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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOVICE- RECTORADO DE INVESTIGACION
INSTITUTO DE INVESTIGACION DE LA FACULTAD DEINGENIERIA QUIMICA
INFORME FINAL DEL PROYECTO DE INVESTIGACIONTITULADO
TEXTO " METODOS NUMERICOS UTILIZANDO POLYMATH, MATHCAD Y
MATLAB APLICADOS A INGENIERIA QUIMICA”
PRESENTADO POR
ING. JUAN MEDINA COLLANA
(Del 1 de Marzo del 2010 al 29 de Febrero 2012
Resol. N° 1312-2010 R)
2
ÍNDICE
I. RESUMEN 4II. INTRODUCCIÓN 5III. MARCO TEÓRICO 8IV. MATERIALES Y MÉTODOS 8V. RESULTADOS 9VI. DISCUSIÓN 9VII. REFERENCIALES 10
1. ECUACIONES NO LINEALES 111.1 Método de Newton-Raphson 111.2 Método de la secante 141.3 Método de la bisección 161.4 Método de la regla falsa 191.5 Método de iteración del punto fijo 221.6 Problemas de aplicación a la Ingeniería Química 241.7 Aplicaciones en Ingeniería Química 32
2. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 362.1 Método de newton Raphson 36
2.1.1Aplicación 372.2 Problemas 40
3. INTERPOLACIÓN 443.1 Polinomios de interpolación de newton 45
3.1.1 Interpolación lineal 463.1.2 Interpolación cuadrática 473.1.3 Diferencias finitas divididas 47
3.2 Polinomios de interpolación de Lagrange 483.3 Problemas 50
4. REGRESIÓN 534.1 Regresión lineal 534.2 Regresión polinomial 544.3 Regresión lineal múltiple 554.4 Problemas 57
5. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA 685.1 Diferenciación mediante método Newton 675.2 Diferenciación de Lagrange: datos discretos 67
3
5.3 Problemas 69
6. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 766.1 Método del trapezoide 766.2 Regla de Simpson 77
6.2.1 regla de Simpson 1/3 786.2.2Simphson 3/8 80
6.3 Problemas 81
7. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 857.1 Métodos de Jacobi 857.2 Métodode Gauss – Seidel 877.3 Problemas 88
8. ECUACIONES DIFERENCIALES NUMÉRICAS 918.1 Método de Euler 928.2 Método de Euler modificado 948.3 Métodos de Runge-Kutta (rk) 968.4 Método de diferencias finitas 1008.5 Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden 1018.6 Problemas 103
9. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP) 1109.1 Problemas 110
10. APLICACIONES DE INGENIERÍA QUÍMICA EN
POLYMATH- MATHCAD Y MATLAB 11210.1 Problemas con polymath 11210.2 Problemas con mathcad 12110.3 Problemas con matlab 131
SILABO 147
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I. RESUMEN
La presente Investigación tuvo como propósito la elaboración de un texto
universitario titulado “TEXTO: " METODOS NUMERICOS UTILIZANDO
POLYMATH, MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A INGENIERIA
QUIMICA”
Se trata de un texto básico que se expone brevemente los fundamentos
teóricos, ilustraciones con problemas resueltos y propuestos de
ingeniería química como, equilibrio químico, ecuaciones de estado,
transferencia de calor, cinética química y al final se plantea problemas
resueltos haciendo uso de software de polymath, mathcad y matlab..
Asi mismo en cada capitulo se prantea problemas propuestosaplicados a la ingeniería química .
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II. INTRODUCCIÓN.
El tema de investigación, está referida a la elaboración de un texto
Universitario, cuyo propósito es apoyar en la labor de formación de los
alumnos, en el curso de métodos numéricos aplicada a ingeniería
.Quimica en la universidad Nacional del Callao facultad de Ingeniería
Química.
Durante mi experiencia en la docencia, en el intento de encontrar textos
necesarios para el dictado del curso de métodos numéricos , se ha
podido constatar que existe poca bibliografía en nuestro medio haciendo
uso de mathcad, polymath y matlab en un solo texto, mediante ste
trabajo se ha desarrrollado problemas aplicados a la ingeniería química
haciendo uso de una técnica numérica, al mismo timpo se ha resuelto
problemas con el software mathcad, polymath y mathcad, que se vienen
usando con mayor intesnsidad en los últimos años a nivel de ingeniería.
En este trabajo se ha resaltado el capitulo de ecuaciones no lineales y
ecuaciones diferenciales puesto que gran parte de los modelos de
ingenieira química se encuentran en esta area.
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2.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INVESTIGACION
A. DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DEL TEMAEl presente trabajo de investigación es una propuesta para la
elaboración de un texto Universitario titulado:
TEXTO: “METODOS NUMERICOS UTILIZANDO POLYMATH,MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A LA INGENIERIA QUIMICA.”
Dirigido a estudiantes de pre – grado de Ingeniería Química y
otras especialidades afines, que presente de una manera didáctica los
principios fundamentales y el uso adecuado de los software de polymath,
mathcad y matlab, lo que permitirá cumplir con los propósitos de una
adecuada enseñanza y formación profesional.
El texto contendrá una base de teoría apropiada y práctica que van
a permitir desarrollar criterios y habilidades, que resultara muy valioso
para los propósitos de este texto.
B. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
¿Como elaborar un TEXTO: “METODOS NUMERICOSUTILIZANDO POLYMATH, MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A LAINGENIERIA QUIMICA.”, que oriente adecuadamente a los estudiantes
de Ingeniería Química?
2.2 OBJETIVO Y ALCANCE DE LA INVESTIGACION
2.2.1 OBJETIVO GENERALDesarrollar un TEXTO: “METODOS NUMERICOS UTILIZANDOPOLYMATH, MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A LA INGENIERIAQUIMICA.”
7
2.2.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS
1. Recopilar Información básica y actualizada, necesaria para iniciar
el desarrollo del texto.
2. Analizar y procesar la información para iniciar el desarrollo del
texto.
3. Desarrollar los capítulos del texto referido a los fundamentos
teóricos.
4. Desarrollar los capítulos del texto referido a las aplicaciones
prácticas aplicada la ingeniería química
5. Desarrollar los capítulos del texto referido a las aplicaciones
prácticas aplicada la ingeniería química haciendo uso del uso
polymath , mathcad y matlab
2.3. ALCANCE DE LA INVESTIGACIONEl presente trabajo de investigación de acuerdo a la naturaleza del
problema se puede manifestar que es una investigación básica y
Aplicada, dado los modelos planteados para la solución numérica
proviene de fenómenos químicos, cuya solución analítica sería
demasiada compleja.
El aporte del trabajo de investigación estará orientado al sector
académico conformado por los profesores, estudiantes y egresados de
la Facultad de ingeniería química de la Universidad Nacional del Callao y
otras Universidades del país. Por otro lado, este texto también podría ser
utilizado por estudiantes de especialidades afines tales como ingeniería
de Alimentos, ingeniería ambiental e ingeniería Industrial.
2.4. IMPORTANCIA Y JUSTIFICACION DE LA INVESTIGACION
2.4.1 IMPORTANCIAAl desarrollar el texto propuesto se facilitará el proceso de
enseñanza – aprendizaje en la formación profesional del estudiante
universitario a nivel de pre-grado y pueda facilitar los cálculos
laboriosos de ingeniería haciendo uso de software.
2.4.2 JUSTIFICACION
8
La contribución del presente trabajo estará orientada a la preparación y
el entrenamiento de los alumnos de ingeniería química en el curso de
Métodos numéricos, adquiriendo fundamentos teóricos y la parte
práctica que consiste en efectuar cálculos de balances de materia,
energía, termodinámica, reacciones química, transferencia de calor
entre otros.
III. MARCO TEÓRICOEn la presente investigación se ha incorporado la teoría resumida y
simplificada para nueve capítulos del presente texto.
Así por ejemplo, en el capítulo I se hace referencia a los diferentes
métodos de solución de ecuaciones no lineales con sus respectivos
ejemplos y problemas.
En el capítulo III , se hace referencia de las técnicas de
interpolación , resaltando el método de diferencias por newton .
Asimismo en el capítulo VIII de ecuaciones diferenciales , se hace
referencia de los diferentes ordenes de solución de Runge Kutta y con
sus respectivos ejemplos.
En el capítulo X se presenta problemas resueltos con polymath ,
mathcad y Matlab.
IV. MATERIALES Y MÉTODOSMateriales:
Materiales De oficina
Material bibliográfico
Software Polymath
Software Mathcad
Software Matlab
Material de cómputo e impresión
MétodosLa elaboración del texto, propósito de la investigación le demandó
al suscrito, ordenar la información disponible y complicada en función del
Syllabus propuesto del curso de métodos numéricos .
9
La estructuración del texto responde a la experiencia docente en la
Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional del Callao.
Para la elaboración del texto, se tuvo cuidado en recurrir a la
síntesis de los aspectos teóricos, selección de los problemas de
ingeneiria química, elaboración de los programas en matnab, asi como
revisión de tutoriales de mathcad.
En cuando al planteamiento de problemas, se quiere plasmar la
experiencia con el dictado del curso, que me ha permitido revisar una
extensa bibliografía sobre la materia, así como volcar en el texto los
resultados de mi ejercicio profesional en el campo de Ingeniería Química
para satisfacer el propósito de la investigación.
V. RESULTADOSEl resultado de la presente investigación es la elaboración de un
texto universitario titulado: TEXTO: “METODOS NUMERICOSUTILIZANDO POLYMATH, MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A LAINGENIERIA QUIMICA.”, , el cual se adjunta al presente. El texto
contiene 9 capítulos. La teoría desarrollada en el texto, responde a los
aspectos básicos de métodos numericos. Los problemas resueltos en el
texto, tienen el propósito de dar las pautas de la aplicación de la teoría
desarrollada.
Se ha logrado un texto base para el curso de métodos numéricos
necesario en la formación universitaria del estudiante de Ingeniería
Química.
VI. DISCUSIÓNEl texto universitario titulado ““METODOS NUMERICOS UTILIZANDOPOLYMATH, MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A LA INGENIERIAQUIMICA.”, aplicados a la Ingeniería Química, que es el resultado de la
investigación a que se refiere el presente informe, se caracteriza por
presentar la metodología de calculo de los modelos . Los problemas
resueltos y planteados han sido seleccionados con la intención de
10
brindar una mayor claridad a los alumnos y puedan entender los
fundamentos teóricos tratados.
Los textos de METODOS NUMERICOS contienen demasiada
información, muchas veces muy detallado, sin conexión directa con
aplicación inmediata.
Por eso, el presente texto va a tratar de desenvolver el contenido
de tal manera que cada capítulo describa en forma precisa y concreta la
teoría y los problemas de aplicación. Sin embargo, y por ende no
sustituye el uso de la bibliografía de la especialidad, a la que deberá
referirse necesariamente quienes pretendan profundizar en conocimientos
de temas específicos.
VII. REFERENCIALES
Existen textos que se ocupan de los métodos numéricos en general
entre los cuales tenemos
1. A. Constantinides and N. Mosotoufi, Numerical Methods for Chemical
Engineers with MATLAB Applications Prentice Hall , Upper Saddle River,
1999.
2. Burden, R. Y Faires J. Análisis Numérico. Edit. Iberoamericana, México,
1985.
3. Carnahan, B. Luther, A. Wilkes Cálculo Numérico, Aplicaciones Editorial
Rueda, Madrid, 1979
4. Carrasco Venegas Luis . Métodos Numéricos aplicados a la ingeniera
5. Nieves, A., Domínguez, F. Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
Química Edit. CECSA, México 1985.
6. Nakamura, S. Métodos Numéricos aplicados con software. Edit.
Prentice – Hall Hispano Americano, S.A. México, 1992.
7. S.C. Chapra y R. P. Canale,. Métodos Numéricos para Ingenieros.
McGraw Hill, México,1999
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1.ECUACIONES NO LINEALESLos métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales suelen ser
métodos iterativos que producen una sucesión de valores aproximados de la
solución, que se espera, que converja a la raíz de la ecuación. Estos
métodos van calculando las sucesivas aproximaciones en base a los
anteriores, a partir de una o varias aproximaciones iníciales.. Para saber que
método debemos aplicar, hay que tener en cuenta la capacidad de separar
raíces cercanas, confiabilidad en el alcance de soluciones evitando errores
numéricos graves y orden de convergencia. Uno de los problemas que
con mayor frecuencia aparece en la ciencia y en la ingeniería es hallar
las raíces de una ecuación no lineal de la forma f(x) = 0. Estudiaremos
Métodos Iterativos para determinar aproximaciones a raíces reales simples
de la ecuación no lineal f(x) = 0.
1.1 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSONEste método, es uno de los más usados, a diferencia de los otros métodos,
el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa
su fórmula en un proceso iterativo.
Supongamos que tenemos la aproximación ixa la raíz rx de ( )f x ,
Figura Nº 1: Demostración método de newton
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Trazamos la recta tangente a la curva en el punto , ( )i ix f x ; ésta cruza al
eje x en un punto 1ix que será nuestra siguiente aproximación a la raíz rx .
Para calcular el punto 1ix , calculamos primero la ecuación de la recta
tangente. Sabemos que tiene pendiente
im f x
Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
i i iy f x f x x x
Hacemos 0y :
i i if x f x x x
Y despejamos x :
ii
i
f xx x
x x
Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximación:
1
ii i
i
f xx x
f x
, si 0if x
Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde
nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna
garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen
ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice
que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la
raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los
métodos preferidos por excelencia.
También observe que en el caso de que 0if x , el método no se puede
aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta
tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ningún punto, a
menos que coincida con éste, en cuyo caso ix mismo es una raíz de ( )!if x
EjemploUsar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de
( ) lnxf x e x , comenzando con 0 1x y hasta que 1%a .
13
Solución
En este caso, tenemos que
1( ) xf x e
x
De aquí tenemos que:
Iniciamos con y obtenemos:
En este caso, el error aproximado es,
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se
pidió.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Tabla Nº1
Aproximación de la raíz y porcentaje de error
Aprox. a la raíz Error aprox.
1
1.268941421 21.19%
1.309108403 3.06%
1.309799389 0.052%
De lo cual concluimos que la aproximación obtenida es:
10 x
13
Solución
En este caso, tenemos que
1( ) xf x e
x
De aquí tenemos que:
Iniciamos con y obtenemos:
En este caso, el error aproximado es,
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se
pidió.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Tabla Nº1
Aproximación de la raíz y porcentaje de error
Aprox. a la raíz Error aprox.
1
1.268941421 21.19%
1.309108403 3.06%
1.309799389 0.052%
De lo cual concluimos que la aproximación obtenida es:
13
Solución
En este caso, tenemos que
1( ) xf x e
x
De aquí tenemos que:
Iniciamos con y obtenemos:
En este caso, el error aproximado es,
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se
pidió.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Tabla Nº1
Aproximación de la raíz y porcentaje de error
Aprox. a la raíz Error aprox.
1
1.268941421 21.19%
1.309108403 3.06%
1.309799389 0.052%
De lo cual concluimos que la aproximación obtenida es:
14
1.2 MÉTODO DE LA SECANTE
Uno de los objetivos de este método es eliminar el problema de la derivada
de la función, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos y
químicos, cuya derivada es muy compleja
El método de la secante es muy similar al de Newton con la diferencia
principal que en este método de la secante no requiere de la derivada.
Este método funciona por medio de dos puntos sobre el eje x, es decir un
intervalo (xi-1,xi), los cuales se evalúan en la función para sacar los puntos
correspondientes en el eje de la y, los puntos a obtener son f(xi-1) y f(xi), por
lo que las coordenadas de los puntos que interceptan a la función son (xi-
1,f(xi-1)) y el (xi ,f(xi)).
Se debe considerar que los puntos xi-1 y xi deben de contener a la raíz, por lo
que el punto xi-1 debe estar a la izquierda y el punto xi a la derecha de la
raíz.
Estos dos puntos que interceptan a la función, se unen por medio de una
recta, la cual al cruzar el eje de la x, genera el siguiente punto de
acercamiento xi+1 , el cual quedara ubicado entre el intervalo propuesto,
como se muestra en la Figura.
El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método
de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una
aproximación de acuerdo con la expresión:
Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo
de la derivada usando la siguiente aproximación:
1
1
i ii
i i
f x f xf x
x x
(Recuérdese la solución numérica al problema del cuerpo en caída libre).
Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson, obtenemos:
1
1
1
i ii i i
i ii
i i
f x f xx x x
f x f xf x
x x
15
Ejemplo
Usar el método de la secante para aproximar la raíz de 2xf x e x ,
comenzando con 0 0x , 0 1x y hasta que 1%a .
Solución
Tenemos que 0 1f x y 1 0, 632120558f x , que sustituimos en la fórmula
de la secante para calcular la aproximación 2x :
Con un error aproximado de:
Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Tabla Nº2
Aproximación de la raíz y porcentaje de error
Aprox. a la raíz Error
aprox.
0
1 100%
0.612699837 63.2%
0.653442133 6.23%
0.652917265 0.08%
De lo cual concluimos que la aproximación a la raíz es:
4 0,652917265x
15
Ejemplo
Usar el método de la secante para aproximar la raíz de 2xf x e x ,
comenzando con 0 0x , 0 1x y hasta que 1%a .
Solución
Tenemos que 0 1f x y 1 0, 632120558f x , que sustituimos en la fórmula
de la secante para calcular la aproximación 2x :
Con un error aproximado de:
Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Tabla Nº2
Aproximación de la raíz y porcentaje de error
Aprox. a la raíz Error
aprox.
0
1 100%
0.612699837 63.2%
0.653442133 6.23%
0.652917265 0.08%
De lo cual concluimos que la aproximación a la raíz es:
4 0,652917265x
15
Ejemplo
Usar el método de la secante para aproximar la raíz de 2xf x e x ,
comenzando con 0 0x , 0 1x y hasta que 1%a .
Solución
Tenemos que 0 1f x y 1 0, 632120558f x , que sustituimos en la fórmula
de la secante para calcular la aproximación 2x :
Con un error aproximado de:
Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Tabla Nº2
Aproximación de la raíz y porcentaje de error
Aprox. a la raíz Error
aprox.
0
1 100%
0.612699837 63.2%
0.653442133 6.23%
0.652917265 0.08%
De lo cual concluimos que la aproximación a la raíz es:
4 0,652917265x
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1.3 MÉTODO DE LA BISECCIÓN
Este método es basado en el teorema de Bolzano, que establece que si una
función continua cambia de signo en el intervalo (a,b), es decir, f(a)f(b)<0,
entonces, existe al menos una raíz α, α(a,b).
El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo:
El método de bisección sigue los siguientes pasos:
Sea f x continua,
i) Encontrar valores iniciales ,a bx x tales que af x y bf x tienen
signos opuestos, es decir,
0a bf x f x
ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio
entre ya bx x :
2a b
r
x xx
iii) Evaluar rf x . Forzosamente debemos caer en uno de los
siguientes casos:
0a rf x f x
En este caso, tenemos que af x y rf x tienen signos
opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo ,a bx x
0a rf x f x
En este caso, tenemos que af x y rf x tienen el mismo
signo, y de aquí que rf x y bf x tienen signos opuestos. Por
lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo ,r bx x .
0a rf x f x
En este caso se tiene que 0rf x y por lo tanto ya localizamos
la raíz.
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
17
a s
es decir,
100%actual previas
actual
x x
x
Ejemplo
Aproximar la raíz de lnxf x e x hasta que 1%a .
Solución
Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz
de f x se localiza en el intervalo 1,1,5 . Así que este intervalo es
nuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el método de
bisección debemos checar que 1f y 1,5f tengan signos opuestos.
En efecto, tenemos que
1 11 ln1f e e
mientras que
1.51,5 ln(1,5) 0,18233 0f e
Cabe mencionar que la función f x sí es continua en el intervalo 1,1,5 .
Asípues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el
método de bisección. Comenzamos:
i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera
aproximación a la raíz):
1
1 1,51, 25
2rx
ii) Evaluamos 1,251, 25 ln(1, 25) 0, 0636 0f e
iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz,
hacemos la siguiente tabla:
Por lo tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 1.25,1.5 .
18
En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error
aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así,
repetimos el proceso con el nuevo intervalo 1.25,1.5 .
Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):
2
1, 25 1,51,375
2rx
Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya
con la aproximación actual y la aproximación previa:
Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.
Evaluamos 1,3751,375 ln(1,375) 0,06561 0f e , y hacemos la tabla:
Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 1.25,1.375 .
Calculamos el punto medio,
Y calculamos el nuevo error aproximado:
Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:
Tabla Nº3
Aproximación de la raíz y porcentaje de errorAprox. a la raíz Error aprox.
1.25
1.375 9.09%
1.3125 4.76%
1.28125 2.43%
1.296875 1.20%
1.3046875 0.59%
18
En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error
aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así,
repetimos el proceso con el nuevo intervalo 1.25,1.5 .
Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):
2
1, 25 1,51,375
2rx
Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya
con la aproximación actual y la aproximación previa:
Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.
Evaluamos 1,3751,375 ln(1,375) 0,06561 0f e , y hacemos la tabla:
Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 1.25,1.375 .
Calculamos el punto medio,
Y calculamos el nuevo error aproximado:
Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:
Tabla Nº3
Aproximación de la raíz y porcentaje de errorAprox. a la raíz Error aprox.
