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UNIDAD III PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES
1
Nmero real
En matemticas, los nmeros reales son aquellos que poseen una
expresin decimal e incluyen tanto a los nmeros racionales (como:
31, 37/22, 25,4) como a los nmeros irracionales, que no se pueden
expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no
peridicas, tales como: .
Pueden ser descritos de varias formas, algunas simples aunque
carentes del rigor necesario para los propsitos formales de
matemticas y otras ms complejas pero con el rigor necesario para el
trabajo matemtico formal.
Durante los siglos XVI y XVII el clculo avanz mucho aunque careca
de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba
necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones
como pequeo, lmite, se acerca sin una definicin precisa.
Esto llev a una serie de paradojas y problemas lgicos que hicieron
evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemtica,
la cual consisti de definiciones formales y rigurosas (aunque
ciertamente tcnicas) del concepto de nmero real.
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Historia
Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes
alrededor del ao 1000 a.C.; alrededor del 500 a.C. el grupo de
matemticos griegos liderados por Pitgoras se dio cuenta de la
necesidad de los nmeros irracionales. Los nmeros negativos fueron
ideados por matemticos indios cerca del 600, posiblemente
reinventados en China poco despus, pero no se utilizaron en Europa
hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descart
las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba
irreales. En ese siglo, en el clculo se utilizaba un conjunto de
nmeros reales sin una definicin concisa, cosa que finalmente
sucedi con la definicin rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construccin total de los nmeros
reales exige tener amplios antecedentes de teora de conjuntos y
lgica matemtica. Fue lograda la construccin y sistematizacin de
los nmeros reales en el siglo XIX por dos grandes matemticos
europeos utilizando vas distintas: la teora de conjuntos de George
Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un
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lado, y el anlisis matemtico de Richard Dedekind (vecindades,
entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemticos lograron la
sistematizacin de los nmeros reales en la historia, no de manera
espontnea, sino utilizando todos los avances previos en la materia:
desde la antigua Grecia y pasando por matemticos como Descartes,
Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y
Weierstrass.
Evolucin del concepto de nmero
Se sabe que los egipcios y babilnicos hacan uso de fracciones
(nmeros racionales) en la resolucin de problemas prcticos. Sin
embargo, fue con el desarrollo de la matemtica griega cuando se
consider el aspecto filosfico de nmero. Los pitagricos
descubrieron que las relaciones armnicas entre las notas musicales
correspondan a cocientes de nmeros enteros, lo que les inspir a
buscar proporciones numricas en todas las dems cosas, y lo
expresaron con la mxima todo es nmero.
En la matemtica griega, dos magnitudes son conmensurables si es
posible encontrar una tercera tal que las primeras dos sean mltiplos
de la ltima, es decir, es posible encontrar una unidad comn para la
que las dos magnitudes tengan una medida entera. El principio
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pitagrico de que todo nmero es un cociente de enteros, expresaba
en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser
conmensurables.
Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagrico se tambale ante el
problema de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un
tringulo rectngulo, pues no es conmensurable respecto de los
catetos. En notacin moderna, un tringulo rectngulo cuyos catetos
miden 1, tiene una hipotenusa que mide :
Si es un nmero racional donde est reducido a sus
trminos mnimos (sin factor comn) entonces 2q=p.
La expresin anterior indica que p es un nmero par y por tanto p
tambin, es decir, p=2m. Sustituyendo obtenemos 2q=(2m)=4m, y
por tanto q=2p.
Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un
nmero par, esto es, q=2n. Mas esto es imposible, puesto que p y q no
tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de
ambos).
Por tanto, la suposicin misma de que es un nmero
racional debe ser falsa.
Surgi entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagrico:
todo nmero era racional, mas la hipotenusa de un tringulo
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rectngulo issceles no era conmensurable con los catetos, lo cual
implic que en adelante las magnitudes geomtricas y las cantidades
numricas tendran que tratarse por separado, hecho que tuvo
consecuencias en el desarrollo de la matemtica durante los dos
milenios siguientes.
