Toms Chvez, Francisca Micolich Taller 1 Investigacin Operativa 12 de Mayo de 2014
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Taller 1
Investigacin
Operativa Otoo 2014
Toms Chvez y Francisca Micolich
Toms Chvez, Francisca Micolich Taller 1 Investigacin Operativa 12 de Mayo de 2014
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Introduccin
Muchas ciudades del mundo han recientemente instalado sistemas de bicicletas pblicas, con el
objetivo de estimular a los ciudadanos a incrementar el uso de este medio de transporte, de forma
de estimular el desarrollo sustentable y equitativo, mejorar la calidad de vida de las personas y
reducir los niveles de contaminacin.
Los sistemas de bicicletas pblicas permiten a las personas arrendar bicicletas en distintas
estaciones esparcidas en una ciudad, utilizarlas y luego devolverla en una estacin diferente.
Uno de los factores principales que se debe tomar en cuenta para asegurar el xito de estos
proyectos es que el sistema debe ser capaz de adaptarse a las fluctuaciones de la demanda de
bicicletas y de espacios para dejarlas. Esto se logra manejar a travs de un proceso de reposicin,
en donde se toman cierto nmero de bicicletas de una estacin a otra, haciendo transferencias de
modo de cumplir con las exigencias del pblico.
En el presente trabajo, se nos ha presentado un problema de este tipo, en donde se cuenta con
informacin de la demanda semanal y la tarea de reposicin la realiza un solo camin, el cual
debe cargar y descargar bicicletas en las estaciones existentes.
Dado lo anterior, comenzaremos formulando un modelo matemtico que permita encontrar la
solucin a este problema. Luego, analizaremos lo resultados obtenidos, para despus formular el
mismo problema con una restriccin adicional de tener que establecer el nmero total de
bicicletas. Finalmente, discutiremos los aprendizajes y principales resultados obtenidos.
Desarrollo
a) Formulacin del problema
Como mencionamos anteriormente, en nuestro problema nos pondremos en el lugar de una
pequea ciudad en la cual se ha implementar un sistema de bicicletas pblicas prximamente.
Para esto se han construido I estaciones donde los usuarios pueden buscar una bicicleta durante
el da y devolverlas antes de la hora tope. El uso de las bicicletas es gratuito, pero si el usuario no
la devuelve dentro del mismo da debe pagar una multa considerable, por lo que se puede
considerar que las bicicletas sern siempre devueltas dentro del mismo da. La devolucin no
necesariamente se realiza en la misma estacin que la bicicleta se retir.
Las bicicletas sern colocadas para iniciar el servicio un da lunes en la maana en sus estaciones
iniciales. Todas las noches se pueden reubicar bicicletas entre estaciones para estar disponibles al
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da siguiente. De acuerdo a los estudios previos, el uso en las distintas semanas es similar, por lo
que para nuestro anlisis se considera una nica semana de manera cclica y se repite.
Es importante destacar que el problema debe estar planteado de una manera que la disposicin de
las bicicletas para el primer da del programa (primer Lunes) sea idntica a la de todos los otros
Lunes en la maana, ya que de otra manera, nos podra dar una solucin espiral que vare de
semana a semana (por una clase de efecto domin), lo que en resumidas cuentas hara que al
ingresar el problema al sistema computacional, este no pudiera parar de calcular (pues
reemplazara la solucin de una semana por la de la semana siguiente, y repetira ese ciclo con
esa semana tambin y con las que le sucedieran, quedando en un loop sin salida).
Podemos definir el problema en dos partes:
1. El nmero total de bicicletas sern ubicadas el primer da lunes en sus estaciones
iniciales.
2. Todas las noches se podrn reubicar las bicicletas para cumplir con la demanda de los
usuarios, por lo que se debe definir una estructura de reposicin.
