hechos, datos y situaciones sociales interpretndolas y explicndolas.
2 Adaptado del video Belleza y las matemticas disponible en www.youtube.com/watch?v=foBuoZwa9Xs ).3 Citado por Gonzlez A, Weinstein E. (Gmez, C. (1994). Las matemticas en primera persona - Cuadernos de
Pedagoga n. 221. Barcelona.)
1 Cole K. C. 1999, El Universo y la taza de t. Las matemticas de la verdad y la belleza. Ediciones B, p.11)
Porque la matemtica est presente en nuestra vida diaria y necesitamos de ella para poder desenvolvernos en l, es decir, est presente en las actividades familiares, sociales, culturales; hasta en la misma naturaleza, abarcando desde situaciones simples hasta generales, tales como para contar la cantidad de integrantes de la familia y saber cuntos platos poner en la mesa; realizar el presupuesto familiar para hacer las compras o para ir de vacaciones; al leer la direccin que nos permita desplazarnos de un lugar a otro, tambin en situaciones tan particulares, como esperar la cosecha del ao (la misma que est sujeta al tiempo y a los cambios climticos). E incluso cuando jugamos hacemos uso del clculo o de la probabilidad de sucesos, para jugar una partida de ludo u otro juego. Est claro, entonces, que la matemtica se caracteriza por ser una actividad humana especfica orientada a la resolucin de problemas que le suceden al hombre en su accionar sobre el medio, de tal manera que el tener un entendimiento y un desenvolvimiento matemtico adecuado nos permite participar en el mundo que nos rodea, en cualquiera de sus aspectos, generando a su vez disfrute y diversin.
Por esta razn, nuestra sociedad necesita de una cultura matemtica, ya que para integrarse activamente a una sociedad democrtica y tecnolgica necesita de instrumentos, habilidades y conceptos matemticos que le permitan interactuar, comprender, modificar el mundo que lo rodea y asumir un rol transformador de su realidad, debido a que el mundo en donde vivimos se mueve y cambia constantemente.
1.1 Por qu aprender matemtica?
"Las matemticas parecen poseer
el asombroso poder de explicar
cmo funcionan las cosas, por
qu son como son y qu nos
revelara el universo si fusemos
capaces de escuchar.1
1. Fundamentos y definiciones
10 11
La finalidad de la matemtica en el currculo es desarrollar
formas de actuar y pensar matemticamente en diversas
situaciones que permitan a los nios interpretar e intervenir en la
realidad a partir de la intuicin, el planteamiento de supuestos,
conjeturas e hiptesis, haciendo inferencias, deducciones,
argumentaciones y demostraciones; comunicarse y y otras
habilidades, as como el desarrollo de mtodos y actitudes tiles
para ordenar, cuantificar y medir hechos y fenmenos de la
realidad e intervenir conscientemente sobre ella.
El pensar matemticamente implica reconocer esta accin como un proceso
complejo y dinmico resultante de la interaccin de varios factores (cognitivos,
socioculturales, afectivos, entre otros), el cual promueve en los estudiantes formas de
actuar y construir ideas matemticas a partir de diversos contextos (Cantoral Uriza,
2000).
En ese mismo orden de ideas, decimos que la matemtica no solo se limita a la
enseanza mecnica de nmeros, formas, colores, etc; si no a las diversas formas de
actuar, razonar, comunicar, argumentar y plantear estrategias en un contexto cotidiano.
A partir de ello, se espera que los nios desarrollen competencias matemticas
teniendo en cuenta que:
La matemtica es funcional. Para proporcionarle las herramientas matemticas bsicas para su desempeo y contexto social, es decir para la toma de decisiones que orienten
su proyecto de vida. Es de destacar la contribucin de la matemtica a cuestiones
tan relevantes para todo ciudadano como los fenmenos polticos, econmicos,
ambientales, de infraestructuras, transportes, movimientos poblacionales.
La matemtica es formativa. El desenvolvimiento de las competencias matemticas propicia el desarrollo de capacidades, conocimientos, procedimientos y estrategias
cognitivas, tanto particulares como generales, que conforman un pensamiento abierto,
creativo, crtico, autnomo y divergente. Es por ello que a temprana edad la matemtica
debe ser parte de la vida cotidiana de los nios para lograr su funcin formativa.
1.2 Para qu aprender matemtica?
Permite comprender el mundo y desenvolvernos adecuadamente en l.
Es la base para el progreso de la ciencia y la tecnologa;
por ende, para el desarrollo de las sociedades.
Proporciona las herramientas necesarias para desarrollar una prctica ciudadana responsable y consciente.
En virtud de lo sealado, los nios deben aprender matemtica porque:
El ejercicio de la ciudadana implica saber ms all de las cuatro operaciones; exige, en la actualidad, la comprensin de los nmeros en distintos contextos, la interpretacin de datos estadsticos, la expresin del cambio, la evolucin y las tendencias de los fenmenos sociales y naturales, las leyes del azar, etc., en situaciones como los procesos electorales, el consumo, la ecologa, la salud, la economa, los juegos, entre otras. El dominio de la matemtica para el ejercicio de la ciudadana requiere no solo conocer el lenguaje matemtico y hechos, conceptos y algoritmos, sino tambin procesos ms complejos como la matematizacin de situaciones y la resolucin de problemas (Callejo de la Vega, 2000)5.
La matemtica promueve una participacin ciudadana que demanda toma de decisiones responsables y conscientes
Hoy en da, las aplicaciones matemticas ya no representan un patrimonio nicamente apreciable en la fsica, ingeniera o astronoma, sino que han generado grandes progresos en otros campos cientficos. Existen tantas evidencias que los ms ilustres pensadores y cientficos han aceptado sin reparos que en los ltimos aos se ha estado viviendo un intenso periodo de desarrollo matemtico.
En este contexto, la ciencia se sirve de la matemtica como un medio de comunicacin. En 1982 Carl Sagan4 seal que hay un lenguaje comn para todas las civilizaciones tcnicas, por muy diferentes que sean, y este lo constituyen la ciencia y la matemtica. La razn est en que las leyes de la naturaleza son idnticas en todas partes. En este sistema comunicativo-representativo, est escrito el desarrollo de las dems ciencias; gracias a ella, ha habido un desarrollo dinmico y combinado de la ciencia-tecnologa que ha cambiado la vida del ciudadano moderno.
Al da de hoy, la necesidad de desarrollar competencias y capacidades matemticas se ha hecho no solo indispensable, sino apremiante para el ejercicio de cualquier actividad humana, en la que tanto ciencias como humanidades han recibido ya visiblemente su tremendo impacto.
4 XVIII Olimpiada Iberoamericana de Matemtica, Mar del Plata, 13 al 20 de septiembre de 2003.5 Callejo de la Vega, Mara. (2000). Educacin matemtica y ciudadana. Propuestas desde los
derechos humanos. Santo Domingo, Centro Poveda.
12 13
Las situaciones de juego que el nio experimenta ponen en evidencia nociones que se
dan en forma espontnea; adems el clima de confianza creado por la o el docente
permitir afianzar su autonoma en la resolucin de problemas, utilizando su propia
iniciativa en perseguir sus intereses, y tener la libertad de expresar sus ideas para el
desarrollo de su pensamiento matemtico.
Por lo tanto, la enseanza de la matemtica no implica acumular conocimientos
memorsticos, por lo que es intil ensear los nmeros de manera mecanizada;
implica propiciar el desarrollo de nociones para la resolucin de diferentes situaciones
poniendo en prctica lo aprendido.
M. Suzanne Donovan5, basndose en trabajos de investigacin en antropologa,
psicologa social y cognitiva, afirma que los estudiantes alcanzan un aprendizaje con
alto nivel de significatividad cuando se vinculan con sus prcticas culturales y sociales.
