METODO DE TRIANGULACION TOPOGRAFICAPREAMBULO:
El actual levantamiento topográfico es siempre fotométrico independientemente de su escala y extensión informatizada hasta límite cada vez más avanzado pero siempre subsidiario del apoyo de trabajos de topografía clásica.
Maso menos aligerados por método de aereotriangulacion el deseo de eliminar totalmente esta labor de campo aun no ah podido materializarse mediante tecnología
alguna de aplicación el ultimo y mayor avance en dicha dirección a sido la revolución errupsion GPS (global position system ) modificando radicalmente pero no suprimiendo instrumentación observación y calculo con fuerte ventaja de rendimiento en tiempo y corte sin embargo la calidad que pueden alcanzar los trabajos realizados por topografía clásica es difícilmente igualable por cualquier otra tecnología su fiabilidad en diseño y proyecto y verificación de resultados decidamente superior saber triangulas y trilaterar .
Sigue siendo por lo tanto una exigencia ineludible en la formación del técnico superior didácticamente no somos capaces de encontrar otro procedimiento de exposición que permita comprender y justificar repasar sumamente como se abordara antiguamente en un proyecto de topografía clásica podríamos decir que la producción cartográfica solo es asequible desde un información más y más acentuada. Pero las aplicaciones de ámbito reducido y alta precisión siguen siendo por topografía
1:25000
L= 15 km a= 10km
.a .b
.c .d
.e .f
.a´ .b´
.c´ .d´
.e´ .f´´
Acumulación de errores angulares y longitudinales
E total
10 km
1E
= dfotod terreno
P= 150000
perimetro=28k
P= 50028000
= 156
B
A
72°
18°70°20°
71°
19°
20°70°
Camino III
Camino IV
Camino II
Camino I
C
D
CAMINO I : aplicando ley de senos
Si:
AB
sen70= AD
sen20
AD= ABsen 20sen 70
AD=1000 sen20sen70
=363,97
Si :
AD
sen72= CD
sen19
CD= ADsen 19sen72
CD= ADsen 19sen72
=124,595
CAMINO II : aplicando ley de senos
SI:
AC
sen 90= AB
sen18
AC=1000 sen 90sen18
AC=3236,067
Si:
ACsen 90
= CDsen19
CD= ACsen 19sen90
CAMINO IV: aplicando ley de senos
SI:
BDsen 90
= ABsen70
BD= ABsen90sen70
BD =1064,177
SI:
CDsen70
= BDsen90
CD= BDsen70sen 90
CD=1000
DIFERENCIA TABULAR
Diferencia tabular=log(senx)-log(sen(x-1))
lgsen (20 °00 ' 00″ )+10=9,534051685
−lgsen (20 °00 ' 01″ )+10=9,534057469
dif tab=5,784822∗10−6
lgsen (70° 00' 00″ )+10=9,972985816
−lgsen (70 °00' 00″ )+10=9,972986583
dif tab=7,6634049∗10−7
¿0,76634049∗10−6
Recomendaciones.
En orden a concebir homogeneidad y mayor precisión en las coordenadas de los vértices deben respetarse hasta donde sea posible las recomendaciones tradicionales de:
1° efectuar la consistencia de triángulos de formas regulares, preferiblemente tendiendo a equiláteros.
2° en cualquier caso evitar excesivas diferencias relativas con las longitudes de los lados y no observar los ángulos en vértices inferiores a 25g porque las diferencias tabulares para ángulos pequeños es grande.
CONSISTECIA O RIGIDEZ DE LAS FIGURAS DE LA RED DE APOYO
La rigidez ó consistencia (R) de una figura,es una cantidad adimensional que permite cuantificar la calidad trigonométrica de cualquier red de triángulos. Por lo tanto, indica el número de figuras geométricas que se pueden formar en un itinerario longitudinal. La rigidez esta controlada por la amplitud de los ángulos internos de las figuras geométricas, y esta amplitud depende del orden en cual se esta trabajando.
R=K∑¿
60°
60°
B
60°
A C
>25g
210m
200m210m
α6
α5α4α3
α2
α1α7
α8
Base de partida 1000m
Base de llegada 900m o 900,02
B C
A D
K: Estimador de a consistencia o rigidez
K=Q−CQ
C=Q+B−3 A−3
Donde
Q: Nº de lados observados en los sentidos
Q=6∗2=12
B: Nº de bases de medidas
B=2
A: Nº de estaciones
A=4
C: N de condicones geometricas y trigonometricas o condiciones de lado
C=Q+B−3 A+3
C=12+2−3∗4+3=5
K=12−512
=0,583
1º CONDICION GEOMETRICA
α 1+α 8=α 4+α 5
2º CONDICION GEOMETRICA
α 2+α 3=α 6+α 7
3º CONDICION GEOMETRICA
α 1+α 2+α 3+α 4+α 5+α 6+α 7+α 8=360
4º CONDICION GEOMETRICA
Los angulos en cada vertice deben sumar 360º
5º CONDICION TRIGONOMETRICA
- Los caminos de mejor rigidez - La discrepancia entre base medida y base calculada debe tener una presicion
de P≥ 1:5000
Base medida = 900,00m
Base calculada=900,02m
=900,15m
=900,18m
P=0,02900
= 145000
P=0,15900
= 16000
P=0,18900
= 15000
P=0,20900
= 14500
CONDICION DE LADO
Esta mal
8
765
4
31
2B
CD
A
Finalmente hacemos el ajuste ( que se cumplan las condiciones geometrcicas ) para que el valor de CD sea el mismo indiferente de la ruta elegida. Para plantar la ecuacion correspondiente se toma las dos rutas de mejor rigidez.
RUTA 1
ABsen5
= BCsen2
BC= ABsen2sen5
BCsen7
= CDsen4
CD=BCsen 4sen7
CD= ABsen 2∗sen 4sen5∗sen7
RUTA 2
ABsen8
= ADsen3
AD= ABsen 3sen8
ADsen6
= CDsen1
CD= ADsen1sen 6
CD= ABsen 3∗sen1sen 8∗sen6
ABsen 2sen5
∗sen 4
sen7=
ABsen 2sen8
∗sen 1
sen6
sen2∗sen 4∗sen6∗sen 8sen1∗sen3∗sen5∗sen7
= ABAB
=1
8
765
4
31
2B
CD
A
Si tomamos logaritmos a ambos mienbros encontramos la condicion de lado
lg( sen2∗sen 4∗sen6∗sen 8sen1∗sen3∗sen 5∗sen7 )=lg (1 )
ERROR
δα= diferencia tabular correspondiente al lado conocido expresado ala sexta cifra
δβ= diferencia tabular correspondiente al lado por conocer expresado ala sexta cifra
Ejercicio Nº 1
a).
Para el camino I
BCsen2
= ACsen 7
AC=BCsen7sen2
ACsen7
= ABsen5
AB= ACsen5sen7
AB=BCsen 7∗sen5sen2∗sen7
AB=BCsen5sen2
ABsen5
= BCsen2
BC= ABsen2sen5
BC= BCsen5∗sen 2sen5∗sen2
- Método
- Método topográfico
45
12
1311
6
7
8
9
10
14
1
23
BCBC
= sen5∗sen2sen5∗sen2
lg (1 )=lg (1)
Para el camino II
BCsen7
= BDsen11
BD= BCsen11sen7
BDsen11
= CDsen4
CD=BDsen 4sen11
CD=BCsen 11∗sen 4sen7∗sen1
CD=BCsen 4sen7
CDsen 4
= BCsen 7
BC=CDsen7sen 4
BC= BCsen 4∗sen7sen4∗sen7
BCBC
= sen4∗sen7sen7∗sen 4
1=1
lg (1 )=lg (1 )
b) Hallar k de la siguiente figura
si
C=Q+B−3 A+3 C=18+2−3∗5+3
Q=18
B=2
A=5
12
76
5
4
32
1
8
9
10
11
Si K=Q−CQ
K=18−818
=0,555556
1º condicion geometrica
1+10=13+7
2º condicion geometrica
2+14=9+8
3º condicion geometrica
11+3+4=180 º
4º condicion geometrica
5+12+6=180 º
5º condicion geometrica
2+7+27=180 º
6º condicion geometrica
1+2+10+9+7+8+13+14=360 º
7º condicion geometrica
La suma de los vertcices deben de sumar 360º
8º condicion trigonometrica
- Los caminos de mejor rigidez
- Discrepancia entre base medida y base calculada
c) Hallar k para la siguiente figura
13
12 11
10 9
876
54
3
2
1
Si C=Q+B−3 A+3C=16+1−3∗5+3C=5Q=16B=1A=5
K=16−55
=22
1º condicion geometrica 2+12+3=180º
2º condicion geometrica 9+4+5=180 º
3º condicion geometrica 7+10+6=180 º
4º condicion geometrica La suma de los vertices deben de sumar 360º 5º condicion trigonometrica
- Caminos de mejor rigidez
- La discrepancia entre base medida y calculada
d) Hallar k de la siguiene figura
C=Q+B−3 A+3C=18+3−3∗5+3C=9
Q=18
B=3
A=5
1º condicon geometrica
1+4+5+6+7=180 º
2º condicion geometrica
3+13+12+11=180 º
3º condicon geometrica
2+8+10+9=180 º
4º condicion geometrica
6+7+8+9=180 º
5º condición geometrica
5+10+11+12=180 º
6º condicon geometrica
1+2+3+4+13=180 º
7º condicion geometrica
6+7+8+9+10+11+12=360 º
8º condicion geometrica
La suma en cada vertice debe de ser 360º
9º condicion geometrica
- Caminos de mejor rigidez
- Discrepancia entre base medida ycalculada
CONSISTENCIA O RIGIDEZ ESPECIFICA DE UNA CADENA
El estimador K=Q−CQ
de la consistencia conjunta de la figura ala cual no es
suficientemente significativo según ya se dijo en efecto en todas las figuras estudiadas puede enlasarse la base o lado de partida y la de llegada mediante diversos caminos ( cuadrilatero ay 4 caminos ) cadena de triangulos distintos y sera presiso definir el error previsible minimo para utilizar en los anteriores calculos
INTERSECCION DIRECTA
δδ
αβ
θ
CUADRILATERO DE INSERTIDUMBRE
Analizando la presicion de las cordenadas del punto P en realidad los angulos α y β no son exactos y estan afectados de errores accidentales dadoque provienen de medidiciones realizadas de los angulos admitiendo que los errores δ sean iguales Para hallar el dezplazamiento del punto P es
a= l∗δ
sen (θ2 )
δ=(∑V 2
n−1 )L : lado mas largo δ : error de angulo θ : angulo de interseccion
CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS POR SU RIGIDEZ
Clasificación Primer OrdenSegundo orden Tercer orden
Clase 1 Clase 2 Clase 1 Clase 2
Detalles del levantamiento
Lados de 3 Km a 8 Km medida primaria trigonométrica
Triangulo topográfico de precisión baja, de
lado de 1 a 3 Km
Triangulo topográfico de
precisión media, de lado de 1 a 2 Km
Triangulo topográfico de
precisión alta, de lado de 1 Km
No existe
Rigidez 1 < R < 25 25 < R < 80 80 < R < 175 120 < R < 175
Orden de la red de acuerdo a su rigidez
1º tener en cuenta en lo posible los triángulos equiláteros
2º evitar ángulos menores a 25º
3º las distancias de los lados sean casi iguales
R=Q−CQ
=72−2472
K=0,67
C=Q+B−3 A+3
Q=72
B=3
A=18
C=72+3−3∗18+3=78−54=24
1º condición geométrica
Δ=180 º /200 g
19 por triángulos
2º condición geométrica
Suma alrededor de l vértice 360º/400g
3º condición trigonométrica
dif tabular=21,0552∗10−7
tag87= 1.1034¿10−7
0,11034∗10−6
- Ge
- trigonométricas
Ejemplo 1.- En la siguiente red topográfica de bases A A1 y A17 A16 se pide hallar la rigidez por el mejor camino de llegada
D= 2 Q= 70 A=18 C= 70+ 2 – 2(18) + 3= 39
R= Q−C
Q ∑(δa + δb + δaδb) = 28.6698 Segundo Orden (Clase 1)
Ejemplo 2.- Dada la siguiente red trigonométrica de base de partida AB y base de llegada IH. Halla la rigidez del mejor camino
D= 2 Q= 48 A=9 C= 48+ 2 – 2(9) + 3= 35
FIGURA TRIANGULO a b xa yb suma Sumatoria camino Eleccion BAD 37 96 2.79413226 -0.22129381 7.23782188ADC 98 40 -0.2959062 2.50927226 5.64149854ABD 37 36 2.79413226 2.89801315 24.3030873BDC 63 47 1.07282198 1.96343783 7.11245438ABC 35 76 3.00700837 0.52497028 10.8962832BCD 90 47 5.10E-06 1.96343783 3.85509815BAC 35 49 3.00700837 1.83030876 17.8958832ACD 53 40 1.58663042 2.50927226 12.7951311DCE 39 76 2.60011239 0.52497028 8.40116ECF 101 55 -0.40926615 1.47430793 1.73769832CDE 39 43 2.60011239 2.25790374 17.7295172DEF 58 42 1.31568143 2.33842722 10.2758848CDF 43 98 2.25790374 -0.2959062 4.51756204DFE 85 42 0.18421419 2.33842722 5.93294822DCF 43 34 2.25790374 3.12157671 21.8905901CFE 46 55 2.03328599 1.47430793 9.30552543
TRIANGULO EFG 54 69 1.52975694 0.8082389 4.22981549 4.229815488 ↙GFJ 45 64 2.10552927 1.02693658 7.65009729FJH 109 43 -0.72498265 2.25790374 3.98678809FGJ 45 35 2.10552927 3.00700837 19.806697GJH 58 28 1.31568143 3.95992859 22.6220565FGH 51 78 1.70502417 0.44754723 3.87048478GHJ 109 28 -0.72498265 3.95992859 13.3357547GFH 51 36 1.70502417 2.89801315 16.2467701FHJ 64 43 1.02693658 2.25790374 8.47145197
Sumatoria 38.88487961
X31.19611555 X
CUADRILATERO
11.63688539 ↙42.42875352 X17.20623952 X24.71822205 X
CUADRILATERO
12.87932042 ↙31.41554172 X14.75138132 X30.69101433 X
CUADRILATERO
10.13885831 ↙28.005402 X
10.45051027
R= Q−C
Q ∑(δa + δb + δaδb) = 10.531 Primera Clase
CAUSAS DE ERRORES EN TEODOLITOS MECANICOS Y TEODOLITOS ELECTONICOS
Como ya sabemos, por bien concebido y construido que sea un aparato, y aun admitiendo una utilización del mismo extremadamente cuidadosa, será inevitable la comisión de toda una serie de errores de muy diverso origen y denominación.
