FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y RECURSOS HUMANOS FACULTAD DECIENCIAS CONTABLES ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
UNIDAD ACADEMICA DE ESTUDIOS GENERALES
Manual Teórico para uso exclusivo de los estudiantes
Ciudad Universitaria USMP Av. Las Calandrias N°151
Santa Anita - Lima
I Ciclo
Semestre 2017 – I
Material didáctico para uso exclusivo de los estudiantes de las Facultades y Escuelas Profesionales:
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINITRATIVAS Y RECUSOS HUMANOS Escuela Profesional de Administración de Negocios Internacionales
Escuela Profesional de Administración Escuela Profesional de Gestión de Recursos Humanos
Escuela Profesional de Marketing
FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, ECONÓMICAS Y FINANCIERAS Escuela de Profesional Contabilidad y Finanzas
Escuela Profesional de Economía
INTRODUCCION
El presente Manual de Matemática II representa para el estudiante uno de los objetivos
de mejora continua que la Coordinación Académica y el Área de Matemática vienen realizando
en cada semestre académico. Su elaboración está orientada a incrementar la calidad del
proceso de enseñanza-aprendizaje de la Asignatura de Matemática II, en la Unidad Académica
de Estudios Generales.
Este Manual que presentamos, contiene fundamentalmente la parte teórica de la
asignatura de Matemática II que se aplicará en cada una de las sesiones de aprendizaje que se
desarrollarán en el presente semestre académico 2017 - I, por lo que está dividido en cuatro
unidades, de acuerdo al silabo correspondiente. Estas unidades son: Matrices, Determinantes y
Sistemas de Ecuaciones Lineales, Límite y Continuidad de una Función Real de Variable Real,
Derivadas e integrales.
Es nuestra intención y propósito, que el presente Manual sea en un instrumento básico de
trabajo para el estudiante, por tanto es indispensable la consulta permanente con la bibliografía
recomendada en el silabo. Asimismo, esperamos que contribuya a la formación profesional y
académica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la Asignatura de
Matemática II, así como también el de mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje.
Los profesores
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
01
SEMANA 1
MATRICES
DEFINICIÓN
Una matriz es un arreglo rectangular de elementos ij
a dispuestos en filas y columnas. Estos
elementos o entradas son encerrados entre corchetes. A las matrices se les simboliza con las
letras mayúsculas , , A B C , etc.
Representación General:
11 12 1
21 22 2
1 2
.......
.......
.
.
.......
n
n
mnm m mxn
A
a a a
a a a
a a a
Orden de una matriz
El orden de una matriz queda determinado por el número de filas y columnas que tenga la
matriz.
Si, [ ]ij m n
A a
es una matriz , entonces i = 1 ; 2 ; 3 ; ……… ; m, y j = 1 ; 2 ; 3 ; …; n.
determinan el orden, que en este caso es m x n (se lee “m” por “n”). Los subíndices indican la
posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la
columna (j). Por ejemplo el elemento 12
a está en la fila 1 y en la columna 2.
CONSTRUCCIÓN DE MATRICES
EJERCICIOS:
Elaborar las matrices siguientes:
1) 2 3
max ( , ) ; [ ] /
min ( , ) ;ij ijx
i j i jE e e
i j i j
2)
2 3ij xN n /
i
i jij
j
j ; i j
n ; i j
i ; i j
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
02
IGUALDAD DE MATRICES
Las matrices [ ]ij m n
A a
y [ ]m nij
B b
son iguales, si y solo si tienen el mismo orden y
sus entradas correspondientes son iguales.
ij ijA B a b , para todo ,i j
EJERCICIO:
Si las matrices A y B son iguales, entonces:
Calcule: E xy xz yz si:
0,2 1 7
4 0
11 8
3
x
A y
z
y
25 1 7
4 0
8 3y
B y
x y
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
La transpuesta de una matriz A se obtiene al intercambiar las filas por las columnas y se
denota TA . El orden original es m x n y el orden de
TA es n x m.
Propiedades
( )T TA A
( ) T T TA B A B
( )T Tk A k A
MATRICES ESPECIALES
Matriz Fila: Es aquella matriz que tiene solo una fila.
Matriz Columna: Es aquella matriz que tiene solo una columna.
Matriz Cero o Nula: Es aquella matriz cuyos elementos son todos iguales a cero.
Matriz Cuadrada: Es aquella matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas y se
denota n
A . En una matriz cuadrada de orden n, las entradas nnaaaa ,......,,, 332211 forman la
diagonal principal.
Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuadrada donde todas las entradas que se encuentran fuera
de la diagonal principal son ceros.
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
03
Matriz Escalar: Es una matriz diagonal, donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal
principal son iguales.
Matriz Identidad: Es una matriz diagonal donde todas las entradas que pertenecen a la
diagonal principal son iguales a uno.
Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas debajo de la
diagonal principal son ceros.
Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas por encima de la
diagonal principal son ceros.
Matriz Simétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: TA A .
Matriz Antisimétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: TA A . En una matriz
antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son todos igual a cero.
EJERCICIO:
Si:
1 16 125
2 1 1/ 27
5 3 0
x y
y z x z
a b
A a b
es antisimétrica, calcule
3
2
3 2 4x y zE
a b
OPERACIONES CON MATRICES
ADICIÓN DE MATRICES
Si ij
A a y ij
B b son matrices de orden m x n, entonces la suma A B es la matriz
de orden m x n, que se obtiene sumando las entradas correspondientes de A y B .
MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR
Si A es una matriz de orden m x n y k es un número real (escalar), entonces la matriz k A ,
tiene el mismo orden m x n y se obtiene al multiplicar cada entrada por k .
Propiedades
Sean A , B , C y O matrices del mismo orden, O es la matriz nula y k , 1
k , 2
k son
números reales:
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
04
1. A B B A 5. 1 2 1 2
( ) A Ak k k k A
2. ( ) ( )A B C A B C 6. 1 2 1 2
( ) ( )Ak k k k A
3. O OA A A 7. 0 OA
4. ( )A Bk kA kB 8. O Ok
SUSTRACCIÓN DE MATRICES:
Dado que ( 1 )B B , se define: ( )A B A B
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Sea A una matriz de orden m x n y B una matriz de orden n x p, entonces el producto AB
es la matriz C de orden m x p cuyas entradas ijc , se obtienen al sumar los productos de las
entradas de la fila “i” de la matriz A , con sus respectivas entradas de la columna “j” de la
matriz B .
Propiedades
1. ( ) ( )A BC AB C 3. ( )A B C AC BC
2. ( )A B C AB AC 4. ( )T T TAB B A
APLICACIONES
1. Un fabricante de zapatos para niños, damas y caballeros los produce en color negro, blanco
y gris. La capacidad de producción (en miles de pares) en la Planta de Vitarte está dada por
la siguiente matriz:
28 50 20
12 38 60
160 80 50
A
Negro
Gris
Blanco
Niños Damas Caballeros
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
05
La producción en la Planta de la Victoria está dada por la matriz:
8 36 20
64 03 60
66 12 26
B
a) Halle la representación matricial de la producción total de cada tipo de zapatos en
ambas plantas.
b) Si la producción en la planta de Vitarte se incrementa en un 50% y de la Victoria en un
25%, hallar la matriz que represente la nueva producción total de cada tipo de calzado.
2. Si 3 1
4 2A
y 2 1
3 5
TB
, determine la matriz X si se cumple:
2 3 ( ) 5 4 ( 2 )T T T TA A B X A B
3. Si 4 3
2 1
TA
,
2 23
xB I y
5 0
2 1C
, determine la matriz X si se cumple:
2 3 ( ) 3 3T T TBC A C X B A
4. Tiendas Tottus, por la Copa América, remató 120 TV LED 3D de 20”, 85 de 32”, 115 de 42”
y 100 de 47”. Los TV LED 3D de 20” tenían un precio de S/. 520, los de 32” un precio de
S/. 980, los de 42” S/. 1 820 y los de 42” a S/. 2 899. La gerencia general prometió devolver
el costo de cada TV si la selección de Perú quedaba entre los tres primeros puestos. En
forma matricial, calcule la cantidad de dinero que tuvo que devolver Tottus.
5. En una tienda de ropa deportiva para hombres, se venden tres modelos de buzos: modelo
A, modelo B y modelo C. Si los precios por cada modelo son S/. 300, S/. 420 y S/. 360
respectivamente, calcule en forma matricial, la recaudación total por la venta de 30, 45 y 60
buzos de cada modelo respectivamente.
Niños Damas Caballeros
Negro
Gris
Blanco
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
06
SEMANA 2 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
El determinante de una matriz es un número real asociado a una matriz cuadrada A, que se
denota por: A .
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2
a bA
c d
a bA ad bc
c d , ejemplo:
2 3( 2 )(5) (3)( 4 )
4 52A
DETERMINANTE PARA UNA MATRIZ DE ORDEN 3 (REGLA DE SARRUS)
a b c
A d e f
g h i
a b c a b
A d e f d e aei bfg cdh ceg afh bdi
g h i g h
Ejemplo:
2 1 3
0 4 5
3 2 0
A
Propiedades
1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son todos ceros, entonces:
0A
2. Si una matriz A tiene dos filas o columnas iguales, entonces: 0A
3. Si una matriz A es triangular superior o inferior, entonces A es igual al producto de las
entradas de la diagonal principal.
4. Si “ k ” es una constante y A una matriz de orden “n”, entonces: nA Ak k
5. El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes
A B A B .
