Gua de Ejercicios Optimizacin
Preparado por Felipe Quezada C.
2 Semestre 2012.
Universidad de Santiago de Chile
Departamento de Ingeniera en Minas
Gua de Ejercicios Optimizacin
2
EJERCICIOS PEP 1
PROBLEMA #1
Una fbrica de jugos de 1 litro (1000 cc) desea lanzar al mercado una nueva variedad de jugo.
Para ello, disponen de 4 ingredientes base. La nueva variedad apuntar a conservar un balance
alimenticio, debiendo contener al menos un 15% de vitamina C, y a lo ms un 30% de potasio.
Existe adems una relacin entre los betacarotenos y la vitamina A que impone lo siguiente: la
cantidad de vitamina A debe ser, cuando menos, un tercio de los betacarotenos. Adems, la
vitamina A no puede superar el 35% del contenido del jugo.
El costo por adquirir los ingredientes, los lmites de los pedidos por da, y los aportes porcentuales
de cada componente a los ingredientes por unidad se resumen en la siguiente tabla:
Potasio Vitamina C Vitamina A Betacarotenos Costo [$/u] Lmite [u]
Ingrediente 1 20% 15% 30% 35% 25 6
Ingrediente 2 5% 40% 10% 45% 13 9
Ingrediente 3 35% 20% 25% 20% 10 8
Ingrediente 4 15% 25% 35% 25% 20 5
Tabla 1: Disposicin de Ingredientes para el Problema #1
FORMULAR (NO RESOLVER) un modelo de programacin lineal que permita minimizar los
costos, cumpliendo con todos los requerimientos. Considere, para tal caso, que cada unidad son
100 cc. Defina claramente variables, funcin objetivo y restricciones.
SOLUCIN: Primero formulamos las variables del modelo. Sea la cantidad de unidades del
ingrediente para la nueva variedad ( ). Como se desea minimizar los costos, la funcin
objetivo estar dada por:
( )
Ahora veamos las restricciones. En la nueva variedad, la combinacin de los 4 ingredientes debe
conformar una unidad de jugo, por lo cual la primera restriccin se define de la siguiente manera:
( ) ( )
En el caso de la mezcla separamos por ingrediente. Para la vitamina C, la suma de las cantidades
de los ingredientes conforma, por lo menos, un 15% del juego (que son 150 cc). Por lo tanto:
Para el potasio, la suma de las cantidades de cada ingrediente no puede superar el 30% del total
del juego (que son 300 cc). Luego:
Para la vitamina A, esta suma debe ser al menos 1/3 de los betacarotenos. Por lo tanto:
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( )
De manera simplificada:
Adems, la contribucin de la vitamina A no debe superar el 35% del jugo (350 cc). Por ende:
Por ltimo, para los lmites diarios, tenemos:
Naturalmente. . El modelo es entonces el siguiente:
( )
( )
PROBLEMA #2
Formule y resuelva adecuadamente el siguiente problema de programacin lineal. La primera
iteracin debe ser realizada mediante el algoritmo smplex. La segunda y siguientes efectuarlas
empleando el mtodo smplex revisado o matricial:
( )
SOLUCIN: Primero hacemos el cambio de variable , a fin de tener slo variables no
negativas. Reescribiendo el PPL en forma estndar, se tiene:
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( )
El problema debe resolverse en dos fases. La fase 1 minimizar la funcin objetivo ( )
. Procedemos en la primera iteracin mediante el algoritmo smplex. La tabla de inicio para este
problema es la siguiente. Observe que se han marcado en la tabla la inversa respectiva, as como
el elemento pvot para la respectiva iteracin:
V.B ( )
-4 1 -7 -3 0 1 0 0 50 50
3 2 2 4 0 0 1 0 150 75
1 0 4 2 -1 0 0 1 10 ---
5 -1 -1 -1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1 0
3 -1 3 1 1 0 0 0 -60
Entra ; sale . Primera iteracin:
V.B ( )
-4 1 -7 -3 0 1 0 0 50 50/7
11 0 16 10 0 -2 1 0 50 25/8
1 0 4 2 -1 0 0 1 10 5/2
1 0 -8 -4 0 1 0 0 50
-1 0 -4 -2 1 1 0 0 -10
Entra , sale .
Las siguientes iteraciones deben hacerse mediante el algoritmo smplex revisado. De la tabla
anterior reconocemos la matriz inversa de esta primera iteracin:
(
)
Como ya definimos el pvot y las variables de entrada y salida a partir de la tabla anterior, podemos
calcular inmediatamente la matriz :
(
)
(
)
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Calculamos para dar inicio a la segunda iteracin:
(
)
(
)
(
)
Construimos una pequea tabla para verificar el orden de las variables bsicas:
V.B. ( )
(
)
Calculamos los valores duales para esta iteracin:
( ) ( )
(
)
( )
Calculamos los coeficientes (o costos) reducidos para esta iteracin:
( )
Luego:
( ) ( ) ( ) (
)
Por lo tanto:
( ) ( )
Como todos los coeficientes reducidos de la funcin objetivo w son nulos, hemos llegado al ptimo
para la fase 1. Como y son no bsicas, y por tanto nulas, se tiene que ( ) ,
por lo que existe un espacio de soluciones factible para el PPL original en la fase 2.
Ahora debemos calcular los valores duales para la funcin objetivo z en la fase 2 (iteracin 2).
Verificando el orden de las variables bsicas:
V.B. ( )
(
)
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Por lo tanto:
( ) ( )
(
)
( )
Calculamos los costos reducidos:
( )
Luego:
( ) ( ) ( ) (
)
Por lo tanto:
( ) ( )
Como el coeficiente reducido de en la funcin objetivo es negativo, an no estamos en el ptimo.
Se tiene que es la variable de entrada para la tercera iteracin, porque tiene el coeficiente ms
negativo en la fila objetivo. Calculamos entonces las columnas y ( ) para determinar la
variable de salida y el elemento pvot:
(
) (
) (
)
( )
( ) (
) (
) (
)
Por lo tanto:
V.B. ( )
135/2 -7/4 (135/2):(-7/4) = -270/7 Ignorar
10 4 10/4 = 5/2 Mnimo
5/2 -1/4 (5/2):(-1/4) = -10 Ignorar
Tabla 2: Clculo de los elementos para el Problema #2
La variable de salida es entonces . El pvot corresponde a 4.
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Calculamos la matriz inversa :
Donde:
(
(
)
(
) )
(
)
Entonces:
(
)
(
)
(
)
Verificamos el orden de las variables bsicas:
V.B. ( )
(
)
Calculamos los valores duales:
( ) ( )
(
)
(
)
Calculamos los costos reducidos:
( )
Luego:
( ) ( ) (
) (
)
Por lo tanto:
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( ) (
)
Como ahora todos los coeficientes reducidos son no negativos, hemos llegado al ptimo.
Calculamos entonces para encontrar la solucin ptima de este problema:
(
) (
) (
)
Por lo tanto, la solucin ptima es
y
. El resto de las variables son nulas.
Reemplazando estos valores en la funcin objetivo se obtiene ( ) , con lo cual
( ) .
PROBLEMA #3
Considere el problema de programacin lineal cuyo tableau final (ptimo) es el siguiente. Asuma
que Si es la variable de holgura para la restriccin i.
V.B. X1 X2 X3 X4 S1 S2 b
X1 1 -5 4 13 5 0 7
S1 0 2 1 6 10 1 3
-Z 0 3 1 8 4 0 76
a) Cules son las variables bsicas?
b) Cules son las variables no bsicas?
c) Cul es la solucin ptima?
d) Qu puede decir acerca de las restricciones 1 y 2? Cules son las unidades adicionales?
SOLUCIN: Tenemos:
a) Las variables bsicas son y .
b) Las variables no bsicas estn conformadas por el resto de variables que no se encuentran en
la base: son no bsicas.
c) La solucin ptima es . Su valor es ( ) .
d) En ambas restricciones hay variables de holgura asociadas. El recurso asociado a la primera
restriccin se considera abundante, porque no se ha consumido del todo, ya que la variable de
holgura asociada, , es mayor que cero. El recurso asociado a la segunda restriccin se
considera escaso, porque su holgura es nula.
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PROBLEMA #4
Una fbrica de ropa produce tres lneas de trajes: jeans, franela y amasado. La ropa es vendida en
lotes de 100 trajes de cada tipo. Cada lote pasa a travs de tres procesos: corte, cosido y
empaque. La planta dispone de 16 cortadores como mximo, 41 mquinas de coser como mximo
y debe ocupar a 10 empacadores (no ms no menos). Los requerimientos para producir un lote de
100 trajes de cada tipo y las utilidades asociadas, se presenta a continuacin:
Requerimientos de Produccin y Utilidad Jeans Franelas Amasados
Cortadores [Personas/Lote] 4 2 1
Mquinas de Coser [Mquinas/Lote] 1 2 1
Empacadores [Personas/Lote] 1 1 1
Utilidad [$/Lote] 400 200 300
Tabla 3: Requerimientos de produccin y utilidad para el Problema #4
FORMULE un modelo de programacin lineal que permite maximizar las utilidades de la fbrica.
