Funciones
¿Qué es una función?Formas de
representación
Propiedades
Clasificación
Tipos
Generalidades
Una función es una regla de
asociación que relaciona el conjunto de llegada y el conjunto de
salida. Esta regla no permite
relacionar un mismo elemento del dominio con
dos elementos del rango.
No estamos en presencia de una función cuando:
De algún elemento del conjunto de
partida no sale ninguna flecha.
De algún elemento del conjunto de
partida salen dos o más flechas.
¿Qué es una función?
abcde
12345
X Y
Formas de representar una función
VerbalAlgebraicaVisualNumérica
por medio de
por medio de
por medio de
por medio de
palabrasfórmulasdiagramas y graficastablas
x 1 2 3 4 5 …
y 11 12 13 14 15…
abcde
12345
X Y
Y=2x+4
E(t) son los
estudiantes del
colegio en el instante
t.
Variable dependiente
- Variable
independiente
Intercepto en el eje X
- Intercepto en el
eje Y
Conjunto de llegada-
Conjunto de salida
GENERALIDADES
Dominio - Rango
El DOMINIO es el conjunto de elementos formado por
las pre imágenes,
generalmente cuando se habla del
plano cartesiano, el dominio es el intervalo de valores que
están sobre el eje x, y que nos generan
una asociación en el eje y.
El otro conjunto llamado
RANGO, es la gama de valores que
toma la función; en el caso del
plano cartesiano son todos los valores que toma la función o valores en
el eje y.
La VARIABLE INDEPENDIEN
TE no depende de ninguna otra
variable, en el ejemplo
anterior la x es la variable independiente ya que la y es
la que depende de
los valores de x.
Las VARIABLES DEPENDIENTES
como su nombre lo indica,
dependen del valor que toma las
otras variables Por ejemplo: f(x)=
x, y o f(x) es la variable
dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.
El INTERCEPTO EN EL EJE Y se
halla reemplazando a x por 0, y el
INTERCEPTO EN EL EJE X se
halla igualando la función a 0 y solucionando la
ecuación resultante.
El CONJUNTO
DE LLEGADA
contiene los elementos que son la imagen de los valores
del conjunto de salida.
El CONJUNTO DE SALIDA se llama al
conjunto que contiene los
elementos del dominio de una
función.
PROPIEDADES
Función Par
Función Impar
Función Creciente
Función Decrecient
e
FUNCIÓN PAR Si f(x) = f (-x).Ejemplo: La función
es par pues se obtienen los mismos
valores de y independientemente
del signo de x.La función es par ya
que f (-x) = =
Simétricas con respecto al eje Y.
FUNCIÓN IMPAR Si f(x) = -f (-x).
Ejemplo: La función y(x)=x es
impar ya que: f (-x) = -x pero como f(x) = x entonces: f(-x)
= - f(x).
Simétricas con respecto al eje de las coordenadas.
FUNCIÓN CRECIENTE
La función es
creciente cuando al aumentar los valores
de X, aumenta Y.
FUNCIÓN DECRECIENTE
La función es
decreciente cuando al aumentar los valores
de X, disminuye
Y.
Función Inyectiva
Función Sobreyectiva
Función Biyectiva
CLASIFICACIÓN
FUNCIÓN INYECTIVA
Una función es INYECTIVA, si en el conjunto A no hay dos o más
elementos que tengan la misma imagen.
abcde
12345
X Y
FUNCIÓN INYECTIVA
Una función es SOBREYECTIVA, si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f.
abcde
12345
X Y
FUNCIÓN BIYECTIVA
Una función es BIYECTIVA, si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez.
abcde
12345
X Y
TIPOS DE FUNCIONES
Polinómica Racional
Logarítmica
Exponencial
Valor absolut
o
Trigonométrica
Por partes
Grado impar Grado par Grado cero
Lineal Cúbica
Cuadrática
Constante
Afín
Lineal
Idéntica
Se llama FUNCIÓN POLINÓMICA a toda aquella que está definida por medio de
polinomios.