6. El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta TA A
7. Si A es una matriz invertible: 1
1A
A
36 20 0
2 1 3 2 1
0 4 5 0 4 (0 15 0) ( 36 20 0) 41
3 2 0 3 2
0 15 0
A
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
07
MÉTODO DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES
Dado el sistema 11 12 1
21 22 2
a x a y b
a x a y b
,
Denotamos: 11 12
21 22
a aA
a a
1 12
2 22
x
b aA
b a
11 1
21 2
y
a bA
a b
luego: xA
xA
yA
yA
siempre que 0A
Este método es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con “n” incógnitas,
siempre que 0A
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES:
De acuerdo a sus soluciones, pueden ser:
1. Sistema Compatible. Es aquel sistema que tiene solución y puede ser:
a) Determinado. Cuando tiene solución única.
b) Indeterminado. Cuando tiene Infinitas soluciones (solución paramétrica).
2. Sistema Incompatible. Es aquel que no tiene solución.
Atendiendo a sus términos independientes:
a) Homogéneos. Cuando todos los términos independientes son nulos.
b) No Homogéneos. No todos sus términos independientes son nulos.
Ejemplo 1
Resolver por el método de Cramer: 2 5 11
3 4 6
x y
x y
Solución:
2 58 15 7
3 4A
,
11 544 30 14
6 4xA
, luego
14
7x
2x
2 1112 33 21
3 6yA
, luego
21
7y
3y
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
08
Ejemplo 2
Resolver el sistema:
2 3
3 2 2 20
3 5 29
x y z
x y z
x y z
utilizando el método de Cramer.
Solución:
2 1 1 2 1
3 2 2 3 2 20 2 9 2 12 15 9 5 14
1 3 5 1 3
A
3 1 1 3 1
20 2 2 20 2 30 58 60 58 18 100 148 176 28
29 3 5 29 3
xA
2 3 1 2 3
3 20 2 3 20 200 6 87 20 116 45 107 51 56
1 29 5 1 29
yA
2 1 3 2 1
3 2 20 3 2 116 20 27 6 120 87 69 27 42
1 3 29 1 3
zA
luego: 28
214
xx
A
A
;
564
14
yy
A
A
;
423
14
zz
A
A
EJERCICIOS:
1. Utilizando el método de Cramer resuelva los siguientes sistemas:
Calcular el valor de x en: Calcular el valor de z en:
a) .
0,2 0,3 0,4 2,7
0,3 0,1 0,5 3,1
0,7 0,2 0,4 4
x y z
x y z
x y z
b)
7 7 7 0
13 13 2 13 3 13
5 3 5 2 5 3 5
x y z
x y z
x y z
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
09
APLICACIONES
Resuelve, utilizando el método de Cramer:
1. La empresa “Textiles del Perú” produce pantalones y faldas, con un costo de producción
unitario de S/. 90 y S/. 60 respectivamente y con un costo fijo mensual de S/. 6 000.
Sabiendo que el costo total mensual es de S/. 16 800 y que cada pantalón se vende a
S/. 200 y cada falda a S/.180, que generan un ingreso total mensual de s/. 26 800.
Determine la cantidad de pantalones y faldas producidas en un mes.
2. La empresa H&B fabrica y envasa mermelada de fresa y puré de manzana. Por cada unidad
de mermelada que vende la ganancia es de S/. 6 y por cada unidad de puré que vende la
ganancia es de S/. 9. Se vendieron 500 unidades entre mermelada y puré siendo la
ganancia total de S/. 3 900. ¿Cuántas unidades de cada producto se vendieron?
3. Una fábrica de automóviles produce dos modelos, A y B. El modelo A requiere 1 hora de
mano de obra para pintarlo y 1/2 hora de mano de obra para pulirlo, el modelo B requiere de
1 hora de mano de obra para cada uno de los dos procesos. Durante cada hora que la línea
de ensamblado está funcionando, existen 100 horas de mano de obra disponibles para
pintura y 80 horas de mano de obra para pulirlo. ¿Cuántos automóviles de cada modelo
pueden terminarse cada hora si se utilizan todas las horas de mano de obra?
4. Una fundidora produce dos esculturas diferentes de bronce. El departamento de fundición
dispone de un máximo de 136 horas de trabajo por semana y el departamento de acabado
tiene un máximo de 124 horas de trabajo por semana. La escultura A necesita 12 horas para
fundición y 8 horas para acabado; y la escultura B necesita 8 horas para fundición y 12
horas para acabado. Si la planta debe funcionar a su máxima capacidad, ¿cuántas
esculturas de cada tipo debe producir cada semana?
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
010
SEMANA 3
METODO DE REDUCCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL
12 11
21 22 21
31 32 31
11 13
23
33
a x a y a z b
a x a y a z b
a x a y a z b
11
21 22 21
3131 33
11 12 13
23
32
b
b
b
a a a x
a a a y
za a a
A X = B
Simbólicamente AX B , donde:
La matriz A es la matriz de los Coeficientes.
La matriz X es la matriz de las Incógnitas.
La matriz B es la matriz de las constantes o términos independientes.
MATRIZ AUMENTADA
BA
11
21 22 21
3131 33
11 12 13
23
32
b
b
b
a a a
a a a
a a a
REDUCCIÓN DE MATRICES
Consiste en reducir una matriz, para eso primero veamos que características tiene una matriz
reducida.
Una matriz se dice que es matriz reducida, si satisface lo siguiente:
Si una fila no consiste solamente de ceros, entonces la primera entrada diferente de cero en
la fila, llamada entrada principal, es 1; mientras que todas las demás entradas de su
columna, son ceros.
En cada fila, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera entrada
diferente de cero de cada fila arriba de él.
Todas las filas que consistan únicamente de ceros están en la parte inferior de la matriz.
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
011
Para transformar a una matriz a su forma reducida, se ejecutan Operaciones elementales
sobre filas de la matriz, estas son:
1° x yF F : Intercambio de filas. Se cambian la fila xF por la fila yF .
2° xk F : Multiplicación de un escalar por una fila. El número real “ k ” diferente de cero,
multiplica a la fila xF .
3° x yF Fk : Suma de “ k ” veces una fila a otra fila. K veces la fila xF se suma a la fila yF .
(La fila xF no se altera).
OBSERVACIÓN: Cuando una matriz pueda obtenerse a partir de otra por una o más
operaciones elementales sobre filas, decimos que las matrices son
equivalentes.
Ejemplo:
Reducir la matriz
Solución:
1098
795
442
1
(1 / 2)F
1098
795
221
1 2
( 5)F F
1098
310
221
1 3( 8)F F
670
310
221
2
( 1)F
670
310
221
2 1( 2)F F
1 0 4
0 1 3
0 7 6
2 3
(7)F F
1500
310
401
3(1/15)F
100
310
401
3 1
(4)F F
100
310
001
3 2
( 3)F F
100
010
001
Por lo tanto, la matriz reducida de
2 4 4
5 9 7
8 9 10
A
es
1 0 0
0 1 0
0 0 1
B
.
2 4 4
5 9 7
8 9 10
A
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
012
Para resolver un sistema lineal, reduciremos la matriz aumentada A B .
Ejemplos:
Por el método de reducción resolver:
a)
72
1953
yx
yx
Solución:
Debemos reducir a la matriz aumentada: 3 5 19
1 2 7
3 5 19
1 2 7
1 2
F F 1 2 7
3 5 19
1 2
( 3)F F 1 2 7
0 1 2
2( 1)F
1 2 7
0 1 2
2 1
( 2)F F 1 0 3
0 1 2
La última matriz es reducida y corresponde a 3
2
x
y
, entonces es un
Sistema Compatible Determinado (solución única)
b)
163
642
yx
yx
Solución:
Debemos reducir a la matriz aumentada 2 4 6
3 6 1
2 4 6
3 6 1
11/2 F
1 2 3
3 6 1
1 2( 3)F F
1 2 3
0 0 8
2( 1/8 ) F
1 2 3
0 0 1
2 1( 3)F F
1 2 0
0 0 1
La última matriz es reducida y corresponde a 2 0
0 1
x y
, entonces observamos un absurdo
( 0 1 ), por lo que el sistema es incompatible (no tiene solución).
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
013
SEMANA 4
MATRIZ INVERSA. SISTEMA DE ECUACIONES
MATRIZ INVERSA
Definición. Una matriz cuadrada A se dice que es invertible (o no singular), si existe una
matriz denotada por 1
A
tal que: 1 1
A A A A I
. A la matriz 1
A
se le llama matriz
inversa de A .
CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Sea A , una matriz cuadrada de orden “n”. Para calcular la matriz inversa de A , denotada por
1A
, se sigue los siguientes pasos:
1º. Se construye una matriz de la forma: A I donde I es la matriz identidad. A esta matriz
se le llama matriz aumentada.
2º Utilizando las operaciones elementales sobre filas (método de Gauss - Jordan), se
transforma (si es posible) la matriz A , en la matriz identidad: 1 I A
. La matriz que
resulta en el lado derecho, será la matriz inversa de A .
Ejemplo 1.
Calcular la matriz inversa de 3 7
1 2A
Solución:
Formando la matriz aumentada de A : 3 7 1 0
1 2 0 1
A I
Aplicando operaciones elementales sobre fila: 1 2 0 1
3 7 1 0
1 2 0 1
0 1 1 3
1 0 2 7
0 1 1 3
1 I A
Por lo tanto: 1 2 7
1 3A
es la matriz inversa de A .