1.25
1.375 9.09%
1.3125 4.76%
1.28125 2.43%
1.296875 1.20%
1.3046875 0.59%
18
En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error
aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así,
repetimos el proceso con el nuevo intervalo 1.25,1.5 .
Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):
2
1, 25 1,51,375
2rx
Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya
con la aproximación actual y la aproximación previa:
Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.
Evaluamos 1,3751,375 ln(1,375) 0,06561 0f e , y hacemos la tabla:
Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 1.25,1.375 .
Calculamos el punto medio,
Y calculamos el nuevo error aproximado:
Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:
Tabla Nº3
Aproximación de la raíz y porcentaje de errorAprox. a la raíz Error aprox.
1.25
1.375 9.09%
1.3125 4.76%
1.28125 2.43%
1.296875 1.20%
1.3046875 0.59%
19
1.4 MÉTODO DE LA REGLA FALSA
Como mencionamos anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una
ecuación está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo.
Consideremos nuevamente una gráfica Como la anterior,
Figura Nº2: Demostración de el método regla falsa
Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la
gráfica en el intervalo ,a b .
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos
el punto donde cruza al ejexesta recta, nos aproximaremos mucho más
rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y
ésta es realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que
en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.
Supongamos que tenemos una función ( )f x que es continua en el intervalo
,a bx x y además, ( )af x y ( )bf x tienen signos opuestos.
Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos
, , ,a a b bx f x x f x . Sabemos que la pendiente de esta recta está dada
por:
Por lo tanto la ecuación de la recta es:
19
1.4 MÉTODO DE LA REGLA FALSA
Como mencionamos anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una
ecuación está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo.
Consideremos nuevamente una gráfica Como la anterior,
Figura Nº2: Demostración de el método regla falsa
Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la
gráfica en el intervalo ,a b .
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos
el punto donde cruza al ejexesta recta, nos aproximaremos mucho más
rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y
ésta es realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que
en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.
Supongamos que tenemos una función ( )f x que es continua en el intervalo
,a bx x y además, ( )af x y ( )bf x tienen signos opuestos.
Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos
, , ,a a b bx f x x f x . Sabemos que la pendiente de esta recta está dada
por:
Por lo tanto la ecuación de la recta es:
19
1.4 MÉTODO DE LA REGLA FALSA
Como mencionamos anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una
ecuación está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo.
Consideremos nuevamente una gráfica Como la anterior,
Figura Nº2: Demostración de el método regla falsa
Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la
gráfica en el intervalo ,a b .
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos
el punto donde cruza al ejexesta recta, nos aproximaremos mucho más
rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y
ésta es realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que
en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.
Supongamos que tenemos una función ( )f x que es continua en el intervalo
,a bx x y además, ( )af x y ( )bf x tienen signos opuestos.
Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos
, , ,a a b bx f x x f x . Sabemos que la pendiente de esta recta está dada
por:
Por lo tanto la ecuación de la recta es:
20
Para obtener el cruce con el ejex, hacemosy = 0:
Multiplicando por b ax x nos da:
Finalmente, de aquí despejamos :
Este punto es el que toma el papel de xr en lugar del punto medio del
método de bisección.
Así pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos:
Sea f x continua,
i) Encontrar valores iníciales ax , bx tales que af x y bf x tienen
signos opuestos, es decir,
0a bf x f x
ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual a:
a b ar a
b a
f x x xx x
f x f x
iii) Evaluar rf x . Forzosamente debemos caer en uno de los
siguientes casos:
0a rf x f x
En este caso, tenemos que af x y rf x tienen signos opuestos, y por lo
tanto la raíz se encuentra en el intervalo ,a rx x .
0a rf x f x
En este caso, tenemos que af x y rf x tienen el mismo signo, y de aquí
que rf x y bf x tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra
en el intervalo ,r bx x .
0a rf x f x
En este caso se tiene que 0rf x y por lo tanto ya localizamos la raíz.
20
Para obtener el cruce con el ejex, hacemosy = 0:
Multiplicando por b ax x nos da:
Finalmente, de aquí despejamos :
Este punto es el que toma el papel de xr en lugar del punto medio del
método de bisección.
Así pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos:
Sea f x continua,
i) Encontrar valores iníciales ax , bx tales que af x y bf x tienen
signos opuestos, es decir,
0a bf x f x
ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual a:
a b ar a
b a
f x x xx x
f x f x
iii) Evaluar rf x . Forzosamente debemos caer en uno de los
siguientes casos:
0a rf x f x
En este caso, tenemos que af x y rf x tienen signos opuestos, y por lo
tanto la raíz se encuentra en el intervalo ,a rx x .
0a rf x f x
En este caso, tenemos que af x y rf x tienen el mismo signo, y de aquí
que rf x y bf x tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra
en el intervalo ,r bx x .
0a rf x f x
En este caso se tiene que 0rf x y por lo tanto ya localizamos la raíz.
x
20
Para obtener el cruce con el ejex, hacemosy = 0:
Multiplicando por b ax x nos da:
Finalmente, de aquí despejamos :
Este punto es el que toma el papel de xr en lugar del punto medio del
método de bisección.
Así pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos:
Sea f x continua,
i) Encontrar valores iníciales ax , bx tales que af x y bf x tienen
signos opuestos, es decir,
0a bf x f x
ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual a:
a b ar a
b a
f x x xx x
f x f x
iii) Evaluar rf x . Forzosamente debemos caer en uno de los
siguientes casos:
0a rf x f x
En este caso, tenemos que af x y rf x tienen signos opuestos, y por lo
tanto la raíz se encuentra en el intervalo ,a rx x .
0a rf x f x
En este caso, tenemos que af x y rf x tienen el mismo signo, y de aquí
que rf x y bf x tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra
en el intervalo ,r bx x .
0a rf x f x
En este caso se tiene que 0rf x y por lo tanto ya localizamos la raíz.
21
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
a s
Ejemplo
Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de lnxf x e x ,
comenzando en el intervalo 1,2 y hasta que 1%ae .
Solución
Este es el mismo ejemplo 1 del método de la bisección. Así pues, ya
sabemos que f x es continua en el intervalo dado y que toma signos
opuestos en los extremos de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el
método de la regla falsa.
Calculamos la primera aproximación:
Puesto que solamente tenemos una aproximación, debemos seguir con el
proceso.
Así pues, evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos:
De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo .
Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximación:
En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso.
Evaluamos 2 1,321130513 0,011654346 0rf x f , y hacemos la tabla
de signos:
21
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
a s
Ejemplo
Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de lnxf x e x ,
comenzando en el intervalo 1,2 y hasta que 1%ae .
Solución
Este es el mismo ejemplo 1 del método de la bisección. Así pues, ya
sabemos que f x es continua en el intervalo dado y que toma signos
opuestos en los extremos de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el
método de la regla falsa.
Calculamos la primera aproximación:
Puesto que solamente tenemos una aproximación, debemos seguir con el
proceso.
Así pues, evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos:
De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo .
Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximación:
En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso.
Evaluamos 2 1,321130513 0,011654346 0rf x f , y hacemos la tabla
de signos:
397410482.1,1
21
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
a s
Ejemplo
Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de lnxf x e x ,
comenzando en el intervalo 1,2 y hasta que 1%ae .
Solución
Este es el mismo ejemplo 1 del método de la bisección. Así pues, ya
sabemos que f x es continua en el intervalo dado y que toma signos
opuestos en los extremos de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el
método de la regla falsa.
Calculamos la primera aproximación:
Puesto que solamente tenemos una aproximación, debemos seguir con el
proceso.
Así pues, evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos:
De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo .
Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximación:
En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso.
Evaluamos 2 1,321130513 0,011654346 0rf x f , y hacemos la tabla
de signos:
397410482.1,1
22
De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 1,1.321130513 , con
el cual, podemos calcular la nueva aproximación:
Y el error aproximado:
Como se ha cumplido el objetivo, concluimos que la aproximación buscada
es:
3 1, 311269556rx
Observe la rapidez con la cual converge el método de la regla falsa a la raíz,
a diferencia de la lentitud del método de la bisección.
1.5 MÉTODO DE ITERACIÓN DEL PUNTO FIJOEste método se aplica para resolver ecuaciones de la forma
( )x g x
Si la ecuación es ( ) 0f x , entonces puede despejarse x ó bien sumar x
en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.
EjemploUsar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de
, comenzando con y hasta que .
SoluciónSi despejamos la xdel término lineal, vemos que la ecuación equivale a
de donde,
22
De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 1,1.321130513 , con
el cual, podemos calcular la nueva aproximación:
Y el error aproximado:
Como se ha cumplido el objetivo, concluimos que la aproximación buscada
es:
3 1, 311269556rx
Observe la rapidez con la cual converge el método de la regla falsa a la raíz,
a diferencia de la lentitud del método de la bisección.
1.5 MÉTODO DE ITERACIÓN DEL PUNTO FIJOEste método se aplica para resolver ecuaciones de la forma
( )x g x
Si la ecuación es ( ) 0f x , entonces puede despejarse x ó bien sumar x
en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.
EjemploUsar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de
, comenzando con y hasta que .
SoluciónSi despejamos la xdel término lineal, vemos que la ecuación equivale a
de donde,
22
De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 1,1.321130513 , con
el cual, podemos calcular la nueva aproximación:
Y el error aproximado:
Como se ha cumplido el objetivo, concluimos que la aproximación buscada
es:
3 1, 311269556rx
Observe la rapidez con la cual converge el método de la regla falsa a la raíz,
a diferencia de la lentitud del método de la bisección.
1.5 MÉTODO DE ITERACIÓN DEL PUNTO FIJOEste método se aplica para resolver ecuaciones de la forma
( )x g x
Si la ecuación es ( ) 0f x , entonces puede despejarse x ó bien sumar x
en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.
EjemploUsar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de
, comenzando con y hasta que .
SoluciónSi despejamos la xdel término lineal, vemos que la ecuación equivale a
de donde,
23
En este caso, tenemos que .
( ) 1g x , para 1,1x lo que es suficiente para deducir que el método sí
converge a la raíz buscada.
Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:
1 0( ) 0, 2x g x
Con un error aproximado del 100%.
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:
2 1( ) 0,1557461506x g x
Con un error aproximado igual al 28.41%.
En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el
error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Tabla Nº4Aproximación de la raíz y porcentaje de error
Aprox. a la raíz Error aprox.
0
-0.2 100%
-0.1557461506 28.41%
-0.1663039075 6.34%
-0.163826372 1.51%
-0.164410064 0.35%
De donde vemos que la aproximación buscada es:
5 0,164410064x
Use el método de punto fijo para resolver 2( ) 2 3f x x x en el
intervalode : x=-1 y x=3
2( ) 2 3f x x x
2 3x x 2( ) 3g x x
23
En este caso, tenemos que .
( ) 1g x , para 1,1x lo que es suficiente para deducir que el método sí
converge a la raíz buscada.
Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:
1 0( ) 0, 2x g x
Con un error aproximado del 100%.
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:
2 1( ) 0,1557461506x g x
Con un error aproximado igual al 28.41%.
En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el
error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Tabla Nº4Aproximación de la raíz y porcentaje de error
Aprox. a la raíz Error aprox.
0
-0.2 100%
-0.1557461506 28.41%
-0.1663039075 6.34%
-0.163826372 1.51%
-0.164410064 0.35%
De donde vemos que la aproximación buscada es:
5 0,164410064x
Use el método de punto fijo para resolver 2( ) 2 3f x x x en el
intervalode : x=-1 y x=3
2( ) 2 3f x x x
2 3x x 2( ) 3g x x
23
En este caso, tenemos que .
( ) 1g x , para 1,1x lo que es suficiente para deducir que el método sí
converge a la raíz buscada.
Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:
1 0( ) 0, 2x g x
Con un error aproximado del 100%.
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:
2 1( ) 0,1557461506x g x
Con un error aproximado igual al 28.41%.
En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el
error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Tabla Nº4Aproximación de la raíz y porcentaje de error
Aprox. a la raíz Error aprox.
0
-0.2 100%
-0.1557461506 28.41%
-0.1663039075 6.34%
-0.163826372 1.51%
-0.164410064 0.35%
De donde vemos que la aproximación buscada es:
5 0,164410064x
Use el método de punto fijo para resolver 2( ) 2 3f x x x en el
intervalode : x=-1 y x=3
2( ) 2 3f x x x
2 3x x 2( ) 3g x x
24
3
2x
x
3
( )2
g xx
2 3
2
xx
2 3( )
2
xg x
2 3x x x 2( ) 3g x x x
1.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN A LA INGENIERÍA QUÍMICA
1. A un reactor ingresa una mezcla de gases de 8% de dióxido de azufre y el
12% de oxigeno y 80% de nitrógeno, y se desarrolla la siguiente
reacción.
2( ) 2( ) 3( )
1
2g g gSO O SO
Calcular la composición en el equilibrio a presión constante de 2 atm y la
constante de equilibrio KP es de 160.atm1/2
Solución :
Asumiendo 100 moles de mezcla
SO2 = 8 moles
O2 = 12 moles
SO3 = 0
N2 = 80 moles
Moles enl equilibrio
SO2 = 8 - x
O2 = 12 - 0,5x
SO3= x
Moles totales = 100 - 0,5x
Luego hallamos el Kp
2 2
3
31/ 2
1/ 2 1/ 22 2
( ) ( )100 0.5
( ) 8 12 0.5( ) ( ) ( ) ( )100 0.5 100 0.5
SO
SO O
nSO xPtP nt xKp
nSO nOP x P x xPt Pt Ptnt nt x x
Para Kp=160 y Pt=2atm
La ecuación queda de la siguiente manera:
25
0.5
0.5
(100 0.5 )( ) 160
(8 )(12 0.5 ) 2
x xf x
x x
Utilizando el método de la bisección y tomando como referencia los
valores de : X1=7,87 y X2=7,88
Siguiendo el proceso iterativo se tiene los siguientes valores:
Tabla Nº5
Aproximación de la raízX1 F(x1) X2 F(x2) x F x
7.87 12.604 1.88 -0.3001 7.875 6.2314
7.875 6.2314 7.88 --0.3001 7.8775 3.0323
7.8775 3.0323 7.88 -0.3001 7.87875 1.3833
7.87875 1.3833 7.88 -0.3001 7.879375 0.5460
Entonces X=7.878375 moles
La composición en el equilibrio seria
Moles SO2 = 0.120625
Moles O2 = 8.0606125
Moles SO3 = 7.879375
2. La ecuación de estado Redlich- Kwong es :
( ). ( )
ap V b RT
T V V b
Donde a = 17,19344 y b = 0,0221141 para el oxigeno molecular si T
= 373 K y P= 30 atm
Calcular el volumen molar por el método de la secante
Solución:
Utilizando como referencia la ecuación del gas ideal para obtener el
primer valor
26
0,082 3731.0195
30
RTV
P
Tomando dos valores
Xi-1 = 1 ; f(Xi-1 ) = -0,3977
Xi =1,5 ; f(Xi) = 14,3268
Remplazando en la ecuación
14,3268(1,5 1)( 1) 1,5
14,3268 ( 0,3977)
( 1) 1,0135
( 1) 305520 3
X i
X i
f Xi E
Haciendo ahora :
X(i-1)=1,5 y X(i)=1,0135
Remplazando3
3
3,5520 10 (1,0135 1,5)( 1) 1,0135 1,0136
3,5520 10 14,3268X i
( 1) 1,0136X i
4
( 1) 1.0136
1.0136 1.01351 10
X i V L
E
3. Determinar volumen molar del oxigeno mediante la ecuación del VAN
DER WAALS
2
aP V b RT
V
P = 100 Atm.,
T = 700 K para un gas que tiene a = 1,36 b = 0,0318
2 2
3 2 2
3 2 2
3 2 2
3 2
2
0
100 3,18 57, 4 1.36 0,043248
100 60,58 1,36 0,043248
' 300 121,16 1,36
PV a V b V RT
PV aV PV b ab V RT
PV PV b V RT ab aV
f V V V V V
f V V V V
f V V V
27
Método de Newton Raspón de Primer Orden
1 0
1
1
'
0,1222480,58
32,0072
0,5838
f vv v
f v
v
v
Tabla Nº6
Aproximación de la raíz y error
Vi f(V) f'(V) Vi+1 E
0.5740 -0.3100 30.6560 0.5841 0.0101
0.5841 0.0115 32.9470 0.5837 3.5 x 10-4
0.5837 1.4 x 10-5 32.8670 0.5837 4.2 x 10-7
0.5837 2.0 x 10-11 32.8670 0.5837 6.0 x 10-13
0.5837 -1.0 x 10-13 32.8670 0.5837 3.0 x 10-15
El volumen seria: V=0.5837mol/L
4. Un gas se encuentra a una presión absoluta de 13.76 bar y una
temperatura de 333 K. Encontrar el volumen molar ocupa el gas
empleando la ecuación de estado de Redlich-Kwong.
1 / 2 ( )
RT aP
V b T V V b
Para este compuesto las constantes son:
P = 13.76 atm
T = 333ºk
a = 1.5614 x 108 (cm6 bar/(g mol)2 k1/2)
b = 44.897 (cm3/ g mol)
R = 83.4 (cm3 bar /g mol k)
SoluciónDespejando la ecuación Nº 1
Tenemos:
28
3 2 21/2 1/2
0A ab
PV RTV V Pb RTbT T
Reemplazando:
3 2( ) 13, 76 27685, 62 7300696, 52 384831290, 3F v v v v Aplicando el método de Bisección
Tomamos:
1 2
1 2
370 ; 365
;
x x
f x f x
v f (v)
370 –
365 +
v f (v)
370 –
367.5 +
v f (v)
370 –
368.75 +
v f (v)
369.375 –
368.75 +
22.11674093
5.3672
365370
vf
v
844.313174.2
75.3682
5.367370
vf
v
225.2381900
375.3692
75.368370
vf
v
79984.33146
06025.3692
75.368375.369
vf
v
29
v f (v)
369.0625 –
368.75 +
v f (v)
369.0625 –
368.90625 +
v f (v)
369.0625 –
368.984375 +
v f (v)
369.0625 –
368.0234375 +
v f (v)
369.0625 –
369.0429688 +
v f (v)
369.0625 –
152.1140318
90625.3682
75.3680625.369
vf
v
689.553661
984375.3682
90625.3680625.369
vf
v
4453.260276
0234375.3692
984375.3680625.369
vf
v
1971.113569
0429688.3692
0234375.3690625.369
vf
v
38605.40212
0527344.3692
0429688.3690625.369
vf
v
08997.3533
0576172.3692
0527344.3690625.369
vf
v
30
369.0527344 +
v f (v)
369.0625 –
369.0576172 +
v f (v)
369.0600586 –
369.0576172 +
3
32 1
369, 0588379
2, 4414 10
v cm gmol
E v v
5. El factor de fricción (f) para el flujo turbulento en una tubería está dado
por la correlación de Colebrook:
1 2,540,86 ln
3, 4 Re
D
f f
Donde
Re = es el número de Reynolds (adimensional)
, es la aspereza o rugosidad de la tubería (unidad de longitud)
D, es el diámetro de la tubería (unidad de longitud)
Obtener el factor de fricción para un fluido con un Reynolds de 3E4
que fluye en una tubería con un diámetro de 0,1 m y una rugosidad de
0,0025m.
SoluciónDespejamos la ecuación (1)
1
0,86Re Re 1
2, 51 2, 51 3, 7fR f e
D f
1
0,8611952,19124 80, 75814889 1fR f f e f
78073.14806
0600586.3692
0576172.3690625.369
vf
v
82683.5636
0600586.3692
0576172.3690600586.369
vf
v
31
Utilizando el Método de Bisección
Valores iniciales:
0 0
1 1
0, 05 ( )
0,1 ( )
f F f
f F f
f F (f)
0.05 –
0.10 +
f F (f)
0.05 –
0.075 +
f F (f)
0.05 –
0.0625 +
f F (f)
0.05 –
0.05625 +
f F (f)
0.053125 –
0.05625 +
f F (f)
0.0546875 –
0.05625 +
f F (f)
0.546875 –
0.05546875 +
0.05 0.10.075
2
23.76508585
f
F f
0.05 0.0750.0625
2
7.347809254
f
F f
0.0625 0.050.05625
2
0.8973609056
f
F f
0.05 0.056250.053125
2
1.866717794
f
F f
0.05625 0.0531250.0546875
2
0.5236505211
f
F f
0.05625 0.05468750.05546875
2
0.1771493539
f
F f
0.05546875 0.05468750.055078125
2
0.1756818303
f
F f
32
El factor de fricción es:
0,055078125 0,0546875;0,05546875f en e
Error:
42 1 7,8125 10Error E x x
1.7 APLICACIONES EN INGENIERÍA QUÍMICA
1. En un Proyecto de Ingeniería Química se requiere que se determine
exactamente el volumen molar y factor de comprensibilidad del
amoniaco a una presión de 120 atm y 500 °K mediante la siguiente
ecuación:
2( )
aP V b RT
V
2 227
64 C
R Ta
P
8C
C
RTb
P
Datos:
TC = 405,5 °K PC = 111,3 atm. R = 0,82
2. La concentración c de una bacteria contaminante en un lago decrece
según la expresión:
c(t) = 80e-2t + 20e-0.5t
Siendo t el tiempo en hs. Determinar qué tiempo se necesita para que
el nº de bacterias sea 7. Utilizar un valor inicial t0 =0. (Newton
Raphson)
3. Para el diseño hidrodinámico de un proceso aparece la ecuación
0, 242log( . )R CF
CF
Donde R es numero de Reynolds evaluar el valor de CF para ( R=
106 y R=103)
33
4. Calculo de la presión de vapor
Una de las propiedades de una sustancia pura que más comúnmente
se utiliza en cálculos de Termodinámicas es la presión de vapor o
presión de saturación. Esta se define como la presión a la cual existen
en equilibrio una fase liquida y una fase vapor. Si la presión de vapor
iguala a la presión atmosférica, el líquido entrara en ebullición. Solo
depende de la temperatura. Existen diversas ecuaciones para
calcular. Una de las precisas es la ecuación de Frost-Kalkwarf-
Ln Pvap = A – B/T + ClnT + DPvap/T2
Donde:
A, B, C, D: Constantes empíricas que dependen de cada sustancia.
