GAVILLAS SOBRE ESPACIOS TOPOLOGICOS

RAMON ABUD ALCALA

1. Gavillas Etales

Definicion 1.1. Una gavilla etale (de grupos abelianos) sobre un espacio X es unaterna G = (E,p,X) tal que:

(i) p : E // X es un homeomorfismo local (suprayectivo).

Llamaremos hojas a los abiertos S ⊆ E tales que S�

p // p(S)

(ii) Para cada punto x ∈ X la imagen inversa Ex = p−1(x) llamada fibra o tallo,tiene estructura de grupo abeliano.

(iii) La estructura de grupo abeliano de los tallos es compabible con la topologıade E, es decir, si (E × E)∗ = {(a,b) ∈ E × E | p(a) = p(b)} entonces las opera-ciones:

(E ×E)∗ suma // E

(a,b) � // a+ b

Einvserso // E

a � // −a

son continuas.

Observacion 1.2. (1) Las hojas son base para la topologıa de E y por tanto p esabierta.

(2) Cada tallo Ex tiene la topologıa discreta.Demostracion. Sea a ∈ Ex y sea S una hoja tal que x ∈ S, si a′ ∈ Ex y a , a′

entonces a′ < S pues p(a) = p(a′), por tanto S ∩Ex = {a}.�

(3) Toda gavilla etale tiene una seccion global; la seccion cero.

s0 : X // E

x � // 0x

Es claro que ps0(x) = x, veamos que es continua: Demostracion. Sea S unahoja de E.

s0 : p(S)p−1

�// S ��

�// (S × S)∗ resta // E

x � // ax� // (ax, ax) � // ax − ax = 0x

es continua.

�1

2 RAMON ABUD ALCALA

(4) Se puede pedir que las gavillas etale sean de otras estructuras algebraicas,grupos, anillos, R-modulos, algebras. y todos los resultados se siguen con-servando, salvo en el caso general de grupos (no necesariamente abelianos).

Definicion 1.3. Un morfismo de gavillas etale

f :G // G′

es una funcion continua f : E // E′ que hace conmutar el diagrama:

Ef //

p ��

E′

p′~~X

y para cada tallo la restriccion fx : Ex // E′x es un morfismo de grupos abelianos.

Decimos que f es un monomorfismo (epi, iso) si para cada x ∈ X se tiene que

fx : Ex // E′x es un monomorfismo (epi, iso) de grupos abelianos.

Observacion 1.4. (1) Las gavillas etale y los morfismos de gavillas etale formanuna categorıa, que denotaremos como Shet(X,Ab).

(2) El conjunto HomShet(G,G′) de morfismos entre dos gavillas etale es un

grupo abeliano con la suma puntual.(3) Definimos la gavilla eltae constante (o gavilla etale producto) como:

X ×Gp

��X

donde G es un grupo abeliano dotado de la topologıa discreta.Si G = 0 decimos que

X × {0}

p

��X

es la gavilla etale cero.

GAVILLAS SOBRE ESPACIOS TOPOLOGICOS 3

2. Pregavillas

Definicion 2.1. Una pregavilla de grupos abelianos sobre un espacio X es un fun-tor contravariante:

G : τ(X) // Ab

U� _

i

��

7−→

G (U )

V G (V )

G (i)

OO

Donde τ(X) es la categorıa (pequena) cuyos objetos son los abiertos de X y losmorfismos son las inclusiones entre ellos.

Si s ∈ F(V ) emplearemos la notacion s|U := (G (i))(s)

Definicion 2.2. Un morfismo entre pregavillas G y G ′ sobre X es una transfor-macion natural:

α : G // G ′

U� _

��

G (U )αU // G ′(U )

V G (V )

OO

αV // G ′(V )

OO

Observacion 2.3. (1) Las pregavillas y los morfismos de pregavillas sobre unespacio X forman una categorıa que denotamos por pSh(X,Ab) o la vemoscomo la categorıa de funtores Abτ(X)op

.(2) Decimos que α es un monomorfismo (epi, iso) si para cada U ∈ τ(X), el

morfismo αU : G (U ) // G ′(U ) es un monomorfismo (epi, iso) de gru-pos abelianos.

