DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Curso 2010 – 2011
CUADRO DE DERIVADAS CUADRO DE INTEGRALES
y = c y′ = 0
∫
adx = a · x+ c
y = u± v± . . . y′ = u′± v′± . . .∫
a ·udx = a ·∫
udx
y = u · v y′ = u′ · v+u · v′∫
(u± v± . . .) dx =∫
udx±∫
vdx± . . .
y =u
vy′ =
u′ · v−u · v′v2
∫
[
u]n
u′ dx =1
n+1
[
u]n+1
+ c n 6=−1
y =[
u]n
y′ = n ·[
u]n−1 ·u′
∫
u′
udx = ln
∣
∣u∣
∣+ c
y = lnu y′ =u′
u
∫
euu′ dx = eu + c
y = loga u y′ =u′
uloga e
∫
auu′ dx =1
lnaau + c
y = eu y′ = eu u′∫
cosu ·u′ dx = senu+ c
y = au y′ = au lna ·u′∫
senu ·u′ dx =−cosu+ c
y = senu y′ = cosu ·u′∫
tgu ·u′ dx =− ln[
cosu]
+ c
y = cosu y′ =−senu ·u′∫
cotgu ·u′ dx = ln[
senu]
+ c
y = tgu y′ = sec2 u ·u′∫
secu · tgu ·u′ dx = tgu+ c
y = secu y′ = secu · tgu ·u′∫
cosecu · cotgu ·u′ dx =−cosecu+ c
y = cosecu y′ =−cosecu · cotgu ·u′∫
sec2 u ·u′ dx = tgu+ c
y = cotgu y′ =−cosec2 u ·u′∫
cosec2 u ·u′ dx = cotgu+ c
y = arcsenu y′ =u′
√
1−[
u]2
∫
u′√
1−[
u]2
dx =
{
arcsenu+ c
−arccosu+ c
y = arccosu y′ =− u′√
1−[
u]2
∫
u′
1+[
u]2
dx =
{
arc tgu+ c
−arc cotg u+ c
y = arc tgu y′ =u′
1+[
u]2
∫
u′
u
√
[
u]2−1
dx =
{
arc sec u+ c
−arc cosec u+ c
y = arc sec u y′ =u′
|u|√
[
u]2−1
∫
u ·dv = u · v−∫
v ·du
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Curso 2010 – 2011
TRIGONOMETRÍA
Valores para los principales ángulos
Relaciones fundamentales α 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦
sen2α + cos2α = 1senα 0
1
2
√2
2
√3
21
tg2α +1 = sec2αcosα 1
√3
2
√2
2
1
20
cotg2α +1 = cosec2αtgα 0
√3
31
√3 ∞
sen(
π2±α
)
= cosα sen(π±α) =∓senα sen(
3π2±α
)
=−cosα sen(2π±α) =±senα
cos(
π2±α
)
=∓senα cos(π±α) =−cosα cos(
3π2±α
)
=±senα cos(2π±α) = cosα
tg(
π2±α
)
=∓cotgα tg(π±α) =± tgα tg(
3π2±α
)
=∓cotgα tg(2π±α) =± tgα
Sumas y diferencias de ángulos Ángulo doble: Ángulo mitad:
sen(α±β ) = senα · cosβ ± cosα · senβ sen2α = 2 · senα · cosα cosα
2=±
√
1+ cosα
2
cos(α±β ) = cosα · cosβ ∓ senα · senβ cos2α = cos2α− sen2α senα
2=±
√
1− cosα
2
tg(α±β ) =tgα± tgβ
1∓ tgα · tgβtg2α =
2tgα
1− tg2αtg
α
2=±
√
1− cosα
1+ cosα
senα± senβ = 2 · sen α±β
2· cos α∓β
2senα · senβ =−1
2
[
cos(α +β )− cos(α−β )]
cosα + cosβ = 2 · cos α +β
2· cos α−β
2cosα · cosβ = 1
2
[
cos(α +β )+ cos(α−β )]
cosα− cosβ =−2 · sen α +β
2· sen α−β
