I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO
GESTIÓN ACADÉMICA
GUÍA DIDÁCTICA
¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!
CÓDIGO: PA-01-01
VERSIÓN: 2.0
FECHA: 19-06-2013
PÁGINA: 1 de 11
Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado: OCTAVO
Periodo: TERCERO - GUÍA 3
Docente: Duración:
5 horas
Área: Matemáticas
Asignatura: Matemáticas
ESTÁNDAR:
Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada
Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas
Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y proponer a prueba conjeturas
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Factoriza Expresiones algebraicas
EJE(S) TEMÁTICO(S): FACTORIZACION DE TRINOMIOS
MOMENTO DE REFLEXIÓN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGÚN EL TEMA
―Las matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la filosofía.‖ Isócrates
ORIENTACIONES
Lee atentamente la guía.
Sigue las instrucciones dadas por el docente.
Resuelve en el cuaderno las actividades propuestas en esta guía.
EXPLORACIÓN
El uso de figuras geométricas como herramienta de comprensión de situaciones
abstractas, fue una estrategia utilizada por los griegos (300 a.C.) para dar
solución a diferentes ecuaciones y demostrar algunas propiedades de la adición
y la multiplicación.
De igual manera, en el segundo libro de los elementos de Euclides se plantea la
demostración de varias proposiciones algebraicas a partir de medios
geométricos.
Algunas de estas ideas corresponden a los métodos actuales de factorización.
Por ejemplo, la expresión a(b + c + d) = ab + ac + ad, se podía obtener al
considerar que el rectángulo determinado por o y por la suma de los segmentos
b, c y d es igual a la suma de los rectángulos determinados por a y por cada uno
de los segmentos b, c y d tomados por separado, y viceversa.
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CONCEPTUALIZACIÓN
1.TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Un trinomio ordenado respecto a una de sus variables es cuadrado perfecto cuando:
El primer y el tercer términos son cuadrados perfectos, es decir, tienen raíz cuadrada exacta.
El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas del primer y el tercer términos.
Factorizar un trinomio cuadrado perfecto es el proceso inverso a encontrar el desarrollo del cuadrado de la suma o la
diferencia de dos términos (producto notable unidad 4).
(a + b)2 = a
2 + 2ab + b
2
(a - b)2 = a
2 - 2ab + b
2
Así,
EJERCICIO RESUELTO
Un hacendado tiene una parcela cuya área está dada por la expresión 9m2 + 4n
2 + 12mn. Uno de los requisitos para
acceder a una licitación del Ministerio de Agricultura, es que dicha parcela debe ser de forma cuadrada.
a. ¿Podrá el hacendado acceder a la licitación?
b. De ser así, ¿cuál será la expresión que represente la medida del lado de la parcela?
SOLUCIÓN
a. Para saber si es posible que el hacendado pueda acceder a la licitación, se debe determinar si la expresión que
define el área de la parcela es un trinomio cuadrado perfecto. Para ello, primero se ordena el polinomio con
respecto a la variable m. Esto es, 9m2 + \2mn + 4n
2.
*Se extrae la raíz cuadrada a su primer y tercer términos.
*Raíz cuadrada del primer término √
*Raíz cuadrada del tercer termino √
*Se verifica que el doble producto de las raíces cuadradas de como resultado el segundo término del trinomio. Asi,
2(3m)(2n) = 12mn
Por lo tanto, 9m2 + 12mn + 4n
2 es un trinomio cuadrado perfecto. Así, se puede afirmar que la parcela es de forma
cuadrada y el hacendado puede acceder a la licitación.
Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como el cuadrado de la suma o de la resta de las raíces
cuadradas de su primer y tercer términos. Así,
a2 + 2ab + b
2 = (a + b)
2
a2 - 2ab + b
2 = (a - b)
2
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b. Para hallar la expresión que determina la medida del lado de la parcela, es necesario factorizar la expresión que
representa su área. Así.