Los griegos desarrollaron una geometra basada en comparaciones
(proporciones) de segmentos sin hacer referencia a valores
numricos, usando diversas teoras para manejar el caso de medidas
inconmensurables, como la teora de proporciones de Eudoxo. As, los
nmeros irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de
la aritmtica puesto que slo podan ser tratados mediante el mtodo
de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagricos encontraron
(en notacin moderna) que si a/b es una aproximacin a entonces
p=a+2b y q=a+b son tales que p/q es una aproximacin ms precisa.
Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores nmeros que
dan una mejor aproximacin. Dado que las longitudes que expresan
los nmeros irracionales podan ser obtenidas mediante procesos
geomtricos sencillos pero, aritmticamente, slo mediante procesos
de infinitas aproximaciones, origin que durante 2000 aos la teora de
los nmeros reales fuese esencialmente geomtrica, identificando los
nmeros reales con los puntos de una lnea recta.
Nuevos avances en el concepto de nmero real esperaron hasta los
siglos XVI y XVII, con el desarrollo de la notacin algebraica, lo que
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permiti la manipulacin y operacin de cantidades sin hacer
referencia a segmentos y longitudes. Por ejemplo, se encontraron
frmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de forma
mecnica mediante algoritmos, los cuales incluan races e incluso, en
ocasiones, nmeros no reales (lo que ahora conocemos como
nmeros complejos). Sin embargo, no exista an un concepto formal
de nmero y se segua dando primaca a la geometra como
fundamento de toda la matemtica. Incluso con el desarrollo de la
geometra analtica este punto de vista se mantena vigente, pues
Descartes rechazaba la idea que la geometra pudiera fundamentarse
en nmeros, puesto que para l la nueva rea era simplemente una
herramienta para resolver problemas geomtricos.
Posteriormente, la invencin del clculo abri un perodo de grande
avances matemticos, con nuevos y poderosos mtodos que
permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo
infinito mediante el concepto de lmite. As, un nmero irracional pudo
ser entendido como el lmite de una suma infinita de nmeros
racionales (por ejemplo, su expansin decimal). Como muestra, el
nmero puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a la
intuicin geomtrica) mediante la serie:
entre muchas otras expresiones similares.
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Para entonces, el concepto intuitivo de nmero real era ya el moderno,
identificando sin problema un segmento con la medida de su longitud
(racional o no). El clculo abri el paso al anlisis matemtico, que
estudia conceptos como continuidad, convergencia, etc. Pero el
anlisis no contaba con definiciones rigurosas y muchas de las
demostraciones apelaban an a la intuicin geomtrica. Esto conllev
a una serie de paradojas e imprecisiones.
Operaciones con nmeros reales
Con nmeros reales pueden realizarse todo tipo de operaciones
bsicas con dos excepciones importantes:
1. No existen races de orden par (cuadradas, cuartas, sextas,
etc.) de nmeros negativos en nmeros reales, (aunque s
existen en el conjunto de los nmeros complejos donde
dichas operaciones s estn definidas).
2. La divisin entre cero no est definida (pues cero no posee
inverso multiplicativo, es decir, no existe nmero x tal que
0x=1).
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Estas dos restricciones tienen repercusiones en otras reas de las
matemticas como el clculo: existen asntotas verticales en los
lugares donde el denominador de una funcin racional tiende a cero,
es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presentara
una divisin entre cero, o no existe grfica real en aquellos valores de
la variable en que resulten nmeros negativos para races de orden
par, por mencionar un ejemplo de construccin de grficas en
geometra analtica.
Notacin
Los nmeros reales se expresan con fracciones decimales que tienen
una secuencia infinita de dgitos a la derecha de la coma decimal,
como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente tambin se presentan
con tres puntos consecutivos al final (324,823211247), lo que
significara que an faltan ms dgitos decimales, pero que se
consideran sin importancia.
