7 8
9 10
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
TEMA: ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA - SEGMENTOS
ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍAEl Plano
Imagina una hoja de papel que se extiende indefinidamente en todas sus direcciones. Esto te dará una idea de Plano.
El plano no tiene límite y solamente podemos representar una parte de él.
La RectaEl borde de una regla, el pliegue de una hoja doblada, etc., nos
dan una idea aproximada de lo que es una Recta.La recta es una línea que se extiende indefinidamente en ambos
sentidos. Se designa a veces por dos letras mayúsculas o por una sola letra (mayúscula o minúscula).
La recta es un sub conjunto de plano, esto quiere decir que el plano contiene infinitas rectas.
Notación:
: Se lee “recta AB” : Se lee “recta L” : Se lee recta “m”
El PuntoEn el plano P se han trazado las rectas m y n las cuales se cortan
en el punto “A”, o sea la intersección de las dos rectas en el punto “A”. Luego:
Semirrecta
. .
El punto A divide a la recta en dos partes, cada parte recibe el nombre de semirrecta.
Rayo
: Rayo de Origen “O” y que pasa por “B”: Rayo de Origen “O” y que pasa por “A”
A la unión de una semirrecta con un punto frontera se llama rayo. El punto donde se inicia el rayo se llama origen.Segmento
: Se lee “Segmento AB”: Se lee “Segmento BA”
Geometría Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
La parte de una recta comprendida entre dos puntos, incluyendo a dichos puntos se llama segmento.
Un segmento se denota por letras mayúsculas que corresponden a sus extremos, con una rayita superior. El segmento se diferencia de la recta, el rayo y la semirrecta, por tener longitud.
SEGMENTOSMedición o Comparación de Segmentos
La longitud de un segmento es la distancia que hay entre los dos puntos de cada uno de sus extremos.
Ejemplo:Al medir el segmento con una regla graduada en centímetros
comprobamos que su medida es de 4 cm.
PQ = 4 cm o m( ) = 4 cm
Operaciones con SegmentosLas operaciones se realizan con los números que indican las
longitudes.Ejemplo:
Con respecto a la figura que se muestra, realizar las operaciones siguientes:
1) AM + MN – NB
Rpta. _ _ _ _ _ _
2) 2AM + 3MN
Rpta. _ _ _ _ _ _
3) AM . MN + MN . NB
Rpta. _ _ _ _ _ _
4)
Rpta. _ _ _ _ _ _
5) NB2 – AM2
Rpta. _ _ _ _ _ _
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Dados los puntos colineales P, Q, R, S tal que PR = 18m,QS = 16m, PS = 20m.Hallar QR
Rpta.
2. Sobre una recta, se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E de manera que:
4. Si A, B, C, y D son puntos consecutivos sobre una recta tal que AC = 4, BD = 7.Hallar la distancia entre los
puntos medios de y .
Rpta.
5. Los puntos colineales A, M, I, cumplen con la condición
Geometría Geometría
11 12
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
Calcular BC, si AE = 28
Rpta.
3. P, Q, R, T, son puntos colineales tales que QR = 3,PT = 5.Hallar PQ si:
Rpta.
AI + MI = AM
Hallar
Rpta.
6. Dado los puntos colineales A, B, C, D y E que verificanAB = BC/4; AC = AD/2,DE = AE/3.Hallar BD, si CD = 5
Rpta.
7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D tales que “B” es punto medio de
.Calcular “BD” sabiendo que:AD + CD = 18
Rpta.
8. Sobre una recta, se ubican los puntos consecutivos P, Q, R, S, tal que “Q” es punto medio de
.
10. Sobre una recta se
ubican los puntos
consecutivos A, B y C, tal
que BC = 2AB y AC = 6.
Calcular BC
Rpta.
11. Hallar la distancia de
“A” al punto medio de
Calcular “BD” sabiendo que:
PS + RS = 24
Rpta.
9. Sobre una recta se tiene los puntos consecutivos A, B, M, C donde M es punto
medio de , sabiendo que BC – AB = 24.Calcular “BM”
Rpta.
Rpta.
12. Hallar “x” si EG = 24
Rpta.
13. Hallar “x”, si AB + AD = 40
Rpta.
14. Hallar MN, si AC + BD = 52
Rpta.
15. Si “M” y “N” son puntos medios de y Hallar AC si NC = 48
Rpta.