Defina claramente variables, funcin objetivo y restricciones. A continuacin, RESUELVA el modelo
que plante utilizando el mtodo que ms le acomode.
SOLUCIN: El objetivo de la fbrica es determinar las cantidades de cada lote de ropa a fabricar,
de tal forma que stos maximicen las utilidades. Sea la cantidad de lotes de ropa a fabricar del
tipo . De la tabla, podemos obtener inmediatamente la funcin objetivo:
( )
Las restricciones del problema estn asociadas al lmite de recursos impuesto por la fbrica en
funcin de la cantidad de cortadores, mquinas de coser y personal encargado de empacar. As,
se tiene lo siguiente:
Cortadores:
Mquinas de coser:
Personal de empaque:
El modelo completo es entonces:
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( )
El modelo puede resolverse utilizando cualquier mtodo. En este caso particular, podemos hacer
un arreglo algebraico sencillo que permita solucionarlo mediante el mtodo grfico. De la tercera
restriccin, despejamos, con lo cual resulta ( ). Reemplazando en el PPL,
obtenemos:
( )
El espacio de soluciones factible (ESF) de este problema es el siguiente:
Figura 1: ESF del Problema #4
Notemos que los nicos puntos candidatos a solucin ptima de este problema son A y B.
Evaluando la funcin objetivo se obtiene que el punto esquina ptimo es B, dado por lotes
de jeans, resultando no rentable fabricar lotes de franela (porque ). Reemplazando lo anterior
en el modelo original, se obtiene que lotes de amasados. La utilidad mxima que percibe la
fbrica es de ( ) unidades monetarias.
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PROBLEMA #5
Escriba el DUAL del siguiente problema. Verifique que el dual del dual es el problema original.
( )
( )
SOLUCIN: Del primal, tenemos que:
Debemos hacer entonces dos cambios de variable: y
. Reemplazando
en , se tiene:
La ltima expresin podemos fragmentar en dos restricciones independientes: y
.
Adems, la expresin tambin podemos fragmentarla en dos restricciones
independientes: y .
Escribimos entonces el problema primal en forma cannica (primal simtrico):
( )
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Construimos ahora el problema dual. Notemos que, a partir de la definicin, el dual tendr 8
variables y 5 restricciones. Adems, la variable dual es no restringida, mientras que el resto son
no negativas.
( )
La comprobacin de que el dual del dual es el primal es obvia, y se deja como ejercicio al lector.
PROBLEMA #6
La compaa minera FERROJAC CHILE tiene dos operaciones mineras que alimentan de mineral
de hierro a una sola planta. Cada mina tiene dos reas de las cuales puede extraer el mineral. La
ley alimentada a planta debe ser mayor que 35% Fe, y debe ser menor que 12% Si. La planta
requiere al menos 45.000 toneladas, pero no puede manejar ms de 60.000. El mercado interno
requiere que al menos 12.000 toneladas de Fe deben estar disponibles para el consumo asumir
un 90% de recuperacin en el proceso. La razn promedio de estril/mineral determinada para las
operaciones de extraccin mineral tiene un valor de 3,5.
Dado los datos que se indican, FORMULAR (no RESOLVER) un modelo de programacin lineal, el
cual permita obtener un plan minero de produccin que cumpla las restricciones operacionales y
permita minimizar la desviacin de la razn estril/mineral total.
Mina rea Reservas
(toneladas) % Fe % Si
Razn
Estril/Mineral
Cerro
GRANATE
Norte 20.000 40 17 3,0
Lomas 10.000 30 10 2,0
Lomas
BAYAS
Sur Sur 15.000 40 11 4,0
Alberta 30.000 35 13 5,0
Tabla 4: Detalle de las reservas y leyes de FERROJAC Chile
SOLUCIN: Primero definimos las variables del problema:
: Produccin Cerro Granate, rea Norte
: Produccin Cerro Granate, rea Lomas
: Produccin Lomas Bayas, rea Sur Sur
: Produccin Lomas Bayas, rea Alberta
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Para este problema, es muy til la elaboracin de un diagrama que muestre el proceso en
cuestin:
Figura 2: Esquema del proceso que se debe modelar en el Problema #6
Ahora veamos las restricciones del problema. En cuanto a las capacidades de la planta, como sta
debe recibir al menos 45.000 toneladas y no ms 60.000 toneladas, se tendr:
Si el mercado interno requiere de, al menos, 12.000 toneladas de Fe, entonces el 90% de la
produccin que llega a planta, en trminos del Fe, debe conformar como mnimo, este tonelaje.
Luego:
( )
Se debe agregar que los sectores de produccin tienen como limitante a sus reservas totales.
Luego:
Por ltimo, la planta debe recibir como mnimo una ley del 35% de Fe y, a lo ms, una ley del 12%
de Si. Luego, tenemos lo siguiente:
( )
( )
Ahora veamos la funcin objetivo. Como se requiere minimizar la desviacin de la razn estril
mineral, se tendr:
( ) ( ) ( )
Planta
Ley de Fe 35% Ley de Si 12%
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El modelo completo es entonces:
( )
( )
,
( )
( )
PROBLEMA #7
Resuelva el siguiente problema de programacin lineal, empleando el mtodo smplex para la fase
1, y el mtodo smplex revisado para la fase 2:
( )
SOLUCIN: Se debe reescribir el PPL en forma estndar. Se tiene entonces:
( )
El problema debe resolverse en dos fases. La fase 1 minimizar la funcin objetivo ( )
. Procedemos en la primera fase mediante el algoritmo smplex. La tabla de inicio para este
problema es la siguiente:
V.B. ( )
-3 1 -5 -3 1 0 0 0 400 400
-3 2 2 4 0 1 0 0 1500 750
1 0 4 2 0 0 1 -1 120 ---
-2 -1 -1 -1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0
2 -1 1 1 0 0 0 1 -520
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Entra , sale . Primera iteracin.
V.B. ( )
-3 1 -5 -3 1 0 0 0 400 ---
3 0 12 10 -2 1 0 0 700 175/3
1 0 4 2 0 0 1 -1 120 30
-5 0 -6 -4 1 0 0 0 400
-1 0 -4 -2 1 0 0 1 -120
Entra , sale . Segunda iteracin.
V.B. ( )
-7/4 1 0 -1/2 1 0 5/4 -5/4 550 ---
0 0 0 4 -2 1 -3 3 340 ---
1/4 0 1 1/2 0 0 1/4 -1/4 30 120
-7/2 0 0 -1 1 0 3/2 -3/2 580
0 0 0 0 1 0 1 0 0
Entra , sale . Como ( ) , con , entonces existe un ESF para el
PPL en la fase 2. Procedemos entonces mediante el mtodo smplex revisado en dicha fase. La
matriz inversa de la presente iteracin es:
(
)
Como ya definimos el pvot y las variables de entrada y salida a partir de la tabla anterior, podemos
calcular inmediatamente la matriz :
(
)
(
)
Luego calculamos para dar inicio a la cuarta iteracin:
(
)
(
)
(
)
Construimos una pequea tabla para verificar el orden de las variables bsicas:
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V.B. ( )
(
)
Calculamos los valores duales para esta iteracin:
( ) ( ) (
) ( )
Calculamos los costos reducidos:
( )
Luego:
( ) ( ) ( ) (
)
Por lo tanto:
( ) ( )
Como el coeficiente reducido de en la funcin objetivo es negativo, an no estamos en el ptimo.
Se tiene que es la variable de entrada para la tercera iteracin, porque tiene el coeficiente ms
negativo en la fila objetivo. Calculamos entonces las columnas y ( ) para determinar la
variable de salida y el elemento pvot:
(
) (
) (
)
( )
( ) (
) (
) (
)
Por lo tanto:
V.B. ( )
760 -3 760:(-3) = -253.33 Ignorar
340 3 340:3 = 113.33 Mnimo
120 -1 120:(-1) = -120 Ignorar
Tabla 5: Clculo de los elementos para el Problema #7
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La variable de salida es entonces . El pvot corresponde a 3.
Calculamos la matriz inversa :
Donde:
(
)
(
)
Entonces:
(
)
(
)
(
)
Verificamos el orden de las variables bsicas:
V.B. ( )
(
)
Calculamos los valores duales:
( ) ( ) (
) ( )
Calculamos los costos reducidos:
( )
Luego:
( ) ( ) (
)
Por lo tanto:
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( ) (
)
Como ahora todos los coeficientes reducidos son no negativos, hemos llegado al ptimo.
Calculamos entonces para encontrar la solucin ptima de este problema:
(
) (
) (
)
Por lo tanto, la solucin ptima es , y . Reemplazando estos
valores en la funcin objetivo se obtiene ( ) , con lo cual ( ) .
