5/13/2018 geometria demostracion del plano tangente - slidepdf.com
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Proposición 2.9: sea una superficie regular y si es un
sistema de coordenadas de S en p, entonces
donde Demostración
Probar que Donde
I) Sea entonces v es un vector tangente a S en p, por definición existe
una curva diferenciable tal que
Por la definición 2.6, para cada existe un sistema de coordenadas
de S en tal que la aplicación es diferenciable en t.
Luego
Sea , como
Por tanto
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II)
Sea entonces existe tal que .
Considere la curva definida por
donde Además es elegido de tal manera que La curva es tal que
= p y además se tiene que
==v
Esto indica que v es un vector tangente a S en p.Entonces:
Por lo tanto
Como y es una transformación lineal
inyectiva entonces la dimensión de su imagen es K. Además la imagen de un subespacio vectorial de por lo que se cumple Por lo tanto
es un espacio vectorial sobre R de dimensión k