Geometría Geometría
13
14
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Dados los puntos colineales P Q, R, S, tal que PR = 24,QS = 36, PS = 50.Hallar QR
A) B) C)D) E)
2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E de manera que
Calcular CD, si AE = 72
4. Si A, B, C y D son puntos consecutivos sobre una recta tal que AC = 6, BD = 8.Hallar la distancia entre los puntos medios de y
A) B) C)D) E)
5. Los puntos colineales A, M, I, cumplen con la condición:
AI + MI = AM
Hallar
A) B) C)D) E)
3. P, Q, R, T, son puntos colineales tales que QR = 4,PT = 8
Hallar PQ, si
A) B) C)D) E)
A) B) C)
D)E)
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”
V.L.E.B.
6. Dados los puntos colineales A, B, C, D y E, que verifican:
, ,
Hallar BD, si CD = 24
A) B) C)D) E)
7. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D tales que “B” es punto medio de
.Calcular BD, sabiendo queAD + CD = 24
9. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, y C tal que BC = AB y AC = 9.Calcular BC
A) B) C)D) E)
10. Hallar la distancia de “A” al punto medio de CD
A) B) C)D) E)
Geometría Geometría
15 16
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
A) B) C)D) E)
8. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos, A, B, M, C, donde M es punto medio de
, sabiendo que BC – AB = 124.Calcular BM
A) B) C)D) E)
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”
V.L.E.B.
CLAVES
1. A
2. E
3. C
4. C
5. E
6. D
7. C
8. B
9. D
10. A
TEMA: ÁNGULOS
Observa como en cada momento las manecillas del reloj forman un ángulo.
DEFINICIÓNÁngulo es la unión de dos rayos que tienen un origen común.
ELEMENTOS- Lados: Son los rayos y - Vértice: Es el origen común “B”
Notación:
Geometría Geometría
17
18
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
En general los ángulos se designan con tres letras mayúsculas; la letra central corresponde al vértice.
Algunas veces, cuando no hay lugar a confusión un ángulo se nombra con la letra del vértice.
∢ABC,
El símbolo ∢ se lee “ángulo”
MEDIDA DE UN ÁNGULOLos ángulos se miden en grados sexagesimales.Para encontrar la medida de un ángulo se utiliza un instrumento
llamado transportador. Cuando no se conoce la medida, se representa mediante una letra griega en la abertura.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULOEs el rayo que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos
ángulos congruentes.
divide al ∢A0B en dos ángulos.
y que son congruentes por tener la misma
medida “” luego. es bisectriz de ∢A0B
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDAÁngulo Nulo
Cuando sus dos lados coinciden midiendo de esta manera 0º.
. m∢A0B = 0º .Ángulo Agudo
Es el ángulo cuya medida es menor que 90º y mayor que 0º.
. 0º < m∢A0B < 90º .
Ángulo RectoEs el ángulo cuya medida es igual a 90º.
. m∢A0B = 90º .
Ángulo ObtusoEs el ángulo cuya medida es menor que 180º pero mayor que
90º.
Geometría Geometría
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20
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
. 90 < m∢A0B < 180º .Ángulo Llano
Es aquel cuya medida es 180º. (sus lados se encuentran extendidos en direcciones opuestas)
. m∢A0B = 180º .
Ángulo de una VueltaEs el ángulo cuya medida es 360º
. m∢A0B = 360º .
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓNÁngulo Consecutivos
Son los que tienen lados en común y el mismo vértice
Ángulo Opuestos por el VérticeSon dos ángulos que tienen el mismo vértice y sus lados son
opuestos (tienen la misma medida)
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN LA COMPARACIÓN DE SUS MEDIDASÁngulo Complementarios
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90º.
. + = 90º .
Geometría Geometría
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22
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
Ángulo SuplementariosDos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es
180º
. + = 180º .TEOREMAS FUNDAMENTALESTeorema I
La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un mismo vértice y a un mismo lado de una recta es 180º
. + + + = 180º .
Teorema IILa suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados
alrededor de un punto en un plano es 360º.
. + + + + = 360º .
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. En la figura mostrada.
Hallar la medida de los ángulos y
Rpta.
2. En la figura mostrada.m∢A0B + m∢B0C + m∢C0D = 80º
3. En la figura mostrada = 3x – 10º = 2x + 5º
Hallar el complemento de “”
Rpta.