Por otro lado, como lo expresa Freudenthal6, esta visin de la prctica matemtica
escolar no est motivada solamente por la importancia de su utilidad, sino
principalmente por reconocerla como una actividad humana, lo que implica que hacer
matemtica como proceso es ms importante que la matemtica como un producto
terminado.
1.3 Cmo aprender matemtica?
El aprendizaje de la matemtica se da en forma
gradual y progresiva, acorde con el desarrollo
del pensamiento de los nios; es decir, depende
de la madurez neurolgica, emocional, afectiva
y corporal del nio que permitir desarrollar y
organizar su pensamiento.
Por ende es indispensable que los nios
experimenten situaciones en contextos ldicos
y en interrelacin con la naturaleza, que le
permitan construir nociones matemticas, las
cuales ms adelante favorecern la apropiacin de conceptos matemticos.
6 Freudenthal, Hans (2000). A mathematician on didactics and curriculum theory. Gravemeijer K. y Teruel J. Curriculum studies, vol. 32, n. 6, 777- 796.
5 Donovan, Suzanne y otros (2000). How people learn. Washington, DC: National Academy Press.
La matemtica posee valores formativos innegables, tales como:
Desarrolla en los nios capacidades para determinar hechos, establecer relaciones, deducir consecuencias y, en definitiva, potenciar su autonoma, su razonamiento, el espritu crtico, la curiosidad, la persistencia, la indagacin, la imaginacin, la creatividad, la sistematicidad, etc.
La utilidad para promover y estimular el diseo de formas artsticas, fomentando el uso del material concreto as como el uso de esquemas simples para la elaboracin y descubrimiento de patrones y regularidades .
La facilidad para estimular el trabajo cooperativo, el ejercicio de la crtica, la participacin, colaboracin, discusin y defensa de las propias ideas y la toma conjunta de decisiones.
Potencia el trabajo cientfico y la bsqueda, identificacin y resolucin de problemas.
Las situaciones que movilizan este tipo de conocimientos,
enriquecen a los nios al sentir satisfaccin por el trabajo
realizado al hacer uso de sus competencias matemticas.
La matemtica es instrumental. Todas las profesiones requieren una base de conocimientos matemticos y, en algunas como en la matemtica pura, la fsica, la
estadstica o la ingeniera, la matemtica es imprescindible.
En la prctica diaria de las ciencias se hace uso de la matemtica. Los conceptos
con que se formulan las teoras cientficas son esencialmente conceptos matemticos.
Por ejemplo, en el campo biolgico, muchas de las caractersticas heredadas en el
nacimiento no se pueden prever de antemano: sexo, color de cabello, peso al nacer,
estatura, etc. Sin embargo, la probabilidad permite describir estas caractersticas.
El cambio fundamental es
pasar de un aprendizaje,
en la mayora de los casos
memorsticos de conocimientos
matemticos (como supuestos
prerrequisitos para aprender
a resolver problemas) a un
aprendizaje enfocado en la
construccin de conocimientos
matemticos a partir de la
resolucin de problemas.
14 15
A travs de la resolucin de problemas inmediatos y del entorno, de los nios como vehculo para promover el
desarrollo de aprendizajes matemticos, orientados en
sentido constructivo y creador de la actividad humana.
Sobre la resolucin de problemas, que explicita el desarrollo de la comprensin del saber matemtico, la planeacin, el
desarrollo resolutivo estratgico y metacognitivo es decir,
la movilidad de una serie de recursos, y de competencias
y capacidades matemticas.
Para la resolucin de problemas, que involucran enfrentar a los nios de forma constante a nuevas situaciones y
problemas. En este sentido, la resolucin de problemas
es el proceso central de hacer matemtica; asimismo,
es el medio principal para establecer relaciones de
funcionalidad de la matemtica con la realidad cotidiana.
En este marco, se asume un enfoque centrado en la resolucin de problemas con la
intencin de promover formas de enseanza y aprendizaje a partir del planteamiento
de problemas en diversos contextos. Como lo expresa Gaulin7, este enfoque adquiere
importancia debido a que promueve el desarrollo de aprendizajes a travs de,
sobre y para la resolucin de problemas.
Actuar y pensarmatemticamente Resolucin de
problemas
Enseanza
Aprendizaje
Enfoque centrado en la resolucin de
problemas
"A travs de"
"Sobre la"
"Para la"
7 Gaulin, Claude (2001). Tendencias actuales en la resolucin de problemas. Revista SIGMA, n. 19. Bilbao.
La resolucin de problemas como enfoque, orienta y da sentido a la educacin matemtica en el propsito que se persigue de desarrollar ciudadanos que acten y piensen matemticamente al resolver problemas en diversos contextos, as mismo orienta la metodologa en el proceso de la enseanza y aprendizaje de la matemtica.
16 17
El enfoque es el punto de partida
para ensear y aprender matemtica
RESoLuCIn dE
PRobLEMAS
MatEMtico
Social
la resolucin de problemas orienta el desarrollo de competencias y capacidades matemticas.
la resolucin de problemas responde a los intereses y necesidades de los nios.
la resolucin de problemas sirve de contexto para comprender y establecer relaciones entre experiencias, conceptos, procedimientos y representaciones matemticas.
la resolucin de problemas debe plantearse en diversos contextos, lo que moviliza el desarrollo del pensamiento matemtico.
Finalmente, desde la mirada de Lesh & Zawojewski8, la resolucin de problemas
implica la adquisicin de niveles crecientes de capacidad por parte de los estudiantes,
lo que les proporciona una base para el aprendizaje futuro, para la participacin
eficaz en sociedad y para conducir actividades personales. Los estudiantes necesitan
poder aplicar lo que han aprendido a nuevas situaciones. El estudio centrado en la
resolucin de problemas por parte de los estudiantes proporciona una ventana en sus
capacidades para emplear el pensamiento bsico y otros acercamientos cognoscitivos
generales para enfrentar desafos en la vida.
8 Lesh, R. & Zawojewski, J. S. (2007). Problem solving and modeling. Indiana University. Illinois Institute of Thecnology.
ciEntfico
El enfoque centrado en la resolucin de problemas orienta la actividad matemtica
en el aula. De tal manera que le permite a los nios situarse en diversos contextos
para crear, recrear, analizar, investigar, plantear y resolver problemas, probar diversos
caminos de resolucin, analizar estrategias y formas de representacin, sistematizar y
comunicar nuevos conocimientos, entre otros.
Los rasgos esenciales del enfoque son los siguientes:
La resolucin de problemas debe plantearse en situaciones de contextos
diversos, pues ello moviliza el desarrollo del pensamiento matemtico.
Los nios desarrollan competencias y se interesan en el conocimiento
matemtico, si le encuentran significado y lo valoran pueden establecer
la funcionalidad matemtica con situaciones de diversos contextos.
La resolucin de problemas sirve de escenario para desarrollar
competencias y capacidades matemticas.
La matemtica se ensea y se aprende resolviendo problemas.
La resolucin de problemas sirve de contexto para que los nios
construyan nuevos conceptos matemticos, descubran relaciones
entre entidades matemticas y elaboren procedimientos matemticos,
estableciendo relaciones entre experiencias, conceptos, procedimientos
y representaciones matemticas.
Los problemas planteados deben responder a los
intereses y necesidades de los nios. Es decir, deben
presentarse retos y desafos interesantes que los
involucren realmente en la bsqueda de soluciones.
La resolucin de problemas permite a los nios hacer
conexiones entre ideas, estrategias y procedimientos
matemticos que le den sentido e interpretacin a su
actuar en diversas situaciones.
Una situacin se describe
como un acontecimiento
significativo que le da marco
al planteamiento de problemas
con cantidades, regularidades,
formas, etc. Por ello permite
dar sentido y funcionalidad
a las experiencias y
conocimientos matemticos
que desarrollan los nios.