PROBLEMA #8
Un florista sabe hacer slo dos tipos de arreglos florales, para los cuales dispone de 3 tipos
distintos de flores: rosas, tulipanes e ibizcos. Los requerimientos de flores para cada arreglo, la
disponibilidad de flores y los requerimientos de cada arreglo vienen dados en la siguiente tabla:
FLORES Arreglo 1 Arreglo 2 DISPONIBILIDAD
Rosas 3 1 300
Tulipanes 1 1 140
Ibizcos 1 3 300
PRECIO [$] 2000 1000
Tabla 6: Detalle de precios del florista para el Problema #8
a) FORMULE un PPL que resuelva el problema de maximizacin de ingresos por ventas sujeto a
la disponibilidad de recursos.
b) Cul es el problema DUAL asociado? Qu situacin podra estar optimizando? Justifique.
c) Usando el teorema de holguras complementarias, encuentre la solucin ptima del problema
dual una vez resuelto el problema primal utilizando el mtodo smplex.
d) Suponga que retorna frustrado despus que una bella dama le cerrara la puerta cuando usted
le llevaba amablemente una rosa, un tulipn y un ibizco. Si se encuentra con el florista
Cunto cree que estara dispuesto a pagar l por sus flores?
SOLUCIN: Tenemos lo siguiente:
a) Sean y los dos tipos de arreglos que puede hacer el florista. De la tabla, y en forma
inmediata, se obtiene el PPL deseado:
( )
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b) Es posible formular inmediatamente el problema dual a partir del primal, sin utilizar la
transformacin de primal simtrico, invirtiendo las situaciones presentadas en la definicin de
ambos problemas. Se tiene entonces:
( )
El modelo dual resuelve el problema de un agente externo que desea saber el precio unitario
que puede ofrecer por cada una de las flores, en el caso de ste quiera comprarle todas las
flores al florista. As, y son los precios unitarios asociados a las rosas, tulipanes e
ibizcos, respectivamente.
c) Reescribiendo el primal en forma estndar:
( )
Tabla de inicio:
V.B. ( )
3 1 1 0 0 300 100
1 1 0 1 0 140 140
1 3 0 0 1 300 300
-2000 -1000 0 0 0 0
Entra , sale . Procedemos con la primera iteracin:
V.B. ( )
1 1/3 1/3 0 0 100 300
0 2/3 -1/3 1 0 40 60
0 8/3 -1/3 0 1 200 75
0 -1000/3 2000/3 0 0 -200000
Entra , sale . Procedemos con la segunda iteracin:
V.B.
1 0 -1/2 0 80
0 1 -1/2 3/2 0 60
0 0 1 -4 1 40
0 0 500 500 0 -220000
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Como todos los coeficientes de las variables en la funcin objetivo son no negativas, hemos
llegado al ptimo. La utilidad mxima que puede percibir el florista es de $220.000, con
arreglos florales del tipo 1, y arreglos florales del tipo 2. En este punto ptimo, es
vlido el teorema de holguras complementarias. Por lo tanto:
Para el primal:
[ ( )]
[ ( )] [ ( )]
Para el dual:
[ ( )] [ ( )]
Reemplazando los valores obtenidos en la solucin primal ptima en las holguras
complementarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
Con lo cual se obtiene y . Este valor es correcto, porque si lo remplazamos
en la funcin objetivo dual, resulta ( ) , que es equivalente a la funcin objetivo
primal en el ptimo.
Por lo tanto, el florista vender rosas y tulipanes a un precio de $500 c/u, y entregar como
oferta los ibizcos gratis, siempre y cuando venda todo como un paquete. Esto tiene sentido,
porque si vende slo las rosas y tulipanes, dado que slo sabe hacer los arreglos florales
descritos, no le sacar provecho a los ibizcos.
d) Si tuviramos tan desgraciada suerte, entonces, idealmente, el valor mximo que nos pagar
el florista por las flores es el descrito con anterioridad: $500 por cada rosa y tulipn, y $0 por
los ibizcos.
PROBLEMA #9
Dado el programa lineal:
( )
Se pide:
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a) Determinar el programa DUAL
b) Representar grficamente este ltimo programa para mostrar su conjunto de soluciones
factibles
c) A partir de esta representacin, describir un proceso por el que tras dos, y slo dos
operaciones de pivotado a partir del origen, se alcance la solucin. Estas operaciones de
pivotado no tienen por qu seguir las reglas del smplex.
d) Por medio de las relaciones que pueden establecerse a merced del principio de holgura
complementaria, determinar la solucin del problema primal
SOLUCIN: A partir del enunciado, se tiene:
a) Se debe obtener el modelo lineal estndar (MLE) del problema. Para ello, hacemos los
cambios de variable y
, con lo cual el problema se re-escribe de la siguiente
forma:
( )
Ahora podemos formular el problema dual:
( )
b) El espacio de soluciones factibles (ESF) del problema dual es el siguiente:
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Figura 3: ESF del problema dual
En el grfico anterior, los puntos esquina del ESF estn dados por los siguientes pares:
Punto esquina Valor de Valor de Valor objetivo
G 4/3 5/3 -1/3
B 3 5 -2
C 36/7 36/7 -4/7
J 6 4 2
Tabla 7: Valores de las variables y funcin objetivo para los diferentes puntos esquina del problema dual
Por tanto, el valor mximo del problema dual es , y se cumple cuando estamos en el
punto esquina J.
c) Si el proceso de resolucin del problema dual no tiene por qu seguir las reglas del smplex,
entonces basta que, a partir del origen, el algoritmo ignore la regla dada por el criterio de
optimalidad en un problema de maximizacin, la cual dicta que se escoja siempre el coeficiente
ms negativo en la fila objetivo del tableau smplex. Por tanto, si partimos desde el origen,
podemos comenzar en el punto E, y luego llegar de inmediato al punto J utilizando el hecho de
que, en este punto, se encuentra la solucin.
Notemos que, adems, este nuevo proceso ignora la subdivisin del problema en dos fases, ya
que se cuenta de inmediato con una solucin bsica de inicio (el origen).
d) Utilizando el teorema de holguras complementarias (THC), se obtiene:
Para el primal:
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[ (
)] [ (
)]
Para el dual:
[ ( )] [ ( )]
[ ( )] [ ( )]
De las holguras complementarias para el primal, se obtiene:
Con lo cual se obtiene y , lo que conforma la solucin ptima del problema
primal. Todas las dems variables son nulas. El valor de la solucin ptima es ( ) .
PROBLEMA #10
La Compaa Minera ASIOP S.A. (ASIOPSA) produce dos tipos distintos de concentrado, cobre y
zinc. La siguiente tabla muestra las demandas mensuales esperadas para cada producto (en
toneladas):
Concentrado Mes 1 Mes 2 Mes 3
Cu 1000 3000 5000
Zn 1000 500 3000
Tabla 8: Detalle de las demandas mensuales de concentrado para el Problema #10
Adems, la gerencia de ASIOPSA ha determinado lo siguiente:
El costo de produccin por tonelada del concentrado de cobre es de 20 USD, y el del
concentrado de zinc es de 10 USD
El costo de mantener una cantidad arbitraria de concentrado a la espera de ser comercializado
es de 0,3 USD por tonelada en inventario para el concentrado de cobre, y de 1,5 USD por
tonelada en inventario para el concentrado de zinc
El costo de tener mano de obra extra con respecto al mes anterior es de 10 USD/hora
El costo de trabajar menos horas con respecto al mes anterior es de 2,5 USD/hora
Estos dos ltimos costos se refieren a las fluctuaciones en los niveles de produccin, ya que
ASIOPSA tiene como poltica trabajar todos los meses la misma cantidad de horas.
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Al comienzo de los tres meses existen en inventario 50 toneladas del concentrado de cobre y 200
del concentrado de zinc. Al final de los tres meses, el inventario mnimo debe ser de 400 toneladas
de concentrado de cobre y 200 toneladas de concentrado de zinc. Ambos concentrados se
guardan en una planta en depsitos comunes. Cada depsito permite guardar hasta dos
componentes de concentrado de cobre, y hasta tres componentes de concentrado de zinc. La
envergadura de la planta permite guardar hasta 1000 depsitos.
Los requerimientos de fabricacin de cada concentrado se resumen en la siguiente tabla:
Concentrado Maquinaria [hr/ton] Mano de obra [hr/ton]
Cu 0,10 0,05
Zn 0,08 0,07
Tabla 9: Requerimientos de fabricacin de cada concentrado
La capacidad de fabricacin mensual es de 400 horas de maquinaria y 300 horas de mano de
obra. Adems, se sabe que el ltimo mes slo se usaron 225 horas de mano de obra para la
fabricacin de ambos componentes.
FORMULAR (NO RESOLVER) un modelo de programacin lineal que permita determinar el plan
de produccin mensual que minimiza los costos de satisfaccin de la demanda esperada. Defina
claramente variables, funcin objetivo y restricciones.