Para comenzar, tenemos que los parmetros dados por el problema son:
= Conjunto de estaciones i
Capacidad de la estacin i
Bicicletas que los usuarios toman desde la estacin i y las dejan en la estacin j el da d
Capacidad del camin
Costo por parar en la estacin i
Costo por descargar una bicicleta en la estacin i desde el camin
Costo por cargar una bicicleta desde la estacin i al camin
Nmero total de bicicletas
Luego, definiremos nuestras variables de decisin como las siguientes:
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{
; toma valor 1 si el camin se detiene en la estacin i el da d, 0 si no se detiene a la
reposicin
Nmero de bicicletas a cargar en el camin desde la estacin i el da d
Nmero de bicicletas a descargar del camin a la estacin i el da d
Definiremos tambin, como forma de complementar la formulacin del modelo, ciertas
variables auxiliares y de estado:
Nmero de bicicletas que hay en la estacin i al comienzo del da
Nmero de bicicletas que hay en la estacin i luego que haya pasado el camin la noche
del da d
Nmero de bicicletas que transporto desde la estacin i a la siguiente estacin.
RESTRICCIONES
1. Asignacin inicial del da lunes
a. Se debe cumplir con la demanda
b. No se debe sobrepasar la capacidad de las estaciones
c. No se debe superar la capacidad de la estacin durante el da, cuando los usuarios
saquen y dejen bicicletas.
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2. Asignacin de semana tipo Todas las noches se podrn reubicar las bicicletas con
un camin.
1. Cada estacin es visitada a lo ms una vez en el da
2. Las bicicletas que transporte desde i deben respetar la capacidad del camin
3. Las bicicletas cargadas o descargadas no deben superar la capacidad del camin
4. La cantidad de bicicletas en la estacin i del da d deben ser igual a las bicicletas que
haba al comienzo del da, ms las cargadas menos las que han sido descargadas, ms
las que han sido dejadas por los usuarios provenientes de cualquier origen menos las
que han sido tomadas hacia cualquier destino.
( )
(
)
5. La dotacin inicial no debe superar la capacidad de la estacin.
6. La dotacin final no debe superar la capacidad de la estacin.
7. La dotacin inicial de la estacin debe cumplir con la demanda del da.
8. Lo que quede al final del da d, luego de la reposicin ser la dotacin inicial del da
siguiente.
( )
9. Al principio del da, todas las bicicletas se encontrarn ubicadas en las estaciones.
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10. Al final del da, todas las bicicletas se encontrarn ubicadas en las estaciones.
11. Se podrn cargar en el camin a lo ms lo disponible en la estacin, es decir, lo que
haba inicialmente ms las bicicletas dejadas por los usuarios menos las que se han
llevado hacia otras estaciones
12. Se podrn descargar en la estacin a lo ms lo que permita el espacio residual, dado
por las bicicletas que estn en la estacin en el momento.
(
)
13. Todas las bicicletas cargadas, son eventualmente descargadas.
14. No se puede llegar a una estacin sin cargar ni descargar una bicicleta.
15. Lo que lleva el camin desde la estacin i ser igual a todo lo que ha cargado hasta
esa estacin, menos lo que ha descargado.
( ) ( ) { }
16. Al inicio del recorrido, el camin est descargado, por lo que no tiene bicicletas para
descargar.
17. Al final del recorrido, el camin est descargado, por lo que no lleva ninguna
bicicleta hacia otra estacin, ni tampoco puede cargar bicicletas
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Nota: Conjunto D es ordenando circular o cclicamente, es decir si d=1, d-1=7, ya que la #D=7.