3F1 + F2
F1 F2
2F2 + F1
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
014
Ejemplo 2.
Calcular la matriz inversa de
1 1 3
2 1 4
3 2 2
A
Solución:
Formando la matriz aumentada de A :
1 1 3 1 0 0
2 1 4 0 1 0
3 2 2 0 0 1
A I
Aplicando operaciones elementales sobre fila:
1 1 3 1 0 0
0 1 2 2 1 0
0 5 11 3 0 1
1 0 1 1 1 0
0 1 2 2 1 0
0 0 1 7 5 1
1 0 1 1 1 0
0 1 2 2 1 0
0 0 1 7 5 1
1 0 0 6 4 1
0 1 0 16 11 2
0 0 1 7 5 1
1 I A
Por tanto: 1
6 4 1
16 11 2
7 5 1
A
es la matriz inversa de A .
Propiedades
a) 1A A I b)
1 1 1( )A B B A
c) 1 1( )A A d)
1( )I I
e) 1 1( ) ( )T TA A f)
1 1 1( )A Ak k ; 0k , k
2F1 + F2
3F1 + F3
F2 + F1
5F2 + F3
F3
F3 + F1
2F3 + F2
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
015
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Resolución por el Método de la Matriz Inversa
El sistema 12 1
21 22 2
11
a x a y b
a x a y b
, se puede expresar como:
1
21 22 2
11 12b
b
a a x
a a y
A X = B
Simbólicamente AX B , donde:
A es la matriz de los coeficientes.
X es la matriz columna de variables.
B es la matriz columna de las constantes
Multiplicando a ambos miembros por 1A (por la izquierda), se tiene:
1 1A AX A B
de donde: 1IX A B , por lo tanto:
1X A B
Este procedimiento es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con “n”
incógnitas, siempre y cuando exista 1A.
Ejemplo:
Resolver el sistema 5 23
2 11 49
x y
x y
Solución:
Formando la matriz de coeficientes: 1 5
2 11A
Hallando su matriz inversa: 1 5 1 0
2 11 0 1
1 5 1 0
0 1 2 1
1 0 11 5
0 1 2 1
entonces:
1 11 5
2 1A
Como: 1X A B
11 5 23 8
2 1 49 3
x
y
2F1 + F2
5F2 + F1
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
016
Por lo tanto: 8x ; 3y
APLICACIONES
Resuelva los siguientes problemas, utilizando el método de la inversa de matrices.
1. Un empresario compró acciones mineras y comerciales de los tipos A y B respectivamente.
Cada acción del tipo A la adquirió a S/.10 y cada acción del tipo B la adquirió a S/.15. Si se
sabe que compró 900 acciones entre las del tipo A y las del tipo B y que invirtió S/.11 000
en la compra. ¿Cuántas acciones del tipo A y del tipo B adquirió el empresario?
2. Una fábrica de automóviles produce dos modelos A y B. Suponga que cada modelo A
requiere 10 partes del tipo I y 14 partes del tipo II, mientras que cada modelo B requiere 8
partes del tipo I y 6 partes del tipo II. Si La fábrica puede obtener 850 partes del tipo I y 930
partes del tipo II, ¿cuántos automóviles de cada modelo se producen, si se utilizan todas las
partes disponibles?
3. La empresa “Dulces SAC” fabrica, envasa y vende mermelada y puré de manzana. Por cada
unidad de mermelada que vende, la ganancia es de $6 y por cada unidad que vende de
puré la ganancia es de $ 9. La empresa determinó que por cada 3 frascos de mermelada
vende 2 frascos de puré. Así que para el próximo año la empresa desea obtener una utilidad
de $72 000. ¿Cuántas unidades de puré deberá vender?.
4. Una tienda comercial ofrece dos modelos diferentes de memorias USB B1 y B2. El precio
de venta del modelo B1 es de $30 y del modelo B2 es de $40. Si en el mes de Enero la
tienda vendió 400 memorias USB entre los dos modelos y su ingreso total fue de $15 000,
determine el número USB de cada tipo que se vendieron durante el mes de Enero.
5. Una fábrica elabora dos productos A y B. Por cada unidad que vende de A la ganancia es
de $8 y por cada unidad que vende de B la ganancia es de $11. De la experiencia se ha
encontrado que puede venderse 25% más de A que de B. Para el año siguiente el fabricante
desea una ganancia total de $42 000. ¿Cuántas unidades de cada producto debe vender?
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
017
SEMANA 5
LÍMITES
NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE
Es importante conocer el comportamiento de una función ( )f x , cuando los valores de la
variable independiente “ x ”, se aproximan a un número determinado que llamaremos 0x .
Haremos esto tabulando los valores de la función para valores de x cada vez más cercanos al
número 0x .
Ejemplo Si 3 1
1
xf x
x
Observamos que el punto 0 1x no pertenece al dominio de la función. En la tabla adjunta
escribimos algunos valores para la variable independiente x , en el entorno de 1, y calculamos
los valores correspondientes de la función ( )f x :
1x 1x
x 0,95 0,99 0,995 0,999 1,001 1,005 1,01 1,05
xf 2,8525 2,970 2,9850 2,9970 3,0030 3,0150 3,0301 3,1525
De la tabla podemos observar que, mientras el valor de “x” se aproxima al número 1, el valor de
( )f x se aproxima al número 3.
Deducimos, intuitivamente, que el límite de la función ( )f x cuando x “tiende” a 1; es 3.
Esto se simboliza:
3
1
13
1limx
x
x
DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE
El límite de una función ( )f x , cuando la variable x se aproxima a un valor dado 0x , es el
número real “L” , (siempre que exista), al cual se aproxima la función, esto se simboliza:
( )lim0x x
f x L
, se lee: “El límite de ( )f x cuando x tiende a 0x es L ”
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
018
ALGUNOS LÍMITES BÁSICOS
Sean k , 0x números reales y n un número entero positivo. Entonces:
1.
0
limx x
k k
2. 0
0
limx x
xx
3. 0
0
lim n n
x xxx
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Sean k , 0x números reales y n un número entero positivo y f, g funciones cuyos límites
existen:
0
( )limx x
f x L
y
0
( )limx x
Mg x
Entonces:
1.
0 0
( ) ( )lim limx x x x
Lf x f xk k k
2. 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x x x x
f x g x f x g x L M
3. 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x x x x
f x g x f x g x L M
4. 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x x x x
f x g x f x g x L M
5. 0
0
0
( )( )
( ) ( )
lim
limlim
x x
x xx x
f xf x L
g x Mg x
, siempre que 0M .
6. 0 0
( ) ( )lim lim
n
n n
x x x xf x f x L
7. 00
lim lim nnn
x x x x
f x f x L
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
019
FORMA INDETERMINADA: 00
Cuando en una función ( )f x reemplazamos la variable por un valor dado “x0” y nos da la
forma indeterminada 0/0 , es posible calcular el
0
( )limx x
f x
; previamente se debe factorizar o
racionalizar ( )f x con la finalidad de “eliminar o levantar la indeterminación.
Ejemplo 1 Calcular 2
21
2
2 3limx
x x
x x
Solución: 2
21 1
( 1)( 2)2 ( 1)( 3)2 3
lim limx x
x xx xx xx x
1
( 2) ( 3)
limx
x
x
4
3
Por tanto: 2
21
2 3 42 3
limx
x x
x x
Ejemplo 2 Calcular 7
2 3 7
limx
xx
Solución: 7 7
2 3 2 3 2 3 7 7 2 3
lim limx x
x x x
x x x
22
7
2 3lim
( 7)( 2 3)x
x
x x
7
( 7)lim
( 7)( 2 3)x
x
x x
7
1lim( 2 3)x x
6
1
Por tanto: 7
2 3 1lim7 6x
x
x
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
020
4
6
2
y
x
LÍMITES LATERALES Consideremos una función por tramos:
2 ; 2
( )
34 ; 2
x si xf x
x si x
Podemos observar que cuando “ x ” se aproxima al número 2 por la izquierda ( 2)x , la función
se aproxima al número 4; esto se simboliza:
2
( ) 4limx
f x
Asimismo, cuando “ x ” se aproxima al número 2 por la derecha ( 2)x , la función se aproxima
al número 6, esto se simboliza:
2
( ) 6limx
f x
DEFINICIÓN. Una función ( )f x tiene límite en “ a ” si los límites laterales en “ a ” son iguales;
esto es:
Lxfax
)(lim Lxfxfaxax
)(lim)(lim
Verifique si existen los siguientes límites:
1.
3
2
8 ; 2
4( )
3 3 3 ; 2
2
xsi x
xf x
xsi x
x
a) 2
( )limx
f x
b) 2
( )limx
f x
c) 2
( )limx
f x
2. Halle el valor de m y n si existen 2
( )limx
f x
y 1
( )limx
f x
;
2 3 ; 2
( ) 5 ; 2 1
32 ; 1
x m si x
f x mx n si x
x si x
3. Dada la gráfica de la función ( )f x , calcule si existen los siguientes límites;
a) 11
( )limx
f x
b) 11
( )limx
f x
c) 11
( )limx
f x
d) 1 2
( )limx
f x
e) 1 2
( )limx
f x
f) 1 2
( )limx
f x
g) 21
( )limx
f x
h) 21
( )limx
f x
i) 12
( )limx
f x
2
3
1 2
8
4
9
x
y
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
021
SEMANA 6
CONTINUIDAD
Continuidad de funciones
Una función ( )f x es continua en a ; si y sólo si, se cumplen las siguientes tres
condiciones:
1. Existe ( )f a , es decir a pertenece al dominio de ( )f x .
2. Existe el ( )limx a
f x
, es decir los limites laterales existen y son iguales
( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a
f x f x f x
3. ( )= ( )limx a
f a f x
OBSERVACIONES
Una función polinomial es continua en todo su dominio.