4. En la figura mostrada = x + 8º
Geometría Geometría
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24
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
Hallar la medida del ángulo BOD.
Rpta.
= 3x + 4º = x – 2º
Hallar el suplemento de
Rpta.
5. Dos ángulos complementarios están en la relación de 3 a 2.Hallar la medida de cada uno de estos ángulos.
Rpta.
6. En la figura mostrada = x + 5º = x + 20º = 4x + 10º = 100º – x
Hallar el valor de: “”
7. En la figura mostrada
es bisectriz de A0B
es bisectriz de B0C
Rpta.
8. En la figura // . Aplicando las propiedades que conoces calcula todos los ángulos que faltan.
Rpta.
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”V.L.E.B.
Rpta.
9. En la figura // .
Aplicando las propiedades
que conoces calcula todos
los ángulos que faltan.
Rpta.
10. En la figura // .
Aplicando las propiedades
que conoces calcula todos
los ángulos que faltan.
11. En la figura // . Aplicando las propiedades que conoces calcula todos los ángulos que faltan.
Rpta.
12. En la figura identifica qué tipo de parejas son los ángulos “marcados” y escribe la propiedad que le corresponde, sabiendo que:
// .
Geometría Geometría
25 26
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
Rpta. Rpta.
13. En la figura identifica qué tipo de parejas son los ángulos “marcados” y escribe la propiedad que le corresponde, sabiendo que:
// .
Rpta.
14. En la figura identifica qué tipo de parejas son los ángulos “marcados” y escribe la propiedad que le corresponde, sabiendo que:
// .
15. En la figura identifica qué tipo de parejas son los ángulos “marcados” y escribe la propiedad que le corresponde, sabiendo que:
// .
Rpta.
AMIGOS SON LOS QUE EN LAS PROSPERIDADES ACUDEN AL
Rpta.
SER LLAMADOS Y EN LAS ADVERSIDADES SIN SERLO
DEMETRIO I
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. la figura.m∢P0R = 120º. ¿Cuánto mide el ángulo R0S?
A) B) C)D) E)
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) con respecto a la siguiente figura
I. El m∢M0P es agudo ( )II. El m∢P0Q es obtuso
( )
3. Completar la siguiente oración:“2 rectas en un plano son ......................... cuando por más que se prolonguen no llegan a cortarse”
A) Perpendiculares
B) C)D) E)
4. ¿Cuánto mide el ángulo A0B?
A) B) C)D) E)
Geometría Geometría
2728
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
III. El m∢Q0T es llano ( )IV. El m∢M0Q es recto ( )
A) VFVF B) C)D) E)
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”
V.L.E.B.
5. Dos ángulos adyacentes suplementarios difieren en 40º. Hallar la medida del mayor ángulo.
A) B) C)D) E)
6. ¿Cuánto mide un ángulo si la diferencia entre su suplemento y su complemento es seis veces el ángulo?
A) B) C) 22º30'
D) E)
7. Si: //Hallar “x”
8. Si: //Hallar “y”
A) 137º59’60”
B) 137º
C) 137º43’42”
D)147º
E) 137º42’46”
9. Si: //Hallar “”
A) 40º20’
B) 44º20’
C) 34º20’
D)41º20’
E) 45º20’
A) B)C) D)
”E)
10. Si: //Hallar “”
A) 179º
B) 107º
C) 107º42’49”
D) 117º42’49”
E) 107º49’42”
CLAVES
1. C
2. D
3. C
6. A
7. B
8. C
Geometría Geometría
29 30
31
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
4. C
5. B
9. C
10. E
TEMA: TRIÁNGULOS I – PROPIEDADES BÁSICAS
CONCEPTOEs un polígono que tiene tres lados
CLASIFICACIÓNSegún la Medida de sus Lados
Escaleno Isósceles Equilátero
Según la Medida de sus Ángulos
Obtusángulo Acutángulo Rectángulo
PROPIEDADES BÁSICAS1. La suma de los ángulos interiores en un triángulo es 180º
. + + = 180º .2. Un ángulo exterior cualquiera es siempre igual a la suma de los
ángulos interiores no adyacentes a él.
. = + .