Dichos errores serán sistemáticos y siempre existirán. No obstante, los modernos teodolitos, supuesto bien utilizados y conservados, permiten entender despreciables los errores sistemáticos y localizar el problema exclusivamente en los accidentales.
Es indudable la trascendencia del estudio y cifrado del nivel de error a esperar, y de la ineludible necesidad de realizar un estudio detallado de dicha cuestión, como elemento imprescindible el proyecto geodésico o topográfico de que se trate. Los resultados obtenidos podrán asegurar si puede o no realizarse el trabajo dentro de las tolerancias preestablecidas, con qué cota máxima de error previsible, y con qué probabilidad de comisión.
Resultados desfavorables conducen a reconsiderar el método inicialmente concebido, arbitrando otro más preciso, que también debe ser cifrado, o incluso a sustituir los aparatos en principio programados por otros de mayor precisión.
Una precaución que debe adoptarse siempre, en cualquier trabajo que requiera la utilización del teodolito, es la aplicación de la regla de Bessel (observación doble, con giro y vuelta de campana) en cada punto a levantar, y de acuerdo con lo antes explicado (epígrafe 3. capítulo 10). Con dicha práctica. 110 solamente se eliminan, según vimos, los posibles errores residuales de excentricidad, desviado de índices y prácticamente todos los de ajuste, sino que se incrementa la precisión disminuyendo el error de cada observación en 1/√ 2 al adoptar el valor promedio de las dos lecturas.
ERROR POR VERTICALIDAD
m=1 ´ ´ ,5´ ´ ,10 ´ ´ presicion del equipo
s=10´ ´ ,20 ´ ´ ,30 ´ ´ sensibilidad de nivel
A=20 x ,30 x ,40 x aumento de la lente
a. Observaciones cenitales
En la colimación del punto A desde O, y si OV es la vertical del lugar o posición exacta del eje principal y OE la posición real, se cometerá un error en la observación cenital (figura I) que valdrá:
e t = Δ — Δ'
Δ = ángulo cenital exacto
Δ'= ángulo cenital erróneo observado
Si proyectamos E sobre VA, considerando (Legendre) al triángulo VEE' como rectilíneo, se tendrá:α = azimut exacto
E1=VE’=VE cos α
Pero VE es precisamente el error de verticalidad del eje propiamente dicho, que valdrá, según sabemos, los 2/3 de la apreciación del nivel, como máximo. Y si la apreciación, según la hipótesis admitida con anterioridad, vale 1/2 S, siendo S la sensibilidad, se tendrá:
et = Δ — Δ' = 2/3. ½. S. Cos α
Que pone de manifiesto que el error será máximo para α = 0 y se anulará para
α = π/2.
Figura 12.1
α
M’
Δ
E’
o
E
Δ’
M
α’
A
Con ello adoptaremos como error de
Verticalidad cenital al valor:
evc=S3
En cota máxima
Observaciones azimutales
En la figura, el error será:
e2=α−α ' = azimut exacto-azimut aproximado y en triángulo esférico VAE}
Y como:
Y como e1 y e2. Muy pequeños
sen(e1)≈e1 cos (e1)≈ 1
sen(e2)≈e1 cos (e2)≈ 1
e1∗ctg (∆ )=−e2∗cos (α)
sen ( α )−e2∗cos(α )
sen ( ∆ )−sen (∆−e1)
sen(∆')=
sen (α−e2 )−sen (α )sen(α−e2)
e1=∆−∆ ∆ '=∆−e1
e2=α−α ' α '=α−e2
e1∗sen (α )∗ctg (∆ )−e1∗e2∗cos (α )∗ctg (∆ )=−¿e2∗cos (α )¿
sen ( ∆ )−sen (∆ ' )sen(∆')
=sen (α ' )−sen (α)
sen (α ')
sen(∆)sen (∆ ')
=sen(α ' )sen (α )
Y despreciando infinitésimos de 2° orden, puede tomarse:
Y como
Tomando valores absolutos se tendrá
e2 será máximo para α = π/2 y visuales muy inclinadas.
Supuesto que admitimos como máxima distancia cenital 75", difícilmente superable en trabajos usuales, y con ello, aun en casos extremos, deberá verificarse:
Y en cota máxima, adoptaremos definitivamente y en valor absoluto
Consecuentemente, en trabajos de planimetría, especialmente si el terreno es poco movido (A =90”), el error de verticalidad será poco importante. Podrá nivelarse el aparato ligeramente, sin mengua de precisión y con buen ahorro de tiempo. Sin embargo, en trabajos de altimetría el error se transmite casi íntegramente a las visuales. Por ello es preciso en ese caso nivelar el aparato muy cuidadosamente, y, por otra parte, de ahí la necesidad del nivel de eclímetro, en muchos casos de mayor sensibilidad que el de la alidada, incluso utilizando en él niveles de burbuja partida, y el importante avance que representa, tanto en precisión como en ventaja en tiempo, el índice automático
e2=−e1∗tg (α )∗ctg (∆ )
e1=S3∗cos (a)
e2=S3∗ctg (∆ )∗sen (a)
e2<S3∗ctg (75 ° ) ≈
S3∗1
4
e2<1
12∗S
ERROR POR DIRECCION
Sea E el punto de estación y P el que se pretende levantar. Respectivamente los círculos de radios ee y ep representaran los de error en el posicionamiento de la plomada y la mira o banderola. La tangente común interior a ambas circunferencias es evidentemente la posición de máximo error (figura 2) y este valdrá:
En observaciones cenitales por la propia situación geométrica del diedro a medir, no deberá ser tenido en cuenta En contrapartida en observaciones acimutales será el error más importante a temer y ello tanto más cuanto menor sea la distancia.
De ahí la trascendencia del correcto posicionamiento de la plomada en planimetría y el importante avance que supone la utilización de bastón o centrador o plomada óptica junto con el centrado forroso en poligonaciones de precisión.
Utilizando plomada normal y estadia vertical puede tomarse:
En cota máximaee+ep=5cm
ed=ee+e p
D
30°20′40″
30°40′10″
Como minimizar
Hoja de cuaderno
ERROR POR PUNTERIA
β=10 ´ ´ ,20 ´ ´ ,50 ´ ´
5.1.- observaciones cenitales: el error de puntería valdrá epe (figura 3 ) y estará medido por el ángulo formado por la visual exacta EP y la aproximada, que suponemos NM, recta que une el centro óptico
Figura 12.3
M/
Oscuridad, neblina
Claro
H
Del objetivo y el punto M, intersección de la vertical de P (punto donde se ha situado la mira) y la traza horizontal de ésta sobre la que se ha hecho puntería.
Según sabemos, el límite de la percepción visual se sitúa en 30", y por tanto, el error a temer, dos tercios de la apreciación, valdrá 20".
La consecuencia, y supuesto el anteojo en posición telescópica, y representando por .v y en milímetros el error de puntería en la imagen, se tendrá:
f 2:distancia focaldel ocular
Y como
Se deduce:
A: es el aumento del anteojo
Todo ello suponiendo una claridad unidad. Pero como ésta disminuye al crecer el aumento, acostumbra a adoptarse un coeficiente empírico de
mayoración que podemos suponer igual al,(1+ 4 A100
) con lo que, para uso
práctico, adoptamos la expresión final:
En cota máxima.
Y si la puntería se realiza sobre un punto menos definido que el supuesto (coincidencia del hilo horizontal del retículo con una raya de la mira), conviene incrementar e! error hasta un máximo de:
(5)
e p=xf 1
xf 2
<20 °
e pc=20 } over {A} (1+ {4A} over {100} ¿
e p=20 {f} rsub {2} } over {{f} rsub {1}} = {20
f 1
f 2
=20} over {A ¿
e pc=50} over {A} (1+ {4A} over {100} ¿
5.2. Observaciones azimutales
Al bisecar con el hilo vertical un jalón o tina mira, entenderemos la puntería como bien hecha cuando la diferencia entre los ángulos bajo los que vemos ambas mitades no exceda de 30". Ello sucede, evidentemente, cuando la bisección alcanza un error de 15". Y con un razonamiento exactamente igual al anterior, deducimos el error en cota máxima como:
(6)
El error de puntería en observaciones azimutales suele ser el menos importante de los que concurren en ellas.
s = sensibilidad del nivel
β= claridad del objeto A = aumento de lente
ERRORES ACCIDENTALES
OBSERVACIONES CENITALES OBSERVACIONES AZIMUTALES
VERTICALIDAD evc=s3
(una observación) eva=1
12s
evc=evc√n (n=número de observaciones)
eva=14∗3.29 σ (con
compensador)DIRECCIÓN NO SE TOMA EN CUENTA
ed=eequipo+eprisma
Deequipo+eprisma≤2.5cm
D= distancia entre equipo y prisma
PUNTERÍA e pc=βA
(1+ 4 A100
) e pa=βA
(1+ 4 A100
)
β=10' ' ,20' ' ,50 ' 'claridad
A=20 x ,30 xAumentos lente
LECTURA eLc=23
meL=m2
(Bessel)
m=1' ' ,5' ' ,10' 'apreciacionnonio
eLa=23
meLa=m2
(bessel)
ERROR TOTALANGULAR
ETG=√eVC2 +ePG
2 +eL2 ETa=√eva
2 +ed2+ePa
2 +eLc2
ERROR TOTAL ANGULAR
PROBLEMA: si aplicamos lo expuesto a un teodolito tipo mecanico del tema anterior expuesto se obtendran los resultados que siguen
DATOS
Teodlito wild T-2
Aumento (A) = 30x
Sencibilidad de nivel (S)=20´´
e pc=10} over {A} (1+ {4A} over {100} ¿
Apresiacion m=1´´
SOLUCION
1º ev= 112
∗20 ´ ´=1,7 ´ ´
2º ed= ep+eeD
= 25cm150000
∗206265=3,43 ´ ´
3º buena calidad del elemento de punteria B=10´´
ep= BA
∗(1+ 4 A100 )=10´ ´
30∗(1+ 4∗30
100 )=0,7 ´ ´
4º el=m2
=1´ ´2
=0,5 ´ ´
ERROR TOTAL AZIMUT
eta=( 1,72+3,432+0,72+0,52)
METODO PARA AUMENTAR LA PRECISION DE LAS
MEDICIONES ANGULARES HORIZONTALES
POR REITERACION
Para la precisión de angulos
Hallando el error cuadrático de cada angulo
σ=√∑ v2
n−1
V V2
26.5 11
21.5 3 σ=√ 172
=2.91
21.5 3∑ ¿69.5 ∑ ¿17
Angulo 1 → σ 1=2.88Angulo 2 → σ 2=3.61Angulo 3 → σ 3=6.29 menos precisoAngulo 4 → σ 4=5.48Angulo 5 → σ 1=1.60 más preciso
Dispersión
Angulo 1 → 26.5−21.5=5Angulo 2 → 7.0−0=7Angulo 3 → (46−32.5 )=12.5 menos precisoAngulo 4 → (12−2.5 )=9.5Angulo 5 → 46.5−43.5=3 más preciso
Error de la suma
E suma=√σ 12+σ2
2+σ32+σ 4
2+σ52
E suma=√2.882+3.612+6.292+5.482+1.602
E suma=9.66
Error total por reiteración
ET=√ 2e La2
n+
2ePa2
n+eVa
2+eDa2
El método de reiteración aumenta la precisión en la lectura y puntería
Como A = 30X; S = 30II; m = 1II 1. VERTICALIDAD
eVa=1
12x S=30
12=2.5 eVa
2=6.25
2. POR DIRECCION
eDa=1.8 cm
40000cm=0.00045 rad .=9.282 II eDa
2 = 86.154
3. ERROR POR PUNTERIA
ePa=βA (1+ 4 xA
100 )=10 II
30 (1+ 4 x 30100 )=0.733
ePa2=0.537 II
4. ERROR POR LECTURA
eLa=23
m=23
x 1=0.667 II eLa2=0 .444 II
ERROR TOTAL
ET=√ 2 x 0.4443
+2 (0.537)
3+6.25+86.154=9.64 II
COMPENSACIÓN ANGULAR DE UN CUADRILÁTERO
METODO TOPOGRAFICO
D1 = 33.1241g -22c D2 = 31.6676g -6c D3 = 46.9275 +22c D4 = 87.8963 +6c
V1 = 56.8667 -22c V2 = 78.3429 -6c V3 = 43.0546 +21c V4 = 22.1119 +5c
∑ = 89.9908 ∑ = 110.0105 ∑ = 98.9821 ∑= 110.0082
C = Q B – 3A +3 Q =12 A = 4 B = 1C = 12+1-12+3C = 4
Condiciones geométricas:
D1 + V1 = D3 + V3 D2 + V2 = D4 + V4
89.9908 ≠ 89.9821 110.0105 ≠ 110.0082 Error = 0.0087 Error = 0.0023874
=21.75≈ 22234
=5.75≈ 6
Hacienda las correcciones tenemos:
D1 = 33.1220g +10c D2 = 31.6670g +10c D3 = 46.9297 +10c D4 = 87.8969 +10c
V1 = 56.8645 +11c V2 = 78.3423 +11c V3 = 43.0568 +11c V4 = 22.1124 +11c
∑ = 89.9865 ∑ = 110.0093 ∑ = 98.9865 ∑= 110.0082
D1 + V1 + D2 + V2 + D3 + V3 + D4 + V4 = 400.0000g
399.9116 ≠ 400.0000Error = -0.0084
848
=10.5≈ 11
Ángulos corregidos geométricamente
D1 = 33.1230g -36c D2 = 31.6680g -36c D3 = 46.9307 -36c D4 = 87.8978 -36c
V1 = 56.8656 +36c V2 = 78.3434 +36c V3 = 43.0579 +36c V4 = 22.1135 +36c
Condición trigonométrica
X
Ecuación para la condición trigonométrica
1= sin V 1sin V 2 sin V 3 sin V 4sin D 1sin D 2 sin D3 sin D 4
=∆
∆=0.999437405
∑ cot D i=4.880836133 ∑ cotV i=5.166589589
ecc= ∆−1
∑ cot D i+∆ x∑ cotV ix 636620=−35.6571778≈−36cc
Ángulos finales:
D1 = 33.1194 D2 = 31.6644 D3 = 46.9277 D4 = 87.8943V1 = 56.8692 V2 = 78.3470 V3 = 43.0615 V4 = 22.1171
Ejercicio:
α1 = 580 54I 35II α3 = 220 53I 45II α5 = 740 37I 12II α7 = 270 57I 34II
α2 = 680 46I 57II α4 = 290 24I 02II α6 = 530 03I 24II α8 = 240 22I 10II
Condiciones geométricas
α1 + α2 = α5 + α6 α3 + α4 = α8 + α7
1270 41I 32II = 1270 40I 36II 520 17I 47II = 520 19I 44II
Error = 01I 57II Error = 56II
56II
4=14
1I 57 II
4=29.25≈29
Corrigiendo ángulos α1 – 29II α1 = 580 54I 21II
+2II ; α5 +14II α5 = 740 37I 26II +2II
α2 – 29II α2 = 680 46I 43II +3II ; α6 +14II α6 = 530 03I 38II +3II
α3 + 29II α3 = 220 54I 14II +2II ; α7 -14II α7 = 270 57I 05II +2II
α4 + 30II α4 = 290 24I 32II +3II ; α8 -14II α8 = 240 21I 41II +3II
α1 + α2 + α3 + α4 + α6 + α5 + α7 + α8 = 3600 00I 00II
3590 59I 40II ≠ 3600 00I 00II
Error = 20II
20II
8=2.5≈3 II
Ángulos corregidos geométricamente
α1 = 580 54I 23II +40II ; α5 = 740 37I 28II +40II
α2 = 680 46I 46II -40II ; α6 = 530 03I 41II -40II
α3 = 220 54I 16II +40II ; α7 = 270 57I 07II +40II
α4 = 290 24I 35II -40II ; α8 = 240 21I 44II -40II
Condición trigonométrica
sin α 1sin α 3 sin α 5 sin α 7sin α 2 sin α 4 sin α 6 sin α 8
=∆
∆=0.9980225999∑ cot D i=5.122529976 ∑ cotV i=5.129430683
eII= ∆−1
∑ cot Di+∆ x∑ cot V ix206265=−39.82383288≈−40 II
Ángulos corregidos trigonométricamente
α1 = 580 55I 03II ; α5 = 740 38I 08II α2 = 680 46I 06II ; α6 = 530 03I 01II α3 = 220 54I 56II ; α7 = 270 57I 47II α4 = 290 23I 55II ; α8 = 240 21I 04II
Calculo de distancias
ADsin α 7
= ABsin α 2
→ AB=3578.194 m.
