5/17/2018 II L'Hopital (Teoria) - slidepdf.com
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Regla de l'Hôpital 1
Regla de l'Hôpital
Guillaume de l'Hôpital, fue el que dio a conocer
esta regla.
En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla
de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli[1] usa derivadas para
ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma
indeterminada. La aplicación de esta regla frecuentemente convierte
una forma indeterminada en una forma determinada, permitiendo así
evaluar el límite mucho más fácilmente.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo
XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704),
quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits
pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha
escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la
regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y
demostró.[1]
Enunciado
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las
indeterminación del tipo ó . [2] [3] [4]
Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f (c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'( x)≠0 si x≠ c .
Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,
Guillaume de l'Hôpital
Demostración
El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una
demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración. [2] [4] Se
asume que tanto f como g son diferenciables en c.
• Dado que f (c)=g(c)=0 el cociente f ( x)/ g( x) para a< x<b se puede escribir de la siguiente manera:
• Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:
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Regla de l'Hôpital 2
Ejemplos
La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al
límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; es decir: sean
las funciones originales f ( x)/ g( x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x) / g'(x).
Aplicación sencilla
Aplicación consecutiva
Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:
Ejemplo #1
aplicando la definicion se realiza
Ejemplo #2
aplicando la definicion se realiza
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Regla de l'Hôpital 3
Ejemplo #3
aplicando la definicion se realiza
Ejemplo #4
Puesto que tanto el numerador como el denominador tienen límite 0, podemos aplicar L'Hôpital:
Adaptaciones algebraicas
Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo mediante
transformaciones algebraicas:
Cocientes incompatibles
Las indeterminaciones de tipo se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:
De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo también se pueden resolver por medio de la
aplicación de la regla de L'Hôpital de forma directa, sin aplicación de la doble inversión.
Indeterminaciones no cocientes
A veces algunos límites indeterminados que no aparecen dados como cocientes pueden ser hallados con esta regla.
• Tipo
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Regla de l'Hôpital 4
Véase también
• Límite (matemática)
• Infinitésimo
• Límite de una función
Referencias[1] María Cristina Solaeche Galera (1993). « La Controversia L'Hospital - Bernoulli (http:/ / www. univie. ac. at/ EMIS/ journals/ DM/ v1/ art7.
pdf)». Consultado el 9 de agosto de 2009.
[2] Brinton, Thomas George (2005). «4.Aplicaciones de la derivada. La regla de l'Hôpital» (en castellano). Cálculo: Una variable (11ª edición).
Madrid: Pearson Educación. pp. 292-297. ISBN 9702606438.
[3] Ruiz Zúñiga, Angel (1997). «8.5 Calcular límites usando la derivada. La regla de l'Hôpital» (en castellano). Elementos de Cálculo Diferencial
Volumen I y II (1ª edición). Costa Rica: Editorial Universidad de Costa Rica. pp. 66-69. ISBN 997767440X.
[4] « Regla de L'Hôpital (http:/ / jjisach. galeon. com/ jjisach/ matematicas/ lopital. pdf)». Consultado el 9 de agosto de 2009.
Enlaces externos
Teoreme de LHopital Ejemplos (http:/
/
www.
wikimatematica.
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index.php?title=Regla_de_L´Hôpital#Formas_indeterminadas)
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Fuentes y contribuyentes del artículo 5
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