SOLUCIN: Definimos primeramente las variables del problema:
: Cantidad de concentrado del tipo (con o ) producido en el mes
(con )
: Inventario de concentrado del tipo al trmino del mes
: Horas de mano de obra empleadas al mes
: Aumento del empleo de mano de obra al mes
: Disminucin del empleo de mano de obra al mes
: Nmero de depsitos requeridos al mes
Veamos ahora la funcin objetivo. Como el objetivo de ASIOPSAL es minimizar los costos, es
posible definir dicha funcin directamente partir de los datos entregados en el enunciado:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
La funcin objetivo puede escribirse de forma ms abreviada como sigue:
( )
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Ahora veamos las restricciones. Lo ms sencillo es verificar primero las limitaciones de
satisfaccin, demanda e inventario de ASIOPSAL. En este caso, para cada mes, se tiene lo
siguiente:
Mes 1:
Mes 2:
Mes 3:
Con respecto a la maquinaria, se tiene:
Adems, para la mano de obra, se tiene que para cada mes:
Mes 1:
Mes 2:
Mes 3:
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Finalmente, de las limitaciones impuestas por la planta:
Naturalmente, todas las variables consideradas para este problema son no negativas. El modelo
completo (simplificado) es el siguiente:
( )
, , , ,
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PROBLEMA #11
Al comienzo del mes 1, la financiera ARCOS dispone de 400 USD en efectivo. Al comienzo de los
meses 1, 2, 3 y 4, la financiera recibir ingresos y, adems, deber realizar pagos como se indica
en la siguiente tabla:
Mes Ingresos (US$) Pagos (US$)
1 400 600
2 800 500
3 300 500
4 300 250
Tabla 10: Detalle de ingresos y pagos de la financiera ARCOS
El dinero restante en cada mes, una vez realizados los pagos, puede ser invertido durante un mes
a una tasa del 0,1% mensual; durante dos meses a una tasa del 052% mensual; durante tres
meses a una tasa del 1,0% mensual; o durante cuatro meses a una tasa del 2,0% mensual.
FORMULAR (NO RESOLVER) un modelo de programacin lineal que permita determinar una
estrategia de inversin que maximiza el dinero en efectivo al comienzo del quinto ao. Defina
claramente variables, funcin objetivo y restricciones.
SOLUCIN: Lo primero es definir las variables de este problema. Sea la cantidad de dinero
invertido al comienzo del mes durante un perodo de meses. La funcin objetivo queda entonces
definida como sigue:
( )
Las restricciones del modelo naturalmente representan la distribucin del dinero. As, stas se
definen por las siguientes desigualdades:
Naturalmente, todas las variables consideradas en el modelo son no negativas.
PROBLEMA #12
La Compaa FERROSUR debe decidir cuntas toneladas de acero puro X y cuntas de chatarra
Y se deben utilizar en la preparacin de una aleacin para un cliente. El costo por tonelada de
acero puro es de 3, y el de chatarra 6 (por las impurezas); la demanda del cliente es de por lo
menos 5, y l aceptara ms si as se requiere.
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La disponibilidad de X es de 4 toneladas y 7 la de Y. La relacin entre chatarra y acero puro no
puede exceder 7/8. La fundicin tiene 18 horas disponibles para derretir y fundir; una tonelada de
acero puro requiere 3 horas, mientras que la de chatarra slo 2 horas.
Se pide:
a) Escribir el problema de programacin lineal
b) Resolverlo grficamente
SOLUCIN: Se tiene lo siguiente:
a) Las variables del problema ya haban sido definidas en el enunciado:
: Toneladas de acero puro
: Toneladas de chatarra
Como se trata de un problema de costos, se debe minimizar la funcin objetivo, que define los
costos de fabricacin de cada material. Luego, dicha funcin viene dada por la siguiente expresin:
( )
Ahora veamos las restricciones. De la demanda del cliente y la disponibilidad de cada recurso,
tenemos:
De la relacin entre tonelajes, tenemos:
De forma simplificada, . Finalmente, de la disponibilidad horaria, se tiene que:
Naturalmente, . Por lo tanto, el modelo completo es el siguiente:
( )
b) El ESF de este modelo se muestra en Figura 4:
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Figura 4: ESF del modelo de FERROSUR
La tabla siguiente evala el valor de las variables del PPL en cada uno de los puntos esquina del
ESF:
Punto Esquina Valor de x Valor de y Funcin objetivo
B 1,25 0 3,75
C 0,494 0,432 4,074
D 3,789 3,316 31,263
F 6 0 18
Tabla 11: Valores de las variables y funcin objetivo en los puntos esquina del problema
Por lo tanto, el punto esquina B es el ptimo, porque es aquel donde la funcin objetivo alcanza su
mnimo valor. Se concluye entonces que FERROSUR debe fabricar 1,25 toneladas de acero puro,
a un costo mnimo de 3,75 unidades monetarias. La chatarra no es rentable de producir.
PROBLEMA #13
Un importador de whisky est planificando su negocio considerando que, en las prximas
temporadas, tendr las siguientes demandas (en miles de botellas):
Tipo Temporadas
1 2 3 4
Seco 10 12 14 8
Frutoso 13 15 17 19
Aejo 21 25 9 11
Tabla 12: Demandas que tendr el importador de whisky en miles de botellas
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El whisky seco lo vende a 34 dlares por botella, el frutoso a 28,8 y el aejo a 22,5 en la primera
temporada. En las siguientes se espera poder venderlos a un 5% ms caro. Cada tipo de whisky
es elaborado mezclando tres materias primas, A, B y C, de las cuales se puede importar un
mximo de 2000, 2500 y 1200 botellas por temporada a un costo de 35, 25 y 20 dlares,
respectivamente. Estos costos, vlidos para la primera temporada, deberan aumentar un 2% en
cada temporada. El whisky seco debe contener por lo menos un 60% de la materia prima A y no
ms de un 20% de la materia prima C. El whisky frutoso debe contener por lo menos un 15% de la
materia prima A y no ms de un 60% de la materia prima C. El whisky aejo debe contener por lo
menos un 50% de la materia prima B. Cada botella de whisky fabricada en una temporada puede
ser vendida en dicha temporada o almacenada a un costo unitario por temporada de 0,5 dlares
para ser vendidas posteriormente.
FORMULAR (NO RESOLVER) un modelo de programacin lineal que permita optimizar las
actividades del importador. Defina claramente variables, funcin objetivo y restricciones del
problema.
SOLUCIN: Las variables a considerar para este problema son las siguientes:
: Cantidad de materia prima k para fabricar whisky i en la temporada j
: Cantidad de whisky tipo i vendido en la temporada j
: Cantidad de whisky tipo i almacenado en la temporada j
La funcin objetivo se subdivide en tres partes, y , donde representa los ingresos que
obtiene el importador a partir de la venta de whisky en cada temporada, representa los costos de
importacin de whisky de cada tipo, y representa los costos de almacenaje de whisky. Definimos
entonces:
( ( ))( )
( ( ))( )
Por lo tanto, la funcin objetivo ser:
( )
Las restricciones del problema vienen dadas por la disponibilidad de materia prima para producir
cada tipo de whisky, la cantidad mxima de ventas por temporada, la proporcin de uso de las
materias primas en la elaboracin de cada tipo de whisky, y la produccin, ventas y almacenaje por
temporada. Luego, se tiene lo siguiente:
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Para la disponibilidad de materia prima:
A partir de la tabla entregada en el enunciado del problema, se obtienen las restricciones de venta
mxima por temporada:
Adems, considerando las proporciones de materias primas requeridas en la elaboracin de cada
tipo de whisky, se obtiene:
Las restricciones anteriores se cumplen para todo .
Finalmente, a partir de los datos entregados en el enunciado del problema con respecto a la
produccin, ventas y almacenaje por temporada, se obtienen las siguientes expresiones:
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Naturalmente, todas las variables consideradas en la formulacin de este problema son positivas o
nulas.
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EJERCICIOS PEP 2
PROBLEMA #1
Resuelva el siguiente problema de transporte de mineral desde tres puntos de carguo y cuatro
piques de traspaso, y determine un plan ptimo de manejo de mineral en la mina de acuerdo a la
informacin que se indica. Use el mtodo de la esquina noroeste para la obtencin de la solucin
bsica de inicio.
Punto de
Carguo Toneladas mineral
Costo ($/t)
Pique 1
Costo ($/t)
Pique 2
Costo ($/t)
Pique 3
Costo ($/t)
Pique 4
PT1 20 2 3 4 9
PT2 30 14 12 5 1
PT3 40 12 15 9 3
Capacidad de piques 10 10 20 50
Tabla 13: Detalle de los requerimientos y capacidades de cada pique de traspaso
SOLUCIN: Lo primero es determinar si el problema se encuentra balanceado. Para ello, se
considerar que las toneladas de mineral que van desde los puntos de carguo son las cantidades
de oferta del problema, mientras que las capacidades de los piques de traspaso sern
consideradas como cantidades de demanda. Luego:
Sumatoria de ofertas: toneladas
Sumatoria de demandas: toneladas
Luego, como ambas sumatorias son iguales, el problema se encuentra balanceado.
Ahora determinaremos una solucin bsica de inicio utilizando el mtodo de la esquina noroeste.