Ejemplo 1 3( ) 2 3 1, f x x x x
3
3 3
3
Sea :
) ( ) 2 3 1, existe.
) ( ) 2 3 1 2 3 1, existe.
) ( ) ( ) 2 3 1
lim lim
lim
x ax a
x a
a
i f a a a
ii f x x x a a
iii f a f x a a
f es continua en a
Una función racional es discontinua en los puntos donde el denominador es cero, y es
continua en cualquier otro punto de su dominio.
Ejemplo 2
Analizar la continuidad de la función: 2
2 1( )
9
xf x
x
Solución:
2
Si 3:
2(3) 1 7) (3) , 3
03 9
x
i f f x
es discontinua en
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
022
2
Si 3:
2( 3) 1 5) ( 3) , 3
0( 3) 9
x
i f f x
es discontinua en
EJEMPLOS
1. Analizar la continuidad de la función: 2
3 1, 0
( ) , 0 1
2 1, 1
x x
f x x x
x x
Solución:
2
2 2
0 0
0 0 0
2
2 2
1 1
1
Si 0 :
) ( ) 0 0
) 0 0; 3 1 3( 0 ) 1 1
( ) ( ) ( )
0
Si 1:
) (1) 1 1
) 2 1 2 (1) 1 1; 1 1
lim lim
lim lim lim
lim lim
lim
x x
x x x
x x
x
x
i f x
ii x x
f x f x f x
f x
x
i f
ii x x
es discontinua en
1
( ) 1
) (1) ( ) 1
1
limx
f x
iii f f x
f x
es continua en
2. Hallar los valores de a y b , si:
3 , 1
( ) 3 1, 1 2
2 1, 2
x a x
f x a x
bx x
es continua en todo su dominio.
Solución:
Se analiza la continuidad en 1x y 2x , pues esto va generar que se formen
ecuaciones que nos permitirá hallar el valor de “ a ” y “b ”.
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
023
Como ( )f x es continua en 1x , basta observar que:
1 1
(1) ( ) ( )lim limx x
f f x f x
Luego: (1) 3 1f a ; 1
(3 1) 3 1limx
a a
; 1
(3 ) 3limx
x a a
3 1a = 3 a 1a
Como ( )f x es continua en 2x , basta observar que:
2 2
(2) ( ) ( )lim limx x
f f x f x
Luego:
(2) 2 (2) 1f b ; 2
(2 1) 2 (2) 1limx
bx b
; 2
(3 1) 3 1limx
a a
;
4 1b = 3 1a 4 1b = 3(1) 1 = 2 1 4b
TIPOS DE DISCONTINUIDAD
1. Discontinuidad removible o evitable. Una función presenta discontinuidad removible
o evitable en un punto “ a ” cuando existe ( )limx a
f x
pero es diferente de ( )f a ó
( )a Df x .
Ejemplo:
OBSERVACIÓN
a) En el primer gráfico, (3) 5f pero3
( ) 4limx
f x
,
luego ( )f x es discontinua removible en 3x
5
4
3
( )f x
3
4
( )f x
a) b)
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
024
b) En el segundo gráfico, (3)f no existe, sin embargo,3
( ) 4limx
f x
( )f x es discontinua removible en 3x
2. Discontinuidad no removible o inevitable. Una función presenta discontinuidad en un
punto “ a ” cuando no existe ( )limx a
f x
, o al menos uno de los límites laterales en “ a ”
es .
Ejemplo
OBSERVACIÓN
a) En el primer gráfico, 2
( ) 4limx
f x
y 2
( ) 7limx
f x
2
( )limx
f x
( )f x es discontinua no removible en 2x
b) En el segundo gráfico, 3
( ) 1limx
f x
y 3
( ) limx
f x
3
( )limx
f x
( )f x es discontinua no removible en 3x
2
4
7
3
1
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
025
SEMANA 7
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. REGLAS DE DERIVACIÓN
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN:
Sea )(xf una función definida en cada punto del intervalo I , entonces se dice que )(xf
es derivable en el punto x I , si existe el límite siguiente:
0
( ) ( ) lim
h
f x h f x
h
La derivada de una función se denota por: ( )' xf o por ( )xdf
dx y se lee “la derivada de )(xf
en el punto x ”, entonces por definición se tiene:
0
( )
( )( ) ( )
' lim h
xx
f x h f xf
h
df
dx
Ejemplos:
Halle la derivada de las siguientes funciones usando la definición.
a) 23)( xxf b) 23 2 5f x x x c) ( ) 2 1f x x
Solución:
a)
0
( )( ) ( )
' l imh
xf x h f x
fh
0
( )3( ) 2 (3 2)
' l imh
xx h x
fh
0
( )3 3 2 3 2
' l imh
xx h x
fh
0
( )3
' l imh
xh
fh
0
( ) 3' l imh
xf
3)(' xf .
b)
0
( )( ) ( )
lim´h
xf x h f x
fh
2 2
0
( )3( ) 2( ) 5 (3 2 5)
' limh
xx h x h x x
fh
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
026
2 2 2
0
( )3( 2 ) 2 2 5 3 2 5
' limh
xx xh h x h x x
fh
2 2 2
0
( )3 6 3 2 2 5 3 2 5
' limh
xx xh h x h x x
fh
2 2 2
0
( )3 6 3 2 2 5 3 2 5
' limh
xx xh h x h x x
fh
2
0
( )6 3 2
' limh
xxh h h
fh
0
( )(6 3 2)
' limh
xh x h
fh
0
( )(6 3 2)
6 2' limh
xh x h
f xh
( ) 6 2´ xf x .
c)
0
( )( ) ( )
' l imh
xf x h f x
fh
0
( )2( ) 1 2 1
' limh
xx h x
fh
0
( )( 2 2 1 2 1) ( 2 2 1 2 1)
( 2 2 1 2 1)
' limh
xx h x x h x
fh x h x
0
( )(2 2 1 2 1) 2
( 2 2 1 2 1) ( 2 2 1 2 1)
' limh
xx h x h
fh x h x h x h x
0
( )2 2
( 2 2 1 2 1) ( 2 1 2 1)
' limh
xfx h x x x
( )2 1
2 2 1 2 1
' xfx x
.
REGLAS BASICAS DE DERIVACIÓN
Si )(xf y )(xg son funciones diferenciables en el intervalo I , entonces se define:
1) Si, ( )xf k , es una función constante, entonces: ( ) 0' xf
2) Si, ( ) nf x x , n , entonces: 1( )' nf x nx
3) ( )( ) xx fk f k , donde k es constante.
4) ( ) ( )( ) ( ) x xx x f gf g
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
027
SEMANA 8
DERIVADA DE UNA POTENCIA, PRODUCTO Y COCIENTE
Derivada de una potencia
5) 1
( )( ) ( )n n
n f xf x f x
Derivada de un producto
6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x
Derivada de un cociente
7) 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
f x f x g x f x g x
g xg x
, si ( ) 0xg
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Sea ( )y f x una función definida en I , I , cuya gráfica sea la siguiente:
Si: )()()( 0000 xfxxfxf
Entonces, en el triángulo rectángulo MPN,
)( 0xf representa la longitud del cateto
PN, de igual manera que 0x representa
la del MP.
De aquí se tiene que : )()(
0
0 tgx
xf
Pero si hacemos ,00 x
Entonces:
0
0
0
00
( )( )l im
x
f xf x
x
.
Esto quiere decir que, geométricamente, la derivada de una función en un punto debe
interpretarse como: la pendiente de la tangente geométrica a la curva de la función f , en
el punto considerado 0 0, ( )x f x .
0x
0 0x x
P
N
M
0( )f x
0 0( )f x x
( )f x
x
y
0
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
028
RECTA TANGENTE Y NORMAL
La recta tangente es una recta que corta en un punto a una curva. La recta normal es una recta
que pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la recta tangente.
La ecuación de la recta tangente TL a la gráfica
de ( )y f x en el punto 0 0,x y y pendiente
LTm está dada por : 0 0( )LTy y x xm .
Pero sabemos que la pendiente de la recta tangente
en 0x es la derivada de 0( )f x : 0( )LT f xm .
Entonces, la ecuación de la recta tangente es:
0 0 0( )( )y y f x x x
La ecuación de la recta normal NL a la gráfica de
( )y f x en el punto 0 0,x y de pendiente LNm , está dada por: 0 0( )LNy y x xm .
Pero sabemos que: 1
LNLT
mm
. Entonces, la ecuación de la recta normal es:
0 0
0
1( )
( )y y x x
f x
Ejemplo:
Halle la ecuación general de la recta tangente y de la normal a la parábola: 22 8 5y x x
en el punto (1, 1)P .
Solución:
Derivando 2( ) 2 8 5f x x x , se tiene: ( ) 4 8f x x .
Evaluando la derivada en 1x , se tiene la mLT es 4)1(' f , luego:
La ecuación general de la recta tangente es:
1 4 ( 1)y x : 4 3 0TL x y .
La ecuación general de la recta normal es:
11 ( 1 )
4y x : 4 5 0TL x y .