18. Naturaleza de las variables
{ }
Finalmente, el objetivo del problema es minimizar los costos de parar en las estaciones; costo
que lleva asociado un costo suplementario por cargar o descargar bicicletas. Por ende, nuestra
funcin objetivo ser la siguiente:
( )
Lo anterior, sujeto a las restricciones planteadas anteriormente, nos debera llevar al resultado
ptimo.
b) Resultados Obtenidos
Utilizando el software de Open Solver, pudimos llegar a una asignacin eficiente de nuestras
variables de decisin. (Anexo)
A partir de los valores encontrados, podemos ver que la funcin objetivo que busca minimizar
los costos del sistema de reposicin de las bicicletas pblicas, nos da un valor de $562. Es decir,
es el mnimo costo que se puede pagar si se cumple con todas las condiciones expuestas en el
punto anterior.
En un principio, el programa Open Solver nos deca que no poda encontrar una solucin optima.
Esto quera decir que tal como estaba planteado el problema en ese momento, no aceptaba una
solucin factible, pues al ser de naturaleza lineal, se tena el 100% de certeza que no exista una
solucin. Dado esto, se tuvo que revisar cada una de las restricciones para ver si se encontraban
errores (tanto de traduccin algebra-excel como de concepcin algebraico-matemtica del
problema en si), y tambin se concluy que de ser errores menores (es decir, no haba una
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traduccin que estuviese completamente mal, como poner la relacin de igualdad al revs en una
restriccin), entonces el problema constaba con restricciones bastante apretadas, lo que
significaba que probablemente el espacio de soluciones factibles era pequeo.
Hay que entender que los espacios de soluciones factibles para problemas que tienen variables
discretas son finitos, por lo que si bien el problema podra contar con un espacio existente, de
tener restricciones lo suficientemente ajustadas, estas podran dejar un espacio vaco a la hora
de considerar variables discretas. Es imaginarse un polgono sobre un plano cartesiano, y este
polgono se encuentra dentro de un cuadrado de intersecciones, pero realmente no toca
ninguna interseccin de enteros, por lo que para fines discretos, el polgono no existira.
Una vez comprendido lo recin expuesto, se tuvo especial cuidado con revisar las restricciones
del problema, a modo de que estas estuvieran correctamente planteadas, pues al ser un problema
de naturaleza discreta, las probabilidades de que un error eliminara cualquier solucin factible
eran mucho mayores.
c) Adicin de Restriccin de nmero de bicicletas a utilizar.
En esta seccin consideraremos el mismo modelo planteado inicialmente, sin embargo, el
nmero de bicicletas a utilizar ser ahora tambin una de las incgnitas a optimizar.
Consideraremos que por cada bicicleta que se considera, se incurre en un costo semanal y por
cada da que se utilice el camin para reubicar bicicletas se debe pagar un costo fijo.
En este caso tendremos el siguiente modelo matemtico:
DEFINICIN DE VARIABLES
Parmetros
Costo semanal por cada bicicleta considerada en la flota
Costo diario fijo por usar el camin.
Variables de decisin
{
; toma valor 1 si se utiliza el camin el da d, y 0 si no.
Nmero total de bicicletas a utilizar en la flota (ya no es parmetro)
FUNCIN OBJETIVO
( )
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RESTRICCIONES NUEVAS
1. Uso del camin
a. Si se usa el camin, se podr parar en alguna estacin.
b. No usar el camin sin la necesidad de hacerlo.
2. Flota
a. Se debe asegurar tener espacio para toda la flota.
b. Las bicicletas deben ser suficientes para la demanda.
3. Naturaleza de las variables
{ }
Nota: Hay que entender que todas las restricciones anteriores que incluyeran N se ven
afectadas, pues ahora el N es una variable. Sin embargo, la estructura algebraica no cambia
pues sigue cumpliendo los requisitos de un modelo de programacin lineal.
Finalmente, resolviendo el modelo anterior con Open Solver, pudimos obtener que el valor de la
funcin objetivo, en donde se busca minimizar el costo de la reposicin, el resultado ptimo es
$1.253.218.