3. La Gavilla Etale asociada a una Pregavilla

Para cada pregavilla G sobre X, construiremos una gavilla etale:Consideremos un punto x ∈ X y tomamos la familia de vecindades abiertas de

x,Nx = {U ∈ τ(X) | x ∈U }

Y le dotamos de un orden,

V ≤U si y solo si U ⊆ V

de modo que (Nx,≤) es un conjunto dirigido.Llamemos el tallo de x al lımite directo Gx = lim−−→U∈Nx

G (U ) respecto a los mor-

fismos de grupos

x ∈ V ≤U G (V )|U // G (U )

Para los elementos sx de Gx a los cuales llamaremos germenes del tallo, usaremos lanotacion sx = [s ∈ G (U )]x y entenderemos que s ∈ G (U ), x ∈ U y que sx es la clase

4 RAMON ABUD ALCALA

de equivalencia de s en lim−−→U∈NxG (U ) = Gx. Ası tenemos que [s1 ∈ G (U1)]x = [s2 ∈

G (U2)]x ∈ Gx si y solo si existe V ⊆U1 ∩U2 tal que x ∈ V y s1|V = s2|V .Los tallos heredan la estructura de grupo abeliano de la pregavilla de manera

canonica, dados [s1 ∈ G (U1)]x, [s2 ∈ G (U2)]x ∈ Gx consideramos V ⊆ U1 ∩ U2 ydefinimos:

[s1 ∈ G (U1)]x+[s2 ∈ G (U2)]x = [s1|V ∈ G (V )]x+[s2|V ∈ G (V )]x := [s1|V+s2|V ∈ G (V )]xque claramente esta bien definido.

Ahora vamos a construir una gavilla etale: Sean E =∐x∈X Gx y

E

p

��X

=∐x∈XGx

donde p(sx) = x la cual claramente es una funcion suprayectiva.Queremos dotar a E de una topologıa, sea U ⊆ X un abierto y x ∈ G (U ), defin-

imos el conjunto 〈s ∈ G (U )〉 = {[s ∈ G (U )]x | x ∈ U }. Y afirmamos que el conjuntoβ = {〈s ∈ G (U )〉 |U ∈ τ(X), s ∈ G (U )} es base para alguna topologıa de E.

Demostracion.•

⋃β = E es claro pues para todo sx ∈ Gx se tiene que para algun U ∈ τ(X)

sx = [s ∈ G (U )]x ∈ 〈s ∈ G (U )〉 ∈ β• Si 〈s1 ∈ G (U1)〉 ∩ 〈s2 ∈ G (U2)〉 , ∅ entonces existe x ∈ X tal que

[s1 ∈ G (U1)]x = [s2 ∈ G (U2)]xentonces existe U abierto tal que x ∈ U ⊆ U1 ∩U2 y s1|U = s2|U = s, por lotanto

[s ∈ G (U )]x ∈ 〈s ∈ G (U )〉 ⊆ 〈s1 ∈ G (U1)〉 ∩ 〈s2 ∈ G (U2)〉�

Aparte p es continua, abierta y es un homeomorfismo local.Demostracion.• Es continua pues si U ⊆ X es un abierto fijo entonces p−1(U ) =

∐s∈G (U )〈s ∈

G (U )〉.• Es abierta pues p(〈s ∈ G (U )〉) =U y β es base.• Es un homeomorfismo local pues si 〈s ∈ G (U )〉 ∈ β entones

p|〈s∈G (U )〉 : 〈s ∈ G (U )〉�// U

es biyectiva, continua y abierta, por tanto un homeomorfismo.�

Solo hace falta ver que las operaciones de grupo son continuas. Demostracion.basta demostrar que