ABsin α 5
= BCsin α 8
→BC=1530.072m
BCsin α 3
= CDsin α 6
→CD=3140.939m
CDsin α 1
= ADsin α 4
→ AD=1800.004m
XA = 180 000
YA = 8 502 400
Calculo de azimut.- por la regla de la nemónica
AZAB = 300 00I 00II AZCD = 2040 54I 09II
AZBC = 1280 59I 12II AZDA = 2930 16I 07II
Calculo de coordenadas
YB = YA + AB Cos(AZAB) YC = YB + CB Cos(AZBC)XB = XA + AB Sen(AZAB) XC = XB + CB Sen(AZBC)
YD = YC + CD Cos(AZCD) YA = YD + AD Cos(AZDA)XD = XC + CD Sen(AZCD) XA = XD + AD Sen(AZDA)
VERTICE NORTE (m) Xi ESTE (m) Yi
A 8 502 400.000 180 000.000B 8 501 688.912 181 653.588C 8 504 536.174 182 978.415D 8 505 498.807 181 789.097A 8 502 399.988 179 999.994
AJUSTE DE UN POLIGONO
METODO TOPOGRAFICO
C=Q+B−3 A+3C=20+1−18+3
C=6
I1 = 90.5200g – 30cc D1 = 41.0010g – 30cc V1 = 68.4880g – 30cc
I2 = 104.7269g – 6cc D2 = 53.3590g – 6cc V2 = 41.9160g – 7cc
I3 = 63.5020g + 22cc D3 = 84.3718g + 22cc V3 = 52.1195g + 23cc
I4 = 86.2500g – 18cc D4 = 60.5590g – 18cc V4 = 53.1965g – 19cc
I5 = 54.9900g + 19cc D5 = 59.6453g + 19cc V5 = 85.3590g + 19cc
Condiciones Geométricas
I1 + D1 + V1 = 200g I2 + D2 + V2 = 200g I3 + D3 + V3 = 200g
200.0090 ≠ 200 200.0019 ≠ 200 199.9933 ≠ 200
Error=903
=30 Error=193
=6.3 Error=673
=22.3
I4 + D4 + V5 = 200g I5 + D5 + V5 = 200g
200.0055 ≠ 200 199.9943 ≠ 200
Error=553
=18.3 Error=573
=19
Ángulos corregidos por triángulos
I1 = 90.5170g + 25cc D1 = 40.9980g – 12cc V1 = 68.4880g – 13cc
I2 = 104.7263g + 25cc D2 = 53.3584g – 12cc V2 = 41.9160g – 13cc
I3 = 63.5042g + 25cc D3 = 84.3740g – 12cc V3 = 52.1195g – 13cc
I4 = 86.2482g + 25cc D4 = 60.5572g – 12cc V4 = 53.1965g – 13cc
I5 = 54.9919g + 24cc D5 = 59.6472g – 12cc V5 = 85.3590g – 12cc
I1 + I2 + I3 + I4 + I5 = 400g
399.9876 ≠ 400Error=24.8≈25
Ángulos corregidos geométricamente
I1 = 90.5195g D1 = 40.9980g – 21cc V1 = 68.4880g + 21cc
I2 = 104.7288g D2 = 53.3584g – 21cc V2 = 41.9160g + 21cc
I3 = 63.5067g D3 = 84.3740g – 21cc V3 = 52.1195g + 21cc
I4 = 86.2507g D4 = 60.5572g – 21cc V4 = 53.1965g + 21cc
I5 = 54.9943g D5 = 59.6472g – 21cc V5 = 85.3590g + 21cc
Condición trigonométrica
AFsin V 1
= BFsin D1
; BF
sin V 2= CF
sin D 2 ;
CFsin V 3
= DFsin D 3
; DF
sin V 4= EF
sin D 4 ;
EFsin V 5
= AFsin D 5
Multiplicando miembro a miembro y luego simplificando
1= sinV 1 sin V 2 sin V 3 sin V 4 sin V 5sin D 1sin D 2 sin D3 sin D 4 sin D 5
=∆ ecuación de la condición
trigonométrica
∆= 0.2839194460.2839940229
= 0.9997373995
∑ cot D i=3.930618993 ∑ cotV i=3.906708674
ecc= ∆−1
∑ cot D i+∆ x∑ cotV ix 636620=−0.0021≈−21cc
Ángulos finales
I1 = 90.5195g D1 = 40.9947g V1 = 68.4858g I2 = 104.7288g D2 = 53.3551g V2 = 41.9161g I3 = 63.5067g D3 = 84.3707g V3 = 52.1226g I4 = 86.2507g D4 = 60.5539g V4 = 53.1954g I5 = 54.9943g D5 = 59.6439g V5 = 85.3619g
EJERCICIO
α1 = 45° 25I 14II + 2II α2 = 44° 10I 59II + 2 II α3 = 50° 14I 35II + 2II
α4 = 40° 09I 12II + 2II α5 = 40° 55I 59II - 2 II α6 = 48° 40I 22II - 2II
α7 = 43° 18I 47II - 2II α8 = 47° 05I 08II - 2 II
I1 = 57° 53I 15II - 8II D1 = 71° 41I 03II - 9II V1 = 50° 26I 08II - 9II I2 = 40° 30I 34II + 2II D2 = 76° 13I 15II + 1II V2 = 63° 16I 07II + 1II I3 = 46° 26I 15II - 1II D3 = 60° 04I 36II - 2II V3 = 73° 29I 14II - 2II I4 = 78° 20I 34II - 1II D4 = 34° 50I 00II - 2II V4 = 66° 49I 31II - 2II I5 = 80° 56I 42II - 1II D5 = 57° 06I 04II - 1II V5 = 41° 57I 17II - 1II I6 = 55° 53I 15II - 11II D6 = 65° 10I 23II - 11II V6 = 58° 56I 55II - 11II
β1 = 83° 23I 18II – 3II β2 = 70° 31I 20II – 3II β3 = 26° 05I 31II – 3II
β4 = 29° 57I 43II + 2II β5 = 68° 49I 37II + 2II β6 = 81° 12I 35II + 1II
Correccion del cuadrilátero
Condición geométrica
α1 + α2 = α5 + α6 α3 + α4 = α7 + α8
89° 36I 13II ≠ 89° 36I 21II 90° 23I 47II ≠ 90° 23I 55II
Error=8 II Error=8 II
84=2
84=2
Ángulos corregidos
α1 = 45° 25I 16II - 2II α2 = 44° 11I 01II - 2 II α3 = 50° 14I 37II - 2II
α4 = 40° 09I 14II - 2II α5 = 40° 55I 57II - 2 II α6 = 48° 40I 20II - 2II
α7 = 43° 18I 45II - 2II α8 = 47° 05I 06II - 2 II
α1 + α2 + α3 + α4 + α5 + α6 + α7 + α8 = 360°360° 00I 16II ≠ 360Error = 16II
168
=2
Ángulos corregidos
α1 = 45° 25I 14II α2 = 44° 10I 59II α3 = 50° 14I 35II α4 = 40° 09I 12II α5 = 40° 55I 55II α6 = 48° 40I 18II α7 = 43° 18I 43II α8 = 47° 05I 04II
Condición trigonométrica
∆= sin α 1sin α 3 sin α 5 sin α 7sin α 2 sin α 4 sin α 6 sin α 8
=0.24609151360.2471608792
∆=0.9956734028∑ cot D i=4.023389736 ∑ cotV i=4.031185769
eII= ∆−1
∑ cot Di+∆ x∑ cot V ix206265=−111.037
Ángulos finales corregidos
α1 = 45° 27I 05II α2 = 44° 09I 08II α3 = 50° 16I 26II α4 = 40° 07I 21II α5 = 40° 57I 46II α6 = 48° 38I 27II α7 = 43° 20I 34II α8 = 47° 03I 13II
Calculo de distancias
ABsin α 5
= BCsin α 8
→ AB=1329.890m
BCsin α 3
= CDsin α 6
→CD=1307.615m
ABsin α 2
= ADsin α 7
→ AD=1182.419m
ADsin α 4
= CDsin α 1
→CD=1307.613m
Corrección del Polígono
I1 = 57° 53I 15II - 8II D1 = 71° 41I 03II - 9II V1 = 50° 26I 08II - 9II I2 = 40° 30I 34II + 2II D2 = 76° 13I 15II + 1II V2 = 63° 16I 07II + 1II I3 = 46° 26I 15II - 1II D3 = 60° 04I 36II - 2II V3 = 73° 29I 14II - 2II I4 = 78° 20I 34II - 1II D4 = 34° 50I 00II - 2II V4 = 66° 49I 31II - 2II I5 = 80° 56I 42II - 1II D5 = 57° 06I 04II - 1II V5 = 41° 57I 17II - 1II I6 = 55° 53I 15II - 11II D6 = 65° 10I 23II - 11II V6 = 58° 56I 55II - 11II
Condiciones geométricas
I1 + D1 + V1 = 180° I2 + D2 + V2 = 180° I3 + D3 + V3 = 180°180° 00I 26II ≠ 180° 179° 59I 56II ≠ 180° 180° 00I 05II ≠ 180°
Error=263
=8.6 Error=43=1.3 Error=5
3=1.6
I4 + D4 + V5 = 180° I5 + D5 + V5 = 180° I6 + D6 + V6 = 180°180° 00I 05II ≠ 180° 180° 00I 03II ≠ 180° 180° 00I 33II ≠ 180°
Error=53=1.6 Error=3
3=1 Error=33
3=11
Angulos corregidos por triangulos
I1 = 57° 53I 07II - 2II D1 = 71° 40I 54II + 1II V1 = 50° 25I 59II + 1II I2 = 40° 30I 36II - 3II D2 = 76° 13I 16II + 2II V2 = 63° 16I 08II + 1II I3 = 46° 26I 14II - 2II D3 = 60° 04I 34II + 1II V3 = 73° 29I 12II + 1II I4 = 78° 20I 33II - 3II D4 = 34° 49I 58II + 1II V4 = 66° 49I 29II + 2II I5 = 80° 56I 41II - 2II D5 = 57° 06I 03II + 1II V5 = 41° 57I 16II + 1II I6 = 55° 53I 04II - 3II D6 = 65° 10I 12II + 2II V6 = 58° 56I 44II + 1II
I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 = 3600
360° 00I 15II ≠ 360Error = 15II
156
=2.5≈3
Angulos corregidos por vertices
I1 = 57° 53I 05II D1 = 71° 40I 55II - 20II V1 = 50° 26I 00II + 20II
I2 = 40° 30I 33II D2 = 76° 13I 18II - 20II V2 = 63° 16I 09II + 20II
I3 = 46° 26I 12II D3 = 60° 04I 35II - 20II V3 = 73° 29I 13II + 20II
I4 = 78° 20I 30II D4 = 34° 49I 59II - 20II V4 = 66° 49I 31II + 20II I5 = 80° 56I 39II D5 = 57° 06I 04II - 20II V5 = 41° 57I 17II + 20II
I6 = 55° 53I 01II D6 = 65° 10I 14II - 20II V6 = 58° 56I 45II + 20II
condicion trigonometrica
∆= sin V 1 sin V 2sin V 3 sin V 4 sin V 5 sin V 6sin D1 sin D 2sin D 3 sin D 4 sin D 5 sin D6
=0.34755269110.3478103017
∆=0.9992593361∑ cot D i=3.698496404 ∑ cotV i=3.768981433
eII= ∆−1
∑ cot Di+∆ x∑ cot V ix206265=−20.466≈20
Angulos finales corregidos
I1 = 57° 53I 05II D1 = 71° 40I 35II V1 = 50° 26I 20II I2 = 40° 30I 33II D2 = 76° 12I 58II V2 = 63° 16I 29II I3 = 46° 26I 12II D3 = 60° 04I 15II V3 = 73° 29I 33II I4 = 78° 20I 30II D4 = 34° 49I 39II V4 = 66° 49I 51II I5 = 80° 56I 39II D5 = 57° 05I 44II V5 = 41° 57I 37II I6 = 55° 53I 01II D6 = 65° 09I 54II V6 = 58° 57I 05II
Calculo de distancias CD = 1307.614m
CDsin I 1
= CEsinV 1
→CE=1190.228 m.
