2015
Carrera profesional de Ingeniería Civil
RESPONSABLES:
AYALA NAVARRO R .DANIEL BRAVO MONTEZA IRWING CARRASCO LOPEZ KATERINE PÉREZ URIARTE JOSE SOBERON SANCHEZ JORGE YAJAHUANCA GAITAN JHON
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAÉN
MÉTODOS NUMÉRICOS
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAÉN FACULTAD DE INGENERIA CIVIL
CONTENIDO
CAPÍTULO 1.................................................................................................................................2
SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES..............................................................................2
1.2. CONCEPTOS PRELIMINARES.................................................................................2
1.2.2. MATRIZ..................................................................................................................2
1.2.3. TIPOS DE MATRICES........................................................................................4
1.2.4. OPERACIONES CON MATRICES....................................................................6
1.3. MÉTODOS DE SOLUCIÓN........................................................................................7
1.2.4. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS DE ECUACIONES......................................................................................................................8
1.2.5. ELIMINACIÓN DE GAUSS – JORDAN...........................................................10
1.2.6. ALGORITMO DEL MÉTODO DE GAUSS JORDAN....................................13
CAPITULO 2...............................................................................................................................18
2.1. AJUSTE DE CURVAS...............................................................................................18
2.2. REGRESION LINEAL................................................................................................19
2.3. algoritmo de regresion lineal.....................................................................................21
2.4. EJEMPLO: Ajuste a un modelo de regresión lineal...............................................22
2.5. PROGRAMACIÓN EN MAPLE:...............................................................................22
2.6. REGRESION POTENCIAL.......................................................................................23
2.7. REGRESIÓN NO LINEAL.........................................................................................25
METODOS NUMÉRICOS
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CAPÍTULO 1
SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES
1.2. CONCEPTOS PRELIMINARES
1.2.2. MATRIZ
Una matriz es un arreglo rectangular de números reales ordenados en
filas y columnas. Las matrices se denotan con letras mayúsculas, tales como A,
B, C,…..etc; y a ij representa un elemento individual de la matriz.
El primer subíndice i siempre designa el número de la fila en el cual está
el elemento y el segundo subíndice j designa la columna.
[A ]=[a11
a21
⋮an
a12
a22
⋮an2
a13 ⋯ a1m
a23 … a2m
⋮an3
… ⋮… anm
] La matriz presentada tiene n renglones y m columnas, y se dice que tiene
una dimensión de n por m (o n x m). Ésta se conoce como una matriz n por m.
Matrices con dimensión columna m=1, como
[B ]=[ b1
b2
⋮bm
]Matrices con dimensión renglón n=1, como
[C ]=[c1 c2 … cn ]
Son llamados vectores renglón
1.2.3.2. Diagonal principal de una matriz
Dada la matriz cuadrada An=[aij ] se llama DIAGONAL PRINCIPAL al conjunto.
METODOS NUMÉRICOS
Columnas
Filas
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D (a11 , a22 , a33 ,……….ann).
EJEMPLO:
A4=[ 5 3 −7 5−2 4 6 293
−56
3 42 2 ]; D (5, 4, 3,2) Es la diagonal principal de A4 .
1.2.3.3. Traza de una matriz
Sea una matriz cuadrada A de orden n, se define la traza de la matriz A y
se denota por Tr(A) al valor obtenido al sumar todos los elementos de la
diagonal principal.
EJEMPLO
De la matriz anterior se tiene que la diagonal principal es (5,4, 3,2), entonces la
traza seria:
Tr (A4 )=5+4+3+2Tr (A4 )=14
1.2.3.4. Rango de una matriz
Es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que
son linealmente independientes. El rango fila y el rango columna siempre son
iguales: este número es llamado simplemente rango de A. Comúnmente se
expresa como rg(A).
El número de columnas independientes de una matriz A m por n es igual
a la dimensión del espacio columna de A. También la dimensión del espacio
fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, mayor o igual que uno y
menor o igual que el mínimo entre m y n.
1.2.3.5. Teorema de Rouché – Frobenius
El teorema de Rouché- Frobenius nos permite calcular el número de
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, en función del rango de la
METODOS NUMÉRICOS
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matriz de coeficientes y el rango de la matriz ampliada o aumentada asociada al
sistema.
¿
Puede ser escrito mediante una matriz.
(A /B)=[a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31
⋮am1
a32
⋮am2
a33
⋮am3
… a1nb1
… a2nb2
…a2nb3
⋮amnbm
] A=[ a11 ⋯ a1n
⋮ ⋱ ⋮am1 ⋯ amn
]
B=[ b1
⋮bm]
En conclusión:
Existen soluciones para el sistema si y solo si el rango de la matriz completa es
igual al rango de la matriz incompleta.
Entonces, si existen soluciones, estás forman un sub-espacio afín de Knde
dimensiones n−rg(A). Además.
i. Si rg(A /B)=n=rg(B) entonces la solución es única.
ii. Si rg(A /B)=rg(B)<n , existen infinitas soluciones.
iii. Si rg(A /B)≠ rg(B) no existen soluciones.
1.2.3. TIPOS DE MATRICES
1.2.4.2. Matriz diagonal
Una matriz diagonal es aquella en la que todos los elementos son cero
excepto los de la diagonal principal.
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[ A ]=[a11 0 00 a22 00 0 a33
]1.2.4.3. Matriz identidad
Es una matriz diagonal donde todos los elementos sobre la diagonal
principal son iguales a 1
[ I ]=[1 ¿1 ¿1]
El símbolo [ I ] se utiliza para denotar la matriz identidad. La matriz
identidad tiene propiedades similares a la unidad.
1.2.4.4. Matriz triangular superior
Es aquella donde todos los elementos por debajo de la diagonal principal
son cero.
[ A ]=[a11 a12 a13
0 a22 a23
0 0 a33]
1.2.4.5. Matriz triangular inferior
Es aquella donde todos los elementos por arriba de la diagonal principal
son cero
[A ]=[a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33
]1.2.4.6. Matriz bandeada
Tiene todos los elementos iguales a cero, con la excepción de una banda
centrada sobre la diagonal principal. Por consiguiente, el siguiente arreglo
matricial es una matriz tridiagonal también llamada matriz bandeada, en este
caso con tres bandas.
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1.2.4.7. Matriz aumentada
Resulta cuando a la matriz original se le agrega una o más columnas, por
ejemplo, la siguiente matriz es aumentada.