LA CARRERA PROFESIONAL DEINGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
El ingeniero de sistemas tiene como función principal elaborar soluciones sobre la base de elementos tecnológicos (hardware, software y de comunicación); estas soluciones pueden corresponder a construcción, adaptación y/o implantación de dichos elementos integrados para satisfacer las necesidades de las empresas, en todos sus niveles de gestión (operativa, táctica y estratégica).
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. En un ABC: m∢A = 3. El triángulo ABC, en el
Geometría Geometría
32 33
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
35º20’45” y m∢B = 72º25.Calcular m∢C
Rpta.
2. Un ángulo de un triángulo mide 48º35’20”.Calcular la medida del ángulo exterior del mismo vértice.
Rpta.
cual m y m .
¿De qué clase de triángulo se trata?
Rpta.
4. En un triángulo ABC: m
, m y .
Hallar el valor de cada ángulo de dicho triángulo
Rpta.
5. Si ≅ , m
y m
¿Cuánto mide el ángulo
ADC?
7. Dado el ABC:
Rpta.
6. En la figura mostrada:
// .
Calcular la medida de “”
Rpta.
¿Cuál es el menor
perímetro entero que puede
tener dicho triángulo?
Rpta.
8. En la figura mostrada:
Calcular el valor de “a”
Rpta.
9. En la figura mostrada: 11. En la figura mostrada:
Geometría Geometría
34 35
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
Hallar el valor de “b”
Rpta.
10. En la figura mostrada:
Hallar el valor de “c”
Rpta.
Hallar el valor de “d”
Rpta.
12. En la figura mostrada.
Calcular el valor de “”
Rpta.
EL AMOR SEMEJA A UN ÁRBOL; SE INCLINA POR SU PROPIO PESO, ARRAIGA PROFUNDAMENTE EN TODO NUESTRO SER Y A VECES SIGUE VERDECIENDO EN LAS RUINAS DEL CORAZÓN.
VÍCTOR HUGO
13. En la figura mostrada: 15. En la figura mostrada:
Hallar el valor de “”
Rpta.
14. En la figura mostrada:
Hallar el valor de “”
Rpta.
Hallar el valor de “”
Rpta.
EL AMOR ES LA MÁS FUERTE DE TODAS LAS PASIONES, PORQUE ATACA AL MISMO TIEMPO A LA CABEZA, AL CORAZÓN Y AL CUERPO.
VOLTAIRE
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. En la figura.Hallar “x”
3. Hallar “x” en:
Geometría Geometría
36
37
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
A) B) C)D) E)
2. Hallar “x” en:
A) B) C)D) E)
A) B) C)D) E)
4. En la figura:Hallar “x”
A) B) C)D) E)
ES AMIGO MÍO AQUEL QUE ME SOCORRE, NO EL QUE ME COMPADECE.
THOMAS FULLER
5. Hallar “x” en: 7. Hallar el valor de “x” en:
A) B) C)
D) E)
6. ¿Qué valor puede tener el
lado BC en el triángulo ABC
que se muestra?
A) B) C)
D) E)
A) B) C)
D) E)
8. Hallar el valor de “x” en:
Si AB = BC
A) B) C)
D) E)
9. En la figura: 10.En la figura, hallar “x”
Geometría Geometría
38
39
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
Hallar el valor de “x” en la figura. Si BP = PC
A) B) C)D) E)
A) B) C)D) E)
CLAVES
1. C
2. B
3. C
4. B
5. C
6. A
7. B
8. C
9. B
10. C
TEMA: TRIÁNGULOS II: LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES
ALTURA
Segmento que sale de un vértice y corta en forma perpendicular
al lado opuesto o a su prolongación.
Ortocentro (H)
Es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo.
H: Ortocentro.
PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO ORTOCENTRO.ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO.ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO.SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL VÉRTICE DEL ÁNGULO RECTO.
MEDIANASegmento que une un vértice con el punto medio del lado
opuesto a dicho vértice.
Baricentro (G)
Geometría Geometría
40
41
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un triángulo.G: Baricentro
PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO BARICENTRO.DIVIDE A CADA MEDIANA EN RELACIÓN COMO 1 ES A 2.EL BARICENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR.ES LLAMADO TAMBIÉN GRAVICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD DE LA REGIÓN TRIANGULAR.
BISECTRIZSegmento que divide a un ángulo interior o exterior en dos
ángulos de igual medida.