Calculemos la Pvap del etilbenceno a una temperatura de 347,25 ºK.
Los valores de las constante son: A=58,1, B=6792,54, C=-5,802,
D=5,75. Las unidades de T son ºK y las de Pvap mmHg.
5. En Química aparece una ecuación de la forma 3
32
)1(
1
y
yyyz
.
¿Cuánto vale y si z=0.6789?.
6. Para determinar la constante de nacimientos de una población dada, se
necesita calcular el valor de la constante , (0.1,0.9) de la siguiente
ecuación: )1(10435.0
1010564.16
66
ee , para esto utilice el
método de Newton-Raphson hasta que el error sea del orden del 0.01%
(0.10249)
7. La constante de disociación del agua pura es función de la temperatura
como se muestra a continuación.
Log(Kw) =4470,99
T
+ 6,0875 - 0,01706T
T en K y Kw en M2
34
Calcular La temperatura en °C cuando el pH del agua condensada es
de de 6,2
8. La temperatura media logarítmica de un intercambiador de calor a
contracorriente esta dado por:
3 2 4 1
3 2ln
4 1
T T T TLMTD
T T
T T
Figura Nº 3: Interrcambiadores de calor
Se sabe que este sistema la temperatura media logarítmica debe ser
de 52ªC( LMTD) . El fluido caliente se alimenta al sistema a 100ªC y
sale a 40ªC, mientras que el fluido frió se alimenta a 8ªC ¿A qué
temperatura sale del intercambiador el fluido frió?
9. A un reactor ingresa una mezcla de gases de 8% de dióxido de azufre, y
12 % de oxigeno y la diferencia de nitrógeno, y se desarrolla la siguiente
reacción.
SO2 +1
2O2 SO3
Calcular la composición en equilibrio a presión constante de 2 atm. Y
la constante de equilibrio (Kp) es de 160.
10. La ecuación de estado R-K
TbVV
a
bV
RTP
)(
c
c
P
TRa
2/52
42747.0
35
c
c
P
RTb 8664.0
P = Presión en atm
V = volumen molar en L/g-mol
T = temperature en K
R = gas constant (R = 0.08206 (atm·liter/g-mol·K))
Tc = critical temperature in K
Pc = critical pressure in atm
The compressibility factor is given by:
RT
PVz (4)
Calcule el factor de comprensibilidad y el volumen molar a 50 atm t
500 ºC.11. En un reactor químico ingresaron cierta cantidad de moles con cierta cantidad
de impureza como se indica en la tabla de registro a una Temperatura de400ºC:
Tabla Nº7
Composicion de alimentación al reactor
SUSTANCIA MOLES QUEINGRESARON
Nitrógeno 1663,12 Kmol/hHidrogeno 4990,03 Kmol/hAmoniaco 986,45 Kmol/h
Dióxido de carbono 0,076 Kmol/h
Metano 334,16 Kmol/h
a partir de la ecuación de Larson que proporciona el valor de la constante deequilibrio de la reacción.
4 7 22074,8( ) 2,113 2, 49 ( ) 1, 256 10 1,85 10Log Kp Log T T T
T
Donde T en ªC y Kp en bares
Calcular la composición a 300 ºC y 160 bares
36
2. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Un sistema de ecuaciones no lineales que se expresa como un sistema no
lineal igualando a cero de la forma F(x) =0Este sistema puede presentar
múltiples soluciones matemáticamente posibles y su solución numérica debe
proporcionar la solución físicamente correcta, uno de los métodos es el de
newton Raphson estándar
2.1 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender el uso
de la derivada, ahora para calcular la intersección entre dos
funciones no lineales.
Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en la
expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de múltiples
variables, para considerar la contribución de más de una variable
independiente en la determinación de la raíz.
Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se escribe,
para cada ecuación no lineal:
i i i ii i 1 i i 1 i
i i i ii i 1 i i 1 i
u u u uu x x y y 0
x x y yv v v v
v x x y y 0x x y y
Pero ui+1 = vi+1 = 0 :
i i i ii i 1 i i 1 i
i i i ii i 1 i i 1 i
u u u uu x x y y 0
x x y yv v v v
v x x y y 0x x y y
Que reescribiendo en el orden conveniente:
Y cuya solución es:
i i i ii 1 i 1 i i i
i i i ii 1 i 1 i i i
u u u ux y u x y
x y x yv v v v
x y v x yx y x y
37
i ii i
i 1 i
v uu v
y yx xJ
i ii i
i 1 i
u vv u
x xy yJ
Donde J es el determinante jacobiano del sistema
i i
i i
u vx xJu vy y
2.1.1 APLICACIÓN
1. Se tiene un sistema de 3 reactores continuos tipo tanque en donde se
lleva a cabo la reacción A P operando isotérmicamente
manteniendo los volúmenes constantes. Calcular la concentración de
A en régimen permanente en cada reactor si la reacción es de
segundo orden
Figura Nº4: Sistema de reactores en serie
FA0 = 10L/min., FR = 5L/min. CA0 = 1mol/l.
V1 = 100L, V2 = 50L, V3 = 50L, K = 0,1
RESOLUCIÓN:
A partir de la siguiente ecuación tenemos:
ACUMULACIÓN = ENTRADA-SALIDA-REACCIONA0= ENTRADA-SALIDA-REACCIONA
Las concentraciones en cada reactor son las siguientes:
Primer reactor: CA1
Segundo reactor: CA2
Tercer reactor: CA3
FA0 FRR1 R2R2
38
ECUACIÓN del primer reactor:
5
0
2015
1015510,,
1
1
11
12
133211
dz
df
dy
df
CAdx
df
ACCACACACACAF
ECUACIÓN del segundo reactor:
22 1 2 3 1 1, , 15 10F CA CA CA CA C A
0
1015
15
2
22
2
dz
df
CAdy
dfdx
df
ECUACIÓN del tercer reactor:
33
3
3
32
323213
1015
15
0
51515,
CAdz
df
dy
dfdx
df
ACCACACACACAF
APLICANDO EL METODO DE NEWTON RAPHSON ESTANDARTENDREMOS:
1 1 1
1 2 31 1 2 3
2 2 22 1 2 3
1 2 33 1 2 3
3 3 3
1 2 3
, ,
( , , )
, , ( , , )
( , , )
, ,
df df df
dCA dCA dCAh f CA CA CA
df df dfi f CA CA CA
dCA dCA dCAj f CA CA CA
df df df
dCA dCA dCA
39
Reemplazaremos las derivadas y las funciones en la ecuación matricial
anterior:
32
32
22
21
12
13
3
2
1
51515
51515
1015510
1015150
0101515
502015
ACCACA
ACCACA
CACACA
j
i
h
CA
CA
CA
A partir de estas ecuaciones tenemos:
jCACA
iCACA
hCACA
KK
KK
KK
31
3
21
2
11
1
Para k=0
jCACA
iCACA
hCACA
13
13
02
12
01
11
PRIMERA ITERACIÓN
1.0,3.0,7.0,, 03
02
01 CACACA
Reemplazamos en la matriz:
29 0 5 4,9
15 18 0 5,55
0 15 16 2,95
h
i
j
3945.0
2242.0
1.0
j
i
h
Reemplazamos estos valores en las ecuaciones anteriores
40
4945.03945.01.0
5242.02242.03.03.0
6.01.07.07.0
13
13
02
12
01
11
jCACA
iiCACA
hhCACA
Luego de cinco iteraciones tendremos
Tabla Nº8
Aproximación de la raíz en cada reactor
CA1 CA2 CA3
0.7 0.3 0.1
0.599 0.5242 0.4945
0.5848 0.5012 0.4382
0.5848 0.5009 0.4372
0.5845 0.5009 0.4372
Finalmente las concentraciones en cada reactor serian:
Primer reactor: CA1=0.5845mol/L
Segundo reactor: CA2=0.5009mol/L
Tercer reactor: CA3=0.4372mol/L
2.2 PROBLEMAS
1. La reacción irreversible en fase liquida se lleva a cabo en tres reactores
en serie como se muestra en la figura. El volumen de cada reactor es de
200L y la constante de la velocidad de reacción es de 0,5 l/mol-g min.
A B R
Calcular la concentración a l salida de cada reactor asumiendo un
comportamiento estable.
41
2. A alta temperatura y baja presión H2S y SO2 experimentan las
siguientes reacciones
H2S( g) H2(g) + 1
2S2 (g) Kp1 =0,45atm1/2
H2S( g) + SO2 (g) 2H2O(v) + 3
2S2(g) Kp2 =28,5 atm1/2
La mezcla inicial contiene 45% de H2S( g) 25% de SO2 (g) y gas
inerte nitrógeno con una presión total de 1,2 atm. Calcular las fracciones
molares en equilibrio de todos los componentes
3. Una reacción tiene lugar en una serie de cuatro reactores
continuamente agitados Como se muestra en la Figura. La reacción es
irreversible y de primer orden
BA
Las constantes de velocidad ki y los volúmenes Vi tienen los siguientes
valores en cada reactor
Tabla Nº9
Volumen de cada reactor y su constante de velocidadReactor Vi(L) ki
1 1000 0.1
2 1500 0.2
3 100 0.4
4 500 0.3
R2 R3R1
Q = 6L/min.
CA= 2 mol-g/l
Q = 6L/min.
CA= 2 mol-g/l
42
Se supone:
c0= 2mol/l
El sistema está en estado estacionario.
Figura Nº5: Sistema de reactores en serie
4. Las siguientes reacciones se lleva a cabo en un reactor a 1000°C ypresión de 1 atm.
3 8 2 23 3 7C H H O CO H
3 8 2 2 26 3 10C H H O CO H
A 1000 °C KP1 = 0,13x1012 y KP2 = 0,33X1012
Calcular los moles en equilibrio de cada sustancia para unaalimentación de 1 mol de gas propano y 10 moles de vapor de agua.
5. En una reacción química BA desde un balance de masa y energía seobtuvieron en las siguientes funciones
120X -75K(1-X) =0-X(873-T) + 11(T-300) =0
K = 0,12 exp( 12581 ( T-298/298T)Donde x es la conversión, y T temperatura del sistema, y K constante develocidad en base a esta información determine la conversión, temperaturay la constate de velocidad.
6. Para un sistema binario Liquido – Liquido el modelo de Wilson permiteevaluar el coeficiente de actividad mediante la siguiente ecuación.
Ln( )()()1212
21
2121
12221211 xAx
A
xAx
AxxAxLn
43
Ln( )()()1212
21
2121
12112122 xAx
A
xAx
AxxAxLn
Donde: x 1 , x 2 fracciones molares
1 , 2 coeficientes de actividad
A12 , A21 Parámetros para cada sistema
Evalué los parámetros para el sistema metanol agua
cuando x 1 = 0,2 x 2 = 0,8 1 = 1,2 ; 2 = 1,6
7. La siguiente ecuación muestra el efecto de las variables x e y sobre el costototal para una operación particular:
CT = 2,33x + xy
11900
+ 1,86y + 10
Determine los valores de x e y que den el costo total mínimo
8. En el sistema mostrado se lleva a cabo una reacción irreversible isotérmicade orden 1,8 respecto al reactante con los datos que a continuación seindica, calcular la concentración del reactante en los reactores 1 y 2.
A B
Figura Nº6: Reactores en serie.
F=25 L/min, CA0 = 1mol/L FR =100 L/min K = 0,2 V1 =80L
V2 = 20L.
FA0
R1 R2
FR
F
44
3. INTERPOLACIÓN
Introducción
Se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos partiendo del
conocimiento de un conjunto discreto de puntos.
En ingeniería y otras ciencias es frecuente disponer de un cierto número de
puntos obtenidos por muestreo o experimento y pretender construir una
función que los ajuste.
Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la
aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos
una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto
número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función
más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores
evaluando la función obtenida que si evaluásemos la función original, si bien
dependiendo de las características del problema y del método de
interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error
cometido.
En la grafica se observa diferentes puntos ,
Figura Nº7: Puntos de variables x,y.
44
3. INTERPOLACIÓN
Introducción
Se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos partiendo del
conocimiento de un conjunto discreto de puntos.
En ingeniería y otras ciencias es frecuente disponer de un cierto número de
puntos obtenidos por muestreo o experimento y pretender construir una
función que los ajuste.
Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la
aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos
una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto
número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función
más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores
evaluando la función obtenida que si evaluásemos la función original, si bien
dependiendo de las características del problema y del método de
interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error
cometido.
En la grafica se observa diferentes puntos ,
Figura Nº7: Puntos de variables x,y.
44
3. INTERPOLACIÓN
Introducción
Se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos partiendo del
conocimiento de un conjunto discreto de puntos.
En ingeniería y otras ciencias es frecuente disponer de un cierto número de
puntos obtenidos por muestreo o experimento y pretender construir una
función que los ajuste.
Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la
aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos
una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto
número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función
más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores
evaluando la función obtenida que si evaluásemos la función original, si bien
dependiendo de las características del problema y del método de
interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error
cometido.
En la grafica se observa diferentes puntos ,
Figura Nº7: Puntos de variables x,y.
45
3.1. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE NEWTONUno de estas formas de interpolación se denomina Polinomios de
Interpolación de Newton, que trabaja directamente en la tabla obtenida
mediante el proceso de Diferencias Divididas;
3.1.1 Interpolación LinealLa forma más simple de interpolar es la de conectar dos puntos con una
línea recta. Este método, llamado interpolación lineal, se muestra en la
figura
Figura Nº8: Interpolación lineal
Usando triángulos semejantes, se tiene:
0 1 0
0 1 0
1( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x
x x x x
que se puede reordenar como :
1 00 0
0
( ) ( )1( ) ( ) ( )
f x f xf x f x x x
x x
La cual es una fórmula de interpolación lineal. La notación f 1(X) indica
que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que
además de representar la pendiente de la linera que conecta los dos
puntos, el termino
46
1 0
1 0
( ) ( )f x f x
x x
Es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada.
En general, entre más pequeño sea el intervalo entre dos puntos, más
exacta será la aproximación.
3.1.2 Interpolación CuadráticaUna estrategia que mejora la aproximación es la introducir cierta curvatura
en la línea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos, lo
anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden
(llamado también polinomio cuadrático o parábola). Una manera
conveniente para este caso es:
2 0 1 0 1 0 2 0 1( ) ( ) ( )( )f x b b x x b x x b x x x x
Nótese que aunque la ecuación parezca diferente de la ecuación general
de un polinomio:
20 1 2 ... n
nf x a a x a x a x
Las dos ecuaciones son equivalentes. Se puede usar un procedimiento
simple para determinar los valores de los coeficientes. Para bo , se usa la
ecuación con X=X0 y se obtiene.
0 0( )b f x
Sustituyendo la ecuación y evaluando en X=X1 se obtiene
1 01
1 0
( ) ( )f x f xb
x x
Y por ultimo las ecuaciones se sustituyen en la ecuación y se evalúa
está en X=X2 y se obtiene
1 02 1
2 1 1 02
2 0
( ) ( )( ) ( ) f x f xf x f x
x x x xb
x x
Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, b1 aun
representa la pendiente de la línea que une los puntos X0 y X1. Por lo
tanto, los primeros dos términos de la ecuación son equivalentes a la
47
interpolación de X0 a X1. El ultimo termino b2(X-X0) (X-X1), introduce la
curvatura de segundo orden de la formula.
Tabla de diferencias divididas
---------------------------------------------------------------------------------------------
diferencia dividida diferencia dividida
primer orden segundo orden
x f x
----------------------------------------------------------------------------------------------
0 0
1 00 1
1 0
1 2 0 11 1 0 1 2
2 0
2 11 2
2 1
2
[ , ]
, , [ , , ]
[ , ]
x f x
f x f xf x x
x x
f x x f x xx f x f x x x
x x
f x f xf x x
x x
x
2f x
------------------------------------------------------------------------------------------------
3.1.3 Diferencias Finitas Divididas
Sea F una función de valor real definida sobre 1, , .....k k k nx x x no
necesariamente equidistante. Se define:
11
1
( ) ( ), Primer gradok k
k kk k
F x F xF x x
x x
1 21 2
2
( , ) ( ), , 2 gradok k k
k k kk k
F x x F xF x x x
x x
1 11
( , ,....... ) ( ), ,......., gradok k k n k n
k k k nn k n
F x x x F xF x x x n
x x
Ejemplo
1 2 0 10 1 2
2 0
f x , x f x , xf x ,x ,
x xx
48
En la práctica, los cálculos se disponen en una tabla de diferencias
divididas, colocando en la primera columna los valores de la función o
diferencias divididas de orden 0, en la segunda columna las diferencias
divididas de primer orden, en la tercera columna las de orden 2, y así
sucesivamente.
Usando cuatro puntos 0 0( , ),x y 1 1( , ),x y 2 2( , ),x y y 3 3( , ),x y
3 0 1 0 0 2 1 0 0 1
3 2 1 0 0 1 2
( ) [ ] [ , ]( ) [ , , ]( )( )
[ , , , ]( )( )( )
f x f x f x x x x f x x x x x x x
f x x x x x x x x x x
3.2. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
Presentamos ahora una forma alternativa del polinomio de interpolación P(x)
asociado con una tabla de datos (xi , yi) con 0≤ i ≤ n. Es importante entender
que existe uno y solo un polinomio de interpolación de grado ≤ n asociado
con los datos (suponiendo, claro está, que las n+1 abscisas xi son distintas).
Sin embargo, existe ciertamente la posibilidad de expresar este polinomio de
maneras distintas y de llegar a él a través de distintos algoritmos.
El problema al utilizar Polinomio de Newton para aproximar es que se debe
tener la derivada y muchas veces este lado no se tiene; una forma de evitar
esto es trabajar con una interpolación de Lagrange, que es una
reformulación del Polinomio de Newton que evita las diferencias divididas y
se representa como:
00 xfx
0b
11 xfx
22 xfx
33 xfx
1b
2b
3b 01,xxf
12 , xxf
23,xxf
012 ,, xxxf
123 ,, xxxf
0123 ,,, xxxxf
49
0( )
nj
ij
ji i
x xL x
x i x
;0
( ) ( ) ( )n
n i i ni
F x L x F x R
Para obtener el polinomio de grado uno (lineal) reemplazamos n=1
1
10
0 0 1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
i ii
F x L x F x
L x F x L x F x
11
00 0 1
( )n
j
j i ji j
x x x xL x
x x x x
01
1 0
( )x x
L xx x
011 0 1
0 1 1 0
( ) ( ) ( )x xx x
F x f x f xx x x x
Ahora calcularemos el polinomio de interpolación de grado dos (Cuadrático),
haciendo n=2:
)()()()()()(
)()()(
221100
2
02
xFxLxFxLxFxL
xFxLxFi
ii
)()()()( 212
1
02
01
21
2
01
00
20
2
10
12 xf
xx
xx
xx
xxxf
xx
xx
xx
xxxf
xx
xx
xx
xxxF
La aproximación del polinomio cúbico es:
3 0 31 2 23 0 1
0 1 0 2 0 3 1 0 1 2 1 3
0 3 01 1 22 3
2 0 2 1 2 3 3 0 3 1 3 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x x x x x xx x x x x xF x f x f x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x xx x x x x xf x f x
x x x x x x x x x x x x
)()()()()()()()(
)()()(
33221100
3
03
xFxLxFxLxFxLxFxL
xFxLxFi
ii
50
Ejemplo
Con un polinomio de interpolación de Lagrange de primero, segundo y tercer
grado evalué 1,5 ; basándose en los datos dados a continuación:
x 1 2 3 4
F(x) 1 1,4142 1,732 2
Solución:
Primero hallamos el polinomio lineal:
2071065.1)5.1(585787.0414213.0)414213,1(12
1)1(
21
2)( 11
Fxxx
xF
Ahora hallamos el polinomio cuadrático:
219153825.1)5.1()732050.1(23
2
13
1)414213.1(
32
3
12
1)1(
31
3
21
2)( 22
Fxxxxxx
xF
Finalmente el polinomio cúbico es:
3
2 3 4 1 3 4 1 2 4( ) (1) (1.414213) (1.732050)
1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3 41 2 3
(2)4 1 4 2 4 3
x x x x x x x x xF x
x x x
222059341)(3 ,xF
3.3 PROBLEMAS
1. A 400ºC y con concentraciones: mol/L10,0NOCO 2 se
obtuvieron los siguientes datos para la reacción dada:
2 2 NO CO NOg g g gCO
Tiempo (s) 0 10 20 30
LmolCO 0,1 0,067 0,05 0,04
Cuál es la concentración del monóxido de carbono para el tiempo
de 25 s
51
Usando un polinomio de segundo grado mediante el método de
LaGrange ¿cuáles son las constantes ( a0 , a1 ; a2 ; ) f(x) = a0
+ a1x + a2x2 .