0 0( ; )P x y
NL
TL
( )f x
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
029
SEMANA 10
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Derivada de funciones exponenciales.
8) ( ) ( )
( ) lnf x f x
f x aa a
, donde a .
9) ( ) ( )
( )f x f x
f xe e
, donde e es la constante de Euler.
Caso particular ( ) 'x xe e
Derivada de funciones logarítmicas.
10) ( )
ln ( )( )
f xf x
f x
, caso particular:
1ln x
x
11) ln
( )( )
( )b
f xLog f x
f x b
, caso particular:
ln
1( )
b bLog x
x
NOTA
Es conveniente, antes de derivar algunas funciones logarítmicas, aplicar algunas propiedades
de los logaritmos, para reducir su dificultad. Estas propiedades son las siguientes:
1) ln lnna an 2) ln( . ) ln lna b a b
3) ln( ) ln lna
a bb
4) ln
loglnb
aa
b (cambio de base)
EJERCICIOS:
I. Derive las siguientes funciones:
1.
x x
x xy
e e
e e
2.
35
( ) ( 3) 2x
f x x
3. 3 2
2 y log x x 4.
3
2 4
6 5 ( 4 5)
(7 8) 8 1 ln
x xy
x x
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
030
II. APLICACIONES:
1. Halle la ecuación general de la recta tangente a la curva: ( ) 2 3 1f x x x , en
2x .
2. Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la curva 2( 2 )
( )x - x
y f xx
, en el punto (4 ) ( ), k f x .
3. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva:
2
3
5 2
1( )
x
xf x
e
e
en 0x .
4. Halle la ecuación general de la recta tangente y normal a la curva 2 2( ) ( 1) xy f x x e en el punto ( 2 , 5 ) .
5. Halle la ecuación general de la recta normal a la curva: 3 ln (2 3)
( ) ( 2)x
f x x e ,
en el punto donde 2x .
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
031
SEMANA 11
INCREMENTO Y RAZÓN DE CAMBIO.
APLICACIONES A LA ECONOMÍA.
Razón media de cambio de “y” con respecto a “x”:
Si tenemos la función y = f(x). Todo cambio en la variable independiente “x” produce un cambio
en la variable dependiente “y”. Así, si x cambia del valor “ x” a xx 1 , entonces “y” cambia de
)( 1xf . Así el cambio en “y” que podemos denotar como y es )()( 11 xfxxf , cuando el
cambio en x es x .
El promedio de la razón de cambio de “y” por unidad de cambio en “x”, cuando “x” cambia de 1x
a xx 1 , es : x
y
x
xfxxf
)()( 11
Así en general, tenemos: Cambio en x: x x x x
Cambio en y: ( )y f x x f x
( ) ( )Cambio en y y f x x f x
Cambio en x x x
RAZON INSTANTANEA DE CAMBIO DE “y” CON RESPECTO A “x”
Si existe el límite de 1 1
( ) ( )f x x f x
x
cuando x se aproxima a cero, lo cual denotamos
como 1 1
0
( ) ( )lim
x
f x x f x
x
; este límite es lo que recibe el nombre de razón instantánea
de cambio de “y” por unidad de cambio de “x”. Definición
Si ( )y f x , la razón de cambio instantánea de “y” por unidad de cambio de “x” en x1 es la
derivada de “y” con respecto a x en x1, denotada por 1
( )'f x , si ésta existe en x = x1.
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
032
APLICACIONES A LA ECONOMIA
Función de costo total.
La función de costo total de un fabricante, ( )C f q , nos da el costo total C de producir y
comerciar q unidades de un producto. La razón de cambio de C con respecto a q se llama
costo marginal. Así,
Costo marginal ' dC
Cdq
Interpretamos el costo marginal como el costo aproximado de una unidad adicional producida.
Ejemplo 1.
El costo total en dólares de producción de q libras de cierta sustancia química está dado por 245 5C q . Determine el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia.
Solución:
Derivamos la función costo: ' 10C q entonces '(3) 10(3) 30C , es decir, si la
producción se incrementa de 3 a 4 libras, el costo se incrementa aproximadamente en 30
dólares.
Función de costo promedio.
Si C es el costo total de producir q unidades de un producto, entonces el costo promedio
por unidad C es:
C
Cq
Además, la función costo total se puede hallar utilizando: C q C .
Ejemplo 2.
El costo medio unitario en la producción de q unidades es 2
1000000.002 0.4 50C q q
q .
Determine la función del costo marginal y, en base a esta función, calcule el costo marginal
luego de producir 40 unidades.
Solución:
Para hallar el costo marginal, primero debemos hallar el costo total, y esto se logra
multiplicando el costo promedio por la cantidad, es decir:
3 20.002 0.4 50 100000C Cq q q q
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
033
La función del costo marginal se halla al derivar el costo total, es decir:
2' 0.006 0.8 50 C q q (función de costo marginal)
Entonces, el costo marginal luego de producir 40 unidades es:
'(40) 9.6 32 50 $27,60C aproximadamente por la unidad adicional
producida; es decir por la unidad 41.
Función de ingreso total.
La función de ingreso total para un fabricante, esta dada por la ecuación ( )r f q pq
que establece el valor total recibido al vender q unidades de un producto cuando el precio
por unidad es p .
Función de ingreso marginal.
El ingreso marginal se define como la razón de cambio del valor total recibido, con respecto al
número total de unidades vendidas. Por consiguiente, el ingreso marginal es solamente la
derivada de r con respecto a q :
Ingreso marginal ' dr
rdq
El ingreso marginal indica la rapidez con la que el ingreso cambia, respecto a las unidades
vendidas. Lo interpretamos como el ingreso aproximado recibido al vender una unidad adicional
de producción.
Ejemplo 1.
Un fabricante vende un producto a 3 50q dólares/unidad. Determine la ecuación del ingreso
marginal y el ingreso marginal para 100q .
Solución:
El ingreso es r pq , entonces 23 50 3 50 r p q q q q q
Por lo tanto, el ingreso marginal es ' 6 50 r q . Para 100q , el ingreso marginal será:
'(100) $650 por una unidad adicional vendidar .
Interpretación: Por la unidad adicional vendida (la unidad 101), se tiene un incremento en
el ingreso de aproximadamente $ 650.
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
034
Función Utilidad
La función utilidad total por la producción y venta de q unidades, es la ecuación:
U r C Ingresos - Costos
donde r es el ingreso recibido por vender q unidades y C el costo de producir q
unidades.
Función de utilidad marginal
Es la razón de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al número de unidades
producidas y vendidas, es decir, la utilidad aproximada obtenida por la fabricación y venta de
una unidad adicional. Por consiguiente, la utilidad marginal es solamente la derivada de U con
respecto a q :
' ' ' U r C
Ejemplo 1.
La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 210 0,01 700 p q q y la
función de costo es 21000 0,01 C q . Calcular la función utilidad marginal y también evaluar la
utilidad marginal para 100q unidades.
Solución:
Sabemos que la utilidad está dada por ( ) ( ) ( ) U q r q C q y que el ingreso es r pq . Por lo
tanto despejamos p de la ecuación de la demanda y lo multiplicamos por q para obtener la
función ingreso:
2 2 10 700 0,01 70 0,1 0,001 p q q p q q
2 3 ( ) 70 0,1 0,001 r q pq q q q
2 3 2 3 2( ) 70 0,1 0,001 1000 0,01 0,001 0,11 70 1000U q q q q q q q q
2'( ) 0,003 0.22 70U q q q .
Esta es la función utilidad marginal, para evaluarla en 100q simplemente sustituimos este valor de
q en dicha función. Es decir:
2(100) 0,003(100) 0,22(100) 70 30 22 70 $94U , que es la ganancia aproximada,
por la unidad adicional producida y vendida.
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
035
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Cuando se deriva una función ( )y f x se obtiene ( )'f x que también es una función. Si se
deriva esta función la nueva función que se obtiene se denomina segunda derivada y se le
denota como ( )''f x . De manera análoga si se deriva la segunda derivada se obtiene otra
función llamada tercera derivada. A las derivadas que se obtienen de esta forma se llaman
derivadas de orden superior.
Las notaciones que se usan para las derivadas de orden superior son:
dy df
dx dxy , primera derivada de la función ( )f x .
2 2
2 2
d y d f
dx dxy , segunda derivada de la función ( )f x .
3 3
3 3
d y d f
dx dxy , tercera derivada de la función ( )f x .
n n
n n
nd y d f
dx dxy , n esima derivada de la función ( )f x .
Ejemplo:
Dada la función: 4 34 3 5 1y x x x , halle ( )'''f x y evalúe en 1x
Solución:
3 216 9 5'y x x 248 18''y x x 96 18'''y x
(1) 96 18 78'''y
EJERCICIOS:
Halle la derivada indicada de las siguientes funciones y, evalúe en el punto correspondiente.
a. 1
4 2y
x
;
2
2
d y
dx ;
0x = 1
b. 5 xy e ; '''y ;
0x = 1/5
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
036
SEMANA 12
EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN
MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN
Sea f una función derivable en un intervalo I . Entonces:
f es creciente en I si y solo si ( ) 0 f x x I .
f es decreciente en I si y solo si ( ) 0 f x x I .
Sea f una función con dominio en el intervalo I . Si c I y si ( ) 0 f c o ( ) f c no existe,
entonces el valor de c es un punto critico de f .
Ejemplo 1: Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 2 3( ) 4 2f x x x .