Incentro (I)Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores de
un triángulo, es el centro de la circunferencia inscrita
PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INCENTRO.EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL TRIÁNGULO.EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR DEL TRIÁNGULO.
Excentro (E)Es el punto donde se intersectan dos bisectrices exteriores con
una bisectriz interior en un triángulo, es el centro de la circunferencia exinscrita
E: Encentro relativo de
PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE TRES EXCENTROS.LOS EXCENTROS SON SIEMPRE PUNTOS EXTERIORES AL TRIÁNGULO.
MEDIATRIZEs una recta que pasa por el punto medio de un lado cortándolo
en forma perpendicular.
: Mediatriz de
Circuncentro (O)Es el punto donde se corta las tres mediatices de un triángulo.
Geometría Geometría
42
43
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
C: Circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita
PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO CIRCUNCENTRO.EL CIRCUNCENTRO EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO.ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO.ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO.SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL PUNTO MEDIO DE LA HIPOTENUSA.
Propiedad:Si: “0” es circuncentro
. x = 2 .
CEVIANASegmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado
opuesto o de su prolongación.
Cevacentro (C)Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un triángulo.
PARA RECORDAR:TODO TRIÁNGULO TIENE INFINITOS CEVACENTROS.
Geometría Geometría
44
45
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
OBSERVACIONES:- PARA UBICAR UN PUNTO NOTABLE SÓLO ES NECESARIO TRAZAR
DOS LÍNEAS NOTABLES DE LA MISMA ESPECIE.- EN TODOS LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES SI SE TRAZA UNA DE
LAS CUATRO PRIMERAS LÍNEAS NOTABLES HACIA LA BASE; DICHA LÍNEA CUMPLE LAS MISMAS FUNCIONES QUE LAS OTRAS.
- EN TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO EL ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y CIRCUNCENTRO COINCIDEN.
- EN TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES, EL ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y EL EXCENTRO RELATIVO A LA BASE, SE ENCUENTRAN ALINEADOS EN LA MEDIATRIZ DE LA BASE.
PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES1. Ángulo formado por dos
bisectrices interiores.
. .
2. Ángulo formado por dos
bisectrices exteriores.
. .
3. Ángulo formado por una
bisectriz interior y una
bisectriz exterior.
. .
4.. .
5.
. .
6.. .
Geometría Geometría
46
47
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
7.
. .
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”V.L.E.B.
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Hallar “x” en:
Rpta.
4. En la figura.Hallar “x”
Rpta.
2. Hallar “x” en:
Rpta.
3. Hallar “x” en:
Rpta.
5. Hallar “x” en:
Rpta.
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”
V.L.E.B.
6. Hallar “x” en:
Rpta.
7. Hallar el valor de “x” en:
8. Hallar el valor de “x” en:
Rpta.
Geometría Geometría
48
49
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
Rpta.
9. Hallar “x” en:
Rpta.
AMIGOS SON LOS QUE EN LAS PROSPERIDADES ACUDEN AL SER LLAMADOS Y EN LAS ADVERSIDADES SIN SERLO
DEMETRIO I
10. Hallar “x” en:
Rpta.
12. Hallar “x” en:
Rpta.
13. Hallar “x” en:
11. Hallar “x” en:
Rpta.
Rpta.
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”
V.L.E.B.
14. Hallar “x” en:
Rpta.
15. Hallar “x” en:
Rpta.
TENEMOS LA VIRTUD, QUE A VECES ES DEFECTO, DE LA GENEROSIDAD EN EL MOMENTO DEL TRIUNFO, SIN DARNOS
Geometría Geometría
5051
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
CUENTA DE QUE AQUEL QUE HA SIDO PROVISIONALMENTE, INTERPRETA LA GENEROSIDAD COMO DEBILIDAD, Y APROVECHARÁ LA SITUACIÓN PARA INVERTIRLA.
PABLO MACERA
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Hallar el valor de “ + ” en:
A) B) C)D) E)
2. En la figura que se muestra.Hallar el valor de “x”
3. Hallar el valor de “x” en:
A) B) C)D) E)
4. Hallar el valor de “x” en
A) B) C)D) 25º30’ E)
A) B) C)D) E)
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”
V.L.E.B.
