UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
FÍSICA I
PRÁCTICA Nº 2 - COMPLEMENTO
GRÁFICOS Y REGRESIONES
Por: Jorge Hernando Bautista Ruiz Doctor en ingeniería - Ciencia y Tecnología de Materiales. 1. OBJETIVOS:
Identificar los diferentes tipos de relaciones gráficas.
Aprender a manejar los rayados: el lineal, semi-log y log-log.
Adquirir habilidad en el manejo del método regresional.
Calcular experimentalmente el número π
2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Así como el gerente de una compañía se ayuda con gráficas para analizar y explicar el
funcionamiento de su empresa, el experimentador en física también acude a gráficas
para comprender mejor el mecanismo de un fenómeno observado.
Las gráficas son muy utilizadas en medicina, meteorología, ingeniería, biología y otras
ciencias. En física, se puede conseguir información muy valiosa por el análisis de las
gráficas que elabora con los datos de las observaciones experimentales.
2.1 Funciones y su representación gráfica.
Una función es un ente matemático constituido por tres componentes: un primer
conjunto o dominio de la función; un segundo conjunto o codominio; y una regla dada de
alguna manera que hace corresponder a cada elemento del dominio un único elemento
en el codominio. No es contradictorio que dos elementos del dominio tengan una misma
imagen o elemento correspondiente en el codominio, pero no hay función si un mismo
elemento del dominio tiene dos imágenes o elementos que le corresponden en el
codominio. Por ejemplo, si un móvil viaja con una velocidad de 15 km/h, la distancia que
recorre dependerá funcionalmente del tiempo porque a cada número de unidades de
tiempo le corresponderá un único número de unidades de espacio recorrido. Durante
una hora recorrerá 15 km. Si mantiene su velocidad, durante dos horas recorrerá 30
km, durante tres horas recorrerá 45, y así sucesivamente.
En este ejemplo existen tres cantidades: la velocidad v, que es constante y solamente
dos variables: la distancia d (expresada en kilómetros) y el tiempo t (expresado en
horas). Para una velocidad v constante, la distancia recorrida es una función del
tiempo. En el ejemplo anterior la ley de correspondencia se expresa algebraicamente
como:
d = vt donde d se denomina variable dependiente y t es la variable independiente. En
consecuencia, como la distancia recorrida depende del tiempo que dure el movimiento,
se afirma que la distancia es una función del tiempo.
2. 2 TIPOS DE RELACIONES GRÁFICAS
2.2.1 Relación lineal.
Son relaciones de la forma BxAy +=
en donde A representa el punto de corte con el eje Y, y se determina por la lectura
directa en el gráfico. B es la pendiente de la recta que se determina por
∑=
=n
1iiB
N1
B donde 12
12i XX
YYXY
−−
=∆∆
=B
N es el número de pendientes calculadas.
Nota. Para determinar cualquier Bi, solo se deben tomar los puntos que estén sobre la
recta, si hacen falta puntos se toman sobre la recta aun sin ser experimentales.
Y
X
A
Relación lineal
2.2.2 Relación exponencial
Son relaciones de la forma: BXAeY =
Relación exponencial
Para este tipo de gráfico es necesario linealizar, con el objeto de determinar sus
constantes, de tal manera que la ecuación particular es: LnY . Al
graficar en papel semi-log se obtiene:
BxLnA +=
Linealización de una relación exponencial
A se obtiene por lectura directa
∑=
=n
1iiB
N1
B donde 12
1212i XX
LnYLnYX
YYLn−−
=∆
=)/(
B
N representa el número de pendientes.
Nota: Es necesario tener en cuenta que la equivalencia de una pendiente originada de un
exponencial y tratada en rayado Log-log es
Ln X = 2.3 Log X
2.2.3 Relación Logarítmica
Son relaciones de la forma: BLogXA +=Y
Relación logarítmica
Este tipo de gráfica se linealiza mediante su representación en papel semi-log. El
logaritmo va en el eje X.
Linealización de una relación logarítmica
La ecuación particular del gráfico linealizado se determina mediante:
A por lectura directa
∑=
=n
1iiB
N1
B donde 12
12
12
i LogXLogXYY
XXLogY
−−
=∆
=)/(
B
2.2.4 Relación potencial.
2.2.4.1 Del tipo: Y BAX=
Relación potencial
Se linealiza de la forma: LnY= LnA + BLnX si y solo si
LogY= LogA + B LogX
Se representa en papel Log-Log.
La ecuación particular se determina por:
A lectura directa
∑=
=n
1iiB
N1
B donde 12
12
12
12i LogXLogX
LogYLogYXXLogYYLog
−−
==)/()/(
B
2.2.4.2 Del tipo 2
210
B0
XaXaaY
AXaY
++=
+=
y en general para polinomios de grado n, se procede con cambios de variable o
programas de computadora.
2.3 Representaciones gráficas
A la hora de realizar representaciones gráficas se deben respetar las siguientes normas:
a) Ejes
Abscisa y Ordenada
Un convenio bien establecido en Física para todas las prácticas es representar en el eje
de abscisas (horizontal) la variable independiente (aquella que elige el experimentador
en cada medida), y en el eje de ordenadas (vertical) la variable dependiente (aquella
cuyo valor se determina); brevemente, se trata de representar efecto (en el eje vertical)
frente a causa (en el eje horizontal).
Papel
Los papeles más utilizados en las gráficas de Física son el lineal (normalmente graduado
en milímetros y por eso comúnmente llamado papel milimetrado), y el logarítmico, que
puede ser semilogarítmico (de rayado logarítmico en un solo eje y lineal en el otro) y
logarítmico sobre ambos ejes.
