GEOMETRÍA 3D
Plano Cartesiano y Vectores
Docente: Susana M. Hueicha Hernández
Cursos: Tercero Medio-Cuarto Medio
Temuco, Mayo de 2020
Plano Cartesiano
Elementos del PlanoDefinición
Un sistema de coordenadas consiste en dos rectas
perpendiculares llamadas ejes que se intersectan en
un punto llamado origen.
Características
La recta horizontal es llamada: eje de x o abscisa.
La recta vertical es llamada: eje de y u ordenada.
El plano de coordenadas se divide en cuadrantes
(I, II, III, IV)
Los puntos en el plano de coordenadas se llaman
pares ordenados P(x, y)
El par ordenado que corresponde al origen tiene
las coordenadas (0,0).
Plano Cartesiano
Elementos del Plano La coordenada X, indica si me muevo a la izquierda o
a la derecha dependiendo del signo.
La coordenada Y, indica si me muevo hacia arriba o
hacia abajo dependiendo del signo.
Según el signo del par ordenado, las coordenadas
pueden estar localizadas de las siguientes formas.
En el cuadrante I se localizan todos los puntos
positivos.
En el cuadrante II la coordenada x es negativa,
pero la coordenada y continua positiva.
En el cuadrante III ambas coordenadas están
negativas.
En el cuadrante IV la coordenada x es positiva,
pero la coordenada y se convierte en negativa.
(-,+)
(-,-)
(+,+)
(+,-)
Características
¿Cómo ubico el punto (2, 4)?
Como X es positivo, indica movimiento hacia la
derecha y como Y es positivo indica
movimiento hacia arriba. Por lo tanto, el punto
se ubica 2 unidades hacia la derecha y 4
unidades hacia arriba. En el cuadrante I.
¿Cómo determino el punto P(x,y)?
Como en el eje X el punto está ubicado 6
unidades a la izquierda y en el eje Y está
ubicado 4 unidades hacia abajo, podemos
deducir que el punto coordenado corresponde
a P(-6,-4). En el cuadrante III.
Ubicar y determinar puntos en el plano
III
III IV
EJEMPLO
Calcular la distancia entre P1 (2,1) y P2 (6,4)
d = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)
2
d = (6 – 2)2 + (4 – 1)2
d = (4)2 + (3)2
d = 16 + 9
d = 25
d = 5
Por lo tanto, la distancia entre los puntos P1 (2,1) y
P2 (6,4) es 5
Distancia entre dos puntos
(x2 – x1)
Según el teorema de Pitágoras, ¿Cuál es la distancia
entre el punto P1 y el punto P2?
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
(y2 – y1)d
Eje de abscisas (X)
Eje de ordenadas (Y)
x2
y2
y1
x1
La distancia entre dos puntos en el plano cartesiano,
se puede establecer por medio del teorema de
Pitágoras.
d = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)
2
(x2, y2)(x1, y1)
Vectores
Suma de vectoresSe realiza sumando componente acomponente
Resta de vectoresSe realiza sumando el 1er componentecon el opuesto del 2do componente
Producto de un vector por un escalarSe realiza multiplicando un número real porcada componente del vector.
AnalíticamenteSi y son dos vectores, entonces:
AnalíticamenteSi y son dos vectores, entonces:
AnalíticamenteSi y Entonces:
Gráficamente Gráficamente Gráficamente
Operatoria Vectores
v)(u,b
y)(x,a
v) yu,(xba
ba
v)(u,b
y)(x,a
v)– yu,–(xb–a
y)· x,· (a ·
b–a
0 con IR, y)(x,a
Suma de VectoresEjemplo Analíticamente Ejemplo Geométricamente
AnalíticamenteSi y son dos vectores, entonces:
Por ejemplo:
Si Ԧs = (3,-2) y Ԧt = (3,3) entonces:
Ԧs + Ԧt = (3 + 3 , -2 + 3)
Ԧs + Ԧt = (6, 1)
v)(u,b
y)(x,a
v) yu,(xba
Si Ԧs = (3,-2) y Ԧt = (3,3)
entonces:
Para representar
gráficamente la
suma de vectores,
se dibujan uno a
continuación del
otro
Luego, se une el origen
de Ԧs con el extremo
final de Ԧt
Ejemplo Analíticamente Ejemplo Geométricamente
AnalíticamenteSi y son dos vectores, entonces:
Por ejemplo:
Si Ԧs = (3,-2) y Ԧt = (3,3) entonces:
Ԧs - Ԧt = (3 - 3, -2 - 3)
Ԧs - Ԧt = (0, -5)
Resta de Vectores
v)(u,b
y)(x,a Si Ԧs = (3,-2) y Ԧt = (3,3)
Entonces, - Ԧt = (-3,-3)
Para representar
gráficamente la
suma de vectores,
se dibujan uno a
continuación del
otro
Luego, se une el origen
de Ԧs con el extremo
final de −Ԧt
a − b = ( x - u) , y - v)
Ԧs − Ԧt
Ejemplo Analíticamente Ejemplo Geométricamente
AnalíticamenteSi y Entonces:
Por ejemplo:Caso 1 Caso 2
Si a = (1,-2) y 𝛼 = 2 Si a = (1,-2) y 𝛼 = -2 entonces: entonces:
𝛼 ∙ a = (2 ∙ 1 , 2 ∙ -2) 𝛼 ∙ a = (-2 ∙ 1 , -2 ∙ -2)
𝛼 ∙ a = (2, -4) 𝛼 ∙ a = (-2, 4)
Producto de un vector por un escalar
Si a = (1,-2) Caso 1 𝛼 = 2 entonces: Caso 𝛼 = -2 entonces:
Para representar gráficamente, se dibuja el vector a continuación del otro
según la cantidad de veces que indica el escalar
y)· x,· (a ·
0 con IR, y)(x,a
• Si 𝛼 > 0, mantiene dirección y sentido del vector original.
• Si 𝛼 < 0, mantiene dirección pero sentido contrario
𝛼
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