5. Hallar el valor de “x”, sabiendo que M es punto medio de AB
A) B) C)D) E)
6. Hallar el valor de “x” en:
A) B) C)
7. Hallar el valor de “x” en:
A) B) C)D) E)
8. Hallar “x” en:
A) B) C)D) E)
Geometría Geometría
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53
54
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
D) E)
EN LA VIDA LA PACIENCIA HA DE SER EL PANDE CADA DÍA; PERO LA NECESITAMOS EN PARTICULAR PARA NOSOTROS, PORQUE NADIE SE NOS HACE TAN PESADO COMO NOSOTROS MISMOS.
SAN FRANCISCO DE SALES
9. Hallar el valor de “x”
A) B) C)D) E)
10. Hallar el valor de “x” en:
A) B) C)D) E)
CLAVES
1. C
2. C
3. C
4. B
5. B
6. B
7. B
8. A
9. B
10. D
¿SABÍAS QUÉ...
LA CARRERA PROFESIONAL DEADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
La globalización y la modernidad han permitido a la naciones desarrollar redes de relaciones multilaterales que facilitan la integración económica internacional.
Es importante que la administración de negocios internacionales esté dirigida por expertos con visión estratégica que responda a criterios de productividad, competitividad y calidad, que permita ver el mundo como una verdadera aldea global y propicie un fuerte intercambio de mercaderías, de personas y de tecnología.
TEMA: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Geometría Geometría
5556
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados
congruentes y sus tres ángulos congruentes respectivamente.
ABC = PQR
OBSERVACIÓN:
EN UN PROBLEMA DADO SE PODRÁ AFIRMAR QUE DOS TRIÁNGULOS SON
CONGRUENTES SI TIENEN COMO MÍNIMO TRES ELEMENTOS IGUALES, DE
LOS CUALES UNO DE ELLOS DEBE SER UN LADO.
CASOS DE CONGRUENCIA EN TRIÁNGULOS
1. Caso (L.A.L.)
2. Caso (A.L.A.)
3. CASO (L.L.L.)
4. Caso (L.L.A.)
: Opuesto al mayor lado
PROPIEDADES EN CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1. De la BisectrizTodo punto situado en la bisectriz siempre equidista de los lados del ángulo.
Geometría Geometría
57
58
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
. .
2. De la MediatrizTodo punto situado en la mediatriz e un segmento, siempre equidista de los extremos de dicho segmento.
. PA = PB .
3. De la Base Media de un TriánguloEl segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado y mide la mitad de lo que mide el tercer lado.
Si: // Si: M y N son puntos medios
. BN = NC . . .
4. De la Mediana Relativa a la Hipotenusa
La mediana relativa a la hipotenusa siempre mide la mitad de lo que mide la hipotenusa.
. .
CÓMO DEMOSTRAR CUALQUIER COSA
Bertrand Russell estaba tratando sobre los enunciados condicionales y sosteniendo que un enunciado falso implica cualquier cosa, todo. Un filósofo escéptico le preguntó:
- ¿Quiere usted decir que si 2 + 2 = 5, entonces es usted el Papa?
Russell contestó afirmativamente y dio la divertida "prueba" que sigue:
- Si suponemos que 2 + 2 = 5, entonces seguramente estará usted de acuerdo en que si restamos 2 de cada lado de la ecuación, nos da 2 = 3. Invirtiendo los términos, tenemos que 3 = 2 y restando 1 de cada lado, nos da 2 = 1. De modo, que como el Papa y yo somos dos personas, y 2 = 1, entonces el Papa y yo somos uno. Luego, yo soy el Papa.
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Calcular AE, si BD = 6,
DE = 2, BC = 7 y //
3. En el gráfico.Calcular CD, si BE = EC = 10
Geometría Geometría
5960
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
Rpta.
2. Calcular “x”, si AD = DE
y
AB = EC
Rpta.
Rpta.
4. Según los gráficos mostrados. Calcular x + y
Rpta.
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”
V.L.E.B.
5. Según el gráfico calcular
“x”, si // , ED = DC y
AD = BC
7. Según el gráfico.
Calcular AB, si AD = DC =
10
Rpta.
6. Calcular “x”, si AD = DE
y
AB = EC
Rpta.
Rpta.
8. En el gráfico: AB = .
Calcular BD
Rpta.
9. Según el gráfico AB = 10
y
+ = 240º
Calcular BH
11. Del gráfico PQ = QR, QR
= ER.