Solución:
La derivada de 2 3( ) 4 2f x x x es ( ) 2 (4 3 )f x x x . La función es creciente en aquellos
intervalos para los cuales ( ) 0f x . Luego f es creciente para todo 0x y 4/3x , es
decir en el intervalo 0, y , 4 / 3 .
f es decreciente si ( ) 0f x , luego es decreciente para todo 0x y 4/3x , o sea en el
intervalo 4 / 3, 0
Ejemplo 2:
Determine los puntos críticos de la función definida por 4/3 1/3( ) 4f x x x .
Solución:
1/3 2/3
2 /3
( 1)4 4 4( ) ( )
3 3 3´ ´
xf x x x f x
x
. Tenemos que ( ) 0´f x en 1x . y la
derivada no existe en 0x . Luego 1 ; 0x son los puntos críticos.
1. En los siguientes ejercicios encontrar los puntos críticos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
a) 3 2( ) 3 1f x x x b)
4 3 2( ) 4 2 12f x x x x x
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
037
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS
Sea ( )f x una función continua en el intervalo abierto ,a b . Sea c un punto de ,a b .
Tenemos lo siguiente
a) Si,
( ) 0
( ) 0
f x a x c y
f x c x b
en todo punto de
en todo punto de
Entonces ( )f c es un valor máximo relativo de la función.
b) Si,
( ) 0
( ) 0
f x a x c y
f x c x b
en todo punto de
en todo punto de
Entonces ( )f c es un valor mínimo relativo de la función.
REGLA PARA DETERMINAR LOS EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN
Para determinar los extremos relativos de la función ( )f x se procede de la siguiente manera:
1. Se halla ( )´f x .
2. Se encuentran los puntos críticos de la función, o sea aquellos puntos tales que
( ) 0 ´ ( )´ ´f x o f x no existe.
3. Se aplica el criterio de la primera derivada a cada punto crítico.
Ejemplo:
Determinar los máximos o mínimos relativos, de la función 3 2( ) 6 9f x x x x
Aplicamos la regla dada:
1˚ . Derivada de la función: ( ) 3( 3)( 1)f x x x .
2˚ . Puntos críticos: 1, 3x ambos anulan a la derivada.
3˚ . Si, 1 3x entonces ( ) 0f x , y si 3, ( ) 0x f x ; luego en 3x la función tiene
un mínimo relativo.
Si 1x entonces ( ) 0f x , y si 1 3x , entonces ( ) 0f x , luego en 1x la
función tiene un máximo relativo.
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
038
SEMANA 13
EXTREMOS ABSOLUTOS
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN
Si una función f es continua en un intervalo cerrado ba, se puede demostrar que entre
todos los valores de x de la función ( )f x en ba, , debe existir un valor máximo
(absoluto) y un valor mínimo (absoluto) a estos valores se les llama valores extremos.
Teorema del valor extremo
Si la función f es continua en el intervalo cerrado ba, , entonces f tiene un valor
máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en ba,
Regla Practica: Para la determinación de los extremos absolutos de una función continua en
un intervalo cerrado
1) Determinación de los valores de la función en los puntos críticos de f en ba,
2) Determinación de los valores de ( ) ( )f a y f b .
3) El mayor valor determinado en los pasos 1) y 2) será el valor máximo absoluto, y el menor
valor determinado en los pasos 1) y 2), será el mínimo absoluto.
Ejemplo 1
Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de la función 3 2( ) 3 9f x x x x definida en el
intervalo 4, 4
Solución:
Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto está
garantizada por el teorema del valor extremo. Para determinarlos, se aplica la regla práctica
dada.
Obtenemos los puntos críticos por medio de la derivada.
( ) 3( 1)( 3) 0 3,1'f x x x x .
Luego, evaluando en los puntos críticos y en los extremos se tiene:
( 3) 27 ; (1) 5 ; ( 4) 20 ; (4) 68f f f f , entonces:
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
039
En 4x se produce un máximo absoluto en 4, 4 , que es (4) 68f .
En 1x se produce un mínimo absoluto en 4, 4 , que es (1) 5f .
Ejemplo 2
Determine, si existen los extremos absolutos (máximo y mínimo) de la función: 4 2
8 16( )f x x x en el intervalo 3, 2
Solución:
Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto está
garantizada por el teorema del valor extremo. Para determinarlos, se aplica la regla práctica
dada.
Obtenemos los puntos críticos por medio de la derivada.
' 3( ) 4 16 0
( 2)( - 2) 2,0,2
f x x x
x x x x
Luego, evaluando en los puntos críticos y en los extremos se tiene:
( 3) 25 ; (2) 0 ; (0) 16 ; ( 2) 0f f f f , entonces:
Máximo absoluto de f en 3, 2 , es ( 3) 25f
Mínimo absoluto de f en 3, 2 , es ( 2) (2) 0f f
Ejemplo 3.
Determine, si existen los extremos absolutos de la función:
23( ) 1 ( 3)f x x en el
intervalo 5, 4
Solución:
La continuidad de f en el intervalo 5, 4,
garantiza la existencia de extremos absolutos de
f en dicho intervalo.
Se debe determinar primero los puntos críticos por medio de la derivada.
1/3
2'( )
3( 3)f x
x
El único punto crítico de es 3x donde la derivada no existe. (Note que ' 0f x , no tiene
solución).
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
040
Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:
( 5) 3 ; (4) 0 ; (3) 1 ; f f f entonces:
Máximo absoluto de f en 5, 4 , es (3) 1f
Mínimo absoluto de f en 5, 4 , es ( 5) 3f
EJERCICIOS:
1.- Hallar los máximos absolutos y mínimos absolutos de cada función en el intervalo indicado.
a) 3
( ) 1 , 4, 43
xf x x b)
4 2
( ) 3 , 4, 44 2
x xf x
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS
Si ( )y f x es una función, y los puntos en donde la segunda derivada se anulan se denomina
puntos de inflexión, es decir en 0x se tiene un punto de inflexión si 0( ) 0f x .
Si 1x es punto crítico es decir 1( ) 0f x ó no existe 1( ) 0f x .
Si, ( ) 0f x , entonces existe mínimo en 1x x
Si ( ) 0f x , entonces existe máximo en 1x x
Si, ( ) 0f x , , ( )x a b f x es cóncava hacia arriba.
Si, ( ) 0f x , , ( )x a b f x es cóncava hacia abajo.
Una función es cóncava en un intervalo si las rectas tangentes a la función en ese intervalo
están por debajo de la función. Una función es convexa en un intervalo si las rectas tangentes a
la función de ese intervalo están por encima.
La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para
considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde
abajo". Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones cóncava hacia
arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedades.
Los puntos donde la función cambia de curvatura se llaman puntos de inflexión.
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
041
Según este criterio tendremos:
Signo de ( ) ( )f x y f x Propiedades de la gráfica
de f Forma de la gráfica
( ) 0 ( ) 0f x y f x Creciente y cóncava hacia arriba
( ) 0 ( ) 0f x y f x Creciente y cóncava hacia abajo
( ) 0 ( ) 0f x y f x Decreciente y cóncava hacia arriba
( ) 0 ( ) 0f x y f x Decreciente y cóncava hacia abajo
Ejemplo:
Sea 4 3 24
( ) 43
f x x x x . Determine los extremos relativos de ( )f x aplicando el criterio de
la segunda derivada, los puntos de inflexión (si los hay) y las concavidades. Utilice esta
información para dibujar la gráfica de ( )f x .
Solución:
1° Obtenemos los puntos críticos:
3 2( ) 4 4 8f x x x x , ( ) 0f x , luego 4 ( 2)( 1) 0 x x x
Los únicos puntos críticos son: 2, 0, 1x x x
2° Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de acuerdo al criterio de la primera derivada
son:
Crecimiento: 2,0 1,
Decrecimiento: , 2 0,1
Máximo relativo en: (0) 0f y Mínimo relativo en: 32 5
( 2) (1)3 3
f y f
3° Obtenemos la segunda derivada: 2( ) 12 8 8f x x x
( ) 0f x
2212 8 8 0 3 2 1 0 (3 1) ( 1) 0 x x x x x x
Luego los puntos de inflexión son: 1 y 1/ 3x x
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
042
x
y
4° Con el criterio de la segunda derivada tenemos:
( 2) 0f cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo.
(0) 0f cóncava hacia abajo, tenemos un máximo.
(1) 0f cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo.
Ejemplo 2:
Sea 3( ) 3f x x x determine los puntos máximos y mínimos relativos de ( )f x aplicando el
criterio de la segunda derivada, los puntos de inflexión (si lo hay) y las concavidades. Utilice
esta información para dibujar la gráfica de ( )f x .
Solución:
1° Obtenemos los puntos críticos:
2( ) 3 3f x x , ( ) 0f x , luego 3( 1)( 1) 0 x x
Los únicos puntos críticos son: 1, 1x x
2° Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de acuerdo al criterio de la primera derivada
son:
Crecimiento: , 1 1,
Decrecimiento: 1, 1
Máximo relativo en: ( 1) 2f y Mínimo relativo en: (1) 2f
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
043
3° Obtenemos la segunda derivada: ( ) 6f x x ( ) 0f x 6 0 0 x x
Luego el punto de inflexión es: 0x
4° Con el criterio de la segunda derivada tenemos:
( 1) 0f cóncava hacia abajo, tenemos un máximo.
(1) 0f cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo.