(E ×E)∗ resta // E

([s1 ∈ G (U1)]x, [s2 ∈ G (U2)]x) � // [s1 ∈ G (U1)]x − [s2 ∈ G (U2)]x

es continua, pero para un basico en (E ×E)∗ que se ve de la forma

(〈s1 ∈ G (U1)〉 × 〈s2 ∈ G (U2)〉)∩ (E ×E)∗

GAVILLAS SOBRE ESPACIOS TOPOLOGICOS 5

podemos tomar x ∈ V ⊆U1 ∩U2 y entonces

([s1|V ∈ G (V )]x, [s2|V ∈ G (V )]x) � // [s1|V − s2|V ∈ G (V )]x

= [s ∈ G (V )]x ∈ 〈s ∈ G (V )〉

donde s = s1|V − s2|V , y por tanto

resta(〈s1|V ∈ G (V )〉 × 〈s2|V ∈ G (V )〉

)⊆ 〈s ∈ G (V )〉

y por lo tanto las operaciones son continuas.�

Y ası hemos construido para cada pregavilla G sobre X una gavilla etale sobre X ala cual llamaremos ΦG = (E,p,X).

Ahora veremos que esta manera de asociar gavillas etales a pregavillas es fun-torial, de modo que tomaremos un morfismo de pregavillas sobre X:

α : G // G ′

y consideramos ΦG = (E,p,X) y ΦG ′ = (E′ ,p′ ,X), queremos dar un morfismo degavillas etales inducido por α, tomemos el diagrama conmutativo de la transfor-macion natural:

α : G // G ′

U� _

��

G (U )αU // G ′(U )

V G (V )

OO

αV // G ′(V )

OO

la conmutatividad de este cuadrado nos dice que para cada x ∈ X, la familia{ αU : G (U ) // G ′(U ) }U∈Nx es un morfismo de sistemas dirigidos. El cual in-duce, para cada x ∈ X un morfismo en el lımite directo:

αx : Gx // G ′x

[s ∈ G (U )]x� // [αU (s) ∈ G ′(U )]x

Esto nos define una funcion Φα : ΦG // ΦG ′ , la cual afirmamos que es unmorfismo de gavillas etales.

Demostracion. Claramente el diagrama

EΦα //

p ��

E′

p′��X

es conmutativo, aparte tenemos que la imagen inversa de un basico

(Φα)−1(〈s′ ∈ G ′(U )〉) =⋃

s∈α−1U (s′)

〈s ∈ G (U )〉

⊆]

Supongamos que Φα([s ∈ G (U )]x) ∈ 〈s′ ∈ G ′(U )〉 pero Φα([s ∈ G (U )]x) =[αU (s) ∈ G ′(U )]x por tanto s′ = αU (s).

6 RAMON ABUD ALCALA

⊇]

Es claro.�

Ası Φα es un morfismo de gavillas etales. Pero eso no es todo,

Φ : pSh(X,Ab) // Shet(X,Ab)

es un funtor. Pues (Φ idG )([s ∈ G (U )]x) = [idG (s) ∈ G (U )]x = [s ∈ G (U )]x de modoque Φ idG = idG .

Y aparte

Φ(α′ ◦α)([s ∈ G (U )]x) = [α′ ◦α(s) ∈ G (U )]x = [α′(α(s)) ∈ G (U )]x= (Φα′)([α(s) ∈ G (U )]x) = (Φα′)((Φα)([s ∈ G (U )]x))

= (Φα′ ◦Φα)([s ∈ G (U )]x)

y ası Φ(α′ ◦α) = Φα′ ◦Φα.

4. La Pregavilla asociada a una Gavilla Etale

Sea G = (E,p,X) una gavilla etale y U ⊆ X un abierto, denotamos por

Γ (U,G) = { s :U // E | p ◦ s = idU , y s es continua}al conjunto de secciones continuas de p|U .

Observacion 4.1. (1) El cual es un grupo con las operaciones definidas pun-tualmente, es decir;

s+ s′ :U // E

x � // s(x) + s′(x)

Esta nueva seccion s+ s′ es continua pues esta dada como la composicion:

s+ s′ :U s×s′ // (E ×E)∗ suma // E

(2) El elemento neutro en Γ (U,G) es la seccion cero s0|U :U // E , al cualdenotaremos simplemente como s0.