El tableau de transporte para este problema, una vez que se ha obtenido dicha solucin con el
mtodo de la esquina noroeste, es el siguiente:
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Pique 1 Pique 2 Pique 3 Pique 4 Oferta
PT1
PT2
PT3
Demanda
Tabla 14: Solucin bsica de inicio para el Problema #1
La asignacin de inicio es correcta, porque el nmero de variables bsicas que hay en esta tabla
cumple con la condicin (hay un total de 6 variables bsicas
en esta primera solucin). Adems, las sumas de estas asignaciones por fila y columna equivalen a
las cantidades de oferta y demanda en cada una de dichas filas y columnas.
Calculamos ahora los valores duales y costos reducidos para la primera iteracin, con lo cual se
tiene que la variable de entrada es .
Oferta
Demanda
Tabla 15: Primera iteracin del Problema #1
Una vez determinada que la variable de entrada , se debe generar un loop para determinar la
variable de salida. Dicho loop se observa en Tabla 52. Como se debe cumplir que todas las
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asignaciones sean positivas o nulas, la variable de salida se obtiene de las asignaciones limitadas
por la cantidad en el tableau anterior:
De lo anterior, el valor mnimo de que no viola la restriccin de no negatividad de las variables es
, el cual corresponde a la celda (2, 2). Luego, la variable de salida es . El tableau
resultante, con los correspondientes valores duales y costos reducidos, es el siguiente:
Oferta
Demanda
Tabla 16: Tableau ptimo para el Problema #1
Se debe observar que los costos reducidos son todos positivos. Por lo tanto, hemos llegado al
ptimo. La solucin ptima es entonces , , , , , . El
costo mnimo de transporte es ( ) .
PROBLEMA #2
Un Ingeniero Geotcnico est desarrollando un proyecto de clculo de una malla de pilares para un
layout de un Panel Caving Tradicional, y necesita contratar con urgencia dibujantes para que le
confeccionen los planos del proyecto completo. El Ingeniero requiere que durante el fin de semana
le dibujen tres planos y al menos cuatro durante la semana.
El Ingeniero conoce a dos dibujantes: Hctor y Daniel. Hctor le cobra $30.000 por dibujar cada
plano durante el fin de semana y $27.000 por cada plano durante la semana. Daniel le cobra
$29.000 por dibujar cada plano durante el fin de semana y $28.000 por cada plano durante la
semana. Debido a que tiene otros compromisos, Hctor le advierte que podr dibujar como mximo
5 planos, mientras que Daniel no desea comprometerse a dibujar ms de 4 planos, ya que el
software le ha estado fallando.
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Se pide:
a) Determinar la mejor forma de distribuir los planos entre los dibujantes.
b) A partir de la solucin encontrada en (a), determine la mejor forma de distribuir los planos si el
Ingeniero requiere dibujar 5 2 planos durante la semana.
c) Determine la mejor asignacin si requiere dibujar 6 planos durante la semana.
SOLUCIN: Se tiene lo siguiente:
a) Como la cantidad de planos requerida durante la semana es de al menos 4, se puede expresar
como , con . El problema se puede plantear como un modelo de transporte, donde la
oferta es la disponibilidad de los dibujantes y la demanda es el requerimiento del ingeniero. Se
debe agregar un punto de demanda artificial para balancear el problema.
Fin de
semana Semana Artificial
Oferta
Hctor
Daniel
Demanda
Tabla 17: Tableau de transporte implementado al problema del ingeniero
Se debe hallar una solucin bsica de inicio para este problema. Una opcin es utilizar el mtodo
de aproximacin de Vogel que, si bien es algo engorroso, nos permite acercarnos ms que los
otros mtodos al ptimo.
El siguiente tableau muestra la solucin de inicio considerando el mtodo de aproximacin de
Vogel.
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Fin de
semana Semana Artificial
Oferta
Hctor
Daniel
Demanda
Tabla 18: Solucin bsica de inicio considerando el mtodo de aproximacin de Vogel
El costo asociado a la asignacin de inicio es de:
( ) ( ) ( )
El tableau con los valores duales y costos reducidos calculados es el siguiente:
Oferta
Demanda
Tabla 19: Solucin de inicio con los valores duales y costos reducidos calculados
El costo reducido de la celda (1, 3) es negativo. Por ende, an no hemos llegado al ptimo. La
variables de entrada es entonces . Se debe generar un loop que contenga a para as
determinar la variable de salida, como se muestra en Tabla 57.
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Oferta
Demanda
Tabla 20: Generacin del loop para la primera iteracin
Como se debe cumplir que todas las asignaciones sean positivas o nulas, la variable de salida se
obtiene de las asignaciones limitadas por la cantidad en el tableau anterior:
De lo anterior, el valor mnimo de que no viola la restriccin de no negatividad de las variables es
, el cual corresponde a la celda (1, 1). Luego, la variable de salida es . El tableau
resultante, con los correspondientes valores duales y costos reducidos, es el siguiente:
Oferta
Demanda
Tabla 21: Tableau ptimo para el Problema #2
Se observa que el tableau anterior es ptimo, porque los costos reducidos son todos positivos. La
asignacin ptima es de 3 planos para Daniel durante el fin de semana y al menos 4 planos para
Hctor durante la semana. El costo mnimo asociado es ( ) .
b) Si el Ingeniero requiere dibujar 5 planos durante la semana, basta evaluar las expresiones
anteriores para ; si se requiere dibujar 2 planos, basta evaluar para .
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c) En este caso no es posible emplear la solucin anterior, ya que si , entonces una de las
variables bsicas, se hace negativa. Por lo tanto, se debe volver a plantear el problema,
esta vez para una demanda de 6 planos durante la semana.
Fin de
semana Semana
Oferta
Hctor
Daniel
Demanda
Tabla 22: Tableau de inicio para el problema con una demanda de 6 planos durante la semana
En este caso, se debe observar que y
. Luego, como la
sumatoria de ofertas es igual a la sumatoria de demandas, el problema se encuentra balanceado.
Aplicando el mtodo de aproximacin de Vogel se obtiene la siguiente solucin bsica de inicio,
que tambin es ptima:
Oferta
Demanda
Tabla 23: Solucin ptima del problema
Por lo tanto, el costo mnimo asociado es ( ) .
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PROBLEMA #3
Considere el siguiente problema de programacin lineal:
( )
Los coeficientes de la funcin objetivo representan la utilidad asociada a la venta de dos productos,
y , respectivamente. Las dos primeras restricciones se refieren a lmites de demanda, y las
dos restantes se refieren a la utilizacin de dos recursos del proceso productivo.
a) Encuentre la solucin ptima de este problema utilizando el mtodo grfico.
b) A partir de la solucin ptima encontrada en (a), construya el tableau final sin utilizar el
algoritmo smplex.
SOLUCIN: Se tiene lo siguiente:
a) Graficando las restricciones se obtiene el siguiente espacio de soluciones factibles:
Figura 5: Espacio de soluciones factibles del problema
La solucin ptima del problema se encuentra en uno de los vrtices del polgono ADJFEO.
Calculando los valores de la funcin objetivo para cada uno de estos puntos, se obtiene la
siguiente tabla de valores:
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Punto Valor de Valor de Valor objetivo
O 0 0 0
A 6 0 9
D 6 2 11
E 0 8 8
F 2 8 11
J 4 6 12
Tabla 24: Valores de la funcin objetivo para los diferentes puntos esquina del ESF
El valor mximo de la funcin objetivo se obtiene en el punto J. Por lo tanto, la solucin ptima es
, cuyo valor objetivo es ( ) .
b) Escribiendo las restricciones del problema de forma estndar, se tiene el siguiente conjunto de
ecuaciones lineales:
Reemplazando los valores , en estas ecuaciones, es posible obtener el valor de las
holguras de forma inmediata. Luego, la base ptima de este problema es de la siguiente forma:
( ) ( )
Mediante operaciones elementales por fila es preciso dejar slo una variable bsica en cada
ecuacin. Restando la tercera ecuacin a la cuarta, se obtiene:
Restando la cuarta ecuacin a la primera:
Restando la cuarta ecuacin a la tercera:
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Finalmente, restando la tercera ecuacin a la segunda:
Las ecuaciones anteriores nos permiten escribir ahora la tabla ptima del problema:
V.B.
0 0 1 0 1 -1 2
0 0 0 1 -2 1 2
0 1 0 0 2 -1 6
1 0 0 0 -1 1 4
0 0 0 0 1/2 1/2 -12
En forma alternativa, es posible construir el tableau a partir del anlisis de sensibilidad de los
coeficientes del lado derecho, desplazando las restricciones.