Un problema es un desafo,
reto o dificultad a resolver y
para el cual no se conoce de
antemano una solucin.
El cambio fundamental, entonces, para enseary aprender matemtica radica en proponer a losnios, en cada sesin de clase, situaciones o pro-blemas que los obliguen todo el tiempo a actuar y pensar matemticamente.
lDico
18 19
placer por aprender, adquiriendo significados y usndolos en situaciones nuevas. En esta dinmica, los nios en Educacin inicial tienen la oportunidad de escuchar a los otros, explicar y justificar sus propios descubrimientos, confrontar sus ideas y compartir emociones, y aprender mutuamente de sus aciertos y desaciertos.
Por consiguiente, las actividades ldicas:
A continuacin ofrecemos algunas consideraciones a tomar en cuenta en el trabajo
con los nios para favorecer el actuar y pensar matemticamente.
1.4 Cules son las condiciones necesarias para el aprendizaje de la matemtica?
Son actividades naturales que desarrollan los nios en donde aprenden sus primeras situaciones y destrezas.
Dinamizan los procesos del pensamiento, pues generan interrogantes y motivan la bsqueda de soluciones.
Presentan desafos y dinamizan la puesta en marcha de procesos cognitivos.
Promueven la competencia sana y actitudes de tolerancia y convivencia que crean un clima de aprendizaje favorable.
Favorecen la comprensin y proceso de adquisicin de procedimientos matemticos.
Posibilitan el desarrollo de capacidades y uso de estrategias heursticas favorables para el desarrollo del pensamiento matemtico.
Establecer un clima de confianza para que los nios puedan disfrutar en diversas actividades.
Ser paciente, respetando los ritmos de aprendizaje de cada nio.
Si es una situacin de juego o una actividad ldica propuesta por los docentes, debemos observarla, acompaarla e intervenir con preguntas precisas que generen curiosidad y necesidad de resolver situaciones, por ejemplo, para contar, para comparar, para ordenar, estimulando la bsqueda de estrategias y soluciones que favorezcan el aprendizaje.
Ser innovadores y aplicar diversas estrategias didcticas respondiendo a los diversos estilos de aprendizaje de los nios y evitar el uso de hojas de aplicacin.
Ser creativo al disear situaciones de evaluacin para verificar el logro de los nuevos saberes matemticos de los nios.
9 Bernandini, A. y Soto J. (2007) La Educacin actual en sus fuentes filosficas, cita de Froebel, W. F. La educacin del hombre, new york, D Appleton y Cla, 1888 p, 5.
Es indiscutible que el juego tiene un rol muy importante y significativo en la vida de los nios; as como tambin en el adulto, ya que constituye una de las actividades naturales ms propias del ser humano. Segn Froebel9 el juego es el mayor grado de desarrollo del nio en esa edad, por ser la manifestacin libre y espontnea del interior, la manifestacin del interior exigida por el interior mismo segn la significacin propia de la voz del juego, El juego es el testimonio de la inteligencia del hombre en este grado de la vida: es por lo general el modelo y la imagen de la vida
Los nios juegan porque al jugar, el nio exterioriza sus alegras, miedos, angustias y el juego es el que le ofrece el placer en resolver significativamente problemas, poniendo en prctica distintos procesos mentales y sociales; por lo tanto; los docentes deben promover tiempos de juego y de exploracin no dirigidos, tiempos en que los nios puedan elegir de manera libre a qu jugar, con quin hacerlo. A su vez debe acompaarlos observando y registrando las acciones que emprenden los nios sin interrumpirlos en su momento de juego, con qu materiales y por cunto tiempo hacerlo y, por otro lado, pueden proponer actividades ldicas que sean motivadoras y placenteras.
El promover el jugar, el movimiento, la exploracin y el uso de material concreto, sumados a un acompaamiento que deben propiciar los docentes en el proceso de aprendizaje, posibilita el desarrollo de hbitos de trabajo, de orden, de autonoma, seguridad, satisfaccin por las acciones que realiza, de respeto, de socializacin y cooperacin entre sus pares. En esta etapa, el juego se constituye en la accin pedaggica de nuestro nivel, porque permite partir desde lo vivencial a lo concreto. Debido a que el cuerpo y el movimiento son las bases para iniciar a los nios, en la construccin de nociones y procedimientos matemticos bsicos.
Este tipo de aprendizaje significativo es indispensable, en la iniciacin a la matemtica, porque facilita los aprendizajes en los nios de una manera divertida despertando el
Las situaciones ldicas como estrategias para el desarrollo de capacidades matemticas
20 21
Los nios se enfrentan a retos que demanda la sociedad. En este contexto, las actividades de aprendizaje deben orientar a que nuestros nios sepan actuar con pertinencia y eficacia, en su rol de ciudadanos.
Esto involucra el desarrollo de un conjunto de competencias, capacidades y conocimientos que faciliten la comprensin, construccin y aplicacin de una matemtica para la vida y el trabajo.
Por esta razn, el trnsito por la Educacin Bsica Regular debe permitir desarrollar una serie de competencias y capacidades, las cuales se definen como la facultad de toda persona para actuar conscientemente sobre la realidad, sea para resolver un problema o cumplir un objetivo, haciendo uso flexible y creativo de los conocimientos, habilidades, destrezas, informacin o herramientas que se tengan disponibles y se consideren pertinentes a una situacin o contexto particular (MINEDU, 2014).
Tomando como base esta concepcin es que se promueve el desarrollo de aprendizajes en matemtica explicitados en cuatro competencias. Estas, a su vez, se describen como el desarrollo de formas de actuar y pensar matemticamente en diversas situaciones, donde los nios construyen modelos, usan estrategias y generan procedimientos para la resolucin de problemas, apelan a diversas formas de razonamiento y argumentacin, realizan representaciones grficas y se comunican con soporte matemtico.
Segn Freudenthal (citado por Bressan, 2004), el actuar matemticamente consistira en mostrar predileccin por:
Usar el lenguaje matemtico para comunicar sus ideas o argumentar sus conclusiones; es decir, para describir elementos concretos, referidos a contextos especficos de la matemtica, hasta el uso de variables convencionales y lenguaje funcional.
Cambiar de perspectiva o punto de vista y reconocer cundo una variacin en este aspecto es incorrecta dentro de una situacin o un problema dado.
Captar cul es el nivel de precisin adecuado para la resolucin de un problema dado.
Identificar estructuras matemticas dentro de un contexto (si es que las hay) y abstenerse de usar la matemtica cuando esta no es aplicable.
Tratar la propia actividad matemtica como materia prima para la reflexin, con miras a alcanzar un nivel ms alto de pensamiento.
De otro lado, pensar matemticamente se define como el conjunto de actividades mentales u operaciones intelectuales que llevan al estudiante a entender y dotar de significado a lo que le rodea, resolver un problema sobre conceptos matemticos, tomar una decisin o llegar a una conclusin, en los que estn involucrados procesos como la abstraccin, justificacin, visualizacin, estimacin, entre otros (Cantoral, 2005; Molina, 2006; Carretero y Ascencio, 2008).
Las competencias propuestas en la Educacin Bsica Regular se organizan sobre la base de cuatro situaciones. La definicin de estas cuatro situaciones se sostiene en la idea de que la matemtica se ha desarrollado como un medio para describir, comprender e interpretar los fenmenos naturales y sociales que han motivado el desarrollo de determinados procedimientos y conceptos matemticos propios de cada situacin (OECD, 2012). En este sentido, la mayora de pases ha adoptado una organizacin curricular basada en estos fenmenos, en la que subyacen numerosas clases de problemas, con procedimientos y conceptos matemticos propios de cada situacin. Por ejemplo, fenmenos como la incertidumbre, que pueden descubrirse en muchas situaciones habituales, necesitan ser abordados con estrategias y herramientas matemticas relacionadas con la probabilidad. Asimismo, fenmenos o situaciones de equivalencias o cambios necesitan ser abordados desde el lgebra; las situaciones de cantidades se analizan y modelan desde la aritmtica o los nmeros; las de formas, desde la geometra.