[ A ]=[a11 a12 a13 . b1
a21 a22 a23 . b2
a31 a32 a33 . b3]
1.2.4. OPERACIONES CON MATRICES
1.2.4.1. Suma y resta con matrices
La suma y resta de matrices se puede llevar a cabo, si y solo si, las
matrices a sumar o restar tienen la misma dimensión.
Es decir,[A ]=[ B ] si aij=b ij para todo i y j.
La suma de dos matrices, por ejemplo, [ A ] y [B ] se obtiene al sumar los
términos correspondientes de cada matriz. Los elementos de la matriz resultante
[C] son:
c ij=a ij+b ij
La resta de dos matrices, por ejemplo, [D ] y [E ] se obtienen al restar los
términos correspondientes de cada matriz. Los elementos de la matriz resultante
[F] son:
f ij=d ij+eij
1.2.4.2. Multiplicación con matrices
La multiplicación de una matriz [C ] por un escalar g se obtiene
multiplicando cada elemento de [C ] por el escalar g, así que,
[D ]=g [A ]=[ ga11 ga12 … ga1m
ga21 ga22 … ga2m
⋮gan1
⋮g an2
… ⋮… ganm
]METODOS NUMÉRICOS
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El producto de dos matrices se simboliza como [C ]=[ A ] [B ] y se define
c ij=∑k=1
n
a ikb jk
Donde n es la dimensión columna de [A] y de los renglones de [B]. Es
decir, el elemento c ijse obtiene al sumar el producto de elementos individuales
del i-ésimo renglón de la primera matriz, en este caso [A], por la j-ésima columna
de la segunda matriz [B].
En otras palabras, el número de columnas de la primer matriz, debe ser
igual al número de renglones de la segunda matriz, de otra manera no puede
efectuarse la multiplicación matricial.
1.2.4.3. División de una matriz
Aunque la multiplicación es posible, la división de matrices no está
definida. No obstante, si una matriz [A] es cuadrada y no singular, existe otra
matriz [A]-1, llamada la inversa de [A], para la cual
[A][A]-1 = A]-1 [A] = [I]
La multiplicación de una matriz por la inversa es análoga a la división, en
el sentido de que un número dividido por sí mismo es igual a 1. Es decir, la
multiplicación de una matriz por su inversa nos lleva a la matriz identidad.
1.3. MÉTODOS DE SOLUCIÓN
En esta sección se analizarán las ecuaciones algebraicas linéales
simultáneas que en general se representan como:
¿
[a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2m
⋮an1
⋮an2
… ⋮… anm
] [x1
x2
⋮xn
]=[ b1
b2
⋮bm
]
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MATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR VARIABLE
TÉRMINO INDEPENDIENTE
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Y se resolverá usando el Método de Gauss-Jordán, uno de los más
antiguos para resolver ecuaciones lineales simultáneas, siendo uno de los
algoritmos de mayor importancia, y es la base para resolver ecuaciones lineales
en muchos paquetes de software populares.
1.2.4. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS DE
ECUACIONES
Estos métodos son apropiados para la solución de pequeños sistemas de
ecuaciones simultáneas (tienen igual o menos de tres incógnitas) que no
solicitan de una computadora; los métodos son los siguientes: el método gráfico,
la regla de Cramer y la eliminación de incógnitas.
1.2.4.1. Método gráfico
Este método consiste en obtener la solución de dos ecuaciones al
graficarlas en coordenadas cartesianas con un eje que corresponda a x1 y el otro
a x2 como en estos sistemas lineales cada ecuación se relaciona con una línea
recta, se puede ilustrar mediante ecuaciones generales.
Por ejemplo tenemos dos ecuaciones:
a11x1+a12 x2=b1
a21 x1+a22 x2=b2
En ambas ecuaciones se puede despejar x2 :
x2=−( a11
a12)x1+
b1
a12
x2=−( a21
a22)x1+
b2
a22
Ahora tenemos dos ecuaciones en la forma de línea recta, es decir
x2=( pendiente ) x1+intersección. Donde x2 se grafica como la ordenada y x1 como la
abscisa. Los valores de x1 y x2 en la intersección de las líneas representa la
solución.
Para más de tres incógnitas, los métodos gráficos no funcionan y, por
consiguiente, tienen poco valor práctico para resolver ecuaciones simultáneas.
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1.2.4.2. Determinantes y la regla de Cramer
La regla de Cramer es otro método para resolver un pequeño sistema de
ecuaciones. Esta regla establece que cada incógnita de un sistema de
ecuaciones lineales algebraicas puede expresarse como una fracción de dos
determinantes con denominador D y con el numerador obtenido a partir de D, al
reemplazar la columna de coeficientes de la incógnita en cuestión por las
constantes b1, b2,…, bn.
x1=|b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33|
D
Para entender mejor es necesario conocer el concepto de un
determinante.
2.3.4.2.1. Determinante
El determinante de una matriz es la función que aplicada a una matriz
cuadrada de orden “n” la transforma en un número real. La matriz con el
determinante se compone de los mismos elementos, pero con conceptos
matemáticos completamente diferentes. Por eso, para distinguirlo visualmente
se emplean corchetes para encerrar la matriz y líneas rectas verticales para el
determinante. En contraste con una matriz, el determinante es un simple
número.
Determinante de una matriz de 2° orden
Sea A=(a11 a12
a21 a22)
Se calcula como |A|=|a11 a12
a21 a22|=a11 . a22−a12 . a21
Determinante de una matriz de 3° orden
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Sea [A ]=(a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33)
Se calcula como |A|=a11|a22 a23
a32 a33|−a12|a21 a23
a31 a33|+a13|a11 a12
a21 a22|1.2.4.3. La eliminación de incógnitas
La eliminación de incógnitas mediante la combinación de ecuaciones es
un método algebraico que consiste en buscar que la variable a eliminar, tenga el
mismo coeficiente en el sistema para lo cual se multiplica cada ecuación por el
coeficiente que tenga la otra. Sumando o restando las ecuaciones.