(3) Si s ∈ Γ (U,G) entonces para cada x ∈U , s(U )∩Ex tiene solo un elemento.(4) Note que Γ (∅,G) = {s0} ∈Ab(5) Γ (,G) es una pregavilla, la cual llamaremos pregavilla de secciones de G.

Γ ( ,G) : τ(X) // Ab

U� _

��

Γ (U,G) s|U3

7−→

V Γ (V ,G)

OO

s3_

OO

Ahora veremos que la asignacion G� // Γ ( ,G) es funtorial.

Demostracion. Sea f :G // G′ un morfismo de gavillas etales, definimos

la transformacion natural Γ f : Γ ( ,G) // Γ ( ,G′) que en la componente para

U ∈ τ(X) se calcula como (Γ f )U (s) = f ◦ s :U // E // E′

GAVILLAS SOBRE ESPACIOS TOPOLOGICOS 7

Claramente Γ idG = idG y si Gf // G′

g // G′′ son dos morfismos de gavil-las etales entonces (Γ (g ◦ f ))U (s) = g ◦ f ◦ s = (Γ g)U (f ◦ s) = (Γ g)U ◦ (Γ f )U (s).

Por tanto Γ : Shet(X,Ab) // pSh(X,Ab) es un funtor.

�

Ahora veremos una propiedad especial que cumplen las pregavillas de secciones.

Lema 4.2 (Condiciones de Pegado o de Igualador). Sean G = (E,p,X) una gavillaetale sobre X, U ⊆ X un abierto y U =

⋃i∈I Ui una cubierta abierta de U .

(i) Si s, t ∈ Γ (U,G) y s|Ui = t|Ui para toda i ∈ I entonces s = t.(ii) Si si ∈ Γ (Ui ,G) son tales que si |Ui∩Uj = sj |Ui∩Uj para todas i, j ∈ I entonces

existe una unica s ∈ Γ (U,G) tal que s|Ui = si para toda i ∈ I .

Demostracion.

(i) Sea x ∈ U entonces existe i ∈ I tal que x ∈ Ui , de modo que s(x) = s|Ui (x) =t|Ui (x) = t(x).

(ii) Definimos s =⋃i∈I si , es decir,

s :U // E

x � // si(x) si x ∈Ui

La cual es una funcion continua que esta bien definida pues las hipotesisdel lema nos dicen que las si son funciones compatibles.

�

Definicion 4.3. Decimos que una pregavilla G sobre X es una gavilla sobre X sicumple las condiciones de pegado:

Para todo abierto U ⊆ X y toda cubierta abierta U =⋃i∈I Ui se tiene que

(i) Si s, t ∈ G (U ) y s|Ui = t|Ui para toda i ∈ I entonces s = t.(ii) Si si ∈ G (Ui) son tales que si |Ui∩Uj = sj |Ui∩Uj para todas i, j ∈ I entonces

existe una unica s ∈ G (U ) tal que s|Ui = si para toda i ∈ I .Que son equivalentes a que el siguiente diagrama sea un igualador en Ab.

G (U )ϕ //

∏i∈IG (Ui)

ψl //

ψr//

∏(i,j)∈I×I

G (Ui ∩Uj )

donde ϕ(s) = (s|Ui )i∈I , ψl((si)i∈I ) = (si |Ui∩Uj )(i,j)∈I×I y ψr ((sj )j∈I ) = (sj |Ui∩Uj )(i,j)∈I×I .Esto es cierto pues las condiciones de pegado son equivalentes a que ϕ sea

monomorfismo de grupos abelianos y ker(ψl − ψr) = im(ϕ), lo cual sucede si ysolo si ϕ es el igualador de ψl y ψr .

Ejemplo 4.4. No todas las pregavillas son gavillas:Sea X un espacio no vacıo y G un grupo abeliano no trivial. Definimos la pre-

gavilla constante G como G (U ) = G para todo abiertoU ⊆ X y las restricciones sonlas identidades.