Por las razones descritas, las competencias se formulan como actuar y pensar matemticamente a travs de situaciones de cantidad; regularidad, equivalencia y cambio; forma, movimiento y localizacin; gestin de datos e incertidumbre.
2. Competencias y capacidades
Acta y piensa matemticamente en situaciones de
cantidad.
Acta y piensa matemticamente en situaciones de gestin de datos e
incertidumbre.
Acta y piensa matemticamente
en situaciones de forma,
movimiento y localizacin.
Acta y piensa matemticamente
en situaciones de regularidad, equivalencia y
cambio.
MATEMTICA
22 23
2.1 Competencias matemticas
En la actualidad, la presencia de la informacin cuantitativa se ha incrementado deforma considerable. Este hecho exige al ciudadano construir modelos de situaciones enlas que se manifiesta el sentido numrico y de magnitud, lo cual va de la mano con lacomprensin del significado de las operaciones y la aplicacin de diversas estrategiasde clculo y estimacin.
Actuar y pensar en situaciones de cantidad implica resolver problemas relacionados con cantidades que se pueden contar y medir para desarrollar progresivamente el sentido numrico y de magnitud, la construccin del significado de las operaciones, as como la aplicacin de diversas estrategias de clculo y estimacin. Toda esta comprensinse logra a travs del despliegue y la interrelacin de las capacidades de matematizar,comunicar y representar ideas matemticas, elaborar y usar estrategias para resolver
problemas o al razonar y argumentar a travs de conclusiones y respuestas.
Treffers (citado por Jan de Lange) hace hincapi en la importancia de la capacidad
de manejar nmeros y datos, y de evaluar los problemas y situaciones que implican
procesos mentales y de estimacin en contextos del mundo real.
Por su parte, The International
Life Skills Survey (Policy Research
Initiative Statistics Canada,
2000) menciona que es
necesario poseer un conjunto
de habilidades, conocimientos,
creencias, disposiciones, hbitos
de la mente, comunicaciones,
capacidades y habilidades
para resolver problemas que
las personas necesitan para
participar eficazmente en
situaciones cuantitativas que
surgen en la vida y el trabajo.
ComPetenCIa
Acta y piensa matemticamente en situaciones de cantidad.1
Lo dicho anteriormente, pone de manifiesto la importancia de promover aprendizajes
vinculados con el desarrollo de la aritmtica asociada a la idea de cantidad, lo cual
implica lo siguiente:
Conocer los mltiples usos que le damos.
Realizar procedimientos como conteo, clculo y
estimacin de cantidades.
Comprender las relaciones y las operaciones.
Comprender el Sistema de Numeracin Decimal.
Reconocer patrones numricos.
Utilizar nmeros para representar atributos medibles
de objetos del mundo real.
Representar los nmeros en sus variadas formas.
Comprender el significado de las operaciones con
cantidades y magnitudes.
Matematiza situaciones
Expresar problemasdiversos en modelos
matemticosrelacionados con
los nmeros ylas operaciones.
Justificar y validar conclusiones, supuestos, conjeturas e hiptesis
respaldadas en significados y propiedades de los nmeros y
las operaciones.
Razona y argumenta generando ideas matemticas
Planificar, ejecutar y valorar estrategias heursticas, procedimientos de clculo, comparacin, estimacin, usando diversos recursos para resolver problemas.
Expresar el significados de los nmeros y las operaciones de manera oral y escrita haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemtico.
Comunica y representa ideas matemticas
acta y piensamatemticamente,en situaciones de
cantidad.
Elabora y usa estrategias
24 25
ComPetenCIa
Acta y piensa matemticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.
En el entorno, se dan mltiples relaciones temporales y permanentes que se presentan en los diversos fenmenos naturales, econmicos, demogrficos, cientficos, entre otros; relaciones que influyen en la vida del ciudadano exigindole que desarrolle capacidades matemticas para interpretar, describir y modelar los mencionados fenmenos (OCDE, 2012).
La interpretacin de estos supone comprender los cambios y reconocer cundo se presentan con el propsito de utilizar modelos matemticos para describirlos.
Actuar y pensar en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio implica desarrollar progresivamente la interpretacin y generalizacin de patrones, la comprensin y uso de igualdades y desigualdades, y la comprensin y uso de relaciones y funciones. Por lo tanto, se requiere presentar al lgebra no solo como una traduccin del lenguaje natural al simblico, sino tambin usarla como una herramienta de modelacin de distintas situaciones de la vida.
Matematiza situaciones
asociar problemasdiversos conmodelos que
involucran patrones,igualdades,
desigualdades yrelaciones.
Justificar y validar conclusiones, supuestos, conjeturas e hiptesis
respaldadas en leyes que rigen patrones, propiedades
sobre relaciones de igualdad y desigualdad y las relaciones.
Razona y argumenta generando ideas matemticas
acta y piensamatemticamente,en situaciones de
regularidad,equivalencia y
cambio.
2 Ana Bressan (2010) menciona que el descubrimiento de las leyes que rigen patrones y su reconstruccin con base en leyes dadas, cumple un papel fundamental para el desarrollo del pensamiento matemtico. Ambas actividades estn vinculadas estrechamente al proceso de generalizacin, que forma parte del razonamiento inductivo, entendido tanto
como el pasar de casos particulares a una propiedad comn
(conjetura o hiptesis) es decir, como el transferir propiedades
de una situacin a otra. De igual manera, el estudio de
patrones y la generalizacin de los mismos "abren las
puertas para comprender la nocin de variable y de frmula,
as como para distinguir las formas de razonamiento inductivo
y deductivo, y el valor de la simbolizacin matemtica.
La competencia de Actuar y pensar matemticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio, implica promover aprendizajes relacionados con el lgebra:
Identificar, interpretar y representar regularidades que se
reconocen en diversos contextos, incluidos los contextos
matemticos.
Comprender que un mismo patrn se puede hallar en
situaciones diferentes; ya sean fsicas, geomtricas,
aleatorias, numricas, etc.
Generalizar patrones y relaciones usando smbolos, lo que
conduce a generar procesos de generalizacin.
Interpretar y representar las condiciones de problemas,
mediante igualdades o desigualdades.
Determinar valores desconocidos y establecer
equivalencias entre expresiones algebraicas.
Identificar e interpretar las relaciones entre dos magnitudes.
Analizar la naturaleza del cambio y modelar situaciones
o fenmenos del mundo real mediante funciones, con la
finalidad de formular y argumentar predicciones.
Comunica y representa ideas matemticas
Planificar, ejecutar y valorar estrategias heursticas, procedimientos de clculo y estimacin, usando diversos recursos, para resolver problemas.
Expresar el significado de patrones, igualdades, desigualdades y relaciones de manera oral o escrita haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemtico.
Elabora y usa estrategias
26 27
ComPetenCIa
Acta y piensa matemticamente en situaciones de forma, movimiento y localizacin.
Vivimos en un mundo en el que la geometra est presente en diversas manifestaciones en diversas manifestaciones de la cultura y la naturaleza, pues en nuestro entorno podemos encontrar una amplia gama de fenmenos visuales y fsicos como los patrones, las propiedades de los objetos, posiciones y direcciones, representaciones de los objetos, su codificacin y decodificacin (PISA, 2012). En ese sentido, aprender geometra proporciona a la persona herramientas y argumentos para comprender el mundo; por ello, es considerada la herramienta para el entendimiento y es la parte de las matemticas ms intuitiva, concreta y ligada a la realidad (Cabellos Santos, 2006).
