Grados en Matematicas, Mat-Fıs y Mat-Est – Univ. Sevilla Curso 2018/19
Ecuaciones en Derivadas Parciales – 1
erparcial – Grupo B 20/10/2018
APELLIDOS, nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. 2 ptos. Dada la EDP
@
2x
21u+ @
2x
22u� 6@
2x1x2
u+ 2@
x1u = 0,
reducirla a su forma canonica, indicando de que tipo es.
2. 2.5 ptos. Dado el problema
8<
:
u
tt
� u
xx
= 0, (x, t) 2 (0, 1)⇥ (0,1),
u(0, t) = u(1, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = u0(x), u
t
(x, 0) = 0, x 2 [0, 1].
Resuelve por el metodo de separacion de variables los problemas siguientes, indicando la regu-
laridad de la solucion formal obtenida:
a) u0(x) := senx.
b) u0(x) := sen (⇡x).
3. 2 ptos. Analiza la existencia y unicidad de solucion del problema
8<
:
u
t
� u
xx
= x, (x, t) 2 (0,⇡)⇥ (0,1),
u(0, t) = 0, u(⇡, t) = ⇡, t > 0,
u(x, 0) =
(6+⇡
2)x�x
3
6 , x 2 [0,⇡].
4. 2.5 ptos. Dada la funcion G(x, t) = e
�x
2/(4t)
/
p4⇡t para (x, t) 2 R⇥(0,1), y dando por ciertas
las propiedades que satisface, enuncia y demuestra el resultado de existencia, propiedades y la
forma cerrada de una solucion del problema de Cauchy
⇢u
t
� u
xx
= 0, (x, t) 2 R⇥ (0,1),
u(x, 0) = u0(x), x 2 R,
donde u0 2 C(R) es una funcion acotada.
5. 1 pto. Enuncia el principio del maximo debil para la EDP del calor.
Duracion: 2 horas.
Grados en Matematicas, Mat-Fıs y Mat-Est – Univ. Sevilla Curso 2018/19
Ecuaciones en Derivadas Parciales – 2
o
parcial – Grupo B 15/1/2019
APELLIDOS, nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. 1 pto. Dada c > 0, deduce la forma general de las soluciones clasicas en R2 de
u
tt
� c
2u
xx
= 0.
2. 1.5 ptos. Dadas f 2 C
2(R) y g 2 C
1(R), enuncia y demuestra la formula de D’Alembert para
el problema de Cauchy asociado a la ecuacion de ondas homogenea en R ⇥ [0,1) con datosiniciales f y g.
3. 2 ptos. Halla la unica solucion del problema
8<
:
u
tt
� u
xx
= x en R2,
u(x, 0) = cosx en R,u
t
(x, 0) = 0 en R.
4. a) 1.5 ptos. Dado un abierto acotado ⌦ ⇢ RN (N � 2) de clase C
1, enuncia el resultado de
representacion de una funcion u 2 C
2(⌦) en terminos de �u y de la solucion fundamentaldel laplaciano �. Esboza la idea de la demostracion.
b) 1 pto. Define el concepto de funcion de Green para el operador laplaciano en un abierto
acotado ⌦ de clase C
1.
c) 1 pto. Explicita la expresion de la funcion de Green para ⌦ = BRN (0, R) con N � 2.
5. 2 ptos. Justifica que existe una unica solucion del problema
⇢�u = (x21 + x
22)
1/2 en BR2((0, 0), 3),u(x) = 3 sobre @BR2((0, 0), 3)
y hallala buscandola de tipo radial.
Duracion: 2 horas.
Grados en Matematicas, Mat-Fıs y Mat-Est – Univ. Sevilla Curso 2018/19
Ecuaciones en Derivadas Parciales – 1
aconvocatoria 23/1/2019 9:30
APELLIDOS, nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo: . . . . . .
Primer Parcial.
1. Obten la forma canonica de la ecuacion
5uxx
+ 2p3u
xy
+ 7uyy
+ u
y
= x
e indica si la ecuacion es elıptica, parabolica o hiperbolica.
2. Resuelve por el metodo de separacion de variables el siguiente problema:
8<
:
u
t
� u
xx
+ u = 0 en (0,⇡)⇥ (0,1),u(0, t) = u(⇡, t) = 0, t > 0,u(x, 0) = u0(x) := x(⇡ � x), x 2 [0,⇡].
