7/17/2019 Funciones Lineales y Cuadraticas
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No. Nombre de la unidad: UNIDAD : VGRAFIQUEMOS FUNCIONESContenidos Básicos: Funciones.
Funciones lineal y cuadrática
Recordemos el plano cartesiano:
FUNCIÓN INEA
Una función lineal es una función cuyo dominio
son todos los números reales, cuyo codominiotambién todos los números reales, y cuya expresión
analítica es un polinomio de primer grado.
Una !"nci#n lineal es aquella cuya expresiónalgebraica es del tipo y = mx, siendo m un número
cualquiera distinto de 0.
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen,
(0,0).l número m se llama pendiente.!a función
es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0.
Una !"nci#n a!$n es aquella cuya expresión
algebraica es del tipo y = mx + n, siendo m y n
números distintos de 0.
Su gráfica es una línea recta. l número m es la
pendiente.l número n es la ordenada en elori%en. !a recta corta al e"e Y en el punto (0,n).
!a función lineal se define por la ecuación f(x) =
mx + b ó y = mx + b llamada ec"aci#n can#nica, endonde m es la pendiente de la recta y b es el
intercepto con el e"e #.
$or e"emplo, son funciones lineales%
a& f'x& ( )x * + g'x& ( x * -
b& 'x& ( / 'en esta m ( 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación&.
F"nci#n c"adr&tica
Una !"nci#n c"adr&tica es aquella que puede
escribirse como una ecuación de la forma% f'x& (
ax+ * bx * c
donde a, ' y c 'llamados t(rminos& son números
reales cualesquiera y a es distinto de cero 'puede
ser mayor o menor que cero, pero no igual que
cero&. l alor de ' y de c sí puede ser cero.
n la ecuación cuadrática cada uno de sus término
tiene un nombre.
1sí, a)* es el término c"adr&tico + ') es el
término lineal + c es el término independiente
n la ecuación de segundo grado o cuadrática si l
ecuación tiene todos los términos se dice que es
una ecuación completa, si a la ecuación le falta el
término lineal o el independiente se dice que la
ecuación es incompleta.
Representación gráfica de una función cuadrática
Si pudiésemos representar en una gráfica 2todos2
los puntos ,)-!.)/0 de una !"nci#n c"adr&tica,
obtendríamos siempre una cura llamada
par&'ola. Una parábola es la representación
gráfica de una función cuadrática.
3aracterísticas o elementos bien definidos
dependiendo de los alores de la ecuación que la
generan.
stas características o elementos son%
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4rientación o concaidad 'ramas o bra5os&,$untos
de corte con el e"e de abscisas 'raíces&, $unto de
corte con el e"e de ordenadas, "e de simetría,
6értice
Orientaci#n o conca1idad
Una primera característica es la orientaci#n o
conca1idad de la parábola.
2ar&'ola c#nca1a si sus ramas o bra5os se
orientan acia arriba y par&'ola con1e)a si sus
ramas o bra5os se orientan acia aba"o.
sta distinta orientación está definida por el alor
'el signo& que tenga el término cuadrático .la a)*/%
Si a 3 4 .positi1o/ la par&'ola es c#nca1a o conp"ntas 5acia arri'a- como en !.)/ 6 *)* 7 8) 7 9
Si a 4 .ne%ati1o/ la par&'ola es con1e)a o conp"ntas 5acia a'a;o- como en !.)/ 6 78)* < *) < 8
Adem&s- c"anto ma=or sea >a> .el 1alor a'sol"tode a/- m&s cerrada es la par&'ola?
Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o
soluciones) (eje de las X)
4tra característica o elemento fundamental para
graficar una función cuadrática la da el alor o los
alores que adquiera ), los cuales deben calcularse.
1ora, para calcular las raíces 'soluciones& de
cualquier función cuadrática calculamos ! .)/ 6 4.
sto significa que las raíces 'soluciones& de una
función cuadrática son aquellos 1alores de ) para
los cuales la expresión ale 07 es decir, los 1alores
de ) tales @"e = 6 47 que es lo mismo que !.)/ 6 4.
ntonces acemos% a) < ') <c 6 4
3omo la ecuación a) < ') <c 6 4 posee un
término de segundo grado, otro de primer grado y
un término constante, no podemos aplicar las
propiedades de las ecuaciones,
entonces, para
resolerla usamos la
fórmula%
ntonces, las raíces o soluciones de la ecuación
cuadrática nos indican los puntos de intersección
de la parábola con el e;e de las B .a'scisas/.
8especto a esta intersección, se pueden dar tres
casos%
9ue corte al e"e : en dos puntos distintos
9ue corte al e"e : en un solo punto 'es
tangente al e"e x&
9ue no corte al e"e :
Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las
n el e"e de ordenadas '#& la primera coordenada
es cero, por lo que el punto de corte en el e"e de la
ordenadas lo marca el alor de c .4- c/.
6eamos%
8epresentar la función !.)/ 6 ) 7 ) < 88epresentar la función !.)/ 6 ) 7 ) 7 8
l e"e de las ordenadas '#& está cortado en <8?le"e de las ordenadas '#& está cortado en 78
4bserar que la parábola siempre cortará al e"e de
las ordenadas '#&, pero como ya imos más arriba
al e"e de abscisas ':& puede que no lo corte, locorte en dos puntos o solamente en uno.
!je de simetría o simetría
l e;e de simetr$a de una parábola es una recta
ertical que diide simétricamente a la cura7 es
decir, intuitiamente la separa en dos partes
congruentes. Se puede imaginar como un espe"o
que refle"a la mitad de la parábola.
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Su ecuación está dada por%
;onde ) y )* son las raíces de la ecuación de
segundo grado en ), asociada a la parábola.
;e aquí podemos
establecer la ec"aci#ndel e;e de simetr$a de la
parábola%
V(rtice: El 1(rtice de la parábola es el punto de
corte 'o punto de intersección& del e"e de simetría
con la parábola y tiene como coordenadas
!a abscisa de este punto corresponde al alor del
e"e de simetría y la ordenada corresponde
al alor máximo o mínimo de la función,
según sea la orientación de la
parábola 'recuerde el discriminante&
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