9m2 + 12mn + 4n
2 = (3m + 2n)
2
Luego, la expresión que determina la medida del lado de la parcela es 3m + 2n (figura 1 )
Factorizar las siguientes expresiones.
a) x2 + 12x + 36 b)16x
2 – 40xy + 25y
2
a) x2 + 12x + 36
x 6
2(x) (6) = 12x
b) 16x2 – 40xy + 25y
2
4x 5y
2(4x) (5y)= 40xy
2. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACION
Existen algunos trinomios para los cuales se verifica que su primer y tercer término son cuadrados perfectos, pero su
segundo término no es el doble producto de las raíces cuadradas de estos. Tal es el caso del trinomio x4 + 2x
2 + 9.
Para lograr que un trinomio de esta forma se convierta en un trinomio cuadrado perfecto, basta con sumar y restar un
mismo término (semejante al segundo) de tal forma que el segundo término sea el doble producto de las raíces
cuadradas del primer y el tercer términos. A este proceso se le denomina completar cuadrados.
Figura 1
Raíces cuadradas del primer y el tercer términos.
Doble producto de las raíces cuadradas.
Raíces cuadradas del primer y el tercer términos.
Doble producto de las raíces cuadradas.
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EJERCICIO RESUELTO
Indicar el término que se debe sumar y restar a cada trinomio, para que se convierta en trinomio cuadrado perfecto.
a. b.
a. Para que m4 + 6m
2 + 25 sea un trinomio cuadrado perfecto, se necesita que el segundo término sea 10m
2. Por
tal razón, el término que se debe sumar y restar al trinomio es 4m2, pues 6m
2 + 4m
2 = 10m
2.
b. Para que 4a4 + 3a
2b
2 + 9b
4 sea un trinomio cuadrado perfecto, se necesita que el segundo término sea 12a
2b
2.
Por tal razón, el término que se debe sumar y restar al trinomio es 9a2b
2, pues 3a
2b
2 + 9a
2b
2 = 12a
2b
2
Factoriza x4 + 3x
2 + 4.
SOLUCION
El área de un rectángulo está dada por la expresión 4m4 - 29m
2rc
2 + 25n
4. Determinar la longitud de sus lados
SOLUCION
El rectángulo del problema se ilustra en la siguiente figura
Para poder solucionar el problema es necesario factorizar la expresión del área. Para que
sea un trinomio cuadrado perfecto, se necesita que el segundo término sea 20m2n
2. Por tal razón, el término que se
debe sumar y restar al trinomio es 49m2n
2.
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, se
completan cuadrados y se factoriza dicha expresión, primero, como un trinomio
cuadrado perfecto y luego, como una diferencia de cuadrados.
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Pues -29m2n
2 + 49m
2n
2 = 20m
2n
2. Así, 4m
4 - 29m
2n
2 + 25n
4
= 4m4 - 29m
2n
2 + 25n
4 + 49m
2n
2 - 49m
2n
2
= 4m4 + 20m
2n
2 + 25n
4 - 49m
2n
2
= (2m2 + 5n
2)
2 — 49m
2n
2
= [(2m2 + 5n
2) - 7mn][(2m
2 + 5n
2) + 7mn]
= (2m2 - 7mn + 5n
2)(2m
2 + 7mn + 5n
2)
= Luego, 4m4 - 29m
2n
2 + 25n
4 = (2m
2 - 7mn + 5n
2)(2m
2 + 7mn + 5n
2).
= Asi, las dimensiones del rectángulo son:
(2m2 - 7mn + 5n
2) y (2m
2 + 7mn + 5n
2).
3. TRINOMIO DE LA FORMA x2n
+ bxn+ c
Expresiones como x2 + 5x + 6, a
4 + 3a
2 - 10, m
6 - 5m
3 - 36 son trinomios de la forma x
2n + bx
n + c .
Los trinomios de esta forma presentan las siguientes características:
1. El coeficiente del primer término es 1.
2. El segundo término presenta la misma letra que el primero con su exponente a la mitad.
3. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo términos del trinomio.
EJERCICIOS RESUELTOS
a. x2 + 5x + 6 b. a
4 - 7a
2 – 30
c. m2 + abcm - 56a
2b
2c
2
SOLUCION
a) x2 + 5x + 6 = (x )(x )
Se buscan dos números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Estos números son 2 y 3.