Calcular
Geometría Geometría
61
62
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
Rpta.
10. Del gráfico
Calcular “x”; LC = 2(AL)
Rpta.
Rpta.
12. Hallar “x” en:
AB//CD
Rpta.
13. Hallar “x” en: 15. Hallar “x” en la figura, six = a + b + c
Rpta.
14. Hallar “x” en:
ABCD cuadrado
PQRS puntos medios
Rpta.
Rpta.
EL AMOR SEMEJA A UN ÁRBOL; SE INCLINA POR SU PROPIO PESO, ARRAIGA PROFUNDAMENTE EN TODO NUESTRO SER Y A VECES SIGUE VERDECIENDO EN LAS RUINAS DEL CORAZÓN.
VÍCTOR HUGO
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Calcular AE, si BD = 4, DE = 1, BC = 5 y //
3. En el gráfico, calcular
CD, si AB = EC = 6
Geometría Geometría
63
64
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
A) B) C)D) E)
2. Calcular x, si AD = DE yAB = BC
A) B) C)D) E)
A) B) C)
D) E)
4. Según los gráficos
mostrados, calcular x + y
A) B) C)
D) E)
5. Según el gráfico, calcular “x”, si AM = MCT.R. BHA ≅ T.R. CNM.
7. En el gráfico AB = .
Calcular BD
A) B) C)D) E)
6. Según el gráfico, calcular AB, si AD = DC = 8
A) B) C)
D) E)
A) B) C)
D) E)
8. Según el gráfico AB = 8 y + = 240º.Calcular BH
A) B) C)
D) E)
9. De gráfico:Calcular x, si LC = 2(BL)
10. Del gráfico: AM = MC,MF = EC.
Calcular
Geometría Geometría
65 66
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
A) B) C)D) E)
A) B) C)D) E)
CLAVES
1. B
2. A
3. E
4. E
5. B
6. D
7. C
8. C
9. C
10. C
TEMA: POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS
POLÍGONODefinición
Es la reunión de tres o más segmentos consecutivos o coplanares, tal que el extremo del primero coincide con el extremo del último; ningún par de segmentos, se intercepten, excepto en sus extremos y dos segmentos consecutivos nos sean colineales.
ElementosVértices : A, B, C, D,...Lados : , , , ,...m ∢ internos : , , ,...m ∢ externos : x, y, z,...Diagonales : , , ,...Diagonales medias : , , ,...
Polígono ConvexoEs cuando tienen todos sus ángulos internos convexos, es decir,
mayores que cero y menores que 180º.
Clasificación de los Polígonos Convexos1. Polígono Equiángulo
Cuando tienen todos sus ángulos internos congruentes
2. Polígono EquiláteroCuando tienen todos su lados congruentes
Geometría Geometría
67
68
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
3. Polígono RegularCuanto tienen todos sus ángulos internos congruentes y todos sus lados congruentes
Polígonos No ConvexosCuando tienen uno más ángulos internos no convexos es decir
mayores que 180º y menores que 360º.
Denominación de los PolígonosTriángulo.................................................3 ladosCuadrilátero............................................4 ladosPentágono...............................................5 ladosHexágono................................................6 ladosHeptágono..............................................7 ladosOctógono................................................8 ladosNonágono o eneágono............................9 ladosDecágono..............................................10 ladosEndecágono o Undecágono...................11 ladosDodecágono..........................................12 ladosPentadecágono.....................................15 ladosIcoságono..............................................20 ladosEnégono..................................................n lados
Propiedad para todo Polígono Convexo
Si “n” es el número de lados de un polígono convexo, se cumple que:1. Suma de las medidas de sus ángulos internos:
. Sm∢i = 180 (n – 2) .
2. Suma de las medidas de sus ángulos externos:. Sm∢i = 360 .
3. Diagonales trazadas desde un solo vértice:. Di = (n – 3) .
4. Número total de diagonales:
. .
5. Número total de diagonales medias:
. .
6. Diagonales trazadas desde “v” vértices consecutivos
. .
En Polígonos Regulares y Equiángulos7. Medida de un ángulo interno:
. .
8. Medida de un ángulo exterior:
. .
CUADRILÁTERODefinición
Es un polígono de 4 lados.