Identificación de cada eje
Los ejes deben marcarse siempre con el nombre y símbolo de la magnitud representada
junto a las unidades en que se expresa. También debe indicarse, en su caso, la potencia
de 10 correspondiente, por la que va multiplicada la unidad. De este modo, las divisiones
en un eje pueden enumerarse 1, 2, 3,... en lugar de 10.000, 20.000, 30.000,... ó de
0.001, 0.002, 0.003,... etc., si en el eje se indica ×104 ó ×10-3 , respectivamente. En los
ejes se marcarán los valores de las variables representadas, a intervalos regulares, de
acuerdo con la escala escogida.
Escalas
La selección de la escala utilizada en cada eje debe hacerse de modo que:
• Los puntos experimentales no queden todos juntos, debiendo cubrir toda la zona del
papel.
• La escala debe ser sencilla. Lo más sencillo es representar por un milímetro una
potencia de 10 de la unidad; la siguiente simplicidad es aquella en que un milímetro (ó
un centímetro) representa 2 ó 5 unidades.
• El origen de la representación no tiene por qué ser el punto (0, 0). Salvo en casos
especiales la escala y el origen se tomarán de manera que la curva a representar
quede centrada en el papel y ocupe la mayor parte de éste.
• Cada punto se representa por un punto (.), un asterisco (*), u otro símbolo parecido. Si
existen varias curvas en la misma gráfica con diferentes significados, los puntos de cada
una se representan con distintos símbolos.
b) Representación gráfica del error de las medidas
Si se representan los errores se deben reflejar como una cruz o un rectángulo, centrados
en el punto y de dimensiones horizontales y verticales el doble del valor del error
absoluto de las coordenadas horizontales y verticales del punto en cuestión.
c) Ajuste de líneas a los puntos representados
Si se traza una curva para unir una serie de puntos se deben de respetar las siguientes
normas:
• Debe de ser lo más regular posible.
• Debe de pasar lo más cerca posible de los puntos, aunque no tiene que pasar
necesariamente por todos ellos (incluso puede que no pase por ninguno).
• Si existe algún punto aislado lo más normal es que se trate de un error y puede que
sea conveniente repetir la medida correspondiente a ese punto.
• No unir nunca los puntos mediante una línea quebrada.
2.3 METODO DE REGRESIONES PARA DETERMINAR ECUACIONES
PARTICULARES
Las regresiones son técnicas estadísticas computacionales, empleadas para obtener
ecuaciones particulares; cuando el comportamiento gráfico del fenómeno muestra una
tendencia sencilla como las expuestas anteriormente. Para tendencias polinómicas se
emplean programas computacionales o aproximaciones a series de Fourier.
La confiabilidad de un ajuste, se mide de acuerdo al criterio estadístico de correlación (r),
de la siguiente manera: Si r tiene la tendencia a 1, se afirma que el ajuste es
bueno; si r tiende a 0 entonces se tiene un ajuste malo.
3 MATERIALES
- Papel milimetrado - Papel semi-log -Papel log-log
-Calculadora -Manual de la calculadora - Juego de discos
- Lápiz - Escuadras.
4 PROCEDIMIENTO
4.1 Ubicar las siguientes series de puntos en el papel que corresponda
Serie 1 = { (log 0.1 , 12) , (log 7 , 14) , (log 19 , 20) }
Serie 2 = { (log 0.02 , log 500) , (log 0.2 , log 1050) , (log 1 , log 9650) }
Serie 3 = { (12 , log 187) , (10 , log 5) , ( 20 , log 787) }
4.2 Con cada una de los datos de las siguientes tablas:
a. Representar Y→ f(X) en papel lineal
b. Linealizar
c. Hallar la ecuación particular
Tabla 1. Tabla 2. Tabla 3
X Y X Y X Y
0 5 0.1 1 1 2
1 1.83 1 3 2 8
2 0.67 4 4.20 3 18
3 0.25 6 4.6 4 32
4 10 5 5 50
4.3 Identifique en el manual de su calculadora la sección correspondiente al análisis
estadístico. Para cada uno de los ejemplos del manual: Represente los datos en el
rayado lineal para visualizar las tendencias, Linealice utilizando el rayado adecuado,
ejecute el procedimiento del manual para obtener la ecuación particular, Identifique las
formas de entrar y salir del programa.
4.4 Con ayuda de los módulos de madera. Usando solamente papel milimetrado, mida el
espesor, la longitud y el diámetro de cada disco del módulo. Tome varias medidas de un
mismo parámetro y calcule el promedio. Lleve los datos a la tabla 4.
4.5 Empleando la balanza electrónica, mida la masa de cada disco. Lleve la información
a la tabla 4.
5 DATOS Y OBSERVACIONES
Tabla 4.
Disco 1 2 3 4 5 …
Espesor ( )
Longitud ( )
Diámetro ( )
Masa ( )
6 ANALISIS
1. En la geometría euclidiana se encuentra que el numero pi (π), es el número de veces
que está contenido el diámetro de la circunferencia en la longitud de la circunferencia,
esto es DL
=π , en donde L es la longitud de la circunferencia y D es el diámetro de la
circunferencia. La ecuación anterior se puede escribir como L . Dπ=
Represente en papel lineal L → f(D). De acuerdo con el comportamiento observado,
determine por método gráfico y regresional el número π (pendiente de la recta). Halle
el error porcentual tomando como valor teórico (más aceptado) π=3.1416
El error porcentual se determina por
100v
vV
TEORICO
ALEXPERIMENTTEORICOerror *%
−=
2. Represente en papel lineal M→ f(V). De acuerdo con el comportamiento observado,
determine por el método gráfico y computacional la densidad del material del módulo.
7 BIBLIOGRAFIA