¿Que regularidad tiene la solucion obtenida? ¿Es ux
continua?
3. a) Enuncia el principio del maximo debil para la ecuacion del calor.
b) Demuestra que si u1, u2 2 C
0([a, b]⇥ [0,1)) \ C
2((a, b)⇥ (0,1)) verifican
(@
t
u1 � @
2xx
u1 @
t
u2 � @
2xx
u2 en (a, b)⇥ (0,1)
u1(x, t) u2(x, t), 8 (x, t) 2�{a, b}⇥ [0,1)
�[�[a, b]⇥ {0}
�,
entonces u1 u2 en ([a, b]⇥ [0,1)).
c) Comprueba que la funcion w(x, t) =p2e�
⇡2
16 t cos⇣⇡x
4
⌘satisface
8>><
>>:
@
t
w � @
2xx
w = 0 en (�1, 1)⇥ (0,1)
w(�1, t) = w(1, t) � 0, 8 t � 0
w(x, 0) � 1, 8x 2 [�1, 1].
d) Sea ' 2 C
0([�1, 1]) tal que '(�1) = '(1) = 0 y denotemos M = maxx2[0,1] |'(x)|. Demues-
tra que la solucion u 2 C
0([�1, 1]⇥ [0,1)) \ C
2((�1, 1)⇥ (0,1)) de
8>><
>>:
@
t
u� @
2xx
u = 0 en (�1, 1)⇥ (0,1)
u(�1, t) = u(1, t) = 0, 8 t � 0
u(x, 0) = '(x), 8x 2 [�1, 1],
verifica
�p2Me
�⇡2
16 t cos⇣⇡x
4
⌘ u(x, t)
p2Me
�⇡2
16 t cos⇣⇡x
4
⌘, 8 (x, t) 2 (�1, 1)⇥ [0,1).
Segundo Parcial.
4. Enuncia la formula de D’Alembert para obtener la solucion clasica de un problema de Cauchyasociado a la ecuacion de ondas homogenea con datos iniciales u(x, 0) = f(x) y u
t
(x, 0) =g(x) con x 2 R indicando la regularidad necesaria de f y g para que la solucion pertenezca aC
2(R⇥ [0,1)).
5. Dado el problema de ondas
8<
:
u
tt
� u
xx
= 0 en (0, 1)⇥ (0,1),u(x, 0) = x
2 + senx, u
t
(x, 0) = 2x� cosx en (0, 1),u(0, t) = t
2 � sen t, u(1, t) = (1 + t)2 + sen (1� t) en [0,1),
calcula el valor de la solucion u en (1/4,1/2).
6. Enuncia y demuestra el principio del maximo fuerte para la ecuacion de Laplace.
7. Sea B = B((0, 0), 1). Usando una funcion radial, obten una solucion u 2 C
2(B) \ C
0(B)
⇢�u =
px
2 + y
2 log(x2 + y
2) en B,
u(x) = �14 sobre @B
¿Es unica?
Puntuacion: Alumnos con primera parte: ejercicio 1 (2,5 ptos); ejercicio 2 (3,5 ptos); ejercicio 3 (4ptos). Alumnos con segunda parte: ejercicio 4 (1 pto); ejercicio 5 (3 ptos), ejercicio 6 (3 ptos), ejercicio7 (3 ptos). Alumnos con la asignatura completa: todos los ejercicios con la mitad de la puntuacionindicada anteriormente.
Duracion: 3 horas y 30 minutos (asignatura completa) / 2 horas (solo una parte).
2
Grados en Matematicas, Mat-Fıs y Mat-Est – Univ. Sevilla Curso 2019/20
Ecuaciones en Derivadas Parciales – 1
erparcial – Grupo A 19/11/2019
APELLIDOS, nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. 2 ptos. Dada la EDP
@
2x
21u+ 2
p3@2
x1x2u� @
2x
22u� @
x1u� u = ⇡,
reducirla a su forma canonica, indicando de que tipo es.
2. 1.5 ptos. Dar la expresion del nucleo de Gauss G(x, t) para (x, t) 2 R⇥ (0,1); calcular el valor
deRRG(x, t)dx para cada t > 0.
