Bloque:ÁlgebraLineal
Tema:Matrices y
determinan-tes
HEDIMA
Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
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HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
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Tema:Matrices y
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Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Bloque: Álgebra lineal
Tema: Matrices y determinantes
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Tema:Matrices y
determinan-tes
HEDIMA
Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Índice
Matrices
Operaciones con matrices
Determinante de una matriz
Propiedades de los determinantes
Aplicación: Cálculo de la matriz inversa
Bloque:ÁlgebraLineal
Tema:Matrices y
determinan-tes
HEDIMA
Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Matrices
Bloque:ÁlgebraLineal
Tema:Matrices y
determinan-tes
HEDIMA
Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Matrices
Definición
Se llama matriz de orden m× n con coeficientes en un cuerpo K (por logeneral, K = R o K = C) a un conjunto ordenado de escalaresaij ∈ K, i = 1, . . . ,m y j = 1, . . . , n, dispuestos en m filas y n columnas,formando un rectángulo. Se representa por
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
...am1 am2 . . . amn
.
Las matrices de orden n× n con coeficientes en K se llaman matricescuadradas de orden n con coeficientes en K.
El conjunto de las matrices de orden m× n con coeficientes en K sedesigna por Mm×n(K), y el conjunto de las matrices cuadradas de orden ncon coeficientes en K se designa por Mn(K).
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Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Matrices
Definición
Se llama matriz de orden m× n con coeficientes en un cuerpo K (por logeneral, K = R o K = C) a un conjunto ordenado de escalaresaij ∈ K, i = 1, . . . ,m y j = 1, . . . , n, dispuestos en m filas y n columnas,formando un rectángulo. Se representa por
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
...am1 am2 . . . amn
.Las matrices de orden n× n con coeficientes en K se llaman matricescuadradas de orden n con coeficientes en K.
El conjunto de las matrices de orden m× n con coeficientes en K sedesigna por Mm×n(K), y el conjunto de las matrices cuadradas de orden ncon coeficientes en K se designa por Mn(K).
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Matrices
Definición
Se llama matriz de orden m× n con coeficientes en un cuerpo K (por logeneral, K = R o K = C) a un conjunto ordenado de escalaresaij ∈ K, i = 1, . . . ,m y j = 1, . . . , n, dispuestos en m filas y n columnas,formando un rectángulo. Se representa por
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
...am1 am2 . . . amn
.Las matrices de orden n× n con coeficientes en K se llaman matricescuadradas de orden n con coeficientes en K.
El conjunto de las matrices de orden m× n con coeficientes en K sedesigna por Mm×n(K), y el conjunto de las matrices cuadradas de orden ncon coeficientes en K se designa por Mn(K).
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Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Matrices
Definición
Sea A ∈Mm×n(K).
El escalar que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se llamaelemento (i, j)-ésimo de A; es usual denotarlo por aij , y por tantorepresentar a la matriz A por (aij) .
Dado j ∈ {1, . . . , n} la matriz a1j...amj
∈Mm×1(K)se llama columna j-ésima de A, y dado i ∈ {1, . . . ,m} la matriz
(ai1 . . . ain) ∈M1×n(K)
se denomina fila i-ésima de A.
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Propiedadesde losdeterminantes
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Matrices
Definición
Sea A ∈Mm×n(K).
El escalar que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se llamaelemento (i, j)-ésimo de A; es usual denotarlo por aij , y por tantorepresentar a la matriz A por (aij) .
Dado j ∈ {1, . . . , n} la matriz a1j...amj
∈Mm×1(K)se llama columna j-ésima de A, y dado i ∈ {1, . . . ,m} la matriz
(ai1 . . . ain) ∈M1×n(K)
se denomina fila i-ésima de A.
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Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Matrices
Ejemplos
A =
5 7 42 9 56 2 3
∈M3(R); a23 = 5; ( 6 2 3 ) ∈M1×3(R)
B =
(3 5 1 0−1 0 2 12
)∈M2×4(R); b14 = 0;
(50
)∈M2×1(R)
C =
(3 + 5i −1−i 1 + i
)∈M2(C); c22 = 1+i;
(−i 1 + i
)∈M1×2(C)
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Ejemplos
A =
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∈M3(R); a23 = 5; ( 6 2 3 ) ∈M1×3(R)
B =
(3 5 1 0−1 0 2 12
)∈M2×4(R); b14 = 0;
(50
)∈M2×1(R)
C =
(3 + 5i −1−i 1 + i
)∈M2(C); c22 = 1+i;
(−i 1 + i
)∈M1×2(C)
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Ejemplos
A =
5 7 42 9 56 2 3
∈M3(R); a23 = 5; ( 6 2 3 ) ∈M1×3(R)
B =
(3 5 1 0−1 0 2 12
)∈M2×4(R); b14 = 0;
(50
)∈M2×1(R)
C =
(3 + 5i −1−i 1 + i
)∈M2(C); c22 = 1+i;
(−i 1 + i
)∈M1×2(C)
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Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Matrices
Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y coinciden elemento aelemento; es decir, si (aij) y (bij) ∈Mm×n(K), entonces
(aij) = (bij)⇐⇒ aij = bij , ∀i = 1, . . . ,m ∀j = 1, . . . , n.