Conclusiones
Este trabajo ha buscado formular y resolver un problema tanto de operacin del sistema de
bicicletas pblicas como de inventario a determinar para cumplir con las exigencias de la
demanda de este servicio. En un primer lugar analizamos un problema el cual tena el nmero de
bicicletas como un parmetro dado y en donde tuvimos que definir la forma optima de asignar
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las bicicletas a las estaciones y determinar el nmero de transferencias a realizar por el camin
entre las estaciones. Luego, formulamos el mismo problema pero con la diferencia que se deba
tambin asignar el total de bicicletas a adquirir para implementar el proyecto de bicicletas
pblicas.
En primer lugar, con respecto a la naturaleza del problema, podemos observar cmo la
reposicin eficiente de las bicicletas juega un rol fundamental en el funcionamiento de este tipo
de sistemas pblicos. Tambin debemos mencionar que al problema se le pueden agregar un
mayor nmero de variables e incorporar factores dinmicos y temporales, como por ejemplo,
inclusin de las rutas que tomar el camin o la fluctuacin entre de las horas del da y la
demanda, entre otras.
Para nosotros fue un problema difcil de plantear, tanto por el hecho que la distribucin de los
das funciona de forma cclica y tambin porque el problema cuenta con un nmero considerable
de restricciones que deben cumplirse para que funcione ptimamente el servicio.
Tambin se tuvo que tener cuidado con plantear muy bien las restricciones ya que al ser un
problema con variables discretas, la posibilidad de que un error hiciera vaca la regin de
soluciones factibles era mucho mayor.
Finalmente, comparando el planteamiento B con el C, nos damos cuenta que el uso del camin se
vuelve ms intensivo en el C, dado que se tienen menos bicicletas, por lo que se hace necesario
trasladarlas de un lugar a otro para poder suplir la demanda, cosa que no sucede al tener 500
bicicletas (B), pues se tienen bicicletas de sobra, por lo que si bien una estacin puede perder
bicicletas un da, an as esta quedar con bicicletas suficientes como para cumplir los
requerimientos de das futuros. Es por esto que en la parte C suben los costos relacionados al uso
del camin (considerando que estos costos variables existiesen para el planteamiento en B).
Algo similar sucede al comparar los costos de la flota de bicicletas en ambos problemas. Si
suponemos que el costo variable por bicicleta existiese en la parte B, estos seran
considerablemente ms altos que en la parte C, pues la cantidad de bicicletas que se emplean en
C es alrededor de 2/3 de lo que se usa en B (500 bicicletas para B).
Es as como podemos ver que si bien C aumenta sus costos relacionados al uso del camin, esto
no se compara con los costos que implica tener una flota tan grande de bicicletas en B. Dicho de
otra manera, es ms el beneficio que trae disminuir sustancialmente la flota de bicicletas (an
cuando esto signifique aumentar en 3 das el uso del camin para cada semana, es decir, usarlo
de Lunes a Domingo) dado en la parte C, que tener una flota extremadamente grande (500
bicicletas en B) a modo de poder disminuir el uso del camin (solo 4 das por semana). Esta
comparacin se explicita en el anexo 3.
Anexos
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Anexo 1.