Ejemplo:
2 x+ y=16…………… .. (α )
3 x−2 y=10…………… .. (β )
Solución:
Multiplicando la ecuación (α ) por 2, tenemos:
4 x+2 y=323 x−2 y=10
__________________7x= 42 x= 6
Reemplazando el valor x en (α )⇒ y=4
1.2.5. ELIMINACIÓN DE GAUSS – JORDAN
1.2.4.1. ELIMNACION DE GAUSS SIMPLE
El método de Gauss, conocido también como de triangulación o de
cascada, nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier
número de ecuaciones y de incógnitas
¿
Como en el caso de dos ecuaciones, la técnica para resolver n ecuaciones consiste en dos fases: la eliminación de las incógnitas y su solución mediante sustitución hacia atrás.
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La primera fase consiste en reducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior. El paso inicial será eliminar la primera incógnita, x1, desde la segunda hasta la n-ésima ecuación. Para ello, se multiplica la ecuación 1 por a21/a11 para obtener.
a21 x1+a21
a11a12 x2+…+
a21
a11a1n xn=
a21
a11b1
Ahora esta ecuación se resta de la ecuación 2 para dar
(a22−a21
a11a12) x2+…+(a2n−
a21
a11a1n) xn=b2−
a21
a11b1
a22 x2+…+a2n xn=b2
Donde el superíndice indica que los elemntos han cambiado sus valores
originales
El procedimiento se repite después con las ecuaciones restantes. La ecuación 1
se llama la ecuación pivote, y a su a11 se denomina el coeficiente o elemento
pivote.
METODOS NUMÉRICOS
Sustitución hacia atrás
Eliminación hacia adelante
[a11 a12 a13 . b1
a21 a22 a23 . b2
a31 a32 a33 . b3]
[a11 a12 a13 . b1
0 a22 a23 . b2
0 0 a33´ ´ . b3
´ ´]x3=c3
}} over {{a} rsub {33} rsup {
x2=(c2
´−a23´ x3 )
a22
x1=c1−a12 x2−a13 x3
a11
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1.2.4.2. GAUS JORDAN
El método de Gauss-Jordan es una variación de la eliminación de Gauss.
La principal diferencia consiste en que cuando una incógnita se elimina en el
método de Gauss-Jordan, ésta es eliminada de todas las otras ecuaciones, no
sólo de las subsecuentes. Además, todos los renglones se normalizan al
dividirlos entre su elemento pivote. De esta forma, el paso de eliminación genera
una matriz identidad en vez de una triangular.
En consecuencia, no es necesario usar la sustitución hacia atrás para
obtener la solución.
Pasos para encontrar la solución a través de Gauss Jordan de sistemas
cuadrados de ecuaciones lineales.
Se expresan los coeficientes y el vector de términos independientes como una
matriz aumentada
[A B ]
METODOS NUMÉRICOS
=b1(n)
=b2(n)=
b3(n)
[a11 a12 a13 . b1
a21 a22 a23 . b2
a31 a32 a33 . b3]
[1 0 0 . b1(n)
0 1 0 . b2(n)
0 0 1 . b3(n)]
x1 ¿x2 ¿ x3
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Se selecciona de la diagonal principal de A, el pivote; se normaliza la 1ra fila (se
divide entre el coeficiente de la primera incógnita).
Se multiplica la primera fila por el 1er coeficiente de las siguientes filas, y se
restan.
Se normaliza la 2da fila y se multiplica por el 2do coeficiente de las otras filas y
se restan.
Se normaliza la 3ra fila y se multiplica por el 3er coeficiente de las otras filas y se
restan.
Se repiten los pasos tantas veces como elementos tenga la diagonal principal,
es decir, hasta que en lugar de la matriz de coeficientes A se ha convertido en
una matriz identidad I, teniendo ahora el último sistema equivalente, como,
[ I Bsol ]
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A y Bsol es la solución del sistema de ecuaciones algebraicas lineales.
1.2.6. ALGORITMO DEL MÉTODO DE GAUSS JORDAN I. Escribir el sistema de ecuaciones lineales y el número de incógnitas “n”.
II. Definimos la matriz coeficiente(A) , la matriz de n-incógnitas(X), la matriz
términos independientes(B) y la matriz aumentada del sistema(A/B).
III. Se escribe la forma matricial AX=B.
IV. Reducir la matriz ampliada (A/B) a la forma canónica.
V. De la forma canónica hallamos el rango de A y el rango de la matriz
ampliada.
VI. A continuación, evaluamos lo siguiente:
w=ra (A )=ra (A /B){ Sies asi el sitema escompatibleSinoes asi el sistemanoes compatible yautomaticamente se detiene el programa.
VII. Se volverá a evaluar :
w ,n { si w=n , existeunica soluciónsiw<n , existen infinitas soluciones
VIII. Hallamos la solución al sistema de ecuaciones lineales.
METODOS NUMÉRICOS
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El método se ilustra mejor con un ejemplo:
Con la técnica de Gauss-Jordán resuelva el sistema del ejemplo:
2 x +¿3 y +¿ z ¿ 13 x −¿2 y −¿ 4 z ¿ −35 x −¿ y −¿ z ¿ 4
Solución.Primero, exprese los coeficientes y el lado derecho como una matriz aumentada:
[2 3 1 13 −2 −4 −35 −1 −1 4 ]
Luego normalice el primer renglón, dividiéndolo entre el elemento pivote, 2, para obtener
[1 3 /2 1/2 1/23 −2 −4 −35 −1 −1 4 ]
El término x1 se elimina del segundo renglón restando -3 veces al primer renglón del segundo. En forma similar, restando -5 veces el primer renglón del tercero, se eliminará el término x1 del tercer renglón:
[1 3/2 1/2 1/2
0 −132
−112
−92
0 −172
−72
32
]En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiéndolo entre: - 2/13
[1 3/2 1 /2 1/2
0 1 1113
913
0 −17/2 −7 /2 3/2]Al reducir los términos x2 de las ecuaciones primera y tercera se obtiene
METODOS NUMÉRICOS
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[1 3 /2 1/2 1/2
0 1 1113
913
0 0 96 /13 192/13]El tercer renglón se normaliza después al dividirlo entre 13/96
[1 3 /2 1/2 1/2
0 1 1113
913
0 0 1 2 ]Por último, los términos x3 se pueden eliminar de la primera y segunda ecuación para obtener
[1 0 0 10 1 0 −10 0 1 2 ]
x1=1 x2=−1x3=2
De esta forma, la matriz de coeficientes se ha transformado en la matriz identidad, y la solución se obtiene en el vector del lado derecho.