Definición
Sea A ∈Mm×n(K). Llamaremos submatriz o matriz extráıda de A acualquier matriz obtenida a partir de A suprimiendo algunas de sus filas y/ocolumnas.
Ejemplos
A =
5 7 42 9 56 2 3
; submatriz ( 9 52 3
)
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Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Matrices
Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y coinciden elemento aelemento; es decir, si (aij) y (bij) ∈Mm×n(K), entonces
(aij) = (bij)⇐⇒ aij = bij , ∀i = 1, . . . ,m ∀j = 1, . . . , n.
Definición
Sea A ∈Mm×n(K). Llamaremos submatriz o matriz extráıda de A acualquier matriz obtenida a partir de A suprimiendo algunas de sus filas y/ocolumnas.
Ejemplos
A =
5 7 42 9 56 2 3
; submatriz ( 9 52 3
)
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Matrices
Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y coinciden elemento aelemento; es decir, si (aij) y (bij) ∈Mm×n(K), entonces
(aij) = (bij)⇐⇒ aij = bij , ∀i = 1, . . . ,m ∀j = 1, . . . , n.
Definición
Sea A ∈Mm×n(K). Llamaremos submatriz o matriz extráıda de A acualquier matriz obtenida a partir de A suprimiendo algunas de sus filas y/ocolumnas.
Ejemplos
A =
5 7 42 9 56 2 3
; submatriz ( 9 52 3
)
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Matrices
Algunos tipos de matrices especiales
i) La matriz nula 0 ∈Mm×n(K) es aquella con m filas y n columnascuyos elementos son todos iguales a 0.
ii) Se dice que una matriz cuadrada D = (dij) ∈Mn(K) es diagonal sidij = 0 para todo i 6= j.
En ocasiones, escribiremos
diag(λ1, . . . , λn),
con λi ∈ K, i = 1, . . . , n, para denotar la matriz diagonalD = (dij) ∈Mn(K) tal que dii = λi, i = 1, . . . , n.
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Algunos tipos de matrices especiales
i) La matriz nula 0 ∈Mm×n(K) es aquella con m filas y n columnascuyos elementos son todos iguales a 0.
ii) Se dice que una matriz cuadrada D = (dij) ∈Mn(K) es diagonal sidij = 0 para todo i 6= j.
En ocasiones, escribiremos
diag(λ1, . . . , λn),
con λi ∈ K, i = 1, . . . , n, para denotar la matriz diagonalD = (dij) ∈Mn(K) tal que dii = λi, i = 1, . . . , n.
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Algunos tipos de matrices especiales
i) La matriz nula 0 ∈Mm×n(K) es aquella con m filas y n columnascuyos elementos son todos iguales a 0.
ii) Se dice que una matriz cuadrada D = (dij) ∈Mn(K) es diagonal sidij = 0 para todo i 6= j.
En ocasiones, escribiremos
diag(λ1, . . . , λn),
con λi ∈ K, i = 1, . . . , n, para denotar la matriz diagonalD = (dij) ∈Mn(K) tal que dii = λi, i = 1, . . . , n.
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Matrices
Algunos tipos de matrices especiales
iii) A la matriz diagonal tal que dii = 1 para todo i = 1, . . . , n, se ledenomina matriz unidad (ó matriz identidad) de orden n, y se denotapor In; es decir,
In =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . 1
.
Con la notación habitual de la delta de Kronecker
δij =
{1 si i = j0 si i 6= j
se tine que In = (δij) ∈Mn(K).
iv) Se dice que una matriz cuadrada A = (aij) ∈Mn(K) es triangularsuperior si aij = 0 cuando i > j, y se dice que A es triangular inferior siaij = 0 cuando i < j.
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Matrices
Algunos tipos de matrices especiales
iii) A la matriz diagonal tal que dii = 1 para todo i = 1, . . . , n, se ledenomina matriz unidad (ó matriz identidad) de orden n, y se denotapor In; es decir,
In =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . 1
.Con la notación habitual de la delta de Kronecker
δij =
{1 si i = j0 si i 6= j
se tine que In = (δij) ∈Mn(K).
iv) Se dice que una matriz cuadrada A = (aij) ∈Mn(K) es triangularsuperior si aij = 0 cuando i > j, y se dice que A es triangular inferior siaij = 0 cuando i < j.
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iii) A la matriz diagonal tal que dii = 1 para todo i = 1, . . . , n, se ledenomina matriz unidad (ó matriz identidad) de orden n, y se denotapor In; es decir,
In =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . 1
.Con la notación habitual de la delta de Kronecker
δij =
{1 si i = j0 si i 6= j
se tine que In = (δij) ∈Mn(K).
iv) Se dice que una matriz cuadrada A = (aij) ∈Mn(K) es triangularsuperior si aij = 0 cuando i > j, y se dice que A es triangular inferior siaij = 0 cuando i < j.