Las medidas en las ciencias fsicas son siempre una aproximacin a
un nmero real. No slo es ms conciso escribirlos con forma de
fraccin decimal (es decir, nmeros racionales que pueden ser
escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en
cualquier caso, cunde ntegramente el concepto y significado del
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nmero real. En el anlisis matemtico los nmeros reales son objeto
principal de estudio. Puede decirse que los nmeros reales son la
herramienta de trabajo de las matemticas de la continuidad, como el
clculo y el anlisis matemtico, mientras que los nmeros enteros lo
son de las matemticas discretas, en las que est ausente la
continuidad.
Se dice que un nmero real es recursivo si sus dgitos se pueden
expresar por un algoritmo recursivo. Un nmero no-recursivo es
aqul que es imposible de especificar explcitamente. Aun as, la
escuela rusa de constructivismo supone que todos los nmeros reales
son recursivos.
Los ordenadores slo pueden aproximarse a los nmeros reales por
nmeros racionales; de todas maneras, algunos programas de
ordenador pueden tratar un nmero real de manera exacta usando su
definicin algebraica (por ejemplo, " ") en vez de su respectiva
aproximacin decimal.
Los matemticos usan el smbolo (o, de otra forma, , la letra "R"
en negrita) para representar el conjunto de todos los nmeros reales.
En matemtica, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el
significado de que el campo subyacente es el campo de los nmeros
reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, etc.
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Construcciones de los nmeros reales
Caracterizacin axiomtica
Existen diferentes formas de construir el conjunto de los nmeros
reales a partir de axiomas, siendo la caracterizacin ms comn
mediante las siguientes tres propiedades:
Un conjunto (R) es el conjunto de los nmeros reales si satisface las
siguientes tres condiciones:
1. (R) es un campo.
2. (R) es un conjunto totalmente ordenado y el orden es
compatible con las operaciones del campo:
Si entonces ;
Si y entonces .
3. El conjunto R es completo: satisface el axioma del
supremo:
Todo conjunto no vaco y acotado superiormente tiene un
supremo.
En vista de lo anterior podemos hablar de el conjunto de los nmeros
reales (y no de un conjunto de nmeros reales) y estableciendo su
unicidad se puede usar el smbolo para representarlo.
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Puede caracterizarse el conjunto de los nmeros reales como un
conjunto que satisfaga la siguiente lista de axiomas:
1. Si , entonces (Cerradura en la suma)
2. Si , entonces (Conmutatividad en la
suma)
3. Si , entonces (Asociatividad
en la suma)
4. Existe de manera que para todo (Neutro
aditivo)
5. Para cada existe un elemento tal que
(Inverso aditivo)
6. Si , entonces (Cerradura en la multiplicacin)
7. Si , entonces (Conmutatividad en la
multiplicacin)
8. Si , entonces (Asociatividad en la
multiplicacin)
9. Existe de manera que para cualquier
(Neutro multiplicativo)
10. Para cada existe un elemento tal
que (Inverso multiplicativo)
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11. Si , entonces
(Distributividad de la multiplicacin en la suma)
12. Si , entonces se cumple slo una de estas:
(Tricotoma)
o
o
o
13. Si , y entonces
(Transitividad)
14. Si y , entonces (Monotona
en la suma)
15. Si , y , entonces
(Monotona en la multiplicacin)
Construccin por nmeros decimales
Consideramos los nmeros decimales como los conocemos
intuitivamente. Sabemos que , es
decir, el nmero se expresa como el nmero entero 3 y una
secuencia infinita de dgitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.
Un nmero decimal se expresa entonces como donde x
es un nmero entero y cada di es un elemento del conjunto
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
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Al conjunto de todos los nmeros decimales donde x es un
nmero entero positivo se le denota por y se le llama el
conjunto de los nmeros reales positivos.