IEsin D3
= EHsin V 3
→ EH=1210.978m
EGsin D5
= EFsin V 5
→ EF=1552.434 m
DEsin D1
=CEV 1
→CE=1190.138m
EIsin V 2
= CIsin I 2
→CI=796.061m.
EGsin V 4
= HGsin I 4
→ HG=2076.658m
EDsin V 6
= DFsin I 6
→ DF=1416.232m
Correccion de los triangulos
Condicion geometrica
β1 + β2 + β3 = 180 β4 + β5 + β6 = 180180° 00I 09II ≠ 180 179° 59I 55II ≠ 180
Error = 9II Error = 5II
93=2
53=1.67≈ 2
Angulos corregidos
β1 = 83° 23I 15II β1 = 70° 31I 17II β3 = 26° 05I 28II β4 = 29° 57I 45II β5 = 68° 49I 39II β6 = 81° 12I 36II
calculo de lados HG = 2076.658m
HGsin β3
= HJsin β1
→ HJ=4690.414m .
GJsin β6
= GKsin β5
→GK=4200.416m
GKsin β5
= JKsin β 4
→JK=2249.649m
CONCLUSION:
α1 = 45° 27I 05II α2 = 44° 09I 08II α3 = 50° 16I 26II α4 = 40° 07I 21II α5 = 40° 57I 46II α6 = 48° 38I 27II α7 = 43° 20I 34II α8 = 47° 03I 13II
I1 = 57° 53I 05II D1 = 71° 40I 35II V1 = 50° 26I 20II I2 = 40° 30I 33II D2 = 76° 12I 58II V2 = 63° 16I 29II I3 = 46° 26I 12II D3 = 60° 04I 15II V3 = 73° 29I 33II I4 = 78° 20I 30II D4 = 34° 49I 39II V4 = 66° 49I 51II I5 = 80° 56I 39II D5 = 57° 05I 44II V5 = 41° 57I 37II I6 = 55° 53I 01II D6 = 65° 09I 54II V6 = 58° 57I 05II
β1 = 83° 23I 15II β1 = 70° 31I 17II β3 = 26° 05I 28II β4 = 29° 57I 45II β5 = 68° 49I 39II β6 = 81° 12I 36II
LADOS:
HJ=4690.414m GJ=4451.576m GK=4200.416mJK=2249.649m HG=2076.658m DF=1416.232mCI=796.061m. CE=1190.138 m EH=1210.978mEF=1552.434m CE=1190.228 m. AD=1182.419mCD=1307.613m AB=1329.890m CD=1307.615m
Cálculos de azimut.- Estos cálculos se hicieron por la regla de la nemónica.
AZAB = 25° 00I 00II AZBC = 135° 00I 59II AZCD = 211° 55I 52II AZAD = 297° 30I 18II AZCI = 76° 58I 48II AZIH = 107° 16I 17II AZHG = 160° 22I 11II
AZGF = 263° 34I 55II AZFD = 327° 32I 26II AZCE = 320° 15I 17II
AZHJ = 89° 50I 54II AZJK = 182° 23I 54II
Calculo de coordenadas
XA = 170 000m YA = 8 500 700m
YB = YA + AB Cos(AZAB) YB = 8 501 787.569mXB = XA + AB Sen(AZAB) XB = 170 507.142m
XC = XB + BC Sen(AZBC) YC = 8 501 263.679mYC = YB + BC Cos(AZBC) XC = 171 740.367m
YD = YC + CD Cos(AZCD) YD = 8 500 153.928mXD = XC + CD Sen(AZCD) XD = 171 048.771m
YE = YC + CE Cos(AZCE) YE = 8 502 178.839mXE = XC + CE Sen(AZCE) XE = 170 979.510m
YI = YC + CI Cos(AZCI) YI = 8 501 443.025mXI = XC + CI Sen(AZCI) XI = 172 515.962m
XH = XI + IH Sen(AZIH) YH = 8 501 171.300mYH = YI + IH Cos(AZIH) XH = 173 389.908m
YG = YH + HG Cos(AZHG) YG = 8 499 215.337mXG = XH + HG Sen(AZHG) XG = 174 087.560m
YF = YG + FG Cos(AZFG) YF = 8 498 959.029mXF = XG + FG Sen(AZFG) XF = 171 809.007m
XJ = XH + HJ Sen(AZHJ) YJ = 8 501 183.716mYJ = YH + HJ Cos(AZHJ) XJ = 178 080.306m
YK = YJ + JK Cos(AZJK) YK = 8 498 936.037mXK = XJ + JK Sen(AZJK) XK = 177 986.165m
PUNTO NORTE ESTEA 8 500 700.000m 170 000.000mB 8 501 787.569m 170 507.142mC 8 501 263.679m 171 740.367mD 8 500 153.928m 171 048.771mE 8 502 178.839m 170 979.510mF 8 498 959.029m 171 809.007mG 8 499 215.337m 174 087.560mH 8 501 171.300m 173 389.908mI 8 501 443.025m 172 515.962mJ 8 501 183.716m 177 986.165mK 8 498 936.037m 178 080.306mA 8 500 700.000m 170 507.142m
COMPENSACION DE TRIANGULOS
α1 = 63° 11I 14II + 1II α4 = 69° 52I 46II + 3II α7 = 64° 57I 41II + 2II
α2 = 60° 47I 43II + 1II α5 = 61° 54I 25II + 3II α8 = 63° 43I 25II + 1II
α3 = 56° 01I 00II + 1II α6 = 48° 12I 41II + 2II α9 = 51° 18I 50II + 1II
∑ ¿ 179° 59I 57II ∑ ¿ 179° 59I 52II ∑ ¿ 179° 59I 56II
Error = 3 Error = 8 Error = 4
Condición trigonométrica
CAMINO I
BCsin α 1
= ACsin α 1
AD=BC sin α 1sin α 4sin α 2 sin α 6
…………… I
ACsin α 6
= ADsin α 4
CAMIINO II
DEsin α 9
= CDsin α 8
AD=DE sin α 4 sin α 8sin α 9sin α 5
…………… II
CDsin α 5
= ADsin α 4
De I y II se tiene:
1= BC sin α 1sin α 5sin α 9DE sin α 2sin α 6 sin α 8
=∆
eII= log ∆
∑ δi FORMULA NUEVA
δ 1=10.6415 x10−7 δ 2=11.7994 x 10−7 δ 5=11.2387 x 10−7
δ 6=18.8176 x 10−7 δ 8=10.3952 x10−7 δ 9=16.8598 x10−7
∑ δi=79.722 x10−7
eII=7.1323x 10−6
7.9722x 10−6 =0.89 II
Esta corrección restamos a α1, α5, α9, y sumamos a α2, α6, α8
Ángulos corregidos
α1 = 63° 11I 14II α4 = 69° 52I 49II α7 = 64° 57I 43II α2 = 60° 47I 45II α5 = 61° 54I 27II α8 = 63° 43I 27II α3 = 56° 01I 01II α6 = 48° 12I 44II α9 = 51° 18I 50II
Calculo de lados
AD=388.918sin α 1 sin α 4sin α 2 sin α 6
=500.771m
AD=409.573sin α 4 sin α 8sin α 9 sin α 5
=500.772m
NIVELACION GEOMETRICA
Es el proceso de mediante el cual se determina la altitud de un punto respecto a un plano horizontal de referencia.
La nivelación geométrica o por alturas se realiza con los niveles; estos instrumentos tienen como único función poder hacer visuales horizontales. Actualmente podemos encontrar en el mercado dos tipos de niveles, los analógicos automáticos y los electrónicos automáticos. En los primeros leemos a una mira analógica mientras que los segundos leen en mira de código de barras.
Los electrónicos tienen dos principios de funcionamiento, el de correlación y el basado en las transformadas de Fourier. El principio de correlación se basa en una pequeña base de datos en el instrumento que compara lo que lee en la mira con lo que él tiene grabado, obteniendo la altura. Los que se basan en el principio de Fourier pasa la imagen al dominio de la frecuencia para darnos la altura de mira.
Aplicación
CIRCUITO LADO
DISTACIA CICLO I
Km % DESNIVEL
CORRECCION
DESNIVEL CORREGID
O
A B F A I
AB 3.7 35 -3.365 -0.004 -3.369BF 2.2 20 -5.039 -0.002 -5.041FA 4.8 45 8.415 -0.005 8.41
∑ 10.7 100 0.011 -0.011 0
B C F B II
BC 3 39 -0.871 -0.005 -0.876CF 2.5 32 -4.158 -0.004 -4.162FB 2.2 29 5.041 -0.003 5.038
∑ 7.7 100 0.012 -0.012 0
C D F C III
CD 2.9 36 -8.429 0.002 -8.427DF 2.6 33 4.263 0.001 4.264FC 2.5 31 4.162 0.001 4.163
∑ 8 100 -0.004 0.004 0
D E F D IV
DE 5.2 49 9.948 0.006 9.954EF 3 27 -5.696 0.003 -5.693FD 2.6 24 -4.264 0.003 -4.261
∑ 10.8 100 -0.012 0.012 0
E A F E V
EA 2.8 27 2.704 0.003 2.707AF 4.8 45 -8.41 0.006 -8.404FE 3 28 5.693 0.004 5.697
∑ 10.6 100 -0.013 0.013 0
A B C D E A VI
AB 3.7 21 -3.369 0.002 -3.367BC 3 17 -0.876 0.002 -0.874CD 2.9 16 -8.427 0.002 -8.425DE 5.2 30 9.54 0.003 9.425EA 2.8 20 2.707 0.002 2.709
∑ 17.6 104 -0.425 0.011 -0.532
AJUSTE GEODESICO
AJUSTE DE ANGULO HORIZONTAL:
-Mínimos cuadrados
El método de los mínimos cuadrados es adecuado para ajustar cualquier de los tipos básicos de mediciones, y es aplicable a todos los procedimientos empleados comúnmente en topografía. El método refuerza as condición de que la suma de la ponderación de las mediciones, multiplicada por sus residuos correspondientes
elevados al cuadrado, se minimiza. Esta condición fundamental, que se desarrolla a partir de la ecuación de la curva de distribución del error normal, proporciona los valores más probables para las cantidades ajustadas.
-Matrices
POR:-REITERACION: Se toma como origen en cero grados cualesquier línea, como en el método simple, se gira hasta el lado con el cual se define el ángulo por medir y se regresa a la línea de origen. Pero no se coloca en cero grados, sino en la lectura que se haya tenido al medir. Se repetidos, tres o más veces esta operación y, como los valores se han ido acumulando (en la segunda ocasión aproximadamente el doble, en la tercera cerca del triple, etc.), el valor angular de la última observación se divide entre el número de veces que se hizo la repetición y el resultado o cociente será el valor angular correspondiente (regularmente se hacen tres repeticiones y como máximo en cuatro ya que la fricción del limbo puede arrastrar su graduación y con ello perdería precisión nuestra lectura).
-REPETICION: A diferencia del método anterior, el origen se toma arbitrariamente en una lectura cualquiera definida de antemano, a fin de ratificar los valores encontrados compararlos y de ser necesario, promediarlos para lograr mejores valores. El procedimiento consiste en fijar primero el número de reiteraciones que desean hacerse; en seguida se divide la circunferencia (400g) entre las reiteraciones y el cociente dará la diferencia de origen que deberá tener cada ángulo.
EjemploSe requieren hacer reiteraciones y, por tanto, se divide 400/4 = 100. En consecuencia, los orígenes serán: 0g, 100g, 200g y 300g. Ángulo
-BESSELL
Precisión de equipo=0.001’’
En la figura los ángulos por reiteración son:
X=20°31’37.7’’
Y=80°46’28.5’’
Z=258°41’43.5’’
∑=359°59’49.5’’
Error por de defecto 10.5’’
METODO POR MINIMOS CUADRADOS
1°.-Formando la ecuación de observación:
X=20°31’37.7’’+V1------------------- (a)
Y=80°46’28.5’’+V2------------------ (b)
Z=258°41’43.5’’+V3.------------------- (c)
2°.-Escribamos una expresión que imponga las condiciones de que los tres ángulos ajustados suman 360°/400g
X+Y+Z=360°---------------------- (d)
3°.-Sustituyendo las ecuaciones a, b y c en (d)
20°31’37.7’’+V1+80°46’28.5’’+V2+258°41’43.5’’+V3=360°
359°59’49.5’’+V1+V2+V3=360°
Haciendo que V1 y V2 sean variables independientes i V3 variable dependiente
V3=10.5’’- V1-V2--------------------- (e)
4°.-Formando la función ∑V2→ σ = (√∑V2/n-1) que contiene las 3 residuos, pero independiente solo a la variable independientes.