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Matrices
Ejemplos
A =
(0 0 00 0 0
)∈M2×3(R); matriz nula
B =
3 0 00 1 00 0 0
= diag(3, 1, 0) ∈M3(R); matriz diagonal
C =
(1 00 1
)= I2 ∈M2(R); matriz unidad
E =
2 1 40 5 00 0 −1
∈M3(R); matriz triangular superior
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Ejemplos
A =
(0 0 00 0 0
)∈M2×3(R); matriz nula
B =
3 0 00 1 00 0 0
= diag(3, 1, 0) ∈M3(R); matriz diagonal
C =
(1 00 1
)= I2 ∈M2(R); matriz unidad
E =
2 1 40 5 00 0 −1
∈M3(R); matriz triangular superior
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A =
(0 0 00 0 0
)∈M2×3(R); matriz nula
B =
3 0 00 1 00 0 0
= diag(3, 1, 0) ∈M3(R); matriz diagonal
C =
(1 00 1
)= I2 ∈M2(R); matriz unidad
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2 1 40 5 00 0 −1
∈M3(R); matriz triangular superior
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Ejemplos
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)∈M2×3(R); matriz nula
B =
3 0 00 1 00 0 0
= diag(3, 1, 0) ∈M3(R); matriz diagonal
C =
(1 00 1
)= I2 ∈M2(R); matriz unidad
E =
2 1 40 5 00 0 −1
∈M3(R); matriz triangular superior
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Operaciones con matrices
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Matrices
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Operaciones con matrices
Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.
Definición
En el conjunto Mm×n(K) se define la suma de matrices de la siguientemanera: si A = (aij) y B = (bij) ∈Mm×n(K), entonces
A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij) ;
luego, la suma de matrices define como la suma elemento a elemento.
Una matriz se puede multiplicar por un escalar.
Definición
Si A = (aij) ∈Mm×n(K) y λ ∈ K, se define
λ ·A := (λ · aij) ,
esto es, el producto de un escalar por una matriz es la matriz que resulta almultiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el escalar.
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Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
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Operaciones con matrices
Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.
Definición
En el conjunto Mm×n(K) se define la suma de matrices de la siguientemanera: si A = (aij) y B = (bij) ∈Mm×n(K), entonces
A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij) ;
luego, la suma de matrices define como la suma elemento a elemento.
Una matriz se puede multiplicar por un escalar.
Definición
Si A = (aij) ∈Mm×n(K) y λ ∈ K, se define
λ ·A := (λ · aij) ,
esto es, el producto de un escalar por una matriz es la matriz que resulta almultiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el escalar.
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Operaciones con matrices
Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.
Definición
En el conjunto Mm×n(K) se define la suma de matrices de la siguientemanera: si A = (aij) y B = (bij) ∈Mm×n(K), entonces
A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij) ;
luego, la suma de matrices define como la suma elemento a elemento.
Una matriz se puede multiplicar por un escalar.
Definición
Si A = (aij) ∈Mm×n(K) y λ ∈ K, se define
λ ·A := (λ · aij) ,
esto es, el producto de un escalar por una matriz es la matriz que resulta almultiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el escalar.
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Operaciones con matrices
Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.
Definición
En el conjunto Mm×n(K) se define la suma de matrices de la siguientemanera: si A = (aij) y B = (bij) ∈Mm×n(K), entonces
A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij) ;
luego, la suma de matrices define como la suma elemento a elemento.
Una matriz se puede multiplicar por un escalar.
Definición
Si A = (aij) ∈Mm×n(K) y λ ∈ K, se define
λ ·A := (λ · aij) ,
esto es, el producto de un escalar por una matriz es la matriz que resulta almultiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el escalar.
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
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Operaciones con matrices
Nótese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,conmutativa y además,
i) si A ∈Mm×n(K) y 0 ∈Mm×n(K), entonces A+ 0 = 0 +A = A.
ii) si A = (aij) ∈Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma queA+ (−A) = (−A) +A = 0 ∈Mm×n(K).
Para que dos matrices puedan multiplicarse, el número de columnas delfactor de la izquierda ha de coincidir con el número de filas del factor dela derecha.
Definición
Sean A = (ail) ∈Mm×p(K) y B = (blj) ∈Mp×n(K). Se llama matrizproducto A ·B a C = (cij) ∈Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-ésimo es
cij =
p∑l=1
ailblj , ∀i = 1, . . . ,m, ∀j = 1, . . . , n.
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Operaciones con matrices
Nótese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,conmutativa y además,
i) si A ∈Mm×n(K) y 0 ∈Mm×n(K), entonces A+ 0 = 0 +A = A.
ii) si A = (aij) ∈Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma queA+ (−A) = (−A) +A = 0 ∈Mm×n(K).
Para que dos matrices puedan multiplicarse, el número de columnas delfactor de la izquierda ha de coincidir con el número de filas del factor dela derecha.
Definición
Sean A = (ail) ∈Mm×p(K) y B = (blj) ∈Mp×n(K). Se llama matrizproducto A ·B a C = (cij) ∈Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-ésimo es
cij =
p∑l=1
ailblj , ∀i = 1, . . . ,m, ∀j = 1, . . . , n.
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Operaciones con matrices
Nótese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,conmutativa y además,
i) si A ∈Mm×n(K) y 0 ∈Mm×n(K), entonces A+ 0 = 0 +A = A.
ii) si A = (aij) ∈Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma queA+ (−A) = (−A) +A = 0 ∈Mm×n(K).
Para que dos matrices puedan multiplicarse, el número de columnas delfactor de la izquierda ha de coincidir con el número de filas del factor dela derecha.