PROBLEMA #4
GEOSPARK CORPORATION Co. (GEOCORP) posee una extensa red de 7 plantas
concentradoras de oro a lo largo y ancho de toda la regin continental de Australia. Cada una de
estas plantas es capaz de retroalimentarse, total o parcialmente, con cianuro para el proceso de
lixiviacin del oro. La capacidad de autoproduccin de cianuro, en miles de m3, se muestra en
Tabla 25:
Planta 1 2 3 4 5 6 7
Capacidad (km3) 190 150 140 330 260 150 240
Tabla 25: Detalle de las capacidades de las plantas de tratamiento
GEOCORP desea que, al iniciar cada semana de trabajo, haya al menos 200.000 m3 de
compuesto de cianuro en cada una de las plantas concentradoras. Para cumplir dicho
requerimiento se puede enviar una carga de compuesto de cianuro mediante camiones acoplados
desde aquellas plantas con mayor capacidad a aquellas que no sean capaces de autoabastecerse
con los 200.000 m3 de cianuro requerido. Los costos de envo por cada 1.000 m
3 (en miles de
dlares) entre las distintas plantas se ilustran en la siguiente red:
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Figura 6: Red de plantas de cianuracin de GEOCORP
Se pide:
a) Determinar la mejor forma de distribuir el compuesto de cianuro entre las plantas de lixiviacin.
b) En cunto puede variar el costo de envo entre las plantas 1 y 3 para que la solucin anterior
se mantenga?
c) Obtener la nueva solucin si la produccin de la planta 3 disminuye a 130.000 m3 y la de la
planta 5 aumenta a 270.000 m3.
d) Determinar la nueva solucin si la produccin de la planta 2 disminuye a 140.000 m3 y la de la
planta 5 aumenta a 270.000 m3
SOLUCIN: Se tiene lo siguiente:
a) De acuerdo a la capacidad de autoproduccin de cada planta de lixiviacin, y considerando el
requerimiento de 200.000 m3 de cianuro, se puede establecer que las plantas 1, 2, 3 y 6
requieren 10, 50, 60 y 50 mil m3 de cianuro, respectivamente. Por otro lado, las plantas 4, 5 y 7
son capaces de entregar 130, 60 y 40 mil m3de cianuro, respectivamente. De esta forma, el
problema se puede plantear como un modelo de transporte, donde las plantas que exceden los
200.000 m3 de cianuro son puntos de oferta, y las plantas que estn por debajo de los 200.000
m3 de cianuro son puntos de demanda. Los costos de envo se obtienen directamente de la red
en Figura 19. Luego, el tableau de transporte de inicio que corresponde a este problema es el
siguiente (se ha incluido un punto de demanda artificial para balancear el problema):
1
3
5
7 6
2
4
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Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 6 Artificial Oferta
Planta 4
38
Planta 5
Planta 7
Demanda
Tabla 26: Tableau de inicio para el problema de GEOCORP
En este punto, se puede aplicar cualquier mtodo para obtener la solucin bsica de inicio del
problema. Sin embargo, es interesante sealar que el mtodo de aproximacin de Vogel nos
permite, adems, obtener la solucin ptima de forma inmediata. En efecto, como se observa en
Tabla 64, se tiene:
Oferta
38
Demanda
Tabla 27: Solucin ptima del problema de GEOCORP
Como todos los costos reducidos son positivos, y hay uno nulo (que indica la existencia de una
solucin ptima alternativa), hemos llegado al ptimo. La solucin ptima de este problema es
, con un costo mnimo de
( ) . Los valores de las variables asociadas al punto de demanda artificial
indican asignaciones que no son reales, por lo que pueden ser interpretadas como la elaboracin
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de un stock o acopio de cianuro en caso de que cualquiera de las plantas que entrega este
compuesto falle a la hora de hacer el transporte.
b) Como las plantas 1 y 3 son puntos de demanda, la variacin del costo de envo no afecta a la
solucin del problema.
c) El nuevo valor de la funcin objetivo se puede obtener segn:
Por lo tanto, el costo es ahora 300 veces ms alto. Como la variable est asignada (es una ruta
de envo) de la planta 5 a la planta 3, el nuevo valor de esta variable puede calcularse de forma
muy sencilla mediante la siguiente expresin:
Naturalmente, el valor de las otras variables no cambia.
d) En este caso, el nuevo valor de la funcin objetivo tambin puede ser obtenido por:
Como, en este caso, la variable no est asignada, es preciso encontrar el loop que contiene a
la celda (2, 2), que corresponde a la variable , y sumar y restar de forma alternada.
Oferta
38
Demanda
Tabla 28: Generacin del anlisis de sensibilidad para la celda (2, 2)
Evaluando el tableau anterior en se obtiene la nueva asignacin ptima.
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PROBLEMA #5
A continuacin se muestra el siguiente tableau de transporte:
Oferta
7
Demanda
Tabla 29: Tableau de transporte para el Problema #5
a) Es bsica la solucin?
b) Demuestre que la solucin presentada en este tableau es ptima.
c) Este problema tiene ptimos alternativos?
d) Proporcione el problema original de programacin lineal y su correspondiente problema dual.
e) Deduzca la solucin ptima del problema dual.
f) Escriba el tableau simplex ptimo asociado con el tableau de transporte proporcionado.
SOLUCIN: Se tiene lo siguiente:
a) La solucin presentada en el tableau anterior es bsica siempre que se cumplan las siguientes
condiciones:
El problema se encuentra balanceado.
En efecto:
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Luego, como la sumatoria de ofertas es igual a la sumatoria de demandas, el problema se
encuentra balanceado.
El nmero de variables bsicas es igual a , donde es la cantidad de puntos
oferta y es la cantidad de puntos de demanda.
En efecto, se tienen 7 asignaciones (variables bsicas) en este tableau. Como
, se cumple entonces la condicin anterior.
Las sumas de las asignaciones por fila (columna) son consistentes con las cantidades
de oferta (demanda) dadas en el tableau.
En efecto:
Fila 1: Se cumple
Fila 2: Se cumple
Fila 3: Se cumple
Fila 4: Se cumple
Columna 1: Se cumple
Columna 2: Se cumple
Columna 3: Se cumple
Columna 4: Se cumple
Por lo tanto, las asignaciones por fila (columna) son consistentes con las respectivas cantidades de
oferta (demanda) definidas en el tableau.
La ltima condicin, que se le deja como ejercicio al lector (y que, evidentemente, se cumple), es
que el tableau respete el teorema de secuenciacin. Vale decir, que no se pueda generar un loop
con la coleccin de variables bsicas dada en dicho tableau.
b) Para efectuar la demostracin, deben calcularse los costos reducidos de la solucin bsica
definida en (a). En efecto, se tiene que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Luego, como , se tiene que la solucin bsica presentada en el tableau es ptima. El
costo mnimo de transporte asociado es ( ) unidades.
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c) En efecto, el problema tiene soluciones ptimas alternativas, ya que hay costos reducidos nulos
en las celdas (1, 4) y (2, 2), que corresponden a variables no bsicas.
d) Del tableau de transporte, se puede obtener de forma inmediata el problema de programacin
lineal original:
Funcin objetivo:
( )
Restricciones de oferta:
Restricciones de demanda:
Naturalmente,
El problema dual se define a continuacin:
Funcin objetivo:
( )
Restricciones:
Naturalmente, se tiene que son no restringidas, para todo
e) La solucin ptima del problema dual se obtiene reemplazando los valores de , obtenidos
en el tableau ptimo entregado en primera instancia, con lo cual se obtiene ( ) Como
( ) , se cumple el teorema de dualidad y, por ende, esta es la solucin ptima del
problema dual.
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PROBLEMA #6
El Jefe de carguo y transporte de una operacin a cielo abierto debe asignar cuatro operadores a
cuatro palas durante el turno. Los costos unitarios (en unidades monetarias cualesquiera) que
expresan la habilidad del operador se dan en Tabla 30. Aquellos costos indeterminados (-)
representan la condicin de no aplicabilidad del operador a la pala respectiva.
Operador 1 Operador 2 Operador 3 Operador 4
Pala 1 9 3 - 5
Pala 2 7 2 7 6
Pala 3 5 5 2 -
Pala 4 7 4 3 2
Tabla 30: Detalle de costos de cada operador con respecto a cada pala
Se pide:
a) Encontrar la asignacin ptima y entregar el costo asociado.
b) Suponer que se tiene disponible una quinta pala. Sus costos de asignacin respectivos son 2,
8, 2 y 1. La nueva pala reemplazar a una existente slo si la situacin puede justificarse
econmicamente. Reformular el problema como un modelo de asignacin y encontrar la
solucin ptima, indicando el costo asociado Es econmico reemplazar una de las mquinas?
Si es as Cul de ellas?
SOLUCIN: Se tiene lo siguiente:
a) Procedemos mediante el algoritmo hngaro. La matriz de costos se obtiene directamente de
Tabla 67, con lo cual:
(
)
Las asignaciones ocupadas por la constante M son aquellas que no son aplicables por cualquier
razn, y se indican con M, que implica un costo infinito, para que as el algoritmo no los considere
como asignaciones vlidas en el ptimo. Se genera entonces la eliminacin de mnimos por filas,
obtenindose:
(
) (
) (
)
A la matriz resultante, , se le aplica ahora una eliminacin de mnimos por columnas,
obtenindose:
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(
)
( )
Lo que implica:
(
)
Como los ceros generados mediante la eliminacin de mnimos por filas y columnas no garantizan
an una asignacin ptima, se debe tachar la cantidad mnima de filas y columnas que tengan
ceros.