Enuncia el resultado de existencia y/o unicidad y la forma cerrada de una solucion del problemade Cauchy ⇢
u
t
� u
xx
= 0, (x, t) 2 R⇥ (0,1),u(x, 0) = u0(x), x 2 R,
donde u0 2 C(R) es una funcion acotada.
Si u0 2 [m,M ] para ciertas constantes, ¿que le ocurre a la/s solucion/es del problema?
3. 1.5 ptos. Enuncia y demuestra el principio del maximo debil para la EDP del calor en un
dominio Q
T
bajo la hipotesis adicional de que u 2 C
2((a, b)⇥ (0, T ]).
4. 3.5 ptos. Se considera el problema
8<
:
u
t
� u
xx
= 0, (x, t) 2 (0, 1)⇥ (0,1),u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, t > 0,u(x, 0) = x� x
2, x 2 [0, 1].
Halla una solucion (al menos formal) para el mismo por el metodo de separacion de variables.
Estudia y justifica la regularidad de la solucion obtenida. ¿Es clasica?
Analiza la unicidad de solucion.
Prueba que la solucion obtenida en el primer apartado se encuentra entre 0 y 1 para todo(x, t) donde tenga sentido.
5. 1.5 ptos. Dado el problema
8<
:
u
tt
� u
xx
= x, (x, t) 2 (0,⇡)⇥ (0,1),u(0, t) = u(⇡, t) = 1, t > 0,u(x, 0) = u0(x), u
t
(x, 0) = 0, x 2 [0,⇡],
halla un cambio de variables adecuado que lo reduzca de forma equivalente a un problemahomogeneo resoluble por el metodo de separacion de variables. (NO calcules la solucion formalde dicho problema.)
¿Puede poseer el problema solucion de clase C
2([0,⇡]⇥ [0,1))?
Duracion: 2 horas.
Grados en Matematicas, Mat-Fıs y Mat-Est – Univ. Sevilla Curso 2019/20
Ecuaciones en Derivadas Parciales – 2
o
parcial – Grupo A 16/1/2020
APELLIDOS, nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. 2.5 ptos. Sea el problema de Cauchy-Dirichlet para la EDP de ondas en (�1, 0]⇥ [0,1)8<
:
u
tt
� u
xx
= 0 (x, t) 2 (�1, 0)⇥ (0,1),u(x, 0) = f(x), u
t
(x, 0) = g(x) x 2 (�1, 0],u(0, t) = �(t) t > 0,
para ciertas funciones f, g y �.
a) Establecer condiciones de compatibilidad necesarias para que pueda existir solucion clasicadel problema, esto es, u 2 C
2((�1, 0]⇥ [0,1)).
b) Demostrar, si es posible, el correspondiente resultado de existencia y unicidad de solucionclasica para el problema bajo las condiciones establecidas en el apartado anterior.
c) Para el caso particular f(z) = �(z) = sin(z), g(z) = cos(z), calcular, si es posible, unasolucion clasica del problema.
2. 2.5 ptos. Se considera el problema de Cauchy-Dirichlet para la EDP de ondas en [0,1)⇥ [0,1)8<
:
u
tt
� u
xx
= 0 (x, t) 2 (0,1)⇥ (0,1),u(x, 0) = f(x), u
t
(x, 0) = g(x) x 2 [0,1),u(0, t) = ↵(t) t > 0,
para f(z) = ↵(z) = sin(z) y g(z) = z.
a) ¿Puede existir solucion clasica del problema? Razonese la respuesta.
b) Hallar una solucion, bien sea clasica o bien generalizada.
c) ¿Que regularidad global en [0,1)⇥ [0,1) tiene la solucion hallada en el apartado anterior?