2. En una prueba experimental de una sedimentación discontinua se a
determinado los siguientes datos:
Determine el polinomio interpolante de grado 3
3. Con una función f las diferencias divididas progresivas están dadas por
x0=0,
0
f[x0]
f[x0,x1]
x1=0,
04f[x1] f[x0,x1,x2]=
7
50
f[x1,x2]=10
x2=0,
7
f[x2]=
6
Determine los datos que faltan en la tabla.
4. Dados los nodos (0, -5), (1, -3), (2, 1), (3, 13), averiguar el polinomio
interpolador mediante:
La resolución de un sistema de ecuaciones.
El método de Lagrange.
El método de las diferencias divididas de Newton.
(Solución: 532)( 23 xxxxP )
t ( s) Zi ( m )
0 0,35
300 0,21
600 0,129
900 0,094
1200 0,083
52
5. En un proceso de desalinización usando un equipo de osmosis inversa se
ha registrado los siguientes datos
)(barp 5 10 15 20 25
Flujo( mL/h 103 202 287 386 501
¿Cuál es el polinomio usando todos los puntos mediante el método de
Newton?
6. Cuál es el flujo para una caída de presión de 23 bar usando un polinomio
de grado 3
r (cm) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 47 50
V(m/s) 50 49,5 49 48 46,5 45 43 40,5 37,5 34 25 0
Determine el polinomio de grado 3 para r= 30 y r= 45cm
7. La tabla siguiente enumera la población de los Estados Unidos a partir de
1940 a 1990.
años 1940 1950 1960 1970 1980 1990
Poblacion
(ien millares)
132,165 151,326 179,323 203,302 226,542 249,633
Encuentre el polinomio de Lagrange del grado 4 , y utilice este polinomio
para estimar la población en los años 1965
8. Aproximar )05.0(f , mediante el polinomio interpolación de Newton usando
la tabla siguiente
x 0 0.2 0.4 0.6 0.8
)(xf 2.00001 2.13456 2.56789 2.67845 2.78954
53
4. REGRESIÓN
Las técnicas de regresión permiten hacer predicciones sobre los valores de
cierta variable Y (dependiente), a partir de los de otra X (independiente),
entre las que intuimos que existe una relación.
4.1. REGRESIÓN LINEAL
Consiste en ajustar a una línea recta un conjunto de parejas de datos
observados: (X1, Y1), (X2, Y2),………, (Xn, Yn) y para ello utilizaremos el
método de mínimos cuadrados.
La expresión matemática de la función lineal es g(x)=a0 + a1x donde a0 y a1
son constantes a determinar.
La desviación de la recta con respecto a cada dato se define como:
di = yi – g(xi) y como g(xi) = a0 + a1 xi
Entonces di = yi – a0 – a1xi donde i = 1,2………,n siendo n número de
datos.
El cuadrado total de las desviaciones para obtener un buen ajuste está dado
por:
2 2
0 11 1
n n
i i ii i
D d y a a x
cuando este valor es mínimo.
Para determinar los valores de las constantes a0 y a1 y hacer mínimo a D,
se deriva la ecuación anterior con relación a cada uno de los coeficientes
(derivados parciales) y se igualan a cero
Considerando que 0 01
n
i
a na
, entonces las anteriores ecuaciones se pueden
expresar
Como un conjunto de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas:
0 1
20 1 i
i i
i i i
na a x y
a x a x x y
Al expresar estas 2 ecuaciones en forma matricial, tenemos:
54
02
1i
i i
i i i
n x ya
x x x ya
Que se resuelven por los métodos conocidos ( gauss-seidel)
4.2. REGRESIÓN POLINOMIALEl método de mínimos cuadrados puede extenderse para ajustar un
polinomio de cualquier valor a los datos de una medición.
g(x) = a0 + a1x + a2x2 + amxm di=yi – g(xi)
Desviación de la curva con respecto a cada Polinomio.La suma de los cuadrados de la desviación así:
D = (yi – a0 – a1 xi – a2xi2 + ……… amxi
m)2
Siguiendo el mismo procedimiento hecho para la regresión lineal, tenemos:
derivados parciales con respecto a los coeficientes al polinomio.
Al igualar estas ecuaciones a cero y reordenando, se tiene el siguiente
conjunto de ecuaciones.
a0n + a1xi + a2xi2 + ……………+amxi
m = yi
a0xi + aixi2 + a2x2
3 + …………+ amxim+1 = xiyi
a0xi2 + a1xi3 + a2xi
4 +…………+ amxim+2 = xi
2 yi
D a
2 (y a a x a x ..........a x )
D a
2 x ( y a a x a x .......a x )
D a
2 x ( y a a x a x .......a x )
D a
2 x ( y a a x a x .......a x )
0i 0 1 i 2 i
2m i
m
1i i 0 1 i 2
2m 2
m
2i2
i 0 1 i 2 i2
m im
mim
i 0 1 i 2 i2
m im
55
a0xim + a1xi
m+1 + a2xim+2 +……+ amxi
2m = ximyi
(Todos los van desde i =1 hasta n)
el anterior sistema lo podemos expresar así:
02 1
122 3 2
2 1
1 2 21
mii i
mii i i
mi i i
mm m m mm ii i i i
a yn x x
a x yx x x
a x yx x x
a x yx x x x
El sistema de ecuaciones se resuelve por los métodos vistos para resolver
sistema de ecuación.
Ojo: si el polinomio es de grado m => necesitamos m + 1 ecuaciones
lineales con m+1 incógnitas.
4.3. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLEUna extensión útil en la regresión lineal es el caso en que y es una función
lineal de dos o más variables. Por ejemplo, y pudiera ser una funciónlineal
de x1 y x2, de la forma:
y = a0 + a1x1 + a2x2
Tal ecuación es útil particularmente cuando se ajustan datos experimentales
en donde la variable que está analizando, a menudo es función de otras dos
variables. En este caso bidimensional, la “línea” de regresión viene a ser un
“plano”.
Como con los casos anteriores, los “mejores” valores de los coeficientes se
determinan agrupando la suma de los cuadrados de los residuos:
2
0 1 1 2 2
n
ii j
D y a a x a x
y derivando con respecto a cada uno de los coeficientes:
10 1 1 2 2
0
2 i
Dy a a x a x
a
11 0 1 1 2 2
0
2 i
Dx y a a x a x
a
(1)
56
12 0 1 1 2 2
2
2 i
Dx y a a x a x
a
Los coeficientes que generan la suma mínima de los cuadrados de los
residuos se obtienen igualando cada una de las derivadas parciales a cero y
expresando la ecuación (1) como un conjunto de ecuaciones lineales
simultáneas, de la forma:
nao + ∑ x1 a1 + ∑ x2 a2 = ∑ y1
∑ x1ao + ∑ x12 a1 + ∑ x1 x2 a2 = ∑ x1 y1
∑ x2ao + ∑ x1 x2 a1 + ∑ x22 a2 = ∑ x2 y1
o como una matriz:
1 2 0 12
1 1 1 2 1 1 12
2 1 2 2 3 2 1
n x x a y
x x x x a x y
x x x x a x y
57
4.4 PROBLEMAS
1. Una ecuación para la variación de viscosidad del líquido con la temperatura
es:
T
b
ea
Donde a, b son constantes empíricas y T, temperatura en K.
T (ºC) 20 30 40 50
μ (N.s/m2) 1x10-3 8,08x10-3 6,53x10-3 5,33x10-3
Estime la viscosidad a 25 y 35ºC utilizando la ecuación empírica
Solución:
Sacando “ln” a ambos lados de la ecuación:
T
1
b
1alnln
Obtenemos una recta, de la forma: y c mx
Cálculo de m: 1m
b
2 5 42
1 14 ln ln
4 -0,093797 0,0129978 -28,89962
4 4,422915 10 1,68943 101 14
T Tm
T T
369,1989m
4-105,0267bb
1m
Cálculo de c: alnc
T (K) μ (N.s/m2) 1/T ln μ
293,15 1x10-3 3,411x10-3 -6,907
303,15 8,08x10-3 3,298x10-3 -7,12
313,15 6,53x10-3 3,193x10-3 -7,333
323,15 5,33x10-3 3,094x10-3 -7,536
58
31 -7,22491 1989,369 3, 24945 10c y a x
-13,689c
610134,1a689,13-alnc
Por lo tanto el modelo es:
T
4100267,5
6e10134,1
De la ecuación, calculamos μ para 25 y 35 ºC:
T = 25ºC = 298,15 K
2415,298
4100267,5
6K5,298 N.s/m10966,8e10134,1
T = 35ºC = 308,15 K
2415,308
4100267,5
6K15,308 N.s/m1022,7e10134,1
2. Se desea determinar la energía de activación del proceso de degradación
de un contaminante a un producto inocuo en fase líquida. En el estudio de la
T
1369,1989689,13-ln
59
cinética de la reacción a diferentes temperaturas se obtuvieron los siguientes
datos:
k (L/mol.s) 4,04x10-5 7,72x10-5 1,29x10-5 2,50x10-5
T (ºC) 0 7 15 25
Determine la energía de activación
Solución:
De la ecuación de Arrhenius, determinamos el modelo:
RT
aE
eAk
Sacando “ln” a ambos lados de la ecuación:
T
1
RT
EAlnkln a
T (K) k 1/T ln k
273,15 4,04x10-5 3,66x10-3 -10,116
280,15 7,72x10-5 3,569x10-3 -9,469
288,15 1,29x10-5 3,47x10-3 -8,955
298,15 2,50x10-5 3,354x10-3 -8,294
Obtenemos una recta, de la forma: 0 1y a a x
Cálculo de a1: 1aE
aR
1 2 5 42
1 14 ln k ln k
4 -0,1297 0,01405 -36,8355
4 4,9437 10 1,9754 101 14
T Ta
T T
1838,5850-a1
1
J - 5850,1838 K 8,314
mol.KaE a R
mol
J10638,48E 3
a
Cálculo de a0: 0 ln Aa
30 1 -9,208875 -5850,1838 3,513734 10a y a x
60
0 11, 3471a
0 ln A 11, 3471 A 84720, 26a
Por lo tanto el modelo es:
RT
310638,48-
e26,84720k
3. Se cuenta con los siguientes datos de temperatura de ebullición de la
acetona a diferentes presiones:
P (atm) 1 2 5 10 20 30 40
T (ºC) 56,5 78,6 113,0 144,5 181,0 205,0 214,5
Si se grafican estos valores se observa que la temperatura no tiene un
comportamiento lineal con respecto a la presión, por lo que se propone
el modelo:BT AP
Determine las constantes A y B
Solución:
Sacamos el “ln” a ambos lados de la ecuación y obtenemos:
T
11838,58503471,11kln
61
PlnBAlnTln
P (atm) T (ºC) ln P ln T1 56,5 0 4,0342
2 78,6 0,6931 4,36435 113 1,6094 4,727310 144,5 2,3025 4,973220 181 2,9957 5,1984
30 205 3,4011 5,32340 214,5 3,6888 5,3683
Obtenemos una recta, de la forma: 0 1y a a x
Cálculo de a1: 1a B
1 22
7 ln T ln P ln T ln P 7 75,565 14,6909 33,989
7 41,8263 215,82487 ln P ln Pa
1 0, 362a
0,362B
Cálculo de a0: 0 ln Aa
0 1 4,8555 0,362 2,0987a y a x
0 - 4,095a
0 ln A - 4, 095 A 60,039a
Pln362,0095,4Tln
62
Por lo tanto el modelo es:
362,0P039,60T
4. Experimentos de la cinética enzimática fueron llevados a cabo en el
laboratorio y se registraron los siguientes datos:
reactantes (s)(g/L)1 2 3 4 5
rxv (r)(g/L-h)1 4 5 6 6
Determine las constantes a y b, si la expresión se ajusta al siguiente modelo:
sb
sar
Solución:
Invertimos la ecuación y obtenemos:
s
1
a
b
a
1
r
1
(s) rxv (r) 1/r 1/s
1 1 1 1
2 4 1/4 1/2
3 5 1/5 1/3
4 6 1/6 1/4
5 6 1/6 1/5
Obtenemos una recta, de la forma: mxky
Cálculo de m: bm
a
2 22
1 1 1 1 19 137 1075 5
15 60 60
1371 1 5 1, 463611111560
r s r sm
s s
074,1m
Cálculo de k: 1k
a
63
107 137 1,074
300 300k y mx
- 0,134k
459,7-a134,0-a
1k
Reemplazamos en “m”:
-8,015-7,4591,074b1,074a
bm
Por lo tanto el modelo es:
s8,015-
s7,459-r
PROBLEMAS1. La densidad del aire es función de la altitud como se muestra en los
siguientes datos.
Altitud( Km) 0,32 0,64 1,28 1,6
Densidad( Km/m3) 1,15 1,10 1,05 0,95
s
1074,10,134-
r
1
64
Se propone un modelo de regresión : 21
k hk e
Determine la densidad a 1,5 Km
2. En una celda electrolítica se ha determinado la densidad de corriente
enfunción de la caída de la tensión como se muestra a continuación.
Voltaje(V) 0,03 0,07 0,11 0,21 0,51 0,85
I(mA/cm2) 4 8 12 16 20 24
¿Cuál es la densidad de corriente a 0,25 V usando un polinomio de
tercer grado?
¿Cuáles son las constantes ( a0 , a1 ; a2 ; a3 )
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3
3. Los siguientes conjuntos de mediciones de temperatura tomados de
la cabeza de cilindros de un motor nuevo que está probando con
miras a usarse en un auto de carrera.
TABLA 10Tiempo vs temperatura
Tiempo (s) Temperatura( ºF)
0 72,5
0,5 78,1
1 86,4
1,5 92,3
2 110,6
2,5 111,5
3 109,3
3,5 110,2
5 110,5
4,5 109,9
5 110,2
Calcule valores de temperatura en los siguientes intervalos usando
un polinomio de grado 2 para 4,48
65
4. Se desea determinar la energía de activación del proceso de
degradación de un contaminante a un producto inocuo en fase líquida.
En el estudio de la cinética de la reacción a diferentes temperaturas
se obtuvieron los resultados que se muestran a continuación:
k (L/mol.s) 4,04x10-5 7,72x10-5 1,29x10-4 2,5x10-4
T (ºC) 0 7 15 25
Determinar:
La energía de activación.
5. La ecuación de Arrenihus :
.
EA
R TK Ae
En la siguiente tabla se muestra la constante de velocidad en función
de la temperatura.
Temperatura ( K) K(1/s)
273 7,78x10-7
298 3,46x10-5
318 4,98x10-4
328 1,5x10-3
338 4,87x10-3
DondeK : constante de velocidad de reacción
EA: energía de activación
R: constante universal de los gases R= 8,314J/ mol.K
A: factor de frecuencia
Determinar la constante de velocidad a 300 K
E a =1.03021 10 5 joule mole 1
A= 4.00467 10 13 s 1
66
6. Un estudio en mecánica de fluidos indica que el flujo de un fluido a
través de una tubería está relacionada con el diámetro de la tubería
y la pendiente como se muestra en la siguiente tabla.
Experimento Diámetro en pies Pendiente, Flujo( pie3/s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
1
2
3
1
2
3
0,001
0,001
0,001
0,01
0,01
0,01
0,05
0,05
0,05
1,4
8,3
24,2
4,7
28,9
84
11.1
69
200
Use una regresión lineal múltiple para analizar estos datos, la
ecuación de potencia a evaluar es
Q = a0Da1Sa2
Donde
Q= Flujo volumétrico
S: Pendiente
D: diámetro de la tubería
Después que se a encontrado el modelo, determine el flujo en una
tubería de 2,5 pies y una pendiente de 0,025
7. La densidad del aire es función de la altitud como se muestra en los
siguientes datos.
Altitud( Km) 0,32 0,64 1,28 1,6
Densidad( Km/m3) 1,15 1,10 1,05 0,95
Se propone un modelo de regresión : 21
k hk e
Determine la densidad a 1,5 Km
67
8. Experimentos de la cinética enzimática fueron llevados a cabo en el
laboratorio y se registraron los siguientes datos
concentración del reactante (s) (g/L) Velocidad de reacción (r) g/L-h
1
2
3
4
5
1
4
5
6
6
Determine la constante a y b
Si la expresión de la velocidad se ajusta al siguiente modelo
*a sr
b s
9. Se cuenta con los siguientes datos de temperaturas de ebullición de la
acetona a
Diferentes presiones:
P(atm) T(ºC)
1 56,5
2 78,6
5 113,0
10 144,5
20 181,0
30 205,0
40 214,5
Si se grafican estos valores se observa que la temperatura no tiene un
comportamiento
Lineal con respecto a la presión, por lo que se propone el modelo:
BT AP …..(1)
Determinar los valores de las constantes A y B
68
5. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
Diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para producir
una estimación del derivado de la función matemática o función usando
valores de la función. Dos métodos son los más usuales a la hora de
resolver tal problema:
Derivar un polinomio de interpolación construido mediante alguno de los
métodos estudiados
Calcular directamente la derivada utilizando para ello aproximaciones de
la función mediante los polinomios de Taylor. Las formulas obtenidas de
esta manera reciben el nombre de formulas.
La diferenciación numérica puede calcularse usando la definición de derivada
0 00 0
' limh
f x h f xf x
h
Tomando una h pequeña. Si h > 0 se llama fórmula de diferencia progresiva,Fórmulas de diferencias divididas hacia adelanteSea los puntos
x Xi Xi+1 Xi+2 XI+3 …….
f f (Xi) f (Xi+1) f (Xi+2 ) f (XI+3 ) …….
5.1.DIFERENCIACIÓN MEDIANTE MÉTODO NEWTONPrimera derivada
1' i ii
f x f xf x
h
, 2 14 3'
2i i i
i
f x f x f xf x
h
Segunda derivada
2 1
2
2'' i i i
i
f x f x f xf x
h
3 2 1
2
4 5 2'' i i i i
i
f x f x f x f xf x
h
5.2. DIFERENCIACIÓN DE LAGRANGE: datos discretos
Construimos el polinomio de Lagrange
69
1 1 2 2 3 3
2 3 1 3 1 21 2 3
1 2 1 3 2 1 2 3 3 2 3 1
L x L x y L x y L x y
x x x x x x x x x x x xy y y
x x x x x x x x x x x x
Diferenciando la función
2 31
1 2 1 3
1 3 1 22 3
2 1 2 3 3 2 3 1
2
2 2
x x xf x L x y
x x x x
x x x x x xy y
x x x x x x x x
Asumiendo espacio constante
2 3 1 3 1 21 2 32 2 2
2 2 2
2 2
x x x x x x x x xf x y y y
x x x
2 3 1 3 1 21 2 32 2 2
2 2 2
2 2
x x x x x x x x xf x y y y
x x x
1 2 3 1 1 3 1 2 31 1 21 1 2 32 2 2
2 2 3 42
22 2
x x x x x x y y yx x xf x y y y
xx x x
2 2 3 2 1 3 3 12 1 22 1 2 32 2 2
2 2 2
22 2
x x x x x x y yx x xf x y y y
xx x x
3 2 3 3 1 3 3 1 2 1 2 33 1 2 32 2 2
2 2 2 4 3
22 2
x x x x x x x x x y y yf x y y y
xx x x
2 3 1 3 1 21 2 32 2 2
2 2 2
2 2
x x x x x x x x xf x y y y
x x x
1 2 31 2 32 2 2 2
21 2 1 y y yf x y y y
x x x x
segunda derivada
5.3 PROBLEMAS
1. El flujo de calor en la interfaz suelo-aire puede calcularse con ley
0
0z
dTq z k C
dz
70
Z (m) 0 1,25 1,75T (º C) 13,5 12 10
Donde q = flujo de calor, k = coeficiente de difusividad térmica (3.5x10-7),
= la densidad del suelo (1800Kg/m3), C = calor específico del suelo (840).