∑V2=V12+V2
2+ (10.5’’- V1-V2)2---------------------- (f)
5°.-Derivando parcialmente el ecu. F con respecto a V1 i V2
∂∑V 2
∂V 1
=2V 1+2 (10.5' '−V 2−V 1 ) (−1 )=0
4V1+2V2=21’’------------------------- (g)
∂∑V 2
∂V 2
=2V 2+2 (10.5' '−V 2−V 1 ) (−1 )=0
4V2+2V1=21’’---------------------------------- (h)
6°.-Resolviendo el ecu. (g) i (h)
V1=3.5’’
V2=3.5’’
7°.-Sustituyendo V1 i V2 en la ecuación (e)
V3=10.5-V1-V2
V3=3.5’’
8°.-Finalmente sustituyendo los residuos en la ecuación a, b i c
X=20°31’37.7’’+3.5’’
Y=80°46’28.5’’+3.5’’
Z=258°41’43.5’’+3.5’’
∑=360°
360°-258°41’47’’=101°18’13’’
1°METODO POR MINIMO CUADRADOS PONDERADO
1°.-Formando la ecuación de observación:
X=20°31’37.7’’+V1------------------- (a)
Y=80°46’28.5’’+V2------------------ (b)
101°18’13’’
Z=258°41’43.5’’+V3.------------------- (c)
2°.-Escribamos una expresión que imponga las condiciones de que los tres ángulos ajustados suman 360°/400g
X+Y+Z=360°---------------------- (d)
3°.-Sustituyendo las ecuaciones a, b y c en (d)
20°31’37.7’’+V1+80°46’28.5’’+V2+258°41’43.5’’+V3=360°
359°59’49.5’’+V1+V2+V3=360°
Haciendo que V1 y V2 sean variables independientes i V3 variable dependiente
V3=10.5’’- V1-V2--------------------- (e)
4°.-En esta etapa interviene el peso
∑wV2
∑i=1
n
wi v i2=w1 v1
2+w2 v22+w3 v3
2+…+wn vn2
∑i=1
n
wi v i2=1v1
2+2v22+3 (10.5' '−v1−v2)
2
5°.-Derivando con respecto con respecto a V1 i V2 e igualando a cero
∂∑V 2
∂V 2
=2V 1+6 (10.5' '−V 2−V 1 ) (−1 )=0
8V1+6V2=63’’------------------------- (g)
∂∑V 2
∂V 2
=4V 2+6 (10.5' '−V 2−V 1 ) (−1 )=0
10V2+6V1=63’’---------------------------------- (h)
6°.-Resolviendo el ecu. (g) i (h)
V1=5.7272’’
V2=2.8636’’
7°.-Sustituyendo V1 i V2 en la ecuación (e)
V3=10.5-V1-V2
V3=1.91’’
8°.-Finalmente sustituyendo los residuos en la ecuación a, b i c
X=20°31’37.7’’+5.7272’’
Y=80°46’28.5’’+2.8636’’
Z=258°41’43.5’’+1.91’’
∑=360°
360°-258°41’45.41’’=101°18’14.59’’
2° METODO POR MINIMOS CUADRADOS SIN PONDERAR
Z=101°18’16.5’’
=101°18’06’’
Error=10.5’’
X+Y=101°18’16.5’’--------------------------- (a)
X=20°31’37.5’’----------------------------- (b)
Y=80°46’28.5’’------------------------- (c)
1°.-Las ecuaciones de observación son:
X+Y=101°18’16.5’’+V1 → V 12=(X+Y −101° 18' 16.5 ' ' )2------- (d)
X=20°31’37.5’’+V2 → V 22=(X−20 °31' 37.5)2--------------- (e)
Y=80°46’28.5’’+V3 → V 32=(Y−80∨46' 28.5 ' ')2----------- (f)
2°.-Formando la función ∑V2→ σ = (√∑V2/n-1)
∑i=1
n
v2=(x+ y−101° 18' 16.5 ' ' )2+(x−20 °31' 37.5' ')2+( y−80 ° 46' 28.5 ' ')2
3°.-Derivando parcialmente con respecto a X i Y imponiendo a cero
∂∑V 2
∂ X=2(x+ y−101 °18' 16.5' ' )+2 (x−20° 31' 37.5 ' ' )
4X+2Y=243°39’48’’------------------------- (g)
∂∑V 2
∂ y=2(x+ y−101 °18' 16.5' ' )+2 ( y−80 ° 46' 28.5 ' ' )
4Y+2X=364°09’30’’------------------------- (h)
4° Resolviendo (g) y (h)
4X+2Y=243.66333
4Y+2X=364.15833
101°18’14.58’’
X=20°31’41’’
Y=80°46’32’’
5°.-Los residuos se puede calcular ahora sustituyendo X e Y en la ecuación de observación original (d), (e) y (f)
V1=X+Y-101°18’16.5’’=20°31’41’’+80°46’32’’-101°18’16.5’’ =-3.5’’
V2=20°31’41’’-20°31’37.5’’=3.5’’
V3=Y-80°46’28.5’’=80°46’32’’-80°46’28.5’’=3.5’’
6°.- Comprobando en la ecuación a, b y c.
X+Y=101°18’16.5’’+V1=101°18’16.5’’-3.5’’=101°18’13’’
X=20°31’37.5’’+V2=20°31’37.5’’=20°31’41’’
Y=80°46’28.5’’+V3=80°46’28.5’’+3.5’’=80°46’32’’
TERCER METODO POR MATRICES
X= (A T A) -1 A T L (Sin ponderar)
X= (A T WA) -1 A T WL (Ponderado )
1°.-ECUACION DE OBSEVACION
PESOS
1X+1Y=101°18’16.5’’+V1--------------------- (3)
1X+0=20°31’37.5’’+V2-------------------- (1)
0+1Y=80°46’28.5’’+V3-------------------- (2)
LECTURA
A=[1 11 00 1]
W=[3 0 00 1 00 0 2]
L=[101.304583320.5270833380.77458333]
101°18’13’’
101°18’13’’
K=[XY ]V=A∗K−L
Resolviendo
k= x=20.52867422=20° 31' 43.23 ' 'y=80.77537878=80 ° 46' 31.36 ' '
X+Y=101°18’14.59’’
Calcular de los residuos
V=A*K-L
K=[20.5286742280.77537878]
V2=1.59089*10-3=5.72’’
V1=-5.303*10-4=-1.91’’
V3=7.954*10-4=2.86’’
COMPROBANDO
X+Y=101°18’16.5’’+V1
101°18’14.59’’=101°18’16.5-1.91’’
101°18’14.59’’
EJERCICIO DE AJUSTE GEODESICO
Ajuste de vértice A
En la fig. los ángulos medidos por reiteración son:
X=64.307283
Y=40.99888667
Z=294.697367
∑=400.0035
Error por defecto=35cc
POR METODO MINIMOS CUADRADOS
1°.-Formanado las ecuaciones de observación
X=64.307283+V1------------------------------- (a)
Y=40.99888667+V2--------------------------- (b)
Z=294.697367+V3-------------------------- (c)
2°.-Escribamos una expresión que imponga las condiciones de que los tres ángulos ajustados suman 360°/400g
X+Y+Z=400g---------------------- (d)
3°.-Sustituyendo las ecuaciones a, b y c en (d)
64.307283+V1+40.99888667+V2+294.697367+V3=400g
400.0035g+V1+V2+V3=400g
Haciendo que V1 y V2 sean variables independientes i V3 variable dependiente
V3=-35cc- V1-V2--------------------- (e)
4°Formando la función ∑V2→ σ = (√∑V2/n-1) que contiene las 3 residuos, pero independiente solo a la variable independientes.
∑V2=V12+V2
2+ (-35cc- V1-V2)2---------------------- (f)
5°.-Derivando parcialmente el ecu. F con respecto a V1 i V2
∂∑V 2
∂V 1
=2V 1+2 (−35cc−V 2−V 1) (−1 )=0
4V1+2V2=-70cc------------------------- (g)
∂∑V 2
∂V 2
=2V 2+2 (−35cc−V 2−V 1 ) (−1 )=0
4V2+2V1=-70cc---------------------------------- (h)
6°.-Resolviendo el ecu. (g) i (h)
V1=-1.667cc
V2=-1.667cc
7°.-Sustituyendo V1 i V2 en la ecuación (e)
V3=-35cc-V1-V2
V3=-1.667cc
8°.- Finalmente sustituyendo los residuos en la ecuación a, b i c
X=64.307283-1.667cc=64.3061166
Y=40.99888667-1.667cc=40.99770
Z=294.697367-1.667 cc =294.6962003
∑=400g
400g-294.6962003g=105.3038
POR METODO MINIMOS CUADRADOS PONDERANDO
1°.-Formanado las ecuaciones de observación
X=64.307283+V1------------------------------- (a)
105.3038
Y=40.99888667+V2--------------------------- (b)
Z=294.697367+V3-------------------------- (c)
2°.-Escribamos una expresión que imponga las condiciones de que los tres ángulos ajustados suman 360°/400g
X+Y+Z=400g---------------------- (d)
3°.-Sustituyendo las ecuaciones a, b y c en (d)
64.307283+V1+40.99888667+V2+294.697367+V3=400g
400.0035g+V1+V2+V3=400g
Haciendo que V1 y V2 sean variables independientes i V3 variable dependiente
V3=-35cc- V1-V2--------------------- (e)
4°.-En esta etapa interviene el peso
∑wV2
∑i=1
n
wi v i2=w1 v1
2+w2 v22+w3 v3
2+…+wn vn2
∑i=1
n
wi v i2=1v1
2+2v22+3 (−35cc−v1−v2)
2
5°.-Derivando con respecto con respecto a V1 i V2 e igualando a cero
∂∑V 2
∂V 2
=2V 1+6 (−35cc−V 2−V 1) (−1 )=0
8V1+6V2=-210cc------------------------- (g)
∂∑V 2
∂V 2
=4V 2+6 (−35cc−V 2−V 1) (−1 )=0
10V2+6V1=-210cc---------------------------------- (h)
6°.-Resolviendo el ecu. (g) i (h)
V1=-19.090909cc
V2=-19.090909cc
7°.-Sustituyendo V1 i V2 en la ecuación (e)
V3=-35cc-V1-V2
V3=-6.363637cc
8°.-Finalmente sustituyendo los residuos en la ecuación a, b i c
X=64.307283-19.090909cc=64.30537420g
Y=40.99888667-19.09090909cc=40.99791215g
Z=294.697367-6.363637 cc =294.696730
∑=400g
400g-294.696730g=105.30327
POR METODO MINIMOS CUADRADOS SIN PONDERAR
Z=105.302633
=105.306150
Error=35cc
X+Y=105.302633---------------------------------(a)
X=64.3072833-------------------------------- (b)
Y=40.9988667------------------------------- (c)
1°.-Las ecuaciones de observación son:
X+Y=105.302633+V1 → V 12=(X+Y −105.302633)2------- (d)
X=64.3072833+V2 → V 22=(X−64.3072833)2--------------- (e)
Y=40.9988667+V3 → V 32=(Y−40.9988667)2--------------- (f)
2°.-Formando la función ∑V2→ σ = (√∑V2/n-1)
∑i=1
n
v2=(x+ y−105.302633)2+(x−64.3072833)2+( y−40.9988667)2
3°.-Derivando parcialmente con respecto a X i Y imponiendo a cero
105.30327105.306150g
∂∑V 2
∂ X=2(x+ y−105.302633)+2 ( x−64.3072833 )
4X+2Y=339.219833------------------------- (g)
∂∑V 2
∂ y=2(x+ y−105.302633)+2 ( y−40.9988667 )
4Y+2X=292.602999------------------------- (h)
4° Resolviendo (g) y (h)
4X+2Y=339.219833
4Y+2X=292.602999
X=64.3061111667
Y=40.9976941667
5°.-Los residuos se puede calcular ahora sustituyendo X e Y en la ecuación de observación original (d), (e) y (f)
V1=X+Y-105.302633=105.303805333-105.302633=11.72333cc
V2=64.3061111667-64.3072833=-11.721333cc
V3=40.9976941667-40.9988667=-11.725333cc
6°.- Comprobando en la ecuación a, b y c.
X+Y=105.302633+V1=105.302633+11.72333cc =105.303805
X=64.3072833+V2=64.3072833-11.721333cc =64.3061111667
Y=40.9988667+V3=40.9988667-11.725333cc =40.9976941667
METODO MATRICIAL SIN PONDERAR
X= (A T A) -1 A T L
105.303805333
105.303805
1°.-ECUACION DE OBSEVACION
1X+1Y=105.302633+V1
1X+0=64.3072833+V2
0+1Y=40.9988667+V3
LECTURA
A=[1 11 00 1]
L=[105.30263364.307283340.9988667]K=[XY ]
V=A∗K−L
2° Resolviendo
k= x=64.3061111667y=40.9976941667
X+Y=105.303805333
3° Calcular de los residuos
K=[ 64.306111166740.9976941667 ]
Reemplazando en:
V=A*K-L
Donde:
L=[105.30263364.307283340.9988667]
A=[1 11 00 1]
V2=-11.721333cc
V1=11.72333cc
V3=-11.725333cc
4° COMPROBANDO
X+Y=105.302633+V1
105.303805333=105.302633+11.72333cc
105.303805
METODO MATRICIAL PONDERANDO
X= (A T WA) -1 A T WL
1°.-ECUACION DE OBSEVACION
PESOS
1X+1Y=105.302633+V1------------------ (3)
1X+0=64.3072833+V2-------------------- (1)
0+1Y=40.9988667+V3-------------------- (2)
LECTURA
A=[1 11 00 1]
W=[3 0 00 1 00 0 2]
L=[105.30263364.307283340.9988667]K=[XY ]
V=A∗K−L
2° Resolviendo
k= x=64.3061111667y=40.9976941667
X+Y=105.303805333
3° Calcular de los residuos
K=[64.305364936340.9979075181]
Reemplazando en:
V=A*K-L
Donde:
L=[105.30263364.307283340.9988667]
A=[1 11 00 1]
V1=63.9454cc
V2=-19.183637cc
V3=-95.91819cc
4° COMPROBANDO
X+Y=105.302633+V1
105.30327=105.302633+6.39454cc
105.30327
Ajuste del vértice B
En la fig. los ángulos medidos por reiteración son:
X=47.59885
Y=37.4070
Z=314.994817
∑=400.000667
Error por defecto=7cc
POR METODO MINIMOS CUADRADOS
1°.-Formanado las ecuaciones de observación
X=47.59885+V1------------------------------- (a)
Y=37.4070+V2-------------------------------- (b)
Z=314.994817+V3--------------------------- (c)
2°.-Escribamos una expresión que imponga las condiciones de que los tres ángulos ajustados suman 360°/400g
X+Y+Z=400g---------------------- (d)
3°.-Sustituyendo las ecuaciones a, b y c en (d)
47.59885+V1+37.4070+V2+314.994817+V3=400g
400.000667 g+V1+V2+V3=400g
Haciendo que V1 y V2 sean variables independientes i V3 variable dependiente
V3=-7cc- V1-V2--------------------- (e)
4°Formando la función ∑V2→ σ = (√∑V2/n-1) que contiene las 3 residuos, pero independiente solo a la variable independientes.