Definición
Sean A = (ail) ∈Mm×p(K) y B = (blj) ∈Mp×n(K). Se llama matrizproducto A ·B a C = (cij) ∈Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-ésimo es
cij =
p∑l=1
ailblj , ∀i = 1, . . . ,m, ∀j = 1, . . . , n.
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Operaciones con matrices
Nótese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,conmutativa y además,
i) si A ∈Mm×n(K) y 0 ∈Mm×n(K), entonces A+ 0 = 0 +A = A.
ii) si A = (aij) ∈Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma queA+ (−A) = (−A) +A = 0 ∈Mm×n(K).
Para que dos matrices puedan multiplicarse, el número de columnas delfactor de la izquierda ha de coincidir con el número de filas del factor dela derecha.
Definición
Sean A = (ail) ∈Mm×p(K) y B = (blj) ∈Mp×n(K). Se llama matrizproducto A ·B a C = (cij) ∈Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-ésimo es
cij =
p∑l=1
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Nótese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,conmutativa y además,
i) si A ∈Mm×n(K) y 0 ∈Mm×n(K), entonces A+ 0 = 0 +A = A.
ii) si A = (aij) ∈Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma queA+ (−A) = (−A) +A = 0 ∈Mm×n(K).
Para que dos matrices puedan multiplicarse, el número de columnas delfactor de la izquierda ha de coincidir con el número de filas del factor dela derecha.
Definición
Sean A = (ail) ∈Mm×p(K) y B = (blj) ∈Mp×n(K). Se llama matrizproducto A ·B a C = (cij) ∈Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-ésimo es
cij =
p∑l=1
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Operaciones con matrices
Ejemplos(4 2 12 −3 0
)+
(4 2 12 −3 0
)=
(8 4 24 −6 0
)suma
2
(4 2 12 −3 0
)=
(8 4 24 −6 0
)producto escalar
(1 3 2−1 2 0
)·
1 02 40 1
= ( 7 143 8
)producto
1 02 40 1
· ( 1 3 2−1 2 0)
=
1 3 2−2 14 4−1 2 0
no es conmutativo
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determinan-tes
HEDIMA
Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Operaciones con matrices
Ejemplos(4 2 12 −3 0
)+
(4 2 12 −3 0
)=
(8 4 24 −6 0
)suma
2
(4 2 12 −3 0
)=
(8 4 24 −6 0
)producto escalar
(1 3 2−1 2 0
)·
1 02 40 1
= ( 7 143 8
)producto
1 02 40 1
· ( 1 3 2−1 2 0)
=
1 3 2−2 14 4−1 2 0
no es conmutativo
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)+
(4 2 12 −3 0
)=
(8 4 24 −6 0
)suma
2
(4 2 12 −3 0
)=
(8 4 24 −6 0
)producto escalar
(1 3 2−1 2 0
)·
1 02 40 1
= ( 7 143 8
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1 02 40 1
· ( 1 3 2−1 2 0)
=
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)+
(4 2 12 −3 0
)=
(8 4 24 −6 0
)suma
2
(4 2 12 −3 0
)=
(8 4 24 −6 0
)producto escalar
(1 3 2−1 2 0
)·
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= ( 7 143 8
)producto
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· ( 1 3 2−1 2 0)
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
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Operaciones con matrices
Definición
Sea A ∈Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz deMm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas enA. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por At.
Ejemplo
A =
(4 2 12 −3 0
); At =
4 22 −31 0
Definición
Sea A ∈Mn(K), diremos que la matriz A es simétrica cuando coincide consu matriz transpuesta, es decir, cuando A = At.
Ejemplo
A =
4 2 12 −3 01 0 5
; At = 4 2 12 −3 0
1 0 5
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Propiedadesde losdeterminantes
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Operaciones con matrices
Definición
Sea A ∈Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz deMm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas enA. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por At.
Ejemplo
A =
(4 2 12 −3 0
); At =
4 22 −31 0
Definición
Sea A ∈Mn(K), diremos que la matriz A es simétrica cuando coincide consu matriz transpuesta, es decir, cuando A = At.
Ejemplo
A =
4 2 12 −3 01 0 5
; At = 4 2 12 −3 0
1 0 5
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Propiedadesde losdeterminantes
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Definición
Sea A ∈Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz deMm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas enA. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por At.
Ejemplo
A =
(4 2 12 −3 0
); At =
4 22 −31 0
Definición
Sea A ∈Mn(K), diremos que la matriz A es simétrica cuando coincide consu matriz transpuesta, es decir, cuando A = At.
Ejemplo
A =
4 2 12 −3 01 0 5
; At = 4 2 12 −3 0
1 0 5
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Propiedadesde losdeterminantes
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Definición
Sea A ∈Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz deMm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas enA. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por At.
Ejemplo
A =
(4 2 12 −3 0
); At =
4 22 −31 0
Definición
Sea A ∈Mn(K), diremos que la matriz A es simétrica cuando coincide consu matriz transpuesta, es decir, cuando A = At.
Ejemplo
A =
4 2 12 −3 01 0 5
; At = 4 2 12 −3 0
1 0 5
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Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Operaciones con matrices
Definición
Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es invertible (o no singular) si existeB ∈Mn(K) tal que A ·B = B ·A = In. La matriz B si existe es única, sedenomina matriz inversa de A y la denotaremos por A−1.