Actuar y pensar en situaciones de forma, movimiento y localizacin implica desarrollar progresivamente el sentido de la ubicacin en el espacio, la interaccin con los objetos, la comprensin de propiedades de las formas y cmo estas se interrelacionan, as como la aplicacin de estos conocimientos al resolver diversas situaciones. Esto involucra el despliegue de las capacidades de matematizar situaciones reales, resolver problemas, usar el lenguaje matemtico para comunicar sus ideas o argumentar sus conclusiones y respuestas.
Esta competencia busca que los nios sean capaces de desarrollar la comprensin de las propiedades y relaciones entre las formas geomtricas, as como la visualizacin, localizacin y movimiento en el espacio para lograr usar este conocimiento en diversas situaciones. Por lo tanto, las capacidades en esta competencia trabajan en torno de estas ideas claves y permiten al estudiante estar en la capacidad de resolver diversos problemas usando este conocimiento.
3
Comunica y representa ideas matemticas
Expresar las propiedades de las formas, localizacin y movimiento en el espacio, de manera oral o escrita haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemtico.
Planificar, ejecutar y valorar estrategias heursticas y procedimientos de localizacin, construccin, medicin y estimacin, usando diversos recursos para resolver problemas.
Matematiza situaciones
asociar problemasdiversos con
modelos referidos apropiedades de las
formas, localizaciny movimiento en el
espacio.
Justificar y validar conclusiones, supuestos, conjeturas e hiptesis respecto a las propiedades de las
formas, sus transformaciones y la localizacinen el espacio.
Razona y argumenta generando ideas matemticas
acta y piensamatemticamente,en situaciones de
forma, movimiento ylocalizacin.
ComPetenCIa
Acta y piensa matemticamente en situaciones de gestin de datos e incertidumbre.
La estadstica ha surgido como una necesidad de resolver determinados problemas vinculados con las predicciones y la toma de decisiones; es la rama ms reciente de la matemtica que ha adquirido la categora de ciencia. Al respecto, Godino (2004) ha sealado:
4Los orgenes de la estadstica son muy antiguos, ya que se han encontrado pruebas de recogida de datos sobre poblacin, bienes y produccin en las civilizaciones China (aproximadamente 1000 aos a. c.), Sumeria y Egipcia [] Sin embargo,
solo muy recientemente la estadstica ha adquirido la categora de ciencia.
Se aprecia que las aplicaciones de tipo estadstico y probabilstico tienen mucha presencia en el entorno. Esto demanda que el ciudadano haga uso de sus capacidades matemticas para una adecuada toma de decisiones a partir de la valoracin de las evidencias objetivas en lo econmico, social y poltico principalmente.
Actuar y pensar en situaciones de gestin de datos e incertidumbre implica desarrollar progresivamente la comprensin de la recopilacin y procesamiento de datos, la interpretacin y valoracin de los datos y el anlisis de situaciones de incertidumbre. Esto involucra el despliegue de las capacidades de matematizar situaciones reales, resolver problemas, usar el lenguaje matemtico para comunicar sus ideas o argumentar sus conclusiones y respuestas.
Usar relaciones espaciales
al interpretar y describir de
forma oral y grfica, trayectos
y posiciones de objetos y
personas, para distintas
relaciones y referencias.
Construir y copiar modelos
de formas bidimensionales
y tridimensionales, con
diferentes formas y materiales.
Expresar propiedades de figuras y cuerpos segn sus
caractersticas, para que los reconozcan o los dibujen.
Explorar afirmaciones acerca de caractersticas de las
figuras y argumentar su validez.
Estimar, medir y calcular longitudes y superficies usando unidades
arbitrarias.
Elabora y usa estrategias
28 29
Las capacidades que se movilizan en el Actuar y pensar matemticamente son las siguientes:
Es la capacidad de expresar en un modelo matemtico, un problema reconocido en una situacin. En su desarrollo, se usa, interpreta y evala el modelo matemtico, de acuerdo a la situacin que le dio origen. Por ello, esta capacidad implica:
La matematizacin destaca la relacin entre las situaciones reales y la matemtica, resaltando la relevancia del modelo matemtico, el cual se define como un sistema que representa y reproduce las caractersticas de una situacin del entorno. Este sistema est formado por elementos que se relacionan y por operaciones que describen cmo interactan dichos elementos, haciendo ms fcil la manipulacin o el tratamiento de la situacin (Lesh y Doerr, 2003).
Para tener una mejor idea de lo que significa matematizar situaciones de cantidad, analicemos el siguiente ejemplo:
tengo tres tapitas.
tenemos cinco tapitas.
cunto tienen en total entre
los dos?
Rosita, cuntas tapitas tienes? Y t andrs cuntas
tienes?
Yo tengo dos tapitas.
Uno, dos, tres, cuatro,
cinco...
Es la capacidad de comprender el significado de las ideas matemticas y expresarlas de forma oral y escrita1 usando el lenguaje matemtico y diversas formas de representacin con material concreto, grfico, tablas, smbolos y transitando de una representacin a otra.
La comunicacin es la forma como de expresar y representar informacin con contenido matemtico, as como la manera en que se interpreta (Niss, 2002).
Las ideas matemticas adquieren significado cuando se usan diferentes representaciones y se es capaz de transitar de una representacin a otra, de tal forma que se comprende la idea matemtica y la funcin que cumple en diferentes situaciones.
Se expresa en un...
Modelo de solucin
matemtico
Problema referido a cantidades
2.2 Capacidades matemticas
Matematiza situacionesCapacidad 1
Comunica y representa ideas matemticasCapacidad 2
Comunica y representa ideas matemticas
Planificar, ejecutar y valorar estrategias heursticas y procedimientos para la recoleccin y procesamiento de datos y el anlisis de problemas en situaciones de incertidumbre.
Expresar el significado de conceptos estadsticos y probabilsticos, de manera oral y escrita, haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemtico.
Matematiza situaciones
asociarproblemas
diversos conmodelos
estadsticos yprobabilsticos.
Justificar y validarconclusiones,
supuestos, conjeturase hiptesis
respaldados enconceptos estadsticos
y probabilsticos.
acta y piensamatemticamente,en situaciones degestin de datose incertidumbre.
Razona y argumenta generando ideas matemticas
Identificar caractersticas, datos, condiciones y variables del problema que
permitan construir un sistema de caractersticas matemticas (modelo
matemtico), de tal forma que reproduzca o imite el comportamiento de la
realidad.
Usar el modelo obtenido estableciendo conexiones con nuevas situaciones
en las que puede ser aplicable. Esto permite reconocer el significado y la
funcionalidad del modelo en situaciones similares a las estudiadas.
Contrastar, valorar y verificar la validez del modelo desarrollado,
reconociendo sus alcances y limitaciones.
1 Entendemos por representacin escrita tambin lo grfico y visual.
Elabora y usa estrategias
30 31
Este proceso que comienza con el reconocimiento a travs de su cuerpo, interactuando con el entorno y con la manipulacin del material concreto se va consolidando cuando el nio pasa a un nivel mayor de abstraccin al representar de manera pictrica y grfica aquellas nociones y relaciones que fue explorando en un primer momento a travs del cuerpo y los objetos. La consolidacin del conocimiento matemtico; es decir, de conceptos se completa con la representacin simblica (signos y smbolos) de estos conceptos y su uso a travs del lenguaje matemtico, simblico y formal.
El manejo y uso de las expresiones y smbolos matemticos que constituyen el lenguaje matemtico se va adquiriendo de forma gradual en el mismo proceso de construccin de conocimientos. Conforme el nio va experimentando o explorando las nociones y relaciones, las va expresando de forma coloquial al principio para luego pasar al lenguaje simblico y finalmente, dar paso a expresiones ms tcnicas y formales que permitan expresar con precisin las ideas matemticas y que adems responden a una convencin.
