Bloque IIFlujo ideal
Lección 9Fluidos ideales
Ec. Euler y BernoulliFlujo irrotacional
Contexto
Bloque II
Flujo ideal
Bloque IIFlujo ideal
Bloque IIICapa límite
Bloque IVFlujo compresible
Bloque VFlujo turbulento
Bloque IFlujo viscoso
Contenido
• Definición fluido ideal
• Ecuaciones
• Flujo isentrópico y homentrópico
• Ecuación de Euler
• Ecuación de Bernoulli
• Ecuación de la vorticidad
• Flujo irrotacional y potencial de velocidad
• Ecuación de Bernoulli irrotacional
Bibliografía recomendada
Fluido ideal
• Definición: aquel en el que los coeficientes de transporte son nulos:
• Por tanto, no existe transporte molecular de: momento, masa o calor
• Validez: cualquier fluido real, excepto zona cerca pared CL
V k D
Ecuación de Euler
Ecuación de Bernoulli
Lección 10Potencial velocidad 3D.Flujo irrotac. 2D incomp.
Ejemplos
Contexto
Bloque II
Flujo ideal
Bloque IIFlujo ideal
Bloque IIICapa límite
Bloque IVFlujo compresible
Bloque VFlujo turbulento
Bloque IFlujo viscoso
Contenido
• Definición de potencial de velocidad
• Ejemplos de potencial velocidad 3D• Punto de remanso• Manantial/sumidero• Movimiento uniforme• Sólido de Rankine• Óvalo de Rankine• Doblete o dipolo• Flujo alrededor esfera
• Flujo irrotacional 2D incompresible
• Potencial complejo de velocidad. Propiedades
• Metodología uso potencial complejo
• Ejemplos
Bibliografía recomendada
Potencial de velocidades
Definición:
Función escalar a partir de la cual se puede calcular el vector velocidad
v
Metodología
1. Proponemos una función
2. Calcularemos las 3 componentes de la velocidad
3. Líneas de corriente, caudal
4. Presión (ec. Bernoulli irrotacional)
Superposición de soluciones
Ejemplos de pot. vel 3D
• Punto de remanso
• Manantial/sumidero
• Corriente uniforme
• Sólido de Rankine
• Óvalo de Rankine
• Doblete o dipolo
• Flujo alrededor de una esfera
Punto de remanso
• Potencial de velocidades:
x
y
z2 2 2ax by cz
Manantial/sumidero
• Potencial de velocidades:
2 2 2( )
C C
r x y z
Movimiento uniforme
• Potencial de velocidades:
( , y , )x y zV x V x V V z
x
y
z
V
Sólido de Rankine
• Potencial de velocidades:
x
CV x
r
z
xV
Punto remanso
Óvalo de Rankine
• Potencial de velocidades:
1 2x
C CV x
r r z
xV
Doblete o dipolo
• Potencial de velocidades:
1 2
C C
r r
Flujo alrededor de una esfera
• Potencial de velocidades:
3
32
V R xV x
r
Flujo potencial
Definición:
Flujo irrotacional 2D incompresible
• Función de corriente
• Potencial complejo de velocidades
• Metodología
• Ejemplos
Función de corriente
Potencial complejo de velocidad
Propiedades del potencial complejo
dx
dydS
n
d
Metodología
1. Función f(z)
2. Calcular y como parte real/imaginaria de f
3. Cálculo de la velocidad: 2 métodos
a. v=grad
b. Calcular f’, y de ahí u=Re(f’), v=-Im(f’)
4. Líneas de corriente: =cte
5. Puntos de remanso: f’=0
6. Distribución de presión: ecuación Bernoulli
Ejemplos de potenciales complejos
• Corriente uniforme
• Manantial/sumidero
• Torbellino
• Dipolo o doblete
• Punto de remanso
• Esquinas/rincones
• Sólido/Óvalo Rankine 2D
• Flujo alrededor cilindro
Corriente uniforme áng. alfa
• Potencial de velocidades:
( ) if z V e z
x
y
V x
y
V
Manantial/sumidero
• Potencial de velocidades:
( ) ln2
qf z z
Lección 11Potenciales complejos
de velocidad
Contexto
Bloque II
Flujo ideal
Bloque IIFlujo ideal
Bloque IIICapa límite
Bloque IVFlujo compresible
Bloque VFlujo turbulento
Bloque IFlujo viscoso
Contenido