Ejemplo
A =
(1 20 1
); A−1 =
(1 −20 1
); A ·A−1 = A−1 ·A = I2
Definición
Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es ortogonal si es invertible yAt = A−1.
Ejemplo
A =
(0 1−1 0
); At =
(0 −11 0
); A ·At = At ·A = I2
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Propiedadesde losdeterminantes
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Operaciones con matrices
Definición
Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es invertible (o no singular) si existeB ∈Mn(K) tal que A ·B = B ·A = In. La matriz B si existe es única, sedenomina matriz inversa de A y la denotaremos por A−1.
Ejemplo
A =
(1 20 1
); A−1 =
(1 −20 1
); A ·A−1 = A−1 ·A = I2
Definición
Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es ortogonal si es invertible yAt = A−1.
Ejemplo
A =
(0 1−1 0
); At =
(0 −11 0
); A ·At = At ·A = I2
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Propiedadesde losdeterminantes
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Definición
Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es invertible (o no singular) si existeB ∈Mn(K) tal que A ·B = B ·A = In. La matriz B si existe es única, sedenomina matriz inversa de A y la denotaremos por A−1.
Ejemplo
A =
(1 20 1
); A−1 =
(1 −20 1
); A ·A−1 = A−1 ·A = I2
Definición
Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es ortogonal si es invertible yAt = A−1.
Ejemplo
A =
(0 1−1 0
); At =
(0 −11 0
); A ·At = At ·A = I2
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Definición
Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es invertible (o no singular) si existeB ∈Mn(K) tal que A ·B = B ·A = In. La matriz B si existe es única, sedenomina matriz inversa de A y la denotaremos por A−1.
Ejemplo
A =
(1 20 1
); A−1 =
(1 −20 1
); A ·A−1 = A−1 ·A = I2
Definición
Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es ortogonal si es invertible yAt = A−1.
Ejemplo
A =
(0 1−1 0
); At =
(0 −11 0
); A ·At = At ·A = I2
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Matrices
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Propiedadesde losdeterminantes
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Operaciones con matrices
Definición
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Se denomina traza de A al número
tr(A) =
n∑i=1
aii.
Ejemplo
A =
4 2 12 −3 01 0 5
; tr(A) = 6
Si A y B ∈Mn(K), se verifica que:
tr(A+B) = tr(A) + tr(B); tr(A) = tr(At) y tr(A ·B) = tr(B ·A)
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Definición
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Se denomina traza de A al número
tr(A) =
n∑i=1
aii.
Ejemplo
A =
4 2 12 −3 01 0 5
; tr(A) = 6
Si A y B ∈Mn(K), se verifica que:
tr(A+B) = tr(A) + tr(B); tr(A) = tr(At) y tr(A ·B) = tr(B ·A)
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
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Definición
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Se denomina traza de A al número
tr(A) =
n∑i=1
aii.
Ejemplo
A =
4 2 12 −3 01 0 5
; tr(A) = 6
Si A y B ∈Mn(K), se verifica que:
tr(A+B) = tr(A) + tr(B); tr(A) = tr(At) y tr(A ·B) = tr(B ·A)
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Matrices
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
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Determinante de una matriz
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Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Determinante de una matriz
Definición
Sea A = (aij) ∈Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por|A|, al escalar definido por la expresión:
|A| =∑σ∈Sn
sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),
donde Sn denota al grupo simétrico.
Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simétricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X conśı mismo. Podemos escribir una permutación σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imágenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el número de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).
σ =
(1 2 33 2 1
)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1
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Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Determinante de una matriz
Definición
Sea A = (aij) ∈Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por|A|, al escalar definido por la expresión:
|A| =∑σ∈Sn
sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),
donde Sn denota al grupo simétrico.
Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simétricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X conśı mismo.
Podemos escribir una permutación σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imágenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el número de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).
σ =
(1 2 33 2 1
)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1
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Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Determinante de una matriz
Definición
Sea A = (aij) ∈Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por|A|, al escalar definido por la expresión:
|A| =∑σ∈Sn
sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),
donde Sn denota al grupo simétrico.
Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simétricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X conśı mismo. Podemos escribir una permutación σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imágenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n).
El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el número de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).
σ =
(1 2 33 2 1
)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1
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Matrices
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Determinante de una matriz
Definición
Sea A = (aij) ∈Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por|A|, al escalar definido por la expresión:
|A| =∑σ∈Sn
sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),
donde Sn denota al grupo simétrico.
Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simétricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X conśı mismo. Podemos escribir una permutación σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imágenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el número de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).
σ =
(1 2 33 2 1
)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1
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Matrices
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Determinante de una matriz
Definición
Sea A = (aij) ∈Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por|A|, al escalar definido por la expresión:
|A| =∑σ∈Sn
sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),
donde Sn denota al grupo simétrico.
Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simétricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X conśı mismo. Podemos escribir una permutación σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imágenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el número de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).