Resultados variables de decision parte a)
1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 1 0 1 0 0
2 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 1 0 0 0 0
4 0 1 0 0 0 1 0
5 0 1 0 0 0 1 0
6 0 1 0 0 0 0 0
7 0 1 0 0 0 0 0
8 0 0 0 0 0 1 0
9 0 1 0 0 1 1 0
10 0 0 0 0 1 0 0
11 0 0 0 0 1 0 0
12 0 0 0 0 0 1 0
13 0 0 0 0 1 0 0
14 0 1 0 0 0 0 0
15 0 1 0 0 0 1 0
1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 11 0 20 0 0
2 0 0 11 0 20 0 0
3 0 0 0 0 20 0 0
4 0 27 0 0 20 2 0
5 0 41 0 0 20 12 0
6 0 57 0 0 20 12 0
7 0 26 0 0 20 12 0
8 0 26 0 0 20 0 0
9 0 51 0 0 29 4 0
10 0 51 0 0 28 4 0
11 0 51 0 0 27 4 0
12 0 51 0 0 27 8 0
13 0 51 0 0 0 8 0
14 0 55 0 0 0 8 0
15 0 0 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7
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1 0 0 11 0 20 0 0
2 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0 0
4 0 27 0 0 0 2 0
5 0 14 0 0 0 10 0
6 0 16 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0 0 0
8 0 0 0 0 0 0 0
9 0 25 0 0 9 4 0
10 0 0 0 0 0 0 0
11 0 0 0 0 0 0 0
12 0 0 0 0 0 4 0
13 0 0 0 0 0 0 0
14 0 4 0 0 0 0 0
15 0 0 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 11 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0 0 0
7 0 31 0 0 0 0 0
8 0 0 0 0 0 12 0
9 0 0 0 0 0 0 0
10 0 0 0 0 1 0 0
11 0 0 0 0 1 0 0
12 0 0 0 0 0 0 0
13 0 0 0 0 27 0 0
14 0 0 0 0 0 0 0
15 0 55 0 0 0 8 0
1 2 3 4 5 6 7
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1 27 28 29 33 32 14 15
2 17 19 22 24 18 23 24
3 31 34 25 32 32 31 33
4 42 42 25 26 27 29 41
5 19 26 14 15 19 17 12
6 28 26 18 30 28 27 28
7 41 41 52 30 25 26 28
8 46 42 40 44 54 54 59
9 26 34 30 36 38 34 39
10 64 57 53 53 55 55 55
11 32 30 28 15 15 26 32
12 48 49 48 57 56 51 51
13 22 19 23 20 25 41 17
14 19 30 30 37 36 39 28
15 38 23 63 48 40 33 38
1 2 3 4 5 6 7
1 28 29 33 32 14 15 27
2 19 22 24 18 23 24 17
3 34 25 32 32 31 33 31
4 42 25 26 27 29 41 42
5 26 14 15 19 17 12 19
6 26 18 30 28 27 28 28
7 41 52 30 25 26 28 41
8 42 40 44 54 54 59 46
9 34 30 36 38 34 39 26
10 57 53 53 55 55 55 64
11 30 28 15 15 26 32 32
12 49 48 57 56 51 51 48
13 19 23 20 25 41 17 22
14 30 30 37 36 39 28 19
15 23 63 48 40 33 38 38
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Anexo 2.
Resultado variables de decisin parte c)
1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 1 0 1 0 1
2 1 0 1 0 1 0 1
3 0 0 1 0 0 0 1
4 1 1 0 0 0 1 0
5 1 0 1 1 0 0 1
6 0 0 1 1 0 1 0
7 1 1 1 0 0 1 0
8 1 1 1 0 0 1 1
9 1 1 0 1 0 0 0
10 0 1 1 0 0 1 1
11 0 1 0 0 0 1 1
12 0 0 1 1 1 1 1
13 0 0 0 1 1 1 1
14 0 0 1 1 0 1 1
15 1 1 1 1 0 1 0
1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 16 0 11 0 4
2 11 0 13 0 0 0 7
3 11 0 9 0 0 0 0
4 8 12 9 0 0 20 0
5 22 12 11 3 0 20 5
6 22 12 25 0 0 25 5
7 12 0 0 0 0 41 5
8 0 4 11 0 0 31 0
9 3 26 11 13 0 31 0
10 3 22 12 13 0 4 29
11 3 21 12 13 0 0 33