Para factorizar un trinomio de la forma x2n
+ bxn + c, se buscan dos números r y s , tales
que,
𝑥 𝑛 𝑏𝑥𝑛 𝑐 𝑥𝑛 𝑟 𝑥𝑛 𝑠 Donde r + s = b y r ∙s = c
Raíz cuadrada del primer término del trinomio
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Luego, x2+5x + 6= (x + 2) (x + 3)
b) a4 - 7a
2 – 30 = (a
2 ) ( a
2 )
Se buscan dos números cuya suma sea – 7 y cuyo producto sea –30. Estos números
son – 10 y 3.
Luego,
c) m2 + abcm - 56a
2b
2c
2 = (m + )(m )
En este caso, las expresiones que se deben tener en cuenta son 1abc – 56a 2b
2c
2 =
(m + 8abc) (m – 7abc)
FACTORIZAR LA EXPRESION m2 + 11m + 24 y elaborar una representación grafica de ella.
SOLUCION
Para factorizar la expresión m2 + 11m + 24, se buscan dos números cuya suma sea 11 y cuyo producto sea
24. Estos números son 8 y 3.
Así; m2 + 5m + 24 = (m + 8) (m + 3)
La representación grafica de la expresión m2 + 11m + 24 como el área de un rectángulo de lados m + 8 y
m + 3, respectivamente, se muestra en la figura 2.
4. TRINOMIO DE LA FORMA ax2n
+ bxn+ c
Expresiones como 2x2+ 3x – 2, 6a
2+ 7a
2 + 2, 7m
6 – 33m
3 – 10, son trinomios de la forma ax
2n+ bx
n+ c
Los trinomios de esta forma presentan las características:
a) El coeficiente del primer término es diferente de 1.
Raíz cuadrada del primer término del trinomio
Raíz cuadrada del primer término del trinomio
Figura 2
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b) El segundo término presenta la misma letra que el primero con su exponente a la mitad.
c) El tercer término es independiente de la letra que aparece el primer y segundo término del trinomio.
Para factorizar un trinomio de la forma ax2n
+ bxn+ c existen varios métodos. A continuación se describe uno de
ellos.
Se toma como valor de referencia el producto de a y c.
Se descompone a y c en dos factores, s y t, de tal forma que sxn + tx
n= bx
n
Se escribe el trinomio ax2n
+ bxn+ c como el polinomio equivalente a ax
2n + sn
n + tx
n + c
Se factoriza el polinomio obtenido como
factor común por agrupación de términos.
EJERCICIOS RESUELTOS
FACTORIZAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES
a) 4x2+ 15x + 9 b)15x
4 – 23x
2 + 4
SOLUCION
a) 4x2+ 15x + 9
Se toma como referencia el producto
entre 4 y 9. Esto es 4 * 9 = 36.
Se descompone 36 en dos factores s y t,
tales que sx + tx = 15. En este caso s =12 y t = 3, pues 12x y 3x = 15x.
Se escribe 4x2 + 15x + 9 como 4x2 +
12x + 3x + 9
Se factoriza dicha expresión como factor común por agrupación, así.
4x2 + 15x + 9= 4x
2 +12x +3x + 9
= (4x2
+12x) + (3x + 9)
= 4x (x + 3) + 3 (x + 3)
= (x + 3) (4x + 3)
Luego, 4x2 + 15x + 9 es = (x + 3) (4x + 3)
EJERCICIO RESUELTO
Cierto componente electrónico de forma rectangular, esta descrito en su totalidad por la expresión 20x2 + 56x + 15.
Determinar las dimensiones y el plano de dicho componente.
SOLUCION
Para determinar las dimensiones del componente, se deben factorizar la expresión que representa su área. Así,
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20x2 + 56x + 15 = (2x + 5) (10x + 3)
Luego, las dimensiones del componente electrónico están dadas por las expresiones 2x + 5 y 10x + 3 respectivamente.
El plano de dicho componente se muestra en la figura 3. Al descomponer cada parte del componente se tiene que las
expresiones que lo describen son 20x2, 50x, 6x y 15.