(
)
Ahora se debe elegir el mnimo elemento entre aquellos que no se encuentran tachados, restrselo
a todos los elementos no tachados, y sumrselo a aquellos elementos que se encuentren en la
interseccin de las lneas con las que tachamos las filas y columnas con elementos nulos. As, se
obtiene la siguiente matriz:
(
)
En esta oportunidad, los ceros s garantizan una asignacin ptima, determinada por los elementos
coloreados con amarillo. Cotejando con la tabla entregada en el enunciado del problema, la
asignacin ptima es entonces la siguiente:
Asignar el operador 1 a la pala 2.
Asignar el operador 2 a la pala 1.
Asignar el operador 3 a la pala 3.
Asignar el operador 4 a la pala 4.
El costo mnimo de esta asignacin se obtiene sumando los costos respectivos de cada operador
con respecto a las palas asignadas. Luego, ( ) unidades monetarias.
b) La quinta pala puede ser agregada a la tabla de costos suponiendo la existencia de un
operador ficticio ms, para que as, de esta forma, la matriz de costos cumpla con la restriccin de
ser una matriz cuadrada. Naturalmente, los costos asociados a este trabajador ficticio son nulos,
pues al final, no es un operador propiamente tal. Por lo tanto:
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(
)
Se debe notar que no tiene sentido generar una eliminacin por filas, debido a que hemos
agregado una columna nula. Generando entonces la eliminacin de mnimos por columnas, se
obtiene:
(
)
( )
Luego:
(
)
Como los ceros generados mediante la eliminacin de mnimos por filas y columnas no garantizan
an una asignacin ptima, se debe tachar la cantidad mnima de filas y columnas que tengan
ceros.
(
)
Ahora se debe elegir el mnimo elemento entre aquellos que no se encuentran tachados, restrselo
a todos los elementos no tachados, y sumrselo a aquellos elementos que se encuentren en la
interseccin de las lneas con las que tachamos las filas y columnas con elementos nulos. As, se
obtiene la siguiente matriz:
(
)
En esta oportunidad, los ceros s garantizan una asignacin ptima, determinada por los elementos
coloreados con amarillo. Cotejando con la tabla entregada en el enunciado del problema, la
asignacin ptima es entonces la siguiente:
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Asignar el operador 1 a la pala 5.
Asignar el operador 2 a la pala 2.
Asignar el operador 3 a la pala 3.
Asignar el operador 4 a la pala 4
Asignar el operador ficticio a la pala 1.
El costo mnimo de esta asignacin se obtiene sumando los costos respectivos de cada operador
con respecto a las palas asignadas. Luego, ( ) unidades monetarias. La
inclusin de esta nueva pala es entonces conveniente, siempre que se reemplace por la pala 1
(que es la que se asigna al operador ficticio), ya que el costo total es menor que en (a).
PROBLEMA #7
En la V Regin, PETROMAT S.A., una mediana planta de ridos para la construccin, produce 4
tipos de materiales de ridos. El proceso est compuesto por tres etapas: chancado, harneado e
inspeccin de calidad. Se dispone de 800 horas de chancado, 1000 horas de harneado y 340
horas hombre (HH) de inspeccin para el prximo mes de produccin. En base a estas
disponibilidades, la empresa desea maximizar sus utilidades dentro de este perodo. Para resolver
el problema, se ha formulado un modelo de programacin lineal, el cual se presenta a
continuacin:
( )
El tableau final (incompleto) de este modelo se presenta a continuacin:
V.B.
0 1 3/2 -1 0 200
1 0 -2 2 0
0 0 1/10 -2/5 1 20
Donde representa la cantidad de material rido del tipo .
Responder:
a) Cul es el plan de produccin ptima para el prximo mes?
b) Es nica la solucin ptima?
c) Cunto debera aumentar, como mnimo, la utilidad del material rido del tipo 3 para que
fuera conveniente producirlo?
d) Cunto podra disminuir la utilidad del material rido del tipo 2 sin que cambie la base ptima?
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e) Dentro de qu rango podra variar la cantidad de horas de chancado sin que cambie la base
ptima?
f) Cunto estara dispuesto a pagar por una hora de harneado adicional?
g) Un competidor ofrece arrendarle capacidad adicional para chancado a 3 unidades monetarias
por hora Aceptara la oferta?
h) A qu precio estara dispuesto a arrendar a su competidor una hora de harneado adicional?
Hasta cuntas horas (sin que cambie la base ptima)?
i) Cunto puede disminuir el tiempo de inspeccin sin que cambie la solucin ptima?
j) Cul es la nueva solucin y el nuevo valor de la funcin objetivo si las horas de chancado
aumentan a 880?
k) Aceptara la produccin de un material rido del tipo 5, si requiere 2 horas de chancado y 3
horas de harneado e inspeccin de calidad, respectivamente, con una utilidad de 30 unidades
monetarias?
SOLUCIN: Se tiene lo siguiente:
a) La tabla de inicio de este problema es la siguiente:
V.B.
1 2 10 16 1 0 0 800
3/2 2 4 5 0 1 0 1000
1/2 3/5 1 2 0 0 1 340
-8 -14 -30 -50 0 0 0 0
Adems, la matriz inversa ptima se puede obtener a partir de la tabla ptima (incompleta)
entregada en el enunciado del problema:
(
)
Para obtener la solucin ptima se debe calcular la matriz ptima de recursos, . Para ello se
debe recurrir al formulismo del mtodo smplex revisado. En efecto, se tiene:
(
) (
) (
)
Por lo tanto, el plan de produccin ptimo para el prximo mes es el siguiente:
Producir 400 unidades de material rido del tipo 1.
Producir 200 unidades de material rido del tipo 2.
No es rentable producir material rido del tipo 3 y 4.
Existe una holgura de 20 horas de inspeccin de calidad.
La mxima utilidad de este plan se calcula reemplazando los valores ptimos entregados por el
plan en la funcin objetivo del problema, con lo cual ( ) unidades monetarias.
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b) Para determinar la existencia de ptimos alternativos, se deben verificar los costos reducidos en
la tabla ptima. Como stos no fueron entregados, deben calcularse igualmente mediante el
formulismo del mtodo smplex revisado para as completar la tabla ptima del problema. Lo
primero entonces es calcular las columnas de restriccin ptimas que faltan en dicha tabla:
( ) ( ) (
) (
) (
)
Calculamos ahora el vector de valores duales :
( ) ( ) (
) ( )
Calculamos ahora el vector de costos reducidos:
( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( )
Por lo tanto, la tabla ptima completa del problema es la siguiente:
V.B.
0 1 11 19 3/2 -1 0 200
1 0 -12 -22 -2 2 0 400
0 0 2/5 8/5 1/10 -2/5 1 20
0 0 28 40 5 2 0 -6000
Se observa, en este caso, que todos los costos reducidos son positivos para las variables no
bsicas. Por lo tanto, no existen ptimos alternativos para este problema.
c) Como es una variable no bsica, el anlisis de sensibilidad es sencillo. Sea el cambio
(positivo o negativo) en el coeficiente de . Se tiene entonces lo siguiente:
Luego:
Por lo tanto, . Se tiene entonces que . Por lo tanto, la utilidad de puede
aumentar sin lmite sin cambiar la solucin ptima del problema. Sin embargo, slo puede disminuir
hasta en 58 unidades. Notemos que, de todas formas, no tiene sentido tener una utilidad negativa
en este tipo de problemas, porque las utilidades negativas representan costos. Por ello, la utilidad
puede bajar incluso a cero sin cambiar la base ptima de este problema. Se dice que es una
variable que otorga total flexibilidad. Sin embargo, no es rentable de todos modos.
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d) Siendo una variable bsica, el anlisis es un tanto ms engorroso. Sea el cambio (positivo
o negativo) del coeficiente de en la funcin objetivo. Calculamos entonces las cotas de a
continuacin:
Cota superior:
{
}
Cota inferior:
{ }
Por lo tanto, se tiene que Por lo tanto, la utilidad del material rido del tipo 2
puede disminuir hasta en 2 unidades monetarias sin que ello modifique la base ptima del
problema.
e) Sea el cambio (positivo o negativo) en la cantidad de horas de chancado. Calculamos las
cotas de a continuacin:
Cota superior:
{
}
Cota inferior:
{
}
Por lo tanto, se tiene que
. Luego, la cantidad de horas de chancado varan en el
intervalo . Dentro de ese rango, la base ptima permanece
inalterada.
f) El mximo valor a pagar por una hora de harneado adicional corresponde, en teora, al valor del
precio sombra (o precio dual) asociado a la restriccin de harneado (que es la restriccin 2). Dicho
precio sombra es, de la tabla ptima, unidades monetarias. Este corresponde al valor
mximo a pagar por una hora de harneado adicional.
g) Como el precio sombra asociado a la restriccin de horas de chancado es unidades
monetarias, la oferta es beneficiosa y se acepta, porque se ofrece la hora adicional del recurso a
un valor menor, que es 3 unidades monetarias.
h) Tal y como se vi en (f), el precio sombra asociado a las horas adicionales de harneado es
unidades monetarias, y es el mximo a pagar por dicha capacidad adicional. El lmite
mximo ms all del cual la base ptima se modifica, con respecto a este recurso, se verficia
mediante el respectivo anlisis de sensibilidad. Sea el cambio (positivo o negativo) en las horas
de harneado. Las cotas de se calculan como sigue:
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Cota superior:
{ }
Cota inferior:
{ }
Por lo tanto, se tiene que Luego, es posible arrendar un mximo de 50 horas
adicionales de harneado, sin que ello modifique la base ptima.
i) Si las horas de chancado aumentan hasta las 880 horas, se puede obtener la nueva solucin de
forma inmediata mediante el formulismo del mtodo smplex revisado. Para ello, la matriz inicial de
recursos debe incluir este cambio, por lo cual:
(
) (
) (
)
Luego, el nuevo plan ptimo es el siguiente:
Producir 320 unidades de material rido del tipo 1.