TRNSITO PARA LA ADQUISICIN DEL LENGUAJE MATEMTICO
FORMAS DE REPRESENTACIN
Para la construccin
del significado de los
conocimientos matemticos,
es recomendable que los
estudiantes realicen diversas
representaciones, partiendo
de aquellas que son vivenciales
hasta llegar a las grficas o
simblicas.
Rosita, cmo se han ordenado tus compaeros?
Del ms alto al ms bajo.
Lenguaje coloquial
Lenguaje simblico
Lenguaje tcnico y formal
VivencialConcreto
Dibujos e conos.
tablas de conteo, listas, cuadros de doble entrada, etc.
Estructurados: bloques lgicos, tangram, cubos, cuentas, etc.no estructurados: semillas, piedritas, palitos, tapas, chapas, etc.
acciones motrices:Juegos de roles y dramatizacin.
Smbolos, expresiones matemticas.
Representacin pictrica
Representacin con material concreto
Representacin grfica
Representacin simblica
Representacin vivencial
dIfEREntES foRMAS dE REPRESEntAR
Adaptacin: Discover strategies Young math students in competently using multiple representations de Anne Marshall (2010)
En las primeras edades en la educacin Inicial, el proceso de construccin del conocimiento matemtico se vincula estrechamente con el proceso de desarrollo del pensamiento del nio.
32 33
Cabe resaltar que el grafismo de numerales se produce por la coordinacin de un
movimiento distal y un movimiento proximal, que se da a travs de la mano y dedos. La
mano, para coger el lpiz, sostenerlo y luego presionarlo sobre el papel para graficar,
requiere de una gran sensibilidad, de un afinado sentido propioceptivo y de un buen
ajuste sinrgico de los msculos que intervienen en la movilidad articular de la mueca,
la independencia de los dedos para el dominio de la pinza humana y la organizacin
de los otros tres dedos: el medio como soporte del lpiz y los otros dos de apoyo sobre
el papel.
El acto prensor para sujetar el lpiz tiene un papel importante, por ser la mano un rgano
cortical por excelencia y tener una gran representacin en el cerebro. Alrededor de los
cinco aos, los nios se encuentran maduros para conseguir el control voluntario de
los movimientos manuales, aunque esto depende ms de la maduracin neuromotriz
que de la edad cronolgica. Esto quiere decir que no es necesario exigir el uso del lpiz
y papel a esta edad.
Es preciso hacer mencin que la Ley Prximo-distal, en concordancia con la mielinizacin de las fibras nerviosas, rige el proceso de maduracin, determinando la secuencia del funcionamiento de cada parte o segmento del cuerpo, razn por la cual los segmentos ms cercanos o prximos al eje del cuerpo (mdula espinal) son los primeros que entran en funcionamiento, mientras que los ms distales o distantes van madurando en forma progresiva. Por lo tanto, la mano es el segmento ms distal que madura en ltimo lugar.
Esta ley permite, primero, la maduracin del hombro; es decir, la funcionalidad del segmento articular ms prximo al eje del cuerpo (mdula espinal). Progresivamente, va avanzando en orden distal: al codo, mueca y dedos. La mueca y los dedos que son los segmentos corporales que intervienen directamente en el acto de escribir son los ms distantes de la mdula y, en consecuencia, tambin de la corteza cerebral, por lo cual, son los ltimos en llegar a la crisis de su maduracin y lgicamente, tambin los ltimos en alcanzar fuerza, precisin, dominio o destreza.
No todos los nios y nias alcanzan el mismo grado de
madurez a la misma edad y esto es algo que todo los
maestros debemos tomar en cuenta. En consecuencia,
no se debe reducir su aprendizaje a la memorizacin
y a la enseanza con lpiz y papel.
Pictrico Grfico Simblico
Para el nivel inicial, es necesario que los nios transiten por un
itinerario de maduracin que parte del hacer con su cuerpo
al pensamiento, lo que se hace visible a travs de diversas
formas de representacin: corporal (vivencial), grfico-plstica y
verbal. Siendo la representacin verbal el ms elevado nivel de
simbolizacin. En matemtica, en la capacidad de comunica y
representa se hace uso del lenguaje matemtico.
Gran parte de los fracasos
escolares se deben a que
se fuerzan los procesos de
maduracin en los nios y
nias que se inician en la
escritura.
34 35
Diagrama de Carroll. Es una tabla o Cuadro de doble entrada compuesta por filas y
columnas horizontales. En la primera fila se colocan elementos con una serie de datos
o caractersticas.
Tabla simple. Se puede emplear para organizar los datos recolectados con un solo
criterio y registrar el conteo con palotes
Diagramas de Venn. En nuestro nivel permite entender la agrupacin de colecciones
de objetos con material concreto (cuerdas, soguillas, etc.)
Pictograma sin escala con material concreto
Pictograma sin escala en un cuadro
Formas Marcas de conteo
Pictograma sin escala. Es un tipo de representacin que se utiliza para variables
cualitativas, y que consiste en representar los datos con dibujos alusivos a los datos
recolectados.
Tambin llamada grfica de imgenes o pictogramas, es un diagrama que utiliza
imgenes o smbolos para mostrar datos para una rpida comprensin. En un
pictograma, se utiliza una imagen o un smbolo para representar una cantidad
especfica.
Listas simples. Es la forma ms simple de designacin de colecciones de objetos no
estructurados. Es una herramienta que permite recordar y controlar informaciones,
tratarlas y llevar a cabo mltiples anticipaciones. La lista representa a todos y cada
uno de los objetos de la coleccin, uno y solo un smbolo.
formas de representacin grfica y concreta
36 37
Es la capacidad de planificar, ejecutar y valorar una secuencia organizada de estrategias y diversos recursos, entre ellos las tecnologas de informacin y comunicacin, emplendolos de manera flexible y eficaz en el planteamiento y resolucin de problemas. Esto implica ser capaz de elaborar un plan de solucin, monitorear su ejecucin y poder incluso reformular el plan en el mismo proceso con la finalidad de resolver el problema. Asimismo, revisar todo el proceso de resolucin, reconociendo si las estrategias y herramientas fueron usadas de manera apropiada y ptima.
Las estrategias se definen como actividades conscientes e intencionales que guan el proceso de resolucin de problemas. Estas pueden combinar la seleccin y ejecucin tanto de procedimientos matemticos, as como estrategias heursticas de manera pertinente y adecuada al problema planteado.
La capacidad Elabora y usa estrategias y recursos implica que:
Los nios elaboren y diseen un plan de solucin.
Los nios seleccionen y apliquen procedimientos y estrategias de
diverso tipo (heursticas, de clculo mental o escrito).
Los nios hagan una valoracin de las estrategias, procedimientos
y los recursos que fueron empleados; es decir que reflexionen sobre
su pertinencia y si le fueron tiles.
Qu bien! cmo hicieron para saber que tienen cinco en
total?
Hemos juntado las tapitas y las hemos contado.
aqu, hay ms bolas
blancas que azules.
Es la capacidad de plantear supuestos, conjeturas e hiptesis de implicancia matemtica mediante diversas formas de razonamiento, as como de verificarlos y validarlos usando argumentos. Para esto, se debe partir de la exploracin de situaciones vinculadas a las matemticas, a fin de establecer relaciones entre ideas y llegar a conclusiones sobre la base de inferencias y deducciones que permitan generar nuevas ideas matemticas.
La capacidad Razona y argumenta generando ideas matemticas implica que los nios:
Expliquen sus argumentos al plantear supuestos,
conjeturas e hiptesis.
Observen los fenmenos y establezca diferentes
relaciones matemticas.