Ejemplo 2.3 x +¿5 y +¿6 z −¿5w ¿ 382 x +¿2 y −¿4 z +¿w ¿ 34x
−5 x¿
Se resolverá con maple METODO DE GAUSS JORDAN.mw
1.2.4.1. MÉTODO DE GAUSS SEIDEL
El Método de Gauss-Seidel es un método iterativo, que se basa en
obtener valores iniciales que en sucesivas operaciones se van aproximando a
las soluciones reales.
¿
Sea un conjunto de n ecuaciones:
Si los elementos de la diagonal son diferentes a cero, la 1ra ecuación se
resuelve para x1 , la 2da ecuación para x2y así sucesivamente.
METODOS NUMÉRICOS
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x1=b1−a12 x2−a13 x3−…−a1n xn
a11
x2=b2−a21 x1−a23 x3−…−a2n xn
a22
xn=bn−an1 x1−an2 x2−…−ann−1 xn−1
ann
Se empieza el proceso de solución usando un valor inicial para las x. Todas las x
valen cero (0).
Se sustituyen los valores en la 1ra ecuación para hallar x1, para luego
reemplazar el valor hallado de x1 en la 2da ecuación para hallar x2, y así
sucesivamente hasta llegar a la última ecuación.
1.2.4.2. ALGORITMO DEL MÉTODO DE GAUSS SEIDELI. Declaramos las ecuaciones del sistema lineal, y “n”.
II. Evaluamos el teorema de ROUCHÉ – FROBENIUS.III. Evaluamos la convergencia: Ser matriz diagonal dominante, matriz
simétrica.IV. Despejamos cada una de las variables con respecto a cada variable y
obtenemos las ecuaciones base.
x1=b1−a2 x2−a3 x03−⋯−an xn
a1⋮ xn=
bm−am2 x2−am3 x03−⋯−amn−1 xn−1
amnV. Encontramos la primera aproximación, para eso igualamos el resto de
variables a cero, para calcular dicha variable.
x1 [ 1 ] , si x2=x3=⋯=xn=0x2 [ 1 ] , si x1=x1 [1 ] , x3=x4=⋯=xn=0⋮
xn [1 ] , si x1=x1 [1 ] , x2=x2 [ 1 ] ,⋯ , xn−1=xn−1 [1 ]VI. Evaluamos el error para cada variable, a partir de la segunda iteración.
Ei=x i−1−x i
x iVII. Para que pare de iterar tenemos que evaluar si el error de cada variable
es menor que (0.5∗10n−2), si se cumple, fin a la iteración.
Ejemplo:
Tenemos un sistema de ecuaciones:
METODOS NUMÉRICOS
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3 x - 5 y - 2 z = 6
x + 6 y - 4 z = -15
4 x - 5 y + 6 z = 35
1. Despejamos las variables
x=6+5 y+2 z3
y=−15−x+4 z6
z=35−4 x+5 y6
2. Igualamos a y=0 y z=0, se sustituye en la ecuación de x
x1=6+5∗0+2∗0
3x1=2
y1=−15−2+4∗0
6y1=−2.8333
z1=35−4∗2+5∗−2.8333
6z1=2.1388
3. Los valores obtenidos se reemplazan en las ecuaciones iniciales y se
hallan nuevos valores en la 2da iteración, y se calcula el Ea:
x2=6+5∗−2.8333+2∗2.1388
3x2=−1.2929
Ex2= 254.69 %
y2=−15+1.2929+4∗2.1388
6y2=−4.1728
Ey2 = 32.1%
z2=35−4∗−1.2929+5∗−4.1728
6z2=3.220
Ez2=33.57%
Y así hasta obtener un error menor que (0.5∗10n−2)
x17=6+5∗+2∗2.1388
3x17=−4.217
METODOS NUMÉRICOS
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Ex17= 0.000106 %
y17=−15−4.217+4∗2.1388
6y17=−5.391
Ey17 = 0.00041%
z17=35−4∗−4.217+5∗−5.391
6z17=4.152
Ez17=0.00037%
Los errores con menores que 0.00050000
Este ejemplo se desarrolla mejor con maple gauss seidel.mw
CAPITULO 2
2.1. AJUSTE DE CURVAS
En la práctica dos o más variables suelen relacionarse de alguna
manera, como lo hacen la talla y el peso, la masa y el volumen, entre otras
relaciones. En muchos casos es conveniente encontrar las relaciones entre
las variables y si son posibles las expresiones matemáticas que describen
tal relación. Si la relación no es evidente o directa, entonces es necesario hacer
aproximaciones o estimaciones a partir de los datos. Esto se puede lograr
usando el diagrama de dispersión (nube de puntos) que consiste en graficar
N pares ordenados (X , Y) , correspondientes a valores relacionados de las
variables en consideración, en un sistema rectangular. En un diagrama de
dispersión es posible observar una curva suave que se aproxime a los datos,
esa curva puede ser lineal o no lineal y se conoce como la curva aproximante y se concluye que la relación es lineal o no lineal dependiendo de las
características de la curva. El problema de encontrar curvas aproximantes se
llama ajuste de curvas.
2.2. REGRESION LINEAL
METODOS NUMÉRICOS
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También se conoce como Aproximación por Mínimos Cuadrados. El Método consiste en hallar una línea recta que pase entre el conjunto de datos dados. La expresión de una línea recta es: y = a x + b
El análisis de regresión lineal, en general, nos permite obtener una función lineal de una o más variables independientes o predictoras (x1, x2,... xk) a partir de la cual explicar o predecir el valor de una variable dependiente o criterio (Y).
y = a x + b + E
Y es la variable a predecir;a y b son parámetros desconocidos a estimar; y E es el error que cometemos en la predicción de los parámetros.