ACTIVIDADES DE APROPIACION
Marcar , si la expresión es un trinomio cuadrado
perfecto, o , si no lo es.
a) y2+ 14x + 49 e)m
2 – 10m + 16
b)25x2+ 60x + 36 f)169 – 13x +x
2
c)81z2 – 32zy + 4y
2 g)r
2 – 30r + 225
d)
h)
Relacionar cada trinomio con su factorización
respectiva; escribiendo sobre la línea la letra correcta
64x2 – 48xy
2+ 9y
4 _____ a.(3x
2y
2 – 4y
4)2
16x2 – 48xy
2 +36y
4 _____ b.(4x – 6y
2)2
81y4 – 36xy
3 + 4y
2x
2 _____ c.(8x – 3y
2)2
9x4y
4 – 24x
2y
6 + 16y
8 _____ d.(9y
2 – 2yx)
2
Marcar con un el termino que se debe sumar o
restar al trinomio dado para que sea trinomio
cuadrado perfecto.
a)z4
+ 4z2
+ 16 z2 2z
2 4z
2
b)x4 + 2x
2 + 9 2x
4 4x
2 4x
4
c)x4 – 3x
2z
2 + z
4 x
2z x
2z
2 x
4z
2
d)z4 + z
2 + 1 2z
2 z
2 z
e)x8
+ x4 + 1 x
4 x
2 2x
4
f)z8 + 15z
4 + 64 z
2 z
4 3z
4
g)x2 + 13x
4 +49 7x
4 2x
4 x
4
h)z8 + 9z
4 +25 z
4 5z
2 3z
4
Para construir un joyero, se utilizo una cartulina
cuadrada cuya área es 64x2 + 192x + 144, a esta se le
recortaron los cuadrados de las esquinas como
muestra la figura.
Escribir una expresión que permita calcular el área de la
base del joyero.¿el cuadrado levantado sobre BC, es un
trinomio cuadrado perfecto?
PARA PENSAR. Determinar la base y la altura de
cada cuadrilátero.
A=4x2 – 20x + 25
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Factorizar cada trinomio.
a)x4
+ 2x2y
2 + 9y
4 f)m
4 – 45m
2 + 100
b)x8
+ 6x4b
4+ 25b
8 g)r
8 + 3r
4+ 4
c)49z4+ 54y
2z
2+ 25y
4 i)c
8 – 14c
4 +25
d)64a 4+12 a
2b
2+ b
4 j)16p
4 – 25p
2q
6+9q
12
e)49z8 + 110z
4y
4+ 100y
8 k)49m
8 + 75m
4n
2+196n
4
Encontrar dos numeros que sumados den el primer
numero de cada fila y multiplicados den el segundo.
6 8 7 10 5 -36
-4 -21 -11 28 16 63
Completa la tabla.
Si el area de un rectangulo es x6 – 24x
3 + 143, hallar
sus dimensiones y perimetros.
¿Qué polinomio factorizado da (x – 12) (x + 8),
representar graficamente la situacion.
Factorizar
a)x2 + 16x + 15 f)m
2 – 9m +18
b)y2
+5y – 14 g)a2 11 a + 28
c)t4- 8t
2 + 12 h)p
10 +
10p
5 - 600
d)b4 + 7b
2 – 260 i)y
8 + 39y
4 + 108
e)m6 – 37m
3 + 210 j)a4t+ 4 23 a 2t +2 + 123
Encontrar las dimensiones de cada cuadrilatero.
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Factorizar los siguientes trinomios.
Completar la siguiente tabla.
Relacionar cada trinomio con el coeficieinte que
completa el trinomio para que se pueda factorizar.
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¿Qué factorizacion se puede obtener de las siguientes
graficas?
a)
b)
c)
Hallar las dimensiones de la base y la altura de cada
poligono. Se aplican todas las factorizaciones vistas.
a)
b)
c) d)
SOCIALIZACIÓN
Resolver en el aula los ejercicios con la finalidad de aclarar las dudas presentadas y posteriormente presentar la
evaluación del tema en las fechas establecipdas.
COMPROMISO
Resolver Todos los ejercicios de la guía en el cuaderno y entregarlo una vez se termine la guía según las fechas
determinadas por el docente
ELABORÓ REVISÓ APROBÓ
NOMBRES
Yaira Lizett Rincón R Alexandra Uribe Rozo
CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico
19 06 2014 19 06 2014
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