Al conjunto de todos los nmeros decimales donde x es un
nmero entero negativo se le denota por y se le llama el
conjunto de los nmeros reales negativos.
Al nmero decimal se le llama cero.
Al conjunto se le denota por y se le
llama conjunto de nmeros reales.
Se define la relacin de orden total de los nmeros decimales como
1. para todo
2. siempre que y
3. para todo
4. Dados dos nmeros reales cualesquiera y
, en cualquiera de los casos siguientes:
o
o
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Nmeros
Complej
os
Real
es
Racional
es
Enter
os
Natural
es
Uno
Primos
Compues
tos
Cero
Negativos
Fraccionarios
Fraccin
propia
Fraccin
impropia
Irracionales Algebraicos irracionales
Trascendentes
Imaginarios
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Los nmeros naturales
Los nmeros naturales surgen de la necesidad de contar, de
enumerar: ={1,2,3,4...}
Con los nmeros naturales se puede sumar. De hecho,
con la operacin suma, los naturales forman un
semigrupo conmutativo.
Con la operacin producto los naturales tambin tienen
estructura de semigrupo conmutativo.
El infinito de los nmeros naturales se denomina infinito
numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en
correspondencia biyectiva con el conjunto de los nmeros
naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el
conjunto de las potencias sucesivas de un nmero , es
decir, el conjunto cuando es distinto de 0, 1 y
-1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los
nmeros enteros y el de los racionales tambin son
infinitos numerables como se ver ms adelante.
El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente
ordenado, es decir, existe una relacin de orden total, lo
que significa que existe una relacin de orden y que dos
elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados
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entre s usando dicha relacin. Dicho de otra forma, dados
dos naturales, e , o bien , o bien .
Todo subconjunto no vaco del conjunto de los naturales
tiene un elemento mnimo, esto es, existe un elemento tal
que para todo de se tiene . Por ejemplo, el
subconjunto formado por los nmeros pares tiene como
elemento mnimo a 2.
Dados dos nmeros naturales , no es cierto en
general que exista un natural tal que . Si tal
existe se denomina cociente exacto de por , y la
divisin se denomina exacta. En este caso se dice que
es divisible por , o que es un divisor de , o que es
un mltiplo de . Cuando no es as, siempre es posible
encontrar y que verifiquen con . Los
nmeros , , y se denominan dividendo, divisor,
cociente y resto respectivamente y el procedimiento para
determinar y a partir de y se denomina divisin
entera.
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Nmeros Primos (historia en el siguiente captulo)
Un nmero primo es aqul nmero natural que slo es divisible por s
mismo y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...,
son nmeros primos.
Hay infinitos nmeros primos. Un famoso procedimiento para
encontrar nmeros primos es la denominada criba de Eratstenes, que
consiste en tomar una lista de los nmeros naturales e ir tachando
sucesivamente los mltiplos de cada natural que an no hubiera sido
tachado previamente.
El uso de nmeros primos grandes tiene aplicaciones en criptografa
(ocultacin de secretos).
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Descomposicin de un nmero compuesto
en factores primos
Todo nmero natural admite una descomposicin en producto de
nmeros primos. Esta descomposicin es nica salvo el orden de los
primos considerados. En el siguiente recuadro tienes algunos
ejemplos.
Encontrar la factorizacin de nmeros grandes es un problema con
elevada complejidad computacional, de hecho no hay ningn algoritmo
eficiente para ello. Por eso varios sistemas criptogrficos se basan en
este problema.
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Los nmeros enteros
Cuando se necesita adems restar surgen los nmeros enteros
={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Los enteros se obtienen a partir de los naturales aadiendo
los opuestos para la operacin suma.
Si a y b denotan nmeros naturales, la suma de dos
nmeros enteros a+(-b), se define como:
el entero positivo a-b, si a > b, 0, si a=b el entero
negativo -(b-a) si a < b
La suma de dos enteros negativos se define como
(-a)+(-b)=-(a+b).