Grado Nombre Expresión 0 Constante y= a 1 Lineal y= ax + b 2 Cuadrática y= ax2 + bx + c 3 Cúbica y= ax3 + bx2 + cx + d
Dominio= Conjunto de Salida= Reales
Conjunto de llegada=Reales
Son funciones en las que el máximo grado de un término de la ecuación es un número
par.
FUNCIONES DE GRADO PAR
y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e
Son funciones en las que el mayor grado del polinomio es
impar.
FUNCIONES DE GRADO IMPAR
y= ax(2n-1) + bx(2n-1)-1 + cx(2n-1)-2 + … + dx + e
En la ecuación Y= mx + n, n indica el punto de corte con y, el desplazamiento vertical de la función.
Dominio= Conjunto de Salida= RealesRango= Reales (con excepción a la función constante).Conjunto de llegada = Reales.
y - x son dos variables
m es una constante que se denomina pendiente que indica el grado de inclinación de la recta y
se halla mediante la ecuación:
Si m > o: la función es crecienteSi m < 0: la función es decrecienteSi m = 0: la función es constante
LINEAL
Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = mx
Ejemplo: y = 2x
Elementos Punto de corte con x: 0 Punto de corte con y: 0 Conjunto de salida= Reales Conjunto de llegada= Reales Dominio= Reales Rango= Reales Pendiente = 2
LINEAL
Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = mx + n, y tiene un desplazamiento vertical.
Ejemplo: y = 2x+3Elementos Punto de corte con x: Punto de corte con y: 3 Conjunto de salida: Reales Conjunto de llegada: Reales Dominio: Reales Rango: Reales Pendiente: 2
AFIN
Cuando m>0, n>0 la gráfica es
Cuando m<0, n>0 la gráfica es
Cuando m<0, n<0 la gráfica es
Cuando m>0, n<0 la gráfica es
AFIN
Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = x
La pendiente es igual a 1 y no esta desplazada verticalmente
A cada número del eje de abscisas le corresponde el mismo número en el eje de ordenadas, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas .
IDÉNTICA
Ejemplo: y = xElementos Punto de corte con x = 0 Punto de corte con y = 0 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango =Reales
Es una función polifónica de grado 3, cuya expresión matemática viene dada por la ecuación:
Ejemplo: y = 2 x³ + 4 x² + 3 x + 2Elementos Punto de corte con x = -1.5 Punto de corte con y = 2 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango = Reales F(x) > 0 en x ∈ (-1.5, infinito) F(x) < 0 en x ∈ (-1.5, -infinito)
CÚBICA
Es una función polifónica cuya expresión matemática viene dada por
la ecuación: y= ax2+bx+c
Donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.
La parábola es forma de la función cuadrática, tiene un
eje de simetría, se divide exactamente en dos, un lado
es el reflejo del otro lado.Puede ser vertical abierta hacia arriba, con mínimo
relativo; o puede ser vertical abierta hacia abajo, con un máximo
relativo.
Los mínimos o máximos relativos son los puntos más altos y más bajos
donde llega la parábola, se usa la
ecuación:
En la función cuadrática c indica el punto de corte con y.
Para hallar el punto de corte en x se utiliza la ecuación: X=
El rango es desde el máximo o mínimo relativo, hasta
infinito.
Ejemplo: y= 2x2+5x+4ElementosPunto de corte con
y = 4Conjunto de salida
= RealesConjunto de llegada
= RealesDominio = RealesRango: [, infinito)
CUADRÁTICA
Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = a,
donde a pertenece a los números reales.
No depende de ninguna variable
Ejemplo: y = 2Elementos Punto de corte con y = 2 Conjunto de salida =
Reales Conjunto de llegada =
Reales Dominio = Reales Rango = {a}
CONSTANTE
El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta si su signo es positivo o negativo, ya que nunca será negativo.