Elaboren conclusiones a partir de sus experiencias.
Defiendan sus argumentos y refute otros en base a
sus conclusiones.
luis, podra colocar este
camin en lo que has agrupado?
no, porque yo he agrupado
carros.
Elabora y usa estrategiasCapacidad 3 Razona y argumenta generandoCapacidad 4ideas matemticas
38 39
2.3 Cmo se desarrolla las competencias en el II ciclo de educacin Inicial?
2.3.1 acta y piensa matemticamente en situaciones de cantidad
Desarrollar esta competencia Actuar y pensar en situaciones de cantidad en el II
ciclo, implica que los nios hagan matemtica al resolver problemas aditivos simples
con acciones de agregar o quitar, comunique sus ideas matemticas con respecto
al significado del nmero y las operaciones empleando lenguaje matemtico, es
decir desarrolle nociones bsicas, como la clasificacin, la seriacin, la cardinalidad,
la ordinalidad, la correspondencia, etc. usando expresiones como: muchos, pocos,
ninguno o ms que, menos que, etc. al comparar cantidades, use diferentes estrategias
de conteo con cantidades hasta 10 y razone y argumente explicando en su propio
lenguaje sus razones de cmo agrup, orden o resolvi el problema.
Conocer los usos que le
damos al nmero.
Realizar procedimientos y
estratgias de acuerdo a la
edad de los nios.
Representar las cantidades
en diversas formas.
Comprender las acciones de
agregar, quitar o avanzar
con soporte concreto.
Mira, tengo ms galletas que t.
matriz de la competencia acta y piensa matemticamente en situaciones de cantidad
A continuacin, les presentamos una matriz que muestra de manera integrada el
estndar de aprendizaje (Mapa de progreso), as como los posibles indicadores de
desempeo de las capacidades para el desarrollo de la competencia en el ciclo. Los
niveles de los Mapas de progreso muestran una definicin clara y consensuada de
las metas de aprendizaje que deben ser logradas por todos los estudiantes al concluir
un ciclo o periodo determinado. En ese sentido, son un referente para la planificacin
anual, el monitoreo y la evaluacin, pues nos muestran el desempeo global que
deben alcanzar nuestros estudiantes en cada una de las competencias. Las matrices
de posibles desempeos son un apoyo para nuestra planificacin pues nos muestran
indicadores que son tiles para disear nuestras sesiones de aprendizaje; pueden
ser tiles tambin para disear instrumentos de evaluacin, pero no nos olvidemos
que en un enfoque de competencias, al final, debemos generar instrumentos que
permitan evidenciar el desempeo integral de ellas. En resumen, ambos instrumentos
nos ayudan tanto a la planificacin como a la evaluacin, pero uno nos muestra
desempeos ms acotados (indicadores de desempeos), mientras que el otro nos
muestra un desempeo complejo (mapas de progreso).
Hemos colocado el nivel posterior al ciclo correspondiente para que puedan identificar
en qu nivel de desempeo se encuentra cada uno de nuestros estudiantes, y as
disear actividades adecuadas para cada uno de ellos.
Segn Fuson2 (1988) citado en (Hernndez, 2013) los nios deben aprender
tanto los nombres de los nmeros en s mismos como su uso en situaciones
variadas (p. 5) y propone siete contextos de utilizacin del nmero. Tres de
ellos son matemticos: cardinal, ordinal y medida; dos tienen una componente
social o utilitaria: secuencia y conteo; el sexto es el contexto simblico; y por
ltimo propone un uso no-numrico en el que el nmero es simplemente
una etiqueta para identificar un objeto (Fuson, 1988, p. 5-13).
Sin embargo, en Educacin Inicial suelen predominar las actividades que se
centran en el nmero en su sentido cardinal: por ejemplo, contamos los nios
de la clase y anotamos la cantidad, dibujamos tantos objetos como indica el
nmero escrito en una etiqueta, determinamos la cantidad de nios que han
trado una fruta u otra como refrigerio, etc. Y las pocas actividades en las que
se trabaja el aspecto ordinal del nmero suelen centrarse en el vocabulario.
Los nios sealan el primero, segundo o ltimo en una sucesin de objetos;
se colocan en estas posiciones al ordenarse en las entradas y salidas; y
decimos quin est hoy el primero, el tercero, etc. Pero no es necesario usar
el nmero como ordinal para hacer una fila, ya que con ponerse detrs de un
nio es suficiente; y contestar a la pregunta quin es hoy el segundo? tiene
poca motivacin ms que cumplir con las clusulas del contrato didctico
entre la Maestra y sus nios.
Para tal efecto los nios deben:
2 Tomado de Hernndez, E. 2013 El aprendizaje del nmero natural en un contexto ordinal en la Educacin Infantil. Edma 0-6 Educacin Matemtica en la Infancia, 2 (1), 41-56.
40 41
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xper
imen
tar o
reso
lver
situ
acio
nes
de m
aner
a vi
venc
ial y
con
apo
yo d
e m
ater
ial c
oncr
eto;
em
plea
est
rate
gias
y p
roce
dim
ient
os c
omo
agru
par,
agre
gar y
qui
tar o
bjet
os h
asta
5, c
onta
r has
ta 1
0 ob
jeto
s, y
com
para
r el p
eso3
de
dos
obje
tos,
con
apo
yo d
e m
ater
ial c
oncr
eto.
Exp
lica
el p
orqu
de
sus
afir
mac
ione
s en
bas
e a
su e
xper
ienc
ia.
Iden
tifica
dat
os e
n si
tuac
ione
s re
ferid
os a
acc
ione
s de
jun
tar,
sepa
rar,
agre
gar,
quita
r, ig
uala
r o co
mpa
rar c
antid
ades
y lo
s exp
resa
en
mod
elos
de
solu
cin
adi
tivas
4 , do
ble
y m
itad.
Exp
resa
los
crite
rios
para
cla
sific
ar o
bjet
os
en g
rupo
s y
subg
rupo
s, o
rden
ar n
mer
os n
atur
ales
has
ta 1
00, e
stim
ar y
co
mpa
rar l
a du
raci
n d
e ev
ento
s, e
mpl
eand
o le
ngua
je c
otid
iano
y a
lgun
os
trm
inos
mat
emt
icos
o c
uant
ifica
dore
s to
dos
, a
lgun
os
y n
ingu
no.
Real
iza
repr
esen
taci
ones
hac
iend
o us
o de
su
cuer
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ater
iale
s co
ncre
tos,
di
bujo
s, ta
blas
de
dobl
e en
trada
y e
n fo
rma
sim
blic
a. P
ropo
ne y
rea
liza
una
secu
enci
a de
acc
ione
s pa
ra e
xper
imen
tar
o re
solv
er u
n pr
oble
ma,
em
plea
ndo
estra
tegi
as h
eurs
ticas
y p
roce
dim
ient
os c
omo
estim
ar, c
onta
r y
orde
nar
cant
idad
es h
asta
100
, m
edir
y co
mpa
rar
la m
asa
de o
bjet
os
con
unid
ades
arb
itrar
ias;
con
apo
yo d
e m
ater
ial
conc
reto
. Co
mpr
ueba
lo
s pr
oced
imie
ntos
y e
stra
tegi
as u
sado
s. E
labo
ra s
upue
stos
y e
xplic
a el
po
rqu
de
sus
afirm
acio
nes,
pro
cedi
mie
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o re
sulta
dos
con
ejem
plos
.
CoMunICA Y REPRESEntA IdEAS MAtEMtICAS
nm
ero
y m
edid
aA
grup
a ob
jeto
s co
n un
sol
o cr
iterio
9 y
expr
esa
la a
cci
n re
aliz
ada.