Quedando definido el error como:
E = y - a x - b
El error (o Residuo) es la diferencia entre el valor real de y, y el valor aproximado. Para obtener la mejor línea a través de los puntos, se debe minimizar la suma de los errores residuales:
∑i=1
n
E i=∑i=1
n
( yi−b−ax i)
Pero esta estrategia, y otras más, son inadecuadas. La mejor estrategia consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los residuos (Si):
Si=∑i=1
n
Ei2=∑
i=1
n
( yi−b−ax i)2
METODOS NUMÉRICOS
20
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Si=∑i=1
n
( yi−b−axi)2
Para hallar a y b, se deriva la ecuación con respecto a cada coeficiente:
∂S i
∂b=−2∑
i=1
n
( y i−b−ax i)
∂S i
∂a=−2∑
i=1
n
( yi−b−ax i)x i
Igualando las derivadas a cero:
0=∑ y i−¿∑ b−∑ axi ¿
0=∑ x i y i−¿∑ b xi−∑ ax i2¿
Hallamos las ecuaciones normales. Y se resuelve a través de un sistema de ecuaciones:
a=n∑ xi y i−∑ x i∑ y i
n∑ x i2−(∑ x)
2
b= y a x
Error Estándar de la Aproximación
Cuantifica la dispersión alrededor de la línea de dispersión:
Sy / x=√ srn−2
Sy / x: medida de dispersión
Donde el subíndice yx designa que el error es para un valor predicho de
“y” y corresponde a un valor particular de “x”
Si: sr=∑ ( y i−f (xi))2
st=∑ ( y i− y )2
La eficiencia del ajuste se cuantifica con el Coeficiente de Determinación:
r2=St−SrS t
r2: Coeficiente de determinación
METODOS NUMÉRICOS
21
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Y con el Coeficiente de Correlación:
r=√ St−SrS t
2.3. algoritmo de regresion lineal
1. Copiamos nuestra nube de puntos.
2. Calculamos, la suma de todos los x, la suma de todos los y , la suma de la multiplicación de los x*y, la resta de los y con la media aritmética de y elevada al cuadrado.
3. Encontramos el a y el b con la siguiente formula:
a=n∑ xi y i−∑ x i∑ y i
n∑ x i2−(∑ x)
2
b= y a x
4. Se calcula los parámetros de regresión lineal
Sy / x=√ srn−2
sr=∑ ( y i−f (xi))2
r2=St−SrS t
r=√ St−SrS t
5. Si r2 es igual a 1 entonces el ajuste es 100 % variable , si r2 es igual a cero entonces el ajuste no presenta mejorías
2.4. EJEMPLO: Ajuste a un modelo de regresión lineal
X 2 3 5 7 8Y 14 20 32 42 44
Solución
METODOS NUMÉRICOS
X Y XY X^22 14 28 43 20 60 95 32 160 257 42 294 498 44 352 6425 152 894 151
N= 5A= 5.1538461
5B= 4.6307692
3
22
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2.5. PROGRAMACIÓN EN MAPLE:
restart;
n : colocamos el numero de valores
with(LinearAlgebra);
with(plots)
X := [valores de x];
Y := [valores de y];
Promediox := evalf((sum(X[i], i = 1 .. n))/n);
Promedioy := evalf((sum(Y[i], i = 1 .. n))/n);
a1 := evalf((n*(sum(X[i]*Y[i], i = 1 .. n))-(sum(X[i], i = 1 .. n)).(sum(Y[i], i = 1 ..
n)))/(n*(sum(X[i]^2, i = 1 .. n))-(sum(X[i], i = 1 .. n))^2));
a0 := evalf(Promedioy-a1*Promediox);
a := plot(X, Y, style = point, symbol = diamond, color = blue);
b := implicitplot(y = a1*x+a0, x = intervalos que alcanza la gráfica, y =
intervalos que alcanza la gráfica);
display(a, b);
f := unapply(a1.x+a0, x);
E := [seq(abs(Y[i]-f(X[i])), i = 1 .. n)];
SR := evalf(sum((Y[i]-f(X[i]))^2, i = 1 .. n));
ST := evalf(sum((Y[i]-Promedioy)^2, i = 1 .. n));
SY := evalf(sqrt(ST/(n-1)));
S(y/x) := evalf(sqrt(SR/(n-2)));
r2 := (ST-SR)/ST;
r := sqrt(r2);
Mínimos cuadrados.mw
2.6. REGRESION POTENCIAL
METODOS NUMÉRICOS
Y= 5.15384615
X + 4.63076923
23
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Este modelo de regresión es una alternativa cuando el modelo lineal no
logra un coeficiente de determinación apropiado, o cuando el fenómeno en
estudio tiene un comportamiento que puede considerarse potencial o
logarítmico. La forma más simple de tratar de establecer la tendencia es a través
de un diagrama de dispersión o nube de puntos, tal como la siguiente:
Este modelo también es conocido como potencial, Cobb-Douglas de primer grado o exponencial inverso.
La función que define el modelo es la siguiente:
y i=ax ib E
- y i : Variable dependiente, en la i-ésima observación
- a, b: Parámetros de la ecuación, que generalmente son desconocidos
- E: Error asociado al modelo
- x i : Valor de la í-esima observación de la variable independiente
Al sustituir los parámetros por estimadores, el modelo adopta la siguiente forma:
y i=ax ib
La ecuación se transforma aplicando logaritmos de ambos lados, con lo
cual se convierte a una forma lineal:
log y i=log (a x ib)
log y i=loga+log xib
log y i=loga+b∗log x i
y¿=a¿+b x¿
Observamos que ahora obtenemos un modelo de regresión lineal, donde
METODOS NUMÉRICOS
24
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b=n∑ x¿ y¿−∑ x¿∑ y¿
n∑ x¿2−(∑ x¿)2
a¿= y¿ bx¿
Al encontrar los valores de a y b reemplazamos en el modelo de regresión
potencial:
y i=ax ib
2.6.1. ALGORITMO DE LA REGRESION POTENCIAL
I. Escribimos nuestra nube de puntos
II. Linealizo mi ecuación al tipo potencial.
y=a2 xb2
log y=b2 log x+ loga2
III. Calculo mi nube de puntos, con mi nueva regresión.
POTENCIAL
log y log y
IV. Ahora obtengo una nueva nube de puntos, con la cual usare mi regresión
lineal, explicada anteriormente.
V. Encuentro mi curva, que se ajusta con la nube de puntos.
Ejemplo ilustrativo: ajuste a una función potencial
METODOS NUMÉRICOS
X Y
1 1,25
2 5
3 11,25
4 20
5 30,5
25
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n= 5
a=1.9901965
5
b=0.0988766
1
b=100.09887661
b=¿1.25567316
La ecuación: y=1.25567316 x0.09887661
2.7. REGRESIÓN NO LINEAL
El método de mínimos cuadrados permite obtener la mejor recta de ajuste a los datos en el caso de la regresión lineal.
Sin embargo, no siempre existe una relación lineal entre la variable dependiente e independiente.
En algunos casos es posible aplicar transformaciones para expresar los datos en una forma compatible con la regresión lineal. Este es el caso del modelo exponencial y de potencia.