σ =
(1 2 33 2 1
)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1
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Matrices
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Determinante de una matriz
Veamos las expresiones expĺıcitas para los determinantes de las matricescuadradas de ordenes 2 y 3.
i) Si A = (aij) ∈M2(K), entonces
|A| = a11a22 − a12a21
ya que S2 =
{(1 21 2
),
(1 22 1
)}, con signos {1,−1},
respectivamente.
ii) Si A = (aij) ∈M3(K), entonces
|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.
Ejemplos
A =
(4 22 −3
); |A| = −16; B =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |B| = −8
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Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Determinante de una matriz
Veamos las expresiones expĺıcitas para los determinantes de las matricescuadradas de ordenes 2 y 3.
i) Si A = (aij) ∈M2(K), entonces
|A| = a11a22 − a12a21
ya que S2 =
{(1 21 2
),
(1 22 1
)}, con signos {1,−1},
respectivamente.
ii) Si A = (aij) ∈M3(K), entonces
|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.
Ejemplos
A =
(4 22 −3
); |A| = −16; B =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |B| = −8
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Matrices
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Determinante de una matriz
Veamos las expresiones expĺıcitas para los determinantes de las matricescuadradas de ordenes 2 y 3.
i) Si A = (aij) ∈M2(K), entonces
|A| = a11a22 − a12a21
ya que S2 =
{(1 21 2
),
(1 22 1
)}, con signos {1,−1},
respectivamente.
ii) Si A = (aij) ∈M3(K), entonces
|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.
Ejemplos
A =
(4 22 −3
); |A| = −16; B =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |B| = −8
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Matrices
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Propiedadesde losdeterminantes
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Determinante de una matriz
Veamos las expresiones expĺıcitas para los determinantes de las matricescuadradas de ordenes 2 y 3.
i) Si A = (aij) ∈M2(K), entonces
|A| = a11a22 − a12a21
ya que S2 =
{(1 21 2
),
(1 22 1
)}, con signos {1,−1},
respectivamente.
ii) Si A = (aij) ∈M3(K), entonces
|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.
Ejemplos
A =
(4 22 −3
); |A| = −16;
B =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |B| = −8
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Propiedadesde losdeterminantes
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Determinante de una matriz
Veamos las expresiones expĺıcitas para los determinantes de las matricescuadradas de ordenes 2 y 3.
i) Si A = (aij) ∈M2(K), entonces
|A| = a11a22 − a12a21
ya que S2 =
{(1 21 2
),
(1 22 1
)}, con signos {1,−1},
respectivamente.
ii) Si A = (aij) ∈M3(K), entonces
|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.
Ejemplos
A =
(4 22 −3
); |A| = −16; B =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |B| = −8
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Matrices
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij |.
De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.
Si elegimos la fila i-ésima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|
=
n∑j=1
(−1)i+jaij |Aij |,
Si elegimos la columna j-ésima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |
=
n∑i=1
(−1)i+jaij |Aij |.
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Propiedadesde losdeterminantes
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Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij |.
De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.
Si elegimos la fila i-ésima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|
=
n∑j=1
(−1)i+jaij |Aij |,
Si elegimos la columna j-ésima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |
=
n∑i=1
(−1)i+jaij |Aij |.
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Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij |.
De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.
Si elegimos la fila i-ésima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|
=
n∑j=1
(−1)i+jaij |Aij |,
Si elegimos la columna j-ésima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |
=
n∑i=1
(−1)i+jaij |Aij |.
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Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij |.
De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.
Si elegimos la fila i-ésima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|
=n∑j=1
(−1)i+jaij |Aij |,
Si elegimos la columna j-ésima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |
=
n∑i=1
(−1)i+jaij |Aij |.
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Matrices
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij |.
De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.
Si elegimos la fila i-ésima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|
=n∑j=1
(−1)i+jaij |Aij |,
Si elegimos la columna j-ésima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |
=
n∑i=1
(−1)i+jaij |Aij |.
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Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij |.
De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.
Si elegimos la fila i-ésima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|
=n∑j=1
(−1)i+jaij |Aij |,
Si elegimos la columna j-ésima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |
=n∑i=1
(−1)i+jaij |Aij |.
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Determinante de una matriz
Ejemplos
B =
1 2 01 0 3−1 0 1
Desarrollando por la segunda columna (muchos elementos son nulos)
|B| = (−1)1+22|A12|+ (−1)2+20|A22|+ (−1)3+22|A32|
|A12| =∣∣∣∣( 1 3−1 1
)∣∣∣∣ = 4|B| = −8
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Ejemplos
B =
1 2 01 0 3−1 0 1
Desarrollando por la segunda columna (muchos elementos son nulos)
|B| = (−1)1+22|A12|+ (−1)2+20|A22|+ (−1)3+22|A32|
|A12| =∣∣∣∣( 1 3−1 1
)∣∣∣∣ = 4|B| = −8
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Ejemplos
B =
1 2 01 0 3−1 0 1
Desarrollando por la segunda columna (muchos elementos son nulos)
|B| = (−1)1+22|A12|+ (−1)2+20|A22|+ (−1)3+22|A32|
|A12| =∣∣∣∣( 1 3−1 1
)∣∣∣∣ = 4
|B| = −8
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Ejemplos
B =
1 2 01 0 3−1 0 1
Desarrollando por la segunda columna (muchos elementos son nulos)
|B| = (−1)1+22|A12|+ (−1)2+20|A22|+ (−1)3+22|A32|
|A12| =∣∣∣∣( 1 3−1 1
)∣∣∣∣ = 4|B| = −8
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Sea A = (aij) ∈Mn(K).