Geometría Geometría
6970
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
. x + y + z + w = a + b + c + d = 360 .
Clasificación General
Clasificación de los Cuadriláteros Convexos1. Trapezoide
Aquellos que no tienen lado opuestos paralelos
2. TrapeciosTienen dos lados opuestos paralelos llamados bases y los otros lados, llamados lados no paralelos
Propiedad del Trapecio- Mediana de un trapecio
. .
- Segmento que une los puntos medios de las diagonales
. .
3. ParalelogramosAquellos de lados opuestos paralelos y congruentes; ángulos opuestos de igual medida y dos ángulos consecutivos siempre suplementarios. Sus diagonales se bisecan.
Geometría Geometría
7172
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
Propiedades Generales1.
. .
2.
. .
3.
// PQ = RS
4.
. .
5. En trapecios isósceles. .
. .
6. En triángulos
7. En trapecios
8. Segmento que une los puntos medios de las bases
Si: + = 90º : . .
9. En paralelogramos . x = b – a .
Geometría Geometría
73
74
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
10. En paralelogramos
. .
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Hallar la suma de los ángulos internos de un eneágono.
Rpta.
2. Hallar el número de diagonales de un polígono cuyos ángulos internos suman 1080º
Rpta.
3. ¿Cuántos lados tiene el polígono, si la suma total de sus ángulos internos y externos es 1 440º?
Rpta.
6. En la figura.
Calcular xº
Rpta.
7. En la figura.
4. Hallar el número de lados de un polígono, sabiendo que en él se pueden trazar 104 diagonales.
Rpta.
5. El número de diagonales más el número de vértices es igual a siete veces el número de lados. Hallar el número de lados.
Rpta.
Calcular xº
Rpta.
8. En la figura ABCD y DEFG son cuadrados.Calcular x.
Rpta.
9. En la figura, ABCD es un rectángulo AF = FC.Calcular x.
10. En la figura ABCD es un cuadrado, si BE = 4.Calcular BC
Rpta.
11. En la figura, ABCE es un paralelogramo y BC + CD = 12.Calcular AD
Geometría Geometría
75
76
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
Rpta. Rpta.
12. En la figura, ABCD es un rectángulo AC = 4 .Calcular FC.
Rpta.
13. En la figura, ABCD es un cuadrado de centro 0 y OPQR es un paralelogramo, sim∢R0P=120º.Calcular m∢RQA.
14. Se tiene un trapecio ABCD. // se trazan bisectriz interiores de los ángulos C y D.Calcular el menor ángulo formado por dichas interiores
Rpta.
15. Según el gráfico MN=3(ND)=12.Calcular BD
Rpta.
Rpta.
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”
V.L.E.B.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Según el gráfico ABCD es un paralelogramo; BT = 5(AT) Y BC = 4(AT).Calcular “”
A) B) C)D) E)
2. Según el gráfico ABCD es un cuadrado AB = 4.Calcula BH
3. Según la figura ABCD es un romboide y BH = 8.Calcular AD
A) B) C)D) E)
4. De la figura BM = MC, MN = 8 y CD = 10.Calcular AB.
Geometría Geometría
77 78
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
A) B) C)D) E)
A) B) C)D) E)
5. Según la figura ABCD es un trapecio isósceles.Calcule .
A) B) C)D) E)
6. Del gráfico ABCD y DEFG son cuadrados.Calcula +
7. Según el gráfico calcular x. si ABCD es un paralelogramo
A) B) C)D) E)
8. Del gráfico. Calcular CH si ABCD es un paralelogramo y AB = 6.
A) B) C)D) E)
A) B) C)
D) E)
9. Según el gráfico ABCD es un paralelogramo.Calcule + .
A) B) C)D) E)
10. Según el gráfico ABCD es un cuadrado, CD = DE.Calcular: 2
A) B) C)D) E)
CLAVES
1. C 6. D
Geometría Geometría
79
80
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año
2. C
3. D
4. A
5. A
7. C
8. B
9. B
10. C
ÍNDICE
PÁG.
ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA - SEGMENTOS.............................................. 7
ÁNGULOS............................................................................................. 17
TRIÁNGULOS I – PROPIEDADES BÁSICAS..................................................... 30
TRIÁNGULOS II: LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES.............................................. 39
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS................................................................ 55
POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS................................................................. 66
Geometría Geometría
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