Sean s1 , s2 elementos de G y U,V abiertos ajenos de X, quisieramos s ∈ G (U ∪V ) tal que s|U = s1 y s|V = s2, pero s|U = s = s|V .

8 RAMON ABUD ALCALA

5. El Isomorfismo de Gavillas

Sea G una pregavilla sobre X, para cada U ⊆ X definimos:

G (U )ηU // Γ (U,ΦG )

s � // ηU s :U // E

x � // [s ∈ G (U )]x

Veamos que ηU s es una seccion de la gavilla etale ΦG .

• p ◦ ηU s(x) = p([s ∈ G (U )]x) = x.• Es continua pues si W ⊆U es un abierto entonces 〈s ∈ G (W )〉 ⊆ 〈s ∈ G (U )〉

es un basico en im(ηUs) = 〈s ∈ G (U)〉. Aparte (ηU s)−1(〈s ∈ G (W )〉) =W quees abierto.

De modo que efectivamente ηU s ∈ Γ (U,ΦG ).

Lema 5.1. ηU es un morfismo de grupos. Mas aun, G es una gavilla si y solo si ηU esun isomorfismo.

Demostracion.

• Morfismo.

ηU (s+ s′)(x) = [s+ s′ ∈ G (U )]x= [s ∈ G (U )]x + [s′ ∈ G (U )]x= ηU (s)(x) + ηU (s′)(x) = (ηU (s) + ηU (s′))(x)

• Monomorfismo.Si s ∈ ker(ηU) entonces para cada x ∈ U tenemos ηU s(x) = [s ∈ G (U )]x =

0 ∈ Gx, por tanto existe un abierto Wx ⊆ U tal que x ∈ Wx y s|Wx= s0 ∈

G (Wx). Como⋃x∈UWx = U entonces por una de las condiciones de pe-

gado tenemos que s = s0.• Epimorfismo.

Si s ∈ Γ (U,ΦG ) entonces para toda x ∈ U existe una vecindad abiertade x, Ux ⊆ U y una hoja 〈sx ∈ G (Ux)〉 de ΦG tal que s(Ux) = 〈sx ∈ G (Ux)〉entonces tenemos que para toda x,y ∈U

sx |Ux∩Uy = sy |Ux∩Uy

Ası por una de las condiciones de pegado tenemoq que existe un unico s ∈G (U ) tal que s|Ux = sx para todo x ∈ U . Por lo tanto s(x) = [sx ∈ G (Ux)]x =[s ∈ G (U )]x = ηU s(x).

�

De este modo hemos construido un morfismo de pregavillas para cada pregav-illa G . Pues si s ∈ G (V ) entonces para toda x ∈U ,

(ηU s|U )(x) = [s|U ∈ G (U )]x = [s ∈ G (V )]x = ηV s(x)

GAVILLAS SOBRE ESPACIOS TOPOLOGICOS 9

lo cual nos da la conmutatividad del diagrama:

ηG : G // Γ ( ,ΦG )

U� _

��

G (U )ηU // Γ (U,ΦG )

V G (V )

OO

ηV // Γ (V ,ΦG )

OO

el cual es un isomorfismo si G es una gavilla.Aparte podemos formar la transformacion natural:

η : idpSh(X,Ab)// Γ Φ

G

α

��

G

α

��

ηG // Γ ( ,ΦG )

Γ Φα

��G ′ G ′

ηG ′ // Γ ( ,ΦG ′)

y para ver la conmutatividad del cuadrado nos basta revisar la conmutatividad de:

G (U )

αU

��

ηU // Γ (U,ΦG )

Γ ΦαU

��G ′(U )

η′U // Γ (U,ΦG ′)

que se sigue, pues si s ∈ G (U ) y x ∈U entonces

(Γ ΦαU (ηU s))(x) = (Φα◦(ηU s))(x) = Φα([s ∈ G (U )]x) = [αU s ∈ G ′(U )]x = η′U (αU s)(x)

Al proceso de asociarle a cada pregavilla G la gavilla Γ ( ,ΦG se le llama gavil-lificacion (o gavillanizacion).