• Potencial complejo de velocidad
• Metodología uso potencial complejo
• Ejemplos• Torbellino
• Doblete o dipolo
• Punto de remanso
• Esquinas/rincones
• Sólido de Rankine
• Óvalo de Rankine
Bibliografía recomendada
Definición potencial complejo
Metodología
1. Función f(z)
2. Calcular y como parte real/imaginaria de f
3. Cálculo de la velocidad: 2 métodos
a. v=grad
b. Calcular f’, y de ahí u=Re(f’), v=-Im(f’)
4. Líneas de corriente: =cte
5. Puntos de remanso: f’=0
6. Distribución de presión: ecuación Bernoulli
Ejemplos de potenciales complejos
• Corriente uniforme
• Manantial/sumidero
• Torbellino
• Dipolo o doblete
• Punto de remanso
• Esquinas/rincones
• Sólido/Óvalo Rankine 2D
Lección anterior
Torbellino
• Potencial de velocidades:
( ) ln2
f z i z
x
y
Dipolo o doblete
• Potencial de velocidades:
x
y
isz a e
imz a e
x
y
isz a e
imz a e
( ) ln( ) ln( )2 2
i iq qf z z ae z ae
Punto de remanso
• Potencial de velocidades: 2( )f z az
x
y
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Esquinas y rincones
• Potencial de velocidades:
( ) cos sen n nf z Az Ar n i n
sen nAr n cosnAr n
Esquinas y rincones
• n=4
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Esquinas y rincones
• n=2
Misma f(z) que “punto de remanso”
x
y
Esquinas y rincones
• n=1
Misma f(z) que “corriente uniforme”
x
y
0
Esquinas y rincones
• n=2/3
0
3
2
Esquinas y rincones
0
3
2
n=2/3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
x
y
n=4
n=2
x
y
0
n=1
Sólido de Rankine 2D
• Potencial de velocidades
( ) ln2
qf z V z z
y
xV
Punto remanso
Xr
Y
Sólido de Rankine 2D
Corrienteuniforme
y
x
Manantial
Óvalo de Rankine
• Potencial de velocidades
( ) ln( ) ln( )2 2
q qf z V z z d z d
z
xV
Óvalo de Rankinez
xV
Lección 12Pot. complejos velocidad
Método imágenes
Contexto
Bloque II
Flujo ideal
Bloque IIFlujo ideal
Bloque IIICapa límite
Bloque IVFlujo compresible
Bloque VFlujo turbulento
Bloque IFlujo viscoso
Contenido
• Potencial complejo de velocidad
• Metodología uso potencial complejo
• Ejemplos• Flujo alrededor cilindro
• Flujo alrededor cilindro con circulación
• Flujo alrededor cilindro con velocidad variable
• Método de las imágenes• Manantial
• Torbellino
Bibliografía recomendada
Definición potencial complejo
Metodología
1. Función f(z)
2. Calcular y como parte real/imaginaria de f
3. Cálculo de la velocidad: 2 métodos
a. v=grad
b. Calcular f’, y de ahí u=Re(f’), v=-Im(f’)
4. Líneas de corriente: =cte
5. Puntos de remanso: f’=0
6. Distribución de presión: ecuación Bernoulli
Flujo alrededor cilindro (I)
• Potencial de velocidades ( )M
f z V zz
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-6 -4 -2 0 2 4 6
Flujo alrededor cilindro (II)
V1
V2
-5 0 5-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
V33.127422.918922.710432.501932.293442.084941.876451.667961.459461.250971.042470.8339780.6254830.4169890.208494
Frame 001 10 Dec 2003
Campo de presiones
Flujo cilindro con circulación (I)
• Potencial de velocidades
2
( ) ln2
af z V z i z
z
Flujo cilindro con circulación (II)
0
1
4 aV
14 aV
14 aV
Flujo cilindro con circulación (III)
• Caso /(4aV)=1
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-6 -4 -2 0 2 4 6
Flujo cilindro veloc. variable
• Potencial de velocidades
2
( ) ( )a
f z V t zz
Método de las imágenes
• Representación de flujos ideales en presencia de paredes
Solución:
Añadir un
elemento virtual
imagen especular
respecto a la pared.