P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,|At| = |A|.
P2. Si una fila (o columna) de A es combinación lineal de otras de sus filas(o columnas), es decir, es el resultado de sumar otras de sus filas (ocolumnas) multiplicadas por un escalar, entonces |A| = 0.
Aśı, en particular, el determinante de una matriz A con dos filas (ocolumnas) iguales o proporcionales es nulo. Asimismo, si todos loselementos de una fila (o columna) de A son nulos, entonces |A| = 0.
P3. Si se intercambian entre śı dos filas (o columnas) de A, el determinantede la matriz B obtenida es el opuesto del determinante de A, es decir,|B| = −|A|.
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Sea A = (aij) ∈Mn(K).
P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,|At| = |A|.
P2. Si una fila (o columna) de A es combinación lineal de otras de sus filas(o columnas), es decir, es el resultado de sumar otras de sus filas (ocolumnas) multiplicadas por un escalar, entonces |A| = 0.
Aśı, en particular, el determinante de una matriz A con dos filas (ocolumnas) iguales o proporcionales es nulo. Asimismo, si todos loselementos de una fila (o columna) de A son nulos, entonces |A| = 0.
P3. Si se intercambian entre śı dos filas (o columnas) de A, el determinantede la matriz B obtenida es el opuesto del determinante de A, es decir,|B| = −|A|.
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Sea A = (aij) ∈Mn(K).
P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,|At| = |A|.
P2. Si una fila (o columna) de A es combinación lineal de otras de sus filas(o columnas), es decir, es el resultado de sumar otras de sus filas (ocolumnas) multiplicadas por un escalar, entonces |A| = 0.
Aśı, en particular, el determinante de una matriz A con dos filas (ocolumnas) iguales o proporcionales es nulo. Asimismo, si todos loselementos de una fila (o columna) de A son nulos, entonces |A| = 0.
P3. Si se intercambian entre śı dos filas (o columnas) de A, el determinantede la matriz B obtenida es el opuesto del determinante de A, es decir,|B| = −|A|.
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Sea A = (aij) ∈Mn(K).
P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,|At| = |A|.
P2. Si una fila (o columna) de A es combinación lineal de otras de sus filas(o columnas), es decir, es el resultado de sumar otras de sus filas (ocolumnas) multiplicadas por un escalar, entonces |A| = 0.
Aśı, en particular, el determinante de una matriz A con dos filas (ocolumnas) iguales o proporcionales es nulo. Asimismo, si todos loselementos de una fila (o columna) de A son nulos, entonces |A| = 0.
P3. Si se intercambian entre śı dos filas (o columnas) de A, el determinantede la matriz B obtenida es el opuesto del determinante de A, es decir,|B| = −|A|.
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Sea A = (aij) ∈Mn(K).
P4. Si se multiplica una fila (o columna) cualquiera de la matriz A por unescalar λ, el determinante de la matriz B obtenida es igual al productode λ por el determinante de A, esto es, |B| = λ|A|.
P5. Si cada elemento de una fila (o columna), por ejemplo la fila p, de lamatriz A es de la forma apj = a
′pj + a
′′pj , entonces el determinante de
A es igual a la suma de los determinantes de dos matrices B y C, talesque la fila p de B está formada por los elementos a′pj y la fila p de Cestá formada por los elementos a′′pj , y las restantes filas de ambasmatrices son respectivamente iguales a las de A.
P6. Si a la fila (o columna) p de A se le suma otra fila (columna) qmultiplicada por un escalar λ, el determinante de la matriz obtenida esigual al determinante de A.
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Sea A = (aij) ∈Mn(K).
P4. Si se multiplica una fila (o columna) cualquiera de la matriz A por unescalar λ, el determinante de la matriz B obtenida es igual al productode λ por el determinante de A, esto es, |B| = λ|A|.
P5. Si cada elemento de una fila (o columna), por ejemplo la fila p, de lamatriz A es de la forma apj = a
′pj + a
′′pj , entonces el determinante de
A es igual a la suma de los determinantes de dos matrices B y C, talesque la fila p de B está formada por los elementos a′pj y la fila p de Cestá formada por los elementos a′′pj , y las restantes filas de ambasmatrices son respectivamente iguales a las de A.
P6. Si a la fila (o columna) p de A se le suma otra fila (columna) qmultiplicada por un escalar λ, el determinante de la matriz obtenida esigual al determinante de A.
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Sea A = (aij) ∈Mn(K).
P4. Si se multiplica una fila (o columna) cualquiera de la matriz A por unescalar λ, el determinante de la matriz B obtenida es igual al productode λ por el determinante de A, esto es, |B| = λ|A|.
P5. Si cada elemento de una fila (o columna), por ejemplo la fila p, de lamatriz A es de la forma apj = a
′pj + a
′′pj , entonces el determinante de
A es igual a la suma de los determinantes de dos matrices B y C, talesque la fila p de B está formada por los elementos a′pj y la fila p de Cestá formada por los elementos a′′pj , y las restantes filas de ambasmatrices son respectivamente iguales a las de A.