R
ealiz
a re
pres
enta
cion
es
de c
antid
ades
co
n ob
jeto
s ha
sta
3 co
n m
ater
ial
conc
reto
. E
xpre
sa la
co
mpa
raci
n d
e ca
ntid
ades
de
obje
tos
med
iant
e la
s ex
pres
ione
s:
muc
hos
, po
cos
.
nm
ero
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edid
aA
grup
a ob
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s co
n un
so
lo c
riter
io10
y e
xpre
sa
la a
cci
n re
aliz
ada.
Expr
esa
en fo
rma
oral
los
nm
eros
or
dina
les1
1 en
cont
exto
s de
la v
ida
cotid
iana
sob
re
la p
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in
de
obje
tos
y pe
rson
as
cons
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ando
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rent
e ha
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el
terc
er l
ugar
.R
ealiz
a re
pres
enta
cion
es
de c
antid
ades
con
ob
jeto
s, h
asta
5,
dibu
jos.
E
xpre
sa la
co
mpa
raci
n d
e ca
ntid
ades
de
obje
tos
med
iant
e la
s ex
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ione
s:
muc
hos
, po
cos
, n
ingu
no.
E
xpre
sa e
l crit
erio
par
a or
dena
r (se
riaci
n)
hast
a 3
obje
tos
de
gran
de a
peq
ueo
, de
larg
o a
corto
.
nm
ero
y m
edid
a
Agr
upa
obje
tos
con
un s
olo
crite
rio12
y e
xpre
sa la
ac
cin
real
izad
a.
Expr
esa
el c
riter
io p
ara
orde
nar (
seria
cin
) has
ta 5
ob
jeto
s de
gra
nde
a pe
que
o, d
e la
rgo
a co
rto, d
e gr
ueso
a d
elga
do.
Real
iza
dive
rsas
repr
esen
taci
ones
de
agru
paci
ones
de
obj
etos
seg
n u
n cr
iterio
con
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eria
l con
cret
o y
grf
ico.
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esa
en fo
rma
oral
los
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eros
ord
inal
es13
en
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exto
s de
la v
ida
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iana
sob
re la
pos
ici
n de
ob
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s y
pers
onas
con
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rand
o un
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rent
e ha
sta
el q
uint
o lu
gar.
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esa
cant
idad
es14
de
hast
a di
ez o
bjet
os u
sand
o su
pro
pio
leng
uaje
.
Expr
esa
la c
ompa
raci
n d
e ca
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ades
de
obje
tos
med
iant
e la
s ex
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ione
s: m
ucho
s,
poco
s,
nin
guno
, m
s q
ue o
men
os q
ue.
Real
iza
repr
esen
taci
ones
de
cant
idad
es c
on o
bjet
os
hast
a 10
con
mat
eria
l con
cret
o, d
ibuj
os.
Expr
esa
la d
urac
in
de e
vent
os u
sand
o la
s pa
labr
as b
asad
as e
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cion
es
ante
s,
desp
us
, a
yer
, ho
y o
ma
ana
, con
apo
yo c
oncr
eto
o im
gen
es d
e ac
cion
es (c
alen
dario
o ta
rjeta
s de
se
cuen
cias
tem
pora
les)
.
Expr
esa
el p
eso
de d
os o
bjet
os a
l com
para
rlos,
us
ando
las
pala
bras
: es
te p
esa
ms
que
o e
ste
pesa
men
os q
ue.
Expr
esa
con
sus
prop
ias
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bras
lo q
ue
com
pren
de d
el p
robl
ema.
nm
ero
y m
edid
aE
xpre
sa la
s pr
opie
dade
s de
los
obje
tos
seg
n un
o o
dos
atrib
utos
; po
r ej
empl
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s cu
adra
do o
es
gran
de.
E
xpre
sa e
l ord
en y
la c
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raci
n d
e lo
s ob
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s se
gn
tam
ao,
gro
sor,
text
ura,
inte
nsid
ad d
e co
lor,
etc.
R
epre
sent
a la
s ca
ract
ers
ticas
o a
grup
aci
n de
obj
etos
seg
n e
l col
or, l
a fo
rma
o el
tam
ao,
con
dib
ujos
, co
nos
y cu
adro
s si
mpl
es.
R
epre
sent
a la
ord
enac
in
de o
bjet
os (s
eria
cin
) seg
n e
l tam
ao,
gro
sor,
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ura,
con
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eria
l con
cret
o y
grf
ico.
E
xpre
sa d
e fo
rma
oral
o e
scrit
a15
el u
so d
e lo
s n
mer
os e
n co
ntex
tos
de la
vid
a di
aria
(con
teo,
ord
en h
asta
el d
cim
o lu
gar,
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eros
en
los
asce
nsor
es, e
tc.).
D
escr
ibe
la c
ompa
raci
n y
el o
rden
de
los
nm
eros
has
ta 2
0, u
sand
o la
s ex
pres
ione
s m
s q
ue,
men
os q
ue,
tant
os c
omo
, m
ayor
que
, m
enor
qu
e e
igu
al a
, y
con
apoy
o de
mat
eria
l con
cret
o.
E
labo
ra r
epre
sent
acio
nes
de c
antid
ades
de
hast
a 20
obj
etos
, de
for
ma
vive
ncia
l, co
ncre
ta, p
ict
rica,
gr
fica
y si
mb
lica1
6 .
E
xpre
sa la
dur
aci
n, la
com
para
cin
del
tiem
po y
la u
bica
cin
de
fech
as
en e
l ca
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ario
med
iant
e la
s ex
pres
ione
s m
s r
pid
o qu
e,
lent
o,
muc
ho,
poc
o,
hoy
, m
aan
a y
aye
r.
E
xpre
sa la
com
para
cin
del
pes
o17 d
e lo
s ob
jeto
s m
edia
nte
las
frase
s e
s m
s p
esad
o qu
e,
es m
enos
pes
ado
que
y e
s ta
n pe
sado
com
o.
Prob
lem
as a
ditiv
osE
labo
ra re
pres
enta
cion
es c
oncr
etas
, pic
tric
as, g
rfic
as y
sim
blic
as d
e lo
s si
gnifi
cado
s de
la a
dici
n y
sus
tracc
in
de u
n n
mer
o ha
sta
20.
3 a
os4
aos
5 a
osPr
imer
gra
do
MAtEMAtIZA SItuACIonES
noc
ione
s ad
itiva
s
Iden
tific
a ca
ntid
ades
y
acci
ones
de
agre
gar
o
quita
r has
ta c
inco
obj
etos
en
situ
acio
nes5
ldi
cas
y
con
sopo
rte c
oncr
eto.
Prob
lem
as a
ditiv
os
Iden
tific
a da
tos
en p
robl
emas
de
una
etap
a6 q
ue d
eman
dan
acci
ones
de
junt
ar, a
greg
ar-q
uita
r, av
anza
r-re
troce
der e
igua
lar c
on c
antid
ades
de
has
ta 2
0 ob
jeto
s, e
xpre
snd
olos
en
un m
odel
o de
sol
uci
n ad
itiva
, co
n so
porte
con
cret
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ric
o.
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un
mod
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ar u
n re
lato
sob
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u co
ntex
to.
Iden
tific
a da
tos
en p
robl
emas
de
dos
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as7 q
ue c
ombi
nen
acci
ones
de
junt
ar-ju
ntar
, agr
egar
-agr
egar
, ava
nzar
avan
zar,
avan
zar-
retro
cede
r, co
n ca
ntid
ades
de
hast
a 20
obj
etos
, exp
res
ndol
os e
n un
m
odel
o de
sol
uci
n ad
itiva
con
sop
orte
con
cret
o.
Iden
tific
a ca
ntid
ades
de
hast
a 10
obj
etos
en
prob
lem
as8 e
n qu
e se
repi
te d
os v
eces
una
mis
ma
cant
idad
o s
e di
vide
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