Producir 240 unidades de material rido del tipo 2.
No es rentable producir material rido del tipo 3 y 4.
Existe una holgura de 28 horas de inspeccin de calidad.
La nueva utilidad mxima se obtiene reemplazando estos valores en la funcin objetivo, con lo cual
se tiene que ( ) unidades monetarias. Naturalmente, este plan es ms rentable,
porque deja una utilidad mayor.
j) Sea el cambio (positivo o negativo) en las horas hombre de inspeccin de calidad. Las
cotas de se calculan de la tabla ptima como sigue:
Cota superior:
{ }
Cota inferior:
{
}
Por lo tanto, Luego, las horas de inspeccin pueden disminuir hasta en 20 unidades, sin
que ello modifique la base ptima del problema.
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k) Segn los datos que entrega el problema, se debe agregar una nueva variable al modelo
original, que denotamos por . Utilizando los coeficientes de restriccin entregados para esta
variable y su utilidad original, es posible calcular su costo reducido de forma inmediata mediante el
uso del formulismo del mtodo smplex revisado. En efecto:
( ) ( )
Como el costo reducido de es negativo, entonces debe entrar a la base. Se asegura as al
menos una iteracin ms y, por tanto, al menos una mejora en la utilidad mxima de PETROMAT,
lo que implica que se acepta la produccin del nuevo material rido.
PROBLEMA #8
La empresa de transporte TRANSEC Ltda. realiza traslados de mineral desde las minas Alto, Cerro
e Indgena a distintas plantas concentradoras ubicadas a lo largo del pas. El gerente de finanzas y
logstica de TRANSEC desea determinar los recorridos ms convenientes, en trminos de costos,
para los futuros contratos.
Los costos de transporte, con sus respectivos requerimientos y suministros, se presentan en Tabla
31.
Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4 Suministros
Alto 19 11 7 21 20
Cerro 13 5 9 14 10
Indgena 14 2 8 19 8
Requerimientos 15 8 10 5
Tabla 31: Detalle de los costos de transporte de TRANSEC
Determine las rutas ms convenientes para TRANSEC. Utilice el mtodo de mnimo costo para
encontrar la solucin bsica de inicio y analice sus resultados.
SOLUCIN: Lo primero es verificar si el problema se encuentra balanceado. En efecto:
Como la sumatoria de ofertas es igual a la sumatoria de demandas, el problema se encuentra
balanceado. El tableau de transporte, de esta forma, se construye de forma inmediata utilizando los
datos de Tabla 31:
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Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4 Oferta
Alto
Cerro
Indgena
Demanda
Tabla 32: Tableau de inicio para el modelo de TRANSEC
Desarrollando por mnimo costo, se llega a la siguiente solucin bsica de inicio. Se debe
considerar que se ha agregado una asignacin nula en la celda (2, 2) para as satisfacer el
teorema de secuenciacin:
Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4 Oferta
Alto
Cerro
Indgena
Demanda
Tabla 33: Solucin bsica de inicio para el modelo de TRANSEC
Calculamos ahora los valores duales y costos reducidos para la primera iteracin, con lo cual se
tiene que la variable de entrada es .
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Oferta
Demanda
Tabla 34: Primera iteracin del problema de TRANSEC
Una vez determinado que la variable de entrada es , se debe generar un loop para determinar la
variable de salida. Dicho loop se observa en Tabla 63. Como se debe cumplir que todas las
asignaciones sean positivas o nulas, la variable de salida se obtiene de las asignaciones limitadas
por la cantidad en el tableau anterior:
De lo anterior, el valor mnimo de que no viola la restriccin de no negatividad de las variables es
, el cual corresponde a la celda (1, 4). Luego, la variable de salida es . El tableau
resultante, con los correspondientes valores duales y costos reducidos, es el siguiente:
Oferta
Demanda
Tabla 35: Tableau ptimo del problema de TRANSEC
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El tableau anterior ptimo, porque todos los costos reducidos son no negativos. La solucin ptima
de este problema es entonces El costo mnimo
asociado a las asignaciones anteriores es ( ) unidades monetarias.
Es interesante sealar que este problema presenta una solucin ptima degenerada, ya que la
asignacin en la celda (2, 2) es nula. Adems, tambin presenta ptimos alternativos, puesto que
el costo reducido de la variable no bsica es nulo.
PROBLEMA #9
La compaa manufacturadora de explosivos mineros ASIOP Mining Explosives Ltda. (ASIOPMEL)
fabrica detonadores elctricos para 3 empresas de explosivos en cada una de sus 3 plantas de
manufacturacin. Los costos de produccin varan debido a la tecnologa de produccin y el
rendimiento de los operarios. Los costos unitarios y la capacidad mensual de produccin, as como
la demanda de las empresas para el siguiente mes y el costo unitario de abastecimiento
(transporte) hacia las empresas clientes, se indican en Tabla 36.
Planta/Fbrica Hacia Costo/Unidad Produccin Fbrica
Demanda
Desde 1 2 3 ($/unid) Mensual Mensual
A 3 2 6 2 6000 1 4000
B 6 4 2 4 4000 2 6000
C 5 1 3 3 6000 3 2000
Tabla 36: Detalle del proyecto de manufacturacin de detonadores de ASIOPMEL
ASIOPMEL debe decidir cuntas unidades de detonadores se deben producir en cada planta, y
cunta demanda de cada cliente se abastecer desde cada una de ellas. Se desea minimizar el
costo total de produccin y transporte para ASIOPMEL en los siguientes escenarios:
1. Se emplea la capacidad total de produccin de las tres plantas.
2. Se produce slo la cantidad de detonadores necesaria para satisfacer la demanda.
SOLUCIN: Lo primero es verificar si el problema se encuentra balanceado. En efecto, asumiendo
que las producciones mensuales son las cantidades de oferta, se tiene que:
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Como la sumatoria de ofertas no es equivalente a la sumatoria de demandas, el problema debe
balancearse aadiendo una fbrica artificial, cuya demanda sea igual al excedente de oferta en las
plantas de manufacturacin de detonadores.
Antes de comenzar el anlisis, se debe considerar que este problema presenta una singularidad: la
produccin de detonadores implica un costo fijo. Dicho costo est siempre presente, y por ende
debe ser aadido al algoritmo de transporte. La forma ms sencilla es sumar dicho costo fijo de
produccin a cada una de las celdas que definen las rutas de transporte (de forma ms directa,
sumar los costos fijos por filas), para as resolver el problema correctamente. De lo anterior, el
tableau de inicio para el modelo de ASIOPMEL es el siguiente:
Fbrica 1 Fbrica 2 Fbrica 3 Artificial Oferta
Planta A
Planta B
Planta C
Demanda
Tabla 37: Tableau de inicio para el modelo de ASIOPMEL
Desarrollando por el mtodo de mnimo costo, se llega a la siguiente solucin bsica de inicio:
Fbrica 1 Fbrica 2 Fbrica 3 Artificial Oferta
Planta A
Planta B
Planta C
Demanda
Tabla 38: Solucin bsica de inicio del modelo de ASIOPMEL
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La asignacin anterior es correcta, porque satisface el teorema de secuenciacin. Calculamos
ahora los valores duales y costos reducidos para la primera iteracin, con lo cual se tiene que la
variable de entrada es .
Oferta
Demanda
Tabla 39: Primera iteracin del problema de ASIOPMEL
Una vez determinado que la variable de entrada es , se debe generar un loop para determinar la
variable de salida. Como se debe cumplir que todas las asignaciones sean positivas o nulas, la
variable de salida se obtiene de las asignaciones limitadas por la cantidad en el tableau anterior:
De lo anterior, el valor mnimo de que no viola la restriccin de no negatividad de las variables es
, el cual corresponde a la celda (2, 1). Luego, la variable de salida es . Luego:
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Oferta
Demanda
Tabla 40: Solucin ptima del problema de ASIOPMEL para el primer escenario
La tabla anterior es ptima, porque todos los costos reducidos son no negativos. La solucin
ptima es entonces El