Con esta información podemos realizar la gráfica:
EJERCICIOS
1. Determine para cada una de las siguientes funciones, los puntos máximos y mínimos
relativos, los puntos de inflexión (si lo hay) y las concavidades. Trace la curva que
representa a cada función.
a) 3( ) 12 4 4f x x x b)
4( ) 32 48f x x x
c) 3 22
( ) 4 6 23
f x x x x d) 5( ) 6f x x
e) 4 3 24
( ) 43
f x x x x f) 4 2( ) (1/ 8)( 8 )f x x x
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
044
APLICACIONES DE MAXIMOS Y MINIMOS
MAXIMIZACIÓN DEL INGRESO
Ejemplo:
La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es: 80
, 0 q 804
qp
,
donde q es el número de unidades y p el precio por unidad, en dólares. ¿Para qué valor de q
se tendrá un ingreso máximo?. ¿Cuál es el ingreso máximo?.
Solución:
Sea r el ingreso total, el cual es la cantidad por maximizar. Como:
Ingreso = (precio) (cantidad), tenemos: r pq 280 80
,4 4
q q qq
donde .800 q
Haciendo 0dr
dq , obtenemos: r
80 20,
4
qdr
dq
80 2 0q ; 40q
Luego: (10)r 80 20
154
(50)r
80 1005
4
Examinando la primera derivada para 0 40q tenemos / 0dr dq , por lo que r es
creciente. Si 40q , entonces / 0dr dq , por lo que r es decreciente. A consecuencia de
que a la izquierda de 40 tenemos que r es creciente y a la derecha de r es decreciente,
concluimos que 40q da el ingreso máximo absoluto, esto es,
280
4
q qr
280(40) (40)400
(40) 4r
+ -
0 10 40 50 80
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
045
MINIMIZACIÓN DEL COSTO PROMEDIO
Ejemplo:
La función de costo total de un fabricante está dada por : 2
3 4004
qC q , donde C es el
costo total de producir q unidades. Si C está en dólares, ¿Para qué nivel de producción será el
costo promedio un mínimo? ¿Cuál es este mínimo?.
Solución:
La función a minimizar es el costo promedio C . La función de costo promedio es:
C
2
3 4004004
34
qC
q q q
Aquí q debe ser positiva. Para minimizar C , diferenciamos:
C 2
2 2
16001 400
4 4
qd C
dq q q
para obtener los valores críticos, resolvemos 0d C
dq 2 1600 0,q
luego: ( 40)( 40) 0q q . 40q (ya que 0q ).
C 2
2
1600
4
q
q
(10)C
2
2
(10) (1600) 15
4(10) 4
(50)C 2
2
(50) 1600 9
4(50) 100
Entonces, como 0 40q es decreciente, 40q es crecientes en 40q hay un
mínimo absoluto.
10 40 50
_ +
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046
Maximización del número de beneficiarios de los servicios de salud
Ejemplo 3:
Un artículo en una revista de sociología afirma que si ahora se iniciase un programa específico
de servicios de salud, entonces al cabo de t años, n miles de personas adultas recibiría
beneficios directos, donde: 3
26 323
tn t t ; 12. t 0
¿Para qué valor de t es máximo el número de beneficiarios?
Solución:
haciendo 0dn
dt , tenemos: 2 12 32 0
dnn t t
dt
( 4)( 8) 0t t entonces: 4t ; 8t
Como el dominio de n es el intervalo cerrado 0,12 , el valor máximo absoluto se obtiene
evaluando en los puntos críticos y en los extremos de dicho intervalo:
Si, 0t , entonces 0n ,
Si, 4t , entonces 160
3n
Si, 8t , entonces 128
3n
Si, 12t , entonces 96n .
, así se tiene un máximo absoluto en 12t .
ADVERTENCIA:
El ejemplo anterior ilustra que no se debe ignorar los extremos cuando se determinan extremos
absolutos en un intervalo cerrado.
3
26 32 0,123
tn t t en
t
96
4 8 12
326 32
3
tn t t
n
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
047
MAXIMIZACIÓN DE UTILIDADES
Ejemplo 4:
Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que produce a un precio
de $ 6 cada uno. El costo de producir x artículos a la semana (en dólares) es:
2 -6 3 = 1000 + 6 0.003 + 10C x x x x ¿Qué valor de x debemos seleccionar con el objeto de
maximizar las utilidades?
Solución:
El ingreso producido por la venta de x artículos a $ 6 cada uno es = 6 R x x dólares. Por
consiguiente, la utilidad por semana es:
= - U x R x C x
2 -6 3= 6 1000 + 6 0.003 + 10U x x x x x
2 -6 31000 + 0.003 - 10U x x x
A fin de encontrar el valor máximo de la utilidad, buscamos los puntos críticos en la forma usual
y luego investigamos su naturaleza. Derivando obtenemos:
-6 2 = 0.006 3 . 10U x x x y haciendo = 0U x , encontramos que 0 ó 2000x x
Así que 0 x es un mínimo local de U x , mientras que 2000x es un máximo local.
Este último valor representa el nivel de producción en que la utilidad es máxima.
La utilidad está dada por
2 3-62000 1000 + 0.003 2000 - 10 2000 = 3000U o $ 3000 por semana.
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
048
PUBLICIDAD Y GANANCIAS
Ejemplo 6:
Una compañía obtiene una utilidad de $ 5 por cada artículo del producto que vende. Si gasta A
dólares por semana en publicidad, el número de artículos que vende por semana está dado por
2000 1 kAx e en donde 0.001k .
Determine el valor de A que maximiza la utilidad neta.
Solución:
La utilidad bruta por la venta de x artículos es de 5x dólares, y de ésta restamos el costo de la
publicidad. Esto nos deja una utilidad neta dada por
5 10 000 1 kAU x A e A
(1)
Derivamos con la finalidad de encontrar el valor máximo de la utilidad.
= 10 000 1 = 10 1kA kAU x ke e . Haciendo esto igual a cero, obtenemos
10 = 1 o bien 10kA kAe e y tomando logaritmos naturales, resulta que ln 10 = 2.30kA en
consecuencia:
2,30 2,30
2 3000,001
Ak
La cantidad óptima que debe gastarse en publicidad es en consecuencia de $ 2 300 por
semana.. La utilidad máxima se encuentra sustituyendo este valor de A en la ecuación: (1). Ya
que 1
10
kAe , se sigue que la utilidad semanal máxima es:
1Um x = 10 000(1 - ) 2 300 6 700 dolares
10á
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
049
SEMANA 14
LA INTEGRAL INDEFINIDA
ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN
DEFINICIÓN: La función :F I es una antiderivada o primitiva de una función
:f I si y sólo si: ( ) ( ), [ , ]F x f x x I a b
Si ( )F x k , es la familia de antiderivadas de ( )f x .
DEFINICIÓN: Si ( )F x es una antiderivada de ( )f x sobre un intervalo [ , ]I a b , es decir,
( ) ( )´F x f x , entonces:
( ) ( )G x F x k se demostrará por:
( ) ( ) ( )G x f x dx F x k , x I
Llamaremos integral indefinida de ( )f x
Al término ( )f x se le llama integrando
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRACIÓN
1. dx x k 3. ( ) ( )cf x dx c f x dx
2.
1
1
nn x
x dxn
k
; 1n 4. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
Donde k se le llama constante de integración.
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
050
Ejemplos
I. Halle la antiderivada de las siguientes funciones:
a) 265)( 23 xxxf
Solución :
3 2 3 2(5 6 2) 5 6 2dxI x x dx x x dx dx
3 1 2 13 2 5 6
5 6 2 23 1 2 1
x xI x dx x dx dx x k
4 352 2
4I x x x k
II. Encuentre ( )f x , sujeta a las condiciones iniciales dadas:
a) ( ) 5 4 , (2) 3 / 4f x x f
Solución :
( ) ( )( ) 5 4
df x df xf x x
dx dx ( ) 5 4f x x dx dx
254
2
xx k
25( ) 4
2 ;
xf x x k
3(2)
4f
2
3
4
x
y
23 5 5(2) 4(2)
4 2 4= k k
25 5 ( ) 4
2 4f x x x
IV. APLICACIONES
a) Un fabricante ha determinado que la función de costo marginal es
20,6 0,8 9,5dC
q qdq
y el costo fijo es de $ 1 800, donde es el número de
unidades producidas. Halle el costo promedio cuando se producen 200 unidades.
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
051
Solución:
2 20, 6 0,8 9,5 (0, 6 0,8 9,5)
dCq q dC q q dq
dq
Integrando:
2 3 2 (0, 6 0,8 9,5) 0, 2 0, 4 9,5 C q q dq C q q q k
Hallando la constante de integración
De CT CV CF si no hay producción ( 0q ) , entonces el costo total es igual al
costo fijo, luego: 3 2 1800 0, 2(0) 0, 4(0) 9,5(0)C CF k
1800 k
La función de costo es: 3 2 0, 2 0, 4 9,5 1800C q q q
Hallando el costo promedio: 2 1800 0, 2 0, 4 9,5
CC q q
q q
Evaluando en 200: (200)C 2 1800 0, 2(200) 0, 4(200) 9,5 7938,5
200
Cuando se producen 200 unidades el costo promedio es de $ 7938,5.
b) Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es: 24( 5) 8
dCq q
dq .
Si el costo de producir 12 unidades es de $ 738, donde q es el número de unidades
producidas, determine el costo promedio de producir 30 unidades.