METODOS NUMÉRICOS
x y logx logy logx*logy (logx)^21 1.25 0 0.09691001 0 02 5 0.30103 0.69897 0.21041094 0.090619063 11.25 0.47712125 1.05115252 0.50152721 0.227644694 20 0.60205999 1.30103 0.78329811 0.362476235 30.5 0.69897 1.48429984 1.03748107 0.48855907
15 68 2.07918125 4.63236237 2.53271732 1.16929905
26
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El modelo exponencial se linealiza al aplicar el logaritmo natural, para ajustar a una curva de la forma:
y = a1∗eb1∗x
ln ( y )= ln (a1∗eb1∗x)
ln ( y ) = ln (a1 )+ln (eb1∗x) ln ( y )=¿ ln (a1 )+b1 x ln (e )¿ Como que ln e=1, se tiene
ln ( y )= ln (a1 )+b1 x y¿=ln (a1)+b1x
El reto seria hallar a1 y b1.
LINEALIZACION:
METODOS NUMÉRICOS
27
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Donde sí representamos el ln ( y ) frente a x obtendremos una recta con pendiente b y corte con el eje de ordenada ln (a1 ) .
Ejercicio: Ajuste un modelo exponencial
x 1 1.2 1.5 2 3 3.7 4 4.5y 3 3.4 5 2 4.1 5 7 6.5
Linealización:
y = a1∗eb1∗x
ln ( y )= ln (a1∗eb1∗x)
ln ( y ) = ln (a1 )+ln (eb1∗x) ln ( y )=¿ ln (a1 )+b1 x ln (e )¿ ln ( y )=ln (a1 )+b1 x
METODOS NUMÉRICOS
28
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y¿=ln (a1)+b1 x
Mi nueva nube de puntos seria:
X 1 1.2 1.5 2 3 3.7 4 4.5
ln(y) 1.0986 1.2237 1.6094 0.6931 1.4109 1.6094 1.9459 1.8718
Programa en geogebra:
y = 0.2160x + 0.8684
por lo tanto b1=0.2160
Ahora para hallar a1:
ln (a1 )=0.8684
a1=e0.8684
a1=2.3830La ecuación final sería:
y=2.3830 e0.2160∗x
MODELO DE SATURACION:
El modelo de saturación tiene la forma:
y=a1 xb1+x
La cual se adaptara Aplicando procedimientos para obtener las inversas de las variables; y asemejarse a la de una recta.
1y=b1+xa1 x
1y= 1a1
+b1
a1 x
METODOS NUMÉRICOS
29
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Por lo tanto, una gráfica de 1y contra
1x será lineal, con pendiente
b1
a1 y una
intersección de 1a1
. Estos modelos, en sus estados transformados, se ajustan
usando regresión lineal para evaluar los coeficientes constantes.
Obtenemos una ecuación lineal adaptada que será semejante al de una recta
que tiene como puntos ([( 1x1, 1y1 ) ,( 1
x2, 1y2 ) ,…. ,( 1
xn1yn
)]).
y¿= 1a1
+b1
a1x¿
Ejercicio: ajuste un modelo de saturación
x 1 1.2 1.5 2 3 3.7 4 4.5y 3 3.4 5 2 4.1 5 7 6.5
Mi nueva nube de puntos será:
1/x 1 0.8333 0.666 0.5 0.3333 0.270 0.25 0.22222222
1/y 0.33333 0.29411 0.2 0.5 0.2439 0.2 0.142 0.15384615
Programa en geogebra: y=0.19 x+0.16
1a1
=0.16
a1=6.25
b1
a1=0.19
b1=1.1875
Por lo tanto el modelo es:
y= 6.25 x1.1875+x
METODOS NUMÉRICOS
30
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Algoritmo del Regresión no lineal I. Defino mi nube de puntos.
II. Linealizar mi ecuación según el tipo de regresión no lineal
(exponencial, potencial, saturación).
EXPONENCIAL POTENCIAL DE SATURACION
y=a1eb1 x y=a2 x
b2 y=a3x
b3+x
ln y= ln a1+b1 x log y=b2 log x+ loga21y=b3
a3
1x+ 1a3
III. Calculo de mi nueva nube de puntos según el tipo de regresión no
lineal (exponencial, potencial, saturación).
EXPONENCIAL POTENCIAL DE SATURACION
x ln y
0.05 6.31
0.4 6.62
0.8 6.91
log x log y
-1.3 2.74
-
0.39
2.88
0.3 3.43
1x
1y
1 0.5
0.
5
1.43
0.
4
1.25
IV. Con mi nueva nube de puntos, usare REGRESION LINEAL, donde
encontrare una recta.
V. Igualo los datos de cada uno según el tipo de regresión no lineal
(exponencial, potencial, saturación).
VI. Finalmente encontrare mi curva no lineal.
METODOS NUMÉRICOS
31
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INTERPOLACIÓN
Supongamos que conocemos n+1 puntos (x0 , y0) ,(x1 , y0), ... ,(xn , yn) de
esta determinada curva y=f (x ) que se aprecia en la gráfica. Su objetivo
principal de la interpolación significa encontrar un polinomio p(x ) de grado “n” y
es obligatorio que y=f (x ) (la curva) pase por toda la nube de puntos.
Forma para evaluar un polinomio:
Pn ( x )=a0+a1 x+a2 x2+ .………an x
n .