2senα · cosβ = 1
2
[
sen(α +β )+ sen(α−β )]
Teorema del seno Teorema del coseno
a
sen A=
b
sen B=
c
senC
a2 = b2 + c2−2bc · cos A
b2 = a2 + c2−2ac · cos B
c2 = a2 +b2−2ab · cosC
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Ecuación paramétrica Ecuación continua Ec. punto–pendiente Ecuación explícita Ecuación general
x = xA +λ · vx
y = yA +λ · vy
x− xA
vx
=y− yA
vy
y− yA = m(x− xA) y = m · x+n A · x+B · y+C
Recta que pasa por Distancia punto – Ángulo entre dos Paralelismo: Perpendicularidad:dos puntos, A y B recta: D(P,r) rectas: cosα(r,r′) r‖r′: r ⊥ r′:
x− xA
xB− xA
=y− yA
yB− yA
A · x0 +B · y0 +C√A2 +B2
A ·A′+B ·B′√A2 +B2 ·
√A′2 +B′2
vx
ux
=vy
uy
~v ·~u = 0
A
A′=
B
B′6= C
C′A ·A′+B ·B′ = 0
m = m′ m ·m′ =−1
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Curso 2010 – 2011
LUGARES GEOMÉTRICOS
Punto medio Baricentro Interpolación Lugar geométrico
M ≡(
x1 + x2
2,y1 + y2
2
)
G≡ 1
3
(
~a+~b+~c)
Pk ≡~a+k
n·(
~b−~a) Conjunto de puntos que
cumplen una condición
Circunferencia Elipse Hipérbola Parábola
d(P,O) = R = cte d(P,F)+d(P,F ′) = 2a = cte d(P,F)−d(P,F ′) = 2a d(P,F) = d(P,d) =p
2
(x− xo)2 +(y− yo)
2 = R2 (x− xo)2
a2+
(y− yo)2
b2= 1
(x− xo)2
a2− (y− yo)
2
b2=±1
(x− xo)2 = 2p(y− yo)
(y− yo)2 = 2p(x− xo)
x2 + y2± . . . = 0 Ax2 +By2± . . . = 0 Ax2−By2± . . . = 0Ax2±Dy± . . . = 0
By2±C x± . . . = 0
Distancia focal a2 = b2 + c2 c2 = a2 +b2 —
Excentricidad e =c
a⇒ 0 < e < 1 e =
c
a⇒ e > 1 e = 1
NÚMEROS COMPLEJOS
Unidad imaginaria Forma binómica Forma cartesiana Forma polar Forma trigonométrica
i =√−1 z = a+bi z = (a,b) z = zϕ z = z · (cosϕ + i senϕ)
Módulo Argumento Conjugado: z = Opuesto −z = Inverso
z = |z|=√
a2 +b2 ϕ = arc tgb
a
a−bi
z−ϕ
z(cosϕ− i senϕ)
−a−bi
zπ+ϕ
z(−cosϕ− i senϕ)
z/z2
(
1z
)
−ϕ(
1z
)
(cosϕ− i senϕ)
Suma y diferencia Producto Cociente Potencias Raíces
Usar f. binómica: Usar la forma polar, preferiblemente
(a±a′)+(b±b′) i zϕ ·yϑ = (z ·y)ϕ+ϑ
zϕ
yϑ=
(
z
y
)
ϕ−ϑ
(
zϕ
)n= (zn)n·ϕ n
√zϕ =
(
n√
z)
ϕ+2π kn
Fórmula de Euler Fórmula de De Moivre
ea+ϕi = ea · (cosϕ + i senϕ)[
r · (cosϕ + i senϕ)]n
= rn · (cosnϕ + i sennϕ)
LÍMITES
COCIENTES CALCULABLES INDERTERMINACIONES
k
∞
= 0 ;k
0= ∞ ;
∞
k= 0 ;
0
k= 0 ;
0
∞
= 0 ∞−∞ ; 0 ·∞ ; 1∞ ; ∞0 ; 00 ;
∞
∞
;0
0