2 0 1.25 3.75 2 0 0 3.75 2 0 0 1.25' 0 13.5 12 10 1,333
0 1.25 0 3.75 1.25 0 1.25 3.75 3.75 0 3.75 1.25f
q = -3.5x10-7 . 1800 (-1,333). =70.56
2. A 400ºC y con concentraciones: 2 0,10 mol/LCO NO se obtuvieron
los siguientes datos para la reacción dada:
NOCONOCO gg2g2g
Tiempo (s) 0 10 20 30
LmolCO 0,1 0,067 0,05 0,04
Determinar el orden de la reacción dada
Determinar la constante de velocidad
Calcular la velocidad instantánea de la reacción en el instante t = 10 s
Solución:
De la ecuación: - nAA A
dCv k C
dt
Tenemos: ln - ln lnAA
dCx n C
dt
ecuación lineal
Diferenciación numérica con 4 puntos:
10h
x0 x1 x2 x3
Tiempo (s) 0 10 20 30
LmolCO 0,1 0,067 0,05 0,04
y0 y1 y2 y3
71
Para x0: A0 1 2 3
dC 111 18 9 2
dt 6y y y y
h
3A 104,404,0205,09067,0181,011106
1
dt
dC
Para x1: A0 1 2 3
dC 12 3 6
dt 6y y y y
h
3A 1035,204,005,06067,031,02106
1
dt
dC
Para x2: A0 1 2 3
dC 1- 6 3 2
dt 6y y y y
h
3A 102,104,0205,03067,061,0-106
1
dt
dC
Para x3: A0 1 2 3
dC 12 9 18 11
dt 6y y y y
h
4A 105,904,01105,018067,091,02106
1
dt
dC
Llenamos la tabla y procedemos a graficar:
TABLA 11CALCULO DIFERENCIACIÓN
Tiempo
(s) L
molCOdt
dC- A
dtdC
-ln A ACln
0 0,1 4,4 x 10-3 -5,426 -2,302
10 0,067 2,35 x 10-3 -6,053 -2,703
20 0,05 1,2 x 10-3 -6,725 -2,995
30 0,04 9,5 x 10-4 -6,959 -3,218
72
Del ajuste lineal tenemos que la ecuación es: 1,7 1,41y x
Donde:
Orden de reacción es: 1,7 2n pendiente
Constante de velocidad es: ln -1,41 K 0,244K
Para t=10 s:10t s
nAv k C
32 10095,1067,0244,0v
PROBLEMAS1. La primera ley de difusión de Fick establece que el flujo másico
Flujo másico = dcF D
dx
Donde flujo másico es cantidad de masa que pasa a través de una
unidad de area por unidad de tiempo ( g/ cm2/s.
D= coeficiente de difusión ( cm2/s). C: concentración X: distancia en cm.
Un ing. químico mide la concentración de un contaminante en los
sedimentos depositados en un lago obteniéndose los siguientes datos.
X (cm) 0 1 2
c. 10-6 g/cm3 0,1 0,4 0,9
73
Use la mejor técnica de derivación numérica para estimar en x =1,5 y
calcule el flujo másico del contaminante cuando D= 2x10-6cm2/s, para
un lago de 3x106m2 de sedimentos ¿cuánto contaminante podría ser
transportada hacia el lago en un año?
2. Para la descomposición del pentaóxido de dinitrógeno a 45ºC se
obtuvieron los siguientes datos:
2 5 2 22 ( ) ( ) 4 ( )N O g O g NO g
Tiempo(s) 0 200 400 600 800
2 5
molN O
L
2,5 2,22 1,96 1,73 1,53
determina de qué orden será la reacción
3. A 440ºC con y con concentraciones |CO| = |NO2| = 0,10 mol/L se
obtuvieron los siguientes datos para la reacción dada:
2 2( ) ( ) ( ) ( )CO g NO g CO g NO g
Tiempo(s) 0 10 20 30 40 100 1000
molCO
L
0,1 0,067 0,05 0,04 0,033 0,017 0,002
a) Determina el orden de la reacción dada
b) Determine la constante de velocidad
c) Calcula la velocidad instantánea de la reacción en el instante t= 10 s.
4. Se ha estudiado la descomposición térmica de arsenamina sobre vidrio,
2 AsH3(g) 2 As(s) + 3H2(g)
La presión total del sistema varia con el tiempo, a 350C, según se
indica a continuación:
t/h 0 4.33 16.00 25.50 37.66 44.75
Pt/cmHg 39.2 40.30 43.65 45.35 48.05 48.80
a) Determine el orden de reacción con respecto a la arsenamina.
b) Calcule la constante de velocidad.
74
5. Para poder estudiar el comportamiento físico químico de una solución de
bromo en presencia de luz solar, se coloca una pequeña cantidad de
solución de bromo en un matraz y se expone al sol, obteniéndose los
siguientes resultados:
Tiempo( min.) 10 20 30 40 50 60
Ppm Br2 a 25ºC 2,45 1,74 1,23 0,88 0,62 0,44
En base a esta información calcular la constante de velocidad en las
unidades adecuadas y orden de la reacción.
6. En el estudio experimental de la velocidad de reacción para la reacción
2 NO (g) + 2 H2(g) → N2(g) + 2 H2O (g)
se han obtenido los siguientes datos a 298 K:
[NO] mol/L [H2] mol/L Velocidad mol/l s0,02 0,15 1,2 x 10-8
0,02 0,45 3,6 x 10-8
0,03 0,50 9,0 x 10-8
0,06 0,50 36,0 x 10-8
Calcular:
a) La ecuación de velocidad para esta reacción.
b) El orden de reacción
c) La constante de velocidad
7. Determinar el orden de reacción para la descomposición en fase
gaseosa del peróxido de di-tert-butilo
(CH3)3COOC(CH3) C2H6 + 2CH3COCH3
La reacción se lleva a cabo en el laboratorio en un reactor isotérmico
batch
La presión total de reacción a lo largo de reacción evoluciona según la
siguiente tabla
75
tiempo(min) Presión total (MmHg)0.0 7.52.5 10.55.0 12.5
10.0 15.815.0 17.920.0 19.4
8. Determinar el orden de reacción:
CH3-Cl(g) + H2O(g) CH3-OH(g) + HCl(g) usando los datos de la tabla.
3 2[CH -Cl] [H O]n mv k
9. La transferencia de calor está dada por la siguiente ecuación
dy
dTkAq
donde k = conductividad térmica
Kms
J
A = área 2m T = temperatura K
y = distancia m
Kms
J025.0
k
2m3A
La temperatura en función de distancia
500107622001493 23 yyyT
La transferencia de calor para y= 1,2m
Experiencia [CH3-Cl] (mol/l) [H2O] (mol/l) v (mol·l–1·s–1)
1 0,25 0,25 2,83
2 0,50 0,25 5,67
3 0,25 0,5 11,35
76
6. INTEGRACIÓN NUMÉRICAEn esta lección comenzamos el estudio de métodos numéricos para el
cálculo numérico de integrales de la forma.
b
a
f f x dx
Un método común para aproximar I(f) es reemplazando f(x) con un polinomio
de interpolación. Este procedimiento se conoce como las reglas de
Cuadratura de Newton. Examinamos los primeros dos casos de este método
donde se usan polinomios de interpolación lineales y cuadráticos.
6.1 Método del trapezoide:
Sea p1(x) el polinomio lineal que interpola a f(x) en x=a y x=b
x0 x1x
f(x)
L(x)
Figura Nº9: Integración método de trapecio usando dos puntos
Usando la fórmula para el área de un trapezoide o integrando p1(x)
directamente se obtiene que
0 1( ) ( ) ( )2
b
a
hf x dx f x f x
( ) ( ) ( )2
b
a
hf x dx f a f b
GeneralizandoGeneralizando el método de trapecio
77
x 0 x 1x
f(x)
x 2h h x 3h h x 4
nab
h
Figura Nº10: Integración método de trapecio usando n puntos
1 2 n
0 1 n 1
b x x x
a x x x
0 1 1 2 n 1 n
0 1 i 1
b
0 1 i 1a
f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx
h h hf(x ) f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) f(x )
2 2 2
f(x ) 2f(x ) 2f(x ) 2 ( ) ( )2
f(x)dx f(x ) 2f(x ) 2f(x ) 2 ( ) ( )2
n n
n n
hf x f x
hf x f x
Evaluar la integral :4 2
0
xxe dx método de trapecio
4 2 8
0
4 0(0) (4) 2(0 4 ) 23847.66
2xI xe dx f f e
6.2 REGLA DE SIMPSONAdemás de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más
finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral,
es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por
ejemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces los tres
puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden.
A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se
les llaman Reglas de Simpson.
78
6.2.1 REGLA DE SIMPSON 1/3La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa,
ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la
curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las
parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el
área contenida en dos fajas, bajo la curva f(X) en la Figura. 2, se aproxima
mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres
puntos:
x0 x1x
f(x)
x2h h
L(x)
Figura Nº11: Integración método de Simpson usando tres puntos
2
0 0 1 1 2 20
0 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 4 ( ) ( )3
b
i iai
f x dx c f x c f x c f x c f x
hf x f x f x
Generalizando
79
x0 x2x
f(x)
x4h h xn-2h xn
nab
h
…...
hx3x1 xn-1
Figura Nº12: Integración método de Simpson usando n puntos
2 4 n
0 2 n 2
b x x x
a x x x
0 1 2 2 3 4
n 2 n 1 n
0 1 2 3 4
2i-1 2 2i 1
2
f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx
h hf(x ) 4f(x ) f(x ) f(x ) 4f(x ) f(x )
3 3h
f(x ) 4f(x ) f(x )3
f(x ) 4f(x ) 2f(x ) 4f(x ) 2f(x )3
4f(x ) 2 ( ) 4f(x )
2 ( ) 4 (i
n
h
f x
f x f x
1) ( )n nf x
Evaluar la integral4 2
0
xxe dx
4 2
0
4 8
(0) 4 (2) (4)3
20 4(2 ) 4 8240.411
3
x hI xe dx f f f
e e
Simpson’s 3/8 Approximate by a cubic polynomial
La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la
regla de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de
tercer grado que conecta 4 puntos sobre una curva dada. La forma
general de la parábola de tercer grado es:
80
x0 x1x
f(x)
x2h h
L(x)
x3h
Figura Nº13: Integración método de Simpson usando cuatro puntos
3
0 0 1 1 2 2 3 30
0 1 2 3
( ) ( ) c f(x ) c f(x ) c f(x ) c f(x )
3( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )
8
b
i iai
f x dx c f x
hf x f x f x f x
b-ah
3
6.2.2 SIMPHSON 3/8
4 2
0
3 4 8(0) 3 ( ) 3 ( ) (4)
8 3 3
3(4/3)0 3(19.18922) 3(552.33933) 11923.832 6819.209
85216.926 6819.209
30.71%5216.926
x hI xe dx f f f f
81
6.3 PROBLEMAS
1. Los datos que aparecen en la tabla siguiente corresponden a una
velocidad transversal de salida en una tubería ¿cuál es el flujo
volumétrico en m3/s?
r (cm) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 47 50
V(m/s) 50 49,5 49 48 46,5 45 43 40,5 37,5 34 25 0
2 *Q V rdr
2. La cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1000gr
de H2O desde –1000C hasta 2000C se puede evaluar de la siguiente
forma:
dTTCpmHT
T2
1
7 2 42.64 10 1.56 10 0.132Cp T T
Determinar empleando la técnica del trapecio y la regla de
Simpson
3. La masa que entra o sale de un reactor perfectamente agitado en
un periodo especifico se puede determinar mediante:2
.t
tiM Q cdt
Donde t1 y t2 son el tiempo inicial y final respectivamente Q es el flujo
volumétrico y c es la concentración.
82
T(,min ) C,mg/m3
0 10
5 22
10 35
15 47
20 55
25 58
30 52
35 40
40 37
45 32
50 34
4. Los datos que se muestra a continuación corresponde a la reacción
de tipo. A B en un reactor tubular
X (-1/rA)
0 0.0053
0.1 0.0052
0.2 0.005
0.3 0.0045
0.4 0.0033
0.5 0.0025
0.7 0.0018
0.8 0.00125
0.85 0.001
La ecuación de diseño para este tipo de reactor es de:
0
10
xV FA dx
rA
V:volumen(m3)FA0: flujo de alimentación A ,X: conversión el flujo
molar de alimentación es de 2 mol/ min. el 80 % es de A y la
diferencia de inertes
Determine el volumen del reactor para una conversión de 90% de A
83
5. Se tiene los siguientes puntos con h constante
x X0 X1 X2 X3 X4
y Y0 Y1 Y2 Y3 Y4
Demostrar una fórmula de integración
6. La reacción de saponificación de acetato de etilo en medio alcalino se
conduce en fase homogénea de acuerdo con la siguiente ecuación.
CH3COOCH2CH3 + NaOH CH3COONa + CH3CH2OH
Donde la velocidad de reacción es de
AA B
dCra kC C
dt
,
581792,028*10 * Tk e
Constante de velocidad
de reacción el tiempo de reacción para un reactor discontinuo es
calculado mediante la siguiente reacción.
0
1
( )
CA
CA
t dCAra
Donde : CA = CA0(1-XA) ; CB = CB0 – CA0XA
Si la concentración inicial de A y B es de 0,8 mol-g/ L ¿ Cual es el
tiempo para alcanzar una conversión de 95%? A 500K
7. La cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 000 g
de H2O desde 100C hasta 900C se puede evaluar de la siguiente
forma:
2
1
T
TH m Cp T dT
Donde:7 2 42.64 10 1.56 10 0.132Cp T T
Determinar empleando la técnica del trapecio y la regla de
Simpson
8. Resolver la siguiente integración.
84
9. En un reactor tubular continuo se realiza la eliminación de un
contaminante en fase gas mediante la reacción: A + B R + S, a
200ºC y 7 atm. Para ello, se alimenta una corriente con A y B en
relación equimolar, en las mismas condiciones de presión y
temperatura, con un caudal de 500 L/min. Si se quiere alcanzar una
conversión del 85%, ¿qué volumen de reactor es necesario?
Datos: (rA) = 10.CA.CB [mol/L.min]
10. Una reacción A R, de ecuación cinética r (mol/L.h) = 1,5 CA (a
50ºC), se lleva a cabo en un reactor discontinuo, de forma isoterma,
siendo la temperatura de trabajo constante e igual a 50ºC. La mezcla
reaccionante tiene una concentración inicial de 10 mol/L en A ¿Cuál
es el tiempo de reacción necesario para alcanzar una XA de 0,90?
85
7. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
INTRODUCCIÓN
La solución de sistemas de ecuaciones lineales es un tema de gran utilidad en
diversas ramas del conocimiento como la economía, la biología, física,
ingenierías, etc. La resolución de sistemas de cualquier número de ecuaciones
(10, 50, 100, 500, etc.) es una realidad hoy en día, gracias a los computadores,
lo cual proporciona solución directa.
Un gran número de problemas prácticos de ingeniería se reduce a resolver un
sistema de ecuaciones.
Un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas, tiene la forma:
a11x1 + a12x2 + ….. + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ….. + a2nxn = b2
am1x1 + am2x2+ …. + amnxn = bm
Con notación matricial se escribe así:
mmmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
.....a aa
......a aa
..... a aa
2
1
2
1
21
22221
11211
A X = B
Donde A es la matriz de coeficientes del sistema
X es el vector incógnita
B es el vector de términos independientes.
7.1 METODOS DE JACOBI(Método de desplazamiento simultáneos)
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
86
cona11, a22 y a33 distintos de cero.
Se despeja x1de la primera ecuación, de la segunda y de la tercera con lo
que se obtiene. = − − += − − += − − +
que en notación matricial queda
=⎣⎢⎢⎢⎢⎡ 0 − −− 0 −− − 0 ⎦⎥⎥
⎥⎥⎤ +⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
= +=⎣⎢⎢⎢⎢⎡ 0 − −− 0 −− − 0 ⎦⎥⎥
⎥⎥⎤ =⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
Una vez que se tiene la forma en notación matricial, se propone un vector
inicial ( ) que puede ser ( ) = 0, o algún otro que sea aproximado al vector
solución .
Para iterar existe dos variantes.
Si ( ) =es el vector aproximación a la solución después de iteraciones, entonces se
tiene para la siguiente aproximación.
87
( ) = =⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 1 ( − − )1 ( − − )1 ( − − )⎦⎥⎥
⎥⎥⎥⎤
7.2 METODO DE GAUSS - SEIDEL (método de desplazamientos sucesivos)
En este método los valores que se van calculando en la ( + 1) −ésima
iteración se emplean para calcular los valores faltantes de esa misma iteración;
es decir, con ( ) se calcula ( ) de acuerdo con:
= ⎣⎢⎢⎢⎢⎡ ( − − )1 ( − − )1 ( − − )⎦⎥⎥⎥
⎥⎤
88
7.3 PROBLEMAS
1) Determine los valores de x1 , x2 y x3 usando el método de gaus seidel
17257
52
61172
321
321
321
xxx
xxx
xxx
2) Se tiene la siguiente torre de separación realizar los balances y calcular
los flujos masicos de cada corriente.
Figura Nº14:Diagrama de una columna de absorción
3) Un proceso de 5 etapas en equilibrio para una extracción liquido o
absorción gaseosa puede ser modelado mediante un sistema de
ecuaciones lineales de acuerdo como se muestra a continuación.
1 2 0(1 )rr X rrX F
1 1(1 ) 0i i iX rr X rrX para i = 2,3, ………..(n-1)
FXrrX nn )1(1
Para : rr = 0,9 ; F0 = 0,05 y F = 0,5
Resolver el sistema de ecuaciones lineales
43,1% de HCl
56,9% aire
H2O
Masa = 2640Kg/h
63,8% H2O
36,2% de HCl
0,2% de HCl
99.8% aire
89
4) Para el sgt.sistema de separación, se conoce el flujo masico(Kg/hr) y las
fracciones de masa de cada sustancia de entrada de la columna de
separacion1 (F0) y la salida de la columna 2(F3 ,F1Y F4)¿ Cual es el valor
de F2
W 1 = 0.2W 2 = 0.6W 3 =0.2
W 1 = 0.2W 2 = 0.6W 3 =0.2
W 1 = 0.2W 2 = 0.6W 3 =0.2
W 1 = 0.2W 2 = 0.6W 3 =0.2
F 0
F 1
F 2
F 3
F 4
5) Resolver la siguiente sistema de ecuación
1 2
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5
4 1
8 1 3
3 2 4 3
2 ,1
2 6 3, 4
x x
x x x
x x x
x x x
x x
6) La resistencia de un termistor varia con la temperatura
33
2210 lnln)ln(
1RaRaRaa
T
T es la temperatura en Kelvin, R es resistencia en ohms, y 0 1 2 3, , ,a a a a son
constantes
R T
ohm C
1101.0
911.3
636.0
451.1
25.113
30.131
40.120
50.128
Determine las constantes
90
7) En la figura se muestra la disposición de 5 tanques donde se lleva a cabo
una mezcla de corrientes de entrada y salida. En base a la información
determine concentración en cada en estado estacionario
Figura Nº15: Sistema de reactores
8m3/min.20mg/m3
1m3/min.8m3/min.
C1 C2C4
C5
1m3/min.
2m3/min.
3m3/min.
3m3/min.
2m3/min.
1m3/min.
C3
C1
5m3/min.
10mg/m3
11m3/min.
91
8. ECUACIONES DIFERENCIALES NUMÉRICAS
INTRODUCCIÓNCon mucha frecuencia aparecen problemas en ingeniería, física, química,
ecología meteorología, sociología, etc., que exigen el manejo de ecuaciones
diferenciales, muchas de las cuales no se pueden resolver pos los métodos
convencionales, teniéndose que recurrir a métodos numéricos aproximados.
Se llama ecuación diferencial aquella ecuación que contiene una variable
dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables
independientes. Se dividen en dos grandes grupos: Ordinarias, si contienen
una sola variable independiente y Parciales, cuando contienen varias
variables independientes.
Estudiaremos únicamente las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO).
Estas se clasifican y estudian según el orden de la mayor derivada que
aparece en la respectiva ecuación diferencial.
Ejemplo: dy
kydt
es de 1er orden
k2
2
d ym y
dtes de 2º orden
3
3
d y dy5 6y 0
dxdxes de 3er orden
Los problemas que encierran el uso de ecuaciones diferenciales ordinarias,
constarán de:
Una ecuación diferencial ordinaria:
1dyy f(x, y)
dx
Las condiciones iniciales.
El intervalo para la variable independiente x, para el cual debe determinarse
la función y, si existe.
92
8.1. MÉTODO DE EULERConsiste en dividir el intervalo de X0 a Xn en n subintervalos de ancho h.
n ox - xh
nobteniéndose un conjunto discreto de (n + 1) punto: x0, x1, x2 ……
xn en el intervalo [x0 , xn] generándose la sucesión de aproximaciones
siguientes:
y1 = y0 + hf (x0 , y0)
y2 = y1 + hf (x1 , y1)
y3 = y2 + hf (x2 , y2)
.
yn+1 = yn + hf(xn , yn)
con i = 0 hasta n
siendo f(xi , yi) la ecuación diferencial evaluada en xi y yi.
yi+1 = yi + hf(xi, yi)
Ejemplo 1: Utilice el método de Euler para integrar numéricamente la
ecuación:
y’=f(x,y) = -2x3 + 12x2 – 20x + 8.5 de x=1.0 hasta x=3.0 considerando 4
intervalos y el valor inicial en x=1 es y=3
x0 = 1 f(x0 , y0) = f(1 , 3)
3 1h 0.5
4
yi+1 = yi + hf(xi , yi)
i xi yi F(xi , yi) yi+1=yi+hf(xi ,yi)
0
1
2
3
4
1
1.5
2.0
2.5
3.0
3
2.25
1.625
1.875
3.000
-1.5
-1.25
0.50
2.25
2.5
2.25
1.625
1.875
3.000
4.25
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
x0 x1 x2 x3 x4x4
93
Ejemplo 2. Dada la ecuación diferencial dy
f(x, y) = x - ydx
, resuelva por el
método de Euler para el intervalo [0, 1] considerando 5 intervalos y siendo
y(0)=2
Y(1)=?