P6. Si a la fila (o columna) p de A se le suma otra fila (columna) qmultiplicada por un escalar λ, el determinante de la matriz obtenida esigual al determinante de A.
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Propiedades de los determinantes
Ejemplos
P1.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B = 1 1 −12 0 0
0 3 1
; |A| = |B| = −8
P2.
A =
1 2 02 4 0−1 0 1
; |A| = 0P3.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B = 1 0 31 2 0−1 0 1
; |A| = −8; |B| = 8
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Ejemplos
P1.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B = 1 1 −12 0 0
0 3 1
; |A| = |B| = −8
P2.
A =
1 2 02 4 0−1 0 1
; |A| = 0
P3.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B = 1 0 31 2 0−1 0 1
; |A| = −8; |B| = 8
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Ejemplos
P1.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B = 1 1 −12 0 0
0 3 1
; |A| = |B| = −8
P2.
A =
1 2 02 4 0−1 0 1
; |A| = 0P3.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B = 1 0 31 2 0−1 0 1
; |A| = −8; |B| = 8
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Propiedades de los determinantes
Ejemplos
P4.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B = −1 −2 01 0 3−1 0 1
; |A| = −8; |B| = 8
P5.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B = 0 2 01 0 3−1 0 1
; C = 1 0 01 0 3−1 0 1
|B| = −8; |C| = 0; |A| = |B|+ |C| = −8
P6.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B = 2 2 31 0 3−1 0 1
; |A| = |B| = −8
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Ejemplos
P4.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B = −1 −2 01 0 3−1 0 1
; |A| = −8; |B| = 8P5.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B = 0 2 01 0 3−1 0 1
; C = 1 0 01 0 3−1 0 1
|B| = −8; |C| = 0; |A| = |B|+ |C| = −8
P6.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B = 2 2 31 0 3−1 0 1
; |A| = |B| = −8
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Ejemplos
P4.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B = −1 −2 01 0 3−1 0 1
; |A| = −8; |B| = 8P5.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B = 0 2 01 0 3−1 0 1
; C = 1 0 01 0 3−1 0 1
|B| = −8; |C| = 0; |A| = |B|+ |C| = −8
P6.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B = 2 2 31 0 3−1 0 1
; |A| = |B| = −8
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Aplicación: Cálculo de la matrizinversa
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Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
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Definición
Sea A ∈Mn(K). Llamaremos matriz adjunta de A, a la matriz
adj(A) = ((−1)i+j |Aji|) ∈Mn(K).
Lema
Sea A ∈Mn(K). Entonces se cumple que
A · adj(A) = adj(A) ·A =
|A| 0 . . . 00 |A| . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . |A|
= |A| · In.
Teorema
La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tengainversa es que su determinante sea distinto de cero. En cuyo caso,
A−1 =1
|A| adj(A).
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Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
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Definición
Sea A ∈Mn(K). Llamaremos matriz adjunta de A, a la matriz
adj(A) = ((−1)i+j |Aji|) ∈Mn(K).
Lema
Sea A ∈Mn(K). Entonces se cumple que
A · adj(A) = adj(A) ·A =
|A| 0 . . . 00 |A| . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . |A|
= |A| · In.
Teorema
La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tengainversa es que su determinante sea distinto de cero. En cuyo caso,
A−1 =1
|A| adj(A).
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Propiedadesde losdeterminantes
Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
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Definición
Sea A ∈Mn(K). Llamaremos matriz adjunta de A, a la matriz
adj(A) = ((−1)i+j |Aji|) ∈Mn(K).
Lema
Sea A ∈Mn(K). Entonces se cumple que
A · adj(A) = adj(A) ·A =
|A| 0 . . . 00 |A| . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . |A|
= |A| · In.
Teorema
La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tengainversa es que su determinante sea distinto de cero. En cuyo caso,
A−1 =1
|A| adj(A).
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Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
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Ejemplo
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |A| = −8 6= 0 invertible
|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2
|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;
A−1 = −18
0 −2 6−4 1 −30 −2 −2
= 0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.375
0 0.250 0.250
1 2 01 0 3−1 0 1
· 0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.375
0 0.250 0.250
= 1 0 00 1 0
0 0 1
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Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa
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Ejemplo
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |A| = −8 6= 0 invertible
|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2
|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;
A−1 = −18
0 −2 6−4 1 −30 −2 −2
= 0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.375
0 0.250 0.250
1 2 01 0 3−1 0 1
· 0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.375
0 0.250 0.250
= 1 0 00 1 0
0 0 1
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Ejemplo
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |A| = −8 6= 0 invertible
|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2
|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;
A−1 = −18
0 −2 6−4 1 −30 −2 −2
= 0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.375
0 0.250 0.250
1 2 01 0 3−1 0 1
· 0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.375
0 0.250 0.250
= 1 0 00 1 0
0 0 1
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Ejemplo
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |A| = −8 6= 0 invertible
|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2
|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;
A−1 = −18
0 −2 6−4 1 −30 −2 −2
= 0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.375
0 0.250 0.250
1 2 01 0 3−1 0 1
· 0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.375
0 0.250 0.250
= 1 0 00 1 0
0 0 1
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