Solución:
2 24( 5) 8 (4 20 8 )
dCq q dC q q dq
dq
Integrando:
Hallando la constante de integración:
Del dato: 12q
32
4(12) 738 20(12) 4(12)
3C k 750 k
La función de costo es:
2 (0, 6 0,8 9,5) dC q q dq
32 2
4 (4 20 8 ) 20 4
3
qC q q dq C q q k
32
4 20 4 750
3
qC q q
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
052
La función de costo promedio es:
El costo promedio cuando se producen 30 unidades es:
c) Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal es
29 200dr
q qdq
, donde es el número de unidades producidas. Determine el ingreso
cuando se producen y venden 50 unidades.
Solución:
2 29 200 (9 200 )dr
q q dr q q dqdq
Integrando: 2 3 2 (9 200 ) 3 100r q q dq q q k
Hallando la constante de integración:
De: r pq , si 0 0q r
3 2 0 3(0) 100(0) 0r k k
Entonces la función de ingreso es: 3 2 3 100r q q
El ingreso cuando de producen y venden 50 unidades es:
3 2 (50) 3(50) 100(50) $ 125000r
d) Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal es 2 400dr
qdq
,
donde es el número de unidades producidas. Halle el precio cuando se demandan
120 unidades, si cuando se producen 30 artículos el ingreso es de $ 4 200.
24 750 20 4
3
C qC q
q q
24(30) 750 (30) 20 4(30) $ 1035
3 30C
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
053
Solución:
2 2 2400 ( 400) ( 400) dr
q dr q dq dr q dqdq
Integrando:
Hallando la constante de integración:
Del dato: si 30q entonces 4200r , luego:
3(30) 4200 400(30)
3r k
Efectuando operaciones se tiene que:
La función de ingreso es:
3
400 72003
qr q
La función de demanda es: 2 7200
4003
qr pq p
q
El precio cuando se demanda 120 unidades es:
2(120) 7200 (120) 400 $ 4460
3 120P
32 ( 400) 400
3
qr q dq r q k
7200 k
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
054
SEMANA 15
TÉCNICAS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN
FORMULAS DE INTEGRACION
1. lndx
xx
k 4.
1( )
( ) ( )1
nf xn
f x f x dxn
k
2. ( ) ( )
( )f x f x
f x dx ke e 5. ( )
ln ( )( )
f xdx f x
f xk
3.
( )( )
( )ln
f xf x
f x dxa
ka
a
Calcular las integrales siguientes:
1) 4 1
1
xdx
x
2) ln(ln )
ln
xdx
x x 3) 2
x x
dxx
e e
e
4) 3 2
16 4
4 2 5
xdx
x x
5)
22 ln( 1)
2 1
xx
dxx
e
6)
3 1 ln xdx
x
APLICACIONES
1. Si el ingreso marginal en miles de dólares en la producción de “ q ” unidades de un producto
viene dado por 2
( )9
qr q
q
y el ingreso es nulo a un nivel de producción cero.
Determine la función de ingreso ( )r q y calcule dicho ingreso para un nivel de producción de
100 unidades.
2. La utilidad marginal diaria de una empresa está dada por 2
( ) 2900
xU x
x
. Si la
empresa pierde $130 por día cuando solo vende 40 unidades por día, determina la función
de utilidad de esta empresa.
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2017 - I
055
SEMANA 16
INTEGRAL DEFINIDA. PROPIEDADES
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Sea ( )f x una función continua, entonces:
P1. ( )b
a
c dx c b a , donde c es una constante
P2. ( ) ( ) b b
a a
cf x c f x dx , donde c es un número real arbitrario
P3. ( ) ( ) ( ) ( ) b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx
P4. Si a c b , se cumple: ( ) ( ) ( ) b c b
a a cf x dx f x dx f x dx
P5. Si c d , entonces ( ) ( ) d c
c df x dx f x dx
P6. ( ) 0 a
af x dx
P7. Si ( ) 0f x para todo x en ,a b , entonces ( ) 0 b
af x dx
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Sea f una función continua en un intervalo cerrado ,a b :
Parte I: Si la función G está definida por ( ) ( ) b
aG x f t dt , para todo x en ,a b
entonces si ( )f x es continua , ( )G x es diferenciable sobre ,a b y se cumple que:
( ) ( )G x f x , es decir ( ) ( )b
a
df t dt f x
dt .
Parte II: Si F es cualquier antiderivada de f ó llamada también primitiva de f en ,a b ,
entonces: ( ) ( ) ( )b
af x dx F b F a
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2013 - II
056
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
La integral definida es ampliamente aplicada en la economía. Esto se observa cuando se tiene
como información la razón con la que varían los ingresos y los costos según la producción
(ingresos y costos marginales, respectivamente) y si se quisiera encontrar las funciones de
ingreso y costo. Asimismo, la integral definida puede aplicarse al cálculo de utilidades netas,
depreciación de maquinarias, excedencia del consumidor o del productor, etc. Veamos algunos
casos.
APLICACIONES
1. La tonelada de un mineral cuesta $ 46. Los estudios indican que dentro de “ x ” semanas, el
precio estará cambiando a una razón de cambio dada por la siguiente fórmula:
20,09 0,0006d P
xd x
, donde P es el precio.
a) ¿Cuánto costará la tonelada de este mineral dentro de 10 semanas?
b) ¿Se debe vender todo el mineral posible ahora o se debe de esperar dentro de 10
semanas?
Solución:
Como 2 2 0,09 0,0006 (0,09 0,0006 )
d Px dP x dx
d x
Integrando: 10 10
2 3
00 0,09 0,0006 0,09 0,0002 dP x dx x x
El precio dentro de 10 semanas será:
103
046 0,09 0,0002P x x
Entonces: 46 1,1 47,1P .
a) Dentro de diez semanas la tonelada costará 47,1 dólares.
b) Se debe de esperar 10 semanas para vender todo el mineral posible.
2. Para cierto fabricante la función de ingreso marginal es 2( ) ( 3 60 )R x x x . Calcula
el incremento en el ingreso, cuando la demanda aumenta de 15 a 20 unidades, si el
ingreso esta en dólares.
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2013 - II
057
Solución:
Al integrar la función de ingreso marginal se obtiene la función de ingreso y al evaluarla
se tiene el incremento, entonces:
2 2( 3 60 ) ( 3 60 ) dR
x x dR x x dxdx
Integrando: 2020 3 2 20
2 3 21515 15
3 603 60 30
3 2
x xR x x dx x x
3 2 3 2(20) 30(20) (15) 30(15) 8000 12000 3375 6750 625R
El incremento en el ingreso cuando la demanda varia de 15 a 20 unidades, es de 625
dólares.
3. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a razón de
21 50R x x dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón
2 ( ) 200 5R x x dólares por año.
¿Durante cuantos años el segundo plan será más rentable?.
Solución:
El segundo plan será mas rentable hasta que las funciones de ambos planes sean iguales:
1 2R x R x , entonces se tiene:
2 2 250 200 5 5 150 0x x x x
( 10)( 15) 0x x
1 1 10 ; 15x x
El segundo plan es mas rentable durante 15 años.
4. Suponga que cuando tiene x años, cierta maquina industrial genera ingresos a razón de 2( ) 5000 20R x x dólares por año y costos que se acumulan a razón de
2( ) 2000 10C x x dólares por año.
a) ¿Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria?
b) ¿Cuales son las ganancias netas generadas por la maquina durante el periodo
obtenido en la parte a)?
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2013 - II
058
Solución:
a) El uso de la maquinaria será rentable mientras que el ritmo al que se generan los
ingresos sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que ( ) ( )R x C x ,
entonces:
2 2 25000 20 2000 10 100 0x x x
( 10)( 10) 0x x
1 1 10 ; 10x x
El uso de la maquinaria es rentable durante 10 años.
b) Dado que la ganancia neta generada por una maquinaria, durante cierto período de
tiempo, está dada por la diferencia entre el ingreso total generado por la misma y su
costo total de operación y mantenimiento, se puede determinar esta ganancia por la
integral definida:
10 10
2 2 2
0 05000 20 2000 10 3000 30GN x x dx x dx
10
3 30
3000 30 3000(10) (10) 29000x x
Las ganancias netas ascienden a 29 000 dólares.
EJERCICIOS
1. La Empresa Pacific Rubiales vende el barril de petróleo a $ 105,6. Los estudios de
mercado indican que dentro de “ x ” meses, el precio del barril estará cambiando a una
razón dada por la siguiente función: 20, 0084 0, 012dP
x xdx
, donde P es el precio.
a) Halle el precio del barril de petróleo dentro de dos meses.
b) ¿La Empresa debe vender todo el petróleo posible ahora o debe de esperar dentro de
tres meses?.
2. El costo marginal en una empresa está dado por 0 ,02'( ) 1,2 xC x e . Hallar el incremento
en los costos totales, si la producción aumenta de 80 a 110 unidades.
3. Una fábrica determina que su ingreso marginal está dado por: 2 2500
dr q
dq q
.
Halle el ingreso cuando la venta aumenta de 0 a 120 productos.
MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2013 - II
059
4. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a la razón de 0,12
1 ( ) 60 xR x e dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón de
0,082 ( ) 160 xR x e dólares por año.
¿Durante cuantos años el segundo plan será el más rentable?.
5. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a la razón de 2( ) 6025 10R x x dólares al año y origina costos que se acumulan a la razón de
2( ) 4000 15C x x dólares por año.
¿Durante cuantos años el segundo plan será el más rentable?.
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