Incorrecto
Mét. Imág: manantial (I)
• Potencial de velocidades
( ) ln( ) ln( )2 2
q qf z z ia z ia
Manantial en z=iaImagen especular
respecto a eje “y”
del manantial original
Mét. Imág: manantial (II)
• Líneas de corriente
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Mét. Imág: torbellino (I)
• Potencial de velocidades
( ) ln( ) ln( )2 2
f z i z ia i z ia
Torbellino en z=ia(giro anti-horario)
Imagen especular(giro horario)
respecto a eje y
del torbellino original
Mét. Imág: torbellino (II)
Líneas de corriente
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Torbellino normal
Pared 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-2 -1 0 1 2 3 4
Con método imágenes
Lección 13Aplicaciones de la
ecuación de Bernoulli
Contexto
Bloque II
Flujo ideal
Bloque IIFlujo ideal
Bloque IIICapa límite
Bloque IVFlujo compresible
Bloque VFlujo turbulento
Bloque IFlujo viscoso
Contenido
• Velocidad de descarga de un depósito(estacionario)
• Variación de la altura de un depósito(no estacionario)
• Tubo aspersor (sistema referencia no inercial)
• Oscilaciones tubo en U
Bibliografía recomendada
Velocidad descarga depósito
Z1
p1 1
2
AD
AO A2
Z=0
Depósito presurizado descarga por orificio a la atmósfera.
Objetivo: v2
Variación altura depósito (I)
h(t)
pa 1
2
DD
D
Z=0
Objetivo: h(t)
1’
Tubo aspersor
z
g
R
1
e
2
Ec. Bernoulli:
– 1-e: ejes inerciales
– e-2: ejes no inercialesPotencial de fuerzas másicas:
2 2 2 2
2 2
r rU g r gz
Lección 14Cierre/apertura válvulas
Contexto
Bloque II
Flujo ideal
Bloque IIFlujo ideal
Bloque IIICapa límite
Bloque IVFlujo compresible
Bloque VFlujo turbulento
Bloque IFlujo viscoso
Contenido
• Cierre y apertura de válvulas• Ecuaciones
• Compresibilidad/elasticidad del fluido/conducto
• Órdenes de magnitud. Casos
• Caso 1: Cierre/apertura lenta
• Caso 2: Cierre/apertura intermedia
• Caso 3: Cierre/apertura rápida
• Ejemplo: Chimeneas de equilibrioen centrales hidráulicas
Bibliografía recomendada
Cierre y apertura de válvulas
H
L
Volumen control
As(t)
x
Líneacorriente
Cierre y apertura de válvulas
Ecuaciones y órdenes de magnitud
2 20 0 0 0
1 1 0p p V
Va t a x x
002 2
0 0 0 0 0
1 1
Vp pV
a t a L L
2 20 0 0 0 0
(1)p L p
a Vt a
2 1 0
2
V V pU
t x x
20 0
0
V V gH p
t L L L
2 20 0 0 0
(1) L gH p
V t V V
Ej. Central hidroeléctrica
Embalse
Chimenea deequilibrio
turbina
Galería depresiónL=0’1-10 kmD=1-10 m
TuberíaforzadaL=0’1-1 kmD= 1 m
válvulaCorta paso agua
oscilación
Sobrepresiones100 bar
Lección 15Cavitación
Contexto
Bloque II
Flujo ideal
Bloque IIFlujo ideal
Bloque IIICapa límite
Bloque IVFlujo compresible
Bloque VFlujo turbulento
Bloque IFlujo viscoso
Cavitación
Cavitación
Formación de burbujas por descenso de presión y posterior
colapso de las mismas por aumento de presión
Cavitación
sólido
líquido
gas
Presión
Temperatura
EBULLICIÓN (presión constante)
CAVITACIÓN
(temperatura constante)
Tipos de cavitación
CavitaciónHidrodinámica
Tubo Venturi
Flujo alrededorcuerpo sumergido
CavitaciónAcústica
(Ultrasónica)
Cavitación en Venturi
Velocidad máxima
Presión mínima
A1
A2V1 V2
L.C.
1
2
3
Formaciónde burbujas
Aumenta la presión
Implosiónde burbujas
Cavitación en Venturi
Cavitación en cuerpo sumergido
h2
eL.C.
Z=0
pa
Velocidad máxima
Presión mínimaFormaciónde burbujas
Cavitación pistón oscilatorio
z
xX(t)
líquido líquido
g
( ) sen X t a tOscilación pistón