P (X0 )=Y 0
P (X1 )=Y 1
⋮
P (Xn )=Y n
Entonces el Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL) quedaría:
a0+a1 x0+a2 x2
0+¿…………………… ..an xn
0=Y 0 ¿
a0+a1 x1+a2 x2
1+¿……………………..an xn1=Y 1¿
⋮
METODOS NUMÉRICOS
x1
y1
y0
x0 xn
32
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a0+a1 xn+a2 x2n+¿…………………… ..an x
nn=Y n ¿
(1 x0 x2
0………….. xn
0
1 x1 x21………xn1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮1xn x
2nx
n1
)(a0
a1
⋮an
)=(y0
y1
⋮yn
)a0=⋯ a1=… an=…
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
Este método simplemente es una reformulación del polinomio de Newton que
evita los cálculos de las diferencias divididas. Consiste en construir el polinomio
interpolador P ( x ) de grado “n” que pasa por “n+1” puntos (x i,y i). Entonces el
polinomio de Lagrange seria de esta forma:
Pn ( x )=Y 0+P1 ( x )Y 1+P2 ( x )Y 2+…⋯+Pn ( x )Y n
Donde p j ( x ) es un polinomio de grado n y pn ( x ) debe satisfacer y cumplir con las
siguientes restricciones:
pn (x i)= y i ; i=0 ;…….;n
Entonces generando (n+1) ecuaciones tenemos:
P j ( x )=(x−x0 ) (x−x1 )+…+(x−xi−1 ) (x−x i+1 )+…+(x−xn)
(x j−x0 ) (x j−x1 )+…+(x j− xi−1 ) (x j−x i+1)+…+( x j−xn)
pi (xi )=(xi−x0 ) (x i−x1 )+…+ (xi−xi−1 ) (x i−x i+1 )+…+(x i−xn)
(xi−x0 ) (x i−x1 )+…+ (xi−xi−1 ) (x i−x i+1 )+…+(x i−xn)=1
pi (x j )=(x j−x0 ) (x j−x1 )+…+(x j−x i−1 ) (x j−xi+1 )+…+(x j−xn)
(x j−x0 ) (x j−x1 )+…+(x j−x i−1 ) (x j−xi+1 )+…+(x j−xn)=0
Examinando las ecuaciones se observa que P j (x i ) se define como:
P j (x i )={1 ; i= j0; i ≠ j
Ahora para un mejor entendimiento del polinomio de Lagrange planteamos un
ejemplo:
METODOS NUMÉRICOS
33
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x0 x1 x2 x3
y0 y1 y2 y3
p ( x )=(x−x1)(x−x2)(x−x3)
(x0−x1)(x0−x2)(x0−x3)y0+
(x−x0)(x−x2)(x−x3)(x1−x0)(x1−x2)(x1−x3)
y1+(x−x0)( x−x1)(x−x3)
(x2−x0)(x2−x1)(x2−x3)y2+
(x−x0)(x−x1)(x−x2)(x3−x0)(x3−x1)(x3−x2)
y3
Adicionalmente lo podemos definir de la forma:
Li (x )=(x−x0 ) (x−x1 ) (x−x2 )… (x−x i−1 ) (x−x i+1 )…(x−xn)
(x i−x0 ) (x i−x1 ) ( xi−x2 )… (x i−x i−1 ) ( xi−xi+1 )…(x i−xn)=1
De donde:
Li (x )=∏j=1j ≠1
n (x−x j)(x i−x j)
; Li (x j )=K ij={1 ; i= j0 ; i≠ j
Entonces diríamos que:
p ( x )=L0 (x ) y0+L1 ( x ) y1+…+Ln ( x ) yn
p ( x )=∑i=0
n
Li ( x ) y i
En conclusión el polinomio de Lagrange lo podemos representar de la siguiente
expresión:
p ( x )=∑i=1
n
∏j=0j ≠ i
n (x−x j)(xi−x j)
y i
Algoritmo de interpolación de Lagrange:
Declaro mi nube de puntos , número de puntos =n+1
Aplicamos la formula general
METODOS NUMÉRICOS
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p ( x )=∑i=1
n
∏j=0j ≠ i
n (x−x j)(xi−x j)
y i
Fin.
EJEMPLO EN MAPLE C:\Users\KHATERINE\Documents\jose interpolacion\
LAGRANGE maple.mw Y EN GEOGEBRA C:\Users\KHATERINE\Documents\
jose interpolacion\geogebra interpolacion.ggb
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Etimológicamente integrar, significa “juntar las partes en un todo; unir;
indicar la cantidad total, etc”.
La integración tiene bastantes aplicaciones en la ingeniería, que van
desde la localización de centroides (centro de gravedad) de formas extrañas
hasta el cálculo de cantidades totales basadas en medidas discretas. Además,
las fórmulas de integración numérica desempeñan un papel importante en la
solución de ecuaciones diferenciales.
Desde el punto de vista gráfico, se interpreta a la integración como el área
bajo la curva de una función f(x), en un intervalo [a,b]; área comprendida entre la
curva y el eje de las abscisas
METODOS NUMÉRICOS
35
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La necesidad de aproximar numéricamente el valor de una integral surge
por dos motivos fundamentalmente:
- La dificultad o imposibilidad en el cálculo de una primitiva (derivada).
- La función a integrar solo se conoce por una tabla de valores.
FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES
Dada una integral de la forma:
I=∫a
b
f ( x )dx
Todos los procesos que realizamos para resolver integrales, en los cuales
en lugar de integrar la función f (x) original; integramos un polinomio de
interpolación que se aproxime a la función f (x) en un intervalo [a ,b] reciben el
nombre de métodos o fórmulas de Newton – Cotes.
Dicho de otra manera las fórmulas de newton – cotes se basan en la
estrategia de reemplazar una función f (x) complicada o datos tabulados por un
polinomio de aproximación que es fácil de integrar.
I=∫a
b
f (x )dx ≡∫a
b
f n(x)dx
Donde f n(x) es un polinomio de la forma;
f n(x)= a0+a1 (x )+…+an−1 (xn−1 )+an(xn)
Donde n es el grado del polinomio.
MÉTODO DE LOS TRAPECIOS:
El método del trapecio es un método que consiste en reemplazar la
gráfica de una función f (x)por la de un polinomio “polinomio aproximante” el cual
va a coincidir con la función original f(x) en un tramo ]a,b[. Entonces se tendría
que integrar el polinomio aproximante desde el punto (a, f(a)) hasta (b, f(b)). (Ver figura).
METODOS NUMÉRICOS
36
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La regla del trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de integración
de Newton. Corresponde al caso donde el polinomio es de primer grado:
I=∫a
b
f (x )dx ≡∫a
b
P1(x)dx
Donde: P1 (x )= ( x−b )a−b
f (a )+ (x−a )b−a
f (b )
Formula general de la regla del trapecio para n puntos:
∫a
b
f ( x )dx=h2[ f (x0 )+ f ( x1 )]
Formula general de la regla del trapecio para n+1 puntos:
∫a
b
f ( x )dx=h2[ f (x0 )+2 f (x1 )+2 f (x2 )+2 f (x3 )…+2 f (xn−1)+ f (xn )]
METODOS NUMÉRICOS
37
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ALGORITMO DE LA REGLA DEL TRAPECIO
i. Defino mi integral ∫a
b
f (x )dx ,declaromia ,b , y el número de trapecios =n
ii. Calculo el H=b−an
,
iii. Calculo , x i=a+iH ; f (xi ) ,iv. Evaluo mis datos en la formula siguiente :
∫a
b
f ( x )dx= h2 [ f (x0 )+2∑
i=1
n−1
f (x i )+ f (xn) ]v. Finalmente obtengo mi integración.