1 0h = 0.2
5
yi+1 = yi + hf(xi , yi)
i xi yi F(xi , yi) yi+1=yi+hf(xi ,yi)
0
1
2
3
4
5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
2
1.6
1.32
1.136
1.0288
0.9834
-2
-1.4
-0.92
-0.536
-0.2288
-0.01696
1.6
1.32
1.136
1.0288
0.98304
0.986432
El valor exacto es 1.10364 0100% 10
R
1.10364 .986432E .93%
1.10364
APLICACIÓNUn balón de acero de 1200 K es enfriado con corriente de aire a
temperatura ambiente de 300K. Asumiendo la transferencia de calor en
forma de radiación es mediante la ecuación diferencial .
Determine la temperatura para t= 480s usando el método de euler
12 4 82, 2067 10 81 10dT
Tdt
12 4 8, 2, 2067 10 81 10f t T T
1 0 0 0,T T f t T h
1 ,i i i iT T f t T h
1200 0,1200 240f
12 4 81200 2.2067 10 1200 81 10 240
0 0.2 0.4 0.6 0.8 00.800.80
x0 x1 x2 x3 x4 x5
KTTdt
dT12000,1081102067,2 8412
94
1200 4.5579 240
1 106.09T K
0 240
1 0 240t t t h
1 240 106,09T T K
2 1 1 1,f t h
106.09 240,106.09 240f
12 4 8106.09 2.2067 10 106.09 81 10 240
106.09 0.017595 240
110.32K
2 1t t t h
240 240 480
2 480 110.32K
8.2. MÉTODO DE EULER MODIFICADO
Una fuente fundamental de error en el método de Euler es que la derivada al
principio del intervalo se supone que se aplica a través del intervalo entero y
para obtener una exactitud razonable se utiliza un intervalo muy pequeño a
cambio de un error de redondeo mayor.
El método de Euler modificado trata de evitar este problema utilizando un
valor promedio de la derivada tomada en los dos extremos del intervalo en
lugar de la derivada tomada en un solo extremo.
El método de Euler modificado consta de dos pasos básicos:
1. Se parte de (x0,y0) y se utiliza el método de Euler a fin de calcular el
valor de y correspondiente a x1. Este valor de y se denotará como 1y
ya que solo es un valor transitorio para y1. Esta parte del proceso se
conoce como paso predictor.
95
2. El segundo paso se llama corrector, pues trata de corregir la
predicción. En el nuevo punto obtenido 1 1,x y se evalúa la derivada de
1 1,f x y usando la ecuación ordinaria que se está resolviendo. Se
obtiene la media aritmética de esta derivada y la derivada en el punto
inicial (x0,y0).
0 0 1 1
1f(x , y ) f(x , y ) derivada promedio
2
se usa la derivada promedio para calcular un nuevo valor de yi con la
ecuación de Euler yn+1 = yi + hf(xi, yi) que deberá ser más exacto que
1y .
1 0 0 0 1 1
h y y f(x , y ) (f(x , y ))
2
que se tomará como valor definitivo de y1.
hx x
nn 0
Este procedimiento se repite hasta llegar a yn.
El esquema iterativo para este método quedaría en general así:
Usando el paso de predicción resulta:
y i 1 i i iy hf(x ,y )
Se calcula la derivada i 1 i 1f ( x , y )
Se establece la derivada promedio (llamémosla B)
B12
f(x , y ) f(x , y )i i i 1 i 1
Se sustituye f(xi,yi) con este valor promedio en la ecuación de iteración
de Euler y se obtiene i 1 i i i i 1 i 1
hy y f(x , y ) f(x , y )
2
o simplificado: yi+1= yi+ hB
Ejemplo 1: Resuelva f(x,y) = x - y en el intervalo [0,1]
Con y(0)=2 y(1)=? y Con 5 intervalos.
x0=0 y0=2
xn=1 yn=? n=5h
x x
n1 0
5 h = 0 .2n 0
96
En forma iterativa, hagamos la siguiente tabla:
de i=0 hasta n=5
Recuerde que: xi+1=xi+h f(xi,yi) = xi - yi
y y hf(x ,y )i 1 i i i )y,f(x)y,f(x21
B 1i1iii
i xi Yi f(xi,yi) y i 1Xi+1 f(x ,y )i 1 i 1
B Yi+1=yi+h
b
0
1
2
3
4
5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
2
1.66
1.4172
1.254104
1.156365
1.112222
-2
-1.46
-1.0172
-0.654104
-0.356365
1.6
1.368
1.21376
1.12328
1.085092
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-1.4
-0.968
-0.61378
-0.32328
-0.08509
-1.7
-1.214
-0.81548
-0.488694
-0.2207286
1.66
1.4172
1.254104
1.156365
1.112220
Para i=5 y5=y(1)=1.112222
El valor exacto es 1.10364
R
R
1.10364 1.112222 E 100%
1.10364
E 0.78%
8.3. MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA (RK)Los métodos de Runge-Kutta tienen la exactitud del esquema de la serie de
Taylor sin necesidad de cálculo de derivadas superiores y consisten en
obtener un resultado que se obtendría al utilizar un número finito de términos
en una serie de Taylor de la forma:
!4
4),('''
!3
3),("
!2
2),('),(1
hiyixfhiyixfhiyixfhiyixfiyiy
+..........
con una aproximación en la cual se calcula yi+1 de la fórmula:
1 0 1 1 1( ( , ) ( , ) ...
.... ( , )i i i i i i
p i p i p
Y y h f x y f x h y b h
f x h y b h
(2)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x0 x1 x2 x3 x4 x5
97
donde los , , b se determinan de modo que si expandiera
( , )i j i jf x h y b h con ijp en series de Taylor alrededor de (xi, yi), se
observaría que los coeficientes de h, h2 , h3 , etc. Coincidirían con los
coeficientes correspondientes de la ecuación (1).
Después de efectuar los cálculos convenientes a la ecuación (2) para
establecer los valores de , , b , tenemos las siguientes expresiones de
Runge-Kutta (RK):
1. Método RK de segundo orden:
yi+1 = yi +2
h [k1 +k2]
donde: k1=f(xi, yi)
k2=f(xi+h, yi+hk1)
2. Método RK de tercer orden:
yi+1 = yi +6
h [k1 +4k2 +k3]
donde: k1=f(xi, yi)
k2=f(xi+2
h , yi+2
h k1)
k3= f(xi+h, yi -hk1+2hk2)
3. MétodoRK de cuarto orden:
yi+1 = yi +6
h [k1 +2k2 +2k3 +k4]
donde: k1=f(xi, yi)
k2=f(xi+2
h , yi+2
h k1)
k3=f(xi+2
h , yi+2
h k2)
k4=f(xi+h, yi+hk3)
otra forma de expresar
98
)22(6
1
),(
)2
,2
(
)2
,2
(
),(
43211
34
23
12
1
kkkkyy
kyhxhfk
ky
hxhfk
ky
hxhfk
yxhfk
nn
nn
nn
nn
nn
El método más utilizado es el de cuarto orden ya que coincide con los
primeros cinco términos de la serie de Taylor lo cual significa gran
exactitud sin cálculo de derivadas aunque haya que evaluar la función
f(x,y) cuatro veces en cada subintervalo.
Ejemplo:
Aplíquese el método de Runge-Kutta de cuarto orden para f(x,y)=x-y donde
x=0 hasta x=1 con 5 intervalos y siendo para x=0, y=2.
Ejemplo:1. Aplíquese el método de Runge-Kutta de cuarto orden para f(x,y)= x – y
desde x=0 hasta x=1 Con 5 intervalos siendo para x=0 y=2.
Solución:
(x0, y0)= (0, 2) 1 00, 2
5h
para x=1 y=?
x0=0 x1=0.2 x2=0.4 x3=0.6 x4=0.8 x5=1.0
Aplicamos: yi+1 = yi +6
h [k1 +2k2 +2k3 +k4]
Se calculan los valores de k1, k2, k3, k4 en cada iteración y se halla yi+1
i xi Yi K1 K2 K3 K4 Yi+1
0 0 2 -2 -1.7 -1.73 -1.454 1.6562
1 0.2 1.6562 -1.4562 -121058 -1.235142 -1.009172 1.410973
2 0.4 1.410973 -1.010973 -0.809876 -0.829985 -0.644976 1.246451
3 0.6 1.246451 -0.746451 -0.471806 -0.49927 -0.346797 1.148004
4 0.8 1.148004 -0.348004 -0.213204 -0.226684 -0.10268 1.103656
5 1.0 1.103656
99
para x=1.0, y=1.103656
Que al comparar con el valor exacto que es 1.10364, tenemos:
1100% 0.001
R
1.10364 .103656E %
1.10364
2. Resolver
21( , ) 1
2i i i iF X Y X Y aplicando el método de Runge-Kutta.
SoluciónDe la condición inicial del problema se tiene que X = 0, y Y = 1;
además, h = 0.1. Sustituyendo estos valores en se obtiene:
Llevando estos valores a (16) y el resultante a (12) se obtiene que para X =
0.1 la solución del problema es
Los valores de las kipara este punto obtenido de la solución, son:
luego
Continuando de la misma forma se obtiene la solución que se muestra en la
siguiente tabla:
99
para x=1.0, y=1.103656
Que al comparar con el valor exacto que es 1.10364, tenemos:
1100% 0.001
R
1.10364 .103656E %
1.10364
2. Resolver
21( , ) 1
2i i i iF X Y X Y aplicando el método de Runge-Kutta.
SoluciónDe la condición inicial del problema se tiene que X = 0, y Y = 1;
además, h = 0.1. Sustituyendo estos valores en se obtiene:
Llevando estos valores a (16) y el resultante a (12) se obtiene que para X =
0.1 la solución del problema es
Los valores de las kipara este punto obtenido de la solución, son:
luego
Continuando de la misma forma se obtiene la solución que se muestra en la
siguiente tabla:
99
para x=1.0, y=1.103656
Que al comparar con el valor exacto que es 1.10364, tenemos:
1100% 0.001
R
1.10364 .103656E %
1.10364
2. Resolver
21( , ) 1
2i i i iF X Y X Y aplicando el método de Runge-Kutta.
SoluciónDe la condición inicial del problema se tiene que X = 0, y Y = 1;
además, h = 0.1. Sustituyendo estos valores en se obtiene:
Llevando estos valores a (16) y el resultante a (12) se obtiene que para X =
0.1 la solución del problema es
Los valores de las kipara este punto obtenido de la solución, son:
luego
Continuando de la misma forma se obtiene la solución que se muestra en la
siguiente tabla:
100
X Y k1 k2 k3 k4
0.0 1.0000 0.5000 0.5516 0.5544 0.6127
0.1 1.0554 0.6126 0.6782 0.6823 0.7575
0.2 1.1236 0.7575 0.8431 0.8494 0.9494
0.3 1.2085 0.9492 1.0647 1.0745 1.2121
0.4 1.3158 1.2119 1.3735 1.3896 1.5872
0.5 1.4545 1.5868 1.8234 1.8517 2.1509
8.4. MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS
Las diferencias divididas finitas se sustituyen por las derivadas en la
ecuación original. Así una ecuación diferencial se transforma en un conjunto
de ecuaciones algebraicas lineales simultaneas.
Primera derivada: 1i iy ydy
dx x
Segunda derivada:2
1 12 2
2i i iy y yd y
dx x
Resolver la ecuación mediante diferencias finitas2
6 72
2 10 7.5 10 (75 )d y
y xdx
21 1
2 2
2
( )i i iy y yd y
dx x
6 71 12
22 10 7.5 10 (75 )
( )i i i
i i i
y y yy x x
x
25x ,
0x a 75x con 25x .
0x 25x 50x
1i 2i 3i 4i
75x
1i i 1i
101
00 x
2525001 xxx
50252512 xxx
75255023 xxx
0x 01 y
)75(105.7102)25(
222
72
62
123 xxyyyy
)2575)(25(105.70016.0003202.00016.0 7321 yyy
4321 10375.90016.0003202.00016.0 yyy
)75(105.7102)25(
233
73
62
234 xxyyyy
)5075)(50(105.70016.0003202.00016.0 7332 yyy
4332 10375.90016.0003202.00016.0 yyy
75x
4 0y
0
10375.9
10375.9
0
1000
0016.0003202.00016.00
00016.0003202.00016.0
0001
4
4
4
3
2
1
y
y
y
y
0
5852.0
5852.0
0
4
3
2
1
y
y
y
y
8.5. SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Ya sea que estemos afrontando un problema de ingeniería cuya solución
implique la resolución de una ecuación diferencial de orden n, o uno que
implique la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
de primer orden, nos enfrentaremos a la necesidad de resolver un sistema
que podremos expresar como sigue:
102
11 1 2 n
22 1 2 n
nn 1 2 n
dyf x , y , y ,............, y
dxdy
f x , y , y ,............, ydx
.
.
dyf x , y , y ,............, y
dx
Por supuesto, la solución de tal sistema requiere de que se conozcan las n
condiciones iniciales en el valor inicial del intervalo correspondiente a x.
Todos los métodos vistos anteriormente para simples ecuaciones pueden
extenderse a la resolución de sistemas como el anterior. El procedimiento
para resolver un sistema de ecuaciones simplemente involucra aplicar las
técnicas conocidas para cada ecuación en cada paso, antes de proceder con
el siguiente. Esto quedará claramente ilustrado con el siguiente ejemplo
donde hemos aplicado el método de Euler.
Ejemplo 1:Resolución de un sistema de EDOs mediante el método de Euler.
Resolver el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias:
11
22 1
dy- 0,5 y
dxdy
4 - 0,3 y - 0,1 ydx
Resolveremos el sistema en el intervalo entre x = 0 y x = 2, con condiciones
iniciales en x = 0, y1 = 4 , y2 = 6. Utilizaremos un paso h = 0.5.
Se implementa el método de Euler para cada variable mediante la ya
conocida expresión:
i 1 i i iy y f ( x , y ) h
Primero calculamos las pendientes:
11
22
dyf ( 0 , 4, 6) - 0.5 4 - 2
dxdy
f ( 0 , 4, 6) 4 - 0.3 6 - 0.1 4 1.8dx
Y luego los valores de la función para el primer paso:
103
1 1 1
2 2 2
y 0.5 y 0 f ( 0 , 4 , 6) h 4 -2 0.5 3
y 0.5 y 0 f ( 0 , 4 , 6) h 6 1.8 0.5 6,9
Para un segundo paso volvemos a calcular las pendientes:
11
22
dyf ( 0.5 , 3, 6.9) - 0.5 3 - 1.5
dxdy
f ( 0.5 , 3, 6.9) 4 - 0.3 6.9 - 0.1 3 1.63dx
Y luego los valores de la función para el segundo paso:
1 1 1
2 2 2
y 1.0 y 0.5 f ( 0.5 , 3, 6.9) h 3 -1.5 0.5 2.25
y 1.0 y 0.5 f ( 0.5 , 3, 6.9) h 6.9 1.63 0.5 7.715
Y así continúa el cálculo hasta el final. Los resultados se resumen en la
siguiente tabla:
x y1 y2
0.0 4.000000 6.000000
0.5 3.000000 6.900000
1.0 2.250000 7.715000
1.5 1.687500 8.445250
2.0 1.265625 9.094870
8.6 PROBLEMAS
1. Dada la ecuación diferencial f(x,y)=yx2-y con x=0 a x=2 siendo y(0)=1 y
n=4 intervalos resuelva por el método sencillo de Euler
2. Dada y’=f(x,y) = 2x3 –3x2 entre x=0 y x=1 siendo f(0)=1 y con n=2, evalúe
utilizando
a)el método sencillo de Euler.
3. Dada y’=f(x,y)= -2x3 + 12x2 –20x + 8.5 resuelva utilizando el método RK de
cuarto orden desde x=1 hasta x=3 considerando 4 intervalos y siendo
y(1)=3.
4. Utilice el método de Euler Modificado para resolver:
a) dy/dx=2x3 –2xy con y(0)=0 y(2.5)=? h=0.5
104
b) y’=2x2 –3y2 con y(1)=0.5 y(2)=? h=0.2
5. Resolver mediante el método euler
100000( )x xdyy e e
dx
(0) 0y , use the implicit Euler method to obtain the solution from 0x to 0,3
using the step-size of 0.1
6. Un tanque de 600 galones de capacidad contiene inicialmente 200 galones
de salmuera con 25 lb. de sal. Salmuera con 2 lb. por galón entra al tanque a
un flujo de 13 galones/ s. La salmuera mezclada en el tanque fluye hacia
fuera a un flujo volumétrico de 8 galones/ s. ¿Cuál es la cantidad de sal y la
concentración cuando el tanque se Encuentra lleno? Utilizar el método de
runge kutta de segundo orden.
7. Las plantas de desalinización se usan para purificar el agua de mar , para
que pueda beberse . El agua de mar contiene disuelto 8 g de sal /kg. Y es
bombeada hacia un tanque de mezcla a razón de 0,5 kg./ min. Debido a
una falla en el diseño del equipo, el agua se evapora del tanque a razón de
0,5kg/min. .La solución salina sale del tanque a razón de 10 kg/min.
Supóngase que el balance de la disolución es agua pura.
Si el tanque se llena inicialmente con 1 000 kg. de solución a la entrada.
¿ determine la concentración a la salida del tanque en función del
tiempo hasta que el tanque quede vació.?
8. Las siguientes ecuaciones definen las concentraciones de tres reactores
20 2AA C B
dCC C C
dt
20 2BA C B
dCC C C
dt
20 2 0,2CA C B C
dCC C C C
dt
Si las condiciones iniciales son CA = 500, CB = 0 y Cc = 500 halle las
Concentraciones para los tiempos que van desde 0 a 30s usando un h = 3
9. La descarga de un fluido por gravedad por un orificio por el fon deo del
tanque puede ser modelado mediante el siguiente sistema d e ecuaciones
diferenciales.
105
200205,00010,0 vydt
dv
)100
11(0624,0
vdt
dy
donde v es la velocidad del fluido, y nivel del liquido las condiciones
iniciales son de v0 = 2,5 ; y0 = 20 cual son los valores de v, y para t = 5
con h igual 0,5
10. Par un circuito eléctrico los resistores no obedecen la ley de Ohm, y el
circuito dinámico se describe por la relación siguiente
3
( ) 0di i i
l Rdt I I
i = corriente eléctrica ; I = corriente de referencia igual 1; R resistencia
eléctrica 2 ; Resolver la ecuación diferencial si i(0) = 0,6 A para t =
30s con h = 3s
11. Determine usado técnicas numéricas la ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden2
23 10 0
d x dxx
dtdt
La condición inicial para la ecuación para t = 0 x =1
Determine los valores de x entre 1,2 usando h = 0,1
12. Un tanque de 2 000 L contiene, en el inicio 400L de agua pura .
Comenzando en t = 0 una solución acusa que contiene 1 g/ L de cloruro de
potasio fluye hacia el tanque a razón de 8L/s y al mismo tiempo, comienza a
fluir una corriente de salida a razón de 4L/s .El contenido del tanque esta
mezclado perfectamente y la densidad de la corriente de alimentación y
salida puede considerarse constante. Calcule la concentración de cloruro
de potasio en el tanque en el momento en que este rebosa.
13. Un Reactor CSTR como se muestra en la figura, la concentración de
alimentación (CA0) of 0,5 mole/m3. Determine la concentración al cabo de
0,5h
106
1
2
0
3 3 1 31 2
(1 )
( ) ( )( )
2,0 1,0 / 1,0 1,0 /
AA
A
AA A A
k Cr
k C
dCV F C C V r
dt
V m F m h k h k m mole
14. Se tiene un intercambiador de calor de tubos concéntricos en
contracorriente y sin cambio de fase .Las ecuaciones que describen el
intercambiador de calor en ciertas condiciones de operación son:
BSS
BSB
TTxdx
dT
TTxdx
dT
04.0
03.0
CONDICIONES
CT
CT
S
B
0
0
100)0(
20)0(
¿?)3(
¿?)3(
S
B
T
T
Evalué la temperatura para x= 3 m
15. Resolver la siguiente ecuación mediante diferencias finitas2
2 2
10, (5) 0,08731, (8) 0.0030769
d u d u uu u
rdr dr r
107
16. El siguiente diagrama ( Figura.18) muestra tres tanques continuos con
agitación conectados en serie Se ha disuelto1500g de Na2SO4 en el
primer tanque, llenando los otros tanques con solvente puro, e
iniciando después un flujo de 40L/ a través del sistema. Calcular el
tiempo para alcanzar una concentración de 0,01g/l en el tanque tres.
Fig Nº16: Sistema de tanques de mezclado.
17. Determine el valor de y(1) resolviendo
,015,005,0 tytyty ,00 y 10 y
utilizando el método de Runge-Kutta de segundo orden, con h = 0,5
18. El circuito que se muestra en la figura E9.5 tiene una autoinductancia
de L = 50H, una resistencia de R = 20 ohms y una fuente de voltaje de
V = 10 volts. Si el interruptor se cierra en el instante t = 0, la corriente
I(t) satisface la ecuación:
00, IEtRItIdt
dL
Determine el valor de la corriente para 0 < t 10 segundos, mediante el
método de Runge-Kutta de segundo orden, con h = 0.1.