De hecho, los enteros, con la operacin suma tienen
estructura de grupo conmutativo.
Si adems de la suma, consideramos la operacin de
multiplicacin definida como
o (-a)(-b)=ab
o (-a)b=a(-b)=-(ab),
el conjunto de los enteros, con ambas operaciones tiene
estructura de anillo conmutativo y con unidad.
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Por cierto, qu hay ms?, nmeros enteros o nmeros
naturales?. Ntese que se puede establecer una
correspondencia biyectiva entre ambos conjuntos,
, por ejemplo como sta:
si n es un entero positivo
Por tanto, el conjunto de los enteros es tambin infinito numerable.
Tambin es un conjunto totalmente ordenado, cuando se considera la
relacin de orden definida en la forma obvia y que extiende la relacin
de orden que se tiene en . Tambin es cierto que en los enteros todo
subconjunto acotado inferiormente tiene elemento mnimo, y
recprocamente, todo subconjunto acotado superiormente tiene
elemento mximo.
Los nmeros irracionales
Hay nmeros que no son racionales, es decir que no pueden ser
expresados como cociente de dos nmeros enteros. Por ejemplo,
piensa en el nmero cuya representacin decimal es
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0.1234567891011121314151617181920........
claramente, esta representacin decimal no es exacta ni peridica, por
tanto no puede corresponderse con ningn nmero racional.
Veamos otros ejemplos.
Se trata de un ejemplo tpico de nmero no racional con una
demostracin muy sencilla de que, en efecto, no puede ser racional
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En el siguiente recuadro puedes ver las primeras 100 cifras decimales
de . Adems se muestra una manera de construir el nmero
sobre la recta real con regla y comps y finalmente se da una serie de
nmeros racionales que converge hacia .
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Para construir la serie que converge hacia hemos usado
obviamente la sucesin de cifras decimales indicada ms arriba.
Tambin podamos haber definido una sucesin de nmeros
racionales que converge hacia de la forma siguiente
Donde es el mayor nmero entero que verifica .
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Otro de los ejemplos csicos de nmeros irracionales que estamos
acostumbrados a manejar es el conocido por la letra griega Pi que
representa la relacin entre el permetro y el dimetro de una
circunferencia.
A diferencia de lo que ocurre con , no es posible dibujar con regla y
comps el nmero sobre la recta real. El problema es conocido
como la rectificacin de la circunferencia y hay mtodos algebraicos
para demostrar que no tiene solucin, a pesar de que mucha gente la
busc durante siglos (y algunos siguen buscndola hoy en da). Otros
problemas de parecida ndole son los famosos de la cuadratura del
crculo, que consiste en construir con regla y comps un cuadrado que
tenga la misma rea que un crculo dado, y la triseccin del ngulo,
que consiste en dividir un ngulo dado en tres partes iguales. Todos
ellos son imposibles con regla y comps y puede demostrarse
algebraicamente su imposibilidad.
En el siguiente recuadro tienes las primeras cien cifras decimales de
y adems una serie de nmeros racionales que converge hacia .
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La serie indicada es conocida como serie de Leibniz y hemos de
advertir que su convergencia es bastante lenta. Cuntos trminos te
hace falta sumar para obtener 10 cifras decimales correctas?
Tambin el nmero e, base de los llamados logaritmos naturales o
neperianos es un nmero irracional. Este nmero surge de forma
natural al considerar el inters compuesto.
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Supongamos que tenemos un capital unidad a un inters anual (en
tanto por uno). Al cabo del ao nuestro capital ser .
Sin embargo, si dividimos el ao en dos semestres e incorporamos el
inters al finalizar cada uno dos semestres, al final del primer perodo
tendremos y al finalizar el ao
Si dividimos el ao en tres cuatrimestres, incorporando los intereses al
capital al final del cada perodo, tendremos
respectivamente al final de cada
cuatrimestre.
Si dividimos el ao en n perodos tendremos al final del ao .