6. El isomorfismo de Gavillas Etales

Sea G = (E,p,X) una gavilla etale, consideremos ΦΓ ( ,G) = (F,q,X) la gavillaetale asociada a la pregavilla de secciones de G.

Definimos el siguiente morfismo de gavillas etales:

E′εG //

p′ ��

E

p��X

Dado por εG([s ∈ Γ (U,G)]x) = s(x)

• Esta bien definido pues si [s1 ∈ Γ (U1,G)]x = [s2 ∈ Γ (U2,G)]x entonces existeun abierto U ⊆U1∩U2 tal que x ∈U y s1|U = s2|U y por tanto s1(x) = s2(x).

• Hace conmutar el triangulo pues

p(εG([s ∈ Γ (U,G)]x)) = p(s(x)) = x = q([s ∈ Γ (U,G)]x)

10 RAMON ABUD ALCALA

• Para ver que es continuo basta tomar una hoja S ⊆ E, p(S) =U1 y la seccioncorrespondiente s1 :U1 �

// S . De modo que si εG([s2 ∈ Γ (U2,G)]x) ∈ Sentonces s2(x) ∈ S lo cual implica que x ∈ U1 y por tanto existe un abiertoU ⊆ U1 ∩U2 tal que s1|U = s2|U ası [s1 ∈ Γ (U1,G)]x = [s2 ∈ Γ (U2,G)]x por lotanto ε−1

G(S) = {[s1 ∈ Γ (U1,G)]x | x ∈U1} = 〈s1 ∈ Γ (U1,G)〉.

• Es morfismo de grupos abelianos en fibras:

εG : Fx // Ex

Sean [s1 ∈ Γ (U1,G]x, [s2 ∈ Γ (U2,G]x ∈ Fx entonces existe un abierto U ⊆U1 ∩U2 con x ∈U y ası

εG([s1 ∈ Γ (U1,G]x + [s2 ∈ Γ (U2,G]x) = εG([s1|U + s2|U ∈ Γ (U,G]x)

= (s1|U + s2|U )(x)

= s1|U (x) + s2|U (x)

= s1(x) + s2(x)

= εG([s1 ∈ Γ (U1,G]x) + εG([s2 ∈ Γ (U2,G]x)

• Es monomorfismo pues si εG([s ∈ Γ (U,G]x) = 0x ∈ Ex entonces s(x) = 0x =s0(x) y por tanto existe un abierto V ⊆ U tal que x ∈ V y s|V = s0. Ası[s ∈ Γ (U,G)]x = [s0 ∈ Γ (V ,G)]x = 0x ∈ Fx.

• Es epimorfismo porque si e ∈ Ex entonces tomamos una hoja S que tengaa e y consideramos el abierto U = p(S) y la seccion s :U

�// S , y por lo

tanto εG([s ∈ Γ (U,G]x) = s(x) = e.Ası hemos construido un isomorfismo de gavillas etales, el cual define una

transformacion natural:

ε : ΦΓ // idShet(X,Ab)

G

f

��

ΦΓ ( ,G)

ΦΓ f

��

εG // G

f

��G′ ΦΓ ( ,G′)

εG′ // G′

Cuyo cuadrado conmuta pues

f (εG([s ∈ Γ (U,G)]x)) = f (s(x))

= f ◦ s(x)

= εG′ ([f ◦ s ∈ Γ (U,G′)]x)

= εG′ ([Γ fU (s) ∈ Γ (U,G′)]x)

= εG′ (ΦΓ f ([s ∈ Γ (U,G)]x))

Ası la subcategorıa plena de la categorıa de pregavillas cuyos objetos son las gav-illas es naturalmente equivalente a la categorıa de gavillas etales.

References

[1] Friedrich Hirzebruch. “Topological Methods in Algebraic Geometry ”, Springer-Verlag, 1968.[2] Joseph J. Rotman. “An Introduction to Homological Algebra”, Second Edition, Springer-Verlag,

2009.