E R
L
SW i
Figura 19: Circuito electrico
108
19. El agua que sale del tanque entra a otro de 20 galones, en cual
también se vierte agua pura a razón de 3 galones/minuto y se mezcla
bien. La concentración de sal en el segundo tanque satisface
100,20
2
20
32122 yytyty
donde y1(t) es la concentración de sal del tanque de 50 galones del
problema anterior. Utilice el método de Runge–Kutta de segundo orden
para determinar cuando alcanza su máximo la concentración de sal en
el tanque de 20 galones. Suponga que el segundo tanque tiene agua
pura en el instante t = 0.
20. Un tanque de 50 galones de agua contiene sal con una concentración
de 10 onzas/galón. Con el fin de diluir el contenido de sal, se suministra
agua pura a razón de 2 galones/minuto. Si el depósito tiene una mezcla
uniforme y la misma cantidad de agua que entra sale del depósito cada
minuto, la concentración de sal satisface
100,50
2111 yyty
donde y1(t) es la concentración de sal en onzas/galón y t es el tiempo
en minutos. Utilice el método de Runge–Kutta de segundo orden con h
= 1 minuto para determinar cuánto tiempo debe transcurrir para que la
concentración de la sal sea 1/10 de su valor inicial.
b) El agua que sale del tanque entra a otro de 20 galones, en cual
tambien se vierte agua pura a razon de 3 galones/minuto y se mezcla
bien. La concentracion de sal en el segundo tanque satisface
100,20
2
20
32122 yytyty
donde y1(t) es la concentración de sal del tanque de 50 galones del
problema anterior. Utilice el método de Runge–Kutta de segundo
orden para determinar cuando alcanza su máximo la concentración de
sal en el tanque de 20 galones. Suponga que el segundo tanque tiene
agua pura en el instante t = 0.
109
21. Resolver el sistema de EDOs mediante el método de Runge – Kutta
clásico de cuarto orden.
11
22 1
dy- 0.5
dx
dy4 - 0.3 y - 0.1 y
dx
y
Resolveremos el sistema en el intervalo entre x = 0 y x = 2, con condiciones
iniciales en x = 0, y1 = 4 , y2 = 6. Utilizaremos un paso h = 0.5.
110
9. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP)
INTRODUCCIÓNUna EDP es una ecuación que tiene como incógnita a una función de dos o
más variables y que involucra a una o más de sus derivadas parciales. El
orden de una EDP es el de la derivada con mayor orden en la ecuación. La
linealidad de las ecuaciones se establece como sigue: Si los coeficientes
dependen sólo de las variables independientes entonces a la ecuación se
le denomina lineal. Si además dependen de la propia función o de alguna
de sus derivadas parciales entonces la ecuación es no lineal.
EJEMPLO Ecuación diferencial parcial de transferencia de calor unidimensional
en estado no estacionario.2
2
T T
t x
T: Temperatura en K , t es el tiempo en s,
es la difusivilidad térmica en m2/s
Ecuación de transferencia de calor en estado estacionariobidimensional
2 2
2 2
T T
x y
T es la temperatura en K , x,y ejes coordenados
9.1 PROBLEMAS
1. resuelva la ecuación diferencial parcial de transferencia de calor en dos
dimensiones.
2 2
2 20
T T
X Y
0 X2 , 0 Y2 , 5,0 YX
T( 0, Y) = 100 , T( X ,0 ) = 60 , T( 2,Y) = 100 , T(X, 2) = 60
2. Resuelva la siguiente ecuación diferencial de transferencia de calor dadapor
111
2 2
2 20
T T
X Y
T = 40 . 0 y 1 , x = 0
T = 120 0 y 1 x =4
T = 40 0 X 4 y = 0
T= 50 0 X 4 y = 1
Utilizando 25,0y y 1x
112
10. APLICACIONES DE INGENIERÍA QUÍMICA EN POLYMATH-MATHCAD Y MATLAB
10.1 PROBLEMAS CON POLYMATH
1. Determine el volumen Molar del gas dióxido de carbono mediante laecuación de VAN DER WAALS .
RT*
aP V b
V V
a= 3,592 b= 0,04267 R = 0,082
PARA T= 300K , P =100 ATM
f(v) = (P + a/(V2))*(V-b) –R*T = 0
POLYMATH Results
NLE Solution
Variable Value f(x) Ini Guess
V 0.0793969 -1.776E-13 0.2505
a 3.592
b 0.04267
T 300
R 0.082
P 100
2. En la batería de reactores de mezcla completa que se muestra en el diagrama, selleva a cabo una reacción isotermica de Segundo orden a volumen constante si elflujo volumétrico a cada reactor es constante de 25 l/min. calcular la concentraciónde salida de cada reactor
113
Figura Nº17: Bateria reactores
Balance de materia en cada reactor:Reactor N°1: q*CA0 –q*CA1 –K*CA1
2*V1 =0
Reactor N°2 q*CA1-q*CA2 –K*CA22*V2 =0
Reactor N°3 q*CA2-q*CA3 –K*CA32*V3 =0
F(CA1) = q*(CA0 –CA1) –K*CA12*V1 =0
F(CA2) = q*(CA1-q*CA2) –K*CA22*V2 =
F(CA3) = q*(CA2-q*CA3) –K*CA32*V3 =0
Variable Value f(x) s
CA1 0.6031317 -7.105E-15 2
CA2 0.2869484 -1.332E-14 1
CA3 0.1725794 -2.944E-13 0.8
V 1200
K 0.08
CA0 2
Q 25
3. En un reactor químico se obtiene glucosa a partir de la hidrólisis de
almidón. La ecuación diferencial que gobierna el proceso para la
concentración del almidón es .
V*Dca/dt = q*CA0 - q*CA + rara = -k*CA
2V
CA0: Concentración de la alimentación a la entrada = 6,3 mol/m3
114
CA: Concentración del almidon a la salida
V : volumen del reactor = 500m3
Q : caudal volumetrico 100 m3/h
ra : velocidad de transformación de almidon en glucosa
K= 0.02 m3/h*mol .
Calcular la composición de salida para t = 20h
ODE Report (RKF45)Differential equations as entered by the user
[1] d(CA)/d(t) = q*CA0 /V - q *CA/V -K*CA2
Explicit equations as entered by the user
[1] q = 100
[2] V = 500
[3] CA0 = 6.3
[4] K = 0.02
Independent variable
variable name : t
initial value : 0
final value : 20
Variableinitial valueminimal valuemaximal valuefinal valuet 0 0 20 20
CA 6.3 4.38179 6.3 4.38179
q 100 100 100 100
V 500 500 500 500
CA0 6.3 6.3 6.3 6.3
K 0.02 0.02 0.02 0.02
4. La concentración saturada de oxigeno disuelto en agua como función de
temperatura y de la concentración de cloro se lista en la siguiente tabla.
*Determine la ecuación que correlacione C=f(T) de grado 2 y 3
Evaluar la concentración para T = 20°C
115
Temperatura Cloro( 10 000mg/l)
5
10
15
20
25
30
11,6
10.3
9,1
8,2
7,4
6,8
REGRESION LINEALModel: C = a0 + a1*T + a2*T2
Variable Value 95% confidencea0 13.11 0.1595539
a1 -0.3195 0.0208769
a2 0.0036429 5.839E-04
REGRESION POLINOMICAtModel: C = a0 + a1*T + a2*T2 + a3*T3
Variable Value 95% confidence
a0 13.133333 0.5263102
a1 -0.3253704 0.1199362
a2 0.0040317 0.0076758
a3 -7.407E-06 1.451E-04
5. La siguiente secuencia de reacciones se llevan a cabo en estado no
estacionario según la reacción:
Determinar la ecuación de cada componente de la reacción así como losproductos en función al tiempo. Construya la tabla tiempo vs concentraciónen un paso de 1 a 1 hasta 10 minutos, asuma que las concentracionesiniciales son A (0)=1 mol/L, B (0)=1 mol/L, C (0)=1 mol/L.
Datos:
116
K1=0.5 min-1
K2=1.0 min-1
Solución: formando las ecuaciones diferenciales en función de la reacción.
11 1
Ck C
t
21 1 2 2
Ck C k C
t
22 2
Ck C
t
FIGURA 18: Datos de ingreso en Polymath
FIGURA 19: Gráfica concentración vs tiempo
116
K1=0.5 min-1
K2=1.0 min-1
Solución: formando las ecuaciones diferenciales en función de la reacción.
11 1
Ck C
t
21 1 2 2
Ck C k C
t
22 2
Ck C
t
FIGURA 18: Datos de ingreso en Polymath
FIGURA 19: Gráfica concentración vs tiempo
116
K1=0.5 min-1
K2=1.0 min-1
Solución: formando las ecuaciones diferenciales en función de la reacción.
11 1
Ck C
t
21 1 2 2
Ck C k C
t
22 2
Ck C
t
FIGURA 18: Datos de ingreso en Polymath
FIGURA 19: Gráfica concentración vs tiempo
117
6. Resolver el siguiente sistema:
1 2
yk x k y
t
1
xk x
t
2
zk y
t
Con valores iníciales x (0)=1, y (0)=0, z(0)=0 con t=0 a t=3 y k1=1, k2=2
Solución:
FIGURA 20: Ingreso de Datos en Polymath
117
6. Resolver el siguiente sistema:
1 2
yk x k y
t
1
xk x
t
2
zk y
t
Con valores iníciales x (0)=1, y (0)=0, z(0)=0 con t=0 a t=3 y k1=1, k2=2
Solución:
FIGURA 20: Ingreso de Datos en Polymath
117
6. Resolver el siguiente sistema:
1 2
yk x k y
t
1
xk x
t
2
zk y
t
Con valores iníciales x (0)=1, y (0)=0, z(0)=0 con t=0 a t=3 y k1=1, k2=2
Solución:
FIGURA 20: Ingreso de Datos en Polymath
118
FIGURA 21: Resultados con el Software Polymath
FIGURA 22: Grafica de resultados de la Ecuación diferencial.
118
FIGURA 21: Resultados con el Software Polymath
FIGURA 22: Grafica de resultados de la Ecuación diferencial.
118
FIGURA 21: Resultados con el Software Polymath
FIGURA 22: Grafica de resultados de la Ecuación diferencial.
119
7. Resolver las siguientes ecuaciones:
11 30,12 0,02 1
dCC C
dt
21 20,15 0,15
dCC C
dt
32 30,025 0, 225 4
dCC C
dt
43 4 50,1 0,1375 0,025
dCC C C
dt
51 2 50,01 0,01 0,04
dCC C C
dt
Con C1 (0)=1, C2 (0)=1, C3 (0)=1, C4 (0)=1 y C5 (0)=1 de t=0 a t=1
Solución:
FIGURA 23: Ingreso de Datos en Polymath
119
7. Resolver las siguientes ecuaciones:
11 30,12 0,02 1
dCC C
dt
21 20,15 0,15
dCC C
dt
32 30,025 0, 225 4
dCC C
dt
43 4 50,1 0,1375 0,025
dCC C C
dt
51 2 50,01 0,01 0,04
dCC C C
dt
Con C1 (0)=1, C2 (0)=1, C3 (0)=1, C4 (0)=1 y C5 (0)=1 de t=0 a t=1
Solución:
FIGURA 23: Ingreso de Datos en Polymath
119
7. Resolver las siguientes ecuaciones:
11 30,12 0,02 1
dCC C
dt
21 20,15 0,15
dCC C
dt
32 30,025 0, 225 4
dCC C
dt
43 4 50,1 0,1375 0,025
dCC C C
dt
51 2 50,01 0,01 0,04
dCC C C
dt
Con C1 (0)=1, C2 (0)=1, C3 (0)=1, C4 (0)=1 y C5 (0)=1 de t=0 a t=1
Solución:
FIGURA 23: Ingreso de Datos en Polymath
120
FIGURA 24: Resultados Polymath
FIGURA 25: Grafico Polymath
120
FIGURA 24: Resultados Polymath
FIGURA 25: Grafico Polymath
120
FIGURA 24: Resultados Polymath
FIGURA 25: Grafico Polymath
121
10.2 PROBLEMAS CON MATHCAD
1. Para flujo turbulento para todas las tuberías, el Instituto de Hidráulica
de Estados Unidos y la mayoría de ingenieros consideran la ecuación
de Colebrook como la más aceptable para calcular f. La ecuación es:
1 0,2510,86ln
0,36 Re
e
df f
Donde:
Re : l número de Reynolds (adimensional)
e : aspereza o rugosidad de la tubería (unidad de longitud)
d :, diámetro de la tubería (unidad de longitud)
Obtener el factor de fricción para un fluido con un Reynolds de 3E4 que
fluye en una tubería con un diámetro de 0,1 m y una rugosidad de
2,x10-3 m.
Solución con mathcadIngresando datos:
E = 0,002D = 0,1
Re = 3104
f = 0,001Given
1 0,2510,86ln
0,36 Re
E
Df f
Calculo de la fricción
F = Find (f)f = 0,055
de la figura efectuar un balance de masa y determine los flujos
122
Figura Nº26: Sistema de columna de separación
0.07x1 +0.18x2 + 0.15x3 +0.24x4 = 10.5
0.04x1 + 0.24x2 + 0.1x3 +0.65x4 =17.5
0.54x1 + 0.42x2 + 0.54x3 + 0.10x4 = 28
0.35x1 + 0.16x2 + 0.21x3 + 0.01x4 = 14
A
0.07
0.04
0.54
0.35
0.18
0.24
0.42
0.160
0.15
0.1
0.54
0.21
0.24
0.65
0.1
0.01
123
2. La ecuación de Antonie para el cálculo de la presión de vapor (P*) de
un compuesto esta dado por:
Donde:
P*: presión de vapor (mmHg)
T, temperatura (ºC)
Las constantes para el benceno y el hexano son:
Compuesto A B C
benceno 6.89745 1260.350 220.237
Hexano 6.87773 1171.530 224.366
Determinar la temperatura de ebullición de la mezcla a 1 y a 5 atm.
Solución
sean las fracciones molares
xa = 0,5xb = 0,5
constantes para el benceno
constantes para el hexano
para una presión de 1atm en mmHg
B
10.5
17.5
28
14
solucion
26.25
17.5
8.75
17.5
log P*( ) AB
C T
A1 6.89745
B1 1206.350
C1 220.237
A2 6.87773
B2 1171.530
C2 224.366
124
asumiendo una temperatura inicial de 30ºC
3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales con mathcad
k1x2
y2
1 x( ) 1 x y( )
k2y x y( )
x y( ) 1 x y( )
Solución
Pt 760
T 30
Given
Pt Xa 10
A1B1
C1 T
Xb 10
A2B2
C2 T
T Find T( )
T 73.975
Especifique las constantes de equilibrio
k1 0.6 k2 0.2
x 0.8 y 0.5Tome dos valores iniciales
Given
k1x
2y
2
1 x( ) 1 x y( )
k2y x y( )
x y( ) 1 x y( )
vec Find x y( )
vec0.652
0.198
125
4. Mediante la ecuacion de Vand Der Waals calcular el volumen molar a P
= 60 atm y T = 500K.
.
Pa
V2
V b( ) R Tecuacion deVan der Waals
Definiendo las constantes
R 0.082
Para el amoniaco Tc 405 Pc 111.3
Constante a y b
a27
64
R2
Tc2
Pc
bR Tc
8 Pc
Especificando las constantes
R 0.082 Para el amoniaco Tc 405 Pc 111.3
Constante a y ba
27
64
R2
Tc2
Pc
bR Tc
8 Pc
Evaluando las constantes a y b a b
Especifique la presion y temperatura T 500 P 60
Asumiendo un valor inicial( comportamiento ideal)
VR T
P
V
Dado
Pa
V2
V b( ) R T
calculo del volumen Molar
V Find V( )
V
126
5. Encontrar el volumen molar que ocupa el gas empleando la ecuación
de Redlinh
Kwong
( )
RT aP
V b V V b T
2 5 / 2
0, 42747 C
C
R Ta
P
0,08664 c
c
RTb
P
P en Atm V en L/mplg T en K 0,082Atm L
Rmol gK
Pc: presión critica de amoniaco 111,3 atm.
TC: temperatura critica de amoniaco 405K
ECUACION DE ESTADO DE R-K
Ingresando las contantes: R 0.082 Pc 111.3 Tc 405
Ingresando los datos: P 60 T 500
Calculo de a yb:
b 0.08664R Tc
Pc
a 0.42747
R2
Tc
5
2
Pc
a b
Asumiendo comportamiento ideal VR T
P
V
Dado
PR T
V b( )
a
V V b( ) T
V Find V( ) V
127
6. A un sistema de separación FLASH ( Fig. 21) ingresa 100 moles/h de
una mezcla
Figura Nº27:Sistema de separación de componentes
Alimentación al Flash( Mol/h)
Zi: Fraccion molar de los componentes de la mezcla i = 1,2,3, …NC
V: Caudal de salida del vapor ( mol/h)
yi : Fraccion molar de los componentes en la fase vapor
L: Caudal De salida de la fase liquida ( mol/h)
xi: Fraccion molar de los componentes en la fase liquida
Balance de materia global: F = V + L
Balance de componentes : Zi*F = xi*L + yi*V
Equilibrio Liquido vapor : yi = Ki *xi
Fraccion vaporizada :
Remplazando en las anteriores ecuaciones Se obtiene las siguientesexpresiones
( 1) 1
zix
Ki
1
2
3
Alimentacion
F
VAPOR(V)
Liquido(L)
yi
xizi
V
F
128
*
( 1) 1
Ki ziyi
Ki
1
( 1)0
( 1) 1
Ni
i
Zi Ki
Ki
Teniendo en cuenta los datos de la siguiente tabla Calcular la fracciónvaporizada así como los flujos en cada corriente con sus respectivascomposiciones
COMPONENTES FRACCION MOLAR K
C1
C2
C3
C4
C5
0.05
0.15
0.25
0.2
0.35
16.25
5.25
1.99
0.75
0.29
Ingresando los datos:F 100 k1 16.25 k2 5.25
k3 1.99 k4 0.75 k5 0.29
z1 0.05 z2 0.15
z3 0.25 z4 0.2 z5 0.35
Asumiendo un valor: 0.5
Dado
z1 k1 1( )
k1 1( ) 1
z2 k2 1( )
k2 1( ) 1
z3 k3 1( )
k3 1( ) 1
z4 k4 1( )
k4 1( ) 1
z5 k5 1( )
k5 1( ) 1 0
Find ( )
129
7. Encontrar el volumen molar que ocupa el gas empleando la ecuación
de estado de Redlinh-Kwong.
A una presión de 14 bar y una temperatura de 333K
( )
RT aP
V b V V b T
8. La temperatura media logarítmica de un intercambiador de calor a
contracorriente esta dado por:
1 2 2 1
1 2
2 1
ln
T t T tLMDT
T t
T t
Ingresando los datos: b 44.897 a 1.56414108
R 83.14
T 333 P 14
f V( )a b
P Tb
2 b R T
P
a
P T
VR T
PV
2 V
3
Se observa un plinomio de grado 3
Ingrese los coeficientes en una matriz de 4*1
V
a b
P T
b2 b R T
P
a
P T
R T
P
1
S polyroots V( )
S
71.299
229.996
1.676 103
130
Para este sistema la temperatura media logarítmica debe ser de 50°C yel fluido caliente se alimenta a 100°C y sale a 60 °C, mientras que elfluido frió se alimenta a 15°C
¿A qué temperatura sale del intercambiador el fluido frió?
9. El factor de fricción para diferentes números de Reynolds empleando
la ecuación de Colebrook
1 2,510,86ln
3,7 Ref d f
Obtener el factor de friccion para Re de 10 000 , e = 0,002cm y diámetrode 2cm
Ingrese los datos :
T1 15 T3 100 T4 60 LMTD 50
Asumiendo un valor inicial: T2 50
Dado
LMTDT3 T2( ) T4 T1( )
lnT3 T2
T4 T1
T2 Find T2( )
T2
CALCULO DEL FACTOR DE FRICCION
Ingresando datos: Re 10000 e 0.002 d 2
Asumiendo para f : f 0.001
Dado
1
f0.86 ln
e
3.7 d
2.51
Re f
f Find f( )
f
131
10.3. PROBLEMAS CON MATLAB
1. A un reactor ingresa una mezcla de gases de 8% de dióxido de azufre y el
12% de oxigeno y la diferencia de nitrógeno, y se desarrolla la siguiente
reacción.
Calcular la composición en el equilibrio a presión constante de 2 atm y la
constante de equilibrio KP es de 160.