La función de valor absoluto se define por la ecuación:
PROPIEDADES1. No negatividad 2. Definición positiva3. Propiedad multiplicativa: |ab| = |a||b|4. Propiedad aditiva: |a + b| ≤ |a|+|b|5. Simetría: |-a| = |a|6. Identidad de indiscernibles : |a-b|= 0 a=b7. Desigualdad triangular: |a-b| ≥ |a-c|+ |c-b|
Rango= (mínimo, ∞) o ( - ∞, máximo)
Ejemplo: y= IxIElementos Punto de corte con y = no hay Punto de corte con x= no existe Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango = (0, ∞)
VALOR ABSOLUTOcbaxy
VALOR ABSOLUTO
Para un desplazamiento horizontal:Ejemplo: y= Ix + 5I Dominio= Reales Conjunto de salida= Reales
Rango= (0, ∞) Conjunto de llegada= Reales Punto de corte con x= No
existe Punto de corte con y= 5 Desplazamiento horizontal=
5Para un desplazamiento vertical: Ejemplo: y= IxI + 2 Dominio= Reales Conjunto de salida= Reales Rango= (2, ∞) Conjunto de llegada= Reales Punto de corte con x= No
existe Punto de corte con y= 2 Desplazamiento vertical = 2
La función racional está definida por una expresión algebraica que es el cociente de dos polinomios:
)(
)(
XQ
XPy
RACIONAL
Las asíntotas de una función, son líneas a la que la grafica de la función se aproxima cada vez mas cuando se va a lo largo de esta línea, más nunca la toca..
La variable X no puede tomar el valor que hace cero al denominador, por eso, el dominio de Y es el conjunto de todos los números reales excepto los ceros de Q.
f xa x a x a
b x b x bm
m
nn
( )...
...
1 0
1 0
1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.
2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal.
3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales.
Es el valor que no pertenece al dominio de la función, pero tampoco la anula. Se hallan igualando el denominador a 0.
VERTICALESHORIZONTALES
Se hallan por medio de la ecuación:
PASOS PARA SOLUCIONAR UNA FUNCIÓN RACIONAL
1. Se factoriza el numerador y el denominador. 2. Se hallan los puntos de corte con x: las raíces del numerador.3. Se halla el punto de corte con y: sustituyendo a x por 0.4. Se hallan las asíntotas verticales: las raíces del denominador.5. Se hallan las asíntotas horizontales: (cementerio) Para saber si es – o +, y luego se halla.
Donde a ≠ 0 y a≠1
La función exponencial se define por la ecuación: y= ax
a y x son números reales Cuando a<1, la función es decreciente.
Cuando a>1, la función es creciente.
EXPONENCIALES
Ejemplo: y= 2X
Dominio= Reales Rango= (∞, 0) Conjunto de salida= Reales Conjunto de llegada= Reales Asíntota en y=0 Punto de corte con y= 1 Función creciente
desplazamiento vertical
desplazamiento horizontal
bxay cay x Xexf )(e=2.2
Exponencial natural
y=ax
Para a>1
y= -ax
Para a>1
y=ax
Para 0<a<1
y= -ax
Para 0<a<1
EXPONENCIALES
La función logarítmica se define por la ecuación: y= loga x
Solo esta definida en los números positivos.
cambio de los logaritmos de una base a logaritmos de otra base
por medio de la ecuacion:
BAAB loglog)log(
BAB
Aloglog)log(
AnAn loglog
n
AAn
loglog
nxxf log)( )log()( nxxf
PROPIEDADES
Desplazamiento horizontal
Desplazamiento vertical
LOGARÍTMICA
xxf log)(
Conjunto de salida=Dominio=IR+Conjunto de llegada=IR= RangoAsíntota en x=0Función creciente
LOGARÍTMICA
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