∑V2=V12+V2
2+ (-7cc- V1-V2)2---------------------- (f)
5°.-Derivando parcialmente el ecu. F con respecto a V1 i V2
∂∑V 2
∂V 1
=2V 1+2 (−7cc−V 2−V 1 ) (−1 )=0
4V1+2V2=-14cc------------------------- (g)
∂∑V 2
∂V 2
=2V 2+2 (−7cc−V 2−V 1 ) (−1 )=0
4V2+2V1=-14cc---------------------------------- (h)
6°.-Resolviendo el ecu. (g) i (h)
V1=-2.33333cc
V2=-2.33333cc
7°.-Sustituyendo V1 i V2 en la ecuación (e)
V3=-7cc-V1-V2
V3=-2.33334cc
8°.- Finalmente sustituyendo los residuos en la ecuación a, b i c
X=47.59885-2.33333cc=47.5986167
Y=37.40700-2.33333cc=37.4046667
Z=314.994817-2.33334 cc =314.9945837
∑=400g
400g-314.9945837g=85.0054
POR METODO MINIMOS CUADRADOS PONDERANDO
1°.-Formanado las ecuaciones de observación
X=47.59885+V1------------------------------- (a)
85.0054
Y=37.40700+V2--------------------------- (b)
Z=314.994817+V3-------------------------- (c)
2°.-Escribamos una expresión que imponga las condiciones de que los tres ángulos ajustados suman 360°/400g
X+Y+Z=400g---------------------- (d)
3°.-Sustituyendo las ecuaciones a, b y c en (d)
47.59885+V1+37.40700+V2+314.994817+V3=400g
400.0007g+V1+V2+V3=400g
Haciendo que V1 y V2 sean variables independientes i V3 variable dependiente
V3=-7cc- V1-V2--------------------- (e)
4°.-En esta etapa interviene el peso
∑wV2
∑i=1
n
wi v i2=w1 v1
2+w2 v22+w3 v3
2+…+wn vn2
∑i=1
n
wi v i2=1v1
2+2v22+3 (−7cc−v1−v2)
2
5°.-Derivando con respecto con respecto a V1 i V2 e igualando a cero
∂∑V 2
∂V 2
=2V 1+6 (−7cc−V 2−V 1 ) (−1 )=0
8V1+6V2=-42cc------------------------- (g)
∂∑V 2
∂V 2
=4V 2+6 (−7cc−V 2−V 1 ) (−1 )=0
10V2+6V1=-42cc---------------------------------- (h)
6°.-Resolviendo el ecu. (g) i (h)
V1=-3.81818182cc
V2=-1.90909090cc
7°.-Sustituyendo V1 i V2 en la ecuación (e)
V3=-7cc-V1-V2
V3=-1.27272728cc
8°.-Finalmente sustituyendo los residuos en la ecuación a, b i c
X=47.59885-3.81818182cc cc=47.5984681818g
85.0053
Y=37.40700-1.90909090cc =37.4068090909g
Z=314.994817-1.27272728cc=314.994689727
∑=400g
400g-314.994689727g=85.0053
POR METODO MINIMOS CUADRADOS SIN PONDERAR
Z=85.005183
=85.00585
Error=7cc
X+Y=85.005183---------------------------------(a)
X=47.59885-------------------------------- (b)
Y=37.40700------------------------------- (c)
1°.-Las ecuaciones de observación son:
X+Y=85.005183+V1 → V 12=(X+Y −85.005183)2------- (d)
X=47.59885+V2 → V 22=(X−47.59885)2--------------- (e)
Y=37.40700+V3 → V 32=(Y−37.40700)2--------------- (f)
2°.-Formando la función ∑V2→ σ = (√∑V2/n-1)
∑i=1
n
v2=(x+ y−85.005183)2+(x−47.59885)2+( y−37.40700)2
3°.-Derivando parcialmente con respecto a X i Y imponiendo a cero
∂∑V 2
∂ X=2(x+ y−85.005183)+2 ( x−47.59885 )
4X+2Y=265.208066------------------------- (g)
∂∑V 2
∂ y=2(x+ y−85.005183)+2 ( y−37.40700 )
4Y+2X=244.82436------------------------- (h)
4° Resolviendo (g) y (h)
4X+2Y=265.208066
4Y+2X=244.82436
X=47.5986286667
Y=37.4067756667
5°.-Los residuos se puede calcular ahora sustituyendo X e Y en la ecuación de observación original (d), (e) y (f)
V1=X+Y-85.005183=85.0054-85.005183=2.17cc
V2=47.5986286667-47.59885=-2.213cc
V3=37.4067756667-37.40700=-2.243cc
6°.- Comprobando en la ecuación a, b y c.
X+Y=85.005183+V1=85.005183+2.17cc =85.0054
X=47.59885+V2=47.59885-2.213cc =47.5986287
85.005183g
85.0054
85.0054
Y=37.40700+V3=37.40700-2.243cc =37.4067757
METODO MATRICIAL SIN PONDERAR
X= (A T A) -1 A T L
1°.-ECUACION DE OBSEVACION
1X+1Y=85.005183+V1
1X+0=47.59885+V2
0+1Y=37.40700+V3
LECTURA
A=[1 11 00 1]
L=[85.00518347.5988537.40700 ]
K=[XY ]V=A∗K−L
2° Resolviendo
k=x=47.5986276668y=37.407776668
X+Y=85.0064043348
3° Calcular de los residuos
K=[47.598627666837.407776668 ]
Reemplazando en:
V=A*K-L
Donde:
A=[1 11 00 1]
L=[85.00518347.5988537.40700 ]
V2=-2.2233cc
V1=12.213348cc
V3=7.76668cc
4° COMPROBANDO
X+Y=85.005183+V1
X+Y=85.0064043348=85.005183+12.213348cc
85.0064043348
METODO MATRICIAL PONDERANDO
X= (A T WA) -1 A T WL
1°.-ECUACION DE OBSEVACION
PESOS
1X+1Y=85.005183+V1------------------ (3)
1X+0=47.59885+V2-------------------- (1)
0+1Y=37.40700+V3-------------------- (2)
LECTURA
A=[1 11 00 1]
W=[3 0 00 1 00 0 2]
L=[85.00518347.5988537.40700 ]
K=[XY ]V=A∗K−L
2° Resolviendo
k= x=47.598464545y=37.4068182272
X+Y=85.0052827722
3° Calcular de los residuos
K=[47.59846454537.406818227]
Reemplazando en:
V=A*K-L
Donde:
L=[85.00518347.5988537.40700 ]
A=[1 11 00 1]
V1=0.997722cc
V2=-3.85455cc
V3=-1.817728cc
4° COMPROBANDO
X+Y=85.005183+V1
85.0052827722=85.005183+0.997722cc
85.0052827722
AJUSTE DEL VERTICE D
En la fig. los ángulos medidos por reiteración son:
X=47.0886167
Y=23.5822833
Z=329.3304
∑=400.0013
Error por defecto=13cc
POR METODO MINIMOS CUADRADOS
1°.-Formanado las ecuaciones de observación
X=47.0886167+V1------------------------------- (a)
Y=23.5822833+V2-------------------------------- (b)
Z=329.3304+V3--------------------------- (c)
2°.-Escribamos una expresión que imponga las condiciones de que los tres ángulos ajustados suman 360°/400g
X+Y+Z=400g---------------------- (d)
3°.-Sustituyendo las ecuaciones a, b y c en (d)
47.0886167+V1+23.5822833+V2+329.3304+V3=400g
400.0013 g+V1+V2+V3=400g
Haciendo que V1 y V2 sean variables independientes i V3 variable dependiente
V3=-13cc- V1-V2--------------------- (e)
4°Formando la función ∑V2→ σ = (√∑V2/n-1) que contiene las 3 residuos, pero independiente solo a la variable independientes.
∑V2=V12+V2
2+ (-13cc- V1-V2)2---------------------- (f)
5°.-Derivando parcialmente el ecu. F con respecto a V1 i V2
∂∑V 2
∂V 1
=2V 1+2 (−13cc−V 2−V 1) (−1 )=0
4V1+2V2=-26cc------------------------- (g)
∂∑V 2
∂V 2
=2V 2+2 (−13cc−V 2−V 1 ) (−1 )=0
4V2+2V1=-26cc---------------------------------- (h)
6°.-Resolviendo el ecu. (g) i (h)
V1=-4.33333cc
V2=-4.33333cc
7°.-Sustituyendo V1 i V2 en la ecuación (e)
V3=-13cc-V1-V2
V3=-4.33334cc
8°.- Finalmente sustituyendo los residuos en la ecuación a, b i c
X=47.0886167-4.33333cc=47.0881834
Y=23.5822833-4.33333cc=23.581850
Z=329.3304-4.33334 cc =329.3299667
∑=400g
400g-329.3299667g=70.670033
POR METODO MINIMOS CUADRADOS PONDERANDO
1°.-Formanado las ecuaciones de observación
70.670033
X=47.0886167+V1---------------------------- (a)
Y=23.5822833+V2--------------------------- (b)
Z=329.3304+V3------------------------------- (c)
2°.-Escribamos una expresión que imponga las condiciones de que los tres ángulos ajustados suman 360°/400g
X+Y+Z=400g---------------------- (d)
3°.-Sustituyendo las ecuaciones a, b y c en (d)
47.0886167+V1+23.5822833+V2+329.3304+V3=400g
400.0013 g+V1+V2+V3=400g
Haciendo que V1 y V2 sean variables independientes i V3 variable dependiente
V3=-13cc- V1-V2--------------------- (e)
4°.-En esta etapa interviene el peso
∑wV2
∑i=1
n
wi v i2=w1 v1
2+w2 v22+w3 v3
2+…+wn vn2
∑i=1
n
wi v i2=1v1
2+2v22+3 (−13cc−v1−v2)
2
5°.-Derivando con respecto con respecto a V1 i V2 e igualando a cero
∂∑V 2
∂V 2
=2V 1+6 (−13cc−V 2−V 1) (−1 )=0
8V1+6V2=-78cc------------------------- (g)
∂∑V 2
∂V 2
=4V 2+6 (−13cc−V 2−V 1) (−1 )=0
10V2+6V1=-78cc---------------------------------- (h)
6°.-Resolviendo el ecu. (g) i (h)
V1=-7.090909cc
V2=-3.545454cc
7°.-Sustituyendo V1 i V2 en la ecuación (e)
V3=-13cc-V1-V2
V3=-2.363636cc
8°.-Finalmente sustituyendo los residuos en la ecuación a, b i c
X=47.0886167-7.090909cc=47.08790761g
Y=23.5822833-3.545454cc =23.58192876g
Z=329.3304-2.363636cc =329.330163636
∑=400g
400g-329.330163636g=70.669836
POR METODO MINIMOS CUADRADOS SIN PONDERAR
Z=70.6696g
=70.6709g
Error=13cc
X+Y=70.66960---------------------------------(a)
70.669836
X=47.0886167---------------------------- (b)
Y=23.5822833---------------------------- (c)
1°.-Las ecuaciones de observación son:
X+Y=70.66960+V1 → V 12=(X+Y −70.66960)2-------------------- (d)
X=47.0886167+V2 → V 22=(X−47.0886167)2--------------- (e)
Y=23.5822833+V3 → V 32=(Y−23.5822833)2--------------- (f)
2°.-Formando la función ∑V2→ σ = (√∑V2/n-1)
∑i=1
n
v2=(x+ y−70.66960)2+(x−47.0886167)2+( y−23.5822833)2
3°.-Derivando parcialmente con respecto a X i Y imponiendo a cero
∂∑V 2
∂ X=2(x+ y−70.66960)+2 ( x−47.0886167 )
4X+2Y=235.5164334------------------------- (g)
∂∑V 2
∂ y=2(x+ y−70.66960)+2 ( y−23.5822833 )
4Y+2X=188.50376666------------------------- (h)
4° Resolviendo (g) y (h)
4X+2Y=235.51643344
4Y+2X=188.50376666
X=47.08818337
Y=23.58184997
5°.-Los residuos se puede calcular ahora sustituyendo X e Y en la ecuación de observación original (d), (e) y (f)
V1=X+Y-70.66960=70.6700334-70.66960=4.33cc
V2=47.08818337-47.0886167=-4.33cc
V3=23.58184997-23.5822833=-4.33cc
6°.- Comprobando en la ecuación a, b y c.