12 3 21 1 11 9 20 21
13 3 21 1 3 0 21 10
14 3 21 11 5 0 23 0
15 0 0 0 0 0 0 0
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1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 16 0 11 0 4
2 11 0 0 0 0 0 3
3 0 0 0 0 0 0 0
4 0 12 0 0 0 20 0
5 14 0 2 3 0 0 5
6 0 0 14 0 0 5 0
7 0 0 0 0 0 16 0
8 0 4 11 0 0 0 0
9 3 22 0 13 0 0 0
10 0 0 1 0 0 0 29
11 0 0 0 0 0 0 4
12 0 0 0 0 9 20 0
13 0 0 0 0 0 1 0
14 0 0 10 2 0 2 0
15 0 0 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 3 0 11 0 0
3 0 0 4 0 0 0 7
4 3 0 0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 0 0 0
6 0 0 0 3 0 0 0
7 10 12 25 0 0 0 0
8 12 0 0 0 0 10 5
9 0 0 0 0 0 0 0
10 0 4 0 0 0 27 0
11 0 1 0 0 0 4 0
12 0 0 11 2 0 0 12
13 0 0 0 8 9 0 11
14 0 0 0 0 0 0 10
15 3 21 11 5 0 23 0
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1 2 3 4 5 6 7
1 26 27 28 27 26 17 18
2 14 5 8 13 7 23 24
3 31 34 25 25 25 24 26
4 24 27 25 26 27 29 23
5 19 12 14 13 14 12 17
6 23 21 29 27 28 27 23
7 25 35 27 30 25 26 12
8 34 42 36 29 39 39 42
9 26 31 30 36 25 30 39
10 35 28 28 27 29 28 55
11 28 26 25 12 12 22 32
12 35 36 35 55 56 42 26
13 22 19 23 20 33 31 6
14 17 28 32 29 26 29 16
15 35 23 29 25 22 15 35
1 2 3 4 5 6 7
1 27 28 27 26 17 18 26
2 5 8 13 7 23 24 14
3 34 25 25 25 24 26 31
4 27 25 26 27 29 23 24
5 12 14 13 14 12 17 19
6 21 29 27 28 27 23 23
7 35 27 30 25 26 12 25
8 42 36 29 39 39 42 34
9 31 30 36 25 30 39 26
10 28 28 27 29 28 55 35
11 26 25 12 12 22 32 28
12 36 35 55 56 42 26 35
13 19 23 20 33 31 6 22
14 28 32 29 26 29 16 17
15 23 29 25 22 15 35 35
1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1
Toms Chvez, Francisca Micolich Taller 1 Investigacin Operativa 12 de Mayo de 2014
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N Nmero de bicicletas
394
Anexo 3.
Comparacin Resultados parte a) y c)
Costos parte B
NG $ 1,500,000
RdF $ 40,000
Parte B Parte C
Original $ 562 <
<
<
>
>
$ 1,253,218 Original
PiXi + BiYLid + CiYUid $ 562 $ 1,218 PiXi + BiYLid + CiYUid
PiXi + BiYLid + CiYUid + RdF $ 40,562 $ 71,218 PiXi + BiYLid + CiYUid + RdF
PiXi + BiYLid + CiYUid + NG $ 1,500,562 $ 1,183,218 PiXi + BiYLid + CiYUid + NG
PiXi + BiYLid + CiYUid + RdF +
NG
$ 1,540,562 $ 1,253,218 PiXi + BiYLid + CiYUid + RdF +
NG
Bibliografa
Tal Raviv, Michal Tzur, Iris A. Forma (2013), Static Repositioning in a Bike-Sharing System:
Models and Solution Approaches, Industrial Engineering Department
Jia Shu, Mabel C. Chou, Qizhang Liu, Chung-Piaw Teo , I-Lin Wang (2013), Models for
Effective Deployment and Redistribution of Bicycles within Public Bicycle-Sharing Systems
Rickenberg, Tim A., Gebhardt, Andreas, Breitner, Michael H., A DECISION SUPPORT
SYSTEM FOR THE OPTIMIZATION OF CAR SHARING STATIONS , University of Hannover
Costos parte C
$ 1,182,000 NG
$ 70,000 RdF
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