Algorritmo de Solucion en Matlab:
clear all, close all, clc
disp('H2SO4');
SO2=input('Ingrese moles de SO2: ');
O2=input('Ingrese moles de O2: ');
SO3=input('Ingrese moles de SO3: ');
N2=input('Ingrese moles de N2: ');
P=input('Ingrese Presion Total (atm): ');
KP=input('Ingrese Constante de Equilibrio: ');
syms x;
disp('Moles en Equilibrio: ');
ESO2=SO2-x;
EO2=O2-0.5*x;
ESO3=SO3+x;
disp(ESO2);
disp(EO2);
disp(ESO3);
ET=ESO2+EO2+ESO3+N2;
f=KP-((ESO3/ET)*P)/((ESO2/ET)*((EO2/ET)^0.5)*P^1.5);
322 21
SOOSO
132
xai=input('Ingrese Limite Inferior: ');
xbi=input('Ingrese Limite Superior: ');
tol=input('Ingrese Tolerancia: ');
f=inline(f);
i=1;
ea(1)=100;
if f(xai)*f(xbi) < 0
xa(1)=xai;
xb(1)=xbi;
f1=f(xai);
xr(1)=(xa(1)+xb(1))/2;
fprintf('Iter. x1 f1 x2 Error aprox \n');
fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \n',i,xa(i),f1(i),xr(i));
while abs(ea(i)) >= tol,
if f(xa(i))*f(xr(i))< 0
xa(i+1)=xa(i);
xb(i+1)=xr(i);
end
if f(xa(i))*f(xr(i))> 0
xa(i+1)=xr(i);
xb(i+1)=xb(i);
end
xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))/2;
ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))/(xr(i+1))*100);
fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \t %7.3f \n',...
i+1,xa(i+1),xr(i+1),xb(i+1),ea(i+1));
i=i+1;
133
end
else
fprintf('No existe una raíz en este intervalo');
end
Resultados:
TABLA 12Resultados en Matlab
2. Se sabe que la temperatura media logarítmica de un intercambiador de
calor contracorriente está dada por:
ent sald sald entrcal frio cal frio
AQ ent saldcal frio
sald entrcal frio
T - T - T -TΔT = LMTD =
T - Tln
T -T
133
end
else
fprintf('No existe una raíz en este intervalo');
end
Resultados:
TABLA 12Resultados en Matlab
2. Se sabe que la temperatura media logarítmica de un intercambiador de
calor contracorriente está dada por:
ent sald sald entrcal frio cal frio
AQ ent saldcal frio
sald entrcal frio
T - T - T -TΔT = LMTD =
T - Tln
T -T
133
end
else
fprintf('No existe una raíz en este intervalo');
end
Resultados:
TABLA 12Resultados en Matlab
2. Se sabe que la temperatura media logarítmica de un intercambiador de
calor contracorriente está dada por:
ent sald sald entrcal frio cal frio
AQ ent saldcal frio
sald entrcal frio
T - T - T -TΔT = LMTD =
T - Tln
T -T
134
Se tiene el siguiente intercambiador:
Se sabe que en este sistema la temperatura media logarítmica debe ser
de 50ºC. El fluido caliente se alimenta al sistema a 100ºC, mientras que el
fluido frío se alimenta a 15ºC,. ¿a que temperatura sale del intercambiador
de fluido frío?
Algoritmo de Solución en Matlab:
clear all, close all, clc
disp ('Temperatura en un Intercambiador de Calor')
xo=input('Temperatura Inicial =');
n=input ('Numero de Iteraciones=');
salida=ones(n,3); % matiz de salida de datos
for i=1:n
x1=xo-[(45*exp((55-xo)/50)+xo-100)]/[1+(-45/50)*(exp((55-xo)/50))];
vsal=[xo;x1];
ea=[[abs((x1-xo)/x1)]]; % error
xo=x1;
salida(i,1)=i;
salida(i,2)=x1;
salida(i,3)=ea;
end
disp('Iter. T(i) Error');
disp(num2str(salida));
Resultados:
INTERCAMBIADORDE CALOR
entrfrioT = 15ºC
= 60ºCsaldcalT
saldfrioT
entcalT = 100ºC
= t
135
TABLA 13Resultados Temperatura en Matlab
3. Un gas se encuentra a una presión absoluta de 13.76 bar y una
temperatura de 333 K. Encontrar el volumen molar ocupa el gas empleando
la ecuación de estado de Redlich-Kwong.
Para este compuesto las constantes son:
P = 13.76 atm
T = 333ºk
a = 1.5614 x 108 (cm6 bar/(g mol)2 k1/2)
b = 44.897 (cm3/ g mol)
R = 83.4 (cm3 bar /g mol k)
Algoritmo de Solución en Matlab:
clear all, close all, clc
disp('Ecuacion de Redlich-kwong 2');
a=input('Ingrese a: ');
b=input('Ingrese b: ');
T=input('Ingrese T(K): ');
P=input('Ingrese P(bar): ');
R=input('Ingrese R(cm^3.bar/K.mol): ');
syms x
135
TABLA 13Resultados Temperatura en Matlab
3. Un gas se encuentra a una presión absoluta de 13.76 bar y una
temperatura de 333 K. Encontrar el volumen molar ocupa el gas empleando
la ecuación de estado de Redlich-Kwong.
Para este compuesto las constantes son:
P = 13.76 atm
T = 333ºk
a = 1.5614 x 108 (cm6 bar/(g mol)2 k1/2)
b = 44.897 (cm3/ g mol)
R = 83.4 (cm3 bar /g mol k)
Algoritmo de Solución en Matlab:
clear all, close all, clc
disp('Ecuacion de Redlich-kwong 2');
a=input('Ingrese a: ');
b=input('Ingrese b: ');
T=input('Ingrese T(K): ');
P=input('Ingrese P(bar): ');
R=input('Ingrese R(cm^3.bar/K.mol): ');
syms x
1/2
RT aP = -
V - b T V V + b
135
TABLA 13Resultados Temperatura en Matlab
3. Un gas se encuentra a una presión absoluta de 13.76 bar y una
temperatura de 333 K. Encontrar el volumen molar ocupa el gas empleando
la ecuación de estado de Redlich-Kwong.
Para este compuesto las constantes son:
P = 13.76 atm
T = 333ºk
a = 1.5614 x 108 (cm6 bar/(g mol)2 k1/2)
b = 44.897 (cm3/ g mol)
R = 83.4 (cm3 bar /g mol k)
Algoritmo de Solución en Matlab:
clear all, close all, clc
disp('Ecuacion de Redlich-kwong 2');
a=input('Ingrese a: ');
b=input('Ingrese b: ');
T=input('Ingrese T(K): ');
P=input('Ingrese P(bar): ');
R=input('Ingrese R(cm^3.bar/K.mol): ');
syms x
136
f=R*T/(x-b)-a/((sqrt(T))*x*(x+b))-P;
x0=(R*T)/(P);
disp('Primer punto inicial: ');
disp(x0);
xai=x0;
xbi=input('Ingrese Limite Superior: ');
tol=input('Ingrese Tolerancia: ');
f=inline(f);
i=1;
ea(1)=100;
if f(xai)*f(xbi) < 0
xa(1)=xai;
xb(1)=xbi;
f1=f(xai);
xr(1)=(xa(1)+xb(1))/2;
fprintf('Iter. V1 F1 V2 Error aprox \n');
fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \n',i,xa(i),f1(i),xr(i));
while abs(ea(i)) >= tol,
if f(xa(i))*f(xr(i))< 0
xa(i+1)=xa(i);
xb(i+1)=xr(i);
end
if f(xa(i))*f(xr(i))> 0
xa(i+1)=xr(i);
xb(i+1)=xb(i);
end
xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))/2;
137
ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))/(xr(i+1))*100);
fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \t %7.3f \n',...
i+1,xa(i+1),xr(i+1),xb(i+1),ea(i+1));
i=i+1;
end
else
fprintf('No existe una raíz en este intervalo');
end
Resultados:
TABLA 14Resultados volumen en Matlab
137
ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))/(xr(i+1))*100);
fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \t %7.3f \n',...
i+1,xa(i+1),xr(i+1),xb(i+1),ea(i+1));
i=i+1;
end
else
fprintf('No existe una raíz en este intervalo');
end
Resultados:
TABLA 14Resultados volumen en Matlab
137
ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))/(xr(i+1))*100);
fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \t %7.3f \n',...
i+1,xa(i+1),xr(i+1),xb(i+1),ea(i+1));
i=i+1;
end
else
fprintf('No existe una raíz en este intervalo');
end
Resultados:
TABLA 14Resultados volumen en Matlab
138
4. El factor de fricción (f) para el flujo turbulento en una tubería está dado porla correlación de Colebrook:
Donde
Re = es el número de Reynolds (adimensional)
, es la aspereza o rugosidad de la tubería (unidad de longitud)
D, es el diámetro de la tubería (unidad de longitud)
Obtener el factor de fricción para un fluido con un Reynolds de 3E4que fluye en una tubería con un diámetro de 0.1 m y una rugosidadde 0.0025m.
Algoritmo de Solución en Matlab:
clear all, close all, clc
disp('Friccion en un Flujo Turbulento');
Re=input('Ingrese el Numero de Reynolds: ');
e=input('Ingrese la Rugosidad: ');
D=input('Ingrese el Diametro de Tuberia: ');
syms x;
f=-sqrt(1/x)-0.86*log((e/D)/3.4+2.54/(Re*sqrt(x)));
xai=input('Ingrese Limite Inferior del Intervalo: ');
xbi=input('Ingrese Limite Superior del Intervalo: ');
tol=input('Ingrese Tolerancia: ');
f=inline(f);
i=1;
ea(1)=100;
if f(xai)*f(xbi) < 0
xa(1)=xai;
xb(1)=xbi;
1
ε/D 2.54
= - 0.86 ln +f 3.4 Re f
139
f1=f(xai);
xr(1)=(xa(1)+xb(1))/2;
fprintf('Iter. f1 F1 f2 Error aprox \n');
fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \n',i,xa(i),f1(i),xr(i));
while abs(ea(i)) >= tol,
if f(xa(i))*f(xr(i))< 0
xa(i+1)=xa(i);
xb(i+1)=xr(i);
end
if f(xa(i))*f(xr(i))> 0
xa(i+1)=xr(i);
xb(i+1)=xb(i);
end
xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))/2;
ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))/(xr(i+1))*100);
fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \t %7.3f \n',...
i+1,xa(i+1),xr(i+1),xb(i+1),ea(i+1));
i=i+1;
end
else
fprintf('No existe una raíz en este intervalo');
end
Resultados:
TABLA 15Resultados volumen en Matlab
140
5. Determinar volumen molar del oxigeno mediante la ecuación del VAN DER
WAALS
RTbvv
aP
2
p = 100 Atm.,
T = 700 K para un gas que tiene a = 1,36 b = 0,0318
Algoritmo de Solución en Matlab:
clear all, close all, clc
disp ('Ecuacion de Van der Walls')
T=input('Ingrese T(K): ');
P=input('Ingrese P(atm): ');
R=input('Ingrese R(L.atm/K.mol): ');
140
5. Determinar volumen molar del oxigeno mediante la ecuación del VAN DER
WAALS
RTbvv
aP
2
p = 100 Atm.,
T = 700 K para un gas que tiene a = 1,36 b = 0,0318
Algoritmo de Solución en Matlab:
clear all, close all, clc
disp ('Ecuacion de Van der Walls')
T=input('Ingrese T(K): ');
P=input('Ingrese P(atm): ');
R=input('Ingrese R(L.atm/K.mol): ');
140
5. Determinar volumen molar del oxigeno mediante la ecuación del VAN DER
WAALS
RTbvv
aP
2
p = 100 Atm.,
T = 700 K para un gas que tiene a = 1,36 b = 0,0318
Algoritmo de Solución en Matlab:
clear all, close all, clc
disp ('Ecuacion de Van der Walls')
T=input('Ingrese T(K): ');
P=input('Ingrese P(atm): ');
R=input('Ingrese R(L.atm/K.mol): ');
141
disp('Volumen Inicial: ');
xo=R*T/P;
disp(xo);
n=input ('Numero de Iteraciones=');
salida=ones(n,3); % matiz de salida de datos
for i=1:n
x1=xo-(100*xo^3-60.58*xo^2+1.36*xo-0.043248)/(300*xo^2-121.16*xo+1.36);
vsal=[xo;x1];
ea=[[abs((x1-xo)/x1)]]; % error
xo=x1;
salida(i,1)=i;
salida(i,2)=x1;
salida(i,3)=ea;
end
disp('Iter. V(i) Error');
disp(num2str(salida));
Resultados:
TABLA 16Resultados volumen en Matlab
142
6. La siguiente secuencia de reacciones se llevan a cabo en estado noestacionario según la reacción:
1 2k kA B C
Determinar la ecuación de cada componente de la reacción así como losproductos en función al tiempo. Construya la tabla tiempo vs concentraciónen un paso de 1 a 1 hasta 10 minutos, asuma que las concentracionesiníciales son A (0)=1 mol/L, B (0)=1 mol/L, C (0)=1 mol/L.
Datos: K1=0,5 min-1 K2=1,0 min-1
Solución: formando las ecuaciones diferenciales en función de lareacción.
11 1
Ck C
t
21 1 2 2
Ck C k C
t
22 2
Ck C
t
Metafile:
function[f]=rxnserie(t,C);
142
6. La siguiente secuencia de reacciones se llevan a cabo en estado noestacionario según la reacción:
1 2k kA B C
Determinar la ecuación de cada componente de la reacción así como losproductos en función al tiempo. Construya la tabla tiempo vs concentraciónen un paso de 1 a 1 hasta 10 minutos, asuma que las concentracionesiníciales son A (0)=1 mol/L, B (0)=1 mol/L, C (0)=1 mol/L.
Datos: K1=0,5 min-1 K2=1,0 min-1
Solución: formando las ecuaciones diferenciales en función de lareacción.
11 1
Ck C
t
21 1 2 2
Ck C k C
t
22 2
Ck C
t
Metafile:
function[f]=rxnserie(t,C);
142
6. La siguiente secuencia de reacciones se llevan a cabo en estado noestacionario según la reacción:
1 2k kA B C
Determinar la ecuación de cada componente de la reacción así como losproductos en función al tiempo. Construya la tabla tiempo vs concentraciónen un paso de 1 a 1 hasta 10 minutos, asuma que las concentracionesiníciales son A (0)=1 mol/L, B (0)=1 mol/L, C (0)=1 mol/L.
Datos: K1=0,5 min-1 K2=1,0 min-1
Solución: formando las ecuaciones diferenciales en función de lareacción.
11 1
Ck C
t
21 1 2 2
Ck C k C
t
22 2
Ck C
t
Metafile:
function[f]=rxnserie(t,C);
143
%constantes
K(1)=0.5;
K(2)=1;
f(1)=-K(1)*C(1);
f(2)=K(1)*C(1)- K(2)*C(2);
f(3)=K(2)*C(2);
f=f';
file:
tr=[0:1:10];C0=[1,0,1];
[t,C]=ode45('rxnserie',tr,C0);
[t,C]
TABLA 17Resustado de concentracion en Matlab
144
plot(t,C);
xlabel('tiempo (min)');
ylabel('concentración (mol/L)');
FIGURA 28Resultados volumen en Matlab
144
plot(t,C);
xlabel('tiempo (min)');
ylabel('concentración (mol/L)');
FIGURA 28Resultados volumen en Matlab
144
plot(t,C);
xlabel('tiempo (min)');
ylabel('concentración (mol/L)');
FIGURA 28Resultados volumen en Matlab
145
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACUTLAD DE INGENIERIA QUIMICA
ESCUELA PROFESIONAL DE ING. QUIMICA
SILABO
I. DATOS GENERALES1.1 Asignatura : Métodos Numéricos
1.2 Código de la Asignatura : IG-301
1.3 Semestre Académico : 2010-A
1.4 Ciclo : V
1.5 Créditos : 04
1.6 Horas de teoría : 06
1.7 Horas de práctica : 06
1.8 Duración : 16 semanas
1.9 Pre-requisito : IG 102, FM 202
1.10 Profesor de Teoría : Ing. Juan Medina Collana
II. SUMILLA2.1 Naturaleza de la Asignatura
El curso de Métodos Numéricos es un curso teórico, práctico de carácter
obligatorio que sirve como base para las asignaturas de ingeniería, debido a
que permite realizar cálculos complejos como resultado del modelamiento de
fenómenos físicos y químicos.
2.2 Síntesis del ContenidoEcuaciones algebraicas no lineales. Sistema de Ecuaciones algebraicas no
lineales. Interpolación Polinómica. Diferenciación. Integración. Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias. Sistema de ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Sistema de Ecuaciones algebraicas lineales. Ecuaciones Diferenciales
parciales. Análisis de regresión lineal, no lineal y multivariable.
146
III. OBJETIVOS3.1 Objetivo General
Al término del curso, el alumno será capaz de resolver modelos matemáticos
complejos que resulten del modelamiento de los fenómenos físicos y
químicos, aplicando técnicas numéricas.
3.2 Objetivos Específicos Realizar el estudio comparativo entre los métodos analíticos y
métodos numéricos.
Adquirir destreza en el dominio de las técnicas de solución
numérica.
Aplicar las técnicas numéricas para resolver problemas diversos de
Ingeniería Química que resultan del modelameinto de fenómenos
físicos y químicos.
IV. PROGRAMA DE CONTENIDOS
PRIMERA SEMANAEcuaciones algebraicas no lineales. Método de la bisección. Método de
Newton Raspón de primer y segundo orden. Aplicaciones a la Ing. Química.
Método de la secante. Método del punto fijo. Método de falsa posición.
Métodos cuasi Newton. Métodos de la convergencia. Aplicaciones a la
Ingeniería Química.
SEGUNDA SEMANASistema de ecuaciones no lineales. Método del punto fijo. Método de
Newton Raspón estándar. Método de Newton Raspón modificado. Métodos
cuasi Newton. Aplicaciones a la Ingeniería Química.
TERCERA SEMANAInterpolación polinómica. Ecuaciones en diferencias progresivas, regresiva
y central de Newton. Aplicaciones a la Ingeniería Química.
147
Generación de polinomios mediante las diferencias progresiva,
regresiva y central de Gauss. Interpolación con estaciones no
equidistantes.
CUARTA SEMANAAnálisis de Regresión Lineal y no lineal. Mínimos cuadrados.
Regresión multivariable. Aplicaciones a la Ingeniería Química
QUINTA SEMANADiferenciación numérica. Aproximación por diferencias. Diferenciación de
los polinomios de Newton. Aplicaciones a la Ingeniería Química.
SEXTA SEMANAIntegración numérica. Regla del Trapecio. Reglas de Simpson 1/3 y 3/8 y
SEPTIMA SEMANAIntegración por cuadratura Integración múltiple. Aplicaciones a la Ingeniería
Química.
OCTAVA SEMANAEXAMEN PARCIAL
NOVENA SEMANAEcuaciones Diferenciales Ordinarias. Método de Euler. Método de Euler-
Gauss. Método de Taylor.
DECIMA SEMANAMétodo de Runge-Kutta. Aplicaciones a la Ingeniería Química.
Métodos Predictor-Corrector. Métodos de paso variable. Aplicaciones a la
Ingeniería Química.
148
DECIMA PRIMERA SEMANASistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Ecuaciones Diferenciales
de Orden Superior: métodos de Ruge Kutta y matricial, explícita en la
variable dependiente. Aplicaciones a la Ingeniería Química.
DECIMA SEGUNDA SEMANASistema de ecuaciones algebraicas lineales. Métodos de Jacobi y Gauss-
Seidal. Matrices y vectores. Sistemas especiales. Aplicaciones a la
Ingeniería Química.
DECIMA TERCERA SEMANAEcuaciones Diferenciales Parciales. Ecuaciones en Diferenciales.
Métodos explícito e implícito. Aplicaciones a la Ingeniería Química.
Aplicaciones a la Ingeniería Química.
DECIMA CUARTA SEMANAPractica calificada
EXAMEN FINAL
EXAMEN SUSTITUTORIO
V. PROCEDIMIENTO DIDÁCTICO
Las clases teóricas se desarrollan en forma expositiva, y al mismo
tiempo resolviendo ejercicios base. Con estos conocimientos se
resolverán ejercicios de mayor complejidad con participación de los
estudiantes.
El profesor de práctica se encargará de la resolución de problemas
aplicados a la Ingeniería Química con la finalidad de que los estudiantes se
familiaricen con los tópicos que se estudian en Ingeniería Química.
VI. EQUIPOS Y MATERIALESPara el desarrollo adecuado del curso, se requiere lo siguiente:
Calculadora científica.
Computadora con un software de programación de alto nivel.
Tiza blanca y de color.
149
VII. SISTEMA DE EVALUACIÓNEl promedio final, se obtendrá del siguiente modo:
Peso
Examen Parcial 1.0
Examen Final 1.0
Promedio de Prácticas Calificadas 1.0
113
PPEFEPPF
Al final se tomará un Examen de Recuperación que sustituirá a la nota
mas baja del Examen Parcial o Final. El examen de recuperación se
tomará en base al total del avance del curso.
150
VIII. BIBLIOGRAFÍA
1. Carnahan, B. Luther, A. Wilkes Cálculo Numérico, Aplicaciones
Editorial Rueda, Madrid, 1979.
2. Burden, R. Y Faires J. Análisis Numérico.
Edit. Iberoamericana, México, 1985.
3. Nieves, A., Domínguez, F. Métodos Numéricos Aplicados a la
Ingeniería Química.
Edit. CECSA, México 1985.
4. Valderrama, R. Métodos Numéricos.
Edit. Trillas, UNAM, México, 1985.
5. Nakamura, S. Métodos Numéricos aplicados con
software.
Edit. Prentice – Hall Hispano
Americano, S.A. México, 1992.
6. Gerald, C. Análisis Numérico
Edit. Alfa – Omega, México, 1991.
7. Maron, M. y López R. Análisis Numérico. Un enfoque
práctico.
Edit. CECSA, México, 1998.