X+Y=70.66960+V1=70.66960+4.33cc =70.670034
X=47.0886167+V2=47.0886167-4.33cc =47.0881837
Y=23.5822833+V3=23.5822833-4.33cc =23.5818503
70.67090g
70.6700334
70.670034
METODO MATRICIAL SIN PONDERAR
X= (A T A) -1 A T L
1°.-ECUACION DE OBSEVACION
1X+1Y=70.66960+V1
1X+0=47.0886167+V2
0+1Y=23.5822833+V3
LECTURA
A=[1 11 00 1]
L=[ 70.6696047.088616723.5822833]K=[XY ]
V=A∗K−L
2° Resolviendo
k= x=47.088133667y=23.5818499667
X+Y=70.66998362
3° Calcular de los residuos
K=[ 47.08813366723.5818499667]
Reemplazando en:
V=A*K-L
Donde:
A=[1 11 00 1]
L=[ 70.6696047.088616723.5822833]
V2=-4.830033cc
V1=3.836337cc
V3=-4.3333cc
4° COMPROBANDO
X+Y=70.66960+V1
X+Y=70.66998362=70.66960+3.836337cc
70.66998362
METODO MATRICIAL PONDERANDO
X= (A T WA) -1 A T WL
1°.-ECUACION DE OBSEVACION
PESOS
1X+1Y=70.66960+V1------------------ (3)
1X+0=47.0886167+V2-------------------- (1)
0+1Y=23.5822833+V3-------------------- (2)
LECTURA
A=[1 11 00 1]
W=[3 0 00 1 00 0 2]
L=[ 70.6696047.088616723.5822833]K=[XY ]
V=A∗K−L
2° Resolviendo
k= x=47.087907609y=23.5819287545
X+Y=70.66983635
3° Calcular de los residuos
K=[ 47.08790760923.5819287545]
Reemplazando en:
V=A*K-L
Donde:
L=[ 70.6696047.088616723.5822833]
A=[1 11 00 1]
V1=2.3636cc
V2=-7.0909cc
V3=-3.5454cc
4° COMPROBANDO
X+Y=70.66960+V1
70.66983635=70.66960+ 2.3636cc
70.66983636
AJUSTES DE CUADRILÁTEROMÉTODO GEODÉSICO
La solución de un cuadrilátero consiste en el cálculo de las coordenadas rectangulares dé cada uno de los vértices o estaciones.
En un cuadrilátero se realizan las siguientes operaciones:
1.-Calculo y compensación del error de cierre angular.
2.-Cálculo de acimuts o rumbos entre alineaciones (ley de propagación de azimuts)
3.-Calculo delas proyecciones delos lados.
4.-Calculo del error de cierre lineal.
5.-Compensacion del error lineal.
6.-Calculo delas coordenadas delos vértices.
α 1=58 °54 ' 35″+V 1
α 2=68 ° 46' 57″+V 2
α 3=22 °53' 45″+V 3
α 4=29° 24 ' 02″+V 4
α 5=74 ° 37' 12″+V 5
α 6=53 ° 03' 24″+V 6
α 7=27 ° 57' 34″+V 7
α 8=24 ° 22' 10″+V 8
∑ 359 ° 59' 39″
a) ε 1=−21″ α 1+α2+α3+α 4+α 5+α 6+α7+α8=−21″
b) Condición geométrica.
α 1+α2−α5−α 6=56″
ε 2=56″
c) Condición geométrica.
α 3+α 4−α7−α8=−1' 57″
ε 2=−1' 57″
Condición trigonométrica o condición de lado.
Caminos: ABC; BCD; ABD.
ABsen 4
= BCsen 1
;BC
sen6= BD
sen (4+5 );
BDsen (1+8 )
= ABsen7
Ordenando y multiplicando miembro a miembro.
1= ABBC
×BCBD
×BDAB
=sen4 ∙ sen 6 ∙ sen (1+8 )sen1∙ sen (4+5 ) ∙ sen7
=1
Se cumplirá luego de efectuar todas las correcciones.
sen 4 ∙ sen6 ∙ sen (1+8 )sen1 ∙ sen ( 4+5 ) ∙ sen7
=∆ ECU .de lado.
Aportando las correcciones
A B
CD
α 8
α 7
α 6
α 5
α 4
α 3
α 2α 1
sen (α 4+V 4 ) ∙ sen (α6+V 6 ) ∙ sen (α1+α8+V 1+V 8 )sen (α1+V 1 ) ∙ sen (α7+V 7 ) ∙ sen (α 4+α5+V 4+V 5 )
=1
No es una función lineal; aplico logaritmos y adicionamos diferencias tabulares
log( sen (α 4+V 4 ) ∙ sen (α 6+V 6 ) ∙ sen (α1+α 8+V 1+V 8 )sen (α1+V 1 ) ∙ sen (α 7+V 7 ) ∙ sen (α4+α5+V 4+V 5 ) )=log (1 )
log senα 4+D4 V 4+ log sen α6+D6 V 6+log sen (α 1+α8 )+D 1+8 (V 1+V 8 )−log senα 1−D1V 1−log sen α7−D 7V 7−log sen (α 4+α 5 )−D4+5 (V 4+V 5 )=0
Efectuando el término conocido T.
T=( log senα 4+ log senα 6+log sen (α 1+α8 )−log sen α1−log sen α7−log sen (α4+α5 ))
T=log( senα 4 ∙ senα 6 ∙ sen (α 1+α8 )senα 1 ∙ sen α7 ∙ sen (α4+α5 ) )=1.3149×10−4=1314.9×10−7
Diferencia tabular:
¿ 21.0552× 10−7
tan αT=1314.9×10−7
Trabajando con las diferencias tabulares
D4 V 4+D6V 6+D 1+8 (V 1+V 8 )−D1 V 1−D7 V 7−D 4+5 (V 4+V 5 )D4 V 4+D6V 6+D 1+8 V 1+D1+8V 8−D1V 1−D7V 7−D4+5V 4−D 4+5 V 5
(D 4−D4+5 )V 4+D6 V 6+(D1+8−D1 )V 1+D1+8 V 8−D7 V 7−D 4+5 V 5
Cuarta ecuación.
(D1+8−D1 )V 1+ (D4−D4+5 )V 4−D 4+5 V 5+D6 V 6−D7 V 7+D1+8 V 8+T=0
Diferencias tabulares
D1=12.69×10−7
D6=15.833×10−7
D4+5=−5.257×10−7
(D1+8−D1 )=−10.209×10−7
D1+8=2.481×10−7
D4=37.366×10−7
D7=39.6×10−7
(D 4−D4+5 )=42.623×10−7
−10.209V 1+42.623V 4+5.257V 5+15.833V 6−39.6V 7+2.48V 8+T=0
Tabla de correlación.
Ecua V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8Términos conocidos
K1 a 1 1 1 1 1 1 1 1 −21″
K2 b 1 1 0 0 -1 -1 0 0 56″
K3 c 0 0 1 1 0 0 -1 -1 −117″
K4 d -10.209 0 0 42.623 5.257 15.833 -39.6 2.48 1315
Calculo de los coeficientes de la ecuación
K1 K2 K3 K4
a ∙a=8 a ∙b=0 a ∙ c=0 a ∙d=16.38b ∙b=4 b ∙ c=0 b ∙d=−31.8
c ∙ c=4 c ∙d=79.74d ∙d=3773.27
a ∙a=1∙1+1∙1+1 ∙1+1 ∙1+1 ∙1+1∙1+1∙1+1∙1
Luego el sistema será
K1 K2 K3 K4
8 0 0 16.38 -210 4 0 -31.8 560 0 4 79.74 -117
16.38 -31.8 79.74 3773.27 1315
Resolviendo la ecuación
K1=7.069 K2=−30.94 K3=72.43 K4−2.16
Calculo de las correcciones
V 1=K1+K2−10.209 ¿ −1.77V 2=K1+K2 ¿ −23.89V 3=K 1+K3 ¿ 79.51V 4=K1+K3+42.623 ¿ −12.85V 5=K 1−K2+5.257 ¿ 26.63V 6=K 1−K2+15.833 ¿ 3.71V 7=K 1−K3−39.6 ¿ 20.42V 8=K 1−K3+2.48 ¿ −70.75
Ángulos compensadosα 1=58 °54 ' 35″+V 1 ¿58 °54 ' 33.23″
α 2=68 ° 46' 57″+V 2 ¿68 ° 46' 33.11″
α 3=22 °53' 45″+V 3 ¿22 °55' 04.51″
α 4=29° 24 ' 02″+V 4 ¿29 °23 ' 49.15″
α 5=74 ° 37' 12″+V 5 ¿74 ° 37' 38.85″
α 6=53 ° 03' 24″+V 6 ¿53 °03 ' 27.71″
α 7=27 ° 57' 34″+V 7 ¿27 ° 57' 54.42″
α 8=24 ° 22' 10″+V 8 ¿24 ° 20' 59.25″
∑ 360 °
Ejercicio
α 1=22.1119g+V 1
α 2=87.8963g+V 2
α 3=43.0546g+V 3
α 4=46.9275g+V 4
α 5=78.3429g+V 5
α 6=31.6676g+V 6
α 7=56.867g+V 7
α 8=33.1241g+V 8
∑ 399.9916g
a) Condición geométrica.
α 1+α2+α3+α 4+α 5+α 6+α7+α8=400g
ε 1=−84cc
b) Condición geométrica.
α 1+α2−α5−α 6=−23cc
ε 2=−23cc
c) Condición geométrica.
α 3+α 4−α7−α8=−87cc
ε 2=−87cc
Condición trigonométrica o condición de lado.
Caminos: ADC; BCD; ABD.
ADsen 4
= DCsen 1
;CDsen6
= BDsen (4+5 )
;BD
sen (1+8 )= AD
sen7
Ordenando y multiplicando miembro a miembro.
1= ADDC
×CDBD
×BDAD
=sen4 sen6 sen (1+8 )sen1 sen (4+5 ) sen7
=1
sen 4 ∙ sen6 ∙ sen (1+8 )sen1 ∙ sen ( 4+5 ) ∙ sen7
=∆
Aportando las correcciones
A B
CD
α 8
α 7
α 6
α 5
α 4
α 3
α 2α 1
sen (α 4+V 4 ) ∙ sen (α6+V 6 ) ∙ sen (α1+α8+V 1+V 8 )sen (α1+V 1 ) ∙ sen (α4+α5+V 4+V 5 ) ∙ sen (α 7+V 7 )
=1
No es una función lineal; aplico logaritmos y adicionamos diferencias tabulares
log( sen (α 4+V 4 ) ∙ sen (α 6+V 6 ) ∙ sen (α1+α 8+V 1+V 8 )sen (α1+V 1 ) ∙ sen (α 4+α5+V 4+V 5 )∙ sen (α 7+V 7 ) )=log (1 )
log senα 4+D4 V 4+ log sen α6+D6 V 6+log sen (α 1+α8 )+D 1+8 (V 1+V 8 )−log senα 1−D1V 1−log sen (α 4+α5 )−D4+5 (V 4+V 5 )−log sen α7−D7V 7=0
Efectuando el término conocido T.
T=log( senα 4 ∙ senα 6 ∙ sen (α 1+α8 )senα 1 ∙ sen (α 4+α 5 )∙ senα 7
)=1.3149×10−4=1314.9×10−7
T=1.3992×10−4=1399.2×10−7
Trabajando con las diferencias tabulares
D4 V 4+D6V 6+D 1+8 (V 1+V 8 )−D1 V 1−D4+5 (V 4+V 5 )−D7 V 7
D4 V 4+D6V 6+D 1+8 V 1+D1+8V 8−D1V 1−D4+5V 4−D 4+5 V 5−D7 V 7
(D 4−D4+5 )V 4+D6 V 6+(D1+8−D1 )V 1+D1+8 V 8−D 4+5 V 5−D7 V 7
Cuarta ecuación.
(D1+8−D1 )V 1+ (D4−D4+5 )V 4−D 4+5 V 5+D6 V 6−D7 V 7+D1+8 V 8+T=0
Diferencia tabular:
¿ 6.8219×10−7
tan αD1=5.78×10−7
D6=18.84 ×10−7
D4+5=7.51×10−7
(D1+8−D1 )=−13.06×10−7
D1+8=−2.86×10−7
D4=12.56×10−7
D7=5.49×10−7
(D 4−D4+5 )=10.37×10−7
La ecuación será−13.06V 1+10.37V 4+2.86V 5+12.56V 6−5.49V 7+5.78V 8+T=0
Tabla de correlación.
Ecua V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8Términos conocidos
K1 a 1 1 1 1 1 1 1 1 −84cc
K2 b 1 1 0 0 -1 -1 0 0 −23cc
K3 c 0 0 1 1 0 0 -1 -1 −87cc
K4 d -13.06 0 0 10.37 2.86 12.56 -5.49 5.78 1399.2
Calculo de los coeficientes de la ecuación
K1 K2 K3 K4
a ∙a=8 a ∙b=0 a ∙ c=0 a ∙d=13.02b ∙b=4 b ∙ c=0 b ∙d=−28.48
c ∙ c=4 c ∙d=10.08d ∙d=507.5822
Luego el sistema será
K1 K2 K3 K4
8 0 0 16.38 -840 4 0 -31.8 -230 0 4 79.74 -87
13.02 -28.48 10.08 507.5822 1399.2
Resolviendo la ecuación
K1=20.53 K2=−38.13 K3=37.28 K4−6.16
Calculo de las correcciones
V 1=K1+K2−13.06 ¿ 62.88cc
V 2=K1+K2 ¿ −17.6cc
V 3=K 1+K3 ¿ 57.81cc
V 4=K1+K3+42.623 ¿ −6.09cc
V 5=K 1−K2+5.257 ¿ 41.04cc
V 6=K 1−K2+15.833 ¿ −18.75cc
V 7=K 1−K3−39.6 ¿ 17.08cc
V 8=K 1−K3+2.48 ¿ −52.37cc
Ángulos compensados
α 1=22.1119g+V 1¿22.118188
α 2=87.8963g+V 2¿87.894540
α 3=43.0546g+V 3¿43.060381
α 4=46.9275g+V 4¿46.926891
α 5=78.3429g+V 5¿78.347004
α 6=31.6676g+V 6¿31.665725
α 7=56.867g+V 7¿56.868408
α 8=33.1241g+V 8¿33.118863
∑ 400g
TRILATERACIÒNGracias a la gama amplia de distanciómetros electrónicos, los trabajos de topografía se han simplificado notablemente y la trilateración ha complementado los trabajos de triangulación y, en algunos casos, a sustituirlos.