ALGORITMO DE INTEGRACIÓN RECTANGULAR.
i. Defino mi integral ∫a
b
f (x )dx ,declaromia ,b, n = numero de rectángulos.
ii. Calculo el H=b−aniii.Calculo , x i=a+iH ;mi=xi−1+x i
2iv. Con los datos anteriores calculamos :
I=H∑i=1
n
f (mi )=integral aproximada
ALGORITMO DE INTEGRACIÓN POR EL POLINOMIO DE TAYLOR
i. Defino mi integral ∫a
b
f (x )dx ,declaromia ,b , y
el grado del polinomio =n
ii. Calculo el m=a+b2
,
iii. Calculo mis derivadas de f(x), según el grado dado n .iv. Evaluó m cada en cada derivada que anteriormente calcule. v. Remplazo en mi formula
P ( x )= f (m)0 !
+ ( x−m ) f '(m)1 !
+( x−m)2 f ' '(m)2 !
+………… .. ( x−m )n f n(m)n!
vi. Finalmente ∫a
b
P(x )dx Y OBTENGO LA APROXIMACIÓN.
METODOS NUMÉRICOS
38
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REGLA SIMPSON 1/3:
La regla Simpson 1/3 resulta cuando un polinomio de segundo grado se sustituye en la ecuación:
I=∫a
b
f ( x ) dx≅∫a
b
P (x)dx
Para obtener:
I=H3 [ f (x0 )+4 f (x1 )+ f (x2 ) ]
Donde h=(b – a)/2. Esta ecuación se llama regla de Simpson 1/3 debido a que h está dividida entre 3.
Para este método nosotros mostraremos como se resuelve el polinomio por medio de LAGRANGE
P ( x )=( x−x1 ) (x−x2 )
( x0−x1 ) (x0−x2 )f (x0 )+
(x−x0 ) (x−x2 )(x1−x0 ) (x1−x2 )
f ( x1 )+(x−x0 ) (x−x1 )
(x2−x0 ) (x2−x1)f (x2 )
Integramos nuestro polinomio y obtenemos:
I=∫a
b
P ( x ) dx=H3 [ f (x0 )+4 f (x1 )+ f (x2 ) ]
También aplicamos esta regla para n-ésimo puntos los cuales veremos a continuación, donde a=x0 y b=xn:
I= ∫a= x0
b= xn
P (x)dx=∫x 0
x 2
P(x )dx+∫x2
x4
P(x )dx+…+∫xn−2
xn
P(x)dx
Integramos y obtenemos:
I=H3 [ f (x0 )+4 f (x1 )+ f (x2 ) ]+ H
3 [f (x2 )+4 f (x3 )+f (x4 ) ]+…+ H3 [ f ( xn−2 )+4 f (xn−1 )+4 f (xn−1 )+ f (xn)]
Por ultimo tendremos la formula general:
I=H3
¿
ALGORITMO DE INTEGRACIÓN POR SIMPSON 1/3
i. Defino mi integral ∫a
b
f (x )dx ,declaromia ,b , y el
número de segmentaciones =n , n tiene que ser par
ii. Calculo el H=b−an
,
METODOS NUMÉRICOS
39
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iii. Calculo , x i=a+iH ; f (x i ) ,iv. Evaluo mis datos en la formula :
¿ H3
¿
REGLA SIMPSON 3/8:
De manera similar a la obtención de la regla del trapecio y Simpson 1/3, es
posible ajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos e
integrarlo:
I=∫a
b
f ( x )dx≅∫a
b
P (x)dx
Para obtener:
I=3H8 [f (x0 )+3 f (x1 )+3 f (x2 )+ f (x3) ]
Donde h=(b – a)/3. Esta ecuación se llama regla de Simpson 3/8 debido a que
h se multiplica por 3/8. Esta es la tercera fórmula de integración cerrada de
Newton-Cotes.
Para este método nosotros mostraremos como se resuelve el polinomio por
medio de LAGRANGE: tenemos para cuatro puntos donde a=x0 ; b=x3
P ( x )=(x−x1 ) (x−x2 ) (x−x3 )
( x0−x1 ) (x0−x2 ) (x0−x3 )f ( x0 )+
( x−x0 ) (x−x2 ) (x−x3 )(x1−x0 ) (x1−x2 ) (x1−x3 )
f (x1 )+(x−x0 ) ( x−x1 ) (x−x3 )
(x2−x0 ) (x2−x1 ) (x2−x3 )f (x2 )+
(x−x0 ) (x−x1 ) ( x−x2 )(x3−x0 ) (x3−x1 ) (x3−x2 )
f (x3 )
Integramos nuestro polinomio y obtenemos:
I=∫a
b
P ( x )dx=3H8 [ f (x0 )+3 f (x1 )+3 f (x2 )+ f (x3)]
También aplicamos esta regla para n-ésimo puntos los cuales veremos a
continuación, donde a=x0 y b=xn:
METODOS NUMÉRICOS
40
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAÉN FACULTAD DE INGENERIA CIVIL
I= ∫a= x0
b= xn
P (x)dx=∫x0
x3
P(x )dx+∫x3
x6
P(x )dx+…+∫xn−3
xn
P(x)dx
Integramos y obtenemos:
I=3H8 [f (x0 )+3 f (x1 )+3 f (x2 )+ f (x3) ]+ 3H
8 [ f (x3)+3 f (x4 )+3 f (x5 )+ f (x6)]+…+ 3H8 [f (xn−3 )+3 f (xn−2 )+3 f (xn−1 )+ f (xn) ]
Por ultimo tendremos la formula general:
I=3H8
¿
ALGORITMO DE INTEGRACIÓN POR SIMPSON 3/8
i. Defino mi integral ∫a
b
f (x )dx ,declaromia ,b , y el
número de segmentaciones =n , n tiene que ser múltiplo de 3
ii. Calculo el H=b−an
,
iii. Calculo , x i=a+iH ; f (x i ) ,iv. Evaluó mis datos en la fórmula :
I=3H8
¿
METODOS NUMÉRICOS
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