3. 2.5 ptos. Responder las siguientes cuestiones:
a) Forma explıcita de la solucion fundamental del Laplaciano � : RN \ {~0} ! R para N � 2.
b) Dados ⌦ ⇢ RN (N � 2) abierto acotado de clase C
1 y u 2 C
2(⌦), dar la representacion deu(x) con x 2 ⌦ en terminos de �u y � ası como de sus valores (o de sus derivadas normales)en la frontera @⌦.
c) Dados ⌦ y u como en el apartado anterior, y w = w(y, x) definida en ⌦⇥ ⌦ con w(·, x) 2C
2(⌦) para todo x 2 ⌦ verificando �y
w(y, x) = 0 para todo par (y, x) 2 ⌦⇥⌦, escribir lasegunda identidad de Green aplicada a las funciones u y w.
d) Obtener de los apartados anteriores una expresion G y deducir una representacion de u(x)para x 2 ⌦ en terminos de �u y los valores de u y G (o eventualmente de sus derivadasnormales) en la frontera @⌦. ¿Que propiedades debe satisfacer una tal funcion de Green G?
e) Sea N � 2. Para el caso concreto en que ⌦ = BRN (~0, R), explicitar una funcion de Green.¿Es unica o puede haber mas de una funcion de Green? Justifıquese la respuesta.
4. 2.5 ptos. Resolver explıcitamente los siguientes problemas elıpticos
a) ⇢��u = x
21 + x
22 en BR2(~0, 1),
u(x1, x2) = x1 sobre @BR2(~0, 1).
b) ⇢��u = 0 en BR2(~0, 3),u(x1, x2) = log((x1 � 2)2 + x
22) sobre @BR2(~0, 3).
Duracion: 2 horas.
Grados en Matematicas, Mat-Fıs y Mat-Est – Univ. Sevilla Curso 2019/20
Ecuaciones en Derivadas Parciales – 1
aconvocatoria 6/02/2020
APELLIDOS, nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo1: . . . . . .Parte 1 ⇤ Parte 2 ⇤ Todo ⇤
Primer parcial.
1. 3 ptos. Obten la forma canonica de la siguiente ecuacion e indica de que tipo es.
�4ux1x2 + (x1 � x2)(ux1 + u
x2) + u = 2,
2. 4 ptos. Se considera el problema
8<
:
u
tt
� u
xx
+ u
t
= 0, (x, t) 2�0, ⇡2
�⇥ (0,1),
u
x
(0, t) = 0, u
�⇡
2 , t�= 0, t > 0,
u(x, 0) = 0, u
t
(x, 0) = ⇡
2 � x, x 2⇥0, ⇡2
⇤.
a) Demuestra que el problema tiene a lo mas una solucion clasica.
b) Resuelve el problema por el metodo de separacion de variables.
c) Demuestra que esta solucion es de clase C
1([0, ⇡2 ]⇥ [0,1)) ¿Es de clase C
2([0, ⇡2 ]⇥ [0,1)?
3. 3 ptos. Enuncia un teorema de existencia y unicidad de solucion clasica para el siguiente pro-blema y demuestra el resultado de existencia.
⇢u
t
� u
xx
= 0, (x, t) 2 R⇥ (0,1),u(x, 0) = u0(x), x 2 R.
Segundo parcial.
4. 4 ptos. Se considera el problema
8<
:
u
tt
� 4uxx
= 0, (x, t) 2 (0,1)⇥ (0,1)u
x
(0, t) + u(0, t) = 0, t > 0,u(x, 0) = f(x), u
t
(x, 0) = g(x), x 2 (0,1).
a) Obten las condiciones de compatibilidad que deben cumplir las funciones f y g para quepueda existir solucion clasica.
b) Obten la solucion explıcita del problema en el caso f(x) = 1� x, g(x) = 0.
5. 3,5 ptos. Siendo B la bola en R3 de centro cero y radio 3, calcula la solucion del problema
(��u = 9� (x2 + y
2 + z
2) en B
u = 1p(x�1)2+(y�1)2+z
2sobre @B.
6. 2,5 ptos. Dada B la bola en R2 de centro cero y radio uno consideramos la solucion u delproblema ⇢
��u = 0 en B
u = x
21 � x1 sobre @B.
Calcula u(0), maxB
u, mınB
u, donde se alcanzan estos dos ultimos.
Nota: Alumnos con la asignatura completa: todos los ejercicios con la mitad de la puntuacion indicada.Duracion: 3 horas y 30 minutos (asignatura completa) / 2 horas (solo una parte).
1Gr. A: Prof. P. Marın Rubio; Gr. B: Prof. J. Casado Dıaz