Se deben medir las longitudes de los lados para determinar, por trigonometría, los valores de los ángulos; es decir, operación contraria a la que se realiza para la triangulación. A veces se hacen ambas cosas, pues requiere más trabajo y tiempo; no obstante, se logra mayor precisión.
En las triangulaciones y trilateraciones topográficas se presenta lados relativamente cortos u sobre una superficie plana, y los actuales distanciometros electrónicos satisfacen, plenamente cualquier medición.
Las trilateraciones se utilizan con los mismos fines que las triangulaciones, y se recomienda cuidar los siguientes aspectos:
Medir las distancias al menos en forma directa e inversa (AB-BA). Las medidas lineales deberán ser corregidas por temperatura y presión. Las distancias se reducirán al horizonte, midiendo en forma precisa (con
teodolito de aproximación de un segundo de arco) y los ángulos verticales (posición directa como inversa).
Medir con precisión la altura de aparato en todos los vértices. Orientar de manera astronómica uno de los lados, para propagar esta
orientación y calcular el resto de lis lados; una vez compensada la cadena de triángulos y comprobar el cálculo mediante otro lado orientado, cuando la cadena o red sea muy extensa.
Para calcular los ángulos por trigonometría, se usa la siguiente ecuación (figura a):
Cos A = b2+c2+a2/2bc
A condición de que:
A + B + C = 180°
(Hay que recordar que no se considera el exceso esférico.)
Figura a. Lados orientados AB e IJ
Se debe compensar las trilateraciones en función de los objetivos y métodos específicos en cada caso en particular.
Pueden sustituirse los lados base de las triangulaciones, por cuadriláteros, cuyos lados se medirán con toda precisión y se ajustaran rigurosamente, ligando los lados de dicho cuadrilátero a los lados de la cadena de triángulos.
C
d41
d31
d
C
E F HJ
C
IGD
B
A
a
b
c
A
B
a
b
c
A
B
Las longitudes de las cadenas de triángulos y la forma pueden ajustarse a las descritas para la triangulación; no obstante. Se tiene menos rigor por las características u ventajas que representa medir las distancias. Entonces, solo deben ajustarse a las normas de precisión establecidas por los distintos organismos oficiales, tanto nacionales como internacionales.
Con las trilateraciones, las precisiones son relativas al tamaño de los triángulos; sin embargo, puede considerarse que cubren un rango de precisión de 1:5000, 1:10000,… hasta 1:1000000 en cierre. Si se combina con la medida de ángulos horizontales los resultados serán variables, pero se incrementará la precisión.Es muy ventajoso complementar triangulaciones con trilateración, sobre todo por la longitud de los lados o por efecto de los fenómenos atmosféricos, hay problemas de visibilidad; también resulta muy rápido realizar las mediciones lineales.Por último, tanto en la triangulación como en la trilateracion, es necesario el conocimiento de las elevaciones. Se puede recurrir a cualquiera de los métodos ya descritos, como nivelación topográfica o trigonométrica y la nivelación barométrica.Las triangulaciones y trilateraciones en la actualidad no representan problemas de cálculo por la existencia de equipos de cómputo y software, capaces de resolver cualquier problema relacionado con este tipo de levantamientos y sus diversas aplicaciones, tanto en topografía tradicional como en fotogrametría.
USO ESTACIÒN TOTAL Se miden los lados y se calculan los ángulos. Estacionamiento del equipo en A y C. Ojo, no se lee BD.
X A=177482 Y A=8499664
l = 152.0042
c = 67.2778
d = 127.2078
a = 88.0090
b = 132.8491
6
5
4
3
2A
B
D
C1
Precisión:1 :250 000 ESTACIÒN EN A
n AB = d AC = l AD = c1 127.207 152.004 67.2732 127.206 152.004 67.2643 127.209 152.005 67.2544 127.209 152.004 67.2825 127.208 152.004 67.2946 127.206 152.003 67.2927 127.209 152.004 67.298 127.207 152.005 67.2859 127.208 152.005 67.263
10 127.209 152.004 67.281Σ 1272.078 1520.042 672.778
MD 127.2078 152.0042 67.2778
ESTACIÒN C n CB = a CD = b V
1 88.009 132.852 0.00290.0000084
1
2 88.008 132.870 0.02090.0004368
1
3 88.011 132.836 -0.01310.0001716
1
4 88.009 132.871 0.02190.0004796
1
5 88.008 132.862 0.01290.0001664
1
6 88.008 132.831 -0.01810.0003276
1
7 88.007 132.860 0.01090.0001188
1
8 88.007 132.852 0.00290.0000084
1
9 88.010 132.821 -0.02810.0007896
1
10 88.011 132.836 -0.01310.0001716
1
Σ 880.088 1328.4910.0026789
0MD 88.0088 132.8491
σ o=√∑ V 2
n−1
σ m=√ ∑V 2
n ( n−1 )=0.0002
P=σm
MD
= 0.0002132.8491
= 1664245
CÁLCULO DE ÁNGULOS (Ley de cosenos)α 1=35 °21' 7.72″
α 2=60 ° 47' 7.65″
α 3=87 ° 53' 44.81″
α 4=56 ° 45' 7.46″
α 5=26 ° 13' 54.84″
α 6=92 ° 58' 57.08″
CÁLCULO BD
f 2=d2+c2−2dc cos (α 1+α2 )
f=150.1271
HALLANDO LOS ÁNGULOS PARCIALES
3a, 3b ; 6a, 6b
cos3 a=d2+f 2−c2
2df3a=26 °27 ' 35.39″
cos3b= f 2+a2−b2
2 fa3b=61° 26' 9.95″
87 ° 53' 45.34″
cos6 a= c2+f 2−d2
2cf6a=57 ° 24' 9.5″
cos6 b=b2+ f 2−a2
2bf6b=35 °34 ' 48.25″
92 °58 ' 57.75″
CONDICIONES GEOMÉTRICAS
1º 1+3a+3b+4+5+6a+6b+2=360 °
360 ° 0' 0.76″ ≠360°E1=0.76″
2º 1+3a=5+6b61 ° 48' 43.11″ ≠61 ° 48' 43.09″
E2=0.02″
3º 4+3b=2+6a118° 11' 17.41″ ≠118 °11' 17.15″
E3=0.26″
D1=35 ° 21' 7.72' '−0.005' '=35 °21' 7.715 ' '
V 1=26 ° 27' 35.39' '−0.005' '=26° 13' 35.385' '
∑ ¿61 ° 48' 43.1' '
D2=61 ° 26' 9.95' '−0.065' '=61° 26' 9.885' '
V 2=56 ° 45 ' 7.46' '−0.065' '=56 ° 45' 7.395 ' '
∑ ¿118 °11' 17.28' '
D3=26 ° 13' 54.84 ' '+0.005 ' '=26 ° 13' 54.845 ' '
V 3=35 ° 34' 48.25' '+0.005' '=35 °34 ' 48.255 ' '
∑ ¿61 ° 48' 43.1' '
D4=57 °24 ' 9.5' '+0.065' '=57 ° 24' 9.565' '
V 4=60 ° 47' 7.65 ' '+0.065' '=60 ° 47' 7.715' '
∑ ¿118 °11' 17.28' '
D1=35 ° 21' 7.715' '−0.095' '=35 °21' 7.62' '
V 1=26 ° 13' 35.385 ' '−0.095 ' '=26 ° 27' 35.29' '
D2=61 ° 26' 9.885' '−0.095' '=61° 26' 9.79' '
V 2=56 ° 45 ' 7.395' '−0.095' '=56 ° 45' 7.3' '
D3=26 ° 13' 54.845 ' '−0.095 ' '=26 ° 13' 54.75 ' '
V 3=35 ° 34' 48.255' '−0.095' '=35 ° 34' 48.15' '
D4=57 °24 ' 9.565' '−0.095' '=57 ° 24 ' 9.47 ' '
V 4=60 ° 47' 7.715 ' '−0.095' '=60 ° 47 ' 7.62' '
∑ ¿360 °
Condición trigonométrica
Ecuación par la condición trigonométrica
senV 1 ∙ senV 2 ∙ senV 3 ∙ senV 4
sen D1 ∙ sen D2 ∙ sen D3 ∙ sen D4
=1
∆=0.106964566∑ ctg D̂=3.41248761
∑ ctgV̂ =4.21431106
e ' '= ∆−1
∑ ctg D̂+∆∙∑ ctgV×206265=0.021' '
D1=35 ° 21' 7.63' '
A
B
D
C
V 1=26 ° 27' 35.30' '
D2=61 ° 26' 9.79' '
V 2=56 ° 45 ' 7.4' '
D3=26 ° 13' 54.76 ' '
V 3=35 ° 44 ' 21.32' '
D4=57 °24 ' 9.47' '
V 4=60 ° 47' 7.63 ' '
VÉRTICE
NORTE ESTE
A 177482 8499664B 164258 8532991C 178932 8642857D 178844 8521376A 177482.21 8499664.24
NIVELACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS REDES TOPOGRÁFICASCuando se quiere ajustar las elevaciones de los bancos de nivel en una red de nivelaciones interconectadas, puede emplearse el método de los mínimos cuadrados, que consiste en ajustar por separado cada figura de la red por turnos, usando los valores ajustados en cada circuito en el ajuste de los adyacentes; el proceso se repite cuantas veces sea necesario, hasta balancear los valores de toda la red. Dentro de cada circuito se distribuye normalmente el error de cierre, en los diferentes lados en proporción a su longitud (o número de veces que se colca el aparato), como se explicó anteriormente. El orden en que se tomen los diferentes circuitos no tiene importancia, aunque se aconseja empezar con el circuito que tenga mayor error de cierre. Los cálculos pueden hacerse con las correcciones, en lugar de emplear las diferencias de elevación, y los lados o circuitos pueden pesarse como se desee.
De Precisión (topográfico) De alta precisión (geodésico)
X, Y, ZX, Y, Z
X, Y, ZX, Y, ZX, Y, Z
X, Y, Z
X, Y, Z
X, Y, Z
Y B=200.00X B=100.00
-22.93
Ec=+0.21
1º Nombre de presa2º Coordenada del eslacian3º IDENT : EIDO4º ALTA . INST = 1.514
Orientacióno Por azimut (Brújula)o Por coordenadas (Conoc ≥ coord)
EJEMPLO. La Fig. 5-3 representa una red de nivelaciones formada por los circuitos BCDEB, AEDA, AEDA. En cada lado del circuito se ha escrito su longitud en kilómetros y la diferencia de elevación corresponde a la dirección indicada por las flechas. Dentro de cada circuito se escribe su longitud y el error de cierre calculado, sumando las diferencias de elevación en el sentido de las manecillas de reloj.
A B
X, Y, ZX, Y, Z
E41.8 Km
27.4 Km
17.7 Km
20.9 Km 45 Km
24.2 Km
19.3 Km
C
D
A B
COTA = 3300.0013300.133300.32
+17.91
L=89.2 km
17.7km
19.3kmm
+10.94kmm
-5.23
27.4km
41.8km
20.9km
La Tabla muestra los cálculos que es necesario ahcer para balancear la red. En cada circuito se hace una lista de los lados de las distancias (expresadas en kilómetros y en porcentajes de la total), y de las distancias de elvación. Para el circuito BCDEB el error de cierre es -0.012m. Que se distribuye entre las nivelaciones en proporción a sus longitudes; así, para la línea BC, la corrección es 12/70 X 0.40 o 0.17 X 0.40 = 0.07m, con el signo opuesto al del error de cierre. Las correcciones se aplican a las diferencias de elevación para obtener los valores de las ´´diferencias de elevación corregidas`` que se dan en la columna 7. La línea DE del circuito BCDEB es la misma línea ED del circuito AEDA. Por tanto, al hacer la lista de las diferencias de elevación para el circuito AEDA, la diferencia de elevación para ED no se toma como el valor observado (27.15), sino como el valor adjuntado (27.08) del circuito BCDEB, con signo opuesto. El error de cierre para el circuito AEDA es entonces + 0.25m.
Distancia Ciclo I Ciclo IICircuito Lado km % DEa Corr.b CorrDEa DEa Corr.b CorrDEa
BCDEB
BC 19.8 17 10.94 0.07 11.01 10.99 -0.02 10.99CD 45 40 21.04 0.16 21.2 21.15 -0.05 21.15DE 20.9 19 -27.15 0.07 -27.02 -27.03 -0.03 -27.05EB 27.4 24 -5.23 0.1 -5.13 -5.07 -0.03 -5.09
Total 112.6 100 -0.4 0.4 0 0.04 -0.13 0
AEDAAE 17.7 22 -17.91 -0.06 -17.97 -17.93 -0.01 -17.94ED 20.9 26 27.08 -0.06 27.02 27.05 -0.02 27.03
C
D
L=80.4km
Ec=+0.32E
45km
-27.15 -8.92
Ec=-0.40
L=112.6kmm
DA 41.8 52 -8.92 -0.13 -9.05 -9.05 -0.04 -9.09Total 80.4 100 0.25 -0.25 0 0.07 -0.07 0
AEDA
EA 17.7 26 17.97 -0.04 17.94 17.94 -0.01 17.93AB 24.1 35 -22.93 -0.06 -22.99 -22.99 -0.01 -23BE 27.4 39 5.13 -0.07 5.09 5.09 -0.02 5.07
Total 9.2 100 0.17 -0.17 0.04 0.04 -0.04 0
Ciclo III Ciclo IVDEa Corr.b CorrDEa DEa Corr.b CorrDEa
10.99 -0.01 10.98 10.98 0 10.9821.15 -0.01 21.14 21.14 -0.01 21.13
-27.03 -0.01 -27.04 -27.03 0 -27.03-5.07 -0.01 -5.08 -5.08 0 -5.08
0 -0.04 0 0.01 -0.01 0-17.93 0 -17.93 -17.9327.04 -0.01 27.03 27.03-9.09 -0.01 -9.1 -9.10.02 -0.02 0 0
17.93 0 17.93 10.93-23 -0.01 -23.01 -23.01
5.08 0 5.08 5.080.01 -0.01 0 0
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