Se define e como el lmite del resultado anterior cuando n se hace
infinitamente grande (infinitos perodos infinitamente pequeos),
siendo , es decir
En el recuadro siguiente vemos las 100 primeras cifras decimales de
e, as como dos formas de ver como lmite de sucesiones de
nmeros racionales (en el segundo caso se trata de una serie).
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Igual que pasaba con , no es posible dibujar con regla y comps un
punto en la recta real a distancia e del origen.
Si consideramos el conjunto de todas las expresiones decimales,
solamente aqullas finitas o peridicas se correspondern, como ya se
vio, con nmeros racionales; el resto forman el conjunto de los
nmeros irracionales
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Los nmeros reales
La unin de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los
nmeros reales. .
El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto
en , y es un conjunto totalmente ordenado.
Teniendo eso en cuenta, se puede representar grficamente el
conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa
un nmero.
Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos e
son heredadas por .
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RESUMEN
CLASIFICACION Y PROPIEDADES DE LOS
NUMEROS REALES
SE CLASIFICAN EN: RACIONALES E IRRACIONALES
Un numero racional es un numero real que se puede expresar como el
cociente a/b de dos nmeros enteros a y b con b diferente de cero. Los
nmeros reales que no son racionales se llaman irracionales. Por
ejemplo, la razn del permetro de una circunferencia a su dimetro es
irracional. Este nmero real se denota por P y se escribe P = 3.1416
para indicar que P es aproximadamente igual a 3.1416. Otro ejemplo de
un nmero irracional es 2.
Los nmeros reales se pueden representar por expresiones decimales
infinitas. Por ejemplo, realizando la divisin puede verse que la
representacin decimal del numero racional 177/55 es 3.2181818...,
en donde los dgitos 1 y 8 se repiten indefinidamente. Los nmeros
reales pueden representarse siempre por expresiones decimales
peridicas, es decir, en las que hay una combinacin de dgitos que se
repiten indefinidamente. Los nmeros irracionales pueden
representarse por expresiones decimales infinitas no peridicas.
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30
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
1) Propiedad Conmutativa: a+b = b+a Sean a,b pertenecientes a los
reales.
2) Propiedad Asociativa: (a+b)+c = a+(b+c) Sean a,b,c pertenecientes
a los reales.
3) Existencia de elemento inverso (inverso aditivo): a+(-a)=0
4) Existencia de elemento neutro: a+0 = a
5) Propiedad Conmutativa del producto: a.b = b.a
6) Propiedad Asociativa del producto: ( a.b).c = a.(b.c)
7) Existencia de elemento inverso: a.1/a = 1
8) Existencia de elemento neutro(del producto) : a.1 = a
9) Propiedad Distributiva: (a+b).c = ac+bc (a.b)+c = (a+c).(b+c)
10) Tricotoma : a>b , ab>c entonces a>c
12) Propiedad Uniforme.
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Recta numrica
La recta numrica es un grfico unidimensional de una lnea en la
que los nmeros enteros son mostrados como puntos especialmente
marcados que estn separados uniformemente. Frecuentemente es
usada como ayuda para ensear la adicin y la sustraccin simples,
implicando especialmente nmeros negativos.
La recta numrica. Aunque la imagen de abajo muestra solamente los
nmeros enteros a entre -9 y 9, la recta incluye todos los nmeros
reales, continuando "ilimitadamente" en cada sentido.
Est dividida en dos mitades simtricas por el origen, es decir el
nmero cero. En la recta numrica mostrada arriba, los nmeros
negativos se representan en rojo y los positivos en morado.
Recta numrica real
La recta numrica real o recta de coordenadas es una
representacin geomtrica del conjunto de los nmeros reales. Tiene
su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos
en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el
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otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a
uno entre cada punto de la recta y un nmero real.
Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de
una lnea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un
punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que
represente al nmero 1. Esto establece la escala de la recta numrica.
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EJERCICIOS PROPUESTOS
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